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Respuesta transitoria de circuitos de 1er y 2do orden.Alejandro Zabala Camacho, Universidad Nacional de Colombia,Facultad de Ingeniera,Cristian Sanabria

Hernandez, Universidad Nacional de Colombia,Facultad de Ingeniera, Eddy Camilo Vargas Eslava, UniversidadNacional de Colombia,Facultad de Ingeniera

I. OBJETIVOS

1. Reconocer el comportamiento tension-corriente de cir-cuitos RC, RL y RLC.

2. Identificar las caracteristicas de la respuesta transitoriaen circuitos RLC.

3. Identificar las posibles aplicaciones de los circuitosRLC.

4. Conocer la importancia del teorema thevenin para re-solver circuitos con respuesta transitoria.

II. MARCO TEORICO

1) El Capacitor (Condensador): Un capacitor es un ele-mento pasivo disenado para almacenar energa en su campoelectrico. Junto con los resistores, son los elementos electricosmas comunes. La relacion tension-corriente de un capacitorviene dada por:

i = CdV

dt

La energa que almacena el capacitor viene dada por

w =Cv2

2

Donde C es la capacitancia que se define como la razon entrela carga en una placa del capacitor y la diferencia de tensionentre las dos placas, medida en faradios (F)

II-A. Inductores

Un inductor es un elemento pasivo disenado para almacenarenerga en su campo magnetico; Un inductor consta de unabobina de alambre conductor. La relacion tension-corriente enun inductor viene dada por:

v = Ldi

dt

Y la energa almacenada en la bobina es:

w =Li2

2

Donde L es una constante llamada inductancia. La inductan-cia es la propiedad por la cual un inductor presenta oposicional cambio de la corriente que fluye por el, medida en Henrys(H)

Figura 1. Circuito RC

Figura 2. Circuito RL

II-B. Circuitos de primer orden

Los circuitos de primer orden RC y RL se muestran en lassiguientes figuras:

Todos los circuitos RL y RC se deben reducir a estaforma mediante equivalentes de Thevenin para poder llegara la solucion del circuito. La tension v(t) en un circuito RCesta dada por:

v = vn + vf

Donde Vn es la respuesta natural y Vf es la respuesta forzada,donde:

vn = v0 + et/

y Vf esta dado por:

vf = Vs(1 et/ )

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donde esta dado para circuitos RL por

=L

R

y para el RC: = R C

II-C. Circuitos de Segundo OrdenExisten dos tipos de circuitos RLC: serie y paralelo. El

circuito RLC en serie se muestra en la figura 3 y el paraleloen la figura 4:

Figura 3. Circuito RCL serie

Figura 4. Circuito RCL paralelo

1) Respuestas de RLC en paralelo: El circuito paralelo tieneuna ecuacion caracterstica del orden:

s2 + (1

RC)s+ 1/(LC) = 0

en el tiempo del dominio de la frecuencia. De esta ecuacioncaracterstica podemos definir varios conceptos.

1. Coeficiente de amortiguamiento (rad/seg). Equivale a = 12RC

2. Frecuencia de resonancia (rad/seg). Equivale a 0 =1LC

3. Frecuencia de resonancia amortiguada (rad/seg). Equi-

vale a a =

( 12RC )2 1LC

Para el caso de los circuitos RLC existen diferentes respues-tas que varan de acuerdo a los valores de R, C y L.1. Frecuencias naturales caso Sobreamortiguado:

S1, S2 = 12C

(1

2RC)2

1LC

(1

2RC)2

1LC

> 0

R > 1/2

L

C

2. Frecuencias naturasles caso Criticamente amortiguado

s1 = s2 = 1/(2RC)

R = 1/2

L

C3. Frecuencias naturales caso Subamortiguado

S1, S2 = 12RC

1

LC 1

4R2C2

R < 1/2

L

C2) Respuestas de RLC en serie: El circuito paralelo tiene

una ecuacion caracterstica del orden:

s2 + (R

L)s+ 1/(LC) = 0

en el tiempo del dominio de la frecuencia. De esta ecuacioncaracterstica podemos definir varios conceptos.

1. Coeficiente de amortiguamiento (rad/seg). Equivale a = R2L

2. Frecuencia de resonancia (rad/seg). Equivale a 0 =1LC

3. Frecuencia de resonancia amortiguada (rad/seg). Equi-

vale a a =

( R2L )2 1LC

Para el caso de los circuitos RLC existen diferentes respues-tas que varan de acuerdo a los valores de R, C y L.1. Frecuencias naturales caso Sobreamortiguado:

S1, S2 = RL

(R

2L)2

1LC

(R

2L)2

1LC

> 0

R > 2

L

C2. Frecuencias naturales caso Criticamente amortiguado:

s1 = s2 = R/(2L)R2

4L2=

1

LC

R = 2

L

C3. Frecuencias naturales caso Subamortiguado:

S1, S2 = RL

(R

2L)2

1LC

(R

2L)2

1LC

< 0

R < 2

L

C

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III. CALCULOS NECESARIOS

Esta practica de laboratorio se divide circunstancialmenteen 2 partes: La primera el analisis de circuitos RL-RC y lasegunda en planteamiento analtico de un circuito RLC.

III-A. Circuitos de primer Orden

Para empezar se planteara un circuito RC con un valorarbitrario en el capacitor (100nF en este caso). Se escoge estevalor puesto que es una de las referencias que mas facil sepuede conseguir. Al igual que en el capacitor, la resistenciasse escogen de una manera aleatoria, simplemente buscandoque sean de facil comercializacion.

Figura 5. Circuito RC

Se usara una fuente Escalon de 8V a 60Hz. Se usa unafrecuencia baja para poder visualizar de una mejor manera losucedido en el comportamiento del capacitor.

Figura 6. Simulacion circuito RC

Para implementar

III-B. Circuitos de segundo Orden

En este punto se deben plantear 3 circuitos diferentescorrespondientes respuestas: Amortiguadas, Subamortiguadasy Criticamente Amortiguados.

Figura 7. Circuito RL

Figura 8. Simulacion circuito RL

1) Respuesta Sobreamortiguada: Para lograr la respuestadeseada tenemos que asegurar que 2 > 2. Usaremos losmismos valores del capacitor y el inductor de las seccionanterior, por ende solo vamos a variar el valor de la resistencia.Como usaremos un circuito serie para esta parte, tenemos quela ecuacion caracterstica en frecuencias naturales es:

s2 + (R/L)s+ 1/(LC) = 0

y por ende el valor de R para un circuito sobreamortiguadocorrespondera a :

S1, S2 = RL

(R

2L)2

1LC

R > 2

L

C

Tomando a L=9mH y a C = 0,1F , el valor de R > 600.Haremos a R = 1000 . La simulacion obtenida del circuitosobreamortiguado se muestra en la figura 9.

2) Respuesta Criticamente amortiguada: La respuesta cri-ticamente amortiguada se logra en el instante en que eldiscriminante de la ecuacion caracterstica de orden dos delcircuito RLC es cero. Es decir:

s2 + (R/L)s+ 1/(LC) = 0

s1 = s2 = R/(2L)

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Figura 9. Simulacion circuito Sobreamortiguado

R = 2

L

C

Cumpliendo el patron de los puntos anteriores (mantenerlos mismos valores para L y C, solo variando R para lograr larespuesta desesada) obtenemos que R = 600.

Figura 10. Simulacion Circuito Criticamente Amortiguado

En la figura 10 se muestra la simulacion pertinente al variarel valor de la resistencia al mencionado anteriormente.

3) Respuesta Subamortiguada: Por ultimo, la respuesta Su-bamortiguada se caracteriza porque trabaja en el plano delos complejos. A contrario de la respuesta Sobreamortiguadaaca se busca que:

S1, S2 = RL

(R

2L)2

1LC

R < 2

L

C

Es decir, cualquier valor que no sobrepase los 600. Para finespracticos optaremos por una R = 100. La simulacion de larespuesta Subamortiguada se presenta en la figura 11.

Se muestra en la tabla I el resultado de la constante paracada configuracion de los circuitos.

Hay que tener en cuenta que todos los valores obtenidosanteriormente responden a simulaciones, donde los generado-res de senales usados para visualizar las graficas no tienenimpedancias de salida.Cabe resaltar que los elementos con los que se dispondra pararealizar la practica si la tienen. En el caso del generador

Figura 11. Simulacion Circuito Subamortiguado

Circuito Expresion 106sRC RC 760RL LR 1.17

Subamortiguado 1smayor 180

Criticamente 1 30Sobreamortiguado 1 6.42

Cuadro I. CONSTANTE PARA CADA CONFIGURACION DE LOSCIRCUITOS

600. Una forma de mitigar este problema, es tomando estaresistencia como parte del sistema.

s2 + (R+ 600

L)s+ 1/(LC) = 0

donde

R+ 600 > 2

L

C

pero si mantenemos los mismos valores asignados anterior-mente llegamos a que

2

L

C= 600

entoncesR+ 600 = 600 = 0

La resistencia sera de O. Si variamos el valor del capacitorde 100nF a uno de 1nF obtenemos que:

2

L

C= 6000

a lo que el nuevo R estara dado por :

R+ 600 = 6000 es decir R = 5400

A lo que los nuevos valores de R para cada uno de lasrespuestas es:

1. Sobreamortiguado R > 5400 = 60002. Criticamente amoritguado R = 54003. Subamortiguado R < 5400 = 4000Para fines practicos, por cuestiones de exactitud y demas

problemas, es mejor manejar un potenciometro para lograr losvalores deseados

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IV. PROCEDIMIENTOS1. Se disena un circuito RC con 4 resistencias en serie y

paralelo y una fuente con senal cuadrada de poca fre-cuencia tal como se ilustra en la figura 5. Se conectara elosciloscopio entre las terminales de la capcitancia de100nF para observar su respuesta de tension respecto altiempo y comprobar los datos obtenidos con lo halladospor calculos y simulaciones. Se repite el mismo procesoanterior, cambiando el capacitor por una bobina de 9mHtal como se muestra en el circuito de la figura 7.

2. Se varia el valor de las resistencias en el laboratorio paralograr el efecto de estas sobre la respuesta transitoriaque se presenta tanto en la bobina como en el capacitor.

3. Se monta en circuito con los valores de capacitancia einductancia de los procesos anteriores en serie con unaresistencia. La resistencia tomara 3 valores distintos de-finidos acorde con el amortiguamiento deseado, creandoas 3 configuraciones diferentes de RLC. Para cadaconfiguracion planteada se medira la tension por mediodel osciloscopio para observar el comportamiento de suselementos en el tiempo debido a una excitacion externaque en esta caso es la fuente en serie con los elementos.

REFERENCIAS[1] Gua de laboratorio Circuitos 2, (( Respuesta transitoria de circuitos de

1er y 2do orden. )) Universidad Nacional de Colombia, Bogota DC, 2014.[2] Hayt William H. Kemmerly Jack. E. Analisis de Circuitos en Ingeniera,

7ma edicion.[3] Dorf, Svoboda. Circuitos electricos, 6ta Edicion, Alfaomega, 2009.