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Rodolfo Camacho, Mario Vásquez, PEMEX
S. Gómez, G. Ramos, C. Minutti, UNAM
CINVESTAV-2015
Caracterización Automática de Yacimientos Petroleros Naturalmente
Fracturados de Triple Porosidad
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Objetivo: Caracterizar el Yacimiento para predecir la producción en
Yacimientos Naturalmente Fracturados
de México
Encontrar las propiedades del medio poroso, en forma automática,
Usando pruebas de presión con
Datos de presion y log-derivada
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Necesitamos :
Robusto: buena interpretación de diferentes datos Eficiente: Velocidad en casi tiempo real
•Utilizar un modelo matemático de flujo
•Desarrollar Métodos Numéricos y de Optimización •Generar código prototipo para usar en el campo
Objetivo: Caracterizar el Yacimiento
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Trabajamos con un Modelo de Triple Porosidad- Doble Permeabilidad
Camacho et al, SPE 77689, 2002 Fuentes et al, SPE92116, 2004
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Representación esquemática de un yacimiento
(Pozos penetrados parcial o totalmente)
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Modelo de flujo de
Yacimientos de Triple Porosidad Coordenadas cilíndricas ( r, z ) Adimensional para lograr graficas estandar (independiente de las dimensiones) Sistema de tres ecuaciones acopladas, para modelar un yacimiento naturalmente fracturado y vugular (cavidades grandes—mm)
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Triple Porosidad– doble permeabilidad (pozos de penetración Total y Parcial )
( ) ( )fvvffmmf
f
Dz
frff
ppppzp
hrp
rrr
pt
−+−
=∂
∂−
∂
∂
∂∂
−∂∂
λλ
κκω
112
2
2
( ) ( )mvmvmfmfmm pppppt
−+−=∂∂ λλω
( ) ( )
( ) ( )vmmvvfvf
v
Dz
vrvv
ppppzp
hrpr
rrp
t−+−
=∂
∂−−
∂∂
∂∂
−−∂∂
λλ
κκω
1111 2
2
2
Matriz
Fracturas
Vugulos
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Modelo de Triple Porosidad
),,( ),,,( ),,,( zrtpzrtpzrtp vmf
( )vfmvf ωωωωω +−=1 , ,
, , vfmvmf λλλ
Presión en fracturas, matriz y vúgulos:
[ ]1,0 , ∈zr κκPermeabilidad radial y vertical:
Porosidad relacionada con los coeficientes de almacenamiento:
Coeficientes de interacción (M-F-V):
desconocidos
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Triple Porosidad Doble Porosidad Una Porosidad
Una 0 ≈ ≈vω ≈ fω
Caracterización Detectar Automaticamente PS, PD, PT
Homogeneo
0 , 1
Varios casos Precision es la clave ω
Un Modelo para 3 tipos de yacimientos
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Pozos de Penetración Total
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ωv , ωf = coef. de almacenamiento (porosidades)
λmf λmv, λvf = transferencia entre matriz-frac-vúgulos
Κr = permeabilidad relativa
( ) ( )tp
ppppr
pr
rrK f
ffvvffmmff
r ∂
∂ω=−λ+−λ−
∂
∂
∂∂1
( ) ( ) ( )t
ppppp m
vffmmfvmmv ∂∂
ω−ω−=−λ−−λ− 1
( ) ( ) ( )t
ppppp
rp
rrr
K vvfvvfvmmv
vr ∂
∂ω=−λ−−λ+
∂∂
∂∂
−11
M
F
V
Penetración TOTAL: parámetros desconocidos
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Condiciones iniciales y de frontera
0),,0( =zrp fCondición inicial
0)1,,()0,,( == rtprtp ff
Flujo primario solamente en fracturas o en vúgulos
La presión inicial es uniforme a lo largo del yacimiento.
Frontera superior e inferior
Presión constante tratado como gas o agua.
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1)(H)(H),,(
lim 1
0−=
−−−−=
∂
∂→
p
pf
r hhzhz
rzrtp
r
0),,(lim =∞→
zrtp fr
Condiciones iniciales y de frontera
Frontera interior:
El pozo es una línea vertical y de flujo constante.
Frontera exterior:
El yacimiento es infinito.
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=PARAMETROS DESCONOCIDOS
Efectos de Pozo
Cond. de Frontera
�
Para trabajar con DATOS REALES necesitamos trabajar con variables con dimensiones y necesitamos
Otro PARAMETRO DESCONOCIDO
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La solución Analítica del sistema de ecuaciones se obtiene usando
la transformada de Laplace (τ = tiempo de Laplace)
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),,,,,()( vfmvmfvfk h λλλωωττβ =
[ ])cos())(cos( 11 hkhhk pk ππ −+=Γ
La solucion para pozos de penetración Total
( )( ))(
)(),(ˆ1
0
τβτβτβτ
KrKrp f =
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9 Parámetros que hay que estimar
vfDvfmvmffv kkCsx += ,,,,,,,, κλλλωω
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Coeficiente almacenamiento en vúgulos = ωv Coeficiente almacenamiento en fracturas = ωf
Coeficiente de transferencia matriz-fracturas = λmf
Coeficiente de transferencia matriz-vúgulos = λmv Coeficiente de transferencia vúgulos-fracturas = λvf
Permeabilidad relativa = Κ Daño causado por el pozo en la formación = s
Efecto de almacenamiento = CD
Permeabilidad Total [cP] = KT
Coeficientes que debemos encontrar: identificar
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Pozos de Penetración Parcial
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MODELO DE FLUJO Triple Porosidad – doble permeabilidad
( ) ( )fvvffmmf
f
Dz
frff
ppppzp
hrp
rrr
pt
−+−
=∂
∂−
∂
∂
∂∂
−∂∂
λλ
κκω
112
2
2
( ) ( )mvmvmfmfmm pppppt
−+−=∂∂ λλω
( ) ( )
( ) ( )vmmvvfvf
v
Dz
vrvv
ppppzp
hrpr
rrp
t−+−
=∂
∂−−
∂∂
∂∂
−−∂∂
λλ
κκω
1111 2
2
2
Matrix
Fractura
Vugulos
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))((K2)(ˆ 01
2
2
22 τβτπ
τ kk
k
pf
khp ∑
∞
=
Γ=
),,,,,()( vfmvmfvfk h λλλωωττβ =
La solución para Pozos de Penetración Parcial
[ ])cos())(cos( 11 hkhhk pk ππ −+=Γ
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Problema a resolver Para pozos de penetración parcial:
Calcular con suficiente precisión
la suma infinita usando aceleración de series
))((K2)(ˆ 01
2
2
22 τβτπ
τ kk
k
pf
khp ∑
∞
=
Γ=
Artículo sometido a Mathematical Modelling
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13 Parámetros que hay que estimar
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Sensibilidad de la Presión para100,000 conjuntos de parámetros aleatorios
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Efecto de λ en las curvas en tiempo real
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2. Estimación de los coeficientes del modelo
“Caracterización del yacimiento”
Problema Inverso usando Optimización
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Datos para la Caracterización
Objetivo: Obtener los coeficientes que reproducen las graficas
1.00E-03
1.00E-02
1.00E-01
1.00E+00
1.00E+01
1.00E+02
1.00E-02 1.00E-01 1.00E+00 1.00E+01 1.00E+02 1.00E+03 1.00E+04 1.00E+05 1.00E+06 1.00E+07 1.00E+08
tD
p D y
pD'
)())(log(
tptd
d“log-derivada”
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Sencilla, Doble y Triple porosidad DATOS tipicos
Sencilla Doble Triple
En la práctica, en el caso de porosidad triple, existen efectos paralelos que pueden producir una curva que parece de porosidad doble escondiendo la verdadera naturaleza del flujo.
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Optimización en el tiempo de Laplace
Sujeto a: 121 ≤+ xx
maxmin xxx ≤≤
Identificación de los coeficientes:
El gradiente analítico puede obtenerse: ¡VELOCIDAD !
))(()( tdataLdata =τ
2
2)(),(ˆ ττ dataxpFMin f −=
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dtedatadataL tτ−∞
∫=0
)(
NN P
pp
t
tt
1
0
1
0
NN P
pp
ˆ
ˆˆ
1
0
1
0
τ
ττ
Transformación de los DATOS que estan en Tiempo Real al espacio Laplace
Datos Originales Datos en Laplace
Laplace
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SENSIBILIDAD DE LA FUNCION OBJETIVO
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Los valles pueden ser muy estrechos (agujas del orden 10-5 , 10-7 )
x(2) = ωf x(1) = ωv
Zoom
10-5
DATOS Triple
Porosidad
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Variables λmf vs λvf
Zoom
10-7
Valles muy estrechos
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Valor promedio de F con respecto a λ
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Para identificar λ la función Objetivo es Plana Casi en todo el intervalo. Zoom
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1.E-02
1.E-01
1.E+00
1.E+01
1.E+02
1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09
tD
pw
D &
pw
D'
1.E-03
1.E-02
1.E-01
1.E+00
qw
D
1.E-02
1.E-01
1.E+00
1.E+01
1.E+02
1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09
tD
pw
D &
pw
D'
1.E-03
1.E-02
1.E-01
1.E+00
qw
D
1.E-03
1.E-02
1.E-01
1.E+00
1.E+01
1.E+02
1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09
tD
pw
D &
pw
D'
1.E-03
1.E-02
1.E-01
1.E+00
qw
D1.E-03
1.E-02
1.E-01
1.E+00
1.E+01
1.E+02
1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09
tD
pw
D &
pw
D'
1.E-03
1.E-02
1.E-01
1.E+00
qw
D
True Min Min 1 True Min, reD=2x103
Min 1, reD=2x103
Impacto de encontrar mínimos con precisión en la predicción de producción
True Min Min 1 True Min, reD=2x103
Min 1, reD=2x103
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Impacto en la producción
qw
Dq
wD
True Min Processor 1 Processor 4 Processor 7
True Min Processor 1 Processor 4 Processor 7
cuando la solución óptima NO se tiene con suficiente precisión
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Metodo de Optimización GLOBAL TUNEL
Para encontrar varios mínimos con precisión Para moverse de puntos malos (en valles
planos o muy profundos) donde los metodos locales como LM se “atoran”
Convergencia a mínimos con “buen ajuste a los datos”
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Tunel Fase
tunel
min Fase
f(x)
x *2x *
3x
Método TUNEL ( ) ( ) ( )**
2*1 Gxfxfxf ≥≥
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Crea un polo para destruir el mínimo
f(x)
x
*f
*x x *f
x
T(x)
X*
= x° solución
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Where λ* is the strength of the pole . is the squared euclidean norm
Para poner un polo en x* se usa la Función Túnel
1. Función Clásica,
2. Función Exponencial ,
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Minimos al mismo nivel
0||*xx||
*f)x(f)x(T l
1i
*
=−
−=
∏=
λ
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Encontrar mínimos al mismo nivel dentro de un intervalo de F*
Con BUEN AJUSTE a los datos
x*
F*
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T(x)
x° f (x)-f *
x
Polos Móviles
xm
T (x) = -------------- . ----------------
1
|| x - xm || λm
x *
f(x) - f*
|| x - x* || λ*
Levy-Montalvo , Levy-Gomez, Gomez-Barron, Gomez-Castellanos
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Se crearon 3240 juegos de datos con las posibles combinaciones de los valores de los coeficientes:
En este conjunto, los casos de una, doble o triple porosidad estan incluidos.
Ejemplos Sintéticos: Exhaustivo
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Tiempo promedio, Laplace vs Real
60 veces mas
rapido con Laplace
0
50
100
150
200
250
-100 1900 3900 5900 7900 9900
Tie
mpo
Eje
cuci
ón (s
eg)
No. Iteraciones
TiempoLaplaceTiempoReal
Tiempo promedio (Laplace )
Tiempo promedio (tiempo real )
0.17 (sec) 10.52 (sec)
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Resultados de la optimización usando el método local (TRON-LM) y el global (TUNEL).
Se considera exitoso si F(x) < 10-10
Optimizador Local Optimizador global (Tunel)
59% 100%
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Tiempos Laplace en PT (1296 juegos de datos)
Menos de 1 seg.
Menos de 1 min. 1 a 2 min. 2 a 3 min. Mas de 3 min.
861 327 44 119 24
67.53% 25.65% 3.45% 9.33% 1.88%
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Gráficas exactas y calculadas método global . Curvas de presión, derivada y gasto.
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“denoising” o filtrado Usando wavelets, curvas tipo y splines Filtrado de ruido
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Se usan los datos filtrados por splines para calcular la transformada de Laplace y hacer la optimización. Con los parámetros obtenidos se grafica la derivada.
Parámetro Valor wv 1x10 -1 1x10 -1
wf 1x10 -4 1.4x10 -4
λmf 1x10 -6 1x10 -9
λvf 1x10 -4 1.1x10 -4
λmv 1x10 -8 1x10 -6
κ 0.5 0.5
Filtrado de ruido
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Usando el Metodo del Tunel se logro el ajuste en el 100% de los casos sintéticos Logramos optimizar en el tiempo de laplace en tiempos RECORD. Estamos filtrando los DATOS CON RUIDO
Estamos resolviendo casos de pozos reales
Estamos trabajando en penetracion parcial
Conclusiones