Práctica 12gecousb.com.ve/guias/GECO/Matemáticas 6 (MA-2113... · 2015-04-20 · Problema 1. Cap...
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Práctica 12Integrales
1
Problema 1.
Capítulo 17
Aplicación del Teorema de los Residuos ala evaluación de algunas integralesdefinidas
Objetivos: Evaluar algunas integrales definidas, mediante aplicación del Teorema de los residuos.
17.1 Conceptos básicos
Queremos evaluar integrales definidas del tipo en donde es una función racional del
coseno, del seno o de ambos.
Si recordamos que y y ponemos entonces será
Luego, y si hacemos
podemos calcular
mediante siempre que no haya singularidades de sobre la curva dada
por (Sólo valdrá la igualdad entre las dos integrales en el caso de singularidades de en el interior de ).Ahora, se aplica el teorema de los Residuos.
En el caso particular en que sea una “función par" respecto a
entonces
17.2 Ejercicios Resueltos
Problema 1
Calcular
Solución
207Poner
Luego
con y las raices de
Ahora bien, como , observe que , se deduce que y .
Luego .
Así que es analítica en todo excepto en y , pero sólo y por el Teorema de
los residuos:
Ahora estudiemos la existencia de al ser
es polo simple de y
Problema 2
Demuestre que
Solución
Queda como ejercicio para el alumno.
Problema 3
Calcular
Solución
Como coseno es una función par y resulta que es función par
Luego, y por el resultado del ejercicio se puede concluir que
208
Poner
Luego
con y las raices de
Ahora bien, como , observe que , se deduce que y .
Luego .
Así que es analítica en todo excepto en y , pero sólo y por el Teorema de
los residuos:
Ahora estudiemos la existencia de al ser
es polo simple de y
Problema 2
Demuestre que
Solución
Queda como ejercicio para el alumno.
Problema 3
Calcular
Solución
Como coseno es una función par y resulta que es función par
Luego, y por el resultado del ejercicio se puede concluir que
208
Poner
Luego
con y las raices de
Ahora bien, como , observe que , se deduce que y .
Luego .
Así que es analítica en todo excepto en y , pero sólo y por el Teorema de
los residuos:
Ahora estudiemos la existencia de al ser
es polo simple de y
Problema 2
Demuestre que
Solución
Queda como ejercicio para el alumno.
Problema 3
Calcular
Solución
Como coseno es una función par y resulta que es función par
Luego, y por el resultado del ejercicio se puede concluir que
208
2
Problema 1.
Capítulo 17
Aplicación del Teorema de los Residuos ala evaluación de algunas integralesdefinidas
Objetivos: Evaluar algunas integrales definidas, mediante aplicación del Teorema de los residuos.
17.1 Conceptos básicos
Queremos evaluar integrales definidas del tipo en donde es una función racional del
coseno, del seno o de ambos.
Si recordamos que y y ponemos entonces será
Luego, y si hacemos
podemos calcular
mediante siempre que no haya singularidades de sobre la curva dada
por (Sólo valdrá la igualdad entre las dos integrales en el caso de singularidades de en el interior de ).Ahora, se aplica el teorema de los Residuos.
En el caso particular en que sea una “función par" respecto a
entonces
17.2 Ejercicios Resueltos
Problema 1
Calcular
Solución
207Poner
Luego
con y las raices de
Ahora bien, como , observe que , se deduce que y .
Luego .
Así que es analítica en todo excepto en y , pero sólo y por el Teorema de
los residuos:
Ahora estudiemos la existencia de al ser
es polo simple de y
Problema 2
Demuestre que
Solución
Queda como ejercicio para el alumno.
Problema 3
Calcular
Solución
Como coseno es una función par y resulta que es función par
Luego, y por el resultado del ejercicio se puede concluir que
208
Poner
Luego
con y las raices de
Ahora bien, como , observe que , se deduce que y .
Luego .
Así que es analítica en todo excepto en y , pero sólo y por el Teorema de
los residuos:
Ahora estudiemos la existencia de al ser
es polo simple de y
Problema 2
Demuestre que
Solución
Queda como ejercicio para el alumno.
Problema 3
Calcular
Solución
Como coseno es una función par y resulta que es función par
Luego, y por el resultado del ejercicio se puede concluir que
208
Poner
Luego
con y las raices de
Ahora bien, como , observe que , se deduce que y .
Luego .
Así que es analítica en todo excepto en y , pero sólo y por el Teorema de
los residuos:
Ahora estudiemos la existencia de al ser
es polo simple de y
Problema 2
Demuestre que
Solución
Queda como ejercicio para el alumno.
Problema 3
Calcular
Solución
Como coseno es una función par y resulta que es función par
Luego, y por el resultado del ejercicio se puede concluir que
208
Poner
Luego
con y las raices de
Ahora bien, como , observe que , se deduce que y .
Luego .
Así que es analítica en todo excepto en y , pero sólo y por el Teorema de
los residuos:
Ahora estudiemos la existencia de al ser
es polo simple de y
Problema 2
Demuestre que
Solución
Queda como ejercicio para el alumno.
Problema 3
Calcular
Solución
Como coseno es una función par y resulta que es función par
Luego, y por el resultado del ejercicio se puede concluir que
208
3
Poner
Luego
con y las raices de
Ahora bien, como , observe que , se deduce que y .
Luego .
Así que es analítica en todo excepto en y , pero sólo y por el Teorema de
los residuos:
Ahora estudiemos la existencia de al ser
es polo simple de y
Problema 2
Demuestre que
Solución
Queda como ejercicio para el alumno.
Problema 3
Calcular
Solución
Como coseno es una función par y resulta que es función par
Luego, y por el resultado del ejercicio se puede concluir que
208
4
Problema 2.
Poner
Luego
con y las raices de
Ahora bien, como , observe que , se deduce que y .
Luego .
Así que es analítica en todo excepto en y , pero sólo y por el Teorema de
los residuos:
Ahora estudiemos la existencia de al ser
es polo simple de y
Problema 2
Demuestre que
Solución
Queda como ejercicio para el alumno.
Problema 3
Calcular
Solución
Como coseno es una función par y resulta que es función par
Luego, y por el resultado del ejercicio se puede concluir que
208
Poner
Luego
con y las raices de
Ahora bien, como , observe que , se deduce que y .
Luego .
Así que es analítica en todo excepto en y , pero sólo y por el Teorema de
los residuos:
Ahora estudiemos la existencia de al ser
es polo simple de y
Problema 2
Demuestre que
Solución
Queda como ejercicio para el alumno.
Problema 3
Calcular
Solución
Como coseno es una función par y resulta que es función par
Luego, y por el resultado del ejercicio se puede concluir que
208
5
Problema 3.
Problema 4
Calcular
Solución
Según el ejercicio (3), , sin embargo no podemos utilizarlo como una tabla de integrales, lo que si
podemos es observar que es función par respecto de .
Por lo tanto , hacer
Verifique Ud. las condiciones del Teorema de los residuos y concluiremos que , con
.
Aquí . Estudiemos , podríamos factorizar el denominador como hici-
mos en la parte teórica, sin embargo no es necesario, podemos observar que el posible límite en cuestión es de la
forma (Empleando la Regla de L’Hospital)
Por lo tanto es un polo simple de y . Finalmente:
Problema 5
Calcular:
Solución
es función impar ( ) pero es función par y también lo es la función , por
lo tanto . Ahora haciendo los cambios correspondientes, según la teoría conocida, se llega
a , ¡hágalo! y convénzase de llegar a esa expresión. Obsérvese que
con
. Ahora .
De modo que sólo y estan en
Emplee Ud. procedimiento similar al empleado en el (5) para demostrar que y son polos simples de
y que
Finalmente, verifique las condiciones del Teorema de los residuos y concluya que
209
Problema 4
Calcular
Solución
Según el ejercicio (3), , sin embargo no podemos utilizarlo como una tabla de integrales, lo que si
podemos es observar que es función par respecto de .
Por lo tanto , hacer
Verifique Ud. las condiciones del Teorema de los residuos y concluiremos que , con
.
Aquí . Estudiemos , podríamos factorizar el denominador como hici-
mos en la parte teórica, sin embargo no es necesario, podemos observar que el posible límite en cuestión es de la
forma (Empleando la Regla de L’Hospital)
Por lo tanto es un polo simple de y . Finalmente:
Problema 5
Calcular:
Solución
es función impar ( ) pero es función par y también lo es la función , por
lo tanto . Ahora haciendo los cambios correspondientes, según la teoría conocida, se llega
a , ¡hágalo! y convénzase de llegar a esa expresión. Obsérvese que
con
. Ahora .
De modo que sólo y estan en
Emplee Ud. procedimiento similar al empleado en el (5) para demostrar que y son polos simples de
y que
Finalmente, verifique las condiciones del Teorema de los residuos y concluya que
209
Problema 4
Calcular
Solución
Según el ejercicio (3), , sin embargo no podemos utilizarlo como una tabla de integrales, lo que si
podemos es observar que es función par respecto de .
Por lo tanto , hacer
Verifique Ud. las condiciones del Teorema de los residuos y concluiremos que , con
.
Aquí . Estudiemos , podríamos factorizar el denominador como hici-
mos en la parte teórica, sin embargo no es necesario, podemos observar que el posible límite en cuestión es de la
forma (Empleando la Regla de L’Hospital)
Por lo tanto es un polo simple de y . Finalmente:
Problema 5
Calcular:
Solución
es función impar ( ) pero es función par y también lo es la función , por
lo tanto . Ahora haciendo los cambios correspondientes, según la teoría conocida, se llega
a , ¡hágalo! y convénzase de llegar a esa expresión. Obsérvese que
con
. Ahora .
De modo que sólo y estan en
Emplee Ud. procedimiento similar al empleado en el (5) para demostrar que y son polos simples de
y que
Finalmente, verifique las condiciones del Teorema de los residuos y concluya que
209
Problema 4
Calcular
Solución
Según el ejercicio (3), , sin embargo no podemos utilizarlo como una tabla de integrales, lo que si
podemos es observar que es función par respecto de .
Por lo tanto , hacer
Verifique Ud. las condiciones del Teorema de los residuos y concluiremos que , con
.
Aquí . Estudiemos , podríamos factorizar el denominador como hici-
mos en la parte teórica, sin embargo no es necesario, podemos observar que el posible límite en cuestión es de la
forma (Empleando la Regla de L’Hospital)
Por lo tanto es un polo simple de y . Finalmente:
Problema 5
Calcular:
Solución
es función impar ( ) pero es función par y también lo es la función , por
lo tanto . Ahora haciendo los cambios correspondientes, según la teoría conocida, se llega
a , ¡hágalo! y convénzase de llegar a esa expresión. Obsérvese que
con
. Ahora .
De modo que sólo y estan en
Emplee Ud. procedimiento similar al empleado en el (5) para demostrar que y son polos simples de
y que
Finalmente, verifique las condiciones del Teorema de los residuos y concluya que
209
Problema 4
Calcular
Solución
Según el ejercicio (3), , sin embargo no podemos utilizarlo como una tabla de integrales, lo que si
podemos es observar que es función par respecto de .
Por lo tanto , hacer
Verifique Ud. las condiciones del Teorema de los residuos y concluiremos que , con
.
Aquí . Estudiemos , podríamos factorizar el denominador como hici-
mos en la parte teórica, sin embargo no es necesario, podemos observar que el posible límite en cuestión es de la
forma (Empleando la Regla de L’Hospital)
Por lo tanto es un polo simple de y . Finalmente:
Problema 5
Calcular:
Solución
es función impar ( ) pero es función par y también lo es la función , por
lo tanto . Ahora haciendo los cambios correspondientes, según la teoría conocida, se llega
a , ¡hágalo! y convénzase de llegar a esa expresión. Obsérvese que
con
. Ahora .
De modo que sólo y estan en
Emplee Ud. procedimiento similar al empleado en el (5) para demostrar que y son polos simples de
y que
Finalmente, verifique las condiciones del Teorema de los residuos y concluya que
209
Problema 4
Calcular
Solución
Según el ejercicio (3), , sin embargo no podemos utilizarlo como una tabla de integrales, lo que si
podemos es observar que es función par respecto de .
Por lo tanto , hacer
Verifique Ud. las condiciones del Teorema de los residuos y concluiremos que , con
.
Aquí . Estudiemos , podríamos factorizar el denominador como hici-
mos en la parte teórica, sin embargo no es necesario, podemos observar que el posible límite en cuestión es de la
forma (Empleando la Regla de L’Hospital)
Por lo tanto es un polo simple de y . Finalmente:
Problema 5
Calcular:
Solución
es función impar ( ) pero es función par y también lo es la función , por
lo tanto . Ahora haciendo los cambios correspondientes, según la teoría conocida, se llega
a , ¡hágalo! y convénzase de llegar a esa expresión. Obsérvese que
con
. Ahora .
De modo que sólo y estan en
Emplee Ud. procedimiento similar al empleado en el (5) para demostrar que y son polos simples de
y que
Finalmente, verifique las condiciones del Teorema de los residuos y concluya que
209
Problema 4
Calcular
Solución
Según el ejercicio (3), , sin embargo no podemos utilizarlo como una tabla de integrales, lo que si
podemos es observar que es función par respecto de .
Por lo tanto , hacer
Verifique Ud. las condiciones del Teorema de los residuos y concluiremos que , con
.
Aquí . Estudiemos , podríamos factorizar el denominador como hici-
mos en la parte teórica, sin embargo no es necesario, podemos observar que el posible límite en cuestión es de la
forma (Empleando la Regla de L’Hospital)
Por lo tanto es un polo simple de y . Finalmente:
Problema 5
Calcular:
Solución
es función impar ( ) pero es función par y también lo es la función , por
lo tanto . Ahora haciendo los cambios correspondientes, según la teoría conocida, se llega
a , ¡hágalo! y convénzase de llegar a esa expresión. Obsérvese que
con
. Ahora .
De modo que sólo y estan en
Emplee Ud. procedimiento similar al empleado en el (5) para demostrar que y son polos simples de
y que
Finalmente, verifique las condiciones del Teorema de los residuos y concluya que
209
Problema 4
Calcular
Solución
Según el ejercicio (3), , sin embargo no podemos utilizarlo como una tabla de integrales, lo que si
podemos es observar que es función par respecto de .
Por lo tanto , hacer
Verifique Ud. las condiciones del Teorema de los residuos y concluiremos que , con
.
Aquí . Estudiemos , podríamos factorizar el denominador como hici-
mos en la parte teórica, sin embargo no es necesario, podemos observar que el posible límite en cuestión es de la
forma (Empleando la Regla de L’Hospital)
Por lo tanto es un polo simple de y . Finalmente:
Problema 5
Calcular:
Solución
es función impar ( ) pero es función par y también lo es la función , por
lo tanto . Ahora haciendo los cambios correspondientes, según la teoría conocida, se llega
a , ¡hágalo! y convénzase de llegar a esa expresión. Obsérvese que
con
. Ahora .
De modo que sólo y estan en
Emplee Ud. procedimiento similar al empleado en el (5) para demostrar que y son polos simples de
y que
Finalmente, verifique las condiciones del Teorema de los residuos y concluya que
209
Problema 4
Calcular
Solución
Según el ejercicio (3), , sin embargo no podemos utilizarlo como una tabla de integrales, lo que si
podemos es observar que es función par respecto de .
Por lo tanto , hacer
Verifique Ud. las condiciones del Teorema de los residuos y concluiremos que , con
.
Aquí . Estudiemos , podríamos factorizar el denominador como hici-
mos en la parte teórica, sin embargo no es necesario, podemos observar que el posible límite en cuestión es de la
forma (Empleando la Regla de L’Hospital)
Por lo tanto es un polo simple de y . Finalmente:
Problema 5
Calcular:
Solución
es función impar ( ) pero es función par y también lo es la función , por
lo tanto . Ahora haciendo los cambios correspondientes, según la teoría conocida, se llega
a , ¡hágalo! y convénzase de llegar a esa expresión. Obsérvese que
con
. Ahora .
De modo que sólo y estan en
Emplee Ud. procedimiento similar al empleado en el (5) para demostrar que y son polos simples de
y que
Finalmente, verifique las condiciones del Teorema de los residuos y concluya que
209
Problema 4
Calcular
Solución
Según el ejercicio (3), , sin embargo no podemos utilizarlo como una tabla de integrales, lo que si
podemos es observar que es función par respecto de .
Por lo tanto , hacer
Verifique Ud. las condiciones del Teorema de los residuos y concluiremos que , con
.
Aquí . Estudiemos , podríamos factorizar el denominador como hici-
mos en la parte teórica, sin embargo no es necesario, podemos observar que el posible límite en cuestión es de la
forma (Empleando la Regla de L’Hospital)
Por lo tanto es un polo simple de y . Finalmente:
Problema 5
Calcular:
Solución
es función impar ( ) pero es función par y también lo es la función , por
lo tanto . Ahora haciendo los cambios correspondientes, según la teoría conocida, se llega
a , ¡hágalo! y convénzase de llegar a esa expresión. Obsérvese que
con
. Ahora .
De modo que sólo y estan en
Emplee Ud. procedimiento similar al empleado en el (5) para demostrar que y son polos simples de
y que
Finalmente, verifique las condiciones del Teorema de los residuos y concluya que
209
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Problema 4
Calcular
Solución
Según el ejercicio (3), , sin embargo no podemos utilizarlo como una tabla de integrales, lo que si
podemos es observar que es función par respecto de .
Por lo tanto , hacer
Verifique Ud. las condiciones del Teorema de los residuos y concluiremos que , con
.
Aquí . Estudiemos , podríamos factorizar el denominador como hici-
mos en la parte teórica, sin embargo no es necesario, podemos observar que el posible límite en cuestión es de la
forma (Empleando la Regla de L’Hospital)
Por lo tanto es un polo simple de y . Finalmente:
Problema 5
Calcular:
Solución
es función impar ( ) pero es función par y también lo es la función , por
lo tanto . Ahora haciendo los cambios correspondientes, según la teoría conocida, se llega
a , ¡hágalo! y convénzase de llegar a esa expresión. Obsérvese que
con
. Ahora .
De modo que sólo y estan en
Emplee Ud. procedimiento similar al empleado en el (5) para demostrar que y son polos simples de
y que
Finalmente, verifique las condiciones del Teorema de los residuos y concluya que
209
Problema 4
Calcular
Solución
Según el ejercicio (3), , sin embargo no podemos utilizarlo como una tabla de integrales, lo que si
podemos es observar que es función par respecto de .
Por lo tanto , hacer
Verifique Ud. las condiciones del Teorema de los residuos y concluiremos que , con
.
Aquí . Estudiemos , podríamos factorizar el denominador como hici-
mos en la parte teórica, sin embargo no es necesario, podemos observar que el posible límite en cuestión es de la
forma (Empleando la Regla de L’Hospital)
Por lo tanto es un polo simple de y . Finalmente:
Problema 5
Calcular:
Solución
es función impar ( ) pero es función par y también lo es la función , por
lo tanto . Ahora haciendo los cambios correspondientes, según la teoría conocida, se llega
a , ¡hágalo! y convénzase de llegar a esa expresión. Obsérvese que
con
. Ahora .
De modo que sólo y estan en
Emplee Ud. procedimiento similar al empleado en el (5) para demostrar que y son polos simples de
y que
Finalmente, verifique las condiciones del Teorema de los residuos y concluya que
209
Problema 4
Calcular
Solución
Según el ejercicio (3), , sin embargo no podemos utilizarlo como una tabla de integrales, lo que si
podemos es observar que es función par respecto de .
Por lo tanto , hacer
Verifique Ud. las condiciones del Teorema de los residuos y concluiremos que , con
.
Aquí . Estudiemos , podríamos factorizar el denominador como hici-
mos en la parte teórica, sin embargo no es necesario, podemos observar que el posible límite en cuestión es de la
forma (Empleando la Regla de L’Hospital)
Por lo tanto es un polo simple de y . Finalmente:
Problema 5
Calcular:
Solución
es función impar ( ) pero es función par y también lo es la función , por
lo tanto . Ahora haciendo los cambios correspondientes, según la teoría conocida, se llega
a , ¡hágalo! y convénzase de llegar a esa expresión. Obsérvese que
con
. Ahora .
De modo que sólo y estan en
Emplee Ud. procedimiento similar al empleado en el (5) para demostrar que y son polos simples de
y que
Finalmente, verifique las condiciones del Teorema de los residuos y concluya que
209
Problema 4
Calcular
Solución
Según el ejercicio (3), , sin embargo no podemos utilizarlo como una tabla de integrales, lo que si
podemos es observar que es función par respecto de .
Por lo tanto , hacer
Verifique Ud. las condiciones del Teorema de los residuos y concluiremos que , con
.
Aquí . Estudiemos , podríamos factorizar el denominador como hici-
mos en la parte teórica, sin embargo no es necesario, podemos observar que el posible límite en cuestión es de la
forma (Empleando la Regla de L’Hospital)
Por lo tanto es un polo simple de y . Finalmente:
Problema 5
Calcular:
Solución
es función impar ( ) pero es función par y también lo es la función , por
lo tanto . Ahora haciendo los cambios correspondientes, según la teoría conocida, se llega
a , ¡hágalo! y convénzase de llegar a esa expresión. Obsérvese que
con
. Ahora .
De modo que sólo y estan en
Emplee Ud. procedimiento similar al empleado en el (5) para demostrar que y son polos simples de
y que
Finalmente, verifique las condiciones del Teorema de los residuos y concluya que
209
7
Problema 4.
Problema 6
Demuestre que con
Solución
Haciendo los cambios adecuados, según la teoría Ud. debe llegar a
(puesto que )
Recuerde que .
Vamos a demostrar que en hay polo de orden 2 para
el cual existe, finito.
Ahora
Demeustre que puede aplicar el Teorema del residuo para llegar a:
Problema 7
Demuestre que
Solución
luego aplique el resto de la teoría
para llegar a y esta integral la calculamos en el ejercicio del capítulo
y obtuvimos precisamente
Problema 8
Demuestre que
Solución
Aplicando la teoría correspondiente demuestre que
210
Problema 6
Demuestre que con
Solución
Haciendo los cambios adecuados, según la teoría Ud. debe llegar a
(puesto que )
Recuerde que .
Vamos a demostrar que en hay polo de orden 2 para
el cual existe, finito.
Ahora
Demeustre que puede aplicar el Teorema del residuo para llegar a:
Problema 7
Demuestre que
Solución
luego aplique el resto de la teoría
para llegar a y esta integral la calculamos en el ejercicio del capítulo
y obtuvimos precisamente
Problema 8
Demuestre que
Solución
Aplicando la teoría correspondiente demuestre que
210
Problema 6
Demuestre que con
Solución
Haciendo los cambios adecuados, según la teoría Ud. debe llegar a
(puesto que )
Recuerde que .
Vamos a demostrar que en hay polo de orden 2 para
el cual existe, finito.
Ahora
Demeustre que puede aplicar el Teorema del residuo para llegar a:
Problema 7
Demuestre que
Solución
luego aplique el resto de la teoría
para llegar a y esta integral la calculamos en el ejercicio del capítulo
y obtuvimos precisamente
Problema 8
Demuestre que
Solución
Aplicando la teoría correspondiente demuestre que
210
Problema 6
Demuestre que con
Solución
Haciendo los cambios adecuados, según la teoría Ud. debe llegar a
(puesto que )
Recuerde que .
Vamos a demostrar que en hay polo de orden 2 para
el cual existe, finito.
Ahora
Demeustre que puede aplicar el Teorema del residuo para llegar a:
Problema 7
Demuestre que
Solución
luego aplique el resto de la teoría
para llegar a y esta integral la calculamos en el ejercicio del capítulo
y obtuvimos precisamente
Problema 8
Demuestre que
Solución
Aplicando la teoría correspondiente demuestre que
2108
Problema 5.
Entonces existe
sem. sup. polos realessimples de
y, si
designamos al segundo miembro de la última expresión por , entonces
(b) Finalmente, en el caso , , , , se exige que
. Si tiene raices reales simples y raices complejas y, además, existen tales que
para cada con y se tiene que , entonces se cumple que
sem. sup. polos realessimples de
.
18.1 Ejercicios Resueltos
Problema 32
(a) Sea . Demuestre que .
(b) Calcular
Solución
(a) . Hacer . Así,, con raices complejas.
Ahora bien, con suficientemente grande se tiene: , además
. (Recuérdese que , ).
Por lo tanto, . (Puesto que
)
Luego,
(b) Sea . es analítica en . Se elige entonces suficientemente
grande para que los polos de en el semiplano superior queden en int , (sentido antihorario
(figura 18.5).
Sabemos entonces que , con y, así,
.
Luego,
sem. sup.
, .
En (a) se demostró que , luego, admitiendo que nos
queda .
219
Entonces existe
sem. sup. polos realessimples de
y, si
designamos al segundo miembro de la última expresión por , entonces
(b) Finalmente, en el caso , , , , se exige que
. Si tiene raices reales simples y raices complejas y, además, existen tales que
para cada con y se tiene que , entonces se cumple que
sem. sup. polos realessimples de
.
18.1 Ejercicios Resueltos
Problema 32
(a) Sea . Demuestre que .
(b) Calcular
Solución
(a) . Hacer . Así,, con raices complejas.
Ahora bien, con suficientemente grande se tiene: , además
. (Recuérdese que , ).
Por lo tanto, . (Puesto que
)
Luego,
(b) Sea . es analítica en . Se elige entonces suficientemente
grande para que los polos de en el semiplano superior queden en int , (sentido antihorario
(figura 18.5).
Sabemos entonces que , con y, así,
.
Luego,
sem. sup.
, .
En (a) se demostró que , luego, admitiendo que nos
queda .
219
9
Figura 18.5:
Ahora, con
analítica en el disco . Aplicamos ahora la fórmula integral de Cauchy para obtener
.
En forma análoga con , se demuestra que .
(Se puede utilizar otro procedimiento. Por ejemplo, demuestre que y son polos simples de ycalcule los residuos).
Finalmente: . Por lo tanto
(Nota: Si se pide , el resultado es ).
Problema 33
Calcular
Solución
Observar que es función par. (También, basta ver que el numera-
dor es par por ser producto de dos funciones impares y que el denominador también es par. Luego, , al ser cociente
de funciones pares, es par).
Por lo tanto, la integral pedida es un medio del valor de la integral del ejercicio anterior.
Problema 34
Calcular
Solución
, siendo , escogido suficientemente
220
Entonces existe
sem. sup. polos realessimples de
y, si
designamos al segundo miembro de la última expresión por , entonces
(b) Finalmente, en el caso , , , , se exige que
. Si tiene raices reales simples y raices complejas y, además, existen tales que
para cada con y se tiene que , entonces se cumple que
sem. sup. polos realessimples de
.
18.1 Ejercicios Resueltos
Problema 32
(a) Sea . Demuestre que .
(b) Calcular
Solución
(a) . Hacer . Así,, con raices complejas.
Ahora bien, con suficientemente grande se tiene: , además
. (Recuérdese que , ).
Por lo tanto, . (Puesto que
)
Luego,
(b) Sea . es analítica en . Se elige entonces suficientemente
grande para que los polos de en el semiplano superior queden en int , (sentido antihorario
(figura 18.5).
Sabemos entonces que , con y, así,
.
Luego,
sem. sup.
, .
En (a) se demostró que , luego, admitiendo que nos
queda .
219
Entonces existe
sem. sup. polos realessimples de
y, si
designamos al segundo miembro de la última expresión por , entonces
(b) Finalmente, en el caso , , , , se exige que
. Si tiene raices reales simples y raices complejas y, además, existen tales que
para cada con y se tiene que , entonces se cumple que
sem. sup. polos realessimples de
.
18.1 Ejercicios Resueltos
Problema 32
(a) Sea . Demuestre que .
(b) Calcular
Solución
(a) . Hacer . Así,, con raices complejas.
Ahora bien, con suficientemente grande se tiene: , además
. (Recuérdese que , ).
Por lo tanto, . (Puesto que
)
Luego,
(b) Sea . es analítica en . Se elige entonces suficientemente
grande para que los polos de en el semiplano superior queden en int , (sentido antihorario
(figura 18.5).
Sabemos entonces que , con y, así,
.
Luego,
sem. sup.
, .
En (a) se demostró que , luego, admitiendo que nos
queda .
219
Entonces existe
sem. sup. polos realessimples de
y, si
designamos al segundo miembro de la última expresión por , entonces
(b) Finalmente, en el caso , , , , se exige que
. Si tiene raices reales simples y raices complejas y, además, existen tales que
para cada con y se tiene que , entonces se cumple que
sem. sup. polos realessimples de
.
18.1 Ejercicios Resueltos
Problema 32
(a) Sea . Demuestre que .
(b) Calcular
Solución
(a) . Hacer . Así,, con raices complejas.
Ahora bien, con suficientemente grande se tiene: , además
. (Recuérdese que , ).
Por lo tanto, . (Puesto que
)
Luego,
(b) Sea . es analítica en . Se elige entonces suficientemente
grande para que los polos de en el semiplano superior queden en int , (sentido antihorario
(figura 18.5).
Sabemos entonces que , con y, así,
.
Luego,
sem. sup.
, .
En (a) se demostró que , luego, admitiendo que nos
queda .
21910
Figura 18.5:
Ahora, con
analítica en el disco . Aplicamos ahora la fórmula integral de Cauchy para obtener
.
En forma análoga con , se demuestra que .
(Se puede utilizar otro procedimiento. Por ejemplo, demuestre que y son polos simples de ycalcule los residuos).
Finalmente: . Por lo tanto
(Nota: Si se pide , el resultado es ).
Problema 33
Calcular
Solución
Observar que es función par. (También, basta ver que el numera-
dor es par por ser producto de dos funciones impares y que el denominador también es par. Luego, , al ser cociente
de funciones pares, es par).
Por lo tanto, la integral pedida es un medio del valor de la integral del ejercicio anterior.
Problema 34
Calcular
Solución
, siendo , escogido suficientemente
220
Figura 18.5:
Ahora, con
analítica en el disco . Aplicamos ahora la fórmula integral de Cauchy para obtener
.
En forma análoga con , se demuestra que .
(Se puede utilizar otro procedimiento. Por ejemplo, demuestre que y son polos simples de ycalcule los residuos).
Finalmente: . Por lo tanto
(Nota: Si se pide , el resultado es ).
Problema 33
Calcular
Solución
Observar que es función par. (También, basta ver que el numera-
dor es par por ser producto de dos funciones impares y que el denominador también es par. Luego, , al ser cociente
de funciones pares, es par).
Por lo tanto, la integral pedida es un medio del valor de la integral del ejercicio anterior.
Problema 34
Calcular
Solución
, siendo , escogido suficientemente
220
Ejercicio
Figura 18.5:
Ahora, con
analítica en el disco . Aplicamos ahora la fórmula integral de Cauchy para obtener
.
En forma análoga con , se demuestra que .
(Se puede utilizar otro procedimiento. Por ejemplo, demuestre que y son polos simples de ycalcule los residuos).
Finalmente: . Por lo tanto
(Nota: Si se pide , el resultado es ).
Problema 33
Calcular
Solución
Observar que es función par. (También, basta ver que el numera-
dor es par por ser producto de dos funciones impares y que el denominador también es par. Luego, , al ser cociente
de funciones pares, es par).
Por lo tanto, la integral pedida es un medio del valor de la integral del ejercicio anterior.
Problema 34
Calcular
Solución
, siendo , escogido suficientemente
220
Entonces existe
sem. sup. polos realessimples de
y, si
designamos al segundo miembro de la última expresión por , entonces
(b) Finalmente, en el caso , , , , se exige que
. Si tiene raices reales simples y raices complejas y, además, existen tales que
para cada con y se tiene que , entonces se cumple que
sem. sup. polos realessimples de
.
18.1 Ejercicios Resueltos
Problema 32
(a) Sea . Demuestre que .
(b) Calcular
Solución
(a) . Hacer . Así,, con raices complejas.
Ahora bien, con suficientemente grande se tiene: , además
. (Recuérdese que , ).
Por lo tanto, . (Puesto que
)
Luego,
(b) Sea . es analítica en . Se elige entonces suficientemente
grande para que los polos de en el semiplano superior queden en int , (sentido antihorario
(figura 18.5).
Sabemos entonces que , con y, así,
.
Luego,
sem. sup.
, .
En (a) se demostró que , luego, admitiendo que nos
queda .
219
11
Problema 6.
Figura 18.5:
Ahora, con
analítica en el disco . Aplicamos ahora la fórmula integral de Cauchy para obtener
.
En forma análoga con , se demuestra que .
(Se puede utilizar otro procedimiento. Por ejemplo, demuestre que y son polos simples de ycalcule los residuos).
Finalmente: . Por lo tanto
(Nota: Si se pide , el resultado es ).
Problema 33
Calcular
Solución
Observar que es función par. (También, basta ver que el numera-
dor es par por ser producto de dos funciones impares y que el denominador también es par. Luego, , al ser cociente
de funciones pares, es par).
Por lo tanto, la integral pedida es un medio del valor de la integral del ejercicio anterior.
Problema 34
Calcular
Solución
, siendo , escogido suficientemente
220
Figura 18.5:
Ahora, con
analítica en el disco . Aplicamos ahora la fórmula integral de Cauchy para obtener
.
En forma análoga con , se demuestra que .
(Se puede utilizar otro procedimiento. Por ejemplo, demuestre que y son polos simples de ycalcule los residuos).
Finalmente: . Por lo tanto
(Nota: Si se pide , el resultado es ).
Problema 33
Calcular
Solución
Observar que es función par. (También, basta ver que el numera-
dor es par por ser producto de dos funciones impares y que el denominador también es par. Luego, , al ser cociente
de funciones pares, es par).
Por lo tanto, la integral pedida es un medio del valor de la integral del ejercicio anterior.
Problema 34
Calcular
Solución
, siendo , escogido suficientemente
220
Figura 18.5:
Ahora, con
analítica en el disco . Aplicamos ahora la fórmula integral de Cauchy para obtener
.
En forma análoga con , se demuestra que .
(Se puede utilizar otro procedimiento. Por ejemplo, demuestre que y son polos simples de ycalcule los residuos).
Finalmente: . Por lo tanto
(Nota: Si se pide , el resultado es ).
Problema 33
Calcular
Solución
Observar que es función par. (También, basta ver que el numera-
dor es par por ser producto de dos funciones impares y que el denominador también es par. Luego, , al ser cociente
de funciones pares, es par).
Por lo tanto, la integral pedida es un medio del valor de la integral del ejercicio anterior.
Problema 34
Calcular
Solución
, siendo , escogido suficientemente
220
grande para que los polos simples de del semiplano superior queden dentro de . Aquí, , ,, los ceros de son y solo int (figura 18.6).
Figura 18.6:
Para variar, vamos a utilizar aquí un procedimiento distinto al del ejercicio 1 para el cálculo de residuos. Primero
demostraremos que es polo simple de , luego calcularemos .
es polo simple de y
.
Finalmente se demuestra que y y, aplicando el
teorema de los residuos, nos queda:
De modo que la integral requerida, digamos , vale .(Obsérvese que, además, ).
Problema 35
Calcular
Solución
en virtud de que tanto el numerador, , como el denominador,
son funciones impares y el cociente de funciones impares es par. Ahora,
; . Además, las raices del denominador de son una real y doscomplejas y es raiz de .
Se construye , se toma suficientemente grande para que esté en int , con
, escogiendo suficientemente pequeño y con , se llega a (figura 18.7):
Se demuestra que y .
Se demuestra también que . Finalmente, aplicando el teorema de los residuos
a (recorrida en sentido antihorario) se obtiene
, siendo y .
Demuestre que y son polos simples de y que y .
221
grande para que los polos simples de del semiplano superior queden dentro de . Aquí, , ,, los ceros de son y solo int (figura 18.6).
Figura 18.6:
Para variar, vamos a utilizar aquí un procedimiento distinto al del ejercicio 1 para el cálculo de residuos. Primero
demostraremos que es polo simple de , luego calcularemos .
es polo simple de y
.
Finalmente se demuestra que y y, aplicando el
teorema de los residuos, nos queda:
De modo que la integral requerida, digamos , vale .(Obsérvese que, además, ).
Problema 35
Calcular
Solución
en virtud de que tanto el numerador, , como el denominador,
son funciones impares y el cociente de funciones impares es par. Ahora,
; . Además, las raices del denominador de son una real y doscomplejas y es raiz de .
Se construye , se toma suficientemente grande para que esté en int , con
, escogiendo suficientemente pequeño y con , se llega a (figura 18.7):
Se demuestra que y .
Se demuestra también que . Finalmente, aplicando el teorema de los residuos
a (recorrida en sentido antihorario) se obtiene
, siendo y .
Demuestre que y son polos simples de y que y .
221
grande para que los polos simples de del semiplano superior queden dentro de . Aquí, , ,, los ceros de son y solo int (figura 18.6).
Figura 18.6:
Para variar, vamos a utilizar aquí un procedimiento distinto al del ejercicio 1 para el cálculo de residuos. Primero
demostraremos que es polo simple de , luego calcularemos .
es polo simple de y
.
Finalmente se demuestra que y y, aplicando el
teorema de los residuos, nos queda:
De modo que la integral requerida, digamos , vale .(Obsérvese que, además, ).
Problema 35
Calcular
Solución
en virtud de que tanto el numerador, , como el denominador,
son funciones impares y el cociente de funciones impares es par. Ahora,
; . Además, las raices del denominador de son una real y doscomplejas y es raiz de .
Se construye , se toma suficientemente grande para que esté en int , con
, escogiendo suficientemente pequeño y con , se llega a (figura 18.7):
Se demuestra que y .
Se demuestra también que . Finalmente, aplicando el teorema de los residuos
a (recorrida en sentido antihorario) se obtiene
, siendo y .
Demuestre que y son polos simples de y que y .
221
grande para que los polos simples de del semiplano superior queden dentro de . Aquí, , ,, los ceros de son y solo int (figura 18.6).
Figura 18.6:
Para variar, vamos a utilizar aquí un procedimiento distinto al del ejercicio 1 para el cálculo de residuos. Primero
demostraremos que es polo simple de , luego calcularemos .
es polo simple de y
.
Finalmente se demuestra que y y, aplicando el
teorema de los residuos, nos queda:
De modo que la integral requerida, digamos , vale .(Obsérvese que, además, ).
Problema 35
Calcular
Solución
en virtud de que tanto el numerador, , como el denominador,
son funciones impares y el cociente de funciones impares es par. Ahora,
; . Además, las raices del denominador de son una real y doscomplejas y es raiz de .
Se construye , se toma suficientemente grande para que esté en int , con
, escogiendo suficientemente pequeño y con , se llega a (figura 18.7):
Se demuestra que y .
Se demuestra también que . Finalmente, aplicando el teorema de los residuos
a (recorrida en sentido antihorario) se obtiene
, siendo y .
Demuestre que y son polos simples de y que y .
221
grande para que los polos simples de del semiplano superior queden dentro de . Aquí, , ,, los ceros de son y solo int (figura 18.6).
Figura 18.6:
Para variar, vamos a utilizar aquí un procedimiento distinto al del ejercicio 1 para el cálculo de residuos. Primero
demostraremos que es polo simple de , luego calcularemos .
es polo simple de y
.
Finalmente se demuestra que y y, aplicando el
teorema de los residuos, nos queda:
De modo que la integral requerida, digamos , vale .(Obsérvese que, además, ).
Problema 35
Calcular
Solución
en virtud de que tanto el numerador, , como el denominador,
son funciones impares y el cociente de funciones impares es par. Ahora,
; . Además, las raices del denominador de son una real y doscomplejas y es raiz de .
Se construye , se toma suficientemente grande para que esté en int , con
, escogiendo suficientemente pequeño y con , se llega a (figura 18.7):
Se demuestra que y .
Se demuestra también que . Finalmente, aplicando el teorema de los residuos
a (recorrida en sentido antihorario) se obtiene
, siendo y .
Demuestre que y son polos simples de y que y .
221
12
grande para que los polos simples de del semiplano superior queden dentro de . Aquí, , ,, los ceros de son y solo int (figura 18.6).
Figura 18.6:
Para variar, vamos a utilizar aquí un procedimiento distinto al del ejercicio 1 para el cálculo de residuos. Primero
demostraremos que es polo simple de , luego calcularemos .
es polo simple de y
.
Finalmente se demuestra que y y, aplicando el
teorema de los residuos, nos queda:
De modo que la integral requerida, digamos , vale .(Obsérvese que, además, ).
Problema 35
Calcular
Solución
en virtud de que tanto el numerador, , como el denominador,
son funciones impares y el cociente de funciones impares es par. Ahora,
; . Además, las raices del denominador de son una real y doscomplejas y es raiz de .
Se construye , se toma suficientemente grande para que esté en int , con
, escogiendo suficientemente pequeño y con , se llega a (figura 18.7):
Se demuestra que y .
Se demuestra también que . Finalmente, aplicando el teorema de los residuos
a (recorrida en sentido antihorario) se obtiene
, siendo y .
Demuestre que y son polos simples de y que y .
221
Ejercicio
Entonces existe
sem. sup. polos realessimples de
y, si
designamos al segundo miembro de la última expresión por , entonces
(b) Finalmente, en el caso , , , , se exige que
. Si tiene raices reales simples y raices complejas y, además, existen tales que
para cada con y se tiene que , entonces se cumple que
sem. sup. polos realessimples de
.
18.1 Ejercicios Resueltos
Problema 32
(a) Sea . Demuestre que .
(b) Calcular
Solución
(a) . Hacer . Así,, con raices complejas.
Ahora bien, con suficientemente grande se tiene: , además
. (Recuérdese que , ).
Por lo tanto, . (Puesto que
)
Luego,
(b) Sea . es analítica en . Se elige entonces suficientemente
grande para que los polos de en el semiplano superior queden en int , (sentido antihorario
(figura 18.5).
Sabemos entonces que , con y, así,
.
Luego,
sem. sup.
, .
En (a) se demostró que , luego, admitiendo que nos
queda .
219
grande para que los polos simples de del semiplano superior queden dentro de . Aquí, , ,, los ceros de son y solo int (figura 18.6).
Figura 18.6:
Para variar, vamos a utilizar aquí un procedimiento distinto al del ejercicio 1 para el cálculo de residuos. Primero
demostraremos que es polo simple de , luego calcularemos .
es polo simple de y
.
Finalmente se demuestra que y y, aplicando el
teorema de los residuos, nos queda:
De modo que la integral requerida, digamos , vale .(Obsérvese que, además, ).
Problema 35
Calcular
Solución
en virtud de que tanto el numerador, , como el denominador,
son funciones impares y el cociente de funciones impares es par. Ahora,
; . Además, las raices del denominador de son una real y doscomplejas y es raiz de .
Se construye , se toma suficientemente grande para que esté en int , con
, escogiendo suficientemente pequeño y con , se llega a (figura 18.7):
Se demuestra que y .
Se demuestra también que . Finalmente, aplicando el teorema de los residuos
a (recorrida en sentido antihorario) se obtiene
, siendo y .
Demuestre que y son polos simples de y que y .
221
13
Problema 7.
Figura 18.9:
Figura 18.10:
Demuestre también que son polos simples de y que sus residuos respectivos son:
. De modo que, por el teorema de los residuos
pero por otro lado
Luego
Problema 42
Demuestre queSolución
Se deja como ejercicio
Problema 43
CalcularSolución
Esta integral es muy particular debido a que como tiene un polo simple en solamente, entonces se tiene
que
225
Figura 18.9:
Figura 18.10:
Demuestre también que son polos simples de y que sus residuos respectivos son:
. De modo que, por el teorema de los residuos
pero por otro lado
Luego
Problema 42
Demuestre queSolución
Se deja como ejercicio
Problema 43
CalcularSolución
Esta integral es muy particular debido a que como tiene un polo simple en solamente, entonces se tiene
que
225
Figura 18.9:
Figura 18.10:
Demuestre también que son polos simples de y que sus residuos respectivos son:
. De modo que, por el teorema de los residuos
pero por otro lado
Luego
Problema 42
Demuestre queSolución
Se deja como ejercicio
Problema 43
CalcularSolución
Esta integral es muy particular debido a que como tiene un polo simple en solamente, entonces se tiene
que
225
con , (figura 18.11). pero la suma de las 4
Figura 18.11:
integrales del segundo miembro es por estar fuera del int y ser analítica en .
Luego,
término último que es un (VP), el cual no es necesario para ya que se puede poner
para , pero sí es necesario para , integral impropia que no existe. Ahora, (VP)
. (Obsérvese que no existe).
De modo que, finalmente y, así
Problema 44
Demostrar que
Solución
ya que es una función par.
Ahora, y, por tanto, y se aplica el método
conocido, para con . Demuestre que es un polo simple de y que . Así,
226
14
con , (figura 18.11). pero la suma de las 4
Figura 18.11:
integrales del segundo miembro es por estar fuera del int y ser analítica en .
Luego,
término último que es un (VP), el cual no es necesario para ya que se puede poner
para , pero sí es necesario para , integral impropia que no existe. Ahora, (VP)
. (Obsérvese que no existe).
De modo que, finalmente y, así
Problema 44
Demostrar que
Solución
ya que es una función par.
Ahora, y, por tanto, y se aplica el método
conocido, para con . Demuestre que es un polo simple de y que . Así,
226
con , (figura 18.11). pero la suma de las 4
Figura 18.11:
integrales del segundo miembro es por estar fuera del int y ser analítica en .
Luego,
término último que es un (VP), el cual no es necesario para ya que se puede poner
para , pero sí es necesario para , integral impropia que no existe. Ahora, (VP)
. (Obsérvese que no existe).
De modo que, finalmente y, así
Problema 44
Demostrar que
Solución
ya que es una función par.
Ahora, y, por tanto, y se aplica el método
conocido, para con . Demuestre que es un polo simple de y que . Así,
226
15
Ejerecicio
con , (figura 18.11). pero la suma de las 4
Figura 18.11:
integrales del segundo miembro es por estar fuera del int y ser analítica en .
Luego,
término último que es un (VP), el cual no es necesario para ya que se puede poner
para , pero sí es necesario para , integral impropia que no existe. Ahora, (VP)
. (Obsérvese que no existe).
De modo que, finalmente y, así
Problema 44
Demostrar que
Solución
ya que es una función par.
Ahora, y, por tanto, y se aplica el método
conocido, para con . Demuestre que es un polo simple de y que . Así,
226
EjerecicioProblema 45
Demuestre que siendo
Solución
Se deja como ejercicio (Ayuda: Descomponer en suma de dos integrales ...).
Problema 46
Demuestre que con ,
Solución
Se deja como ejercicio. (Ayuda: Primero transforme en una diferencia de cosenos utilizando la
fórmula ).
Problema 47
(a) Demostrar que , con la semicircunferencia descrita por . (figu-
ra 18.12).
Figura 18.12:
(b) Demuestre que , con .
(c) Calcular .
Solución
(a) puesto que .
Luego, (Hemos usado la desigualdad Ml)
(b) Por (a), y, admitiendo que queda demostrado lo
pedido.
(c) Sea . Por el ejercicio (9) conocemos las raices de y sabemos que en el semiplano
superior sólo están , que son polos simples de (¡Demuéstrelo!)
con sus respectivos residuos y como ,
. Así, .
Por lo tanto, .
227
16