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Análisis Espacial.

Facultad de Ingeniería Civil y Ambiental - 2013

Sistemas de Información Geográfica1-2013

Contenido.

- Introducción.

- Revisión de estadística básica.

- Precisión y exactitud.

- Interpolación.

- Métodos.

- Aplicaciones.

- Modelación y SIG.



Interpoladores Locales:

- Polígonos de Thiessen.

- Interpolación lineal.

- Splines.

- TIN.

- IDW.

- Kriging.



Splines.

- Se crea una superficie contínua a partir de puntos utilizando una técnica de spline de curvatura mínima bidimensional.

- Spline: curva diferenciable definida en porciones mediante polinomios.

- Se usa una función matemática que minimiza la curvatura general de la superficie, resultando una superficie suave que pasa exactamente por los puntos de entrada.



Splines.

- Es un interpolador determinístico, local.

- Representa curvas bidimensionales en superficies de tres dimensiones.

- Ajusta funciones por porciones a grupos de datos, produciendo una superficie con una curvatura mínima.



Splines.

- En términos generales, es similar al ajuste de una función polínomica a puntos(superficies de tendencia) pero a nivel local.

- Consiste en el ajuste local de ecuaciones polinómicas, la forma final depende de un parámetro denominado tensión que hace que la superficie interpolada se asemeje a una membrana mas o menos floja.


Sistemas de Información Geográfica1-2013http://www.um.es/geograf/sigmur/temariohtml/index.html

Conceptualmente es análogo a doblar una hoja de caucho (lámina) de tal forma que pase por todos los puntos de datos.

Splines.

- Características:

- Utilizada para representar fenómenos de variación suavizada (temperatura por ejemplo).

- Es sensible a desestabilizarse cuando puntos cercanos presentan valores poco similares.

- Exagera tendencias.

- Tiempo de cálculo medio.

- Mejora la representación de los valores mínimos y máximos.



Splines.

El algoritmo en los SIG.

• QGIS no posee la aplicación directamente el coredel programa.

• Ampliamente desarrollado en GRASS.

• Es un poco complicado y posee muchos parámetros.


Sistemas de Información Geográfica1-2013http://grasswiki.osgeo.org/wiki/RST_Spline_Surfaces

http://grasswiki.osgeo.org/wiki/RST_Spline_Surfaces

Spline con tensión.

Este método controla la “rigidez” de la superficiede acuerdo al fenómeno modelado.

• Valores altos de tensión, producen superficies gruesas y viceversa.

• Valores típicos son 0, 1, 5, 10.

• En QGIS v.surf.rast




Splines.

Ventajas:

• Útiles cuando se desean estimar valores sobre los límites.

• Crea superficies suavizadas.

Desventajas:

• Accidentes geográficos y del relieve no se representan bien debido al efecto de suavizado.

• Cuando se tienen puntos muy cercanos se producen valores extremos.


Sistemas de Información Geográfica1-2013http://www.gisresources.com/types-interpolation-methods_3/

http://www.gisresources.com/types-interpolation-methods_3/



1 5 10

40 200 500

Spline regularizado.

- Genera una superficie suave, cambiando gradualmente la superficie con valores que están fuera del rango de datos.- Valores altos de este criterio producen superficies

mas suaves.

- Valores de 0 – 0.5 son adecuados.

- Algoritmo a usar: Thin Plate (Global) SAGA GIS.

- Se puede usar la función Thin Plate (Local) para puntos agrupados o ámbitos locales.






1 0.50.1

0.010.0001

Parámetros adicionales:

- Los dos métodos pueden ser refinados definiendo el número de puntos que se usan en cada celda interpolada.

- Cantidad de puntos: Especifica el número de puntos usado para cada celda. Mientas más puntos se especifiquen mayor será la influencia de los puntos distantes. Mayor tiempo de cálculo, haciendo la superficie más suave.


Sistemas de Información Geográfica1-2013http://resources.arcgis.com/es/help/main/10.1/index.html#//009z00000078000000

http://resources.arcgis.com/es/help/main/10.1/index.html

Splines.

- Método no implementado en QGIS.

- Método implementado en GrassGIS y en SAGA.

- Interesantes opciones de configuración (complejas a veces)

- ArcMap (de pago).



Práctica.

- Con la capa de puntos acotados.

- Spline con tensión (v.surf.rast).

- Spline regularizado (Thin Plate (global)).

- Spline regularizado (Thin Plate (global)).

- Probar con distintos rangos de valores: tensión, regularización, distancias y número de puntos a considerar.



Kriging.

- Es un método estadístico.

- Usa un semivariograma para desarrollar modelos de superficie contínua.

- Es una técnica que considera la distancia y el grado de variación entre puntos conocidos.

- Es un método de interpolación más complicado, pero que puede proveer de mejores resultados.

- Provee una estimación del error de la interpolación basado en geoestadística.



http://www.nateko.lu.se/Courses/NGEA05/Kurshemsida/St%F6df%F6rel%E4sningar/Interpolation.pdf


Kriging - consideraciones.

- Antes de emplear el método se deben evaluar los datos.

- Se basa en el criterio de la variable regionalizada, la cual asume que la variación del fenómeno es estadísticamente homogénea a lo largo de la superficie.

- Puntos con variaciones abruptas, depresiones o elevaciones fuertes no son apropiados para kriging, en algunos casos se debe estratificar los datos para aplicar la técnica.


Sistemas de Información Geográfica1-2013http://resources.esri.com/help/9.3/arcgisdesktop/com/gp_toolref/spatial_analyst_tools/how_krige_and_variogram_work.htm

http://resources.esri.com/help/9.3/arcgisdesktop/com/gp_toolref/spatial_analyst_tools/how_krige_and_variogram_work.htm

Kriging.

- Se estima un valor desconocido usando una combinación lineal ponderada de las muestras (datos disponibles) (Lang, C. 2002).

- v es el valor a estimar y w representa los pesos de cada punto 1, 2, 3….n.

- Los pesos son función de la distancia.



Pazmiño, 2010

Kriging – Antes de…..

- Antes de interpolar una superficie se necesita investigar el comportamiento espacial de la variable.

- Se asume que la variación espacial de la variable es estadísticamente homogénea.

- Grupos de datos que presentan picos o cambios abruptos, no son apropiados para el Kriging.



Naoum, S., Tsanis. I, 2002.

Kriging – Generalidades.

- En general la variación de los valores de una variable en el espacio se podría explicar con 3 componentes:

- Tendencia .

- En principio fácil de modelar

- Una superficie de tendencia podría utilizada.

- Por ejemplo latitud – temperatura.



- Ruido (variaciones que no pueden ser explicadas logicamente - aleatorias).- Errores en la interpolación.

- Variaciones locales (altura , distancia de la costa).- El método se concentra en explicar las variaciones

locales, extrayendo la tendencia y el ruido.





• Sin considerar la tendencia, se asume que el promedio de la diferencia esperada en dos puntos es cero:

También se asume que la varianza de las diferencias es unafunción de la distancia entre los puntos:

• g(h) se denomina semivarianza.

0 hxZxZE

)(2''22

hhxxEhxZxZE g

http://www.nuim.ie/staff/dpringle/gis/lectures.shtml «Interpoaltion methods»



http://www.nuim.ie/staff/dpringle/gis/lectures.shtml

Principio del método.

- Para estimar la variación local, las diferencias entre todo los pares de puntos pueden representarse en función de la distancia que los separa.



Semivariograma.

- Si se divide la raíz de la diferencia entre los puntos, para dos y se dibujan los valores promedios dentro de distancias específicas e crea un SEMIVARIOGRAMA.


Sistemas de Información Geográfica1-2013http://www.nateko.lu.se/Courses/NGEA05/Kurshemsida/St%F6df%F6rel%E4sningar/Interpolation.pdf


Elementos del semivariograma.Facultad de Ingeniería Civil y Ambiental - 2013

Sistemas de Información Geográfica1-2013Surfer 9.0, User’s Guide

- Range: Punto donde la curva se aplana.- Se asume que las diferencias en los valores son

aleatorias y no se pueden explicar, fuera de esta distancia.

- Sill: distancia desde el eje de la distancia, hasta el punto final del rango indica el peso de la distancia.

- Nugget: es un indicador del error en la interpolación (ruido).

- La dificultad del método radica en la elección de un modelo que se ajuste a la curva del semivariograma.





http://help.arcgis.com/es/arcgisdesktop/10.0/help/index.html#//009z00000076000000

http://help.arcgis.com/es/arcgisdesktop/10.0/help/index.html

Algunas consideraciones.

- A distancias cortas la semivarianza es pequeña y aumenta conforme aumenta la distancia.

- En el del rango, los niveles de semivarianzadecrecen y se hacen constantes.

- Luego de este valor la variación de los valores en cuestión no están correlacionados.

- La longitud del eje X se determina por la distancia entre los dos puntos más lejanos.





Más información de variogramas:

www.goldensoftware.com/variogramTutorial.pdf



- Pueden hacerse semivariogramas en distintas direcciones, en función de las variables modeladas.

Kriging.

- Una vez que el variograma se ha modelado, se deben determinar los pesos, requeridos para la interpolación local.

- Finalmente se estiman los valores es cada punto.



Ejemplo (Burrough, 1998).Facultad de Ingeniería Civil y Ambiental - 2013


ID X Y v1 2 2 32 3 7 43 9 9 24 6 5 45 5 3 66 5 5 x

Matriz de distancias:

1 2 3 4 5 6

1 0 5.099 9.899 5 3.1623 4.243

2 5.099 0 6.325 3.6056 4.4721 2.828

3 9.8995 6.3246 0 5 7.2111 5.657

4 5 3.6056 5 0 2.2361 1

5 3.1623 4.4721 7.211 2.2361 0 2

6 4.2426 2.8284 5.657 1 2 0

Ejemplo (Burrough, 1998): variogramaFacultad de Ingeniería Civil y Ambiental - 2013


Modelo: Esférico- Nugget: 2.5 (Co)- Range: 10 (a)- Scale: 7.5 (C)

1 2 3 4 512 0.53 0.5 24 0.5 0 25 4.5 2 8 2

Matriz de semivarianzas:Facultad de Ingeniería Civil y Ambiental - 2013


1 2 3 4 5 6

1 2.5 7.739 9.99 7.656 5.9389 1

2 7.739 2.5 8.667 6.3805 7.196 1

3 9.99 8.667 2.5 7.656 9.206 1

4 7.656 6.3805 7.656 2.5 4.936 1

5 5.9389 7.196 9.206 4.936 2.5 1

6 1 1 1 1 1 1

1 6.986

2 5.596

3 8.185

4 3.621

5 4.72

6 1

Ab

Determinación de los pesos:Facultad de Ingeniería Civil y Ambiental - 2013


En términos de matrices, se tiene que resolver la siguiente expresión:

Donde:A: es la matriz de semivarianzas entre los pares de datos.b: es el vector de semivarianzas entre cada punto y el punto desconocido.Lambda: es el vector de pesos.Tetha: es un Lagrangiano para resolver las ecuaciones.

Determinación de los pesos:Facultad de Ingeniería Civil y Ambiental - 2013


Finalmente el valor se determina multiplicando cada valor por el peso estimado:

V(6)= 0.0319(3)+ 0.1997(4)+ (-0.0228)(2) +0.6062(4) + 0.1850(6)

V(6)= 4.3837

El proceso se repite para cada punto que se desea interpolar:- Elevado tiempo de cálculo.

Los pasos en Kriging (Burrough, 1998)

- Examinar los datos, verificar normalidad y tendencias.

- Calcular el variograma experimental y ajustar un modelo adecuado.

- Realizar la interpolación.

- Validar el modelo por validación cruzada.



Aplicaciones prácticas.

- Realizar el ejercicio mostrado en QGIS aplicando el algoritmo de Ordinary Kriging de SAGA.

- Verificar los resultados en la misma ubicación del punto.



¿Cuál método escojo?

- No existe un método de interpolación universal.

- Se escojen en función de la naturaleza de los datos a interpolar.

- Se deben considerar los tiempos de cálculo.

- Algunas veces un método más complejo no asegura mejores resultados.




- Todos los métodos vistos hasta el momento, estiman el valor en un sitio como una suma ponderada de los valores alrededor del valor desconocido.

- La ponderación es función de la distancia.

- Kriging asigna pesos de acuerdo a una función controlada por los datos, en lugar de una función arbitraria, pero no deja de ser un método de interpolación y a veces se suelen obtener resultados similares a otros métodos.




- Cuando los datos son muy densos y distribuidos de forma uniforme, se obtienen buenos resultados sin importar el algoritmo de interpolación.

- Si los datos están agrupados con grandes espacios vacíos entre los grupos, se obtendrán malos resultados sin importar el algoritmo de interpolación.




• Los métodos mostrados con los más comunes y los más implementados (no son los únicos).

• Además cada método tiene muchas variantes, por lo que el conjunto de metodologías disponibles es realmente extenso.

• No solo de debe escoger el método adecuado sino usarlo correctamente.



Algunos criterios (Olaya, 2012).

• Características de la variable a interpolar. Ej: Precipitación, no se recomienda usar métodos que suavicen la superficie por el interés en los valores extremos.

• Características de la superficie a interpolar, algunos métodos permites la inclusión de ciertas características de la superficie, si se conocen por ejemplo fondos de valle, acantilados…..




• Calidad de los datos de entrada; cuando se tienen buenos datos (alta precisión) será interesante aplicar métodos exactos para preservar esta calidad, por el contrario con datos con ruido se escogen métodos que suavizan el resultado.

• Rendimiento de los algoritmos, en términos de tiempo.




• Conocimiento del método, se debe conocer el método que se quiere aplicar con gran detalle, Kriging exige conocimiento sólido de geoestadística por ejemplo, si el método se aplica mal los resultados también lo serán. Se liga también a la experiencia del operador.

• El uso de la información resultante: no es lo mismo interpolar un MDE para una presentación de una ubicación de una zona de estudio que para emplearlo en corrección de imágenes por ejemplo.





Tabla comparativa entre algunos métodos de interpolación (Burrough, 1998)

¿Y los resultados?(Olaya, 2012).

• Existe una relación directa entre los datos de entrada y las características de la capa de salida.

• En términos prácticos no existe restricción, con cualquier capa de puntos se puede generar una superficie, pero esto no siempre es correcto, existen características idóneas para interpolar, fuera de las cuáles no es adecuado interpolar.



Tamaño del pixel.

• Es un parámetro que define las características de un raster.

• Existe una relación entre la distribución espacial de los puntos y el tamaño de la celda.

• Cuando el número de observaciones es bajo, generar archivos con tamaños de celda pequeños es incorrecto (Astrología).

• Por el crear capas con tamaños grandes de pixel con muchos datos disponibles ocasiona una pérdida de información.



Tamaño del pixel.

• La elección del tamaño de celda es fundamental.



Algunos criterios (Olaya, 2012).Facultad de Ingeniería Civil y Ambiental - 2013


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