Practica Dirigida Integral Multiple
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1
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERA Ciclo Acadmico : 2011-3 FACULTAD DE INGENIERA ELCTRICA Y ELECTRNICA Fecha: 14/02/12 DEPARTAMENTOS CIENCIAS BASICAS Duracin: 2 horas
CURSO: _MATEMATICA III_ COD. CURSO: MA133 M-N
TIPO DE PRUEBA: PRACTICA No. Ex. PARCIAL EX. FINAL PRACTICA DIRIGIDA
1. Determine , , / 1 2 , 0 2xy dxdy x y x y
2. Evalue , , / 1 2 , 0 2x y dxdy x y x y
.
3. Calcular , , / 1 2 , 0 2x y x dxdy x y x y
.
4. Calcular 2 , , / 1 2 , 0 2xy y dxdy x y xy x y
.
5. Determine 2 22 , , / 1 2 , 0 2x yx y dxdy x y y x y x
.
6. Calcular 2 2 22 , , / 1 , 0x yx y dxdy x y y x y x
.
7. Determine 2, , / 1x y x y dxdy x y x y
.
8. Determine 2 2
0, , / 0,1 ,x ye dxdy x y x y R
.
9. Encontrar , , / 2x y x y dxdy x y x y
10. Determine 2 2 21 0( 1) , , / 0,1 ,x y dxdy x y x y R
11. Determine / , , / 4 4 1x y x y dxdy x y x y
12. Determine 1 1
0 0
xdxdy
y
x x x
y y y
13. Encontrar el volumen encerrado por
2 2
2 2
4 ( 1) ( 1)
1 ( 1) ( 1)
5
z x y
x y
z
14. Usando el teorema de Pappus halle el volumen del solido al rotar la regin
y=3x, y= alrededor de y=4x
15. Demuestre que , ,E E
f x y dxdy f x y dxdy .
16. Encontrar 2 2 4 2 21( 1) , , / 16x y dxdy x y x y
.
17. Calcule 2 2 , , / 1 2, 4 , , 0 , 0x y dxdy x y xy y x y x x y
.
18. Calcule 2 2 2 25 , , / 0 , 4 16x y dxdy x y y x y
.
19. Determine el centrodie de una lamina delgada de densidad uniforme si
ocupa la regin
2 2( , ) / 0 , 1x t y x x y
-
2
20. Calcular 2 2 5/2( )x y dxdy
2 2( , ) / 1, 1x y x y x y
21. Calcule mediante una integral doble el rea de la regin limitada por:
2 2 , 2 20 , 0y x x y y
22. Cambiar el orden de integracin de las siguientes integrales:
2 2
( , )
0
xf x y dy dx
x
.
11
1 1
( , )
x
x
f x y dy dx
.
2/(cos )/2
0 0
( cos , )
sen
f r rsen dr d
.
2 cos
0 0
( cos , )
r
f r rsen dr d
23. Determine el centroide de una lamina delgada donde:
.
24. Mediante n cambio de variable, encontrar
25. Encuentre el volumen del solido encerrado por
2 24 , 6x y z z x y
26. Encontrar el volumen encerrado por
2 2 2 2 2 2 2( )x y z x y z
27. Calcular 2 2 2 2 2 2, ( , ) / 4 , 0, 0sen x y dxdy x y x y x y
.
28. Calcular
2 2
, ( , ) / 2, 0, 0
x y
x ye dxdy x y x y x y
.
29. Calcular el rea acotada por las curvas
3 31, 2, 1, 2xy xy xy xy
30. Calcular
2 22
, ( , ) / 0 2 ,0
x xy y
x ye dxdy x y x y e x y
.
31. Calcular 2 2 2 2( 1) , ( , ) / 1x y dxdy x y a x b y
.
32. Calcular 2 2( ) 1( 1)x ye x y dxdy
calcula la integral sobre
( , ) / , , ,x y x a a y b b y luego tomar lmites.
-
3
33. Demuestre que: , ,E E
f x y dxdy f x y dxdy
34. Hallar el volumen de la interseccin de los cilindros 2 2 2x y a y 2 2 2x y a ,
0a
35. . Demostrar que: 2 4 2
31 2
4 2
2 2
x
x x
x xSen dydx Sen dydx
y y
36. Hallar el centroide de la regin E en el primer cuadrante limitada por la parbola 2 4y ax , el eje x y el lado recto de esta parbola ( 0y ).
37. Hallar el volumen de la porcin de E de la esfera 2 2 2 2x y z a ( 0a ), que se
encuentra dentro del cilindro ( )r aSen .
38. Sea 2 2 2
2 2 2: 1x y z
Sa b c
Se traza un plano secante paralelo al eje 2b a una distancia
H del centro de simetra. Halle en que relacin se encuentran los volmenes de los
slidos parciales?
39. Halle el volumen acotado por el slido: 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2:
x y z x y zS
a b c a b c
40. El slido S esta representado en coordenadas esfricas halle el volumen en
coordenadas cilndricas: : ; 4cos3
S
SOLUCION
)cos(4;3
:
S
20
30
20
Sea 2
)cos(
z
2 2 2 2
22 2 2
4
2 2
z x y z
x y z
4cos2 32
0 0 0
10V r sen drd d
41. Usando una transformacin adecuada grafique y halle el volumen del slido acotado
por las superficies:
1 2
3 4
5 6
: 1; : 9
: 4; : 36
: 25; : 49
S xy S xy
S xz S xz
S yz S yz
SOLUCION
-
4
yzw
xzv
xyu
xyzJ
yz
xz
xy
2
0
0
0
2
1
2
)(uvwxyz
xyzuvw
),,(
),,(
1
),,(
),,(
zyxd
wvudwvud
zyxdJ 64
)(2
149
25
36
4
9
1 2
1
uvw
dudvdzV
42. Halle el rea de la regin limitada por la curva:
22 2
2 2 2:
x y xy
a b c
SOLUCION
rsenb
yv
ra
xu
cos
cos2
24 sen
c
rr cos
2
2 senc
abr
abrvuJ ),( cos2sen
c
abr
2
3,
2,00cos
sen
2
0 0
2
222
3
02
r r
c
baabrdrdabrdrdS
43. Sea S el slido interior al cilindro 2 2 4y z y limitado por
22
1 2: ; : 6 2S x z S x z
a) Halle el volumen del slido
b) Determine los lmites de , ,s
f x y z dxdydz
44. Demostrar que el volumen de un slido limitado por el prismoide es:
1 2 46
m
HS S S donde 1 2 :S S reas de las bases paralelas y mS : rea de la seccin
media paralela a las bases.
-
5
S
S
Sm
1
2
H/2
H/2
45. Expresar en coordenadas esfricas la integral:
25 25
2
0 0 0
z
r sen drdzd
SOLUCION
Para el cambio de coordenadas tenemos
2
cilndricas esfricasdv rdrdzd r sen drd d
Por lo tanto tendramos en coordenadas esfricas
523
0 0 0
r sen sen drd d
46. Si el costo por kilmetro para viajar en el primer cuadrante es igual a 1 x . Cual ser la ecuacin de la familia de curvas a lo largo de los cuales resulta ms econmico
viajar?
SOLUCION
2, , ' 1 1 'F x y y x y 0'
d F F
dx y y
Como la funcin no depende explcitamente de y . Entonces la ecuacin diferencial
queda expresada de la siguiente manera
'
FC
y
' 12 2
'1
1 '
y
yF x
y
12 2
'1
1 '
yC x
y
2 2
'
1
Cy
x C
2 21 1 .Y Ln x C x k
47. Halle el centroide de un cono recto de base elptica ( a b : longitud de semiejes) y altura H .
-
6
SOLUCION
2 2 2
2 2 2:x y z
Sa b H
Por simetra el centroide se encuentra en el eje Z. Pasamos al clculo de dicho punto.
Sabemos por definicin de centroide:
2 2 2
2 2 2:x y z
Sa b H
Por simetra el centroide se encuentra en el eje Z. Pasamos al clculo de dicho punto.
Sabemos por definicin de centroide:
v
zV zdv
2
2
2
2
1
01
3
xb
a Ha
a xb
a
abHz zdzdydx
2
3 2
abH abHz
2
3
Hz
v
zV zdv
2
2
2
2
1
01
3
xb
a Ha
a xb
a
abHz zdzdydx
2
3 2
abH abHz
2
3
Hz