Presentaci�n M�todo de Simpson

Instituto Tecnológico de Costa Instituto Tecnológico de Costa RicaRica

REGLAS DE SIMPSONREGLAS DE SIMPSON

Métodos NuméricosMétodos Numéricos

AGENDAAGENDA Regla de SimpsonRegla de Simpson

IntroducciónIntroducción De 1 / 3De 1 / 3 De 3 / 8De 3 / 8

Desarrollo de problemasDesarrollo de problemas Manualmente Manualmente Mediante MatlabMediante Matlab

Regla de SimpsonRegla de Simpson Es un método para estimar el resultado Es un método para estimar el resultado

de una integral. de una integral.

Es una mejor aproximación a la regla Es una mejor aproximación a la regla Trapezoidal, sin incurrir en un mayor Trapezoidal, sin incurrir en un mayor número de subdivisiones. número de subdivisiones.

Ajusta una curva de orden superior en Ajusta una curva de orden superior en lugar de una línea recta como en la regla lugar de una línea recta como en la regla trapezoidaltrapezoidal

Regla TrapezoidalRegla Trapezoidal

Error

a b

Polinomio de primer orden

2

)()()(b

a dx f(x)bfaf

ab = ancho* altura promedio

o

o


a b

Dos segmentos

o

o

o


a b

Tres segmentos

o

o

o o o

o

oo

Regla de Simpson (1/3)Regla de Simpson (1/3)

a b

a b

Regla trapezoidal

Aproximación a la Regla trapezoidal.Polinomio de Segundo orden

o

o

o

)()(4)(3

ba dx f(x) 210 xfxfxf

h = ancho* altura promedio

Regla de Simpson (3/8)Regla de Simpson (3/8)

a b

o

o

o

o

Polinomio de tercer orden

a b

oo

o

o

Regla trapezoidal

= ancho* altura promedio )()(3)(3)(8

3ba dx f(x) 3210 xfxfxfxf

h

ProblemasProblemas

““Descripción del problema 1”Descripción del problema 1”

Se tiene un sistema magnético en un transformador, en donde la energía se almacena en la inductancia. Recordemos que la energía en este caso está relacionada con el enlazamiento de flujo λ y sabemos que la corriente en función de los enlazamientos de flujo es: i(λ) = (λ/2-10)5. Determine la energía almacenada en la inductancia desde λ=20, hasta λ=25Wb. Además encuentre el error estimado usando la regla de Simpson.

ProblemasProblemas

““Solución Matemática problema 1”Solución Matemática problema 1”

La energía está dada por la siguiente ecuación:

Sustituyendo la ecuación anterior en la integral:

0idw

0

2345 )1002500025001258/2532/( dkw

Utilizando el método de Simpson 1/3, hacemos la siguiente aproximación:

)2(

6

)(4)( 210 iiiabw

Determinación de puntos:

6563.9732

312525

05176.31024

31259603.95.22

020

2

1

0

ii

ii

ii

Sustituyendo en (2)

632

3125

1024

312540

)2025(

w

Problema 1Problema 1

Problema 1Problema 155273437.91w

El error de truncamiento o error estimado en este ejemplo está dado por la ecuación:

(3) 45

2880

)(f

abEt

Hacemos la siguiente aproximación:

(4)

ab

di

i

b

a

)4(

)4(

Problema 1Problema 1Derivando la expresión:

754/15)(

750758/15)('''

50007502/758/5)(''

2500050003752/2532/5)('

1000002500025001258/2532/)(

)4(

2

123

234

2345

i

i

i

i

xi

Sustituyendo la ecuación anterior en la ecuación (4) y colocando los límites de integración se obtiene:

375.98

75)4( i

Problema 1Problema 1Ya obtenido el valor anterior sustituimos en la ecuación (3) para encontrar el error.

Si derivamos de manera analítica la solución es: 81.3802083333. Si restamos el valor real menos el aproximado obtenido con la regla de SImpson se obtiene: .

En este caso se concluye que el error es el mismo.

1725.108

75

2880

)2025( 5

Et

Et

1725.1033381.380208355273437.91

ProblemasProblemas


Utilice la regla de 1/3 Simpson para evaluar la doble integral.

Los límites de integración son: a=1, b=3, c(x)= ln(x), d(x)= 3 + exp(x/5).

a

b

xd

xc

dydxyxI)(

)(

)sin(


““Solución matemática problema 2”Solución matemática problema 2”

exp(x/5)3

ln(x),

)sin()( dyyxixif

3

1

)( dxxifI

6

)(4)( 210 xfxfxfabI

Para aplicar la regla de Simpson puede hacer la siguiente sustitución:

Por lo que se obtiene:

Aplicando la regla de Simpson se obtiene:

Los puntos son los siguientes:

X0 = 1; X1= 2 ; X2=3

Por lo tanto sustituyendo (*) en (**). Obtenemos:

6

)sin()sin(4)sin(

)(

exp(x/5)3

ln(x),

exp(x/5)3

ln(x),

exp(x/5)3

ln(x),

dyyxidyyxidyyxi

abI

6

)3sin()2sin(4)1sin(

)13(

exp(3/5)3

ln(3),

exp(2/5)3

ln(2),

exp(1/5)3

ln(1),

dyydyydyy

I



06458.0)1sin(2214.4

0,

1 dyyI

1086.2)2sin()2sin(4918.4

0.6931

exp(2/5)3

ln(2),

2

dyydyyI

67454.0)3sin()3sin(8211.4

1.0986

exp(3/5)3

ln(3)

3

dyydyyI

0148.36

67454.0)1086.2(4064581.0)13(

I

I

ProblemasProblemas

““Solución en Matlab problema 2”Solución en Matlab problema 2”

ProblemasProblemas


t

fSf

sal VcdtVCR

V01

)0(1

El circuito de la figura 1 corresponde al de un amplificador operacional conectado como integrador. La ecuación que relaciona el voltaje de salida con el voltaje de entrada es la siguiente:

Si , R1 = 100 kohm, Cf = 4.7uF

y Vc = 2V. Calcule el voltaje de salida en t de 0 a 0.8 segundos.

Figura 1 Amplificador operacional conectado como un integrador.


a) Solución del problema en forma analítica: 2)2(5

)107.4(100000

1 8.0

06

dttsenVsal

573.2)2(58.0

0

dttsen

47447.7salV


b) A continuación se muestra la solución del problema utilizando la Regla de Simpson:

Determinación de los puntos

0)02(5)0( senf

1,94709171)2.02(5)2.0( senf

3,58678045)4.02(5)4.0( senf

4,66019543)6.02(5)6.0( senf

4,99786802)8.02(5)8.0( senf

Problema 3Problema 3Si n = 4, para obtener la integral se utiliza la regla de Simpson 1/3, aplicación múltiple.La primera sumatoria va de i=1,3,5 a n-1 y la segunda de j=2,4,6 a n-2

n

xfxfxfxfabI nji

3

)()(2)(4)()( 0

43

)58678045.3(2)66019543.494709171.1(40)08.0(

I

57337183.2I

Por lo tanto el voltaje de salida es:

212766.2 IVsal

47526,7salV

Problema 3Problema 3El error exacto es:

%01.010047447.7

)47526.7(47447.7

tE

El error estimado se calcula como:

5)4( )(90

1hfEt

)2(80)4( xsenf Como

46.5108.0

)2(80)(

)(

8.0

0

)4(

)4(

dxxsen

ab

dxxf

f

b

a

Problema 3Problema 3Así:

005855.04.046.5190

1 5 tE

ProblemasProblemas

““Solución en Matlab problema 3”Solución en Matlab problema 3”

Regla de Simpson 3/8Regla de Simpson 3/8

Por cálculosPor cálculosProgramadoProgramado

Problema # 1Problema # 1

Para los datos de Para los datos de máximo punto del máximo punto del volumen en un volumen en un tanque, tabulados tanque, tabulados en una fábrica de en una fábrica de jugos y medidos jugos y medidos por un sensor cada por un sensor cada cierto tiempocierto tiempo

Datos tabuladosDatos tabulados

tt f(t)f(t)

1,61,6 4,5934,593

1,81,8 6,056,05

22 7,3897,389

2,22,2 9,0259,025

2,42,4 11,02311,023

2,62,6 13,46413,464

2,82,8 16,44516,445

33 20,06620,066

3,23,2 24,53324,533

3,43,4 29,96429,964

Integrar con trapecio de segmentos Integrar con trapecio de segmentos múltiplesmúltiples

n-1n-1 I = (b-a)[2I = (b-a)[2∑ f(x∑ f(xii) + f(x) + f(xnn)]/2n)]/2n

i=1 i=1 I = (3,4-1,6) I = (3,4-1,6) 4,593+2*(108,015 4,593+2*(108,015

+29,964)+29,964)

2*182*18 I = 25,0547I = 25,0547

Aplicando Simpson 3/8Aplicando Simpson 3/8

II11 = (0,6)* = (0,6)*4,593+3(6,050)+3(7,389)+9,0254,593+3(6,050)+3(7,389)+9,025 88 II11 = 4,045125 = 4,045125 II22 = (0,6)* = (0,6)*9,025+3(11,023)+3(13,464)+16,4459,025+3(11,023)+3(13,464)+16,445 88 II22 = 7,4198 = 7,4198 II33 =(0,6)* =(0,6)*16,445+3(20,086)+3(24,533)+29,96416,445+3(20,086)+3(24,533)+29,964 88 II33 = 13,1449 = 13,1449 I = 24,6099I = 24,6099

Problema # 2 –ChapraProblema # 2 –Chapra

Con la regla de Con la regla de Simpson de 3/8 Simpson de 3/8 integre la función integre la función f(x)= 0,2+25x-f(x)= 0,2+25x-200x200x22+675x+675x33--900x900x44+400x+400x55. .

Desde a = 0 hasta Desde a = 0 hasta

b= 0,8.b= 0,8.

Resolución del problemaResolución del problema

n = 3 n = 3 → h = → h = 0,8-00,8-0 = 0,2667, entonces, = 0,2667, entonces,

33

f(0) = 0,2 f(0,2667)= 1,433 f(0) = 0,2 f(0,2667)= 1,433

f(0,5333) = 3,487 f(0,8) = 0,232f(0,5333) = 3,487 f(0,8) = 0,232 I = I =

0,8*0,8*0,2+3(1,432724+3,487177+0,2320,2+3(1,432724+3,487177+0,232

88 I = 1,519170. I = 1,519170.

Errores en el problemaErrores en el problema

Error de truncamiento:Error de truncamiento: Et = 1.640533 – 1,519170 = Et = 1.640533 – 1,519170 =

0,12136300,1213630 Et = 7,4%Et = 7,4% Para un error estimado de:Para un error estimado de: Ea= Ea= -(0,8)2-(0,8)2*(-2400)*(-2400)

64806480 Ea = 0,1213630.Ea = 0,1213630.

Problema #3 - programadoProblema #3 - programado

#include <iostream.h>#include <iostream.h>#include <iostream.h>#include <iostream.h>#include <stdlib.h>#include <stdlib.h>#include <stdlib.h>#include <stdlib.h>#include <stdio.h>#include <stdio.h>#include <conio.h>#include <conio.h>#include <math.h>#include <math.h>

int Lee_Datos(void);int Lee_Datos(void);

int Nseg;int Nseg; float a,b;float a,b; double Xi;double Xi; float X[10];float X[10]; float Fx[10];float Fx[10];

int main (void)int main (void){{ int i;int i; float Base;float Base; double Area;double Area; double SumMulti = 0;double SumMulti = 0; double SumResto = 0;double SumResto = 0;

Lee_Datos();Lee_Datos();

Base = (b-a)/Nseg;Base = (b-a)/Nseg; Xi = a;Xi = a;

EncabezadosEncabezados

printf("\nDatos Tabulados.......");printf("\nDatos Tabulados.......");

printf("\n-------------------------");printf("\n-------------------------");

printf("\n| i | Xi | Funcion");printf("\n| i | Xi | Funcion");

printf("\n-------------------------");printf("\n-------------------------");

printf("\n| 0 | %.2f | printf("\n| 0 | %.2f | %.4lf",a,Fx[0]);%.4lf",a,Fx[0]);

Inicia Proceso (Calculo de Sumatorias) Inicia Proceso (Calculo de Sumatorias)

for ( i=1; i<Nseg; i++)for ( i=1; i<Nseg; i++) {{ Xi += Base;Xi += Base; if ( i == (i/3)*3 )if ( i == (i/3)*3 )

SumMulti += 2*Fx[i];SumMulti += 2*Fx[i]; elseelse

SumResto += 3*Fx[i];SumResto += 3*Fx[i]; printf("\n| %2d | %.2f | %.4lf",i,Xi,Fx[i]);printf("\n| %2d | %.2f | %.4lf",i,Xi,Fx[i]); }}

printf("\n| %2d | %.2f | %.4lf",Nseg,b,Fx[i]);printf("\n| %2d | %.2f | %.4lf",Nseg,b,Fx[i]);

Aplicación de la FórmulaAplicación de la Fórmula

Area = 3*(b-a)/(8*Nseg)*( Fx[0] + SumMulti Area = 3*(b-a)/(8*Nseg)*( Fx[0] + SumMulti + SumResto + Fx[Nseg]);+ SumResto + Fx[Nseg]);

printf("\n------------------------------------------");printf("\n------------------------------------------"); printf("\n Area bajo La Curva es => printf("\n Area bajo La Curva es =>

%.8lf",Area);%.8lf",Area); getche();getche();

}}

**int Lee_Datos(void)int Lee_Datos(void)

{{

printf("\n Numero de Segmentos (Multiplo printf("\n Numero de Segmentos (Multiplo de 3) =");de 3) =");

scanf("%d",&Nseg);scanf("%d",&Nseg);

printf("\n Valor de a =>");printf("\n Valor de a =>");

scanf("%f",&a);scanf("%f",&a);

printf("\n Valor de b =>");printf("\n Valor de b =>");

scanf("%f",&b);scanf("%f",&b);

Cambiar valores aqui Cambiar valores aqui

X[0] = 0; F x[0]= 0;X[0] = 0; F x[0]= 0;

X[1] = 2; F x[1]= 4;X[1] = 2; F x[1]= 4;

X[2] = 4; F x[2]= 16;X[2] = 4; F x[2]= 16;

X[3] = 6; F x[3]= 36;X[3] = 6; F x[3]= 36;

X[4] = 8; F x[4]= 64;X[4] = 8; F x[4]= 64;

X[5] = 10; F x[5]= 100;X[5] = 10; F x[5]= 100;

X[6] = 12; F x[6]= 144;X[6] = 12; F x[6]= 144;

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