Leyes de Kirchoff

Laboratorio de Fis - 102Leyes De Kirchoff

Practica N 10Leyes De Kirchoff

1. Objetivos

General

Verificar experimentalmente las leyes de Kirchoff. Aplicar las Leyes de Kirchoff a circuitos combinados.

2. Fundamento terico

El fsico Alemn Gustav Robert Kirchoff, hace mas de 100 aos enunci dos leyes que empleamos a menudo en la resolucin de circuitos combinados como el de la figura 1. Antes de la definicin y aplicacin de estas leyes es necesario presentar los siguientes conceptos:

Nudo.-Punto donde se unen tres o mas conductores, en consecuencia, es una punto de convergencia de tres o mas intensidades de la corriente. En la figura, son nudos los puntos b y e.

Malla.-Trayectoria cerrada de un circuito. En la figura 1, son mallas las trayectorias cerradas abefa y bcdeb.

Primera Ley de Kirchoff: Ley de los nudos.

Constituye la aplicacin del principio de conservacin de la carga, y establece que la suma de las intensidades de corriente que entran en un nudo es igual a la suma de las que salen.

(1)

Por convenio, se toman como positivas la s corrientes que entran al nudo y como negativas a las que salen.

Segunada Ley de Kirchoff: Ley de las Mallas.

Es la aplicacin del principio de conservacin de la Energa, y establece que la suma algebraica de las tensiones aplicadas a una malla es igual a las caidas de tensin de las resistencias de esa malla.

(2)

Con la Ley de Ohm:

(3)

Aplicaciones de las Leyes de Kirchoff.

a. Circuito en Serie.

La aplicacin de la Segunda Ley de Kirchoff, ecuacin (2), al circuito de la figura 2 resulta:

V = V1 + V2 + V3 + V4 (4)

Con el fin de verificar la ecuacin (4), en el laboratorio se medir por separado la diferencia de potencial V que suministra la fuente y las cadas de tensin V1, V2, V3 y V4 en cada resistencia.

Resistencia equivalente en Serie.

Con la ley de Ohm, la ecuacin (4) resulta:

i Req = i R1 + i R2 + i R3 + i R4 = i ( R1 + R2 + R3 + R4 )

La corriente que circula en un circuito en serie es la misma, entonces:

Req = R1 + R2 + R3 + R4(5)

Adems, volviendo a la ley de Ohm:

(6)

Ecuacin que muestra que la resistencia equivalente puede tambin calcularse midiendo la tensin aplicada ala circuito y la corriente que circula por el.

b. Circuito en Paralelo.

La aplicacin de la primera ley de Kirchoff a los nudos a, b y c del circuito de la figura 3 resulta:

Nudo a : (7)

Nudo b : (8)

Nudo c : (9)

Sustituyendo (8) y (9) en (7) se obtiene:

i = i1 + i2 + i3 + i4 + i5(10)

Para verificar la ecuacin (10), en laboratorio se medir por separado la intensidad de corriente i que ingresa al circuito, y las intensidades de corriente i1, i2, i3 e i4 que circulan por cada resistencia.

a. Resistencia equivalente en Paralelo.

De la ley de Ohm:

; ; ; ;

Sustituyendo estas en la ecuacin (10), y considerando que es una conexin en paralelo:

V = V1 + V2 + V3 + V4

(11)

Volviendo a la Ley de Ohm:

(12)

c. Circuito Combinado.

Para resolver el circuito de la figura 4, es decir, hallar las corrientes que circulan por cada resistencia, es necesario aplicar las leyes de Kirchoff del siguiente modo:

Nudo a: (13)

Malla I: (14)

Malla II: (15)

De la ecuacin (13):

i3 = i1 i2(16)

Sustituyendo (16) en (14) y (15), y resolviendo para las corrientes i1, i2 se tiene:

(17)

(18)

Estas ecuaciones permiten calcular las corrientes del circuito en funcin de la tensin V suministrada por la fuente y las resistencias R1, R2, R3 y R4.

Por otro lado, tomando en cuenta que las resistencias R2 y R4 estn en serie y a su vez en paralelo con R3 y todo este conjunto en serie con R1, la resistencia equivalente del circuito est dad por:

(19)

Finalmente, la resistencia equivalente de la combinacin serie paralelo que estamos tratando, puede tambin calcularse aplicando la ley de Ohm a todo el circuito.

(20)

Anlisis de Errores.

Error en la medida de la Resistencia Equivalente.-

Por propagacin de errores:

(21)

En laboratorio se han medido:

;

Error en las medidas del circuito en Serie.-

V = V1 + V2 + V3 + V4(22)

Del laboratorio:

; ; ;

Estas expresiones en la ecuacin (22):

Si las medidas se efectuaron con el mismo instrumento:

Ev1 = Ev2 = Ev3 = Ev4 = Ev

Luego:

(23)

Error en las medidas del circuito en paralelo.-

i = i1 + i2 + i3 +i4(24)

Del laboratorio:

; ; ;

Estas expresiones en la ecuacin (24):

Si las medidas fueron hechas con el mismo instrumento:

Ei1 = Ei2 = Ei3 = Ei4 = Ei

Luego:

(25)3. Materiales y procedimiento3.1. Materiales Tablero de resistencias. Cables de conexin Voltmetro Ampermetro Tester Fuente de voltaje.3.2. Procedimiento3.2.1. Ley de los nudos Mediante el cdigo de colores, determinamos el valor de cada resistencia y comparamos con el que proporciono el tester. Anotamos el valor con su respectivo error. Armamos el circuito de la figura, pedimos la autorizacin del docente o ayudante antes de encender la fuente de voltaje. Medimos las intensidades de corriente I, I1, I2, I3, I4 con sus respectivos errores colocando el ampermetro en las posiciones mostradas en la figura. Medimos el voltaje que entrega la fuente con su respectivo error.3.2.2. Ley de mallas Conectamos el circuito de la figura, luego pedimos la autorizacin del docente para encender la fuente. Medimos el voltaje que entrega la fuente y las cadas de tensin en cada resistencia colocando el voltmetro en Las distintas posiciones como se muestra en la figura. Medimos la intensidad de corriente que se suministra al circuito con su respectivo error.

4. Datos

Circuito en Serie.

d.d.p. suministrada por la fuente:5,7 0,01 V

Intensidad de corriente suministrada:1,9 0.1 mA

Resistencia equivalente(tester):4,00 0.01 K

RtesterKV Ev

R10,4490,309 0.01

R20,01750,0116 0.01

R30,5480,380 0.01

2,245,00 0.01

Circuito en Paralelo.

d.d.p. suministrada por la fuente:9,00 0,01 V

Intensidad de corriente suministrada:23,6 0.1 mA

Resistencia equivalente(tester):4,00 0.01 K

RtesterKi Ei mA

R10,4491 0.1

R20,01750,9 0.1

R30,5481,1 0.1

2,248,3 0.1

Circuito combinado.

d.d.p. suministrada por la fuente:9,02 0,01 V

Intensidad de corriente suministrada:3,4 0.1 mA

Resistencia equivalente(tester):2,59 0.01 K

RtesterKi Ei A

R10,4490,485 0.1

R20,01750,015 0.1

R30,5480,003 0.1

2,240.002 0.1

5. Clculos.

a. Circuito en Serie.i. Mediante la ecuacin (4), y empleando los valores medidos de la tensin suministrada por la fuente y las caidas de tensin en cada resistencia, verifique la ley de Kirchoff.

V = i Req = V1 + V2 + V3+ = i ( R1 + R2 + R3 + )

Para el caso de nuestro experimento, se tiene:i = 1,9 mAV1= i R1 = 0,309VV2= i R2 = 0, 0118 VV3= i R3 = 0,380V

=i=5V

Entonces, reemplazando en la frmula:V = (0,309+0,0118+0,380+5)VV=5,64VSi se compara este valor obtenido por la Ley de Kirchoff con el obtenido mediante medicin directa con el tester (5,64V) ; se puede observar un error prcticamente despreciable, como se muestra a continuacin:

Hallamos primero la relacin porcentual:

Luego el error porcentual ser:

Ep = 100% - Rel.Ep = 100% - 98,94%

Ep = 0,33%

Si referimos este error a la cantidad ideal hallada por la Ley de Kirchoff, diramos entonces que se tiene un 0,33% de exceso con relaci{on a la medida confiable o real (hecha con un instrumento de precisin como el tester). Este error como ya se dijo es prcticamente despreciable dentro de los lmites estndar manejados en laboratorio.ii. Determine la resistencia equivalente de la conexin en serie y su error mediante la ecuacin (5).

Req = R1 + R2 + R3+

Para el caso del experimeto realizado:

R1 = 0,449K 0.01 KR2 = 17,5 0,01 R3 = 0,548 K 0,01 K

=2,24 K 0,01 KCalculando Req:

Req = 0,449 + 17,5 + 0,548+2,24 K

Req = 3,25 KComo todas las medidas se hicieron con el mismo instrumento, el error de Req se calcula as:

Req = (R1 + R2 + R3) (3ER)

Donde:EReq = 3ER

Para nuestr caso:ER = 0.01 KEntonces Req ser:EReq = 0,03 K

iii. Determine la resistencia equivalente del circuito en serie y su error mediante la ecuacin (6).

Para nuestro experimento:V = 5,7 V 0,01Vi = 1,9 mA 0,1 mA

Calculando Req:

Req = 3 KY su error vendr dado por:

Calculando el error se tendr:

EReq = 0,163 K

b. Circuito en Paralelo.

i. Mediante la ecuacin (10), verifique la primera Ley de Kirchoff. Para tal efecto, emplense los valores medidos de la corriente suministrada por la fuente y las corrientes que circulan por cada resistencia.

i = i1 + i2 + i3 +Para el caso de nuestro experimento, se tiene:

i1= 1 mAi2= 0,9 mAi3= 1,1 mA

=8,3mAEntonces, reemplazando en la frmula:

i = 1 mA + 0,9 mA + 1,1 mA+8,3mA

i = 11,3 mAComparando con la cantidad medida directamente con el tester (23,6 mA) y sacando el correspondiente error, se puede observar que el mismo es, como en el anterior caso muy pequeo, hacindose prcticamente despreciable:

Ep = 100% - Rel.Ep = 100% - 99,12%Ep = 0,877%Refirindonos a la magnitud hallada analticamente, se infiere un error del 0,29 % por defecto. El cual como ya ha sido expuesto es despreciable.

ii. Determine la Resistencia equivalente de la conexin en paralelo y su error mediante la ecuacin (11)

Para el caso del experimento realizado:R1 = 0,449K 0.01 KR3 = 0,548 K 0,01 K

R2 = 17,5 0,01 =2,24 K 0,01 KCalculando Req:

Req = 0,017 KEl error vendr dado por:

El error ser:

EReq = 0.01 K

iii. Determine la Resistencia equivalente del circuito en paralelo y su error mediante la ecuacin (12)

Para nuestro experimento:

V = 9,00 V 0,01Vi = 11,3 mA 0,1 mACalculando Req:

Req = 0,796 KY su error vendr dado por:

Calculando el error se tendr:

EReq = 0,00017K

c. Circuito Combinado.

i. Mediante las ecuaciones (16), (17) y (18), y los valores medidos de la tensin suministrada por la fuente y las resistencias medidas con el tester, determine las corrientes que circulan por cada resistencia.

Se tiene primeramente:

Seguidamente calculamos:

i1 = 3,42 mA

Y tambin calculamos:

i2 = 0,87 mA

Una vez calculadas i1 e i2 se procede al reemplazo en la ecuacin (16):i3 = i1 i2

i3 = 3,42 mA 0,87 mAi3 = 2,55 mA

ii. Compare los valores de i1, i2 e i3 calculados en el anterior paso con los medidos directamente con el Ampermetro. Comente sobre las diferencias.

Tabla comparativa

iTesterClculos

13,4 mA3,42 mA

20,9 mA0,87 mA

32,5 mA2,55 mA

Se observa claramente una diferencia casi mnima en todos los casos. Esto dice de un buen trabajo en laboratorio y una buena toma de medidas. Tambin se puede acotar que los buenos resultados son tambin una consecuencia de la familiarizacin con el equipo de laboratorio.iii. Determine la resistencia equivalente de la conexin serie paralelo y su error mediante la ecuacin (19)

Haciendo el clculo correspondiente:

Req = 2,63 KLuego, por diferenciacin logartmica, el error vendr dado por:

Y el error ser:EReq = 0,02 Kiv. Determine la resistencia equivalente del circuito serie paralelo y su error mediante la ecuacin (20)

Para nuestro experimento:V = 9,02 V 0,01Vi = 3,4 mA 0,1 mACalculando Req:

Req = 2,65 KY su error vendr dado por:

Calculando el error se tendr:

EReq = 0,08 K

v. Calcule la potencia total disipada en el circuito.Se tomara como ecuacin base:

P = iR

Primero calculamos la potencia para cada resistencia:

P1 = (3,4 mA)2 * 2,18 K = 0,25 WP2 = (0,9 mA)2 * 1,78 K = 0,001 WP3 = (2,5 mA)2 * 0,61 K = 0,004 WAhora se calcula la potencia total:PT = P1 + P2 + P3PT = 0,03 W6. Conclusiones.

Al final de la practica y analizando todo lo sucedido durante esta, concluimos: Se pudo verificar exitosamente las leyes de Kirchoff, ya que los valores obtenidos, tanto terica como experimentalmente, de las intensidades, resistencias, potencia, etc. se asemejan bastante unos de otros, y queda la satisfaccin de mencionar que se realizo un exitoso laboratorio. Fue interesante el armado de los diferentes sistemas y adems tambin utilizamos las leyes de Ohm A pesar de todo el laboratorio fue un poco largo, pero eso no nos debe importar pues la ciencia necesita de mucha paciencia. Se lograron alcanzar todos los objetivos planteados al principio de laboratorio incluso nos alcanz el tiempo no solo para verificar las dos leyes de Kirchoff sino tambin para realizar la parte aplicativa propuesta en la gua.

7. Bibliografa.

JHON H. WATT, Manual del operador electricista REVERTE HINKI Manual de TESTER HUISAKA WHILE, ESTREETER, Fsica Electricidad, Mac Graw Hill. FEBO FLORES Gua de Laboratorio de Fsica, Fac. de ingeniera