Presentación de funciones final (fredes)

Presenta: Prof. Fredes Rodríguez Galarza

Proyecto: Laboratorios Regionales de Matemáticas

Auspiciado por el Departamento de Educación en alianza con la División de Educación Continua y Estudios Profesionales (DECEP) de la

Universidad de Puerto Rico, Recinto de Río Piedras. Sufragado por fondos federales

de Título I -A.

1 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón

Saludos

Dinámica de presentación

Estándares desarrollados en la presentación

Taller Funciones

Gráficas de funciones

Catálogo de gráficas de funciones

Transformaciones de funciones

Post Prueba

Evaluación del taller


3 X

Y

a b

1 1

2 4

3 9 𝑥

𝑦


Una relación R, es una regla que asigna a cada elemento de un conjunto A, algún elemento de un conjunto B.

g

f

d

a

h

e

c

b

B A

R

a b

1 1

2 4

3 9

1 -1

4 1


Una función f, es una regla que asigna a cada elemento x en

un conjunto A, exactamente un elemento, llamado f(x), en conjunto B. A las funciones se le asignan letras, f(x), g(x), h(x), y, etc. para representar la variable dependiente. El conjunto A representa el dominio y el conjunto B representa el alcance.

Las funciones se pueden representar mediante un texto, una expresión algebraica, una tabla de valores o una gráfica.

a

x

)(

)(

af

xf

B A

f

xxf 50.1)(

a b

1 1

2 4

3 9

El valor de cierta cantidad de bolsas de maníes, si el precio de cada bolsa de maníes es $1.50.

Ejemplos:

xy 50.1


Verifique cuál de los siguientes cumple con la

definición de función. De ser simplemente una relación, explique.

1) Función/No función 2) Función/No función

X 1 2

3 X Y

Práctica


3) −1, 2 ; 1, 0 ; 3, −5 ; 6, 4 Función/No función

Función/No función



Práctica (continuación)

4) −1, 0 ; 1, 0 ; 3, −5 ; 3, 4

5) 𝑦 = 5𝑥 − 7

6) 𝑥2 + 𝑦2 = 4


7)

Función / No función

8)

Función / No función

Práctica (continuación)

𝑥

𝑦

𝑥

𝑦


Discusión en grupo


Trabajar los ejercicios de las páginas 1-3

Práctica:

Clasificar las siguientes relaciones como función o no función.

1) 2) 3)

4) 5)

42 2 xy

s t

0 2

2 4

3 6

La ganancia de cierto producto tiene una relación lineal. Esta es la diferencia entre los ingresos y los costos.

g

f

d

a

h

e

c

b

B A

8,5,0,2,4,3,3,2

Función No función

Función

Función

No función


Práctica:

Clasificar las siguientes relaciones como función o no función.

1) 2) 3)

4) 5)

No función Función

No función

Función Función


B A

321 xy

r t

0 2

2 3

2 4

3 6

La relación entre el número de bacterias en un cultivo y el tiempo.

8,5,4,3,3,2

1. El número de seguro social que se asigna a una persona.

2. La relación de la medida del área de un círculo y su radio.

3. La correspondencia de padre a hijo

4. Los conceptos matemáticos aprendidos en precálculo I.

5. La relación de maestro a estudiante.


Función

No Función

Función

No Función

No Función

𝑥

𝑦

𝑓(𝑥)

𝑥

𝑦

𝑓(𝑥)

Gráficas de funciones


Si f es una función con dominio A, entonces la

gráfica de f es el conjunto de pares ordenados.

En otras palabras, la gráfica de f es el conjunto de los puntos (x, y) tales que y = f(x); es decir, la gráfica de la ecuación y = f(x).

Axxfx /)(,

)(, afa

)(, xfx

)(, cfc

a xc

)(xf

)(cf

)(af

)(abscisaA

)()( ordenadaAf


La regla de la recta vertical se utiliza para determinar si

una gráfica representa una función.

La regla consiste en trazar rectas verticales a través de la gráfica, si estas rectas verticales cruzan la gráfica una sola vez decimos que la gráfica representa una función.

Ejemplos:

La gráfica no representa una función porque una de las rectas cruza la curva más de una vez.

La gráfica representa una función porque las rectas cruzan la curva una sola vez.

La gráfica no representa una función porque más de una de las rectas cruza la curva más de una vez.

𝑥

𝑦

𝑥

𝑦

𝑥

𝑦


Práctica


Trabajar los ejercicios de la página 4

Práctica:

Clasificar las siguientes gráficas de relaciones en función o no función.

Función Función No función

Función No función

𝑥

𝑦

𝑥

𝑦

𝑥

𝑦

𝑥

𝑦

𝑥

𝑦


Al determinar el dominio de una función gráficamente, se buscan

todas las coordenadas x que corresponden a puntos en la gráfica. Para

determinar el alcance de una función gráficamente se buscan todas las

coordenadas y que corresponden a puntos en la gráfica.

Dominio = −1,∞) Alcance = (−∞, 2

𝑥

𝑦

𝑓(𝑥)


Dominio = Alcance =

,2

,3

Práctica:

Buscar el dominio y el alcance de las siguientes funciones.

Dominio = Alcance =

8,

3,

𝑥

𝑦

𝑓(𝑥)

𝑥

𝑦

𝑓(𝑥)


Las funciones se emplean con frecuencia para modelar cantidades cambiantes.

Es importante saber dónde crece, decrece o es constante la gráfica de una función.

Solución:

f es CRECIENTE en:

f es DECRECIENTE en:

f es CONSTANTE en:

dcba ,,

cb,

ed ,

f es CRECIENTE f es DECRECIENTE

f es CRECIENTE

f es CONSTANTE


a b c d e

B

C )(xfy

A

E D )(xf

x

f es creciente en un intervalo abierto l, si f(x1) < f(x2) siempre que x1 < x2 en l. f es decreciente en un intervalo abierto l, si f(x1) > f(x2) siempre que x1 < x2 en l.

f es constante en un intervalo abierto l, si f(x1) = f(x2) siempre que x1 < x2 en l.

creciente decreciente

x1 x2

f

f(x2)

f(x1)

x1 x2

f

f(x2)

f(x1)

constante

21, xx 21, xx 21, xx

x1 x2

f f(x2)

f(x1)


Práctica


Trabajar el ejercicio de la página 5

Solución:

f es CRECIENTE en:

f es DECRECIENTE en:

f es CONSTANTE en:

40,2010,0

50,40

70,5020,10 0 10 20 30 40 50 60 70 x (años)

W (lb)

200

150

100

50

Práctica: La siguiente gráfica presenta el peso W de una persona de la edad x. Determine los intervalos dónde la función W es creciente, decreciente y constante. Explique que representan esos intervalos para la persona.


Los puntos donde la pendiente de la curva cambia de dirección se llaman puntos de cambio. Los puntos donde la pendiente cambia de negativa a positiva o cambia de positiva a negativa.

Un máximo local de una función f, es un valor f(c) que es mayor o igual a todos los valores del alcance de f en algún intervalo abierto que contiene a c. Si f(c) es mayor o igual a todos los valores del alcance de f, entonces f(c) es el valor máximo absoluto de f. Un mínimo local de una función f, es un valor f(c) que es menor o igual a todos los valores del alcance de f en algún intervalo abierto que contiene a c. Si f(c) es menor o igual a todos los valores del alcance de f, entonces f(c) es el valor mínimo absoluto de f. Los extremos locales también se conocen como extremos relativos.

máximo local

mínimo local

𝑥

𝑦

𝑓(𝑥)


Práctica



Práctica: Determine los puntos de cambio de la gráfica que representa la función f(x). Identifique los puntos máximos y mininos locales f(x).

Solución:

Puntos de cambio −5,1 , −4, −3 𝑦 −2,3

Puntos máximos locales

−5,1 , −2,3

Puntos mínimos locales −4,−3


𝑥

𝑦

𝑓(𝑥)

En la gráfica de la izquierda se observa lo siguiente:

Intersección en el eje de y : (0, -1)

Intersección en el eje de x: (-3, 0), (2, 0)

Función positiva f(x)>0 en: (-∞, -3)U(2, ∞ )

Función negativa f(x)<0 en: (-3, 2)

La intersección de la gráfica de una función con el eje de y ocurre cuando el valor de x es igual a cero. El punto de intersección es (0, y) o (0, f(0)). La intersección de la gráfica de una función con el eje de x ocurre cuando y=f(x) es igual a cero. Las intersecciones en el eje de x también se le llama ceros

de la función. El punto de intersección es (x, 0).

Una función es positiva en un intervalo abierto I si, f(x)>0 para toda x en el intervalo I. Intervalo donde las y están por arriba del eje de x. Una función es negativa en un intervalo abierto I si, f(x)<0 para toda x en el intervalo I. Intervalo

donde las y están por debajo del eje de x.

𝑥

𝑦

𝑓(𝑥)


Práctica



Solución:

Intersección en el eje de y : (0, 1)

Intersección en el eje de x: (-7, 0), (-5, 0), (2, 0), (7, 0)

Función positiva f(x)>0 en: [-8, -7)U(-4, 2 )U(7, 10]

Función negativa f(x)<0 en: (-7, -5)U(-5, -4]U(2, 7)

Práctica: Determine las intersecciones en los ejes de la función 𝑓(𝑥).

Determine los intervalos donde la gráfica es positiva y negativa.

𝑥

𝑦

𝑓(𝑥)


Trabajo en grupo


Todos los grupos Trabajar los ejercicios de las páginas 8-9

Práctica: Para la gráfica de f(x) determine lo siguiente:

Dominio: Alcance: Intervalos donde f crece Intervalos donde f decrece: Intervalos donde f es constante: Intervalos donde f(x)>0: Intervalos donde f(x)<0: Intersecciones en los ejes: Puntos de cambio: Puntos máximos locales: Puntos mínimos locales: f(4): En que valor de x f(x)=-1:

𝑥

𝑦

𝑓(𝑥)

−∞,∞ −∞,∞ : −∞,−6.5 ⋃ −5, −2.5 ⋃ 4,∞ −6.5, −5 ⋃ −2.5, 0 ⋃ 2,4 0,2 −7,−6 ⋃ −4,−0.5 ⋃ 5.4,∞ −∞,−7 ⋃ −6,−4 ⋃ −0.5, 5.4 −7,0 ; −6,0 ; −4,0 ; 0.5,0 ; 5.4,0 ; (0, −1) −6.5, 1 ; −5, −3 ; −2.5,3 −6.5, 1 ; −2.5, 3 −5,−3 𝑓 4 = 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑜 𝑥 ≈ −7.4, −6.2, −4.3, 0,2 , 5.2


Práctica: Para la gráfica de f(x) determine lo siguiente:

Dominio: Alcance: Intervalos donde f crece Intervalos donde f decrece: Intervalos donde f es constante: Intervalos donde f(x)>0: Intervalos donde f(x)<0: Intersecciones en los ejes: Puntos de cambio: Puntos máximos locales: Puntos mínimos locales: f(-2): f(6): En que valor de x f(x)=-1:

−∞, 11 −6,∞ : −5,−2 ∪ −2,0 −∞,−5 ∪ 6,11 0,6 ∞,−7 ∪ −3,6 −7,−3 ∪ 6,11) −7,0 ; −3,0 ;(0,6) −5,−4 no tiene −5,−4 𝑓 −2 = 3 𝑓 6 = −4 𝑥 ≅ −6.8, −3.2


𝑦

𝑥

𝑓(𝑥)

𝑘

𝑓(𝑥)

𝑥

𝑓(𝑥)

𝑥

𝑓(𝑥)

𝑥

𝑓(𝑥)

𝑥

Catálogo de Gráficas de Funciones


Trabajo en grupo Grupo 1 Hacer ejercicio de la página 10 Grupo 2 Hacer ejercicio de la página 11 Grupo 3 Hacer ejercicio de la página 12 Grupo 4 Hacer ejercicio de la página 13 Grupo 5 Hacer ejercicio de la página 14


kkkkky

x 21012

valoresde Tabla

La gráfica de la función constante tiene la forma de una recta horizontal. El

modelo de la gráfica de la función constante se obtiene evaluando la función para algunos valores de x que pertenecen al dominio. Luego se hace una tabla para la variable x y la variable y que es igual a f(x). Finalmente se localizan los puntos y se unen formando la gráfica.

kfy

kfy

kfy

kfy

kfy

)2(

)1(

)0(

)1(

)2(

valoresalgunos de Evaluación

k

kf(x)

,0 :Intercepto

, :Constante

} { :Decrece

} { :Crece

{k}:Alcance

, :Dominio

de ticasCaracterís

𝑘

𝑓(𝑥)

𝑥


21012

21012

valoresde Tabla

y

x

La gráfica de la función identidad tiene la forma de una recta inclinada. El

modelo de la gráfica de la función identidad se obtiene evaluando la función para algunos valores de x que pertenecen al dominio. Luego se hace una tabla para la variable x y la variable y que es igual a f(x). Finalmente se localizan los puntos y se unen formando la gráfica.

2)2()2(

1)1()1(

0)0()0(

1)1()1(

2)2()2(


fy

fy

fy

fy

fy

0,0 :Intercepto

} { :Constante

} { :Decrece

, :Crece

,:Alcance

, :Dominio

de ticasCaracterís

xf(x)𝑓(𝑥)

𝑥


21012

21012

valoresde Tabla

y

x

La gráfica de la función valor absoluto tiene la forma de una V. El modelo de

la gráfica de valor absoluto se obtiene evaluando la función para algunos valores de x que pertenecen al dominio. Luego se hace una tabla para la variable x y la variable y que es igual a f(x). Finalmente se localizan los puntos y se unen formando la gráfica.

22)2(

11)1(

00)0(

11)1(

22)2(


fy

fy

fy

fy

fy

0,0 :Intercepto

} { :Constante

,0- :Decrece

,0 :Crece

0,:Alcance

, :Dominio

de ticasCaracterís

xf(x)

𝑓(𝑥)

𝑥


41014

21012

valoresde Tabla

y

x

La gráfica de la función cuadrática tiene la forma de parábola. El modelo de

la gráfica de la función cuadrática se obtiene evaluando la función para algunos valores de x que pertenecen al dominio. Luego se hace una tabla para la variable x y la variable y que es igual a f(x). Finalmente se localizan los puntos y se unen formando la gráfica.

4)2()2(

1)1()1(

0)0()0(

1)1()1(

4)2()2(


2

2

2

2

2

fy

fy

fy

fy

fy

0,0 :Intercepto

} { :Constante

,0- :Decrece

,0 :Crece

0,:Alcance

, :Dominio

de ticasCaracterís 2

xf(x)𝑓(𝑥)

𝑥


81018

21012

valoresde Tabla

y

x

El modelo de la gráfica de la función cúbica se obtiene evaluando la función para algunos valores de x que pertenecen al dominio. Luego se hace una tabla para la variable x y la variable y que es igual a f(x). Finalmente se localizan los puntos y se unen formando la gráfica.

8)2()2(

1)1()1(

0)0()0(

1)1()1(

8)2()2(


3

3

3

3

3

fy

fy

fy

fy

fy

0,0 :Intercepto

} { :Constante

{} :Decrece

,- :Crece

,-:Alcance

, :Dominio


xf(x)𝑓(𝑥)

𝑥


El modelo de la gráfica de la función recíproco se obtiene evaluando la función para algunos valores de x que pertenecen al dominio. Luego se hace una tabla para la variable x y la variable y que es igual a f(x). Finalmente se localizan los puntos y se unen formando la gráfica.

} { :Intercepto

} { :Constante

,0U0, :Decrece

{} :Crece

,0U0,:Alcance

,0U0, :Dominio

1 de ticasCaracterís

x

f(x)

𝑓(𝑥)

𝑥

Tabla de valores

x -3 -2 -1 1 2 3

Y −13

−12

-1 1 12 1

3

Evaluación de algunos valores

𝑦 = 𝑓 −3 = 1−3

= −13

𝑦 = 𝑓 −2 = 1−2

= −12

𝑦 = 𝑓 −1 = 1−1

= −1

𝑦 = 𝑓 1 = 11=1

𝑦 = 𝑓 2 = 12= 1

2

𝑦 = 𝑓 3 = 13= 1

3


El modelo de la gráfica de la función recíproca cuadrada se obtiene evaluando la función para algunos valores de x que pertenecen al dominio. Luego se hace una tabla para la variable x y la variable y que es igual a f(x). Finalmente se localizan los puntos y se unen formando la gráfica.

} { :Intercepto

} { :Constante

,0 :Decrece

0, :Crece

,0:Alcance

,0U0, :Dominio

1 de ticasCaracterís

2

x

f(x)

𝑓(𝑥)

𝑥

Tabla de valores

x -3 -2 -1 1 2 3

Y 19 1

4 1 1 1

4 1

9


𝑦 = 𝑓 −3 = 1−3 2 = 1

9

𝑦 = 𝑓 −2 = 1−2 2 = 1

4

𝑦 = 𝑓 −1 = 1−1 2 = 1

1=1

𝑦 = 𝑓 1 = 11 2 = 1

1=1

𝑦 = 𝑓 2 = 12 2 = 1

4

𝑦 = 𝑓 3 = 13 2 = 1

9


El modelo de la gráfica de la función raíz cuadrada se obtiene evaluando la función para algunos valores de x que pertenecen al dominio. Luego se hace una tabla para la variable x y la variable y que es igual a f(x). Finalmente se localizan los puntos y se unen formando la gráfica.

0) (0, :Intercepto

} { :Constante

} { :Decrece

),0( :Crece

),0[:Alcance

),0[ :Dominio

de ticasCaracterís

xf(x)𝑓(𝑥)

𝑥

Tabla de valores

x 0 1 4 9

Y 0 1 2 3


𝑦 = 𝑓 0 = 0 = 0 𝑦 = 𝑓 1 = 1=1

𝑦 = 𝑓 4 = 4 = 2

𝑦 = 𝑓 9 = 9 = 3


El modelo de la gráfica de la función raíz cúbica se obtiene evaluando la función para algunos valores de x que pertenecen al dominio. Luego se hace una tabla para la variable x y la variable y que es igual a f(x). Finalmente se localizan los puntos y se unen formando la gráfica.

0) (0, :Intercepto

} { :Constante

} { :Decrece

,- :Crece

,-:Alcance

,- :Dominio


xf(x)

𝑓(𝑥)

𝑥 Tabla de valores

x -8 -1 0 1 8

Y -2 -1 0 1 2


𝑦 = 𝑓 −8 = −83

= −2 𝑦 = 𝑓 −1 = −1

3=-1

𝑦 = 𝑓 0 = 03

= 0

𝑦 = 𝑓 1 = 13

= 1

𝑦 = 𝑓 8 = 83

=2


El modelo de la gráfica de la función parte entera se obtiene evaluando la función para algunos valores de x que pertenecen al dominio. Luego se hace una tabla para la variable x y la variable y que es igual a f(x). Finalmente se localizan los puntos y se unen formando la gráfica.

0),1,0[y 0) (0, :Intercepto

Zb1,bxb :Constante

} { :Decrece

,- :Crece

Z:Alcance

,- :Dominio

de ticasCaracterís

xf(x)𝑓(𝑥)

𝑥

Tabla de valores

x -2 -1.7 −1.2 -1 0 0.2 0.8 0.9

Y -2 -2 −2 -1 0 0 0 0


𝑦 = 𝑓 −2 = −2 = −2 𝑦 = 𝑓 −1.7 = −1.7 = −2 𝑦 = 𝑓 −1.2 = −1.2 = −2

𝑦 = 𝑓 −1 = −1 = −1 𝑦 = 𝑓 0 = 0 = 0

𝑦 = 𝑓 0.2 = 0.2 = 0 𝑦 = 𝑓 0.8 = 0.8 = 0 𝑦 = 𝑓 0.9 = 0.9 = 0


El modelo de la gráfica de la función semicírculo se obtiene evaluando la función para algunos valores de x que pertenecen al dominio. Luego se hace una tabla para la variable x y la variable y que es igual a f(x). Finalmente se localizan los puntos y se unen formando la gráfica.

(a,0)y a) (0, , 0) (-a, :sIntercepto

{} :Constante

a) (0, :Decrece

0,a- :Crece

a][0, :Alcance

a][-a, :Dominio

de ticasCaracterís 22 xaf(x)

Tabla de valores

x -a a 0

Y 0 0 𝑎


𝑦 = 𝑓 −𝑟 = 𝑎2 − −𝑎 2 = 0

𝑦 = 𝑓 𝑟 = 𝑎2 − 𝑎2 = 0

𝑦 = 𝑓 𝑟 = 𝑎2 − 0 2 = 𝑎

𝑓(𝑥)

𝑥 -a a

a


El modelo de la gráfica de la función por partes o definida por intervalos se obtiene evaluando la función para algunos valores de x que pertenecen al dominio. Luego se hace una tabla para la variable x y la variable y que es igual a f(x). Finalmente se localizan los puntos y se unen formando la gráfica.

0) (0, :Intercepto

{} :Constante

0,- :Decrece

),1(1,0 :Crece

)[0, :Alcance

,- :Dominio

1 si ,2

1 si, de ticasCaracterís

2

xx

xxf(x)

42014

21012

valoresde Tabla

y

x

4)2(2)2(

2)1(2)1(

1)1()1(

0)0()0(

1)1()1(

4)2()2(


2

2

2

2

fy

fy

fy

fy

fy

fy𝑓(𝑥)

𝑥


Se estudiara como ciertas transformaciones de una función afectan su gráfica. Algunas transformaciones son desplazamiento, reflexión y expansión.

desplazamiento reflexión expansión


Trabajo en grupo


Todos los Grupos Hacer ejercicios de las páginas 15 y 16

x

y

k

y = f(x) + k

y = f(x)

Suponga que k > 0 Para graficar y = f(x) + k, desplace k unidades hacia arriba la gráfica de y = f(x). Para graficar y = f(x) – k, desplace k unidades hacia abajo la gráfica de y = f(x).

x

y

k

y = f(x)

y = f(x) – k


Ejemplo: Use la gráfica f(x) = x2 para bosquejar la gráfica de cada función.

La gráfica de f(x) = x2 se llamará gráfica de la

función modelo. Los puntos principales de la gráfica de

esta función son; −1,1 , 0,0 y 1,1 .

La gráfica de f(x) = x2 + 2 es la gráfica modelo

desplazada dos unidades hacia arriba. Por lo tanto en los

puntos desplazados cambian las y, los nuevos puntos se

obtienen sumando 2 a las y. Los nuevos puntos

son; −1,3 , 0,2 y 1,3 .

La gráfica f(x) = x2 - 2 es la gráfica de la función

modelo desplazada dos unidades hacia abajo. Por lo

tanto en los puntos desplazados cambian las y, los

nuevos puntos se obtienen restando 2 a las y. Los puntos

son; −1,−1 , 0,−2 y 1,−1 .

a) y = f(x) + 2 b) y = f(x) – 2

𝑥

𝑦

𝑓(𝑥)

𝑦 = 𝑓 𝑥 + 2

𝑦 = 𝑓 𝑥 − 2


Práctica: Dibujar la gráfica de las siguientes funciones.

a) 𝑔 𝑥 = 𝑥 + 1 b) ℎ 𝑥 = 9 − 𝑥2 − 2

𝑥

𝑦

𝑔 𝑥 = 𝑥 + 1

𝑥

𝑦

ℎ 𝑥 = 9 − 𝑥2 − 2

La gráfica de 𝑔 𝑥 = 𝑥 se llamará gráfica de la

función modelo. Los puntos principales de la gráfica de esta función son; −1,1 , 0,0 y 1,1 .

La gráfica de 𝑔 𝑥 = 𝑥 + 1 es la gráfica modelo

desplazada 1 unidad hacia arriba. Por lo tanto en los

puntos desplazados cambian las y, los nuevos puntos

se obtienen sumando 1 a las y. Los nuevos puntos son; −1,2 , 0,1 y 1, 2 .

La gráfica de ℎ 𝑥 = 9 − 𝑥2 se llamará gráfica

de la función modelo. Los puntos principales de la gráfica de esta función son; −3,0 , 0,3 y 3,0 .

La gráfica de ℎ 𝑥 = 9 − 𝑥2 − 2 es la gráfica

modelo desplazada 2 unidades hacia abajo. Por lo tanto

en los puntos desplazados cambian las y, los nuevos

puntos se obtienen restando 2 a las y. Los nuevos puntos son; −3,−2 , 0,1 y 3, −2 .

𝑔 𝑥 = 𝑥

ℎ 𝑥 = 9 − 𝑥2


x

y

y = f(x)

y = f(x – h)

x

y

y = f(x + h)

y = f(x)

h h

Suponga que h > 0. Para graficar y = f(x – h), desplace la gráfica de y = f(x) a la derecha h unidades. Para graficar y = f(x + h), desplace la gráfica de y = f(x) a la izquierda h unidades.


ℎ 𝑥 = 𝑥 − 2 2 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 4 2

𝑥

𝑦

𝑓 𝑥 = 𝑥2

Ejemplo: Use la gráfica 𝑓 𝑥 = 𝑥2 para bosquejar la gráfica de cada función.

a) ℎ 𝑥 = 𝑥 − 2 2 b) 𝑔 𝑥 = 𝑥 + 4 2

La gráfica de f(x) = x2 se llamará gráfica de la

función modelo. Los puntos principales de la grafica de

esta función son; −1,1 , 0,0 y 1,1 .

La gráfica de 𝑔 𝑥 = 𝑥 − 2 2 es la gráfica modelo

desplazada dos unidades hacia la derecha. Por lo tanto

en los puntos desplazados cambian las x, los nuevos

puntos se obtienen sumando 2 a las x. Los nuevos

puntos son; 1,1 , 2,0 y 3, 1 .

La gráfica ℎ 𝑥 = 𝑥 + 4 2 es la gráfica de la

función modelo desplazada 4 unidades hacia la

izquierda. Por lo tanto en los puntos desplazados

cambian las x, los nuevos puntos se obtienen restando 4

a las x. Los puntos son; −5, 1 , −4, 0 y −3, 1 .


Práctica: Dibujar la gráfica de las siguientes funciones.

a) 𝑔 𝑥 = 𝑥 + 2 b) ℎ 𝑥 = 9 − (𝑥 − 1)2

𝑥

𝑦

𝑔 𝑥 = 𝑥 + 2

ℎ 𝑥 = 9 − (𝑥 − 1)2



La gráfica de 𝑔 𝑥 = 𝑥 + 2 es la gráfica modelo

desplazada 2 unidades hacia la izquierda. Por lo

tanto en los puntos desplazados cambian las x, los

nuevos puntos se obtienen restando 2 a las x. Los nuevos puntos son; −3,1 , −2, 0 y −1,1 .



La gráfica deℎ 𝑥 = 9 − (𝑥 − 1)2 es la gráfica

modelo desplazada 1 unidades hacia abajo. Por lo tanto

en los puntos desplazados cambian las x los nuevos

puntos se obtienen sumando 1 a las x. Los nuevos puntos son; −2,0 , 1,3 y 4, 0 .

𝑥

𝑦

𝑔 𝑥 = 𝑥

ℎ 𝑥 = 9 − 𝑥2


Ejemplo: Bosqueje la gráfica de: 43)( xxf

(3, 4)

𝑦 = 𝑥 − 3

𝑥

𝑦

𝑓(𝑥) = 𝑥 − 3 + 4

𝑦 = 𝑥

La gráfica de 𝑦 = 𝑥 se llamará gráfica de la

función modelo. Los puntos principales de la gráfica de esta función son; 0,0 y 1,1 .

La gráfica de 𝑦 = 𝑥 − 3 es la gráfica modelo

desplazada 3 unidades hacia la derecha. Por lo tanto

en los puntos desplazados cambian las x, los nuevos

puntos se obtienen sumando 3 a las x. Los nuevos puntos son; 3,0 y 4, 1 .

La gráfica de 𝑦 = 𝑥 − 3 + 4 es la gráfica

anterior desplazada 4 unidades hacia arriba. Por lo

tanto en los puntos desplazados cambian las y, los

nuevos puntos se obtienen sumando 4 a las y. Los nuevos puntos son; 3,4 y 4, 5 .

Otra forma es :

La gráfica de 𝑦 = 𝑥 − 3 + 4 es la gráfica de la función modelo

desplazada 3 unidades a la derecha y 4 unidades hacia arriba. Por lo tanto en

los puntos desplazados cambian las x y las y, los nuevos puntos se obtienen

sumando 3 a todas x y sumando 4 a todas las y. Los nuevos puntos son; 3,4 y 4, 5 .


x

y

y = f(x)

y = -f(x)

x

y

y = f(-x)

y = f(x)

Para graficar y = -f(x), refleje la gráfica de y = f(x) en el eje x.

Para graficar y = f(-x), refleje la gráfica de y = f(x) en el eje y.

Reflejo vertical Reflejo horizontal


Ejemplo: Use la gráfica 𝑓 𝑥 = 𝑥 para bosquejar la gráfica de cada función.

a) ℎ 𝑥 = − 𝑥 b) 𝑔 𝑥 = −𝑥

𝑥

𝑦

𝑔 𝑥 = −𝑥

ℎ 𝑥 = − 𝑥

𝑓 𝑥 = 𝑥

𝑥

𝑦

𝑓 𝑥 = 𝑥

La gráfica de 𝑓 𝑥 = 𝑥 se llamará gráfica de la

función modelo. Los puntos principales de la gráfica

de esta función son; 0,0 y 1,1 .

La gráfica de ℎ 𝑥 = − 𝑥 es la gráfica modelo

reflejada en el eje de x. Por lo tanto en los puntos

reflejados se cambian las y, los nuevos puntos se

obtienen buscando el opuesto de las y. Los nuevos puntos son; 0,0 y 1, −1 .

La gráfica de 𝑓 𝑥 = 𝑥 se llamará gráfica de la

función modelo. Los puntos principales de la gráfica

de esta función son; 0,0 y 1,1 .

La gráfica de 𝑔 𝑥 = −𝑥 es la gráfica modelo

reflejada en el eje de y. Por lo tanto en los puntos

reflejados se cambian las x, los nuevos puntos se

obtienen buscando el opuesto de las x. Los nuevos puntos son; 0,0 y −1, 1 .


Práctica: Trace la gráfica de cada función:

3)( a) xxf )2()( b) xxg 12)( c) xxh

𝑥

𝑦

𝑓 𝑥 = 𝑥3

𝑓 𝑥 = −𝑥3

𝑥

𝑦

𝑓 𝑥 = 𝑥

𝑔 𝑥 = −(𝑥 + 2)

𝑥

𝑦

ℎ 𝑥 = − 𝑥 − 2 + 1

𝑦 = 𝑥

La gráfica de 𝑓 𝑥 = 𝑥 se llamará

gráfica de la función modelo. Los puntos

principales de la gráfica de esta función

son; −1, 1 , 0,0 y 1,1 .

La gráfica de ℎ 𝑥 = − 𝑥 − 2 + 1 es la

gráfica modelo reflejada en el eje de x y

trasladada 2 unidades a la derecha y 1

unidad hacia arriba. Por lo tanto en los

puntos se cambian las x y las y. Las y de los

nuevos puntos se obtienen buscando el

opuesto y sumándole 1., las x se obtienen

sumando 2. Los nuevos puntos son; 1, 0 ,2, 1 y 3, 0 .

La gráfica de 𝑓 𝑥 = 𝑥 se llamará

gráfica de la función modelo. Los

puntos principales de la gráfica de esta

función son; 0,0 y 1,1 .

La gráfica de 𝑔 𝑥 = − 𝑥 + 2 es

la gráfica modelo reflejada en el eje de y

y trasladada 2 unidades a la izquierda.

Por lo tanto en los puntos se cambian las

x. Las x se obtienen buscando el opuesto

y restando 2. Los nuevos puntos son; −2, 0 y −3, 1 .

La gráfica de 𝑓 𝑥 = 𝑥3 se llamará

gráfica de la función modelo. Los puntos

principales de la gráfica de esta función

son; −1, −1 , 0,0 y 1,1 .

La gráfica de𝑓 𝑥 = −𝑥3 es la gráfica

modelo reflejada en el eje de x. Por lo tanto

en los puntos se cambian las y. Las y de los

nuevos puntos se obtienen buscando el

opuesto. Los nuevos puntos son; −1, 1 ,0, 0 y 1, −1 .


Para graficar y = af(x): Si a >1, expande verticalmente la gráfica de y = f(x) por un factor de a. Si 0 <a< 1, comprime verticalmente la gráfica de y = f(x) por un factor de a.

x

y

x

y

y = af(x)

y = f(x)

y = f(x)

y = af(x)

a > 1 0 < a < 1


Ejemplo: Dibujar la gráfica de las siguientes funciones.

a) 𝑔 𝑥 = 2 𝑥 b) ℎ 𝑥 = 1

29 − (𝑥 − 1)2

𝑥

𝑦

𝑔 𝑥 = 2 𝑥

ℎ 𝑥 = 12

9 − (𝑥 − 1)2



La gráfica de 𝑔 𝑥 = 2 𝑥 es la gráfica modelo

expandida verticalmente por un factor de 2. Por lo

tanto en los puntos expandidos cambian las y, los

nuevos puntos se obtienen multiplicando las y por 2. Los nuevos puntos son; −1, 2 , 0, 0 y 1, 2 .



La gráfica de ℎ 𝑥 =1

29 − (𝑥 − 1)2 es la gráfica

modelo comprimida verticalmente por un factor de 1

2

desplazada 1 unidad hacia la derecha. Por lo tanto en

los puntos comprimidos y desplazados cambian las x y

las y. Los nuevos puntos se obtienen multiplicando por 1

2 a las y y sumando 1 a las x. Los nuevos puntos

son; −2,0 , 1, 3

2 y 4, 0 .

𝑥

𝑦

Expansión y compresión

𝑔 𝑥 = 𝑥

ℎ 𝑥 = 9 − 𝑥2

La gráfica de y = f(bx):

Si b > 1, comprime la gráfica de y = f(x) horizontalmente por un factor de 1

𝑏.

Si 0< b <1, expande la gráfica de y = f(x) horizontalmente por un factor de 1

𝑏.

x

y

x

y

y = f(bx)

y = f(x)

y = f(x)

y = f(bx)

b > 1 0 < b < 1

Ejemplo: Dibujar la gráfica de las siguientes funciones.

a) 𝑔 𝑥 = 2𝑥 b) ℎ 𝑥 = 1

2𝑥−2

3+ 1

𝑥

𝑦

𝑔 𝑥 = 2𝑥



La gráfica de 𝑔 𝑥 = 2𝑥 es la gráfica modelo

comprimida horizontalmente por un factor de 2. Por

lo tanto en los puntos comprimidos las x, los nuevos

puntos se obtienen multiplicando las x por 1

2. Los

nuevos puntos son; −1

2, 1 , 0, 0 y 1

2, 1 .

La gráfica de 𝑓 𝑥 = 𝑥3 se llamará gráfica de la

función modelo. Los puntos principales de la gráfica de esta función son; −1,−1 , 0,0 y 1,1 .

La gráfica de ℎ 𝑥 = 1

2𝑥−2

3+ 1 es la gráfica

modelo comprimida horizontalmente por un factor de 1

2 desplazada 2 unidad hacia la derecha y 1 unidad hacia

arriba. Por lo tanto en los puntos comprimidos y

desplazados cambian las x y las y. Los nuevos puntos

se obtienen multiplicando por 2 todas los x y

sumándole 2 a estas. Las y se obtienen sumándole 1 a las y. Los nuevos puntos son; 0,0 , 2, 1 y 4, 2 .

Expansión y compresión

𝑔 𝑥 = 𝑥

𝑥

𝑦

𝑓 𝑥 = 𝑥3

ℎ 𝑥 = 12

𝑥−23+ 1


Práctica


Todos los grupos Hacer los ejercicios de las páginas 17-19

1)3()( 3 xxf

1 2 3 4 5–1–2–3–4–5–6–7 x

1

2

3

–1

–2

–3

–4

–5

–6

–7

–8

–9

y

Escribe la función que representa la gráfica


1)2(9)( 2 xxf

1 2 3 4 5 6 7 8–1–2–3–4 x

1

2

3

4

5

6

7

8

9

–1

–2

–3

y



62)( xxf

1 2 3 4 5 6–1–2–3–4–5–6 x

1

2

3

4

5

6

7

8

9

–1

–2

–3

y



42)( xxf

1 2 3 4 5 6 7–1–2–3–4–5 x

1

2

3

4

5

–1

–2

–3

–4

–5

–6

–7

y



33

1)( 2 xxf

1 2 3 4 5 6 7–1–2–3–4–5 x

1

2

3

4

5

6

7

8

–1

–2

–3

–4

y



42)( xxf

1 2 3 4 5–1–2–3–4–5–6–7 x

1

2

3

–1

–2

–3

–4

–5

–6

–7

–8

–9

y



Ejercicio de práctica para resumir todas

las transformaciones


Todos los grupos Hacer ejercicios de las páginas 20 y 21

Práctica: Se da la gráfica de f. Bosqueje las gráficas de las siguientes funciones.

a) 𝑦 = 𝑓(𝑥 − 2)

b) 𝑦 = 𝑓(𝑥) − 2

c) 𝑦 = 2𝑓(𝑥)

d) 𝑦 = −𝑓 𝑥 + 3

e) 𝑦 = 𝑓 −𝑥

f) 𝑦 = 𝑓 −2𝑥 − 1


𝑥

𝑦 𝑥

𝑦

𝑥

𝑦

𝑥

𝑦

𝑥

𝑦

a) b)

c) d)

𝑥

𝑦 e) f)


𝑥

𝑦

Práctica: Bosqueje las gráficas de las siguientes funciones.

a) 𝑓 𝑥 = 2 𝑥 − 1 2 + 1

b) 𝑓 𝑥 = −1

216 − 𝑥2 − 2

c) 𝑓 𝑥 =−1

𝑥+1− 2

d) 𝑓 𝑥 = −𝑥 + 1 − 2


𝑥

𝑦

𝑥

𝑦

𝑥

𝑦

a) b)

c) d)


Recuerde :

Primero se realizan las transformaciones

de reflexión, expansión y compresión. Luego las transformaciones de desplazamiento.

𝑓(𝑥)

𝑥

Post Prueba


Fin


Presentación de funciones final (fredes)

Education

Transcript of Presentación de funciones final (fredes)