Práctica 5 comunicaciones
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BENEMÉRITA UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE PUEBLA
Facultad de Ciencias de la Electrónica
Practica 5. Generación de una función f(t) a partir de su expresión
en series de Fourier. Sistemas de Comunicación
DR. Richard Torrealba Meléndez
23-junio-2015 Verano 2015
Equipo :
Martínez Lugao Idvard Francisco Mendoza Morales Noé
Pastor Torres Eduardo
Practica 5. Generación de una función f(t) a partir de su expresión en series de Fourier.
Sistemas de Comunicación 1
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Índice Justificación ............................................................................................................................ 3
Objetivo .................................................................................................................................. 3
Marco Teórico ......................................................................................................................... 3
Desarrollo matemático ........................................................................................................... 6
Implementación ................................................................................................................ 11
Resultados ..................................................................................................................... 11
Conclusiones ......................................................................................................................... 14
Bibliografía ............................................................................................................................ 14
Practica 5. Generación de una función f(t) a partir de su expresión en series de Fourier.
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Justificación
Durante la práctica se hará uso de la teoría vista en clase para la generación de una función
a partir de su expresión en series de Fourier, esto logrando a partir de la suma de varias
señales.
Objetivo
Generar una función f(t) a partir de su expresión en series de Fourier.
Marco Teórico
Serie de Fourier
Las Series de trigonométricas de Fourier, o simplemente series de Fourier fueron
desarrolladas por el matemático francés Jean-Baptiste Joseph Fourier (21 de marzo de 1768
en Auxerre - 16 de mayo de 1830 en Paris).
La idea que subyace en las series de Fourier es la descomposición de una señal periódica en
términos de señales periódicas básicas (senos y cosenos) cuyas frecuencias son múltiplos
de la señal original.
La descomposición es un proceso fundamental en el área científica en general ya que
permite el análisis de las propiedades y la síntesis de los objetos o fenómenos.
La serie de Fourier de una función periódica f(x) de periodo T, también conocida como señal,
definida en un intervalo de longitud T está dada por la ecuación 1
Ecuación 1: expresión de serie de Fourier
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Además, de la ecuación 1 podemos definir las siguientes variables:
*Sumas parciales:
Para la serie de Fourier de una función f(x) periódica definida en un intervalo de longitud T
la k-´esima suma parcial, representada por Sk(x) está dada por:
ec.2
Generador de señales
Un generador de señales, de funciones o de formas de onda es un dispositivo electrónico
de laboratorio que genera patrones de señales periódicas o no periódicas tanto analógicas
como digitales. Se emplea normalmente en el diseño, prueba y reparación de dispositivos
electrónicos.
Es un instrumento versátil que genera diferentes formas de onda cuyas frecuencias son
ajustables en un amplio rango. Las salidas más frecuentes son ondas sinusoidales,
triangulares, cuadradas y diente de sierra. Las frecuencias de estas ondas pueden ser
ajustadas desde una fracción de hertz hasta varios cientos de kilo hertz.
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Un generador de funciones puede fijar la fase de un generador de funciones con una
armónica de una onda sinusoidal del otro generador. Mediante el ajuste de fase y amplitud
de las armónicas permite general casi cualquier onda obteniendo la suma de la frecuencia
fundamental generada por un generador de funciones de los instrumentos y la armónica
generada por el otro. El generador de funciones también se puede fijar en fase a una
frecuencia estándar, con lo que todas las ondas de salida generadas tendrán la exactitud y
estabilidad en frecuencia de la fuente estándar.
Sumador inversor
Un sumador inversor tiene múltiples entradas por el pin inversor que se suman y se
invierten. El vo estará dado por cada entrada multiplicada por su peso, que a su vez estará
dado por la división de RF sobre la resistencia que presente cada entrada. En esta
configuración, cada entrada tiene su propia impedancia de entrada que será la misma
resistencia de entrada que presente, es decir la entrada v1 presentara una impedancia de
entrada R1, y así también las demás entradas, solo hay una impedancia de salida que está
en el orden de los mili Ohms o menos.
Figura 1. Sumador inversor
Para hallar vo se realiza superposición. Se hallara el peso que genere una entrada a la señal
de salida, y luego se generalizara para todas las entradas. En vista que la diferencia de
potencial entre el pin inversor y el pin no inversor es cero, la salida de una entrada j solo
será afectada por su respectiva resistencia de entrada y la RF, las resistencias de las entradas
que fueron apagadas no afectan en nada.
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Ecuación 3: voltaje de salida en función del voltaje de entrada
Para el balanceo del circuito (eliminar corriente de bias según la teoría de amplificadores
operacionales) se debe colocar una resistencia en el pin no inversor de valor igual al paralelo
de todas las resistencias de entrada y RF.
Ecuación 4: Resistencia de bias en función de ganancias en nodo inversor
Figura 2. Sumador inversor con resistencia de eliminación de corriente de bias.
Desarrollo matemático Para la implementación de la práctica decidimos generar la señal cuadrada denotada en el
ejercicio 1.29 del libro de HSU que dice lo siguiente:
Encontrar la serie de Fourier para la función f(t) definida por f(t) = 1 para -pi < t < 0, f(t) = 0 para 0 < t <pi, y se cumple que f(t + 2_) = f(t).
Una vez hecho el desarrollo del ejercicio, se obtiene la serie de Fourier denotada por la
ecuación 5. El desarrollo del ejercicio lo encuentra en el documento anexo “tarea 2 -
Series de Fourier”.
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𝒇(𝒕) =𝟏
𝟐−∑
𝟏
𝒏𝝅(𝟏 − (−𝟏)𝒏)𝒔𝒆𝒏(𝒏𝒕)
∞
𝒏=𝟏
Ecuación 5: serie de Fourier de señal cuadrada
Para la implementación del circuito, debemos definir ciertos parámetros que conformarán
la nueva señal, para ello recurrimos a el código implementado en Matlab que hace la suma
se Fourier que genera nuestra f(t) asignando el número de armónicos deseados, de ello
podemos observar, en la figura 3, que a partir de 5 señales armónicas podemos generar una
señal “aceptable” esto en cuestiones prácticas.
Figura 3: Sumatoria de Fourier de 5 señales armónicas y una fundamental
Por otro lado, ya habiendo decidido qué señales se implementarán, iniciamos el diseño del
amplificador operacional en su configuración sumador inversor, de ello sabemos que
tenemos un voltaje de offset o DC (según la serie de Fourier), una señal fundamental, y las
5 señales armónicas, en total 7 señales a sumar.
Ahora haces el diseño del circuito, comenzamos definiendo las ganancias en la tabla 1,
donde tendremos tipo de señal y valor de magnitud según su serie de Fourier. Cabe
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recordar que el valor de magnitud está dado por la serie de Fourier como 2/n(pi), además,
haciendo un pequeño análisis al resultado, la suma sólo es válida para valor n impar debido
al factor (-1)n. Los valores implementados se han modificado por un factor de pi, además de
que la señal será dada con un voltaje medio en cero, esto por cuestiones prácticas.
Número
de señal
Tipo de señal Valor de señal
ideal
1 DC/obset ½
2 Fundamental 2/pi
3 1er armónico 2/3pi
4 2do armónico 2/5pi
5 3er armónico 2/7pi
6 4to armónico 2/9pi
7 5to armónico 2/11pi
Tabla 1: valores correspondientes a la serie de Fourier a implementar.
Se propone, acorde a la teoría del amplificador operacional, una resistencia de referencia
Rf, misma que cumpla con un valor múltiplo de resistencia, para ello recurrimos a la tabla 2
donde se hacen los cálculos pertinentes, finalmente se calcula la resistencia de Bias por
medio de la resistencia equivalente de las demás y ésta se concluye por ser 4.6K ohms.
Valor N Ganancia deseada
Múltiplo Resistencia referencia Valor resistencia entrada
0.00 1 100 10000 10000
1.00 0.31830914 31.8309142 15708
3.00 0.10610305 10.6103047 47124
5.00 0.06366183 6.36618284 78540
7.00 0.04547273 4.54727345 109956
9.00 0.03536768 3.53676824 141372
11.00 0.02893719 2.89371947 172788
Tabla 2: cálculo de resistencias a implementar
Software utilizado
En esta práctica se utilizaron 2 software: Multisim 11.0 y Scope; el primero
implementado como parte de la simulación del circuito (veamos si nos va a servir o no dicho
diseño) y el segundo nos servirá para sustituir los generadores de señal en el diseño físico
por su equivalente, esto a partir de una computadora.
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Multisim 11.0
Se utilizó para la tarea de simular lo planteado como problema.
De acuerdo con los cálculos que se realizaron se colocan los generadores de
señales y las resistencias calculadas como entradas para el OpAmp con configuración
sumador inversor. De ello se genera el diagrama eléctrico implementado en la figura
4.
Figura 4. Simulación en multisim
Seleccionaremos con doble click el osciloscopio en el simulador y se abrirá una nueva
ventana que nos permitirá ver qué pasa en el osciloscopio, como se ilustra en la figura 5.
Figura 5. Osciloscopio de multisim.
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Como se observó de varias señales sinusoidales ahora tenemos una señal cuadrada, o en el
límite eso parece.
Scope
Este software sirve para generar una señal desde una computadora por el puerto
de audio.
Es útil en caso de que no sea de fácil acceso conseguir generadores de señales.
Figura 6. Ventana de Scope para configurar como generador de señales.
Para configurar Scope como generador de señales se tendrá que verificar los
siguientes parámetros, según la figura 6:
*Seleccionar como generador de señal: “Signal generator” (marcado de color rosa).
*Seleccionar canal de la señal: “chanel 1” (marcado de color morado) para los Jack
de un canal conseguidos en el centro de reciclado, caso contrario, canal 2
preferentemente.
*Seleccionar voltaje de amplitud: (marcado de color amarillo).
*Seleccionar la frecuencia de la señal: “Hz” (marcado de color verde).
*Seleccionar la fase de la señal: “Phase” (marcado de color azul).
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Implementación
Se armara el circuito como la simulación en multisim en una breadboard.
Figura 7. Implementación física del circuito.
Al principio de cada una de las 5 resistencias de señal se conectara un generador en este
caso gracias a la aplicación de scope se hara con computadoras portátiles.
Como se muestra a continuación en la figura 8.
Figura 8: Utilización de computadoras portátiles como fuente de señales sinusoidales.
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Se utlizará una fuente simétrica de 12 volts para alimentar el OpAmp. Para dar precisión al
circuito, hacemos medición de la fuente de voltaje con un multímetro, ya que se cuenta con
errores en el medidor de la fuente de voltaje.
Figura 9 Utilización de fuente simétrica para alimentar al OpAmp.
Análisis y Resultados
Los resultados obtenidos fueron los esperados a partir de varias señales sinusoidales
obtenidas para generar una señal cuadrada, se crearon a partir de la serie de Fourier. Cabe
mencionar que hay inconvenientes en el resultado, esto comparado con lo generado en la
simulación, se detalla en un momento las circunstancias.
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Figura 10. Resultados prácticos.
Cabe mencionar que hay distorsión de la señal, no es lo esperado, y esto se debe a diversos
factores, uno de ellos es la cantidad de ruido que meten los cables largos de los generadores
además de los puentes, se podría mejorar en un circuito impreso y puntas especiales; La
segunda razón se debe al desfase existente entre las computadores, esto se debe a que no
iniciaron su funcionamiento en un tiempo t0, una posible solución es el diseño de un
software que nos permita el desfase de dicha señal de un modo fácil, con Scope se puede
hacer, sin embardo éste se limita al canal 2, mismo que, lamentablemente, no teníamos
acceso por la compatibilidad de Hardware. No obstante, también se puede mejorar la señal
mandando más señales básicas, más armónicos, esto debido a que mientras mayor sea el
número de señales cada vez se acerca a la señal ideal, la cuadrada.
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Conclusiones La serie de Fourier tiene diversas aplicaciones en la electrónica, además, se logra conocer
el diseño de señales complejas en base de señales más simples. Una de las aplicaciones a
las que referimos es al generador de señales, por ejemplo, donde la señal que emite se logra
a partir de esta teoría.
Con las series de Fourier, damos un paso adelante a la comprensión de la trasformada de
Fourier, misma que abre un gran panorama a la teoría de comunicaciones, y con ella lograr
una etapa de emisión de señales a nuestros alrededores.
Bibliografía http://www.emis.de/journals/DM/v5/art6.pdf (21-06-2015)
http://cb.mty.itesm.mx/ma3002/materiales/ma3002-series-fourier.pdf (21-06-2015)
http://www.forosdeelectronica.com/tutoriales/generador.htm (21-06-2015)
https://sites.google.com/site/electronicabasicayavanzada/home/amplificador-
operacional/sumador-inversor (21-06-2015)