INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA

UNIDAD PROFESIONAL ADOLFO LÓPEZ MATEOS

INGENIERÍA EN COMUNICACIONES Y ELECTRÓNICA

PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES

PRÁCTICA 8: “ SEÑALES DISCRETAS ”

Alumnos:

Gallardo Martínez Aldo

Palma Rivera Ángel Omar

PROFESOR:

Carlos Mira González

GRUPO: 7CM4.

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1.-Secuencia Discreta

Considera la siguiente ecuación:

x (n )=x (n−1 )+x (n−3 )n ≥ 3

x (0 )=0 , x (1 )=1 , x (2 )=2

Encuentre el resto de la secuencia para 0 ≤ n≤50 y grafícalas usando Matlab.

CODIGO

N=50; % limite del periodox(1)=0; % no comienza en x(0) ya que matlab no lo toma en cuenta asi que se deberá iniciar desde X(1)x(2)=1;x(3)=2;for n=3:N %cliclo for va de 3 a N ,ya que apartir de 3 comienza el incremento debido a que los primeron 3 valores ya están dados (0,1,2)x(n+1)=x(n)+x(n-2); %function definidaend % cierra el cicloplot(x) % grafica

GRAFICASe puede observar claramente en las gráficas que la señal está definida por puntos discretos

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2.-Señal de Energía finita

Dada la señal discreta x(n)=0.5nu(n):

(a) Usa Matlab para graficar la señal x(n) para n=-5 a 200

CODIGO

for n = -5:200 %intervalo definido para la función x(n+6) = 0.5^(n)*escalonu(n) %función definida multiplicada por la función escalón unitarioend plot(x)% grafica

function u = escalonu(x)% nos permite ingresar los ceron o unos del escalon en la nuncion definida % Escalon unitarioif x < 0 % condicion u = 0; else u = 1;end

(b) ¿Esta señal es de Energía infinita? Las señales periódicas que existen para todos los valores de t tienen energía infinita por lo tanto esta señal no es de energía infinita ya que x(n) no cumple con las condiciones necesarias

0 ≤ E∞ ≤ ∞

E∞= lim

N →∞∑

n=−N

N

¿ x ⌈n ⌉ ¿2=∑−∞

∞

¿ x [n ]¿2

(c) Verifica tus resultados usando gráficos simbólicos de Matlab

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3.-Periodicidad de señales muestreadas

Considera una señal sinusoidal analógica x (t )=cos(3 πt+ π4 ) la cual es muestreada usando un

periodo de muestreo T s para obtener una señal discreta

x (n )=x (t ) ¿t=nTs=cos (3 π T sn+π /4)

(a)Determine la frecuencia de la señal discreta x(n)

Se propuso un valor en este caso f =500 Hz

(b)Selecciona un valor de T s para el cual la señal discreta sea periódica. Usa Matlab para

graficar unos cuantos periodos de x(n) y verifica su periodicidad.

Para T sse tomó un valor de frecuencia de muestreo f s mayor a la frecuencia de la señal f

f s=9000 Hz

(c)Selecciona un valor T s para el cual la señal discreta no sea periódica. Usa Matlab para

graficar x(n) y verifica su no periodicidad.

Ahora la frecuencia de muestreo f s será menor la frecuencia de la señal f

f s=2500Hz

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(d)Determina bajo que condición el valor de T s hace que x(n) sea periódica

x [n ]=xc (t )¿ t=nT ,−∞<n<∞

CODIGO

F(1)=500 % Se elige la frecuencia phi=pi/4 % Solo para reducir Fs=2500 % frecuencia de muestreo Ts=1/Fs % periodo de muestreo t=-0.002:Ts:0.002 %rango en el que se ira muestreando la señal. xt=cos(3*pi*F*t+phi) % función definida x(t) stem(t,xt,'or') %Se obtiene la grafica de la función

4.-Descomposicion par e impar

Supón que muestreas una señal analógica

x (t){1−t 0≤ t ≤ 10 otro caso

Con periodo de muestreo T s=0.25 para generar una secuencia discreta x(n)

(a) Usa Matlab para graficar x(-n) para un intervalo apropiado. (b) Encuentra la parte par de x(n) y grafícala con Matlab. (c) Encuentra la parte impar de x(n) y grafícala con Matlab. (d) Verifica con Matlab que la suma de (b) y (c) es la misma señal x(n).

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(e) Calcula la energía de x(n) y compárala con la suma de energías de las señales en (b) y (c)

CODIGO

t=[0:0.25:1]; %intervalo de 0 a 1, %mediante la expresion de %1 valor cada 0.25 segundos a=1-t; %funcion x(n)=1-n figure; %figura 1stem(t,a,'g') n=[0:0.25:1]; %intervalo de 0 a 1, para obtener %1 valor cada 0.25 segundos figure; %figura 2x=1-n; %funcion x(n)=1-nsubplot(2,1,1)stem(n,x,'p') %grafica la funcion x(n) x2=1-(-n); %funcion x(-n)=1+nsubplot(2,1,2) stem(n,x2,'p') %grafica de la funcion x(-n) figure; %figura 3Xp=(1/2*x)+(1/2*x2); %Parte par de la funcionsubplot(2,2,1)stem(n,Xp,'p') %Grafica de la parte par Xi=(1/2*x)-(1/2*x2); %Parte impar de la funcionsubplot(2,2,2)stem(n,Xi,'p') %Grafica de la parte impar X=Xp+Xi; %comprobar que Xpar + Ximpar %dan como resultado x(n) %es decir X= x(n)subplot(2,2,3)stem(n,X,'p')

GRAFICAS

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5.-Considera la señal discreta x (n )=cos( 2 π7 )

(a)La señal discreta puede ser comprimida utilizando submuestreo. Considera submuestreada

por 2 y escribe un código para obtener z (n )=x (2 n).Grafica ambas señales.

(b)La expansión de una señal discreta puede realizarse por medio del sobremuestreo.

Sobremuestrea por 2 para obtener y (n )=x ( n2 ) y graficaambas señales

CODIGO

% Escalado de Frecuencia (submuestreo) A = 1; % Amplitudf0 = 1; % Frecuencia de la Señalfs = 7; % Frec de muestreo en Hzphi = 0; % pi/2; % FaseN = fs/f0 + 1; % Nueva cantidad de muestras para mantener la escalaa = 2; % Factor de escaladon=0:N-1; figure(1);x=A*cos(2*pi*(f0/fs)*n+phi); % Señal cosenoidal ---> (cos(2*pi*1/7*n + 0))stem(n,x,'r'); % Grafica de la Señal cosenoidal hold; n=a*n; %sumbuestreo donde z(n)=x(2n)

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stem(n,x,'b'); xlabel('Señal original x[n](rojo), Señal Escalada y[2*n] (azul)'); figure(2);stem(n,x,'r'); % Grafica de la Señal cosenoidal hold; n=n/a; %sumbuestreo donde z(n)=x(n/2)stem(n,x,'b'); xlabel('Señal original x[n](rojo), Señal Escalada y[n/2] (azul)');

GRAFICAS

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(c) Si x(n) es el resultado de muestrear a una señal continua x (nt )=cos (2πt)usando un

periodo de muestreo T s y sin aliasing, determine T s, ¿Podrías muestrear directamente x(t)

para obtener z(n) y y(n)? Explica por que

Si se podría muestrar solo se tendría que Aumentar la frecuencia de muestreo o ener menos detalles

de la señal de entrada:

 El teorema de Nyquist, que indica la mitad de la velocidad de muestreo que debemos usar. Si la

señal de origen tiene información a una mayor frecuencia que esa medida, tendremos problemas de

aliasing.Debemos tener al menos una frecuencia de muestreo del doble de aquella frecuencia más

alta de la señal origen.

Esto nos deja dos formas de evitar el aliasing:

a) Suavizar (a.k.a. blur) la señal de entrada para eliminar las frecuencias altas.

b) Suavizar (a.k.a. filter) al vuelo a medida que vamos tomando las muestras.

La opción 2.a se suele aplicar como preprocesamiento, haciéndolo muy eficiente. Pero no es buena

idea cuando necesitamos muestrear datos a diferentes frecuencias dependiendo de la situación Si

pre-suavizamos la señal de acuerdo a la frecuencia más baja nunca podremos reconstruirla, el

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resultado será demasiado borroso cuando la reconstruyamos a altas frecuencias. Y si pre-

suavizamos a alta frecuencia, tendremos problemas de aliasing cuando la reconstruyamos a baja

frecuencia.

La opción 2.b se puede ajustar dinámicamente a la frecuencia, pero es muy costosa de implementar.

6.-Periorisidad de una suma y producto de señales discretas

Si X(n) es periódica con periodo N1>0 y y(n) es periódica con periodo N2>0

(a)¿Cuál debe ser la condición para que la suma de x(n) y y(n) sean periódicas?

Las señales periódicas de tiempo discreto específicamente X(n) es periódica con periodo N, si

existe un entero positivo N para el cual x (n )=x (n∓N ) K , N∈

(b)¿Cuál sería el periodo del producto de x(n) y (n)?

x (n )=x1 ( n ) . x2(n)

N=N1 N 2

MCD(N1 N2)

(c)Usa Matlab para graficar la suma y el producto de las señales

x (n )=cos ( 2π3 )u (n ) , y (n )[1+sen ( 6 π

7 )]u(n) y verifica los resultados analíticos.

CODIGO

N=10;for n=0:Nx(n+1)=cos(2*pi*n/3)*escalonu(n);y(n+1)=[1+sin((6/7)*pi*n)]*escalonu (n);endproductoxy=x.*y;sumaxy=x+y;stem(productoxy,'ob')hold onstem(sumaxy,'or')

function u = escalonu(x)% Escalon unitarioif x < 0u = 0;else

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u = 1;end

Después de realizar el código el resultado obtenido es el siguiente donde en color rojo se puede apreciar la suma de las señales y en color azul el producto en el cual podemos apreciar dos señales discretas periódicas.

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