Prácticas de MATLAB R©

Ampliación de MatemáticasIngeniería de Telecomunicaciones

2o curso

Departamento de MatemáticasEscuela Politécnica Superior

Universidad Carlos III de Madrid

Índice

1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Representación de la imagen de unacurva mediante una función holomorfa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3. Transformaciones del plano complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1. Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2. Estudio del mapa de fases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2

Práctica 1

1.1. Introducción

El objetivo de esta práctica es la familiarización del alumno con la teoría básica del AnálisisComplejo mediante la comprobación numérica usando MATLAB R©.

Para ir acercándonos a la representación de los números complejos en MATLAB R©, recorde-mos algunas propiedades de la unidad imaginaria. Para ello, podemos introducir en la ventanade comandos lo siguiente:

��

��

>> i>> i^2

Un número complejo z se representa como z = x + iy, donde x ∈ R es la parte real de z ey ∈ R su parte imaginaria. En MATLAB R©, tenemos:

'

&

$

%

>> z=2+3i>> real(z)>> imag(z)>> help real>> help imag

Para cada número complejo z = x+ iy, están definidos los siguientes conceptos:

Complejo conjugado: z = x− iy.

Módulo: |z| =√

x2 + y2 =√zz.

Argumento: Es cualquier número real arg(z) = θ tal que

re(z) = |z| cos θ ,

im(z) = |z| sen θ .

Argumento principal: es el único argumento de z en el intervalo [−π,π). Se representa porArg(z).

En MATLAB R©, tenemos los siguientes comandos:

�

�

�

�>> conj(2+5i)>> abs(4+3i)>> angle(1+i)

1

Todo número complejo z = x + iy se representa en el plano mediante el par (x, y) (loque se conoce como coordenadas cartesianas). Existe otra forma de representarlos, equivalente,consistente en representarlo por el par (ρ, θ) = (|z|, Argz). Ésta es la representación de z encoordenadas polares.

Ya se conoce el comando plot para dibujar curvas en coordenadas cartesianas. Para repre-sentar curvas en coordenadas polares existe otro comando, idéntico en su uso a plot. Se tratadel comando polar. A modo de ejemplo, representamos la curva que, en polares, viene dadapor ρ = θ.

'

&

$

%

>> theta=0:0.1:12;>> rho=theta;>> subplot(1,2,1);>> plot (theta,rho);>> subplot (1,2,1);>> polar (theta,rho);

Se obtiene como resultado la siguiente figura:

0 2 4 6 8 10 120

2

4

6

8

10

12

10

20

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

Curva ρ = θ representada usando plot y polar.

2

1.2. Representación de la imagen de unacurva mediante una función holomorfa

En esta sección se pretende representar la imagen, mediante una función holomorfa, deuna curva en el plano complejo. Para ello, podemos utilizar el siguiente programa(complexplot.m):

'

&

$

%

function w=ComplexPlot (v,Strfun,Strvar);

% Dibuja una cierta cantidad de curvas complejas y sus% imágenes mediante una función holomorfa en una misma% ventana.%% ENTRADA:%% v: Matriz compleja, donde cada columna representa% una curva.% Strfun: String que define la función holomorfa.% Strvar: String que indica la variable de la función.%% SALIDA:%% w: Matriz compleja con las imágenes de las curvas% almacenadas en v (cada columna es imagen de la% correspondiente columna de v).%% OBSERVACIONES:% La forma de utilizar Strfun y Strvar es la misma que en% la función "inline" de MATLAB. Deben usarse operadores% puntuales en lugar de matriciales.

func=inline(Strfun,Strvar);

%Evaluamos las curvas mediante la función holomorfaw=func(v);

% Dibujamos las curvas originales.subplot(1,2,1); plot (real(v), imag(v));% Dibujamos las imágenes de las curvas.subplot(1,2,2); plot (real(w), imag(w));

En el siguiente ejercicio se propone aplicar la función anterior a dos rectas complejas paraver cómo se transforman mediante cuatro funciones holomorfas. Recuérdese que las funcionesholomorfas son conformes (conservan ángulos) donde su derivada no se anula. Para compro-barlo con los ejemplos propuestos en el ejercicio, podemos estimar estos ángulos realizando lasoperaciones que se muestran a continuación:

3

'

&

$

%

%Ángulo que forman las curvas originales.angle(v(2,1)-v(1,1))-angle(v(2,2)-v(1,2))

%Ángulo que forman las curvas imagen.angle(w(2,1)-w(1,1))-angle(w(2,2)-w(1,2))

� Cuestión. ¿Cuál es la idea que permite utilizar las sentencias anteriores para estimar el ángulo entredos curvas? En consecuencia, ¿qué podemos esperar que ocurra si disminuimos el paso de tiempo tomadopara representar las curvas?

� Ejercicio. Hágase la representación de las rectas complejas [(1+ πi8 )t+

πi2 ] y [(1+ πi

4 )t+ πi] cont ∈ [−4,−2], así como sus imágenes mediante las siguientes funciones:

(a). f (z) = z3

(b). f (z) = exp(z)

(c). f (z) = cos(z)

(d). f (z) = log(z)

Se muestran a continuación las figuras que deben obtenerse:

1. f (z) = z3

−4 −3.5 −3 −2.5 −20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

−80 −60 −40 −20 0 200

10

20

30

40

50

60

70

80

4

2. f (z) = exp(z)

−4 −3.5 −3 −2.5 −20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

−0.05 0 0.05 0.1 0.150

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

3. f (z) = cos(z)

−4 −3.5 −3 −2.5 −20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

−3 −2 −1 0−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

4. f (z) = log(z)

−4 −3.5 −3 −2.5 −20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.62.4

2.5

2.6

2.7

2.8

2.9

3

3.1

3.2

5

Puede comprobarse que, para una de las ramas de la raíz cúbica ( f (z) = 3√z), también se

conservan los ángulos:

−4 −3.5 −3 −2.5 −20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

0.6 0.7 0.8 0.9 11

1.05

1.1

1.15

1.2

1.25

1.3

1.35

1.4

La multiplicación por un número complejo consiste en una homotecia de razón, el módulodel número complejo, y una rotación cuyo ángulo corresponde al argumento del mismo. Porejemplo, el producto por el número complejo 1+ i

√3 consiste en una homotecia de razón 2 y

ángulo π3 .

� Ejercicio. Aplíquese la función definida por

f (z) =(

1+ i√3)

z

al cuadrado de vértices v1 = −1− i, v2 = 1− i, v3 = −1+ i y v4 = 1+ i. Hágase lo mismo con otrasfiguras del plano.

La siguiente figura muestra un ejemplo de lo que podría obtenerse en el ejercicio anterior.

−5 0 5 10

−2

0

2

4

6

8

10

12

−5 0 5 10

−2

0

2

4

6

8

10

12

v1

v2

v3 v

4

f(v1)

f(v2)

f(v3)

f(v4)

6

1.3. Transformaciones del plano complejo

En este apartado trataremos de ver cómo se transforma el plano complejo mediante lasfunciones anteriores. Para ello, tomamos un conjunto de curvas suficientemente representati-vo de una región del plano complejo. Concretamente, trazaremos una red de curvas, ora enpolares, ora en cartesianas, y aplicaremos la función complexplot.

Con el fin de facilitar la definición de estas curvas y aplicar posteriormente complexplot,implementamos la siguiente función (malla.m):

'

&

$

%

function [H,V]=malla(x,y,nh,nv,tipo);

% Sintaxis:% function [H,V]=malla(x,y,nh,nv,tipo);%% Crea una malla de curvas complejas parametrizadas.% x: Es un vector fila con la primera coordenada% de cada recta vertical, o bien, el radio% de cada arco.% y: Es un vector fila con la segunda coordenada% de cada recta horizontal, o bien, el ángulo% de cada recta radial.% nh: Número de puntos que se tomarán para representar% las rectas horizontales.% nv: Número de puntos que se tomarán para representar% las rectas verticales.% tipo: Especifica si queremos la malla en cartesianas% o polares. "1" --> Cartesianas. "0" --> Polares.%% H: Se almacenan las rectas horizontales% o rectas radiales.% V: Se almacenan las rectas verticales% o arcos de circunferencia.%% En estos dos últimos casos, las rectas están almacenadas% como vectores columna.

tx=linspace(min(x),max(x),nh).’;ty=linspace(min(y),max(y),nv).’;

if tipo==1H=tx*ones(1,length(y))+i*ones(length(tx),1)*y;V=ones(length(ty),1)*x+i*ty*ones(1,length(x));

elseH=tx*exp(i*y);V=exp(i*ty)*x;

end;

7

Veamos un ejemplo de cómo aplicar esto para f (z) = z3. Aquí hay que recordar que siz = |z|(cos θ + i sen θ), entonces zn = |z|n[cos(nθ) + i sen(nθ)]. Por lo tanto, si un argumentode z es θ, el correspondiente argumento de zn es nθ. Obsérvese este hecho en la figura que seobtiene a continuación.'

&

$

%

>> radi=[0 0.5:0.1:1.2];>> angi=linspace(0,pi/4,10);>> [R,A]=malla(radi,angi,100,100,0);>> AA=complexplot(A,’z.^3’,’z’);>> subplot(1,2,1); hold on>> subplot(1,2,2); hold on>> RR=complexplot(R,’z.^3’,’z’);

El resultado que se obtiene es:

−2 −1 0 1 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

−2 −1 0 1 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Para utilizar el programa malla.m, ejecútese la GUI (interfaz gráfica de usuario) transholo.Para ello, tecléese en la línea de comandos de MATLAB R© la instrucción�

�� >> transholo

Entonces aparecerá una ventana gráfica en la que se podrán introducir todos los argumentosnecesarios para poder ejecutar dicha función. A continuación se muestra la forma de imple-mentar el ejemplo anterior utilizando transholo.

8

0 0.5 1 1.50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

Re(z)

Im(z

)

−2 −1 0 1 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

Re(z)

Im(z

)

Transformación del plano complejo mediante f (z) = z3 usando transholo.

� Ejercicio. Hágase lo mismo con las funciones exp(z), cos(z) y log(z). Debe obtenerse algo similar alas figuras siguientes.

−1 −0.5 0 0.5 1−1

0

1

2

3

4

5

−4 −2 0 2 4−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Transformación de una región de C mediante f (z) = exp(z).

9

−2 0 2 40.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

−4 −2 0 2 4 6−4

−3.5

−3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

Transformación de una región de C mediante f (z) = cos(z).

−4 −2 0 2 4−3

−2

−1

0

1

2

3

−1 −0.5 0 0.5 1 1.5−3

−2

−1

0

1

2

3

Transformación de una región de C mediante f (z) = log(z).

Se muestra a continuación la transformación de otra región del plano mediante la funciónholomorfa f (z) = cos(z). Recuérdese que

cos z =12(eiz + e−iz) = cos x cosh y− i sen x senh y ,

donde z = x + iy. Entonces, cos z transforma rectas horizontales de la forma x+ bi con b 6= 0en elipses y rectas verticales de la forma a + yi con a 6= nπ

2 y n ∈ Z en hipérbolas. Además,transforma la recta real en el segmento [−1, 1], las rectas nπ + iR en las semirrectas [1,∞) y(−∞,−1] según la paridad de n ∈ Z y las rectas π

2 + πn+ iR en la recta imaginaria iR.

10

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Re(z)

Im(z

)

−2 −1 0 1 2−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

Re(z)

Im(z

)

Transformación de una región de Cmediante f (z) = cos(z).

� Ejercicio. Hágase un análisis similar al anterior para las funciones holomorfas f (z) = z3, f (z) =exp(z) y f (z) = log z. Compárense los resultados obtenidos con las figuras que se consiguieron me-diante transholo.

� Ejercicio. Trátese de obtener las figuras anteriores combinando adecuadamente las funcionescomplexplot y malla.

11

Anexo: Transformaciones conformes de Schwartz-Christoffel

La fórmula básica de Schwartz-Christoffel es una receta para definir una aplicación con-forme f del semiplano complejo superior (el dominio canónico) en el interior de un polígono(dominio físico). El polígono puede tener vértices en el infinito. Se denotan sus vértices comow1, . . . ,wn y los ángulos interiores de los vértices como α1π, . . . , αnπ. Las imágenes inversas delos vértices son reales y, si las denotamos por {zk}nk=1, verifican

z1 < z2 < · · · < zn = ∞ .

Si el vértice wj es finito, cumple que 0 < αj ≤ 2, y si es infinito, cumple que −2 ≤ αj ≤ 0. Porlo tanto, una restricción necesaria es

n

∑j=1

αj = n− 2 .

La Fórmula de Schwartz-Christoffel para la aplicación f es

f (z) = f (z0) + c∫ z

z0

n−1

∏j=1

(ζ − zj)αj−1dζ .

La principal dificultad práctica con esta fórmula es que, salvo en casos excepcionales, lasimágenes inversas de los vértices (zj) no se pueden calcular analíticamente.

Existe una toolbox para MATLAB R©que se puede descargar gratuitamente en la página:

http://www.math.udel.edu/~driscoll/SC/index.html

También puede bajarse en la misma página la guía para dicha toolbox. Una vez instalada, es-cribiendo scgui se ejecutará una interfaz gráfica de usuario que nos guiará en todo el procesode definir la aplicación de Schwartz-Christoffel, partiendo de un polígono definido arbitraria-mente por el usuario.

12

Práctica 2: Estudio de mapas de fases

2.1. Objetivo

El objetivo de la práctica es el estudio del mapa de fases de diferentes sistemas de ecuacio-nes diferenciales bidimensionales independientes del tiempo. En cada uno de ellos, es estudia-rán:

1. Los puntos de equilibrio.

2. El campo vectorial en una región del mapa de fases.

3. Diferentes soluciones particulares del sistema.

Para ello se utilizará la interfaz gráfica de MATLAB R© mapafases, que proporciona unarápida visualización de cada uno de los cálculo realizados. Un ejemplo de utilización de estaherramienta viene descrito en la siguiente sección.

Cada sistema E.D.O. se define mediante una expresión del tipo:{

dxdt = f (x, y, t)dydt = g(x, y, t) .

(1)

Para resolverlo de forma numérica, MATLAB R© cuenta con la herramienta ode45, que utilizaun método Runge-Kutta de paso adaptativo de quinto orden. Para conocer la sintaxis de estaherramienta, escríbase�

�� >> help ode45

2.2. Estudio del mapa de fases

Una vez abierto mapafases, los pasos necesarios para estudiar el caso del sistema E.D.O.competición son los siguientes (el resto de los casos se realiza de forma análoga).

1. Seleccionamos la E.D.O. Despliéguese el menú Sistema E.D.O. y selecciónese el ejem-plo competición.

2. Campo vectorial. Pínchese en el botón Campo vectorial. Aparecerán dibujados en elgráfico el campo vectorial y los puntos de equilibrio de dicho sistema.

3. Cálculo de trayectorias. Para definir una trayectoria (solución particular) son necesarios:

a) Las condiciones iniciales, dadas por el tiempo inicial t0 (el valor por defecto est0 = 0) y las coordenadas iniciales, x(t0) e y(t0). Las coordenadas iniciales puedenintroducirse de dos formas:

13

Introduciendo los valores directamente en el recuadro de edición(ejemplo: [1.0,2.55]).Pinchando en el botón Elegir y0 sobre gráfica: podremos entonces seleccio-nar, pinchando con el ratón en el punto deseado de la gráfica, las coordenadasiniciales, que aparecerán escritas en el recuadro de edición.

b) El intervalo de integración [tinicio, t f in] (ejemplo: [-10 10]).

Pínchese sobre el botón Propagar para calcular numéricamente la solución.

En el cuadro de texto de la zona inferior de la pantalla irán apareciendo las llamadas inter-nas que el programa mapafases realiza a los comandos de MATLAB R©.

Los ejemplos de sistemas E.D.O. elegidos son todos independientes del tiempo, es decir,en la ecuación (1) tendremos f (x, y) y g(x, y), por lo que las trayectorias serán independientesdel tiempo inicial t0 elegido. Esto es importante a la hora de calcular el campo vectorial, ya quees constante.

Para información complementaria, púlsese sobre el botón Ayuda del programa.

−1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

y1

y 2

Mapa de fases del ejemplo Competición, elaborado con mapafases.

14

2.3. Ejercicios

Estúdiese el mapa de fases de los siguientes sistemas de ecuaciones diferenciales:

1. Competición:

dy1dt

= y1(2− y1 − y2) ,

dy2dt

= y2(3− 2y1 − y2) .

2. Van der Pol:

dy1dt

= y2 ,

dy2dt

= −y1 + y2(1− y21) .

3. No polinómico:

dy1dt

= y2 ,

dy2dt

= −y2 − sen(y1) .

4. Péndulo lineal (g = 9,8, ℓ = 1):d2θ

dt2=

−g

ℓsen(θ)

dθ

dt= ω ,

dω

dt=

−g

ℓsen(θ) .

5. Lineal:

dy1dt

= 2y2 ,

dy2dt

= −3y1 + 2y2 .

6. Oscilador armónico:d2y1dt2

= −y1

dy1dt

= y2 ,

dy2dt

= −y1 .

15

Anexo: Introducción teórica

Dado el sistema de ecuaciones diferenciales (1), se define un punto de equilibrio (xeq, yeq)como aquel que satisface

dx

dt

∣

∣

∣

∣

(xeq,yeq)= f (xeq, yeq, t) = 0 ∀t ,

dy

dt

∣

∣

∣

∣

(xeq,yeq)= g(xeq, yeq, t) = 0 ∀t ,

Distinguimos entre los siguientes tipos de puntos de equilibrio:

Tipo Autovalores Mapa de fases

Punto de silla λ1 < 0 < λ2

−3 −2 −1 0 1 2 3−3

−2

−1

0

1

2

3

Sumidero λ1 < λ2 < 0

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5−3

−2

−1

0

1

2

3

Fuente 0 < λ1 < λ2

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5−3

−2

−1

0

1

2

3

Sumidero espiralλ = a± ib

a < 0 , b 6= 0

−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Fuente espiralλ = a± ib

a > 0 , b 6= 0

−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Centroλ = ±ibb 6= 0

−3 −2 −1 0 1 2 3−3

−2

−1

0

1

2

3

16

Han intervenido en la elaboración de estas prácticas:

Sara Cuenda Cuenda1

Marina Delgado Téllez de Cepeda2

Luis Lafuente Molinero3

Alberto Portal Ruiz2

1 GUI transholo.p2 Guion de prácticas y funciones complexplot.p y malla.p3 GUI mapafases.p