PREDICCIÓN DE SALIDAS Y OBSERVACIÓN DEL ...PREDICCIÓN DE SALIDAS Y OBSERVACIÓN DEL ESTADO EN...

PREDICCIÓN DE SALIDAS Y OBSERVACIÓN DEL ESTADO

EN SISTEMAS NO L INEALES CON MEDIDAS ESCASAS

Ignacio Penarrocha Alos

Departamento de Ingenierıa de Sistemas y Automatica.

Universidad Politecnica de Valencia.

Red Tematica en Ingenierıa de Control.

Jornadas sobre Control No Lineal.

ÍndiceIntroducción

Predicción de salidas

Observador del estado

Estimación de parámetros

Ejemplo

CEA-IFAC — Red de Ingenierıa de Control — Sevilla 4-5 de marzo de 2004 1/21

IntroducciónEl problema de escasez de medidas

Señal de control se actualiza a periodo T constante

Problema: la salida no está disponible en los instantes de actualización.

Factores de fallo:sobrecarga computacional

sensores compartidos

fallo de un sensorerrores de comunicaciónsensores lentos: procesos químicossensores binarios

��

� � ��

� ��

��

� �

� ��

�

�

��

� � � � ��

�� !

�

�� "� � � ��


Introducción

Estrategia de control directa Estrategia de control indire cta

#$% &'( ) *' +,- &. , /

01 $ *,23 45

67 89 :;. ,< ' % ,

= 6

> 89? :

==

@

7A 89? : B 1 ' % & . ' ,C. . 'D 1 / ).

;' . & 1 . E )< $ F, -G @> 8 9 :

2. ' H' . '- < $ )

IJK LMN O PM QRS LT R U

VW J PRX

Y Z[

\

] ^ _` abT Rc M K R

d \

e _fg a

d ^h _`i a j W M K LT M RkT T Ml W U OT

]

bM T L W T m Oc J nRSo ]

XT M pM T MS c J O

q

r

s

t u s vw u s v xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

w u sy v xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxt u sy vsz s{ sy

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx |

}

~

� � ~ �

� � ~ ��

�

�� ~� �~� ~� ~�

��

��

��

��

��

��

��

��


IntroducciónMuestreo síncrono Muestreo asíncrono

Muestreo síncrono periódico Muestreo asíncrono aleatorio

�

�

�

� � � ��

� � � � �

��

��

��

��

��

��

�

�

�

� � �

¡ � �

¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢

¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢

¢¢¢£ ¤ £

¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢

¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢ ¢¢¢¢¢

¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢

¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢

¢¢¢¢¢¢

¥ ¦ £¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢

¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢

¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢

¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢

¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢

¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢

¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¥ ¤ £

Muestreo síncrono aleatorio Muestreo con sensores binarios

§

¨

©

ª « © ¬ « © ¬

® ¯ ® °± ®

²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²

²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²

²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²

²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²³ ® °´ ® °µ ® °¶ ®

²²²²²²²²²²²²² ²²²²²²²²²²²²

²²²²²²²²²²²²

²

²²²²²²²²²²² ²²²²²²

²²²²²²²²²

²²²²²²²²²²

²²²

²²²²²²²²²²²²

²²²²²²²²²²

²²²²²²²²²²²²

²²²²²²

²²² ²²²

·

¸

¹

º » ¹ ¼

½ » ¹ ¼

º¾º¿¹¾ ¹ ¿

ºÀ

¹ À ¹Á

ºÁ ºÂ

¹ Â ¹Ã

ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ

ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ

ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ

ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ

ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ¹Å


IntroducciónPatrón de muestreo síncrono

Factor de disponibilidad de medidas: δk =

{0 no hay medida en k

1 hay medida en k

Relación entre periodos: Ty = N T

Objetivos

Predicción de salidas

Observación del estado


Control de procesos


IntroducciónControl de procesos con medidas escasas

- -Control ZOH - Proceso -rk

6

uk u(t)yk

NTT


6

uk u(t)yk

NTT

Predictor-yk


yk

6

uk u(t)yk

NTT

? -

Controlmultifrecuencia

Predictor

Controlinferencial

en BA

-

Control conpredictoren BC


Predicción de salidasPredictores de interpolación

y(tn) = f(y(t1), t1, . . . , y(tn−1), tn−1)

Predicción por extrapolación

Estimación de datos intermuestreo mediante interpolación

Ventajas

Coste reducidoAplicable a todo tipo de muestreosNo requiere de un modelo

Útil para la fase de identificación

InconvenientesLa precisión depende del periodo de muestreoNecesidad de un observador del estado


Predicción de salidasPredictor basado en modelo E-S (SISO)

yk = −

n∑

i=1

ai yk−i +

n∑

i=1

bi uk−i = −θᵀ

a Yk−1 + θᵀ

b Uk−1

Predictor en bucle abierto

yk = −θᵀ

a Yk−1 + θᵀ

b Uk−1

Store uUk

-

- θb

- ZOH - G(s)

Store yYk

-

- θa-

-

uk

T

NT yk

6-yk+

−


Predicción de salidasError de predicción

Notación matricial

Yk|k−1 = A Yᵀ

k−1 + B Uᵀ

k−1

Yk = Yk|k−1 + L h(Yk − Yk|k−1

)δk

A =

−θ

ᵀ

a

I(n−1)×(n)

; B =

θ

ᵀ

b

0(n−1)×(n)

L = [l1 · · · ln]ᵀ

; h = [1 0 · · · 0]

Error de predicción: Ek = Y − Yk

Dinámica del error con predictor BA: Ek+N = AN Ek

Dinámica del error con predictor BC: Ek+N = (I − L h) AN Ek


Predicción de salidasPredictor basado en E-S

Diseño del vector de ganancias (Dinámica (I − L h) AN )

Muestreo periódico:Asignación de polosRelación con el filtro de Kalman

Muestreo aleatorio (N variable): teoría de procesos estocásticos

Mk = (I − L h) ANk

∃P > 0 / E{Mᵀ

k P Mk} − P < 0 → Estable

Ejemplo: N = {4, 5, 6} con la misma probabilidad.¦ Cálculo de L para N = 5

¦ Mᵀ

4 P M4 + Mᵀ

5 P M5 + Mᵀ

6 P M6 − 3P = −3I, ¿P > 0?

Simplicidad de implementación

Se asegura la estabilidad frente a predictores de BA

Es necesario reconstruir el estado o incluir observador


Predicción de salidasPredicción de salidas en sistemas no lineales basada en mode lo E-S

Modeloyk = f(yk−i, . . . , yk−n, uk−i, . . . , uk−n)

∆yk ≈ −θᵀ

a ∆Yk−1 + θᵀ

b ∆Uk−1

Predicciónyk|k−1 = f(yk−i|k−1, . . . , yk−n|k−1, uk−i, . . . , uk−n)

yk|k = yk|k−1 + l1 (yk − yk|k−1) δk

yk−j|k = yk−j|k−1 + lj+1 (yk − yk|k−1) δk; j = 1, . . . , n − 1

Dinámica del error de predicción: ∆Ek+N = (I − L h) AN ∆Ek

?

f--

f- -1−liδk

-+

uk

li δk

+

yk

- yk−i−1-

?-

NT


Observador del estadoObservador en sistemas no lineales con medidas escasas

xk+1 = f(xk, uk) ∆xk+1 = A ∆xk + b ∆uk

yk = h(xk) ∆yk = c ∆xk

Observador de Luenberger

xk|k−1 = f(xk−1, uk−1)

xk = xk|k−1 + K (yk − h(xk|k−1)) δk

Error de estimación aproximado

∆xk = ∆xk − ∆xk

∆xk+N = (I − K c) AN ∆xk

Relación con el predictor basado en modelo E-S

K = An−1 O−1L


Observador del estadoFiltro de Kalman extendido

Modeloxk+1 = f(xk, uk, wk) wk ∼ N(0, Q)

yk+1 = h(xk+1, vk+1) vk ∼ N(0, R)

Ciclo de propagación

xk|k−1 = f(xk−1, uk−1, 0)

Pk|k−1 = Ak−1Pk−1Aᵀ

k + Wk−1QWᵀ

k−1

Ciclo de actualización

Kk = Pk|k−1Hᵀ

k−1

[VkRV

ᵀ

k + HkPk|k−1Hᵀ

k

]−1

xk = xk|k−1 + Kk

[yk − Hkxk|k−1

]δk

Pk = (I − KkHk)Pk|k−1

Ak =∂fk

∂xk

∣∣∣∣xk,uk

, Wk =∂fk

∂wk

∣∣∣∣xk,uk

, Hk =∂hk

∂xk

∣∣∣∣xk+1|k

, Vk =∂hk

∂vk

∣∣∣∣xk+1|k


EjemploPéndulo de Furuta

6

ª

-

x

ϕ

θ

y

z

Brazo: Jb, r

Pendulo:m,Jp, l

?mg

(xp, yp, zp)

(xb, yb)

τ-

τ = (Jb+m r2+m l2 sin2 θ)ϕ+m r l cos θ θ

+2 m l2 sin θ cos θ θ ϕ−m r l sin θ θ2+βb ϕ

0 = (Jp+m l2)θ+m r l cos θϕ−m l2 sin θ cos θ ϕ2

−m g l sin θ+βp θ


EjemploPredicción de salidas en el péndulo de Furuta basada en E-S

ϕk =2 ϕk−1 − ϕk−2 −

1

C2 cos2 θk−2 − D(A + B sin2 θk−2)[D τk−2

− 2BD sin θk−2 cos θk−2(ϕk−1 − ϕk−2)(θk−1 − θk−2)

−BC sin θk−2 cos2 θk−2(ϕk−1 − ϕk−2)2 + CD sin θk−2(θk−1 − θk−2)

2

−CE sin θk−2 cos θk−2 − βbD(ϕk−1 − ϕk−2) + βpC cos θk−2 (θk−1 − θk−2)]

θk =2 θk−1 − θk−2 +1

C2 cos2 θk−2 − D(A + B sin2 θk−2)

[

C cos θk−2 τk−2

+ C2 cos θk−2 sin θk−2 (θk−1 − θk−2)2

− B (A + B sin2 θk−2) sin θk−2 cos θk−2 (ϕk−1 − ϕk−2)2

− 2B C sin θk−2 cos2 θk−2 (ϕk−1 − ϕk−2) (θk−1 − θk−2)

− E (A + B sin2 θk−2) sin θk−2

−βb C cos θk−2 (ϕk−1 − ϕk−2) + βp (A + B sin2 θk−2) (θk−1 − θk−2)]

A=Jb+m r2, B=m l2, C=m r l, D=Jp+m l2, E=m g l

ϕk

θk

ϕk−1

θk−1

=

ϕk

θk

ϕk−1

θk−1

+

l1 1 l1 2

l2 1 l2 2

l3 1 l3 2

l4 1 l4 2

[

ϕk − ϕk

θk − θk

]

δk

A=

2 −

βb D TA D−C2

βp C T

A D−C2 −1 + βb D TA D−C2 −

C E T 2+βp C T

A D−C2

βb C TA D−C2 2 −

βp A T

A D−C2 −

βb C TA D−C2 −1 +

βp A T 2+AET 2

A D−C2

1 0 0 00 1 0 0


EjemploPredicción de salidas basada en modelo ( N = 10)

0 100 200 300 400−2

0

2

4

6

8

Muestra

φ(ra

d)

0 100 200 300 400−2

−1

0

1

2

3

Muestra

e φ(%)

0 100 200 300 4001

2

3

4

5

Muestra

θ(ra

d)

0 100 200 300 400−2

−1

0

1

2

3

Muestra

e θ(%)


EjemploPredicción de salidas mediante extrapolación en el péndulo de Furuta ( N = 10)

0 200 400 600−4

−3

−2

−1

0

1

2

Muestra

φ(ra

d)

0 200 400 600−15

−10

−5

0

5

10

15

Muestra

e φ(%)

0 200 400 6001.5

2

2.5

3

3.5

4

Muestra

θ(ra

d)

0 200 400 600−15

−10

−5

0

5

10

15

Muestra

e θ(%)


EjemploPredicción de salidas mediante interpolación en el péndulo de Furuta ( N = 10)

0 200 400 600−4

−3

−2

−1

0

1

2

Muestra

φ(ra

d)

0 200 400 600−1

−0.5

0

0.5

1

Muestra

e φ(%)

0 200 400 6001.5

2

2.5

3

3.5

4

Muestra

θ(ra

d)

0 200 400 600−1

−0.5

0

0.5

1

Muestra

e θ(%)


Estimación de parámetrosMétodos de identificación en línea de sistemas LP con medidas e scasas

RLS y predicción de interpolación

Convergencia sesgada

PRLS y predictor basado en modelo E-S

Convergencia dependiente de la inicialización, T y escasez (N/n)

Aparición de atractores erróneos

Basado en modelo (PRLS) Cambio de predictor (RLS → PRLS)

0 5 10 15 20 25 30 35 40−4

−2

0

2

4

6

tiempo (s)

0 5 10 15 20 25 30 35 40−5

0

5

tiempo (s)

a1, a

2

b1

b2

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50−3

−2

−1

0

1

2

tiempo (s)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.2

0.4

0.6

0.8

1

tiempo (s)

a2

a1

b1

b2


EjemploPéndulo de Furuta

6

ª

-

x

ϕ

θ

y

z

Brazo: Jb, r

Pendulo:m,Jp, l

?mg

(xp, yp, zp)

(xb, yb)

τ-

Modelo continuo

τ = (Jb+m r2+m l2 sin2 θ)ϕ+m r l cos θ θ

+2 m l2 sin θ cos θ θ ϕ−m r l sin θ θ2+βb ϕ

0 = (Jp+m l2)θ+m r l cos θϕ−m l2 sin θ cos θ ϕ2

−m g l sin θ+βp θ

Discretización (LP)


0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

0

2

4

6

8

10Θ


PREDICCIÓN DE SALIDAS Y OBSERVACIÓN DEL ESTADO

EN SISTEMAS NO L INEALES CON MEDIDAS ESCASAS

Ignacio Penarrocha Alos

Departamento de Ingenierıa de Sistemas y Automatica.

Universidad Politecnica de Valencia.

Red Tematica en Ingenierıa de Control.

Jornadas sobre Control No Lineal.

PREDICCIÓN DE SALIDAS Y OBSERVACIÓN DEL ...PREDICCIÓN DE SALIDAS Y OBSERVACIÓN DEL ESTADO EN...

Documents

Transcript of PREDICCIÓN DE SALIDAS Y OBSERVACIÓN DEL ...PREDICCIÓN DE SALIDAS Y OBSERVACIÓN DEL ESTADO EN...