PROGRESIÓN ARITMÉTICA

Cuarto año de Educación Secundaria Alumna___________________________ Grado y Sección ___________________

1. Progresión Aritmética:

a. Ley de formación: son aquellas en las que cada término, excepto el primero, se obtiene sumando una cantidad fija, llamada diferencia, o razón, al inmediato anterior, así

t2=t1+r ; ⋯ ; tn=tn−1+r .

b. Propiedades o características de las P.A.

- La diferencia, en valor absoluto, entre dos términos consecutivos cualesquiera es constante e igual a la razón.

Ejemplo: t1=1 , t2=8 , t3=15 , t4=22 , t5=29 , t6=36 donde podemos comprobar que t 4−t 3=7 , t6−t 5=7 , etc.

- La suma de términos equidistantes es constante e igual a la suma de los extremos.

Ejemplo:

Del ejemplo anterior, podemos observar

que t1+t6=37

, y que t2+t5=37

, y que

t3+t4=37.

2. Término general: podemos poner, en general, que: t2=t1+r t3=t2+r=( t1+r )+r=t1+2r

,

t4=t3+r=(t1+2 r )+r=t1+3 r y siguiendo el

principio o ley de inducción, llegaríamos a que

en el caso general tn=t1+ (n−1 )⋅r

, que es el término general. Ejemplos:

1 ; 8 ; 15 ; 22 ; ⋯⋯ ; 1+( n-1)⋅7 , o sea, tn=1+7⋅(n−1 )

2 ; 5 ; 8 ; 11 ; ⋯⋯ ; 2+ (n-1 )⋅3 , o sea, tn=2+3⋅(n−1 )

3. Interpolación en una progresión aritmética.- Interpolar p-medios aritméticos, o medios diferenciales, entre otros dos números, a y b dados, consiste en buscar p-números que estén en progresión aritmética con ellos, y que estén comprendidos entre ellos. Para ello debemos proceder en la siguiente forma:

Primero hallamos la diferencia r en valor absoluto entre los números dados, que van a ser los extremos de la progresión.

En segundo lugar dividimos dicha diferencia entre el número de términos que queremos interpolar más uno, ese valor, r, será la razón de la progresión.

Obtendremos los términos pedidos sumando sucesivamente la razón al primero, luego al número así obtenido, y así hasta completar el número de términos pedidos.

Ejemplo 1: interpolar cinco términos, o medios aritméticos, o números, entre 12 y 16:

R=|16−12|=4⇒r=4

6=2

3

t1=12+ 2

3=38

3 ,t2=

403 ,t 3=

423 ,

t 4=443 y

t 5=463

son los números pedidos, ya que el siguiente en la progresión que hemos generado, sería

t6=483

=16, que es el extremo que nos han

dado.

Ejemplo 02: interpolar cuatro números entre 1 y 36:

R=|1−36|=|−35|=35⇒ r=35

5=7

t 1=1+7=8, t2=8+7=15

, t3=15+7=22

, t4=22+7=29 son los números pedidos, ya que

el siguiente sería t6=29+7=36

, que es el número que me dieron de referencia.

4. Tipos de progresiones aritméticas:

a. Limitadas, cuando tienen un número finito de términos.

b. Ilimitadas, cuando tienen infinitos términos.c. Crecientes, cuando un término cualquiera es

siempre mayor que todos los que le preceden, la razón es positiva.

d. Decrecientes, cuando un término cualquiera es siempre menor que todos los que le preceden, la razón es negativa.

5. Suma de todos los términos de una progresión aritmética: para poder realizar la suma y que esta sea una cantidad razonable, finita, es necesario que la progresión sea limitada.Para obtener la expresión que nos permita calcular la suma de modo sencillo nos basaremos en la segunda propiedad de las progresiones aritméticas, por ejemplo:

t1=1 , t2=8 , t3=15 , t 4=22 , t5=29 , t6=36,

la suma de sus términos sería:

S=∑i=1

6

ai=a1+a2+a3+a4+a5+a6=1+8+15+22+29+36

1

donde el símbolo (sigma mayúscula) representa, matemáticamente, el sumatorio de los elementos indicados como ai, desde el número indicado debajo como i = 1, hasta el indicado arriba, en este caso.

a) Podíamos haber puesto también la suma inversa, es decir, de mayor a menor, S=36+29+22+15+8+1 , y si colocamos cada una de ellas una encima de la otra, y sumamos miembro a miembro, tendríamos:

S=1+8+15+22+29+36S=36+29+22+15+8+1

2S=37+37+37+37+37+37

Ya que la suma de términos equidistantes de los extremos es constante e igual a la suma de

éstos, con lo que S=37

2⋅6

, que es el resultado final, es decir 111, compruébalo haciendo la su-ma término a término.

b) Para una limitada pero más genérica

2 ; 5 ; 8 ; ⋯ ; 2+( k−1 )⋅3 , ya que

|(2+ (k−1 )⋅3 )−(2+ (k−2 )⋅3 )|=|−3+6|=3 , es la diferencia de la progresión, tendríamos:

S=2+5+8+⋯+(2+( k−2 )⋅3 )+(2+(k−1 )⋅3 )S=( 2+ (k−1 )⋅3 )+(2+(k−2 )⋅3 )+⋯+5+2

2S=(2+2+ (k−1 )⋅3 )+(5+2+( k−2 )⋅3 )+⋯+ (2+(k−2 )⋅3+5 )+ (2+ (k−1 )⋅3+2 )

Si realizamos las operaciones encerradas entre los

paréntesis, todas dan como resultado 1+3⋅k , que

también podemos escribir como 2+(2+3⋅(k−1 ) ) ,

o lo que es también lo mismo, t1+t k , por la

propiedad segunda de las progresiones aritméticas.Como hay k-sumandos iguales, nos queda por

último que la suma será S=t1+t k

2⋅k

.

c) Expresión general de la suma:

S=t1+tn

2⋅n

, siendo n el número de términos de la progresión.

6. Cantidad de cifras empleadas en una Progresión Aritmética.

Para calcular el número de cifras que se utilizan en una progresión aritmética, se siguen los siguientes pasos:

Paso 1: Se debe conocer el primer y el último término de la progresión, para formar grupos que tengan la misma cantidad de cifras.

Paso 2: Se calcula el número de términos, que hay en cada grupo formado.

Paso 3: Se calcula el número de cifras, que hay en cada grupo; así por ejemplo:

20 números de 2 cifras, emplean: 20 x 2 = 40 cifras80 número de 3 cifras, emplean: 80 x 3 = 240 cifras

Paso 4: se suman los resultados de cada gripo y obtenemos el total de cifras.

Ejemplo:

* ¿Cuántas cifras se emplean en la siguiente P.A.?

40; 42; 44; 46; ………; 220

Resolución:

* Paso 1:

40; 42; 44; 46; ....; 98........ números de 2 cifras.

100; 102; 104; 106; ....; 220...... número de 3 cifras

* Paso 2:

N° de términos de 2 cifras =

98−402

+1=30 términos

N° de términos de 3 cifras

220−1002

+1=61= términos

* Paso 3:30 cifras términos de dos cifras 30 x 2 =

60 cifras61 términos de tres cifras 61 x 3 = 183

cifras

* Paso 4:Total de cifras: 60 + 183 = 243 cifras

Un caso particular de progresión aritmética, es la sucesión de números enteros positivos:1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; ..........; N

Para calcular cuántas cifras se utilizan en este tipo particular de progresiones, emplearemos la siguiente fórmula:

Cantidad de cifras =

Donde: “k” es el número de cifras de “N”.

* Ejemplo:

¿Cuántas cifras se emplean en la siguiente enumeración?1; 2; 3; 4; ........; 220

* Resolución:

Cantidad de cifras = (220 + 1).3 – 111 = 552 cifras.

PROBLEMAS DE APLICACIÓN

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NIVEL I

1. Si el primer término de una P.A. es 8 y la diferencia es 4, hallar el término de lugar 25.

a) 100 b) 101 c) 102 d) 103 e) 104

2. Si el primer término de una P.A es -12 y la diferencia es 7. Hallar el término de lugar nonagésimo.

a) 601 b) 604 c) 611 d) 618 e) 625

3. Hallar la diferencia o razón de una progresión aritmética si el décimo término es 30 y el término 22 es 60.

a) 1,5 b) 1,8 c) 2,0 d) 2,5 e) 2,8

4. ¿Cuántos múltiplos de 4 hay entre 90 y 245?

a) 39 b) 40 c) 41 d) 42 e) 43

5. Calcular la suma de los 35 primeros términos de la progresión aritmética 58, 52, 46, …

a)1240 b)1540 c)-1240 d)-1540 e)-1640

6. Carla se inscribe en el gimnasio. Su instructor le sugiere empezar con una sesión de 30 minutos y a partir de ahí aumentar 5 minutos cada día. ¿Cuánto tiempo de ejercicio habrá acumulado luego de 15 días?

a) 955 min b) 960 min c) 965 min d) 970 min e) 975 min

7. Identifica aquellas sucesiones de números que son progresiones aritméticas. Justifica tu respuesta e indica su diferencia.

a) 17; 13; 9; 5; …b) 6; 9; 13; 18; 24; …c) 3,5 ; 4,7 ; 5,9 ; …d) -14; -9; -3; 4; …

8. Escribe una progresión aritmética de 6 términos si: a) t1= 29 y r = 7b) t2 = 5 y r = -7c) t2 = 16 y a5 = 2,5d) t3 = 10 y t6 = 15,1

9. Resuelve los siguientes casos respecto a una progresión aritmética.

a) t1= 7 y r = 3 , obtén el valor de t100.b) t1 = 8 y r = 5, obtén el valor de t200.c) t2 = 17 y r = -11 ; obtén el valor de t77.

10. En cada caso, calcula lo que se pide.a) El undécimo término de 4; 9; 14; 19; 24; …b) El total de términos en 5; 11; 17; … 149.c) El término central de la progresión

aritmética 5; 12; 19; …; 306. d) La suma de los 30 primeros términos de una

progresión aritmética si el tercero es 15 y el octavo es 35.

11. En una progresión aritmética, el término que ocupa el lugar 12 es 38 y la diferencia es 3. Halla el primer término.

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

12. En una progresión aritmética, t40=120 y t20=40. ¿Cuál es el primer término de la progresión aritmética?

a) 36 b) -36 c) 35 d) -35 e)32

13. En una progresión aritmética, t35=126 y t15=36. ¿Cuál es el primer término de la progresión aritmética?

a) 26 b) -26 c) 27 d) -27 e)3

14. ¿Cuántos múltiplos de 7 hay entre 60 y 260?

a) 26 b) 27 c) 28 d) 29 e)30

15. Lucía ahorró S/. 500 de su primer sueldo. Si a partir de entonces ahorra cada mes S/. 40 más de lo que ahorra el mes anterior, ¿Cuánto habrá ahorrado al término de un año?

a) S/.8 640 b) S/. 8650 c) S/.8750 d) S/.9 770 e) S/.8 460

16. En pareja, analicen el patrón de construcción y determinen los términos centrales x, y, z.

17. La suma de los 48 primeros términos de una progresión aritmética es 3 816. Si el último término es 150, halla el primer término y la diferencia de la progresión.

a) 5 y 6 b) 3 y 8 c) 9 y 6 d) 9 y 3 e) 6 y 3

18. La suma de los 20 primero términos de una P. A. es 980. Si el último término es 87, hallar el primer término y la diferencia común.

a) 11 y 6 b) 13 y 8 c) 12 y 6 d) 11 y 4 e) 11 y 3

19. El 30 de diciembre Tomás le pide a su jefe un aumento de sueldo de S/.750 a S/.1 000. Su jefe le propone aumentarle S/.40 cada mes durante un año. Tomás evaluará su propuesta y la del jefe. ¿Cuál le convendrá?; ¿Por qué?

a) La del jefe, 130 soles.b) Cualquiera de las dos, no gana ni pierdec) La de él, 130 soles.d) La del jefe, 120 soles.e) La de él, 120 soles.

20. Un oficial al mando de 5 050 soldados les ordena formarse en una disposición triangular, de manera que la primera fila tenga un soldado, la segunda, dos; la tercera, tres y así sucesivamente. ¿Cuántas filas tendrá la formación?

3

a) 100 b) 101 c) 102 d) 103 e) 104

NIVEL II

1. En una fábrica de dulces se elaboran, el primer día, 97 kg. de dulces. Determina cuántos kilogramos de dulces se elaboraron el día 25 si se sabe que la producción aumentó 5 kg por día.

a) 207kg b) 307 kg c) 217 kg d) 117 kg e) 317 kg

2. ¿Cuántos términos tiene la P.A. 11; 17; …; 503?a) 68 b) 83 c) 56 d) 73 e)93

3. Don Fermín deposita S/. 3 200 en la caja municipal de ahorro. Por el primer mes recibirá S/. 73 y por cada mes adicional, recibirá 5 soles más respecto al mes anterior. ¿Cuánto recibirá el cuarto mes?, ¿Cuánto recibirá en total si deja el dinero por un año?

a) S/. 88 y S/. 1 206b) S/. 88 y S/. 1 216c) S/. 98 y S/. 1 206d) S/. 86 y S/. 1 208e) S/. 98 y S/. 1 208

4. Determinar el número de términos de la siguiente P.A.:

23(5); 32(5); 41(5);; ......; 212(5)

a) 11 b) 12 c) 13 d) 10 e) 15

5. ¿Cuántos números pares hay desde 31(5)

hasta 243(6)?

a) 43 b) 51 c) 42 d) 53 e) 40

6. ¿Cuántos números múltiplos de 7 hay entre 43(7) y 1214(9)?

a) 110 b) 120 c) 135 d) 125 e) 128

7. Hallar “m”, si la siguiente progresión aritmética

tiene 137 términos.

a) 3 b) 5 c) 4 d) 6 e) 8

8. ¿Cuántos términos tiene la siguiente progresión aritmética?

a) 34 b) 33 c) 35 d) 36 e) 32

9. ¿Cuántos términos tiene la siguiente progresión aritmética?

a) 76 b) 75 c) 74 d) 78 e) 80

10. ¿Cuántas cifras se emplean al escribir cada una de las siguientes progresiones aritméticas?

a) 24; 27; 30; ........................; 300b) 67; 72; 77; ........................; 952c) 165; 175; 185; ..................; 1565

11. En cada una de las siguientes progresiones se indica el número de términos que tiene, hallar cuántas cifras se utilizaron en cada caso.

a) 17; 22; 27; ....................; 70 términosb) 35; 42; 49; ....................; 100 términosc) 234; 230; 226; ..............; 50 términos

12. ¿Cuántas cifras se emplean al numerar un libro de 420 hojas?

a) 2142 b) 2 412 c) 2 400 d) 2 512 e) 2 416

13. Al numerar un libro se empleó 714 cifras Cuántas páginas tiene el libro?

a) 284 b) 295 c) 275 d) 280 e) 185

14. Al numerar un libro se utilizó 834 cifras ¿Cuántas páginas de tres cifras tiene e libro?

a) 215 b) 315 c) 225 d) 375 e) 275

15. ¿Cuántos términos impares hay entre 312(4) y 312(7)?

a) 50 b) 51 c) 52 d) 180 e) 200

DATOS CIENTÍFICOS

Como ya todos sabemos, el Sol está constantemente emanando rayos de luz en todas direcciones, y, considerando que esta luz viaja en el espacio a una velocidad de 300 000 Km/s, se podría calcular, de forma aproximada, cuánto tarda la luz solar en llegar a La Tierra.

En concreto, luego de hacer los cálculos y, teniendo en cuenta que la distancia de el Sol a la Tierra es de casi 150 millones de kilómetros, se podría deducir que en total, la luz del Sol llega a la Tierra luego de 8 minutos y 19 segundos.De esta forma, se explica que sí un suceso está ocurriendo en estos momentos en el Sol, los terrestres podríamos verlo recién luego de 8 minutos y 19 segundos, ya que en ese tiempo llegarán los rayos de luz que traen la información correspondiente hacia la Tierra, para luego llegar a nuestros ojos.

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16. ¿Cuántos números de tres cifras tiene la siguiente progresión aritmética? 31; 36; 41; .......

a) 120 b) 140 c) 150 d) 180 e) 200

17. La diferencia de los términos de lugares 41 y 27 de una progresión aritmética creciente es 98. si el segundo término es 32, hallar el trigésimo segundo término.

a) 316 b) 242 c) 176 d) 352 e) 252

18. En una P.A. el t(27) es 180 y el t(54) es 342. hallar el término que ocupa el lugar 63.

a) 374 b) 418 c) 396 d) 386 e) 378

19. ¿Cuántos términos hay en la siguiente progresión aritmética?

a) 118 b) 132 c) 142 d) 152 e) 172

20. ¿Cuántos términos tiene la siguiente P.A.?

15(n); 21(n) ; 24(n) ; .....; 132(n)

a) 18 b) 21 c) 36 d) 42 e) 51

21. La cantidad de cifras empleadas en:

73; 78; 83; ......; 668, es:

a) 354 b) 195 c) 1106 d) 675 e) 560

22. Cuántas cifras se emplean en la secuencia: 39; 41;43; ....; 931?

a) 1862 b) 1294 c ) 1310 d) 1341 e) 1000

23. ¿Cuántos ceros inútiles hay en: 0001; 0002; 0003; 0004;...; 1000?

a) 1026 b) 2000 c) 1 107 d) 742 e) 1526

24. ¿Cuántas cifras se utilizaron para escribir todos los números impares desde 37 hasta 533.

a) 675 b) 704 c) 715 d) 730 e) 725

25. ¿Cuántas cifras se emplearon al numerar las 720 páginas de un diccionario?

a) 2 052 b) 1 556 c) 1876 d) 1726 e) 1708

Desafío:

26. Para embellecer un paseo recto, se coloca, a lo largo de su línea central, una fila de jardineras hexagonales, rodeadas de baldosas de la misma forma. Se desea saber el número de baldosas necesarias para colocar una hilera de 20 jardineras.

27. Hallar los ángulos de un cuadrilátero convexo, sabiendo que están en progresión aritmética, siendo r = 25º.

28. El cateto menor de un triángulo rectángulo mide 8 cm. Calcula los otros dos, sabiendo que los lados del triángulo forman una progresión aritmética.

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