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7/17/2019 PPT_Límites.pptx

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CÁLCULO I

LÍMITES



CASO 01: CAPACIDAD DE UN PLANTA

Un gerente determina que, cuando se está utilizando xporcentaje de la capacidad de la planta de su compañía, elcosto total es

Cientos de miles de dólares. La

compañía tiene una política de

rotar el mantenimiento de tal

forma que nunca se utilice másdel 8! de su capacidad. "#u$

costo esperaría el gerente

cuando la planta está operando

a toda la capacidad permitida%

&U'(

96068

3206368)(

2

2

−−

−−=

x x

x x xc



• )unciones

• *rá+ca de )unciones.

Recordar

&U'(



LOGROS DE LA SESIÓN

l +nalizar la sesión de aprendizaje el estudiante

resuel-e e interpreta prolemas aplicados al estudiode fenómenos naturales, económicos / tecnológicos,

0aciendo uso del cálculo de límites

&U'(



1. Concepto de Límite

2. Límite

2.1 3e+nición / propiedades

2.2 ejemplos

4. Límites Laterales

Temario

&U'(



• El proceso de límite consiste en examinar elcomportamiento de una función f(x) cuando x seaproximan número c, que puede o no estar en eldominio de f.

De forma mas general, el límite de f(x) cuando x tiende alnumero “c” se puede definir

LÍMITE. i f(x) se acerca m!s " m!s al numero # cuando xse aproxima cada $e% a c, por am&os lados, entonces # es

el límite de f(x) cuando x tiende a c. Este comportamientose expresa sim&ólicamente como'

LÍMITES

&U'(

→

=x climf5x6 L



significa que la altura de la grafica " (x) tiende a #cuando x tiende a c, tal como se muestra en la figura

Geométricamente el enunciado de límite

"

x

(x)

#(x)

x c x

&U'(

→

=x climf5x6 L



Eem!"o 1*tilice una ta&la para calcular el límite

So"#ci$n

ea

+alcule (x) para una sucesión de $alores de x que seaproximan a por la derec-a " por la i%quierda'

x x /.00 /.000 /.0000 .//// ./// .//

() /.1/23 /.1//4 /.1/// /.500000 /.50000 /.50066

&U'(

lim1

1

1 x

x

x

( ) 1

1

x F x

x



#os números en el renglón inferior de la ta&la sugierenque (x) tiende a /.1 cuando x tiende a 7 esto es

89E:;<+=>? =@A8:B<?BE') En ningún momento nos interesamos por el $alor de f ( x ) cuando

x = c, es decir, el número f(c). #o único que nos interesa son los$alores de la función cuando x est! mu" cerca de c, pero x esdiferente de c, incluso x puede no estar definido en c.

2) #a noción de limite esta asociado con el comportamiento de f(x)cerca de c pero no en c

&U'(

→

−=

−x 1

x 1.7

x 1lim



CALCULO ANALÍTICO DE LÍMITES

En muc-os casos los límites se pueden e$aluar por sustitucióndirecta particularmente si la función f esta definida para todo uninter$alo que contiene a c " existe f(c) .

<#C*?8 #@=BE 9=+8

ean F " x/ números reales " n un entero positi$o. Entonces'

. 2. 4.

&U'(

0lim

x x k k

→ = 0

0

lim x x

x x→

=0

0

lim n n

x x x x

→ =



PROPIEDADES DE LOS LIMITES

ean F " x/ números reales, n un entero positi$o " f, g funcionescon limites'

a)

&)

c)

&U'(

L x f o x x

=

→

)(lim M x g o x x

=

→

)(lim

0 0

. ( ) . ( ) .lim lim x x x x

k f x k f x k L→ →

= =

0 0 0

{ ( ) ( )} ( ) ( )lim lim lim x x x x x x

f x g x f x g x L M → → →

± = ± = +

0 0 0

( ). ( ) ( ). ( ) .lim lim lim x x x x x x

f x g x f x g x L M → → →

= =



d)

e)

f)

&U'(

0

0

0

( )( )

( ) ( )

limlim

lim

x x

x x x x

f x f x L

g x g x M

→

→

→

= =

[ ]0 0

( ) ( )lim lim→ →

= =

n

n n

x x x x f x f x L

0 0

( ) ( )lim lim nnn

x x x x f x f x L

→ →= =



Eem!"o 1

Encuentre el siguiente límite

So"#ci$n:

*tili%ando las propiedades antes mencionadas tenemos

&U'(

)16212(lim 23

1−+

→

x x x

16lim2lim12lim)16212(lim1

2

1

3

1

23

1 →→→→

−+=−+ x x x x

x x x x

→ →= + −

= + − = −

4 2

x 1 x 112limx 2limx 1

12 2 1 2



Eem!"o %


So"#ci$n:

Banto el numerador como el denominador tienden a / cuando xse aproxima a , originando una expresión indeterminada la cual-a" que arreglarla de la siguiente manera

&U'(

21

11lim

)1)(1(1lim

)1)(1()1)(1(lim

11lim

1111=

+=

+−

−=+−

+−=−

−→→→→ x x x

x x x

x x x x

x x x x

1

1lim

1 −

−

→ x

x

x



Eem!"o &

So"#ci$n:


&U'(

→

−

−x 9

x 2lim

x 9



LIMÍTES LATERALES• :l ser-icio detraumatología de un0ospital -a a implantar unnue-o sistema que

pretende reducir a cortoplazo las listas de espera.;e pre-$ que a partir dea0ora la siguiente funciónindicará en cada momento

5t, en meses6 el porcentajede pacientes que podrá seroperado sin necesidad deentrar en lista de espera<

• <nali%ar el porcentaGe de pacientes que pueden seroperados sin necesidad de entrar en lista de esperacuando estamos cercanos al dHcimo mes

&U'(

2 8 50; 0 10

( ) 38 100 ; 100, 4

t t t

p t t t t

− + ≤ ≤

= − >



+alculemos el límite lateral por la =%quierda

+alculemos el límite lateral por la derec-a

Aor lo tanto, el límite es'

&U'(

2(10) 8(10) 50= − + 70=2

10lim ( 8 50 )

t t t

−→

− +

10

38 100lim

0, 4t

t

t +→

− 38(10) 100

0, 4(10)

−= 70=

10lim ( ) 70t

f x→

=



Podrías ahora resolver el

caso 01?

&U'(



CASO 01: CAPACIDAD DE UN PLANTA

Un gerente determina que, cuando se está utilizando xporcentaje de la capacidad de la planta de su compañía, elcosto total es

Cientos de miles de dólares. La

compañía tiene una política de

rotar el mantenimiento de tal

forma que nunca se utilice másdel 8! de su capacidad. "#u$

costo esperaría el gerente

cuando la planta está operando

a toda la capacidad permitida%

&U'(

96068

3206368)(

2

2

−−

−−=

x x

x x xc



EVALUACIÓN

. +alcula el siguiente límite'

2. +alcula los siguientes límites'

&U'(

11

242

0 −+

−+

→ x

x

xlím

[ ] 323

23

1

2

2783

132 b)213a)

−+−

+−−−

→+∞→ x x x

x x x x

x xlímlím



Material elaborado para uo e!clui"o de la

eio#e de apre#di$a%e del curo de C&lculo '( emetre )*'+ , )- U#i"eridad Pri"ada delNorte-

&U'(

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