Geometría Analítica Prof. María Elena Oaxaca Legarreta

2.1. Ecuaciones y propiedades de la recta

2.1.1. Forma punto –pendiente

2.1.2 Forma pendiente ordenada al origen

2.1.3. Forma simétrica

2.1.4. Forma general de la ecuación de la recta

2.1.5 Forma normal de la ecuación de la recta.

Integra los elementos de una recta como Lugar Geométrico.

• La pendiente: Expresa la razón de crecimiento constante o promedio de sus puntos. Este crecimiento puede ser positivo: La recta asciende a la derecha, siguiente figura:

2.1.1. Forma punto –pendiente

También puede ser negativo: La recta desciende a la derecha, observa la siguiente figura.

2.1.1. Forma punto –pendiente

Conocidos dos puntos de una recta A (x1, y1) y B (x2, y2), la pendiente m de una recta se obtiene mediante la razón de incremento (Δ𝑦 =y2- y1) de los valores de “y” con respecto del incremento en “x” (Δx = 𝑥2- x1)

𝑚 =Δy

Δx

2.1.1. Forma punto –pendiente

La pendiente indica geométricamente una relación entre desplazamientos verticales (sobre el

eje Y) y desplazamientos horizontales (sobre el eje X).

2.1.1. Forma punto –pendiente

2.1.1. Forma punto –pendiente

La pendiente de esta recta es igual a 3/1, por lo tanto es de 3. Los puntos se mueven un lugar horizontalmente y tres lugares verticalmente.

La pendiente de una recta horizontal, como la de la siguiente figura es igual a cero.

2.1.1. Forma punto –pendiente

Nota: Debes tener cuidado en tomar como primer término de cada resta las coordenadas del mismo punto. Si no lo haces alterarás el signo de la pendiente y ésta no corresponderá a la de la recta. Cuando la recta es vertical la pendiente no se puede calcular, es decir no tienen pendiente.

2.1.1. Forma punto –pendiente

El ángulo de inclinación de la recta nos da la pendiente, por lo tanto utilizando la función trigonométrica de la tangente la obtienes, es decir la tangente del ángulo de inclinación es igual a la pendiente

2.1.1. Forma punto –pendiente

tg de 37º = 0.75, por lo tanto la pendiente de una recta que tiene un ángulo de inclinación de 37º es igual a 0.75 en fracción decimal, que puedes transformar a fracción común y sería una pendiente de ¾, con desplazamientos geométricos sobre el eje Y de 3 unidades y sobre X de 4 unidades.

2.1.1. Forma punto –pendiente

Si la pendiente es negativa, los desplazamientos sobre el eje Y serían hacia abajo cuando te desplaces a la derecha. Si la pendiente es positiva, los desplazamientos sobre Y serían hacia arriba cuando te desplaces a la derecha.

2.1.1. Forma punto –pendiente

Algebraicamente, esto significa que:

a) En las rectas con pendiente positiva, al aumentar el valor de x, aumenta el valor de y.

b) En las rectas con pendiente negativa, cuando x aumenta, y disminuye.

2.1.1. Forma punto –pendiente

Rectas paralelas tienen siempre el mismo ángulo de inclinación. Por esta razón sus pendientes resultan ser iguales, como se muestra en la siguiente figura.

Pendientes de rectas paralelas

L1 L2

m1=m2

Rectas perpendiculares tienen pendientes recíprocas y de signos contrario, como el caso que se muestra en la siguiente figura

Pendientes de rectas perpendiculares

L1 ┴ L2

m1= - 1/m2

Dos rectas AB y CD son paralelas la pendiente de AB=2 y la pendiente de CD deberá ser entonces igual a 2, porque AB y CD son paralelas y sus pendientes son iguales.

Si L1 es paralela de L2 y L1 tiene pendiente de 3/2, entonces L2 también tiene pendiente de 3/2.

Ejemplos.- Primer caso rectas paralelas

Dos rectas AB y CD son perpendiculares entre sí, la pendiente de AB es de 2, entonces el reciproco inverso de este valor será la pendiente de CD, es decir – ½.

Si L1 es perpendicular de L2 y L1 tiene pendiente de 3/2, entonces L2 tiene pendiente de - 2/3.

Ejemplos.- Segundo caso rectas perpendiculares

Un lugar geométrico puede pensarse como la figura generada por un punto móvil. Una recta es el lugar geométrico de los puntos que tienen entre sí la misma pendiente, que es una propiedad con la que cumplen.

La recta como lugar geométrico

Esta propiedad geométrica que caracteriza a una recta es que sus puntos no cambian de dirección. Esto significa que la pendiente entre dos cualesquiera de ellos es siempre la misma.

La recta como lugar geométrico

Si conocemos la pendiente m de la recta, y un punto de ella P1 (x1, y1), podemos interpretar algebraicamente esta condición de la siguiente manera: Para cualquier otro punto P (x, y) de la recta, la pendiente entre P y P1 debe ser igual a :

m = (y – y1) / (x – x1)

La recta como lugar geométrico

La ecuación de la recta de la forma punto-pendiente, que pasa por el punto P1 (x1, y1) tiene como ecuación:

y – y1 = m(x – x1)

La recta como lugar geométrico

Para obtener la ecuación de una recta deberás obtener siempre su pendiente. Después de las rectas horizontales y verticales, la recta que pasa por el origen tiene la ecuación más simple.

2.1.2 Forma pendiente ordenada al

origen

En el modelo lineal pendiente – ordenada al origen es uno de los más simples y prácticos para describir una recta y dibujar su gráfica.

La ecuación de la recta que pasa por el origen tiene la forma y = mx y su gráfica es

Con la pendiente m y la intersección – y (conocido como la ordenada al origen) de una recta, se obtiene su ecuación:

y = mx + b

Intersección de una recta con el eje y Ecuación de una recta dada su pendiente y su

intersección con el eje y.

La recta con pendiente m = 3, y ordenada al origen b = 5, tiene por ecuación y = 3x + 5 y su gráfica es:

Ejemplo

La ordenada al origen b, que en la ecuación es el valor numérico, es el punto de la recta, que al moverse sobre el eje y, genera una ecuación distinta

Se dice que las rectas paralelas con la misma inclinación (misma pendiente) forman una familia de rectas.

Ecuación pendiente-ordenada al origen

La recta representante de cada familia es la que pasa por el origen porque a partir de ella, sumando o restando la ordenada al origen, se obtienen las demás.

Ecuación pendiente-ordenada al origen

Si b es igual a cero, la recta pasa por el origen, si b es positivo dicha recta se desplaza hacia arriba sobre el eje y, si b es negativo la recta se desplaza hacia abajo. Manteniendo la recta la misma inclinación.

Ecuación pendiente-ordenada al origen

En el ejemplo anterior las ecuaciones de las rectas serían:

La ecuación de la recta azul es: y = 3x + 5

La ecuación de la recta morada es: y = 3x

La ecuación de la recta amarilla es: y = 3x – 5

Ecuación pendiente-ordenada al origen

La ecuación de la recta en forma simétrica representa a las intersecciones con los ejes en su ecuación.

𝒙

𝒂+

𝒚

𝒃= 𝟏 donde a, b ≠ 0

2.1.3. Forma simétrica

En la siguiente imagen la abscisa al origen, es el cruce con el eje X, con coordenadas (4, 0) donde la recta intersecta al eje X y en la ecuación de la recta en la forma simétrica es el denominador de la variable X.

2.1.3. Forma simétrica

Intersecciones de una recta con los ejes coordenados

La ordenada al origen, es el cruce con el eje Y, con coordenadas (0, 8) donde la recta intersecta al eje Y y en la ecuación de la recta en la forma simétrica es el denominador de la variable Y. como se muestra en la imagen

2.1.3. Forma simétrica

Intersecciones de una recta con los ejes coordenados

2.1.3. Forma simétrica

En este tipo de ecuación ni a, ni b pueden valer 0, es decir el origen está excluido de la forma simétrica de la ecuación de la recta.

Esto significa que para las rectas que pasan por el origen no existe la forma simétrica de su ecuación.

2.1.3. Forma simétrica

Si se conocen las intersecciones de la recta en X y Y, su ecuación se obtiene sólo sustituyendo estos valores en la forma de la ecuación simétrica.

2.1.3. Forma simétrica

Las intersecciones de la recta son (- 10, 0) y (0, -5)

𝑥

𝑎+

𝑦

𝑏= 1, por lo tanto la ecuación

sustituyendo las intersecciones sería:

𝑥

−10+

𝑦

−5= 1 , es decir la ecuación quedaría:

− 𝒙

𝟏𝟎−

𝒚

𝟓= 𝟏

Ejemplos

La ecuación de cualquier recta puede escribirse como una ecuación de primer grado con dos variables.

En la forma general de la recta los términos con las variables quedan al lado izquierdo de la ecuación, como se muestra en la siguiente imagen y el término constante queda solo en el lado derecho del signo igual.

2.1.4. Forma general de la ecuación

de la recta

2.1.4. Forma general de la ecuación

de la recta

2.1.4. Forma general de la ecuación

de la recta

La forma general de la recta recibe este nombre por dos razones:

a) Sin excepción alguna todas las ecuaciones de las rectas pueden escribirse de esta forma.

b) Una vez simplificadas y escritas de este modo, las distintas formas de la ecuación de una misma recta coinciden.

c) Dependiendo del acomodo de la ecuación su nombre puede variar:

𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 = 𝑪 se le conoce como forma estándar

𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 + 𝑪 = 𝟎 se conoce como forma general

2.1.4. Forma general de la ecuación

de la recta

Si la ecuación de la recta tiene todos los términos, la gráfica de esta cortará a los dos ejes del plano cartesiano. Si a la ecuación de la recta le falta el término constante (es decir el valor numérico, que representa a la ordenada al origen), la recta pasa por el origen del plano cartesiano.

Conversión de la ecuación de una

recta a la forma general y viceversa

Falta el término constante (el valor numérico)

Si a la ecuación de la recta le falta una de las dos variables, la gráfica de ésta será paralela a uno de los ejes.

Si falta la variable X, será paralela a este mismo eje.

2.1.4. Forma general de la ecuación

de la recta

Si falta la variable Y, será paralela a este mismo eje.

2.1.4. Forma general de la ecuación

de la recta Falta la variable y

1) Aislar términos con las variables y el término independiente.

2) Pasar del lado derecho del símbolo de igual, junto con la variable independiente (es decir el número), la variable x y la variable y. Recuerda que si cambias de lugar los términos, es decir al otro lado del símbolo de igual a la derecha deberás cambiar el signo de cada término que muevas.

Para transformar cualquier ecuación lineal en

la forma general la técnica consiste en:

3) Al final deben quedar todos los términos de la ecuación del lado derecho e igualar todo a cero.

Para transformar cualquier ecuación lineal en

la forma general la técnica consiste en:

Esta forma de la ecuación permite saber a qué distancia del origen se encuentra una recta del origen.

La forma de la ecuación de la recta se obtiene

al dividir Ax + By = C entre ± 𝐴2 + 𝐵2, con igual signo que C.

2.1.6 Forma normal de la ecuación de la

recta.

4x + 3y = 10, sustituyendo en el radical

+ 42 + 32, tomando al radical positivo, porque C es positivo (es 10). El resultado del radical es 5.

2.1.6 Forma normal de la ecuación de la

recta.

Por lo tanto la forma normal de la ecuación será:

𝟒𝒙

𝟓+

𝟑𝒚

𝟓= 𝟐

En la forma normal, los coeficientes y el término constante proporcionan información relevante.

2.1.6 Forma normal de la ecuación de la

recta.

1) El valor de 2, representa la distancia del origen a la recta y los valores 4/5 y 3/5 son el coseno y el seno del ángulo que forma esta distancia con la dirección positiva del eje x.

Así d = 2, cos α = 4/5, sen α = 3/5

2.1.6 Forma normal de la ecuación de la

recta.

2) El radical ± 𝐴2 + 𝐵2 se llama módulo y se toma con el mismo signo de C para que la distancia resulte positiva.

2.1.6 Forma normal de la ecuación de la

recta.

3) Con esta interpretación geométrica la ecuación normal equivale a

x cos α + y sen α = d

4) La distancia d siempre se considera positiva.

2.1.6 Forma normal de la ecuación de la

recta.