Potenciación de números naturales y racionales … SEC 2018/1a...PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN:...
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POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN DE NÚMEROS NATURALES Y RACIONALES POSITIVOS
Potenciación de números naturales y racionales positivos: Una potencia es un producto de varios factores iguales:
Ejemplo: 34 = 3 . 3 . 3 . 3 = 81 (tres multiplicado por sí mismo cuatro veces)
Con números racionales: (3
2)
2=
3
2.
3
2=
3
4 o bien (0,2)3 = 0,2 . 0,2 . 0,2 = 0,008
1) Escribir como potencia y calcular los siguientes productos:
a) 2.2.2.2= b) 3.3.3.3.3.3= c) 5.5=
d) 0,2 . 0,2 .
0,2= e) 3
2.
3
2.
3
2=
f) 1,5 .1,5 .1,5 . 1,5 =
2) Completar el siguiente cuadro con los cuadrados y cubos de los 20 primeros
números naturales:
a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
𝑎2
𝑎3
3) Resuelve las siguientes potencias
a) (5)2 = b) 46 = c) 150 =
d) (3
2)
2= e) (
1
4)
4== f) (3)1 =
h) (3,5)3 = i) (0,06)2 = j) (1,3)4 =
Instituto Fray Mamerto Esquiú Matemática 1° año – Escuela Secundaria Básica Prof. Virginia Bosso
Alumno/a: ………………………………………………………………………….……………………………. 1ro: …….
a n = a. a . a … a
Base
Exponente
n - veces
2
PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN:
1) Todo número elevado a la potencia 1 da como resultado el mismo número
𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 51 = 5
Agregá un ejemplo con números racionales: ……………………………………………………………..
2) Todo número elevado a la potencia 0 da como resultado 1
𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 30 = 1
Agregá un ejemplo con números racionales: ……………………………………………………………..
3) POTENCIAS DE IGUAL BASE:
a) Cuando se tiene la misma base y la operación que las vincula es la
multiplicación, los exponentes se suman
𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 32. 34 = 32+4 = 36
Agregá un ejemplo con números racionales: ……………………………………………………………..
b) Cuando se tiene la misma base y la operación que las vincula es la división,
los exponentes se restan
𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 56: 54 = 56−4 = 52
Agregá un ejemplo con números racionales: ……………………………………………………………..
4) POTENCIA DE POTENCIA:
Cuando se tiene un número elevado a una potencia y este a su vez elevado a otra
potencia, estas se multiplican
𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: (23)4 = 212
Agregá un ejemplo con números racionales: ……………………………………………………………..
5) La potencia es distributiva con respecto al producto y al cociente:
𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: (2.4)3 = 23. 43
𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: (6: 3)2 = 62: 32
Ejemplo: (3
2)
2=
32
22 =9
4
ATENCIÓN: LA POTENCIA NO PUEDE DISTRIBUIRSE EN SUMA Y RESTA
𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: (7 + 3)2 ≠ 72 + 32
𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: (5 − 4)2 ≠ 52 + 42
3
4) Resuelve los siguientes cálculos aplicando las propiedades de la potenciación, cuando sea posible
a) ( 4 )5 : ( 4 )3 = b) 54 . 52 . 5 . 50 =
c) [ ( 3 )2 ]4 : ( 3 )5 =
d) 63 . 62 . 67 : (63)4 =
e) (42.45:43)
2
44:42 f) (2.3)3 . 24 . 32 : 25 =
g) ( 54 )2 : ( 52 )3 =
h) ( 2 7 : 2 5 )3 =
i) (1,3)2 . (1,3)5: (1,3)7=
j)
[(5
4)
2.(
5
4)
3:(
5
4)] 3
(5
4)
5.(
5
4)
2 =
k) (0,2)5.(0,2)3
(0,2)4 = l)
[(1
5)
2.(
1
5)
2:(
1
5)] 4
(1
5)
2.(
1
5)
3 =
Radicación de números naturales y racionales positivos: Se define la radicación como:
Cuando el índice de una raíz es 2, no se escribe, √𝑎 significa raíz cuadrada de 𝑎
Ejemplos:
√25 = 5 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 52 = 25
√643
= 4 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 43 = 64
√36
25=
6
5 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 (
6
5)
2
=36
25
√0,0083
= 0,2 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 (0,2)2 = 0,008
PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN:
1) La raíz con cualquier índice del valor 1 es siempre 1
√1𝑛
= 1 ∀𝑛 ∈ 𝑁 , 𝑛 ≥ 2
√𝑎𝑛
= 𝑏
√𝑎𝑛
= 𝑏 𝑠𝑖𝑖 𝑏𝑛 = 𝑎
Índice
Radicando
Raíz
Radical
4
2) La raíz de un producto o de un cociente puede distribuirse. No puede distribuirse
ni agruparse en suma y resta
√𝑎. 𝑏𝑛
= √𝑎𝑛
. √𝑏𝑛
∀𝑛 ∈ 𝑁 , 𝑛 ≥ 2
Por ejemplo:
Si tenemos la operación √8.643
resulta más fácil distribuir la raíz y calcular por
separado √83
. √643
= 2.4 = 8
Sin embargo, en algunos casos conviene agrupar la raíz, para facilitar los cálculos
√2. √8 = √2.8 = √16 = 4
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑙𝑎𝑠 𝑟𝑎í𝑐𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑏𝑒𝑛 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑟 𝑒𝑙 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑜 í𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒. 𝑆𝑖 𝑛𝑜 𝑙𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒𝑛,
ℎ𝑎𝑏𝑟á 𝑞𝑢𝑒 𝑏𝑢𝑠𝑐𝑎𝑟 𝑐𝑜𝑚ú𝑛 í𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒
En el caso del cociente resulta similar la aplicación:
√32
√2= √
32
2= √16 = 4 (𝑡𝑎𝑚𝑏𝑖é𝑛 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖𝑟𝑠𝑒 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑟 𝑛𝑒𝑐𝑒𝑠𝑎𝑟𝑖𝑜)
3) RAÍZ DE RAÍZ: cuando se tiene una raíz de raíz, los índices pueden multiplicarse
√ √𝑎𝑚𝑛
= √𝑎𝑛.𝑚
∀𝑛, 𝑚 ∈ 𝑁 𝑛, 𝑚 ≥ 2
𝑒𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: √√642
3
= √643.2
= √646
= 2
4) TRANSFORMACIÓN DE RAÍZ EN POTENCIA FRACCIONARIA:
Cualquier raíz puede transformarse en potencia fraccionaria
√263= 2
62⁄ = 23 = 8
5) Resuelve cada una de las siguientes raíces:
.
√81 =.................... √643
=................. √25 =....................... √1287
=..................
√100004
=.................... √83
=................. √
27
8
3=.................. √
25
16=.......................
√49
25=………….. √
121
144=……………. √
1
100=………… √
16
81
4=………..
ATENCIÓN: ESTA PROPIDEDAD NO PUEDE APLICARSE EN SUMA O RESTA
√9 + 16 ≠ √9 + √16
En este caso, primero se resuelve la suma y luego se calcula la raíz
√9 + 16 = √25 = 5
5
√64
125
3=………… √
1
1000
3=…………. √
16
25=……… √
16
81
2=…………..
√8
27
3=………….. √
81
256
4=………….. √
125
1000
3=..................
6) Resuelve aplicando previamente las propiedades de la radicación
a) √√256 = b) √625 .814
=
c) √√643
= d) √100: 4 =
e) √4 .25 = f) √64 ∶ 83
=
g) √27 .10003
= h) √1000 ∶ 1253
=
i) √2. √2 = j) √18 ∶ √2 =
k) √3. √12 = l) √75 ∶ √3 =
m) √53
. √2003
= n) √804
∶ √54
=
o) √81
49 .
9
25= p) √
512
100 ∶ (
64
343)
3=
q) √100
36 ∶
9
16= r) √
125
27 ∶
8
27
3=
s) √144
49 .
36
121= t) √
1
7 . √
1
7 =
u) √1
2 . √
1
18 = v) √
2
3 . √
2
243 =
7) Resuelve las siguientes operaciones combinadas:
a) 3. 23 − √9 + 5.8 + (42 + 4): √100 − 723: 722 =
b) √102: 4 + 23
+ (21: 7 + 40)3: 8 − 2.24: (2 + 2.3) =
c) √2. 53 − 17.23
+ (82 − 4): √225 − 103: 53 =
d) (24: 8 + √289 + 1): 5 + √225: 3 − √2. √8 =
e) 63: 24 + √7.8 − 8.35
− 50 + (6 + 5.2): 23 =
f) (150 − 53). 6: 5 − 63: 7 + √(45: 5 + 1)2 + 3.23 =
g) 325: 324 + (62 − 4): √64 + √225.81 =
h) (0,4)3: (0,4) + √2. √32 + √2 + 15.25
∶ (1
2)
4
: (1
2)
2
=
i) ((12
5−
3
10) :
7
5)
3
+3
4=
j) (2
3−
1
2)
2:
1
27+ √
1
20+
11
100=
k) (2
3)
2. (
2
3)
6∶ (
2
3)
4+ √
1
25.
36
100+ (
5
36)
0=
l) ((1,5)3: (1,5))2 − √1
32
5+ √
125
64
3− (
4
15:
8
5+
1
3)
3=