DUALIDAD

El dual es un problema de PL que se obtiene matemáticamente de un

modelo primal de PL dado. Los problemas dual y primal están

relacionados a tal grado, que la solución símplex óptima de cualquiera de

los dos problemas conduce en forma automática a la solución óptima del

otro. 

El  método símplex además de resolver un problema de PL llegando a

una solución óptima nos ofrece más y mejores elementos para la toma

de decisiones. Las dualidad y el análisis de sensibilidad son

potencialidades de éste método. 

TEORIA DE DUALIDADTEORIA DE DUALIDAD

La programación lineal puede ser usada para resolver una extensa variedad de La programación lineal puede ser usada para resolver una extensa variedad de problemas propios de los negocios, ya sea para maximizar utilidades o minimizar costos. problemas propios de los negocios, ya sea para maximizar utilidades o minimizar costos.

Las variables de decisión en tales problemas fueron, por ejemplo, el número de Las variables de decisión en tales problemas fueron, por ejemplo, el número de

productos a producir, la cantidad de pesos a emplear, etc. En cada caso la solución productos a producir, la cantidad de pesos a emplear, etc. En cada caso la solución

óptima no explicó cómo podrían ser asignados los para obtener un objetivo establecido. óptima no explicó cómo podrían ser asignados los para obtener un objetivo establecido.

La solución óptima del problema de programación dual, proporciona la siguiente La solución óptima del problema de programación dual, proporciona la siguiente

información respecto del problema de programación original:información respecto del problema de programación original:

1. La solución óptima del problema dual proporciona los precios en el mercado o los 1. La solución óptima del problema dual proporciona los precios en el mercado o los

beneficios de los recursos escasos asignados en el problema original.beneficios de los recursos escasos asignados en el problema original.

2.  La solución óptima del problema dual aporta la solución óptima del problema original 2.  La solución óptima del problema dual aporta la solución óptima del problema original

y viceversa.y viceversa.

El concepto de dualidad indica que para cada problema de PL hay una El concepto de dualidad indica que para cada problema de PL hay una asociación y una relación muy importante con otro problema de asociación y una relación muy importante con otro problema de programación lineal, llamado precisamente dual.programación lineal, llamado precisamente dual.

    La relación entre el problema dual y su asociado, es decir el problema La relación entre el problema dual y su asociado, es decir el problema original llamado primal, presenta varias utilidades:original llamado primal, presenta varias utilidades:

Aporta elementos que aumentan sustancialmente la compresión de la PL.Aporta elementos que aumentan sustancialmente la compresión de la PL.

El análisis de dualidad es una herramienta útil en la solución de problemas El análisis de dualidad es una herramienta útil en la solución de problemas de PL,  por ejemplo: más restricciones que variables.de PL,  por ejemplo: más restricciones que variables.

El problema dual tiene interpretaciones e informaciones importantes que El problema dual tiene interpretaciones e informaciones importantes que muestran que los análisis marginales están siempre involucrados muestran que los análisis marginales están siempre involucrados implícitamente al buscar la solución óptima a un problema de PL. implícitamente al buscar la solución óptima a un problema de PL. 

La forma estándar general del primal se defina como; para maximizar o La forma estándar general del primal se defina como; para maximizar o minimizar. minimizar. 

   DUALIDAD

La forma estándar general del primal se defina como; para maximizar La forma estándar general del primal se defina como; para maximizar o minimizar. o minimizar. 

sujeto a;sujeto a;

   DUALIDAD

¿Cómo convertir un problema primal a dual?  ¿Cómo convertir un problema primal a dual?  

Un problema dual se formula de un problema primal de la siguiente forma:Un problema dual se formula de un problema primal de la siguiente forma:  Si el primal es un problema de maximización su dual será un problema de minimización Si el primal es un problema de maximización su dual será un problema de minimización

y viceversa.y viceversa.

Los coeficientes de la función objetivo del problema primal se convierten en los Los coeficientes de la función objetivo del problema primal se convierten en los coeficientes del vector de la disponibilidad en el problema dual.coeficientes del vector de la disponibilidad en el problema dual.

Los coeficientes del vector de disponibilidad del problema original se convierten en los Los coeficientes del vector de disponibilidad del problema original se convierten en los coeficientes de la función objetivo (vector de costo o precio) en el problema dual.coeficientes de la función objetivo (vector de costo o precio) en el problema dual.

Los coeficientes de las restricciones en el problema primal, será la matriz de los Los coeficientes de las restricciones en el problema primal, será la matriz de los coeficientes tecnológicos en el dual.coeficientes tecnológicos en el dual.

Los signos de desigualdad del  problema dual son contrarios a los del primal.Los signos de desigualdad del  problema dual son contrarios a los del primal.

Cada restricción en un problema corresponde a una variable en el otro problema. Si el Cada restricción en un problema corresponde a una variable en el otro problema. Si el primal tiene m restricciones y n variables, el dual tendrá n restricciones y m primal tiene m restricciones y n variables, el dual tendrá n restricciones y m variables. Así, las variables Xn del primal se convierte en nuevas variables Ym en variables. Así, las variables Xn del primal se convierte en nuevas variables Ym en el dual.el dual.

   DUALIDAD

   DUALIDAD

PROBLEMA DUAL EN FORMA CANONICA:

MIN  Z= BY

Sujeto a:

AY ≥ C

Y ≥ 0

PROBLEMA PRIMAL EN FORMA CANONICA:

MAX  Z= CX

Sujeto a:

AX ≤ b

X ≥ 0

Ejemplo.Ejemplo.Si el problema primal es:  MAX  Z= 45X1 + 17X2 + 55X3Si el problema primal es:  MAX  Z= 45X1 + 17X2 + 55X3                                                            Sujeto a:Sujeto a:                                                                                X1   +    X2  +     X3   X1   +    X2  +     X3   ≤ 200 200                                                                              9X1  +  8X2  +  10X3  9X1  +  8X2  +  10X3  ≤ 5000 5000                                                                              10X1+  7X2  + 21 X3  10X1+  7X2  + 21 X3  ≤ 4000 4000                                                                              Xj Xj ≥ 0 0   El problema dual será:El problema dual será:                    MIN  Z= 200Y1 + 5000Y2 + 4000Y3MIN  Z= 200Y1 + 5000Y2 + 4000Y3                    Sujeto a:Sujeto a:                                            Y1 +   9Y2 + 10Y3  Y1 +   9Y2 + 10Y3  ≥≥ 45 45                                            Y1 +   8Y2 +   7Y3  Y1 +   8Y2 +   7Y3  ≥ ≥ 1717                                            Y1 + 10Y2 + 21Y3 Y1 + 10Y2 + 21Y3 ≥ ≥ 55 55                        Yj Yj ≥ 0 0  

   DUALIDAD

INTERPRETACION ECONOMICA DE LA DUALIDAD

INTERPRETACION ECONOMICA DE LA DUALIDAD

INTERPRETACION ECONOMICA DE LA DUALIDAD