7/25/2019 PR5_EC1421_SD2013

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 Universidad Simón Bolívar

EC1421. Trimestre septiembre diciembre 2013

PRÁCTICA 5

Procesos Aleatorios y Ruido

Guía elaborada por la Prof. Mary Alejandra Díaz

1.  OBJETIVOS

 

Aprender a generar números pseudoaleatorios usando Matlab  Encontrar el equivalente pasabajo de una señal pasabanda usando Matlab

  Simular la transmisión de señales aleatorias a través de sistemas lineales

  Estudiar la representación del Ruido Pasabanda Gausiano

2.  REVISIÓN TEÓRICA

2.1.  Equivalente Pasabajo de Señales Pasabanda

Una señal pasabanda  x(t ) es una señal cuyas componentes en frecuencia están localizadas

alrededor de una frecuencia central c, esto es:

 X ( j) = 0 para |±c| > B (1)

con B < c 

Cuando se habla de señales pasabanda banda estrecha es porque además de la condición

(1) se cumple que B << c.

Por otra parte se denomina  señal   pasabajo  a cualquier señal cuyas componentes enfrecuencia están localizadas alrededor de la frecuencia cero, es decir:

 X ( j) = 0 para || > B (2)

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Para poder simular señales pasabanda cuya frecuencia central c es relativamente alta, es

necesario usar frecuencias de muestreo muy grandes. Esto resulta inconveniente porque se

genera un gran volumen de datos.

En la simulación de sistemas de comunicaciones se presenta constantemente este

 problema, puesto que los mensajes son en general señales pasabajo que al modularse para

ser transmitidos a un punto remoto se convierten en señales pasabanda banda estrecha.

Entonces para simplificar el análisis de los sistemas de modulación y trabajar con valores

“razonables” de frecuencia de muestreo se define en la teoría de comunicaciones el

 Equivalente Pasabajo de señales pasabanda, para lo cual se define en primer lugar la

 señal analítica  z( t) como:

      (3)

Donde el término imaginario es por definición la transformada de Hilbert de x(t ) definida

como:

   ∗   (4)

donde el asterisco denota convolución.

La definición en (3) también puede escribirse como

   ∗ 2      (5)

que en el dominio de la frecuencia es

   2    (6)

donde U ( j) es el escalón unitario definido en la frecuencia.

Puede verse entonces que la señal análitica es el resultado de eliminar la porción negativa

del espectro de una señal y duplicar la magnitud de sus componentes de frecuencia

 positivas. Si la señal original ( x(t )) es real, al eliminar la simetría de su espectro se genera

una señal compleja, como es por definición la señal analítica.

Para x(t ) una señal pasabanda, se define su equivalente pasabajo xlp(t ) como:

    (7)

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   es generalmente una señal compleja y puede representarse en términos de sus

coordenadas rectangulares, lo que se denomina representación en componentes en fase y

en cuadratura (o representación fase-cuadratura):      (8)

donde  xi( t) se denomina  componente en fase  de  x(t ) y  xq( t)  es la  componente en

 cuadratura.

La representación en términos de coordenadas polares se conoce como  representación

envolvente-fase y se expresa como en (9)

  ∅  (9)

donde R( t) es la envolvente yΦ( t) es la fase de la señal.

En términos de las componentes en fase – cuadratura se puede obtener la representación de

 x(t ) como:

  cos  sin  (10)

Puede demostrarse que:

  cos  sin  (11)

  cos  sin  (12)

La representación envolvente – fase de la señal pasabanda sería:

  cos ∅  (13)

donde:

       (14)

∅  tan   (15)

O en términos de x(t ):

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        (16)

∅  tan   (17)

2.2. Procesos Aleatorios Pasabanda (banda estrecha) y Estacionarios en Sentido

Amplio

El desarrollo anterior está hecho para señales determinísticas, pero es válido para señales

aleatorias. Sin embargo en este último caso la señal se representa a través de su

autocorrelación y su densidad espectral de potencia (D.E.P.). Particularmente nos interesa

estudiar el caso del ruido pasabanda (banda estrecha). Excluyendo las demostraciones

respectivas, se presentan a continuación las ecuaciones que nos permiten representar

matemáticamente un ruido pasabanda banda estrecha, N (t ), estacionario en sentido amplio,

con ancho de banda W , media cero y D.E.P. S  NN ():

a.   Representación Envolvente-Fase:

  cos ∅  (18)

Donde  R(t ) y ∅  son respectivamente la envolvente y la fase de  N (t ) y pueden

obtenerse usando las ecuaciones (14) y (15).

b.   Representación fase-cuadratura 

  cos  sin  (19)

Las componentes en fase y cuadratura se obtienen empleando las ecuaciones (11) y

(12) respectivamente.

c.   Propiedades de

 y

 

         ||  0   ||    (20)

        (21)

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        (22)

  Las componentes en fase-cuadratura están decorrelacionadas

0  (23)

  Si N (t ) es gausiano también lo serán sus componentes en fase-cuadratura

  Si  N (t ) es gausiano, R(t) tiene una f.d.p Rayleigh mientras que ∅  es

uniforme en el intervalo [0, 2]

3. 

PREPARACIÓN

3.1. Lea cuidadosamente la revisión teórica que se presenta en 1.

3.2. Investigue qué funciones de Matlab (o secuencia de instrucciones) le permiten:

a.  Hallar la señal analítica z(t ) de una señal dada x(t )

 b.  Hallar la Transformada de Hilbert  (TH) de una señal.

c.  Generar números aleatorios con función de densidad de probabilidad (f.d.p.)

uniforme.

d.  Generar números aleatorios con f.d.p. gausiana.

e.  ¿Son realmente aleatorios los números generados con las funciones investigadas

en 3.2c y 3.2d?

f.  ¿Existe alguna interfaz de Matlab que le permita explorar la generación de

números aleatorios de los que dispone el software?

g.  Diseñar filtros

h.  Filtrar señales

i.  ¿Existe alguna interfaz gráfica que le permita explorar las opciones de diseño de

filtros que ofrece el programa?

 j. 

Estimar la DEP de una señal3.3. ¿Qué representa el histograma de una señal?. Responda además:

a.  ¿Qué función de Matlab le permite graficar el histograma de una señal?

 b.  ¿Cómo seleccionaría el número de barras (bins en Matlab) que debe tener un

histograma? Investigue si existe algún criterio que le permita hacer una selección

adecuada.

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3.4. Simule en Matlab 10 variables aleatorias distribuidas idénticamente, con distribución

uniforme (con f.d.p. uniforme). Cada variable aleatoria debe ser un vector de al menos

5000 elementos. Grafique el histograma de una de las señales.

3.5. Programe un script de Matlab (deberá llevar el archivo electrónico correspondiente a

la sesión de laboratorio) para simular un proceso aleatorio Y  que consiste en sumar las

10 variables aleatorias generadas en el punto 3.4.

4. 

ACTIVIDADES DE LABORATORIO

4.1. Genere un vector de tiempo >> t = - 1:0.0001:1. Luego genere una señal pasabanda

 x BP(t ) = sinc(100t )cos(2200t ) (use la función sinc de Matlab). Se pide que:

a. 

Grafique en una misma figura usando subplot:  x BP vs. t , Re{ x BP }, Imag{ x BP } b.  En otra figura, también usando subplot grafique: | X  BP| vs. ,  X  BP vs.  

4.2. Encuentre  z(t ), la señal analítica de  x BP(t ), usando la correspondiente función de

Matlab.

a.  Grafique en una misma figura usando subplot:  z vs. t , Re{ z }, Imag{ z }

 b.  En otra figura, también usando subplot grafique: | Z | vs. ,  Z  vs.  

c.  Compare las gráficas 4.2 a) y 4.2 b) con las obtenidas para  x BP en los numerales

4.1 a) y 4.1 b)

4.3. Encuentre xlp(t ) el equivalente pasabajo de x BP(t ) usando (7).

a.  Grafique en un misma figura usando subplot:  xlp vs. t , Re{ xlp }, Imag{ xlp }

 b.  En otra figura, también usando subplot grafique: | X  LP | vs. ,  X  LP vs.  

c.  Compare las gráficas 3.3 a) y 3.2 b) con las obtenidas para  x BP en los numerales

3.1 a) , 3.1 b), 3.2 a) y 3.2 b)

4.4. Indique ¿cuáles serían las mínimas frecuencias de muestreo que necesitaría para

simular cada una de las señales x BP, z y xlp en Matlab?

4.5. Con el programa realizado en el punto 2.9 obtenga una realización Yi del proceso Y .

Grafique el histograma de Yi. ¿Qué f.d.p. posee Yi?. Simule otra realización del

 proceso y grafique en una figura nueva su histograma. Compare con el histograma de

la primera realización. Explique.

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4.6. Genere con la función correspondiente de Matlab un ruido gausiano de media cero

nlp(t ). Grafique su histograma y compare con los histogramas obtenidos para Yi.

Obtenga la autocorrelación del ruido y su DEP y grafíquelas.

4.7. Diseñe un filtro pasabanda, tal que al pasar el ruido nlp(t ) generado en 3.6 por este

sistema, se obtenga a la salida, un ruido pasabanda banda estrecha n(t ).

a.  Grafique la respuesta en frecuencia del filtro.

 b.  Grafique la autocorrelación de n(t ), ¿el resultado coincide con lo esperado según

la teoría?

c.  Grafique la DEP de n(t ), ¿el resultado coincide con lo esperado según la teoría?

d.  Cómo pueden mejorarse los resultados obtenidos en 3.7.c? Verifique su respuesta

haciendo la simulación correspondiente.e.  Grafique el histograma de n(t )

4.8. Obtenga las componentes en fase ni(t ) y cuadratura nq(t ) de n(t ). Recuerde que la

frecuencia del coseno y del seno que debe generar para hacer la descomposición de

n(t ) debe ser la frecuencia central del filtro pasabanda implementado en 3.7

4.9. Para c/u de las variables ni(t ), nq(t ) se pide que:

a.  Calcule la potencia

 b.  Grafique la DEP de c/u. Explique

c.  Grafique el histograma de c/u. Explique

4.10. Obtenga R(t ) (la envolvente de n(t )) y (t ) (la fase de n(t )). Grafique el histograma de

c/u. ¿Obtuvo los resultados esperados? Explique.