UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL ESTADO DE HIDALGO

Instituto de Ciencias Básicas e Ingenierías

Asignatura: Cálculo Vectorial

GRÁFICAS DE FUNCIONES DE 2 VARIABLES

Presenta: M. en C. Marcos Campos Nava

Marzo de 2012

Funciones de Varias Variables.

Definición: Una función f de dos variables es una regla que asigna a cada par ordenado de números reales (x,y) de un conjunto D, un número real único denotado por f(x,y).

El conjunto D es el Dominio de f y su imagen es el conjunto de valores que toma f, es decir Dyxyxf ),/(),(

DEFINICIÓN DE UNA FUNCIONES DE DOS VARIABLES

Sea D un conjunto de pares ordenados de números reales. Si cada par ordenado (x, y) en D le corresponde un único número real f (x, y), se dice que f es función de x e y. El conjunto D es el dominio de f y el correspondiente conjunto de valores de f (x, y) es el recorrido de f

EJEMPLO 1: Hallar el dominio de las siguientes funciones:

CÁLCULO DEL DOMINIO DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES

x

yxyxfa

9),()

22

Solución:

a) La función f está definida para todos los puntos (x, y) tales que y

922 yx

0x

922 yxAsí, pues, el dominio es el conjunto de puntos que están en el círculo , o en su exterior, excepto los que se encuentran en el eje y, como indica la figura siguiente:

Gráfica de una función de dos variables.

Definición: Si f es una función de dos variables con dominio D, entonces la gráfica de f es el conjunto de los puntos (x, y, z) de R3 tales que z = f(x,y) y (x,y) está en D.

SUPERFICIES TOPOGRAFICAS

• La superficie terrestre, no es geométrica evidentemente y por lo tanto no se puede representar con exactitud matemática. Para poder realizar los cálculos de ingeniería necesarios, dicha superficie natural se sustituye por otra convencional, denominada superficie topográfica.

• Ésta se puede representar de distintos modos:

• Perfil longitudinal: sección por plano proyectante. Permite realizar cálculos interesantes.

• Plano topográfico: curvas de nivel. Permiten cálculos con precisión suficiente

• Vista en perspectiva: no es ortográfica y es la más representativa

• Plano de relieves: proyección ortográfica representativa

SUPERFICIES TOPOGRAFICAS

SUPERFICIES TOPOGRAFICAS

PLANO TOPOGRAFICO.

Curvas de nivel.

11

x

O

Definición: Las curvas de nivel de una función f de dos variables, son las curvas con ecuaciones f(x,y)=k, donde k es una constante (que pertenece a la imagen de f).

Superficies Cilíndricas.

Fuente: Larson Vol 2

Superficies Cilíndricas.

Ejemplo : Dada la siguiente ecuación, determine cortes, trazas y gráfica.

44

2

x

zEcuación:Solución:La curva directriz está en el plano XZLas rectas generatrices son // YAnálisis de la directriz:Cortes con Z (x=0)

Cortes con X (z=0)

Vértice:

44

02

x

4x

4z

ab

xv 2 0

2

0

vx

44

02

vz 4vz

X

Z

Y

Superficies Cilíndricas.

Ejemplo Dada la siguiente ecuación, determine cortes, trazas y gráfica.

44

2

x

zEcuación:Solución:La curva directriz está en el plano XZLas rectas generatrices son // YAnálisis de la directriz:Cortes con Z (x=0)

Cortes con X (z=0)

Vértice:

44

02

x

4x

4z

ab

xv 2 0

2

0

vx

44

02

vz 4vz

X

Z

Y

Superficies Cuadráticas.

Fuente: Larson Vol 2

Superficies Cuadráticas.

Fuente: Larson Vol 2

Superficies Cuadráticas.

Fuente: Larson Vol 2

Superficies Cuadráticas.

Fuente: Larson Vol 2

Superficies Cuadráticas.

Fuente: Larson Vol 2

Superficies Cuadráticas.

Fuente: Larson Vol 2

Superficies Cuadráticas.

Fuente: Larson Vol 2

Límites Definición: Sea f una función de dos variables cuyo dominio D incluye puntos arbitrariamente cercanos a (a,b). Entonces decimos que el límite de f(x,y) cuando (x,y) se aproxima a (a,b) es L y escribimos

tal que siempre que

y

0,0 f x , y L

x, y D 2 20 x a y b

x ,y a,blim f x, y L