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Prctica 1: Resolucin del Ejemplo 1 Instituto Tecnolgico de Celaya
Ingeniera Asistida por computadora Celaya, Guanajuato a 10 de Septiembre del 2015
Prctica 1.- Elemento Resorte
Ordaz Gonzalez Joaquin Ingeniera Mecatrnica
Instituto Tecnolgico de Celaya Celaya, Guanajuato
Mxico Email: kinotec1793 @gmail.com
RESUMEN En este artculo se presenta la solucin detallada del
ejemplo 1 realizado en clase a un elemento resorte utilizando
el mtodo del elemento finito.
PALABRAS CLAVES Resorte, elemento finito, matriz, desplazamientos
nodales, fuerzas o reacciones.
INTRODUCCION En este artculo presentaremos concretamente el
desarrollo analtico paso a paso utilizando los pasos generales
para la solucin de problemas por el mtodo del elemento finito
para resolver el ejemplo 1 (ver Imagen 1) sobre un elemento
resorte visto en la materia de Ingeniera Asistida por
Computadora, detallaremos el procedimiento del mismo para
la mayor comprensin y entendimiento del estudiante de la
materia, para ello agregaremos un marco terico, desarrollo y
una breve conclusin de lo realizado en el presente documento.
MARCO TEORICO A continuacin se presentan informacin importante
para el desarrollo del anlisis por el mtodo del elemento finito,
la cual es fundamental para darle solucin a los ejercicios
relacionados con elemento finito y en el caso correspondiente
para resolver problemas con un elemento resorte.
Mtodo del Elemento Finito
Es un mtodo numrico para resolver problemas fsicos de
ingeniera y matemticas. Algunos problemas tpicos que es
posible resolver con este mtodo incluyen anlisis
estructurales, transferencia de calor, flujo de fluidos, transporte
de masa y potencial electromagntico.
La formulacin del elemento finito resulta en un sistema
algebraico de ecuaciones simultaneas, las cuales es preferible
resolver a que las ecuaciones diferenciales.
Elementos finitos
Cuando un cuerpo continuo se divide en un sistema equivalente
de pequeas unidades reciben el nombre de elementos finitos.
Nodos
Los elementos finitos estn interconectados en puntos comunes
donde concurren dos o ms elementos, estos puntos se llaman
nodos.
Discretizacion
Es el proceso de dividir el cuerpo en elementos finitos y nodos.
Mtodos Matriciales
Los mtodos matriciales son herramientas necesarias y usadas
en el mtodo del elemento finito con el propsito de simplificar
la formulacin de las ecuaciones de rigidez del elemento.
{} = []{}
Donde:
F: Fuerzas
K: Matriz Global de Rigidez
d: Desplazamientos
Una matriz es un arreglo rectangular de cantidades
estructuradas en renglones y columnas que son frecuentemente
usadas como apoyo para la solucin de sistemas algebraicos de
ecuaciones.
{} =
[ 111222
]
; {} =
[ 111222
]
-
Los subndices de las fuerzas y desplazamientos nodales,
identifican el nodo y la direccin de la fuerza o desplazamiento.
Pasos generales para la solucin de problemas por el
mtodo del elemento finito.
1. Discretizar y seleccionar el tipo de elemento: Se refiere a dividir el cuerpo en un sistema equivalente
de elementos finitos o nodos asociados y seleccionar
el tipo de elemento ms apropiado para modelar lo
ms real posible el comportamiento fsico del cuerpo.
2. Seleccionar una funcin de desplazamiento: Se refiere a seleccionar una funcin tal que esta considere
los valores nodales de desplazamiento del elemento.
3. Definir la relacin deformacin-desplazamiento y la relacin esfuerzo-deformacin: Son necesarias
para obtener las ecuaciones de cada elemento finito.
4. Determinar la matriz de rigidez del elemento: Para obtener la matriz de rigidez existen distintos mtodos
como el mtodo de equilibrio directo, el mtodo del
trabajo y energa y el mtodo de residuos pesados, los
cuales se aplicaran de acuerdo al elemento finito.
5. Ensamblar las ecuaciones para obtener las ecuaciones globales: El ensamble de las ecuaciones
implica el manejo matricial de la rigidez de cada
elemento finito.
6. Resolver para los grados de libertad convenientes: Se refiere a obtener las incgnitas de inters de
nuestro sistema para lo cual ser necesario aplicar las
condiciones de frontera adecuadas.
7. Resolver para los esfuerzos y deformaciones del elemento: Se refiere a obtener los esfuerzos y
deformaciones, momentos o fuerzas cortantes.
8. Interpretacin de resultados: Es uno de los objetivos finales para el proceso de diseo, esta
interpretacin permitir tomar decisiones en el diseo
y permitir analizar los puntos dbiles, as como
proponer la optimizacin del sistema.
Bsicamente esa es la teora fundamental para la resolucin de
los problemas utilizando el mtodo del elemento finito, en este
caso aplicando el uso de un elemento resorte como ejemplo
base.
DESARROLLO En la clase de Ingeniera Asistida por Computadora se
nos plante el ejemplo 1 (ver Imagen 1), es decir, un problema
con un elemento resorte, en las siguientes lneas explicaremos
paso a paso su resolucin para reforzar nuestro aprendizaje y
reforzar lo explicado por el profesor en clase.
Imagen 1. Problema Elemento Resorte (Ejemplo1)
Para la resolucin de este problema, tambin se nos fueron
proporcionados los siguientes datos:
1 = 1000
2 = 2000
3 = 3000
Una vez conocida la figura a analizar y los datos
proporcionados, basados en los pasos generales para la
solucin de problemas por el mtodo del elemento finito
iniciamos el anlisis analtico para encontrar los
desplazamientos nodales y las respectivas fuerzas del sistema
ilustrado en la imagen 1.
Como paso nmero uno identificamos el nmero de elementos
presentes en nuestro sistema de resortes, los cuales numeramos
a conveniencia y marcamos con color rojo, como se muestra
enseguida (ver Imagen 2)
Imagen 2. Identificacin del nmero de elementos
Dentro de este paso tambin identificamos la cantidad de nodos
presentes en el sistema y los numeramos de igual manera a
nuestra conveniencia para hacer su respectivo anlisis, en este
caso los identificamos con color azul, como se puede observar
en la imagen 3.
Imagen 3. Identificacin de los nodos
Despus de haber identificado nuestros elementos y nodos del
sistema, armamos nuestras matrices de rigidez de cada
elemento k1, k2 y k3 considerando la relacin que tienen entre
los elementos y nodos, es decir, los puntos que comparten entre
s, y las cuales quedaron de la siguiente manera:
-
Para el primer elemento tenemos:
La matriz del segundo elemento fue:
Para el tercer elemento definimos la siguiente matriz:
Una vez obtenidas las matrices independientes de rigidez de
cada elemento presente en nuestro sistema; procedemos al
armado de la matriz global de rigidez del sistema, para ello,
creamos una matriz de cuatro por cuatro pues existen 4
desplazamientos nodales, basados en esto analizamos cada
matriz de rigidez por elemento considerando la relacin de los
desplazamientos y vamos llenando nuestra matriz global, la
cual nos queda como se muestra a continuacin:
Ya que tenemos nuestra matriz de rigidez global utilizamos la
siguiente formula:
=
Basados en esta frmula nuestra matriz global de rigidez, y
obtenemos:
Una vez realizado el reacomodo analizamos en nuestro sistema
cuales son los desplazamientos nodales y fuerzas conocidas, las
marcamos o cancelamos y tenemos:
Basndonos en lo que conocemos hacemos unos trazos dentro
de nuestra matriz global de rigidez, es decir, como conocemos
el desplazamiento d1x y d4x, adems de f2x y f3x el trazo
obtenido es el siguiente:
Del trazado realizado eliminamos las filas y columnas uno y
cuatro respectivamente, y de este extraemos la matriz que
podemos ver enseguida:
Reescribimos la matriz de 2x2 encontrada, sustituimos los
valores de las fuerzas y tenemos:
[1 + 2 2
2 2 + 3] [
23
] = [0
5000]
De la matriz de 2x2 encontrada, establecemos el siguiente
sistema de ecuaciones para encontrar el valor de los
desplazamientos nodales:
(1 + 2)2 23 = 0 22 + (2 + 3)3 = 5000
-
Sustituimos los valores conocidos de K1=1000 lb/in, K2=2000
lb/in y K3=3000 lb/in en nuestro sistema de ecuaciones y
dividimos entre mil para facilitar an ms las operaciones, por
lo tanto tenemos:
32 23 = 0 22 + 53 = 5000
Resolvemos el sistema de ecuaciones y obtenemos los valores
de los desplazamientos nodales, cuyo valor es:
= . = .
Ya conocidos los desplazamientos nodales regresamos a
nuestra matriz global de rigidez donde hicimos unos trazos y
extraemos lo siguiente:
Ahora generamos las siguientes matrices para obtener las
fuerzas f1x y f2x:
1 = (1 0) (23
)
2 = (0 3) (23
)
Establecemos el correspondiente sistema de ecuaciones,
sustituimos los valores de K1=1000 lb/in, K3=3000 lb/in,
d2x=0.90in y d3x=1.36in, realizamos las operaciones y nos
queda como resultado de las fuerzas lo que a continuacin se
muestra:
1 = 12 = (1000
) (0.90) =
2 = 33 = (3000
) (1.36) = .
Y es as como llegamos a la solucin del ejemplo 1 para un
elemento resorte, basados en el anlisis por el mtodo del
elemento finito.
CONCLUSION En este primer ejemplo logramos poner en prctica la
resolucin de un problema donde se considera el anlisis por el
mtodo del elemento finito para un elemento resorte, al ser
nuestro primer ejemplo claro al principio costo trabajo
entenderle, pero logre entender que todo es una metodologa y
no es tan complejo como lo parece, la base esta en hacer el uso
adecuado de matrices e identificar correctamente los elemento
y nodos presentes en nuestro sistema, fue un ejercicio sencillo
pero que abre las puertas para el mejor entendimiento para el
desarrollo analtico de problemas con elementos de resorte, los
cuales son considerables de los ms fciles a la hora de realizar
un anlisis de elemento finitos.