Trabajo de Cálculo

Nombre: Moisés Jorquera Apablaza

Profesor: Sergio Calvo

Teorema de Rolle

•Nosotros empleamos este teorema ,si una función f(x) es continua en el segmento a x b, tiene una derivada f’(x) en cada uno de los puntos interiores de éste, y f(a)=f(b) para su variable independiente existe por lo menos un valor xo donde a<xo<b es tal que f’(xo)=0.

•Esto quiere decir que se debe evaluar los extremos, teniendo que ser iguales.

Representación Geométrica del Teorema

•En palabras sencillas, si una curva regular sale y llega a la misma altura, en algún punto tendrá tangente horizontal, así se dice que se cumple el teorema.

Demostración del Teorema de Rolle

F(x) = x(x-2) 0 ≤x0 ≤2, siendo 0=a y 2=b

F(x)=x2- 2x

Se saca el valor de la f(0)= 0 ------- > El valor de a es 0. Se saca el valor de la f (2)=4-4= 0 -------> El valor de b es 2.

Ahora se saca la F´(x) F´(x)= 2x-2

Efectuando el reemplazo por la variable que queremos conocer(x0), igualando la f´(x) a 0.

Quedando por definitiva, lo siguiente:

2x0-2=0 /2

X0 = 1

∴ Se cumple el teorema de Rolle, ya que , f(a) = f=b , y el valor de X0, se encuentra en el intervalo comprendido entre el 0 y el 2, se cumplen las condiciones.

Otro ejemplo del Teorema de Rolle

Ejemplo 2 del Teorema

Teorema de Lagrange•Si una función f(x) es continua en el segmento a x b y tiene derivada en cada punto interior de éste, se tiene:

Representación Geométrica de este Teorema

La interpretación geométrica del Teorema de Lagrange nos señala ,que existirá un punto donde la tangente es paralela a la secante.

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Teorema de Cauchy o generalizado•Definición:

Tomándose en cuenta que x0, A < X0< B, por lo tanto el V. Medio debe ubicarse entre a y b, para que el teorema se cumpla.

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Regla de L´Hopital• Esta regla se emplea para el cálculo de límites indeterminados de la forma 0/0 e ∞/∞.

• Definición

Demostración de la regla lím x -> 0 = 0/0

Con L´ Hopital, aplicando la definición

lím x -> 0 = 0/0

= f´(x)/ g´(x)= = 1

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Otras Formas Indeterminadas

•Para calcular los límites de expresiones indeterminadas de la forma 0* hay que transformar los correspondientes productos f1 (x) * f2 (x) en el límite donde x a f1(x)=0 y límite cuando x a f2(x)= .En la fracción f1(x) / 1/f2(x) 0/0 f2(x) / 1/ f1(x) /

•Hay dos caminos, nosotros debemos ocupar, el que no haga el trabajo mas complicado.

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Máximos,mínimos,intervalo.de crecimiento,decrecimientopuntos. de inflexión, asíntota

e Intervalos de Concavidad

Ejercicio

- -F’ (x)

-∞ 0 +∞

•Intervalo f´(x) es negativo, es decreciente para esos valores de xA medida que x disminuye, el valor de la f(x), disminuye.

•Intervalo f´(x) es positivo, es creciente para esos valores de xA medida que x aumenta, el valorde la f(x), aumenta.

x y

-3 -0.2

-2 -0.25

-1 -0.33

0 -0.5

1 -1

3 1

4 0.5

5 0.33

Ejercicio 2

X Y-5 -0.25-4 -0.35-3 -1.33-1 -0.50 -0.161 02 0.254 0.50 5 0.286 0.20

• Siendo -2 y 3, asíntotas

Gráfico en la siguiente diapositiva

•Se nota que la f, se acerca en los puntos restringidos, pero no los “toca”.(-2,3)

Máximo, Mínimo, Ptos.Críticos(Representación)

Ejercicio 3

Importante

- +

-∞ 0 +∞

F’ (x)

La f(x) es decreciente, en este intervalo

La f(x) es creciente, en este intervalo

•Metodo de f´´(x) sirve para obtener mínimos y máximos relativos.

•Si el pto.crítico, reemplazado en la f´´(x) 0; se dice que el pto crítico es un mín. relativo

•En caso contrario, si dicho pto.resulta ser negativo, este equivale a un Máximo Relativo

X Y -3-2-100.81234

181/4132/1710¾132/17181/41512/257