Practica Semana 1 mate 1 usb

7/16/2019 Practica Semana 1 mate 1 usb

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UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR Sep_dic 2009DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADASMATEMÁTICA I (MA-1111)Fecha de !"#$cac$%&' *+*+

PRÁCTICA DE LA SEMANA 1

I&,./ac$%&0 !2e.e&c$a 3 c&4ac4'ma1511usb@mai!"c#m

C#$%e$id#s

• Propiedades de los números reales.

• Inducción.

• Desigualdades y valor absoluto.

E&e'cici#s a 'es#!(e' e$ !a p')c%ica

1. Simplifica la expresión aa 22 − , Ra ∈ , sin utilizar el símbolo da valor absoluto, estudiando los

diferentes casos posibles.

2. esuelve en el con!unto de los números reales la inecuación 8102 <− x .

*. esuelve en el con!unto de los números reales la inecuación x x x −≤+−− 316255

+. Determina los valores "ue debe tomar x para "ue )( xq sea un número real, si

2

341

1)(

+

−−=

x

x xq

5. Decide si el siguiente enunciado es falso o verdadero. #ustifica tu respuesta

Ejercicios tomados del Problemario Cálculo Diferencial e Integral por publicar

1



Sean a y b dos números reales con ba < entonces 22 ba <

,. Decide si el siguiente enunciado es falso o verdadero. #ustifica tu respuesta

Sean a y b dos números reales con ba <<0 entonces 22ba <

-. Decide si el siguiente enunciado es falso o verdadero. #ustifica tu respuesta

Sean a y b dos números reales con ba < entonces bba

a <+

<2

.. Decide si el siguiente enunciado es falso o verdadero. #ustifica tu respuesta

x x =2 para todo número real x

9. $alcula el valor de la siguiente suma

( ) ( )∑ +−=

7

1

2 11k

k k

10. Demuestra "ue =++++ 222 321 n⋯ ( ) ( )

6

121

1

2 ++=∑

=

nnni

n

i

para todo entero positivo 1≥n .

11. Demuestra "ue si ba <<0 entonces

nn

b

a

b

a

<

+ 1


E&e'cici#s p'#pues%#s

1. esuelve en el con!unto de los números reales las siguientes ecuaciones.

a%4

1

2

2

2 2 −=

−−

+ mm

m

m

m b% 4

15

12

2 =

+−

x c%

4

1

3

2

++

=+−

a

a

a

a

2. esuelve en el con!unto de los números reales las ecuaciones siguientes&

a% 43 =− x b%( )

1

1

11

2=

+

−+

x

x x c% 0255

25

3=−−

− x

x

x

*. esuelve en el con!unto de los números reales las inecuaciones planteadas


2



a% 038 24 <− y y b% 910 24 −<− mm c% z z −>4 d% 0151723 ≥+−+ x x x

+. ' continuación se dan algunas afirmaciones acerca de las propiedades de las relaciones deorden. Indica cu(les son verdaderas y cu(les falsas. )n caso de "ue sean falsas enuncia la

propiedad correcta.

a% Si a y b son dos números reales con ba < entonces cbca +<+ para todo número real c .

b% Si a, b y c son dos números reales con ba < y 0>c entonces bcac < .

c% Si a y b son dos números reales con ba < entonces bcac < para todo número real c .

d% { } =≥−<∈ 1ó2/ x x R x { } ∩−<∈ 2/ x R x { } ( ) [ ) ( ]1,2,12,1/ −=∞+∩−∞−=≥∈ x R x

e% Si a es un número real con 10 << a entonces 2aa < .

/ % Si a, b , c y d son números reales con ba < y d c < entonces d bca +<+ .

% Si a es un número real con 0<a entonces 03 >a .

% Si a es un número real con 0>− a entonces 0<a .

5. esuelve en el con!unto de los números reales las inecuaciones planteadas.

a%4

1

2

2

2 2 −≥

−−

+ mm

m

m

m b%

1

2

1

23

2

−−

≤−

+ z

z

z z

,. Determina los valores "ue debe tomar x para "ue )( xq sea un número real.

a%5

203)(

−=

x xq b%

1000

497)(

x xq

−= c%

2

1)(

+−

= x

x xq d%

x

x xq

6

34)(

−=

-. ' continuación se dan algunas afirmaciones acerca del valor absoluto. Indica cu(les sonverdaderas y cu(les falsas. )n caso de "ue sean falsas enuncia la propiedad correcta.

a% 22aa = para todo número real a.

b% Si a y b son dos números reales entonces baba +=+ .

c% Si a y b son dos números reales con 0>b entonces ba xbba x >+>−⇔>+

d% Si a y b son dos números reales con 0>b entonces ba xbba x <+<−⇔<+

.. *$u(les de las siguientes expresiones son correctas+


3



a% 2323 −=− b% 5353 −=−

c% 2772 −=− d% π3π3 −=−

9. esuelve en el con!unto de los números reales las ecuaciones planteadas.

a%2

365 =− x b% 62 =+ x c% 513 =+ x d% 0

2

15 =− x e% 02 2 =− x

10. esuelve en el con!unto de los números reales las inecuaciones planteadas.

a% 224 <− x b%6

53 −≤− x c% 1,0323 −>+− x x d% 3532 ≤++ x

e% 72 +<− x x / % 613 +>− x x % 644105 ++≤−− x x x

11. Sea x un número real distinto de cero. $alcula x

x.

12. *u- condiciones deben cumplir x y y para "ue y x = +

1*. Identifica la ipótesis y la tesis en el teorema& /a longitud de la diagonal de un cuadrado de

lado l es igual a l 2 .

1+. Dado el teorema& Si un tri(ngulo es e"uil(tero entonces es isósceles, enuncia el recíproco, elcontrario, el recíproco y el contra0recíproco e indica cu(les de ellos son ciertos.

15. $alcular el valor de la suma( )

∑ +−

=

3

1

22

3

12

i

ii.

1,. 1alla una fórmula para encontrar ( )∑ −=

n

i

i1

64 , si para todo entero positivo 1≥n se cumple "ue

( )2

1

1

+=∑

=

nni

n

i.

1-. Demuestra "ue =++++ 333321 n⋯

( ) 2

1

3

2

1

+=∑

=

nni

n

i


1.. Demuestra "ue =+++++n

2

1

8

1

4

1

2

11 ⋯

n

n

i i

2

12

2

11

1

−=+ ∑=



4



Respues%as de !#s e&e'cici#s p'#pues%#s

1% a% 223 +−=m ó 223 −−=m b% 2o tiene solución en c%2

11−=a

2% a% 19= x b% 01 = x y 212 −= x c%13

25= x

*% a%

∪

−∈

22

3,00,

22

3 y b% ( ) ( )3,11,3 ∪−−∈m c% ( ) ( )∞+∪−∞−∈ ,01, z

d% [ ] [ )∞+∪−∈ ,31,5 x

+% a% 3 b% 3 c% 4 d% 4 e% 4 / % 3 % 4 % 3

5% a% [ ) [ )2,2232,223 +−∪−−−∈m b% ( )1,∞−∈ z

,% a%

∞+∈ ,

3

20 x b%

∞−∈

7

1, x c% ( ) [ )∞+∪−− ∞∈ ,12, x d%

∈

3

4,0 x

-% a% 3 b% 4 c% 4 d% 3

.% a y c

9 a%2

3

10

9== x x ó b% 4ó8 =−= x x c%

3

4= x ó 2−= x d%

10

1= x

e% 22 =−= x x ó

10 a% ( )1,0∈ x b% 2o tiene solución c% R x ∈ d% 2o tiene solución e%

∞+−∈ ,

2

5 x

/ %

∞+∪

−

∞−∈ ,2

7

4

5, x % [ )∞+∈ ,0 x

11% 5

12% y x y x −== o

1*% 1ipótesis& l es la longitud del lado de un cuadrado6 7esis& la longitud de la diagonal del cuadrado es l 2

1+% ecíproco& Si un tri(ngulo es isósceles entonces es e"uil(tero6 contrario& Si un tri(ngulo no es e"uil(tero entonces noes isósceles6 contra0recíproco& Si un tri(ngulo no es isósceles entonces es no e"uil(tero. Son ciertos& el teorema y elcontra0recíproco.

15% 3

309

1,% ( )22 −nn


5



a!!a e! e''#'

932 =−

( ) 55 2 −=−

2

110112 −===−− x x

1243 −=−⋅

( ) 33273 x x +=+

bb +=+ 33

baab = para todo Rba ∈,

( 0134 =+⇒+ y y y y

242 >⇔> x x

242 ±>⇔> x x

3303 22 <⇔<⇔>− x x x

=≥++

−+−

04

1

3

2

x

x

x

x

( )( ) 0

43

112≥

++−− x x

x

( ) ( ) 2233 −−=− x x

( ) 22π1π1 +=−−

( ) 2242 bb −=−

231

2

3−>⇒>

− x

x

22 y x y x >⇒> para todo R y x ∈,

29 x− es un número real si 3≤ x

4+ x es un número real si 04 ≥+ x

a x > ⇔ a xa >>−

2552 −=−⇒=+− x x

52552 ≥+−≥−⇔=+− x x

342

1334

2

1≥+−≥−⇔≥+− x x

1ó532ó3232 =−=⇔=+−=+⇔−=+ x x x x x

=−−+

x

x x

2

2121

( ) x x x

x x x x

21212

21212121

−++

−++⋅−−+


6

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