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Presentacion FinalTratamiento Estadıstico de

Senalesiie.fing

Haldo Sponton

Resumen

Introduccion

Contexto del Problema

Archivos de Entrada

Salida de la Primera Etapa

Objetivos del SeguimientoTemporal

Filtro de Kalman

Planteo Original del Filtrode Kalman

Desarrollo para ProcesosAR(p)

Generalizacion a Procesosno Estacionarios

Resumen (Pseudo-Codigo)

Adaptacion al Seguimientode f0

Variables del Problema

Modelado del Ground Truth

Algoritmo de Seguimiento

Inicializacion

Determinacion de Punto deArranque

Seguimiento hacia Adelantey hacia Atras

Condiciones de Parada

Pseudo-Codigo

Resultados

Bibliografıa

Presentacion FinalTratamiento Estadıstico de Senales

iie.fing

Haldo Sponton

7 de abril de 2010


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Introduccion


Archivos de Entrada



Filtro de Kalman









Inicializacion




Pseudo-Codigo

Resultados

Bibliografıa

Resumen (Outline)

I Introduccion

I Contexto del Problema

I Objetivos del Seguimiento TemporalI Filtro de Kalman

I Planteo OriginalI Adaptacion al Seguimiento de f0

I Algoritmo de Seguimiento

I Analisis de Resultados

I Bibliografıa


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Resultados

Bibliografıa

Etapas del Proyecto

I Deteccion local de frecuencia fundamental.

I Extraccion y evaluacion de caracterısticas.

I Seguimiento temporal. ←−I Aplicacion.


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Bibliografıa

Archivos de Entrada

I Se dispone de base de datos de archivos de audio con informacionmelodica etiquetada (Ground Truth).


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Bibliografıa

Archivos de Entrada

I Otro ejemplo.


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Resultados

Bibliografıa


I Se separa el archivo de audio en frames solapados de largo 2048muestras (128 muestras de solapamiento).

I Se devuelven 5 candidatos de f0 para cada frame de audio.

I Dado el metodo utilizado y la dificultad de los archivos de la base dedatos de prueba, puede que uno, varios, o ninguno de los candidatosde f0 sean correctos.


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Bibliografıa

Ejemplo de Salida de la Primera Etapa


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Resultados

Bibliografıa

Objetivos del Seguimiento Temporal

I Mejora cuantitativa de los resultados en terminos de reduccion delerror en la estimacion de f0 para la melodıa principal.

I Mejora cuantitativa de los resultados; obtener una estimacion queevolucione de manera suave.

I Dar coherencia temporal a los resultados.

I Distincion de diferentes fuentes sonoras.

Tecnica a utilizar: Filtro de Kalman.


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Bibliografıa

Filtro de Kalman

I Estudio del filtro de Kalman discreto para procesos AR(p).

I Generalizacion a procesos no estacionarios.

I Adaptacion al seguimiento de f0.


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Bibliografıa

Desarrollo para Procesos AR(p)

Se suponen que se tienen medidas ruidosas de un proceso x[n] a estimar:

y [n] = x[n] + v [n] (1)

siendo x[n] un proceso AR(p) generado por la ecuacion:

x[n] =

p∑k=1

a[k]x[n − k] + w [n] (2)


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Resultados

Bibliografıa


Vector de estados de tamano p: x[n] =

x[n]

x[n − 1]...

x[n − p + 1]

. Ecuaciones 1 y 2

quedan:x[n] = Ax[n] + w [n]

y [n] = CT x[n] + v [n]

con A =

a(1) a(2) . . . a(p − 1) a(p)

1 0 . . . 0 00 1 . . . 0 0...

.... . . 0 0

0 0 . . . 1 0

.


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Resultados

Bibliografıa


Estimador optimo del vector de estados x[n]:

x[n] = Ax[n − 1] + K(y [n]− CT Ax[n − 1]

)

I K es el vector de Ganancia de Kalman.


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Bibliografıa

Generalizacion a Procesos no Estacionarios

Evolucion del vector de estados de tamano p:

x[n] = A[n − 1]x[n − 1] + w [n]

I A matriz de trancision de estados pxp, variable en el tiempo.

I w [n] es un proceso de ruido blanco con media nula y con:

E{

w [n]wH [n]}

=

{Q

w[n] ; k = n

0 ; k 6= n


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Bibliografıa


Ecuacion de observaciones:

y [n] = C [n]x[n] + v [n]

I y [n] es de largo q.

I C es una matriz qxp tambien variable en el tiempo.

I v [n] vector de proceso de ruido blanco con media nula,estadısticamente independiente de w [n], con:

E{

v [n]vH [n]}

=

{Q

v[n] ; k = n

0 ; k 6= n


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Resultados

Bibliografıa


Generalizando el resultado para procesos AR(p):

x[n] = A[n − 1]x[n − 1]

+ K [n](y [n] + C [n]A[n − 1]x[n − 1]

)

I Eligiendo apropiadamente K [n], esta recursion corresponde al filtrodiscreto de Kalman.


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Bibliografıa


Asumiendo conocidas las matruces A[n], C [n], Qw

[n] y Qv

[n] se deriva

K [n] que minimiza el error de estimacion en media cuadratica:

K [n] = P[n|n − 1]CH [n](C [n]P[n|n − 1]CH [n] + Q

v[n])−1

conP[n|n − 1] = A[n − 1]P[n − 1|n − 1]AH [n − 1] + Q

w[n]

I P[n|n − 1] es la matriz de covarianza del error de la estimacion enprediccion.


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Resultados

Bibliografıa


Usando la lectura en tiempo n:

x[n|n] = x[n|n − 1] + K [n](y [n]− C [n]x[n|n − 1]

)con

P[n|n] =(I − K [n]C [n]

)P[n|n − 1]

I P[n|n] es la matriz de covarianza del error de la estimacion encorrccion.


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Inicializacion de la recursion (n = 0):

x[0|0] = E {x[0]}

P[0|0] = E{

x[0]xH [0]}


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Pseudo-Codigo

I Ecuacion de estados:

x[n] = A[n − 1]x[n − 1] + w [n]

I Ecuacion de observaciones:

y [n] = C [n]x[n] + v [n]

I Inicializacion:x[0|0] = E {x[0]}

P[0|0] = E{

x[0]xH [0]}


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Adaptacion al Seguimiento de f0

Teorıa de Filtro de Kalman asume:

I Senales a estimar con evolucion de estados conocida.

I Observaciones afectadas por un ruido blanco de media nula ydeterminada matriz de covarianza.

Ground Truth:

I Senales no estacionarias.

I Comportamiento en principio desconocido.

I Observaciones en general no corresponden a muestras ruidosas delGround Truth.


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I Vector de estados x[n] muestras de la senal de frecuencia fundamentaldesde tiempo n −M + 1 hasta tiempo n (largo M, orden del filtro).

I Ecuacion de evolucion de estados:

x[n] =

a(1) a(2) . . . a(M − 1) a(M)

1 0 . . . 0 00 1 . . . 0 0...

.... . . 0 0

0 0 . . . 1 0

x[n − 1]

I Se debe determinar primer columna de A.

I Se consideran lecturas afectadas por ruido gaussiano (determinadoexperimentalmente).


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I Entrenamiento de matriz de evolucion de estados usando GroundTruth.

I Se determina primer fila de A por mınimos cuadrados.

I Entrenamiento independiente para adelante y para atras.


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Resultados del modelado (para M = 5):

Afwd

=

1,3405 −0,4033 0,1992 −0,1281 −0,0110

1 0 0 0 00 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 1 0

Abck

=

1,4099 −0,5270 0,2259 −0,1002 −0,0115

1 0 0 0 00 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 1 0


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Prueba del Modelo Obtenido

I Metodo de validacion cruzada:I Se entrena el modelo para algunos archivos de audio.I Se filtra el Ground Truth usando el filtro de Kalman discreto con la matriz

de evolucion de estados obtenida en el entrenamiento anterior.


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Prueba del Modelo Obtenido


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Etapas del Algoritmo de Seguimiento

I Inicializacion.

I Determinacion de punto de arranque.

I Seguimiento hacia adelante y hacia atras partiendo en el punto dearranque determinado.

I Condiciones de parada locales y globales.


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Inicializacion del Algoritmo de Seguimiento

I Se inicializan matrices y parametros del algoritmo.I Se carga el archivo de audio a estudiar.

I Remuestreo en caso de ser necesario.

I Se carga mapa de saliencia (ver Determinacion de Puntos deArranque).

I Se definen umbrales para controlar las condiciones de parada delalgoritmo.


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Determinacion de Punto de Arranque

I Se deben buscar puntos seguros, donde la estmacion local de f0 escorrecta.

I Se evalua caracterıstica llamada “saliencia” para cada punto de unacierta grilla de interes en el plano tiempo-frecuencia.

I Los maximos globales se dan en general en puntos cercanos alGround Truth.


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Determinacion de Punto de Arranque


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Seguimiento hacia Adelante y hacia Atras

Una vez determinado el punto de arranque, se realiza el seguimiento haciaadelante (n > narranque) y hacia atras (n < narranque) de f0, para amboscasos de la siguiente manera:

I Se toma como lectura el mejor∗ candidato para el frame de trabajo.

I En caso de que este mejor candidato difiera mas de 3 % con respectoa la salida del filtro de Kalman en el instante anterior, se realiza unabusqueda local del maximo de saliencia para definir la lectura.

I Una vez que se tiene la lectura, se aplica el algoritmo del filtro deKalman visto antes.


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Se sigue el seguimiento en ambas direcciones hasta que se deja de cumpliralguna de las condiciones:

I Todavıa quedan lecturas (no se llego al final ni al principio de la senalde audio).

I La senal de salida no varıa demasiado1.

I La saliencia de las estimaciones no varıa demasiado2.

1Si una estimacion difiere mucho de la siguiente, no se corta el seguimiento pero se marca lasenal como “cambiando”. Como condicion de parada se permite un maximo de cambiosconsecutivos.

2Si la saliencia de una estimacion disminuye demasiado con respecto a la saliencia del punto dearranque, no se corta el seguimiento pero se marca la senal como “desvaneciendose”. Comocondicion de parada se premite un maximo de desvanecimientos consecutivos.


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Pseudo-Cogido del Algoritmo de Seguimiento

I Carga de archivos: Archivos de audio y mapa de salienciaa.

I Inicializacion: Matrices del modelo y parametros del problema.

I Calculo de un punto de arranque.

I Seguimiento hacia adelante y hacia atras, hasta que se cumplealguna condicion de parada en cada caso.

I Extraccion de lo detectadob.

I Se vuelve al calculo de un nuevo punto de arranque y se repite elalgoritmo hasta que se cumple la condicion de parada global.

aDado que el calculo de la saliencia para todos los puntos de interes es computacionalmentebastante costoso, se realiza previamente al seguimiento.

bSe borra del mapa de saliencia los lugares donde ya se detecto melodıa principal, de manerade evitar la repeticion de maximos globales.


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Resultados

Cuantitativamente:

I Dificiles de evaluar.

I Hace falta un paso extra, de seleccion del resultado del tracking parala comparacion con el Ground Truth.

Cualitativamente:

I Limpieza de errores de la estimacion local de f0.

I Estimacion final de f0 suave.I Abre camino para

I Sıntesis sonora.I Sustraccion de la melodıa principal o del resto de la instrumentacion.I Transcripcion.


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Ejemplo: daisy4.wav antes de Kalman


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Ejemplo: daisy4.wav despues de Kalman


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Ejemplo: pop1.wav antes de Kalman - 1


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Ejemplo: pop1.wav despues de Kalman - 1


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Ejemplo: pop1.wav antes de Kalman - 2


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Ejemplo: pop1.wav despues de Kalman - 2


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Bibliografıa

Bibliografıa

Monson H. Hayes, Georgia Institute of Technology: Statistical DigitalSignal Processing and Modeling. Ed. John Wiley & Sons, Inc.Canada, 1996.

Simon Haykin: Adaptive Filter Theory, Third Edition.

Steven M. Kay, University of Rhode Island: Fundamentals ofStatistical Signal Processing: Estimation Theory. Ed. Prentice Hall,New Jersey.

Anssi Klapuri, Institute of Signal Processing, Tampere University ofTechnology, Finland: Multiple Fundamental Frequency Estimation bySumming Harmonic Amplitudes.

Leonardo de O. Nunes & Ricardo Merched & Luiz W. P. Biscainho,Universidade Federal do Rio de Janeiro, Brasil: RecursiveLeast-Squares Estimation of the Evolution of Partials in SinusoidalAnalysis.

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