DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

CURVAS PARAMÉTRICAS

Al ver el gráfico:

¿Cuál es la distancia más corta entre

dos puntos?

¿Cuál es la curva más óptima en la

cual se llega en menor tiempoposible de un punto al otro punto?

EL PROBLEMA DE LA BRAQUISTÓCRONA

la más optima para

llegar en menos

tiempo es LA

CICLOIDE.

CONSTRUCCIÓN DE TÚNELES

La entrada de algunos túneles

pueden tener diversas formas

(curvas) en la cual se puede

aproximar mediante un modelo

matemático que puede ser por

alguna cónica: parábola,

circunferencia, elipse o

hipérbola.

320/08/2018

¿Qué datos necesitamos previamente, si

queremos aproximar por medio de una

parábola o la mitad de una elipse?

¿Por qué convendría aproximarla por

una parábola que una media

circunferencia?

4

OTROS EJEMPLOS DE CURVAS

LOGRO DE LA SESIÓN

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

Al finalizar la sesión el

estudiante grafica curvas

paramétricas en el plano

cartesiano, y en el espacio,

aplicando la definición y

propiedades de las

ecuaciones paramétricas y

cónicas, de forma correcta.

CONTENIDO DE LA

SESIÓNSABERES PREVIOS (PRE REQUISITOS)

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

Curvas paramétricas.

Trazado de una ecuación

paramétrica.

Conversión de

ecuaciones cartesianas a

paramétricas y viceversa.

Ecuaciones de las

cónicas.

Gráfica de las

cónicas.

Definición: Sean dos funciones continuas 𝑓 𝑡 , 𝑔(𝑡)

definidos en algún intervalo 𝐼, se definen las ecuaciones:

Y se les llama ecuaciones paramétricas y a “ 𝑡 ” se llama el parámetro.

La gráfica de las ecuaciones paramétricas son el conjunto de puntos

(x, y) en el plano cartesiano.

A las ecuaciones paramétricas y a la gráfica juntas, se les llama

curva plana, y la denotaremos por 𝐶.

x f ( t )C :

y g( t )

1. CURVAS PARAMÉTRICAS

• Se dice que 𝐶 es una curva plana o curva

paramétrica. Se dice que 𝐶(𝑡) es una

parametrización de parámetro t.

CURVAS PARAMÉTRICAS

Trazar la curva dada por las siguientes ecuaciones paramétricas

2x t 4

C : , 2 t 3ty2

Solución. Le damos algunos valores para 𝑡 y conseguir los puntos

(x,y) en el plano cartesiano para hacer un bosquejo de la gráfica

de las ecuaciones paramétricas

Al trazar estos puntos para cada valor creciente de t y usando la

continuidad de las funciones f y g, se obtiene la gráfica de la curva

C.

2. TRAZADO DE UNA ECUACIÓN PARAMÉTRICA

Ecuaciones paramétricas

2x t 4

C : , 2 t 3ty2

GRÁFICO

• Graficar la curva representada por las

ecuaciones paramétricas:

¿Qué se observa con la orientación de

la curva?

2 1x 4t 8t , y 1 t , t 2

2

EJEMPLO

Dibuje la curva, si las ecuaciones paramétricas son:

2

x 2t 4C :

y 3 t

Solución. Demos valores a t, para conseguir los valores para las

variables x e y:

EJEMPLO

¿Cómo encontrar la ecuación

cartesiana, a partir de una

ecuación paramétrica?

Eliminación

de

parámetro

CONVERSIÓN DE ECUACIONES

CARTESIANAS A PARAMÉTRICAS Y VICEVERSA

Dada las ecuaciones paramétricas 𝑥 = 𝑓(𝑡), 𝑦 = 𝑔(𝑡), para

encontrar la ecuación rectangular, debemos eliminar el

parámetro 𝑡.

El rango de 𝑥 es implicado por las ecuaciones paramétricas

puede alterarse al pasar a la forma rectangular. En esos casos,el dominio rectangular debe ajustarse de manera que su

gráfica coincida con la gráfica de las ecuaciones

paramétricas.

2 4

2

x t

ty

2t y 2

2 4x y 24 4x y

ELIMINACIÓN DE PARÁMETRO

Empleando la trigonometría en la eliminación

de un parámetro

Dibujar la curva:

Identidad trigonométrica

Sustituir

Ecuación rectangular (una elipse)

3cos , 4 , 0 2x y sen

2 2

2 2

2 2

cos 1

13 4

19 16

sen

x y

x y

2 2

3cos:

4

19 16

xC

y sen

x y

Ec. paramétrica

Ec. cartesiana

EJEMPLO

Grafique la siguiente

ecuación paramétrica:

x a cos t

C : y asent , t 0, 4

htz

2

Algunas interrogantes:

¿En que sentido va la curva

a medida que “𝑡”

aumenta?

¿Se puede encontrar la

ecuación cartesiana de la

curva?

PROBLEMA PROPUESTO 1

Parametrice la curva, que es la intersección de las superficies cuyas ecuaciones son:

2 2

2 2 2

z c y xC :

a x y

Sugerencia:

Puedes graficar dichas superficies y ver cual es la intersección de ambas.

PROBLEMA PROPUESTO 2

CONCLUSIONES

DEPARTAMENTO DE CIENCIASDIAPOSITIVA N° 18

¿La parametrización de una

curva es única?

Al cambiar la

parametrización de una

curva ¿es posible cambiar su

orientación?

¿Cómo se calcula la

ecuación cartesiana de una

curva dada

parametricamente?

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

DEPARTAMENTO DE CIENCIASDIAPOSITIVA N° 19

Geometría Analitica-

Lehmann-516.3 LEHM

2005.

http://www.mate.unlp.e

du.ar/practicas/54_2_31

082015133134.pdf