Prepa Nº 8 (Series Complejas)

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Matemticas VI (MA-2113).

Universidad Simn Bolvar.


Preparadura n 8.

[email protected] ; @ChristianLaya.

Series y sucesiones de nmeros complejos

Definicin: una sucesin de nmeros complejos tiene un lmite si para todo existe

un tal que si , entonces . Escribimos:

Teorema: sean y , entonces:

Definicin: Sean nmeros complejos. Definimos a una serie de nmeros complejos como una expresin de la forma:

Tenemos:

Si existe el lmite finito de la sucesin de sumas parciales, es decir:

Entonces se dice que la serie converge a la suma S.

Teorema: sean y . Entonces:

Teorema de Abel

Sea la serie de potencias denotada por:

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Si sta converge en el punto , entonces converge absolutamente en todos los puntos que satisfacen la

desigualdad , es decir, en todos los puntos interiores a .

Si sta diverge en el punto , entonces es divergente en todos los puntos que satisfacen la

desigualdad , es decir, en todos los puntos exteriores a .

Podemos afirmar que el campo de convergencia (curva verde) de la serie es un radio de disco abierto con

centro en el origen. El radio de este disco se denomina radio de convergencia (r).

Si entonces la serie converge en un nico punto .

Si entonces la serie converge en todo el plano complejo.

En el borde de puede ocurrir cualquier cosa.

Adicionalmente:

Factorial de Stirling para infinitos equivalentes: cuando en alguna expresin donde aparezca

se tiene que:

Teorema de derivacin de series de potencias

Si se tiene la funcin definida por:

La cual converge en el disco , entonces f es analtica en el disco y su derivada viene dada por:

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Teorema de Taylor (teorema converso)

Sea una funcin analtica en un abierto U y . Entonces, puede ser representada en forma de serie de Taylor:

Funcin Desarrollo

1. Halle el radio de convergencia de la siguiente serie:

Solucin:

Vemos que la serie tiene la forma (una serie de potencias). En tal caso, identificamos:

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El radio de convergencia podemos calcularlo mediante dos formas distintas:

Mtodo 1:

Mtodo 2:


Solucin:

Vemos que la serie tiene la forma (una serie de potencias). En tal caso, identificamos:

Calculamos entonces el radio de convergencia:


Solucin:

Tenemos entonces una serie de potencias. Identificamos:

Calculamos el radio de convergencia:

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Tenemos entonces una indeterminacin del tipo .

Resolvemos por separado:

Aplicando la regla de L Hopital:

Finalmente:

4. Halle la suma de la serie:

Solucin:

Desarrollamos la serie:

Sabemos que:

Derivamos:

Derivamos por segunda vez:

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Multiplicamos la serie (1) por y la serie (2) por :

Ahora bien:

Finalmente, la suma ser:

5. Alrededor de , represente la siguiente funcin en serie de Taylor:

Solucin:

Sabemos que:

Adicionalmente, se tiene que:

Es decir:

Igualando se obtienen los valores de las constantes:

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La funcin podemos escribirla como:

Tendremos entonces:

Como se trata de una serie geomtrica se tiene que sta ser convergente cuando . En este caso, la

razn ser , a lo cual, se obtendr que sta ser convergente cuando .

Como z es un nmero complejo se tiene que:

Bsicamente, el conjunto ser el campo de convergencia de la serie. El

radio de convergencia ser .

De la misma manera:

La razn ser

, a lo cual, la serie ser convergente cuando

. Se tiene pues:

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Bsicamente, el conjunto ser el campo de convergencia de la serie. El

radio de convergencia ser .

Finalmente, la serie de Taylor de la funcin ser:

Tenemos dos maneras de hallar el radio de convergencia:

Mtodo 1:

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Mtodo 2: buscamos la interseccin de los campos de convergencia:

La serie es convergente slo en el interior de que es, bsicamente, el campo de convergencia.

El radio de este campo ser el radio de convergencia, as que .

6. Halle el desarrollo de la serie de Taylor de alrededor de

.

Solucin:

Tenemos:

7. Calcule los primeros cuatro coeficientes de la serie de Taylor centrada en de la funcin:

Solucin:

Tenemos que la funcin viene dada por:

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El desarrollo de la serie de Taylor vendr dado por:

Ahora, sabemos que:

Entonces:

Dividimos polinomios y obtenemos entonces una expresin de la forma:

Una vez efectuada la operacin se obtendr:

As, los cuatro primeros trminos del desarrollo de la serie de Taylor sern:

8. Halle el desarrollo de MacLaurin de la funcin:

Solucin:

Notemos que podemos escribir la funcin como:

Sabemos que:

Entonces:

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9. Halle los cuatro primeros trminos no nulos del desarrollo de Taylor centrado en y determine en qu regin es vlido el desarrollo de la funcin:

Solucin:

Tenemos que:

Separamos los desarrollos:

Adicionalemente:

Ahora bien:

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Ahora bien:

En general:

Entonces:

De manera anloga:

Finalmente, los cuatro primeros trminos sern:

10. Sea C la curva parametrizada por

con . Calcule la integral:

Solucin:

Tenemos que:

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Entonces:

Bsicamente, queremos calcular:

Vemos que la parametrizacin viene dada por:

Es decir:

No nos interesa cul es la curva que describe. Como queremos calcular la integral de lnea a lo largo de C, slo nos interesa saber si sta es una curva cerrada (su inicio es igual a su final).

Vemos que si entonces

, de la misma manera, si se tiene que el valor

de la parametrizacin es

, lo que demuestra que C es una curva cerrada.

Nos importa saber si los puntos y estn dentro de sta, debido que en estos la funcin no es analtica.

Sabemos que si un punto est dentro de una curva entonces se cumple que .

Lo que nos indica que est dentro de la curva.

Lo que nos indica que est fuera de la curva.

Bsicamente:

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Siendo una funcin analtica dentro de C y , entonces:

Se agradece la notificacin de errores

Christian Laya

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