Practica Salud

7/23/2019 Practica Salud

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Manual de Practicas

de Fisica 1

de

Ingeniera de la Salud

E.T.S. DE INGENIERIA INFORMATICA

Departamento de Fsica Aplicada 1 *

Universidad de Sevilla

*Sara Cruz Barrios; [email protected]

1


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INDICE 0

Indice

1. Practica 1: Tratamiento de Errores 1

1.1. Error absoluto y error relativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Clasificacion de los errores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3. Estimacion de errores en las medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3.1. Medida directa de una magnitud fsica . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3.2. Medida indirecta de una magnitud fsica.- . . . . . . . . . . . . 7

1.4. Presentacion de resultados numericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5. Recta de mnimos cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5.1. Ajuste de recta por mnimos cuadrados . . . . . . . . . . . . . . 15

1.6. Realizacion de graficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.7. Memoria de las practicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.8. RESUMEN: Estimacion de errores en las medidas. . . . . . . . . . . . 19

1.9. Ejercicios sobre Tratamiento de Errores y Medidas. . . . . . . . . . . . 20

2. Practica 2: Ley de Hooke 22

2.1. Ley de Hooke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2. Asociacion de resortes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3. Oscilaciones Armonicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3. Practica 3: Conservacion de la Energa Mecanica 37

3.1. Conservacion de la Energa Mecanica. Momento de Inercia . . . . . . . 37

4. Practica 4: Pendulo Matematico 45

4.1. Dependencia del periodo del pendulo con el angulo de oscilacion . . . . 45

4.2. Dependencia del periodo del pendulo con la masa . . . . . . . . . . . . 49

4.3. Dependencia del periodo del pendulo con el angulo de oscilacion . . . . 50

5. Practica 5: Principio de Arqumedes 53

5.1. Determinacion de la densidad un solido mediante el principio se Arqumedes 53

5.2. Determinacion de la densidad de varios solidos . . . . . . . . . . . . . . 58

6. Practica 6: Estudio del Principio de Bernoulli 62

6.1. Verificacion del Principio de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

7. Agradecimientos 74


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1 PRACTICA 1: TRATAMIENTO DE ERRORES 1

1. Practica 1: Tratamiento de Errores

Las medidas de las diferentes magnitudes fsicas que intervienen en una experiencia

dada, ya se hayan obtenido de forma directa o a traves de su relacion mediante una

formula con otras magnitudes medidas directamente, nunca pueden ser exactas. Debido

a la precision limitada que todo instrumento de medida tiene, as como otros factores

de distinta naturaleza que mas adelante consideraremos, debe aceptarse el hecho de

que no es posible conocer el valor exacto de ninguna magnitud. Por tanto, cualquier

resultado numerico obtenido experimentalmente debe presentarse siempre acompanado

de un numero que indique cuanto puede alejarse ese resultado del valor exacto.

1.1. Error absoluto y error relativo

En general, se define como error absoluto de una medida a la diferencia existente

entre el valor exacto de la magnitud y el valor obtenido experimentalmente. Ahora bien,

como no podemos saber el valor exacto, tampoco podemos conocer el error absoluto

as definido. El objetivo de la teora de errores es la estimacion de la incertidumbre

asociada a un resultado dado. A esta incetidumbre se le denomina tambien error

absoluto, y es esta segunda definicion la que nosotros utilizaremos.

El resultado experimental para una magnitudm lo expresaremos como sigue:

m(m) (1.1)

siendo mel error absoluto. El doble signose debe a que el error puede producirsepor exceso o por defecto. No obstante, el error absoluto de una medida no nos informa

por si solo de la bondadde la misma. Es evidente, que no es igual de grave tener un

error absoluto de 1 cm, al medir la longitud de una carrera que al medir la longitud de

un folio. Por ello, se define como error relativo al cociente:

m

m (1.2)

que a veces se multiplica por cien, cualificando la incertidumbre en porcentaje de la

medida realizada.

1.2. Clasificacion de los errores

Fundamentalmente, los errores se clasifican en dos grandes grupos: errores sis-

tematicos y errores casuales.

1.- Errores sistematicos. Son errores que se repiten constantemente en el tran-

scurso de un experimento, y que afectan a los resultados finales siempre en el

mismo sentido. Se puede distinguir varias fuentes de errores sistematicos:


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1.1- Errores de calibracion (o errores de cero) de los aparatos de medi-

da. Es el caso, por ejemplo, del error que se comete cuando la aguja de un

aparato analogico de medida (ampermetro, balanza,...) no marca cero en

la posicion de reposo. Este tipo de errores tambien pueden aparecer en los

aparatos electronicos digitales como consecuencia de una mala calibracioninterna.

1.2- Condiciones experimentales no apropiadas. Ocurren cuando se uti-

lizan los instrumentos de medida bajo condiciones de trabajo (presi on, tem-

peratura, humedad, frecuencia de la red, etc. ) diferente de las recomendadas.

1.3- Formulas o modelos aproximados. Este tipo de error aparece al pre-

tender obtener demasiadas cifras significativas en los resultados extrados

de un modelo o de una formula aproximada. Por ejemplo, si se quiere medir

la aceleracion de la gravedad con mas de tres cifras significativas no se puedeusar la expresion g = 42L/T2 (pendulo simple) porque esta es una aproxi-

macion que supone una serie de condiciones ideales a saber:

1) La cuerda no tiene masa (en la practica s la tiene, entrando en juego

el momento de inercia del hilo y cambiando la longitud efectiva del

pendulo.

2) El extremo de suspension del hilo es puntiforme (en realidad el pendulo

oscila alrededor de un eje de grosor finito)

3) El roce con el aire es nulo (nunca puede reducirse a cero el rozamiento

con el aire, y esto ocasiona que las oscilaciones vaya decreciendo en

amplitud y que el periodo de oscilacion no sea constante).

4) Las oscilaciones tienen lugar sobre un plano fijo (por mucho cuidado que

se ponga, existen siempre pequenas oscilaciones laterales y rotaciones

adicionales de la masa en suspension.

5) La amplitud de oscilacion debe ser pequena (la formula anterior es tanto

mejor cuanto mas proxima a cero sea la amplitud de oscilacion).

Por definicion, una medida es tanto mas exacta cuanto menores son los errores

sistematicos.

2.- Errores casuales o aleatorios. Como el propio nombre indica, no existe una

causa predeterminada para este tipo de errores. Son imposibles de controlar y

alteran, tanto en un sentido como en otro (por exceso y por defecto), la medida

realizada. Este tipo de errores se someten a estudios estadsticos. Existen varias

fuentes de errores casuales:

2.1- Cambio durante el experimento de las condiciones en el entorno

Esto provoca errores cuya evaluacion es solo posible a partir de un estudioestadstico hecho con medidas repetitivas.


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2.2- Falta de definicion en la cantidad a medir, lo que provoca valores difer-

entes en las distintas medidas realizadas. Por ejemplo, el diametro de una

esfera metalica real no es una cantidad definida exactamente porque la esfera

no es perfecta; si uno mide el valor de varios diametros encontrara valores

numericos diferentes.2.3- Errores de precision, debidos a que el aparato de medida tiene una sen-

sibilidad dada. Se define la sensibilidadcomo la unidad mas pequena que

puede detectar un aparato de medida.

2.4- Errores de apreciacion, debidos a posibles defectos (visuales auditivos,

etc.) del observador, o tambien a la estimacion a ojo que se hace de una

cierta fraccion de la mas pequena division de la escala de lectura de los

aparatos de medida.

Por definicion, una medida es tanto mas precisacuanto mas pequenos son los errores

casuales.

1.3. Estimacion de errores en las medidas

La teora de los errores casuales proporciona un metodo matematico para calcu-

lar, con buena aproximacion, cuanto puede alejarse del valor verdadero, el valor medio

experimentalmente para una magnitud fsica dada. Debido al caracter aleatorio de

los errores casuales, distribuyendose estos al azar por exceso o por defecto, se puedeestudiar su influecian mediante tecnicas estadsticas. No ocurre as con los errores sis-

tematicos, los cuales afectan en un sentido dado al resultado, sin tener, por tanto,

caracter aleatorio. Las normas para estimar errores absolutos que a continuacion ex-

pondremos solo sirven para errores casuales, y presuponen que los errores sistematicos

han sido cuidadosamente evitados. Hablaremos de una medida muy precisa cuando, una

vez eliminados gran parte de los errores sistematicos, consigamos errores casuales muy

pequenos, y esto permitira escribir el resultado final con bastantes cifras significativas.

El objetivo de este apartado es establecer lo que nosotros vamos a definir como

resultado experimental m de una medida y como error absoluto m de la misma.Distinguiremos dos situaciones: medida directa y medida indirecta.

1.3.1. Medida directa de una magnitud fsica

El procedimiento no sera el mismo si se hace una sola medida de la magnitud fsica

que si se hacen varias.

1. Una sola medida: En principio, cualquier medida experimental debe ser repeti-

da varias veces. Cuando se observe que el resultado obtenido es siempre identi-

camente el mismo, y solo en ese caso, estara justificado el quedarse con una sola


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medida. Dicha medida m1 sera el valor esperimental obtenido para m. Como

error absoluto, m, se adoptara la sensibilidad del aparato de medida S.

Sensibilidad S: es la unidad mas pequena que el aparato puede apreciar en la

escala utilizada. En cuanto al resultado medido m1 hay que decir que en el caso

de aparatos analogicos (con agujas, diales, niveles de mercurio, etc.) existe laposibilidad de que la aguja (o cualquier otro mecanismo de medida) quede en el

espacio intermedio entre dos marcas de la escala de medida. En este caso, puede

adoptarse como valor de la medida el de la marca mas cercana a la posicion de

la aguja y nuestro resultado sera:

m1 S (1.3)

Ejemplo 1.-: Supongamos un cronometro digital que mide hasta milesimas de se-

gundos (sensibilidad S = 1ms) y queremos estimar el perodo de oscilacion de unpendulo en 882 milisegundos; entonces m1 = 882ms. y el error absoluto 1ms, el

resultado se dara como 882(1)ms. Si tenemos un ampermetro analogico (medidorde intensidad de corriente) con una escala de lectura que se aprecia hasta decimas

de Amperios (sensibilidad S= 0, 1A), y al hacer una medida la aguja queda en una

posicion que es la mitad entre 0, 6 y 0, 7la intensiad de corriente medida experimen-

talmente sera 0, 6(0, 1)A o bien 0, 7(0, 1)A. Ambos resultados son correctos.

2. Varias medidas: Analicemos ahora la situacion mas habitual que corresponde

al caso en que se realizan varias medidas de una magnitud fsica. La carac-terizacion de los errores casuales se hace en este caso mediante la ayuda de la

estadstica. La filosofa del metodo parte del hecho de que el valor exacto de

la magnitud es inaccesible, y el proceso de medida es un proceso aleatorio que

viene gobernado por una distribucion de probabilidadnormalo gaussianacuya

representacion grafica Figura (1) es:

6 4 2 2 4 6

0.1

0.2

0.3

0.4

Figura 1: Campana de Gauss


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P(x) = 1

2exp

(x )2

22

(1.4)

Observese que x= es el valor mas probable al realizar una medida ya que para

ese valor la distribucion de probabilidad presenta un maximo. El parametro nos

da una medida de la anchura de la campana. La probabilidad de que al realizar una

medida obtengamos un valor comprendido en un intervalo cualquiera viene dada por el

area que hay bajo la curva gaussiana en ese intervalo. As por ejemplo, la probabilidad

de que el valor de una medida caiga dentro del intervalo es el 68, 30 %, dentrodel intervalo 2 es del 95, 45 %, y dentro del intervalo 3 es del 99, 73%.El area total bajo la campana es l ogicamente 1, ya que la probabilidad de encontrar

el valor de una medida entre y + es del 100 %. La justificacion del estudioestadstico radica en la suposicion de que el valor mas probable del proceso aleatorio

coincide precisamente con el valor verdadero de la magnitud fsica, y por ello nuestroobjetivo sera determinar con la mayor precision posible el valor de , y asimismo dar

una expresion para el margen de error en nuestra estimacion de. Observese que si los

errores sistematicos (de caracter no aleatorio) no hubiesen sido previamente eliminados,

no coincidiran y el valor verdadero de la magnitud fsica.

Para determinar con exactitud habra que hacer infinitas medidas. Sin embargo,

en el laboratorio realizaremos un numero finiton de medidas que nos daran los valores

m1, m2, m3, ....., mn. Sobre ese conjunto finito de medidas, la Estadstica nos permite

definir y calcular una serie de estadsticos(ciertas cantidades de interes estadstico) a

saber,

Valor medio o media aritmetica de los n valoresmi (i= 1,.....,n):

m= 1

n

ni=1

mi (1.5)

Desviacion de la medida mi respecto de la medida:

hi=mi

m. (1.6)

Tambien se puede hacer una extension del concepto a desviacion respecto de un

parametro acualquiera:

hi,a=mi a (1.7)Una propiedad interesante que tiene el valor medio que lo hace ser muy represen-

tativo de un conjunto de medias es precisamente el ser el parametro respecto al

cual es mnima la suma de los cuadrados de las desviaciones, es decir, matematica-

mente:

d (n

i=1(hi,a)2

))da

a=m

= 0 ;

d2

(n

i=1(hi,a)2

)da2

a=m

>0 (1.8)


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Error cuadratico medio o desviacion tpica de las n medidas:

s=

ni=1 h

2i

n 1 (1.9)

El valor de s nos da una idea de la dispersion de las medids mi respecto de lamedida m.

Error cuadratico de la medida o desviacion estandar de las nmedidas:

sm= s

n=

ni=1 h

2i

n(n 1) (1.10)

El valor de sm es muy importante porque nos informa de como de parecido es el

valor medio m de nuestras n medidas al valor probable del proceso aleatorio

global (recuerdese nuestra hipotesis de partida de que es a todos los efectos

el valor verdadero de la magnitud fsica). De hecho, puede demostrarse que la

probabilidad de que m este dentro del intervalo 3smes de 99, 73 % (distribuciongaussiana de los valores medios).

Como conclusion podemos decir que mnos da una estimacion de, y que cuanto menor

sea la desviacion estandar sm tanto mas se parece realmente m a . Evidentemente,

la desviacion estandar decrece a medida que el numero n de medida es mayor. Hay

que senalar que muchas de las consideraciones estadsticas que se han hecho solo son

estrictamente ciertas cuandon es grande (por ejemplo, n >30). No obstante, nosotros

nos conformamos con un numero inferior de medidas, por ejemplo 10.

Como consecuencia de todo esto, nuestra forma de proceder sera la siguiente: se

realizara un cierto numero de medidas (por ejemplo 10) de una magnitud fsica, se

calculara el valor medio y la desviacion estandar de todas ellas mediante las ecuaciones

(1.5) y (1.10),se considerara como valor experimental m el valor medio y como errorr

absoluto el triple de la desviacion estandar. Es decir:

m(3sm) (1.11)

Ejemplo 2.-: Supongamos que se desea medir con un cronometro digital el perodode un pendulo. La precision del aparato es de milisegundos. Se realizan 10 medidas, y se

obtienen los siguientes resultados:902ms,850ms,915ms,930ms,888ms,875ms,889ms,

902ms,902ms,890ms. A continuacion se procede a calcular el valor medio mediante (1.5),

obteniendose 894, 3ms. La desviacion estandar la calcularemos a partir de la ecuacion

(1.10), obteniendose un valor de 6, 9ms. Por lo tanto el valor experimental sera el obtenido

a traves de la ecuacion (1.5) y como error absoluto tomaremos el triple de la desviacion

estandar:894(21)ms.

En algunas ocasiones puede ocurrir que una medida suelta este especialmente ale-jada de todas las demas, en este caso puede descartarse dicha medida y sustituirse


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por una nueva, ya que lo mas probable es que se haya tomado mal esa lectura conc-

reta. Estas medidas incorrectas dan lugar a los denominados puntos experimentales

erroneos, los cuales deben ser indicados en las representaciones graficas. Como norma,

si la desviacion de una medida dudosa,hi = mi m, es mayor o igual que cuatro vecesla desviacion promedio, se puede rechazar la medida dudosa.

Cuando se observa una fuerte dispersion en las medidas tomadas para una magnitud

dada, se puede aumentar el numero de medidas para as reducir la desviacion estandar.

1.3.2. Medida indirecta de una magnitud fsica.-

Cuando se utiliza una expresion matematica (ley fsica) para calcular el valor de

una magnitud fsica a partir de otras magnitudes que se han medido directamente

y de constantes fsicas, decimos que estamos haciendo una medida indirecta. Es de

suma importancia para este caso saber como se propagan los errores de la magnitudesmedidas directamente hacia la que se esta obteniendo indirectamente. Dicho de otra

forma, devemos ser capaces de dar una expresion para el error absoluto de la magnitud

medida indirectamente en funcion de los errores absolutos de las magnitudes medidas

directamente. El tratamiento riguroso de la teora de propagacion de errores se funda-

menta en elcalculo diferencial. En algunas ocasiones, una magnitud fsica es medida

indirectamente a partir de otra unica magnitud (funcion de una sola variable), pero, en

general es medida a partir de varias magnitudes cada una de las cuales viene afectada

por un margen de error (funcion de varias variables).

1.- Funcion de una sola variable:

La primera situacion que nos podemos encontrar es el caso de una magnitud y

que va a ser medida directamente mediante una formula a partir de otra unica

magnitud xque ha sido medida directamente y que tiene un error absoluto x:

y= f(x) (1.12)

Como valor experimental de y adoptaremos el que resulta de evaluar (1.12) para

el valor experimental de x. Por otra parte, el calculo diferencial nos asegura que

siempre que el error no sea demasiado grande y podamos aproximar x dx,podemos obtener de forma aproximada el error absoluto de y como sigue:

y=

df(x)dxx (1.13)

donde se supone que y dy y estando la derivada que aparece evaluada en elvalor experimental de x. Hay que descartar que (1.13) es valida tanto si el valor

experimental de x y su error absoluto x fueron calculados por procedimientos


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estadsticos (1.11), como si fueron calculados por procedimientos no estadsticos

(1.3). En consecuencia, el resultado para y con su error vendra dado por:

y(y) =f(x) =

df(x)

dx x

. (1.14)

Como caso particular de interes, el estudio anterior conduce a que el error relativo

en una magnitud indirecta es el mismo que el de la magnitud medida directamente

en el caso en que ambas magnitudes sean directaoinversamente proporcionales.

As si y= ax o y = a/x, siendo a una constante (sin error), partiendo de (1.13),

tras realizar la correspondiente derivada y dividiendo ambos miembros por y, se

tiene:

Si y= ax o y=a

x y

y =

x

x (1.15)

2.- Funcion de varias variables:

Consideremos ahora el caso en que la magnitud Fsica y que queremos medir

(medida indirecta) depende de varias magnitudes con sus respectivos errores, por

ejemplo:

y=f(x,y,z) (1.16)

De nuevo, se toma como valor experimental de y el que resulta de evaluar (1.16)

para los valores experimentales de x,y yz. En cuanto al error absoluto de y , hay

que distinguir ahora entre la posiblidad de que todas las magnitudes medidas

directamente lo hayan sido mediante procedimientos estadsticos y la posibilidad

de que una o varias de ellas hayan sido medidas mediante procedimientos no

estadsticos.

2.1- Todas las variables son obtenidas por procedimientos estadsticos

En el supuesto de que todas las variables hayan sido medidas mediante

procedimientos estadsticos, (1.11) o rectas de mnimos cuadrados, se

puede demostrar que la desviacion estandar asociada a y viene dada en

funcion de las desviaciones estandar de sus variables por:

sy =

f

x

2s2x+

f

z

2s2z+

f

t

2s2t

(1.17)

donde f/x es la derivada parcial de la funcion f con respecto a x, y

as sucesivamente. Todas las derivadas se evaluan en los valores experimen-

tales de x, z y t. Por tanto en esta situacion particular escribiremos como

resultado:

f(x,z,t)(

3sy) (1.18)


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2.2- Alguna (o todas) las variables proceden de una sola medida. Es

estos casos usaremos como error absoluto en las variables que proceden de

una sola medida el relacionado con la sensibilidad Sdel aparato utilizado,

de acuerdo con (1.3), y como error absoluto para las variables estadsticas

el triple de su desviacion estandar, de acuerdo con (1.11), y como errorabsoluto para las variables estadsticas el triple de su desviacion estandar, de

acuerdo con (1.11). Una vez asignados los errores absolsutos, nuevamente el

calculo diferencial (de funciones de varias variables en este caso) nos permite

obtener una aproximacion para el error absoluto yen funcion de los errores

absolutos de las variables directas:

y =

f

x

x+

f

z

z+

f

t

t (1.19)

y como resultado escribiremos:

f(x,z,t)(y) (1.20)

En el supueto que aparezcan constantes fsicas en la expresion matematica,

se eligiran estas con un numero suficientes de decimales para que su precision

de tal que podamos suponer que su error absoluto sea cero.

Como ejemplo de especial interes, el estudio anterior conduce a que el error

relativo en una magnitud indirecta y obtenida como cociente o producto de

dos magnitudes de medida directa (no estadstica), x y z, tiene como error

relativo la suma de los errores relativo de las dos variables directas. As si

y = axz o y = ax/z, donde a es una constante sin error, tras realizar las

derivadas parciales y dividiendo ambos miembros por y en (1.19) se tiene

y

y =

x

x +

z

z . (1.21)

Expresion valida tanto para y = axzcomo para y = axz . Finalmente como

caso mas trivial pero de interes, cuando la magnitud indirecta se obtiene

como suma de las magnitudes directas, y = x+ z+t, la ecuacion (1.19)

nos indica que el error absoluto sera la suma de los errores absolutos, y=

x+ z+ t.

En definitiva, para medidas indirectas de una magnitud se tomara como valor

experimental de la misma el que resulte de evaluar la expresi on matematica para

los valores experimentales previamente obtenidos de cada una de sus variables, y

como error absoluto el que corresponda segun los casos (1.13), (1.17) o (1.19).

Ejemplo 3.-: Supongamos que se ha medido una magnitud fsica x obteniendose unvalor experimental de 0, 442(0, 003) y que tenemos interes en medir indirectamente otra


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magnitd fsica que es precisamente y = x2 con su error correspondiente. a.-) El valor

experimental dey esy = (0.442)2 = 0.195. b.-) El error absoluto de y sera:y= |2x|x(1.13); y = 2 0.442 0.003 = 0.003. Por lo tanto el valor experimental de y, es:y= 0.195(0.003) (en las unidades correspondientes)

Ejemplo 4.-:Supongamos que se ha medido de forma directa la tension y la intensidad en

una resistencia obteniendose: V = 10.0(0.1)V e I= 2.50(0.05)A. Determinar el valorde la resistencia R= V /I(ley de Ohm) con su error correspondiente.

R=10.0

2.5 = 4.00

R

R =

V

V +

I

I =

0.1

10 +

0.05

2.5 = 0.03

R= 0.03 4.00 = 0.12 (1.22)

por tanto:

R= 4.00(0.12) (1.23)

Ejemplo 5.-: Se han medido mediante procedimientos estadsticos la longitud L de un

pendulo obteniendose 1.453(0.001)m y para el periodo Tdel mismo 2.42(0.01)s, y sedesea calcular la aceleracion de la gravedad g con su error correspondiente a partir de la

expresion aproximada:

g=42L

T2 (1.24)

a.- Caculamos el valor de g

g=4 (3.1416)2 1.453

(2.42)2

g= 9.79ms2 (1.25)

b.- Calculamos el error absoluto de g. ComoL y T, fueron obtenidos por metodos estadsti-

cos:

sg =

g

L

2s2L

+

g

T

2s2T

(1.26)

g

L=

42

T2 ;

g

T = 24

2L

T3 (1.27)

c.- Como m= 3sm, tenemos:

sL=L

3 sT =

T

3 (1.28)

sL=0.001

3 = 0.0003m sT =

0.01

3 = 0.003s (1.29)


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d.- Por lo tanto:

sg=

4 2(2.42)2

2(0.0003)2 + (

4 2 1.453(2.42)3

)2(0.003)2

sg= 0.024ms2 (1.30)

e.- Como g = 3sg, el resultado final de la medida indirecta de g con su error correspon-

diente es:

g= 9.79(0.07)ms2 (1.31)

Ejemplo 6.-: Supongamos que nuevamente deseamos obtener el valor de la gravedad

de acuerdo con (1.24), habiendo side en este caso L y o T obtenidas mediante una sola

medida. En este caso, tras asignar los errores absolutos, segun corresponda (o bien a partirde la sensibilidadSo de la desviacion estandar, dependiendo de como se obtuvo la medida),

aplicando (1.19) se obtiene:

g=

gLL+

gTT

=42

T2L+ 2

42L

T3 T (1.32)

Sustituyendo los valores de L, T,L,Tdel ejemplo anterior, se obtieneg= 0.009ms2.

Por lo tanto, el resultado de la medida indirecta de g, en este caso es:g = 9.79(0.09)ms2

.

1.4. Presentacion de resultados numericos

Cualquier valor experimental m de una magnitud fsica debe expresarse con de-

terminado numero de cifras significativas que viene limitado por el valor del error

absoluto. Se define cifras significativas Ns al numero de cifras que hay desde la

primera cifra distinta de cero empezando por la izquierda hasta la primera cifra que

venga afectada por el error absoluto, ambas inclusive. Es evidente que no tiene senti-

do escribir cifras no significativas de un resultado fsico. Ademas, el convenio de soloescribir las cifras significativas de un resultado nos hace tener informaci on inmediata

sobre su error absoluto por el mero hecho de verlo escrito.

Ejemplo 7.-: Si nos dicen que la longitud de un cuerpo es de 14.7m sabemos que se ha

medido con una precision de decmetros y que por ello nos dan 3 cifras significativas. Si la

precision de la medida hubiese sido de centmetros, entoces nos habran dicho 14.70m (4

cifras significativas).

El expresar un resultado en una u otra cantidad no cambia su numero de cifras signi-ficativas. Por ello, los ceros a la izquierda de un numero no son cifras significativas y


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solo se utilizan para situar el lugar decimal. Los ceros a la izquierda pueden evitarse

usando notacion cientfica (potencias de 10).

Ejemplo 8.-:Decir que una masa es de 2.342g o decir que es de 0.002342kg, no cambia

el numero de cifras significativas. En ambos casos es N

s

= 4. En notacion cientfica sera:2.342 103.

Los ceros al final de una medida pueden ser o no cifras significativas.

Ejemplo 9.-: Si nos dicen que en Espana hay 40000000 de personas puede que los haya

exactamente, en cuyo caso el cuatro y todos los ceros son cifras significativas, o puede

que se haya redondeado a un numero entero de millones, en cuyo caso solo el cuatro y

el primer cero son cifras significativas. Para esta ultima situacion, lo mas aconsejable para

evitar ambiguedades, sera entonces haber escrito 40 106

o cuarenta millones.

Cuando se hace una medida tanto directa como indirectamente puede que se obtenga

el resultado con mas cifras de las significativas. De acuerdo a lo expuesto anteriormente

sera el error absoluto de la medida el que nos determine las cifras significativas con que

debemos presentar el resultado. As, tras obtener el error absoluto, sera necesario llevar

a cabo un redondeo en el valor de la medida para conservar solo cifras significativas. La

tecnica de redondeo consiste en: Una vez conocido el numero de cifras significativas

con las que debemos presentar nuestro resultado, si la cifra siguiente a ella es cinco o

mayor que cinco, entonces debemos aumentarla en una unidad, pero si es menor quecinco no se modifica la ultima cifra conservada.

Elredondeo, tambien debe aplicarse al error absoluto, para ello debemos recordar

el concepto de incertidumbre en el resultado que se asocia al error absoluto, por lo tanto

este mismo no debe expresarse nunca con mas de dos cifras significativas. Por convenio,

el error absoluto se expresara con dos cifras si la primera de ella es 1, o si siendo un

2, no llega a 5 la segunda. En los demas casos, el error absoluto debera expresarse con

una sola cifra significativa obtenida mediante redondeo.

Ejemplo 10.-:Veamos algunos casos de resultados expresados correcta e incorrectamente:

INCORRECTO CORRECTO

5, 619(0.126) 5.62(0, 13)8.4(0.06) 8.40(0.06)

345.233(0.18) 345.23(0.18)2.023(0.0261) 2.02(0.03)

Aunque la determinacion precisa del error y por tanto, del numero de cifras significa-

tivas en una magnitud calculada a partir de otras magnitudes debe llevarse a cabo


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mediante la tecnica de propagacion de errores, podemos no obtante estimar el numero

de cifras significativas en algunos casos sin necesidad de obtener previamente el er-

ror. As en calculos que implican multipicacion, division extraccion de races de

numeros, el resultado final no puede tener mas cifras significativas que los datos con

menor numero de ellas. En calculos de sumas yrestas de numeros, el resultado finalno tiene mas cifras significativas despues de la coma decimal que la de los datos con

menor numero de ellas despues de la coma decimal. En el caso de restas entre numeros

muy parecidos suele ocurrir que el resultado tiene muchas menos cifras significativas

que cada uno de ellos.

Ejemplo 11.-:Tras medir los tres lados de un paraleleppedo se han obtenido los siguientes

resultados: a = 12.3(0.1)cm, b = 8.5(0.1)cm y c = 0.3(0.1)cm. Con estos datosdeseamos estimar el numero de cifras significativas para su volumen obtenido como V =abc.

De acuerdo con lo expuesto, el resultado final del volumen tendra solo una cifra significativa,(cposee una sola cifra significativa). Por lo tanto: V = 12.38.50.3 = 31.365cm3. Trasel redondeo V = 0.00003m3 o V = 3 105. (Si calculamos el posible valor maximo ymnimo de V obtenemos:Vmin= 12.28.40.2 = 20.496cm3 yVmax = 12.48.50.3 =42.656cm3. Verificamos que la primera cifra del volumen es distinta en cada caso, por lo

tanto esta afectada de error (es incierta), y por lo tanto el resultado debera redondearse a

una sola cifra)

Cuando aparezcan constantes en las expresiones a evaluar, tomaremos dichas con-

stantes con un numero mayor o ,al menos, igual de cifras significativas que el que

corresponda a la media con mas cifras significativas. De esta forma evitamos que las

constantes introduzcan errores adicionales (podemos entoces considerarlas como exac-

tas).

Ejemplo 12.-:Se quiere calcular el volumen de un cilindro recto de radiory alturahsiendo

r = 4.5(0.1)cm y h = 55.7(0.1)cm. El volumen es r2h. En este caso la constante la tomaremos (como mnimo) con tres cifras significativas para no ser causa de errores

adicionales y el volumen que obtendremos lo expresaremos con dos cifras significativas

(coincide con la medida con menos cifras significativas).

En el ejemplo siguiente, se pone de manifiesto la importancia de conocer los errores

absolutos de las magnitudes fsicas para poder sacar conclusiones de los resultados

obtenidos.

Ejemplo 13:-: Supongamos que se desea determinar si la resistencia de un material

depende de la temperatura. Para ello tomamos una bombilla de alambre de cobre y se mide


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su resistencia a dos temperaturas distintas, obteniendose:

T1= 20oC R1= 4.024

T2= 30oC R2= 4.030 (1.33)

Si no indicamos los errores obtenidos en cada medida, no podemos llegar a ninguna

conclusion.

Si el error en cada medida fuese0.002, la conclusion sera que la resistencia s dependede la temperatura. En cambio, si el error hubiese sido de0.008, la conclusion sera quela resistencia no depende de la temperatura.

1.5. Recta de mnimos cuadrados

El problema de la ciencia experimental no se reduce a medir ciertas magnitudes

con la maxima precision posible, sino que es fundamental buscar una ley cuantitativa

entre dos o mas magnitudes que estan variando de manera correlacionada.

Supongamos que el fenomeno que se quiere estudiar dependa de dos magnitudes x

e y. La ley que gobierna el fenomeno relaciona una magnitud x con la otra y de tal

manera que durante una serie de experiencias se determinan los valores de una de ellas,

por ejemplo y, que corresponden a los distintos valores de la otra (en este caso x). Si

se han hecho n medidas tendramos:

(x1, y

1), (x

2, y

2), ......, (xn, yn) (1.34)

y nos preguntamos si es posible conocer la relacion funcional o la ley fsica, entre las

magnitudesx,y. Dicha relacion se puede formular diciendo que una magnitud es funcion

de la otra, o sea:

y = y(x) (1.35)

Se trata por lo tanto de determinarla curva de mejor ajusteque relaciona ambas

magnitudes utilizando los datos experimentales (1.34). Esto suele ser un problema

bastante complejo, pero si conocemos la ley fsica (y(x)) que relaciona ambas cantidades

de antemano, se tratara de elegir el tipo de comportamiento funcional que representanuestro problema, o sea eligiramos como ambas variables se relacionan entre s. Esa

relacion puede ser de la forma:

y=ax+b, y = b+a/x, y= ax2 +bx+c , y = aebx, ..... (1.36)

Una vez elegida, queda por determinar el valor de los parametros a,b,c, etc. que

aparezcan en y(x), de forma que la funcion se ajuste lo mejor posible a la nube de

puntos experimentales (x1, y 1), (x2, y2), ...., (xn, yn).Para ajustar estos puntos lo mejor posible, nosotros elegiremos el denominado

metodo de los mnimos cuadrados. A continuacion explicaremos esta tecnica para


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el caso en el que la dependencia ente x e y es lineal, y =ax + b. O sea, vamos a definir

la recta de mejor a juste en el sentido de mnimos cuadrados, tambien denom-

inada recta de regresion. Esta idea puede ser desarrollada para ajustar cualquier

otro tipo de funcion.

1.5.1. Ajuste de recta por mnimos cuadrados

Nuestra funcion elegida es una recta de la forma:

y = ax+b (1.37)

donde a es la pendiente de la recta yb es la ordenada en el origen. El objetivo ser a de-

terminar aybpara que (1.37) sea la recta que mejor se ajuste a la coleccion de datos

experimentales (1.34) segun el criterio que veremos a continuacion:

1. Residuo: Lo primero que tenemos que definir es el residuo de cada punto de(1.34) con respecto a la recta (1.37) como:

ri=yi y(xi) =yi (axi+b) (i= 1, .....n) (1.38)cantidad que puede ser positiva o negativa segun si el punto experimental (xi, yi)

este por encima o por debajo, respectivamente, de la recta. En el caso particular

de que el punto estuviese sobre la propia recta su residuo sera nulo.

En principio el valor de los residuos dependera de la recta elegida (determinada

por los valores concretos elegidos para a y b). El criterio de ajuste por mnimos

cuadrados que utilizaremos consistira en elegir la recta de forma que la suma de

los cuadrados de los residuos sea mnima. Esto es, debemos determinar ay b de

forma que:n

i=1

r2i =ni=1

(yi axi b)2 (1.39)

sea mnima. La suma anterior puede verse como una funcion de dos variables,ni=1 r

2 =f(a, b), ya que, para un conjunto de datos experimentales, el resultado

de dicha suma dependera solo de los valores elegidos de a y b, que actuan ahora

como variables de la funcion. En este sentido, para determinar los valores de ay b que hacen mnima a f(a, b) puede utilizarse la tecnica de calculo de maxi-

mos y mnimos de funciones de varias variables. As, exigiendo que las derivadas

parciales de la funcion f[a, b) con respento las variables a y b(f/a) (f/b),

sean nulas se obtiene:

a=nCDE

nFD2 b=F EDC

nFD2 (1.40)siendo:

C=n

i=1

xiyi ; D=n

i=1

xi ; E=n

i=1

yi ; F =n

i=1

x2i

(1.41)


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Puede denostrarse que la recta de mnimos cuadrados tiene la propiedad de pasar

por el punto medio de los valores experimentales (x,y).

La pendientea y la ordenada en el origen b de la recta de mnimos cuadrados son

en muchas ocasionesmagnitudes fsicasque se quieren medir. Por ello, es impor-

tante establecer que error absoluto vamos a considerar para dichos parametrosas calculados. Estos vienen dados por:

sa=

n

ni=1 r

2i

(n 2)(nFD2) (1.42)

sb=

F

ni=1 r

2i

(n 2)(nFD2) (1.43)

Tomaremos como error absoluto de la pendiente y de la ordedenada en el origen de

una recta de mnimos cuadrados el triple de sus desviaciones estandar respectivas,o sea:

a(3sa) b(3sb) (1.44)

Conviene senalar que, en algunas ocasiones, esta banda de error para ay bresulta

ser excesiva, resultando aparentemente imposible seleccionar ni siquiera una sola

cifra significativa de los resultados. Cuando esto ocurra, es aceptable adoptar un

criterio de error mas suave (por ejemplo, las propias desviaciones estandar en

lugar del triple de las mismas).La recta de regresion obtenida nos permitira, si lo deseamos, estimar el valor de

la magnitud y para valores de s inicialmente medidos. Se puede demostrar que

el valor obtenidoy0, utilizando la recta de regresion para un cierto x0 cualquiera

no medido, viene afectado por una desviacion estandar

sy0 =

ni=1 r

2i

(n 2)

D 2x0D+nx0nFD2

, (1.45)

y como error absoluto del valor estimadoy0adoptaremos el triple de su desviacion

estandar:

y(3sy0) (1.46)

2. Coeficiente de correlacion r.Parametro lineal de las variables xe y , que nos

permite determinar la bondad del a juste de la recta de mnimos cuadrados. Una

de las formas de expresarlo es:

r= nCDE

(nFD2)(nG E2) (1.47)

siendo G =n

i=1 y2i . El coeficiente de correlacion puede ser positivo o negativoy su valor absoluto|r|, vara entre 0 y 1. El a juste es tanto mejor cuanto mas


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5. Debeespecificarsesiempre sobre los ejes horizontales y verticales cuales son las

magnitudesall representadas,as como las unidadesfsicas a que corresponden.

1.7. Memoria de las practicas

La realizacion de un trabajo experimental en el laboratorio ira siempre acompanado

de la posterior presentacion de una Memoria de Practa. Cada pareja de practica pre-

sentara una memoria de cada practica realizada.

La presentacion de las memorias debera estar dentro de los margenes de claridad y

limpieza exigibles a un alumno de ensenanzas superiores.La utilizacion de ordenadores

e impresoras para la elaboracion de la memoria es la opcion mas recomendable, no ob-

stante, pueden realizarse manualmente si el alumno no dospusiese de medios adecuados.

La presentacion extremadamente cuidada sera un factor positivo a tener en cuenta, pero

en nigun caso la excusa para descuidar el contenido escrito de las memorias.Un esquema general, aunque flexible, del contenido de una memoria es el que sigue:

1. Una primera pagina con ttulo, autores y fecha de realizacion de la misma.

2. Una breve introduccion para marcar los objetivos de la Practica.

3. Una descripcion del montaje experimental utilizado en el laboratorio: aparatos,

tecnicas de medida, etc.

4. Presentacion de resultados: tablas, graficas, etc. Los resultados deberan veniracompanados de sus correspondientes errores, cuando as se especifique. No

olvidar nunca presentar losresultados con sus unidadescorrespondientes, en

otro caso careceran de significado.

5. Interpretacion de los resultados y conclusiones. a.-) Comentarios sobre cualquier

aspecto del trabajo experimental. b.-) Detalles acerca del desarrollo del experi-

mento, c.-) Posibles fuentes de errores sistematicos no eliminada, d.-) Sugerencias,

etc

6. Un ultimo punto que se debe anadir a la memoria de practica y de fundamental

importancia concierne a la confrontacionde los resultados obtenidos mediante

las rectas de mnimos cuadrados con los resultados predichos por la teora cor-

respondiente. Una memoria de practicas sin estos comentarios se considerara in-

completa y por lo tanto no terminada en su totalidad.


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1.8. RESUMEN: Estimacion de errores en las medidas

1.- Medidas Directas

1.1- Una unica medida

1) Valor verdadero: el medido, m

2) Error cometido: Aparatos analogicos y digitales, la sensibilidad S del

aparato m S.1.2- Varias medidas

1) Valor verdadero: el valor medio, m.

2) Error cometido: El triple de la desviacion estandar media, sm m 3sm.

2.- Medidas Indirectas y = f(x,z,t)

2.1- Medidas obtenidas de una sola medicion

1) Valor experimental dey: el que resulta de evaluar la funcion y para los

valores obtenidos directamente de x, z, t, ....

2) Error cometido: aproximamos mediante tecnicas de calculo diferencial.

dy= y=

f

x

x+

f

z

z+

f

t

t+.....

los x, z, t, ....se obtendran de las sensibilidades de los aparatos de

medidas.

2.2- Medidas obtenidas por tecnicas estadsticas

1) Valor verdadero:

x x 3sxz z 3szt t 3st

2) Error absoluto cometido en y,

sy, se obtiene de tecnicas estadsticas:

sy =

f

x

2s2x+

f

z

2s2z+

f

t

2s2t

3.- Recta de mnimos cuadrados: y = ax+b

3.1- Error cometido en ayb, es suficiente con a sa, b sb.3.2- Buen ajuste: si el valor absoluto del coeficiente de correlacion |r|, es proximo

a la unidad


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1.9. Ejercicios sobre Tratamiento de Errores y Medidas

1.- Expresar en notacion cientfica las siguientes cantidades:

1.1- 23 nT

1.2- 0.003 mA

1.3-5.0 V1.4- 2.5 GHz

1.5- 3.0 M W

1.6- 7.0pF

2.- Estime el error de aproximacion al medir:

2.1- Una distancia aproximada de 75 cm con una cinta metrica.2.2- Una masa de unos 1.2 g con una balanza analtica.

2.3- Un lapso de aproximadamente 6 mincon un cronometro.

3.- Una tecnica para medir distancias desde un punto a un satelite artificial es la que

se denominaLaser Ranging. Esta tecnica consiste en emitir un pulso laser desde

la superficie terrestre y medir el tiempo que tarda en recibirse el pulso reflejado

por el objeto. Sabiendo que la velocidad de la luz es c = 299792458 m/s y que

entre la emision y recepcion del pulso han transcurrido t = 4000012ns:

3.1- Cual es el error implcito en c y t?

3.2- Cual es la distancia al satelite?

3.3- Con que precision se conoce la distancia?

3.4- Expresar correctamente dicha distancia.

4.- Con una regla graduada de madera, usted determina que un lado de un trozo

rectangular de lamina mide 12 mm y usa un micrometro para medir el ancho

del trozo, obteniendo 5.98 mm. Conteste las siguientes preguntas con las cifrassignificativas correctas:

4.1- Que area tiene el rectangulo?

4.2- Que razon ancho/largo tiene el rectangulo?

4.3- Que permetro tiene el rectangulo?

4.4- Que diferencia hay entre la longitud y la anchura?


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5.- Para determinar el area de un rectangulo se han realizado 10 medidas de cada

uno de sus lados obteniendose los valores reflejados en la tabla adjunta:

a(mm) 24.25 24.26 24.22 24.28 24.23 24.25 24.22 24.26 24.23 24.24

b(mm) 50.36 50.35 50.41 50.37 50.36 50.32 50.39 50.38 50.36 50.38

Deteminar el valor del area del rectangulo y de la incertidumbre asociada:

5.1- A partir de los valores medios asociados a cada una de las dos dimensiones.

5.2- A partir del valor medio que se obtendra calculando los valores individuales

del area para cada una de las medidas.

6.- Calcular la capacidad de un condensador esferico de radio R = (0.350 0.002)cm,y separacion entre armadurasd = (0.75 0.04) mm. La permitividad dielectri-ca del medio es = (8.85 0.001) 10

12

F/m. La capacidad del condensadorviene dada por la expresion:

C = 4 R2

d (1.48)

7.- Para determinar el valor de la aceleracion de la gravedad g se ha utilizado un

carril de aire inclinado, de longitud L = (1000 1)mm, cuyo punto mas alto sesitua respecto al mas bajo a una altura de H = (259 1)mm. Por dicho carrilse ha dejado caer cierta masa, y se ha medido el tiempo empleado en recorrer

distintas distancias, obteniendose los siguientes resultados:

d(cm) 100 120 140 160 180 200

t(s) 0.887 0.973 1.052 1.124 1.192 1.257

La distancia recorrida por la masa viene expresada en funcion del tiempo por:

d = gH

2Lt2 (1.49)

Si se representa en un sistema de ejes cartesianos las distancias d en ordenadas y

los cuadrados de los tiempost2 en abscisas, obtendremos una recta cuya pendiente

nos permite determinar el valor de g.

7.1- Representar graficamente los puntos anteriores y la recta de regresion cor-

respondiente.

7.2- Obtener por el metodo de mnimos cuadrados la pendiente y la ordenada en

el origen de dicha recta.

7.3- A partir de la pendiente y su error, determinar el valor de g con su error

correspondiente.


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2 PRACTICA 2: LEY DE HOOKE 22

2. Practica 2: Ley de Hooke

Figura 2: Muelle

2.1. Ley de Hooke

1.- Conceptos Implicados: Fuerza, esfuerzo, deformacion, constante elastica, resorte.

2.- Principios Fsicos: Para mantener un resorte estirado una distancia xmas alla de

su longitud sin estiramiento, debemos aplicar una fuerza de igual magnitud en

el extreno del resorte. Si el alargamiento x no es excesivo, vemos que la fuerza

aplicada en el extremo es proporcional al propio alargamiento, o sea :

|F| = ky (2.50)

donde k es una constante llamada constante de fuerza o (constante de re-

sorte) del resorte (o muelle)y las unidades son: [fuerza dividida por distancia].

Esta constante nos indica lo rgido que es dicho muelle. Por ejemplo un resorte

blando (de juguetes) tiene una constante de fuerza del orden de 1N/m; para los

resortes mucho mas rgidos de la suspension de un automovil, k es del orden de

105 N/m. La observacion de que el alargamiento (no excesivo) es proporcional

a la fuerza fue hallada por Robert Hooke en 1678 y se conoce como Ley de

Hooke; sin embargo no debera llamarse ley, pues es una afirmacion acerca deun dispositivo especfico y no una ley fundamental de la Naturaleza. Los resortes


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reales no siempre obedecen la ecuacion (2.50) con precision, o sea que no en to-

dos los resortes (muelles) la deformacion es directamente proporcional a la fuerza

aplicada. Por ejemplo una goma elastica no tiene esa propiedad. Si la fuerza apli-

cada a un resorte es muy grande, puede ocurrir que este puede que no vuelva

a su posicion de equilibrio, en este caso decimos que el resorte, (o muelle), seha desformado. As, todo muelle real tiene un lmite de deformacion en el que

pierde esta proporcionalidad (lmite elastico), o sea, que la fuerza aplicada sea

proporcional al estiramiento, no cumpliendo en ese momento la ley de Hooke.

3.- Material: Base soporte, varilla, nuez con gancho, dispositivo ley de Hooke (rojo

= muelle blando, azul = muelle duro), portapesas 20g, 8 pesas de 10 g y 5 pesas

de 20 g.

4.- Objetivos: Estudiar la relacion existente entre la fuerza aplicada a un muelle y su

estiramiento. Verificar la ley de Hooke y calcular la constante de cada uno de los

muelles.

5.- Disposicion Experimental:

Figura 3: Experimento

Realizar el montaje mostra-

do en la Figura (3). Para el-

lo roscar la varilla en la basesoporte y fijar la nuez con

gancho en la varilla vertical.

Colgar de la nuez el disposi-

tivo que corresponda: El ro-

jo es el muelle mas blando

y el azul el mas duro. Estos

dispositivos llevan incorpo-

rada una escala en milmet-

ros, para poder medir direc-

tamente el estiramiento del

muelle mediante el ndice

rojo. Antes de colgar ningun

peso asegurese que el ndice

rojo marque el 0 de la es-

cala.


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6.- Realizacion y Toma de Datos: Colguemos del gancho el dispositivo rojo al que pre-

viamente habremos ajustado el 0. Puesto que el portapesas tiene un peso ex-

acto de 20 g, lo usaremos tambien como una pesa mas y mediremos la elongacion

correspondiente. Por ello, en nuestro caso, como la posicion inicial del reposo es

xo = 0, entonces x = x xo = x. Despues del portapesas iremos introducien-do una a una las 8 pesas de 10 g e iremos rellenando la tabla I. Tener en cuenta

que|F|es el peso en Nde las masas por lo que|F| =|mg|cong = 9, 8 m/s2 yxes el valor medido en la escala transparente.

Tabla 1: Medidas del la fuerza aplicada al resorte Rojo en funcion de

su elongacion

m(kg) |F | =|m 9.8j| (N) x(cm) x(m) kr = |F|x (N/m)

0.020

0.030

0.040

0.050

0.060

0.0700.080

0.090

0.100

A partir de los valores de kr obtenidos calcular el valor medio de k con su error

correspondiente kr kr = ..........Repetir estas mismas medidas para el dispositivo azul. En este caso usaremos

las cinco pesas de 20 g y las ocho pesas de 10 g. Como en el caso anterior el

portapesas lo usaremos como una pesa mas.


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Tabla 2: Medidas del la fuerza aplicada al resorte Azul en funcion de

su elongacion

m(kg) |F | =|m.9.8j| (N) x(cm) x(m) ka = |F|x (N/m)

0.020

0.040

0.060

0.080

0.100

0.120

0.140

0.1600.180

0.200

A partir de los valores de ka obtenidos calcular el valor medio de k con su error

correspondiente ka ka = ..........

7.- Tarea a Realizar:

7.1- Dibujar la grafica de|

F|frente a x y estudiar la linealidad de la recta para

el muelle rojo.

7.2- Ajustar la recta por mnimos cuadrados y hallar el valor de la pendiente de

la recta para el muelle rojo.

7.3- Hallar el valor de kr con su error correspondiente a partir de la pendiente

de la recta para el muelle rojo.

7.4- Comparar ambos resultados, o sea el valor dekr y el obtenido a traves de la

pendiente de la recta, indicando si ambos coinciden o no. En caso negativo,

explicar las causas de dicha discrepancia.

7.5- Dibujar la grafica de|F|frente a x y estudiar la linealidad de la recta parael muelle azul.


la recta para el muelle azul.

7.7- Hallar el valor de ka con su error correspondiente a partir de la pendiente

de la recta para el muelle azul.

7.8- Comparar ambos resultados o sea el valor deka y el obtenido a traves de la

pendiente de la recta indicando si ambos coinciden o no. En caso negativo,explicar las causas de dicha discrepancia.


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Figura 4: Muelles en paralelo

Supondremos el caso unidimensional y

consideraremos que un peso mg cuelga

de ellos. La masa esta unida al techo

a travas de dos resortes de constantes

k1 = kr y k2 = ka. Cuando la masadesciende una cantidad x, los muelles se

estiraran la misma cantidad.

x1 = x2 = x

La fuerza total que los muelles ejercen

sobre la masa sera su resultante:

F = F1 + F2 =

kax1

krx2 =

kax krx =(ka + kr)x

Figura 5: Muelles en serie

Consideremos ahora dos muelles uno

puesto a continuacion del otro. El muelle

azul se encuentra anclado en la pared y

se estira una cantidad x1. El muelle ro-

jo se encuentra anclado a este, y se es-

tirara una cantidad x2. Por lo tanto la

masa m se encontrara a una distanciax1 + x2 = x del techo. Para escribir

las ecuaciones de movimiento, podemos

suponer temporalmente que en el punto

de union de los dos muelles se encuen-

tra una pequena masa m0, que posteri-

ormente podemos hacerla tender a cero.

Esa masa esta unida a los dos muelles,

uno de constante ka unido a la pared y

otro de constante kr unido a la masa m.

La segunda ley de Newton aplicada a la

masa m0 sera:

y la constante equivalente a la asociacion en serie cumple que:

1

ks=

1

ka+

1

kr ks = kakr

ka+kr(2.52)

Resumiendo, de forma analoga a como ocurre en condensadores en circuitos

tenemos:


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1) Si los muelles estan en paralelo, la constante de la asociacion es la suma

de las constantes

kp = ka + kr (2.53)

2) Si los muelles estan en serie, la inversa de las constantes es la suma de

las inversas,1

ks=

1

ka+

1

kr(2.54)

4.- Disposicion Experimental y Toma de Datos:

4.1- Muelles en Paralelos: Siguiendo la disposicion experimental de la Figura (6)

Figura 6: Muelles en Paralelo

una el resorte rojo y el azul en paralelo.

4.2- Toma de Datos: Colguemos el portapesas de 20 g y anotemos el valor de x0

inicial que tendremos, utilice para esa medida la regla que esta unida a la

barra de la disposicion experimenal. A partir de ese valor inicial anadamos

pesas de 20 gramos, hasta completar la tabla. La elongacion asociada a cada

pesa anadida la llamaremos xi


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Tabla 3: Medidas de la fuerza aplicada a dos muelles en paralelo

en funcion de su elongacion

x0(cm) =

m(kg) |F| =|m.9.8j| (N) xi(cm) x(cm) = xi x0 x(m) kp = |F|x (N/m)

0.020

0.040

0.060

0.080

0.100

0.120

0.140

0.160

0.180

0.200

A partir de los valores de kp obtenidos calcular el valor medio de kp con su

error correspondientekp kp = ..............4.3- Muelles en Serie:

Figura 7: Muelles en serie

Siguiendo la disposicion experimental de la Figura (7) una el resorte azul y

rojo en serie.


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4.4- Toma de Datos: Colguemos el portapesas y anotemos el valor de la elon-

gacion inicial x0 con ayuda de la regla unida a la barra de la disposici on

experimental. A partir de este valor inicial anada pesas de 10 gramos, hasta

completar la tabla. La elongacion asociada a cada masa anadida la llamare-

mos xi.

Tabla 4: Medidas de la Fueza aplicada a dos muelles en serie en

funcion de su elongacion

x0(cm) =

m(kg) |F| =|m.9.8j| (N) xi(cm) x(cm) = xi x0 x(m) kp = |F|x

(N/m)

0.010

0.020

0.030

0.040

0.050

0.060

0.070

0.080

0.09

0.100

A partir de los valores de ks obtenidos calcular el valor medio de ks con su

error correspondienteks ks = ..............

5.- Tareas a Realizar:

5.1- Dibujar la grafica de|F|frente a x y estudiar la linealidad de la recta parala asociacion de muelles en paralelo.


la recta para los muelles en paralelo.

5.3- Hallar el valor de kp con su error correspondiente a partir de la pendiente

de la recta para los muelles en pararelos.

5.4- Comparar ambos resultados, o seakp y kp obtenido a traves de la pendiente,

indicando si ambos coinciden o no. En caso negativo, explicar las causas de

dicha discrepancia. (Recuerde que para comparar los datos debemos calcular

los errores correspondientes)

5.5- Verifique que el valor obtenido parakp coincide con el valor teorico kp =

ka + kr. Compare el valor dekpobtenido con la recta de ajuste por mnimoscuadrados con el obtenido a traves de su expresion teorica. Caso no coincidan


33/76


indique el por que. (Recuerde que para comparar los datos debemos calcular


5.6- Dibujar la grafica de|F|frente a x y estudiar la linealidad de la recta parala asociacion de muelles en serie.


la recta para los muelles en serie.

5.8- Hallar el valor de ks con su error correspondiente a partir de la pendiente

de la recta para los muelles en serie.

5.9- Comparar ambos resultados, o seaksyksobtenido a traves de la pendiente,

indicando si ambos coinciden o no. En caso negativo, explicar las causas de

dicha discrepancia. (Recuerde que para comparar los datos debemos calcular


5.10- Verifique que el valor obtenido paraks coincide con el valor teorico 1/ks =

(1/ka + 1/kr).

5.11- Compare el valor deksobtenido con la recta de ajuste por mnimos cuadra-

dos con el obtenido atraves de su expresion teorica. En caso de que no

coincidan indique el por que. (Recuerde que para comparar dos resultados

debemos calcular los errores correspondientes).

5.12- Dos resortes estan en paralelos cuando estan conectados entre s y estan

conectados en sus extremos. Es posible pensar en esta combinaci on como

equivalente a un solo resorte. La constante de fuerza del resorte equivalente

individual se denomina constante de fuerza efectivakefe de la combinacion.

1) Demuestre que la constante de fuerza efectiva de esta combinacion es

kefe = k1 + k2

2) Generalice este resultado paraNresortes en paralelo.

5.13- Dos resortes sin masa estan conectados en serie cuando se unen uno despues

de otro, punta con cola.

1) Demuestre que la constante de fuerza efectiva de una combinacion enserie esta dada por: 1/kefec = (1/k1 + 1/k2). (sugerencia: para una

fuerza dada, la distancia total de estiramiento por el resorte individual

equivalente es la suma de las distancias estiradas por los resortes en

combinacion, ademas cada resorte debe ejercer la misma fuerza)

2) Generalice este resultado paraN resortes.

2.3. Oscilaciones Armonicas

1.- Material: Base soporte, varilla, nuez con gancho, dispositivos ley de Hoole (rojo=muelle blando y azul = muelle duro), portapesas 20 g, 8 pesas de 10 g, 5 pesas de


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20 g y cronometro.

2.- Objetivos: Realizar un estudio dinamico del muelle. Estudiaremos de que factor o

factores depende el periodo de oscilacion de un muelle y calcularemos la constante

k da cada muelle.

3.- Fumdamento Teorico: Hemos visto que la ecuacion de movimiento de un resorte

gobernado por la ley de Hooke, es:

F = kx = ma (2.55)

donde Fes la fuerza de recuperacion, x es cuanto se ha estirado el muelle, k es

la constante del muelle y el signo negativo indica que la fuerza de recuperaci on

es de sentido contrario a la direccion de deformacion. mes la masa que oscila en

el extremo del muelle. La ecuacion (2.55) la podemos escribir como:

ma = md2x

dt2 =kx a = k

mx (2.56)

Si hacemos

2 = k

m

la solucion de la ecuacion (2.56) corresponde a un movimiento armonico simple,

cuya solucion general es de la forma (en mdulo):

x = x0cos(t) +

v0

sen(t) = A cos(t )DondeAes la amplitud del movimiento y es la constante de fase inicial. Ambos

parametros dependen de la posicion y de la velocidad inicial. Si tomamos la fase

inicial igual a cero,

x = A cos(t) (2.57)

yAes la amplitud maxima inicial en t = 0.

El periodo de oscilacion Tdepende de la masa y de la constante del muelle,

T = 2

= 2

mk f = 1

T = 1

2

km

(2.58)

donde fes la frecuencia natural de las oscilaciones.

Observamos que esta ecuacion (4.76) es similar a la obtenida en el movimiento

del pendulo simple en la aproximacion de angulos pequenos, donde aparece la

masa mall apareca la longitud del pendulo l y donde tenemos la constante del

muelle k en el pendulo nos aparece la constante de la aceleracion de la gravedad

g. Si tomamos el cuadrado de la expresion del periodo (4.76)

T2 = (2)2

k m


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observamos que la dependencia del periodo al cuadrado es lineal con la masa.

Esto nos permitira analizar si realmente el periodo de oscilaci on de un muelle

depende de la masa que colguemos en el mismo.

4.- Disposicion Experimental: Realizar el mismo montaje que en el experimento primero.

Colgar el dispositivo rojo (muelle blando) del gancho y cargarlo con el portapesas

y pesas para conseguir oscilaciones lentas (por ejemplo cinco pesas de 10 g).

5.- Realizacion y Toma de Datos:

5.1- Dependencia del Periodo de Oscilacion con la Elongacion: Con el dis-

positivo rojo cargado con las pesas, desplazemos el muelle de su posicion

de equilibrio las cantidades indicadas en la tabla siguiente y midamos el

tiempo transcurrido en 30 oscilaciones t30 (Recordar que cada oscilacion

corresponde a un periodo, es decir hay que contar una oscilacion cada vezque el muelle pasa por la misma posici on superior o inferior). El periodo

sera T =t30/30.

Tabla 5: Medidas del periodo de oscilacion del resorte rojo en

funcion de su amplitud

Amplitudx(cm) t30(s) T = t30/30 (s)

1

2

3

4

5.2- Realizar las mismas medidas pero con el disapositivo azul. Se recomienda

cargar el muelle con el portapesas y cinco pesas de 20 g.

Tabla 6: Medidas del periodo de oscilacion del resorte Azul en

funcion de su amplitud

Amplitudx(cm) t30(s) T = t30/30 (s)

1

2

34


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1) Con los resutados obtenidos en las tablas5 y 6, es posible concluir que

el periodo de oscilacion de un muelle no depende de la elongacion inicial

del mismo? Comente su respuesta.

5.3- Dependencia del Periodo de Oscilacion con el Peso Aplicado: Estudiemos

ahora si el periodo de oscilacion depende o no de la fuerza que aplicamos

al muelle. En este caso necesitamos tambien considerar el peso de la varilla

portandice ya que tambien esta oscilado.

El peso de esta varilla es de 7.5 g en ambos dispositivos. Haremos

primero las medidas con el dispositivo rojo y a continuacion con el azul.

Iremos anadiendo las masas indicadas en la tabla c (El portapesas y las 8

pesas de 10 g), desplazamos el muelle un poco de la posicion de equilibrio y

mediremos el tiempo transcurrido en 30 oscilacionest30. (recuerde que cada

oscilacion se entiende como un periodo). El periodo sera T = t30/30

Tabla 7: Medidas del periodo de oscilacion del resorte Rojo en

funcion de su peso

Masa total

Masas incluyendo

aplicadas varilla + t30(s) T = t30/30 (s) T2(s2) kr = (2)2mT2

(N/m)

(kg) portandice

m(kg)

0.020

0.030

0.040

0.050

0.060

0.0700.080

0.090

0.100

Calcule el valor medio de la constante del muelle kr con su error correspon-

dientekr kr = ..............5.4- Repetir estas medidas para el muelle del dispositivo azul. En este caso us-

aremos el portapesas, las cinco pesas de 20 g y las 8 pesas de 10 g.


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Tabla 8: Medidas del periodo de oscilacion del resorte azul en

funcion de su peso

Masa total

Masas incluyendo

aplicadas varilla t30(s) T = t30/30 (s) T2

(s2

) ka = (2)2 mT2 (N/m)

(kg) portandice

m(kg)

0.020

0.040

0.060

0.080

0.100

0.120

0.140

0.160

0.180

0.200

Calcule el valor medio de la constante del muelle kr con su error correspon-

dienteka ka = ..............

6.- Tareas a Realizar:

6.1- Realizar las graficas de T2 frente a m tanto para el muelle rojo como para

el muelle azul.

6.2- De la pendiente de las rectas obtenidas calcular los valores dekryka. Recor-

dar que T2 = (2)2

k m.

6.3- Se verifica la relacion lineal entre T2 y men ambos casos?

6.4- Estan en concordancia los valores obtenidos de kr y ka con los obtenidos

en el experimento primero (Ley de Hooke)?6.5- Discuta los resultados obtenidos en ambos casos justificando su respuesta.

6.6- Un efecto que no hemos tenido en cuenta es el peso del muelle que esta os-

cilando. Parte de la masa del muelle habra que tomarla en cuenta junto con

las masas que estamos suspendiendo en dicho muelle. Esta masas a tener en

cuenta es aproximadamente la mitad de la masa del muelle. Si tomamos en

consideracion esta masa, la expresion del periodo se vera modificada de la

siguiente manera:

T = 2

m + m0/2

k k = (2)2 m + m0/2

T2 (N/m)


38/76


dondem0es la masa del muelle. En nuestro caso este efecto es muy pequeno

ya que la masa de los muelles es pequena en comparacion con las masa

saplicadas. Para el dispositivo rojo esta masa es de 1.2 g y para el azul la

masa es de 2.6 g. Calcule cual sera la correccion en la medida de la constante

k en cada un o de los muelles y compare los resultados obtenidos.6.7- Los amortiguadores de un automovil viejo con masa de 1000 kg estan gasta-

dos. Cuando una persona de 980 Nse sube lentamente al auto en su centro

de gravedad, el auto baja 2.8 cm. Cuando el auto, con la persona a bordo,

cae en un bache, comieza a oscilar verticalmente en MAS. Modele el auto

y la persona como un solo cuerpo en un solo resorte y calcule el periodo y

la frecuencia de la oscilacion


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3 PRACTICA 3: CONSERVACION DE LA ENERGIA MEC ANICA 37

3. Practica 3: Conservacion de la Energa Mecanica

Figura 8: Rueda de Maxwell

3.1. Conservacion de la Energa Mecanica. Momento de Iner-cia

1.- Conceptos Implicados:Energa Cinetica de Traslacion, Energa Cinetica de Rotacion,

Energa Potencial, Conservacion de Energa y Centro de Masa.

2.- Principio Fsico: Demostrar que el movimiento de un solido rgido siempre puede

dividirse, en movimiento independiente de traslacion del centro de masa y rotacion

al rededor del centro de masa, no tiene cabida en este laboratorio, pero si pode-

mos comprobar que es cierto para la energa cinetica de un cuerpo rgido con

movimiento tanto traslacional como rotacional. La energa cinetica total del cuer-

po es la suma de su energa cinetica de traslacion, asociada a su centro de masa

(1/2) Mv2cmmas la energa cinetica de rotacion (1/2)Icm2 asociada a la rotacion

al rededor de un eje que pasa por su centro de masa.

Para demostrar esto consideramos el movimiento de un disco homogeneo Figu-

ra (8) que gira en sentido antihorario con respecto a su eje, (que tomaremos como

ejez). El centro de masa del disco sera el origen de referencia y el disco se puede

representar geometricamente como un crculo en el plano xy que gira respecto

al eje z. Como tratamos con un solido rgido (indeformable), compuesto de N


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partculas cada una de ella con masa mi, donde la suma total de la masa de

cada partculaN

i mi es igual a la masa total del discoM. Si centramos nuestra

atencion en cualquiera de esas partcula de masami, con vector posicion respecto

al centro de masa igual a:

ri = xii + yij

su movimiento esta relacionado con el movimiento del resto de las partculas en

el sentido de que todas recorren los mismos angulos en el mismo tiempo (solido

rdido), es decir, si la velocidad angular de rotacion de esa partcula de masa

mi en un instante dado es (t), entonces todas las Npartculas que componen

el disco giran con la misma velocidad angular. El vector velocidad angular en

relacion al eje de giro considerado (z) se define como :

= k

el vector unitariok nos esta indicando que el disco esta girando alrededor del eje

z. La velocidad de esa partcula de masa mi sera:

ui = dri

dt = ri. (3.59)

La Energa Cinetica de esa partcula de masa mi sera

Eci = 1

2miu

2i =

1

22(mir

2i ) (3.60)

La Energa Cinetica total del disco sera la suma de la Energa Cinetica de cada

una de sus partculas, ademas como solo estamos considerando movimiento de

rotacion a esta Energa Cinetica se le llama Energa Cinetica de RotacionEr, por

lo tanto:

Er =Ni=1

Eci =Ni=1

1

2miu

2i =

1

22

Ni=1

mir2i (3.61)

La cantidadNi=1

mir2i = Iz

es una caracterstica de los cuerpos rgidos llamadaMomento de Inerciadel cuer-

po con respecto al ejez(eje de giro). Por lo tanto la Energa Cinetica de Rotacion

del disco que gira respecto al eje zque pasa por su centro de masa con velocidad

angular es:

Er = 1

2Iz

2 (3.62)

Ahora bien, nuestra rueda de Maxwell, no solamente gira, sino que tambien se

desplaza (cae), o sea que su centro de masa no esta fijo sino que se mueve conuna cierta velocidad que llamaremos vCM v. Por tanto, ademas de la Energa


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Cinetica de Rotacion la rueda de Maxwell tiene una Energa Cinetica de traslacion

asociada a su centro de masa que sera:

Et = =1

2M v2 (3.63)

En el movimiento de la rueda de Maxwell tambien debemos considerar la Energa

Potencial gravitatoria a la que esta sometida la rueda. Si tomamos el origen de

alturas en la posicion inicial, la Energa Potencial total asociada a cada una de

las partculas sera Epi =migsi, donde si es el desplazamiento vertical de lapartcula respecto a su posicion inicial. La Energa Potencial total asociada a la

rueda de Maxwell sera:

Ep =N

i=1Epi =

N

i=1migsi (3.64)

El desplazamiento si lo podemos escribir como la suma del desplazamiento ver-

tical del centro de masa s mas el desplazamiento vertical del punto i respecto al

centro de masa s

i, o sea si = s + s

i. El desplazamiento vertical del centro de

masa esta relacionado con la velocidad del centro de masa, vCM v como:

v = ds

dt (3.65)

El termino s

, debido a la homogeniedad de la rueda de Maxwell no afecta a la

Energa Potencial de la rueda. Por lo tanto :

Ep =Ni=1

mi g s =gsNi=1

=gsM (3.66)

Si durante el movimiento de la rueda de Maxwell, asumimos que la cuerda no

desliza, la velocidad del centro de masa de la rueda sera igual a la velocidad lineal

de cualquier punto situado en la periferia del eje de la rueda donde esta arrollada

la cuerda. Si el eje tiene radio r, eso significa que

v = r (3.67)

Con estas consideraciones podemos concluir que la Energa total de una rueda

de Maxwell, que recorre una distancia s girando sin deslizar, es la suma de su

Energa Cinetica de Rotacion, mas la Energa Cinetica de Traslacion mas la

Energa Potencial, por lo tanto:

Et = 1

2Iz

2 + 1

2Mv2 Mgs

expresion que podemos reescribir como:

Et =Msg + 12

M + I

z

r2

v2 (3.68)


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Donde M es la masa de la rueda, s es el desplazamiento vertical del

centro de masa de la rueda desde la posicion inicial, Iz es el momento

de inercia de la rueda respecto el eje de rotacion que pasa por su centro

de masa y v = ds/dt es la velocidad de traslacion vertical del centro de

masa.Puesto que la Energa Mecanica total de la rueda es constante, es decir, es una

magnitud que se conserva, la ecuacion (3.68) se puede simplificar si derivamos re-

specto del tiempo y obtener una expresion para la velocidad y el espacio recorrido

en funcion del momento de inercia. Si derivamos respecto del tiempo tenemos:

0 =mgv +

m + Izr2

v

dv

dt (3.69)

Si tomamos como condiciones iniciales que para:

t = 0; s0 = 0 y v0 = 0

podemos integrar (3.69) y obtener una ecuacion para la velocidad v(t) de la

rueda y otra para el espacio recorrido por la rueda s(t) en funcion del momento

de inercia y del tiempo transcurrido durante el desplazamiento.

v(t) =

M g

M + Iz/r2

t (3.70)

s(t) =

1

2 Mg

M + Iz/r2

t2

(3.71)

3.- Objetivos: Determinar el momento de Inercia de la rueda de Maxwell y comprobar

la conservacion de la energa.

4.- Material:Rueda de Mawxwell, barrera fotoelectrica con contador digital de tiem-

pos, disparador de cable, escala milimetrica y cables de conexion.

5.- Disposicion Experimental:El montage de la practica se puede observar en la figu-

ra (11): En el se puede ver la rueda de Maxwell en su posici on inicial con las

cuerdas arrolladas en el eje del disco. En esta posicion se encuentra sujeto por el

disparador, Figura (10) que se ha de mantener apretado, de manera que cuando

se suelte el pulsador el disco quedara libre para caer y girar. Una vez que se ha

dejado libre el disco y antes de que el eje del disco llegue a su puerta de medicion,

hay que volver a pulsar el disparador y mantenerlo pulsado, para que la puerta

pueda medir el tiempo de cada.

6.- Realizacion y Toma de Datos:


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Figura 9: Dispositivo Fotoelectrico Figura 10: Dispositivo de disparo

Figura 11: Rueda de Maxwell

A una cierta distancia s se

coloca la puerta fotoelectri-ca, Figura (9) que mide el

tiempotque transcurre des-

de que se pulsa el disparador

hasta que el eje del disco

llega a la lnea de medi-

da. La regla permite medir

esta distancia con un er-

ror asociado a la precision

de la regla. Por otra parte,la puerta fotodetectora per-

mite medir los tiempos con

gran precision. Las medidas

se repetiran dos veces para

disminuir el error cometido.


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6.1- Medir el tiempo que tarda la rueda en recorrer la distancia que le separa

desde el punto inicial hasta el detector para 6 valores diferentes de altura s.

Medir dos veces el tiempo en cada caso y tomar el valor medio de las medidas

e indicar el error cometido tanto en las distancias como en los tiempos.

Tabla 1: Medidas del espacio recorrido por la rueda de Maxwell

en funcion del tiempo

s (mm) s (mm) t1(s) t2(s) t(s) t(s)

1) Representar graficamente s frente a t2.

2) Calcular la pendiente de la recta p y la ordenada en el origen b y el

coeficiente de correlacion lineal c de la recta de mnimos cuadrados

s = pt2 + b

p = b = c =

3) Trazar esta recta sobre la representacion anterior

4) Haciendo uso de la pendiente de la recta de mnimos cuadrados y com-

parando con la ecuacion (3.71), determinar el momento de inercia I de

la rueda de Maxwell. Tomar como valores para la rueda de Maxwell:

m = 0.436 kg para su masa y r = 2.5mmpara el radio de su eje.

Iz =

6.2- Para cada valor de la distancias, representar el valor de la velocidad v frente

al tiempo.


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Tabla 2: Representacion de la velocidad de la rueda de Maxwell

en funcion del tiempo

t(s) v(m)

6.3- Para cada valor del tiempo, determinar el valor de la Energa Potencial

Gravitatoria,Ep, el de la Energa Cinetica de RotacionEry el de la Energa

Cinetica de Traslacion Et.

Tabla 3: Representacion de la Energa Potencial, Enega Cinetica

de Rotacion y Energa Cinetica de Traslacion en funcion del

tiempo

t Ep Er Et

1) Representar el valor de cada Energa frente el tiempo indicando el tipode curva que se obtiene en cada caso.

2) Son las curvas obtenidas compatibles con los resultados esperados?

Explique los mismos.

7.- Preguntas y conclusiones:

7.1- Se puede deducir, partiendo de los datos obtenidos en el punto 6.3 que se

conserva la Energa Mecanica en el disco de Maxwell?7.2- Obtener las ecuaciones (3.70) y (3.71)


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7.3- Deducir las expresiones de la Energa Cinetica de Traslacion, de Rotacion y

de la Energa Potencial de la rueda de Maxwell en funcion del tiempo.

7.4- Calcular la Energa total en funcion del Tiempo.

7.5- En el apartado 6.2 Como has determinado la velocidad v asociada a cada

tiempo t y por que? Obtienes los mismos resultados si utilizas para la

velocidad v la expresion de s/t?. Si los resultados son distintos, Cual es la

expresion correcta que debemos utilizar para v, y por que?

7.6- Se hace un yoyo enrollado en un hilo varias veces alrededor de un cilindro

solido de masa My radioR. Se sostiene el extremo del hilo fijo mientras se

suelta el cilindro desde el reposo. El hilo se desenrolla sin resbalar ni estirarse

conforme el cilindro cae y gira. Use consideraciones de Energa para calcular

la velocidad vcm del centro de masa del cilindro solido despues de caer una

distancia h.


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4 PRACTICA 4: P ENDULO MATEM ATICO 45

4. Practica 4: Pendulo Matematico

Figura 12: Pendulo

4.1. Dependencia del periodo del pendulo con el angulo de

oscilacion

1.- Conceptos Implicados: Periodo de oscilacion, aceleracion de la gravedadg, y angulo

de oscilacion.

2.- Principio Fsico: Un pendulo simple es un modelo idealizado que consiste en una

masa puntual suspendida de un hilo sin masa, de longitud l no estirable. Si la

masa se mueve a un lado de su posicion de equilibrio (vertical), oscilara alrededor

de dicha posicion. La trayectoria de la masa puntual no es una recta, sino el arco

de un crculo de radio l igual a la longitud del hilo Figura (12) Las fuerzas que

actuan sobre el pendulo simple son: su peso P = mg, y la tension T del hilo.

Cuando el hilo forma un angulo con la vertical, el peso tiene las componentes

mg cos a lo largo del hilo y mg sen tangencial al arco circular en el sentido

de decreciente. Para la componente tangencial F, o fuerza de restitucion, si

aplicamos la segunda ley de Newton (

Fi=mai), obtenemos:

mg sen = F = m d2s

dt2 (4.72)


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donde la longitud del arco s esta relacionada con el angulo mediante s = l.

Derivando dos veces con respecto al tiempo ambos lado de la expresions = l se

obtiene:d2s

dt2 =l

d2

dt2 (4.73)

Sustituyendo en la ecuacion (4.72) se obtiene:

d2

dt2 = g

lsen (4.74)

Observese que la masa m no aparece en la ecuacion. Podemos considerar, anal-

izando la ecuacion (4.74), que el movimiento de un pendulo es aproximadamente

armonico simple. De hecho, si consideramos angulos pequenos, sen , pues elsen puede expresarse como una serie infinita de la forma

sen =

3

3!

+ 5

5!

7

7!

+.....+ (2n+1)

(2n+ 1)!

.

Para esta aproximacion, de angulos pequenos, la ecuacion (4.74) se convierte en:

d2

dt2 = g

l (4.75)

que corresponde a la ecuacion de un movimiento armonico simple, donde la fuerza

de restitucion F es proporcinal a la coordenada para desplazamientos pequenos

y la constante de fuerza es k = mg/l. La frecuencia angular de un pendulo

simple con amplitud pequena es:

=k

m =mg/l

m =g

l

Las relaciones de frecuencia y periodo correspondientes son:

f =

2 =

1

2

g

l

T = 2

=

1

f = 2

l

g (4.76)

Insistimos en que el movimiento de un pendulo es aproximadamente armonico

simple. Si la amplitud no es pequena, la divergencia con respecto al movimientoarmonico simples puede ser considerable. De hecho el periodo puede expresarse

como una serie infinita de la forma:

T = 2

l

g

1 +

12

22sen2

2 +

12

2232

42sen4

2 +.....

(4.77)

se expresa en radianes.

Nuestro objetivo es demostrar la dependencia de T con

l y calcular el valor

aproximado de g a partir de la expresion (4.76), despejando g obtenemos:

g = (2)2T2 T2

l = cte l

T2 = cte


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3.- Material: Base soporte con varilla, nuez doble, mordaza con varilla, hilo, bola

grande con gancho, cronometro y cinta metrica.

4.- Disposicion Experimental: Realizar el montaje mostrado en la Figura (14). Para

Figura 13: Pendulo

ello unir la varilla a la base soporte. Fijar la nuez doble y a esta la mordaza con

varilla. Cortar unos 90 cm de hilo y atarlo por el extremo del orificio de la bola

grande mediante un par de nudos simples. El otro extremo del hilo lo presionare-

mos en la mordaza y con ayuda de la cinta metrica mediremos la longitud deseada

del pendulo, teniendo en cuenta que la medida es hasta la mitad del diametro

de la bola que es donde se encuentra el centro de masa. Otra opci on es medir

siempre hasta la superficie de la bola y sumarle el radio. Segun disminuyamos

la longitud del pendulo debemos bajar la nuez doble hacia la parte vertical para

ganar estabilidad.


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5.- Realizacion y toma de datos: Para cada valor de l medir el tiempo en segundos,

transcurrido en 30 oscilaciones del pendulo t30 y hallar el periodo T como T =

t30/30, usando en las medidas dos cifras significativas despues del cero (es decir

precision de centesimas de segundo que es lo que nos muestra el cronometro).

Para ello desplazar el pendulo desde su posicion de equilibrio entre unos 5o

o 10o

y soltar la bola. Poner en marcha el cronometro cuando la bola llegue a uno de

sus extremos y pararlo cuando halla pasado 30 veces por el mismo pu

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