Practica Dirigida Ndeg 9 El Problema de Asignacion u Wiener 2013.1

7/21/2019 Practica Dirigida Ndeg 9 El Problema de Asignacion u Wiener 2013.1

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FACULTAD: DE INGENIERIAESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA DE SISTEMAS EINFORMATICA.

CURSO: INVESTIGACION OPERATIVA 1PROFESOR: ING. JORGE CACERES TRIGOSOCVICLO 2012.II

PRÁCTICA DIRIGIDA N° 9MODELOS DE ASIGNACIÓN

Introducción al modelo de asignación.

Los problemas de asignación presentan una estructura similar a los de transporte, perocon dos diferencias: asocian igual número de orígenes con igual número de demandas ylas ofertas en cada origen es de valor uno, como lo es la demanda en cada destino.

El problema de asignación debe su nombre a la aplicación particular de asignar hombresa trabajos (o trabajos a m!uinas", con la condición de !ue cada hombre puede ser asignado a un trabajo y !ue cada trabajo tendr asignada una persona.

La condición necesaria y suficiente para !ue este tipo de problemas tenga solución, es

!ue se encuentre balanceado, es decir, !ue los recursos totales sean iguales a lasdemandas totales.

El modelo de asignación tiene sus principales aplicaciones en: #rabajadores, $ficinas alpersonal, %ehículos a rutas, &!uinas, %endedores a regiones, productos a fabricar, etc.

ETAPAS DEL METODO, ALGORITMO HUNGARO

Caso A: Minimizacin!

'evisar !ue todas las casillas tengan su costo(beneficio" unitario correspondiente. i alguna no lotiene asignarlo en t)rminos del tipo de matri* y problema considerado.

+. alancear el modelo, es decir obtener m-n (obtener una matri* cuadrada"

• En donde m- número de renglones.

• En donde n- número de columnas.

#odo renglón o columna tendr un costo (beneficio " unitario de cero.

. /ara cada renglón escoger el &E0$' %1L$' y restarlo de todos los dems en el &2&$

'E03L40.

1



5. /ara cada columna escoger el &E0$' %1L$' y restarlo de todos los dems en la &2&16$L7&01.

8. #ra*ar el &902&$ número de líneas verticales y hori*ontales de forma tal !ue todos losceros !ueden tachados.

"! C#i$%#io &% o'$imi&a&:

• El número de líneas es igual al orden de la matri*;

'pta: 2, el modelo es óptimo y por tanto hacer la asignación y traducir la solución.

La asignación se debe hacer en las casillas donde haya ceros cuidando !ue cada renglón y cadacolumna tenga una sola asignación.

'pta: 0$ pasar al siguiente punto.

<. eleccionar el menor valor no tachado de toda la matri*. El valor restarlo de todo elemento

no tachada y sumarlo a los elementos en la interacción de dos líneas.

=. 'egresar al paso 8.

Caso (: Ma)imizacin!

M%$o&o*o+a:

eleccionar el &1>$' ELE&E0#$ de toda la matri* de beneficio. Este valor restarlo de todos losdems, los valores negativos !ue se obtengan representan los costos de oportunidad, lo !ue sedeja de ganar o producir.

/ara el caso de la solución del modelo considerar solo valores absolutos. 6on esta transformaciónse ha obtenido un modelo de minimi*ación y por tanto resolverlo como tal.

Casos %s'%cia*%s &%* mo&%*o &% asi+nacin

Oferta y demanda desiguales.

6uando la oferta y la demanda son desiguales, se asigna una actividad ficticia con uncosto de cero para mantener la condición de m)todo !ue deben ser igual número deofertas y demandas

Problemas de maximización.

6onsidere un problema de asignación en el !ue la respuesta a cada asignación es unautilidad en ve* de un costo. 6onsidere la matri* de utilidades del problema como lacaracterística nueva la cual consiste en !ue el número !ue aparece en cada celdillarepresenta un beneficio en lugar de un costo.

P#o-*%mas con asi+nacin inac%'$a-*%!

2



upóngase !ue se est resolviendo un problema de asignación y !ue se sabe !ue ciertasasignaciones son inaceptables. /ara alcan*ar esta meta, simplemente asigna un costoarbitrariamente grande representado mediante la letra & . & es un número tan grande !uesi se le resta un número finito cual!uiera, !ueda todavía un valor mayor !ue los dems.6uando la oferta y la demanda son desiguales, se asigna una actividad ficticia con uncosto de cero para mantener la condición de m)todo !ue debe ser igual número de

ofertas y demandas

E.EMPLO

e necesita procesar 8 diferentes tareas para lo cual se cuenta con 8 m!uinas. /or diferenciastecnológicas el desperdicio !ue se produce depende del tipo de tarea y la m!uina en la cual seejecuta, dada la matri* de ?esperdicios e@presada en pesos definir la asignación óptima.

MA/UINAS

TAREAS 0 1 2 3

A 39 45 "3 67

( 3" 69 55 40

C 35 "4 64 44

D 33 24 55 59

Formulación de Modelo:

V.D: Sea Xij = La asignación de la Tarea i (i = A; B; C; D) a la maquina j (j = 1; 2; 3; )!

F.O: "in # = $XA1%&'XA2%XA3%*XA%XB1%$XB2%''XB3%&1XB%'XC1%&XC2

%&XC3%&&XC%XD1%3&XD2%''XD3%'$XD

S.A:

Restricciones respecto a las Tareas:

+1, +es-ec./ a la Tarea A, XA1%XA2%XA3%XA=1

+2, +es-ec./ a la Tarea B, XB1%XB2%XB3%XB=1

+3, +es-ec./ a la Tarea C, XC1%XC2%XC3%XC=1

+, +es-ec./ a la Tarea D, XD1%XD2%XD3%XD=1

Restricciones respecto a las Maquinas:

+, +es-ec./ a la "aquina 1, XA1%XB1%XC1%XD1=1

+', +es-ec./ a la "aquina 2, XA2%XB2%XC2%XD2=1

+, +es-ec./ a la "aquina 3, XA3%XB3%XC3%XD3=1

+&, +es-ec./ a la "aquina , XA%XB%XC%XD=1

3



C.N.N: Xij = *; 1

SOLUCIÓN

POR RENGLÓN

• Elegir el menor valor de renglón y restarlo a los dems. En este caso es son :

39,3",35,24!

• 'estamos ese valor a cada uno de los dems del renglón

MA/UINAS

TAREAS 0 1 2 3

A A 5= B +

( A 58 + 5<

C A + 5 8

D < A C 5+

POR COLUMNA

• Elegimos los menores valores de cada columna en este caso son : 7,7,",10

• 'estamos esos valores a los dems números de las columnas

MA/UINAS

TAREAS 0 1 2 3

A A 5= A A

( A 58 +< +B

C A + = +

D < A 5 +A

#ra*amos las líneas:

MA/UINAS

4



TAREAS 0 1 2 3

A A 5= A A

( A 58 +< +B

C A + = +

D < A 5 +A

6ontamos el número de líneas y observamos !ue son 2 líneas y el número de la matri* es de 8por lo !ue 0$ E 4/#2&$.

uscamos dentro de la tabla el menor valor no tachado en este caso es 01

Lo restamos a todos los dems, respetando los valores de los ya tachados y adicionndolos a los!ue estn intersectados.

MA/UINAS

TAREAS 0 1 2 3

A + 5= A A

( A 8 5

C A A +B D

D +C A 5 +A

#ra*amos las líneas.5 8 0$ E 4/#2&$

%olvemos a buscar el menor número de los no tachados

En este caso es 2 y se lo restamos a los dems no tachados y respetamos a los tachados y se lossumamos a los intersectados. > volvemos a tra*ar líneas.

MA/UINAS

TAREAS 0 1 2 3

A +B 8A A A

( A + A

C A A + <

D +C A A =

8-8 E 4/#2&$

1hora reali*amos las asignaciones donde e@isten los valores iguales a c%#o 87Los ceros de color rojo son las asignaciones

MA/UINAS

5



TAREAS 0 1 2 3

A 7

TAREA A

7

( 7 7

TAREA (

C 7

TAREA C

7

D 7

TAREA D

POR LO TANTO LA SOLUCIÓN ES!

• 'eali*ar la tarea 1 en la m!uina 5 con un costo de FB8• 'eali*ar la tarea con la m!uina 8 con un costo FC+.• 'eali*ar la tarea 6 en la m!uina + con un costo F8<.• 'eali*ar la tarea ? en la m!uina con un costo F5C.

COSTO TOTAL MNIMO; <109

6



7



8



9



10



PRO(LEMAS PROPUESTOS

+. Los estudiantes de tres cursos de la escuela de 0egocios 3lobales de la 7niversidad'icardo /alma, !uieren ganar algún dinero para cubrir los gastos de un viaje al final delciclo. /ara ayudarles, la universidad les ofrece tres tareas diferentes: /intar las ventanasde las clases, la fachada del edificio de la G16EE y las paredes de las aulas. 1 cada curso se le manda escribir su propuesta de precios, estas propuestas vienendescritas en la tabla siguiente:

CURSOS =ENTANAS >ACHADAS PAREDESEstadística 1plicada +B +A D&)todos cuantitativos D +B +A&arHeting +A + C

Iu) tarea deber hacer cada grupo de los cursos para !ue el coste para la universidad seamínimo;


V.D: Sea Xij = La asignación de la Tarea i (i = A; B; C) a l/s Curs/s j (j = 1; 2; 3)!

F.O: "in # = 1XA1%$XA2%1*XA3%1*XB1%1XB2%12XB3%$XC1%1*XC2%&XC3

S.A:

Restricciones respecto a las Tareas:

+1, +es-ec./ a la Tarea A, XA1%XA2%XA3=1

+2, +es-ec./ a la Tarea B, XB1%XB2%XB3=1

+3, +es-ec./ a la Tarea C, XC1%XC2%XC3=1

Restricciones respecto a los Cursos:

+, +es-ec./ al Curs/ 1, XA1%XB1%XC1=111



+, +es-ec./ al Curs/ 2, XA2%XB2%XC2=1

+', +es-ec./ al Curs/ 3, XA3%XB3%XC3=1

C.N.N: Xij = *; 1

. 7na empresa de alimentación tiene en plantilla cuatro ejecutivos Ei, i -+J J 5J 8, !ue debeasignar a cuatro grandes clientes 6j , j - +J J 5J 8. Los costes estimados en cientos deeuros de la asignación de cada ejecutivo a cada cliente son:

6liente + 6liente 6liente 5 6liente 8Ejecutivo + +B +D A +C

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Ejecutivo +8 +B += +8Ejecutivo 5 ++ +B +B +8Ejecutivo 8 + 8 < 8

?etermina el patrón de asignación óptimo y el coste asociado al mismo. Es la solución finita únicao alternativa;


V.D: Sea Xij = La asignación de l/s 0jecu.i/s i (i = 1; 2; 3; ) a l/s Clien.es j (j = 1; 2; 3; )!

F.O: "in # = 1X11%1$X12%2*X13%1&X1%1X21%1X22%1X23%1X2%11X31%1X32

%1X33%1X3%21X1%2X2%2'X3%2X

S.A:

Restricciones respecto a los Eecuti!os:

+1, +es-ec./ al 0jecu.i/ 1, X11%X12%X13%X1=1



+, +es-ec./ al 0jecu.i/ , X1%X2%X3%X=1

Restricciones respecto a los Clientes:

+, +es-ec./ al Clien.e 1, X11%X21%X31%X1=1

+', +es-ec./ al Clien.e 2, X12%X22%X32%X2=1

+, +es-ec./ al Clien.e 3, X13%X23%X33%X3=1

+&, +es-ec./ al Clien.e , X1%X2%X3%X=1

C.N.N: Xij = *; 1

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5. 7na estación terminal tiene capacidad para acomodar B camiones simultneamente. El

situar cada camión en uno de los cinco lugares implica un coste de distribución ytransferencia de caras !ue se refleja en la tabla adjunta. Los lugares de carga son 1, , 6,? y E. ?eterminar el estacionamiento optimo y el coste mínimo.

TERMINALES

CAMIONES A ( C D E0 +A A BA BA 5A1 CA =A 8A 5A A2 <A BA B 5B A3 A +B 5B B 8B" +A 5A A +B +B

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8. 7n sistema de procesamiento compartido tiene seis ordenadores diferentes $iJ i - +J : : : J< y debe procesar seis tareas #j J j - +J : : : J < !ue pueden reali*arse en cual!uiera de losseis ordenadores, pero con la condición de !ue tendrían !ue completarse en el ordenador en el !ue se iniciaron. Los costes de procesamiento cij de las tareas variarn según elordenador, tal como se muestra en la tabla.

T0 T1 T2 T3 T" T5O0 C 8 +A + <O1 < < + 8 5 BO2 8 C + + <O3 +A C +B < 5O" B = A 8 8 +O5 C +A 8 8

?eterminar !u) ordenador se asignar a cada trabajo de modo !ue el coste total sea mínimo.

KKKKKKKKKKKKK

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