DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES DISCRETAS

BACHILLER: CARRERA ALEXANDER

C.I: 20.420.008

PROF: AMELIA MALAVE

MATURIN, JUNIO 2014

Distribución de

probabilidades discretas.

Es una distribución teórica de frecuencias que describe como se espera

que varíen los resultados de un experimento. Existen diferentes tipos de

modelos que permiten describir el comportamiento de fenómenos

estadísticos que permiten hacer inferencias y tomar decisiones en

condiciones de incertidumbre. Se clasifican en: Discretas Continuas

Distribuciones discretas: Son aquellas donde las variables asumen un

número limitado de valores, por ejemplo el número de años de estudio.

Según Bernouilli: “Es aquel modelo que sigue un experimento que se

realiza una sola vez y que puede tener dos soluciones, acierto o fracaso:

Cuando es acierto la variable toma el valor 1 y cuando es fracaso la

variable toma el valor 0”. Ejemplo: Probabilidad de salir cara al lanzar una

moneda al aire (sale cara o no sale); probabilidad de ser admitido en una

universidad (o te admiten o no te admiten); probabilidad de acertar una

quiniela (o aciertas o no aciertas)

Distribución de Probabilidad.

Hay una campaña en un centro medico del poblado de Maturín, sobrepaternidad responsable a un grupo de mujeres. Una vez finalizada lacharla se les entrega un papelito con una única pregunta: ¿Desearíausted ser esterilizada? 1. Si 2. No Usted alumna de la maestría enSalud Publica con mención en Salud Reproductiva, está interesada eninvestigar si las charlas tienen un efecto favorable en el sentido de quelas mujeres se decidan a ser sometidas a la esterilización. Ante este tipode situaciones en la cual uno se encuentra todos los días, tenemos queacudir a las Distribuciones de Probabilidades. En nuestro ejemplo, lavariable Deseo ser esterilizada, es una variable cualitativa, discreta.Por lo tanto se requieren de las Distribuciones de ProbabilidadesDiscretas. Que es la que estudiaremos en este ejemplo.

EJEMPLO:

Sigamos con nuestro ejemplo del centro medico de departamento de Maturín.

Nuestra variable de interés seria: Deseo ser esterilizada. Supongamos que a la

charla asistieron tres mujeres, entonces definimos como variable aleatoria a:

X : Número de mujeres que desearían ser esterilizadas.

Antes de hacerles la pregunta sobre su deseo de ser esterilizadas, puede

considerar las posibles respuestas:

X = 0 à Ninguna desearía ser esterilizada.

X = 1 à Sólo una de las mujeres desearía.

X = 2 à Dos mujeres desearían.

X = 3 à Las tres mujeres desearían

Antes de verificar las respuestas de las 3 mujeres seleccionada; no sabe

cuántas estarán de acuerdo en ser esterilizadas, pero si conociera las

probabilidades de ocurrencia de cada uno de los posibles valores de la

variable podría predecir su ocurrencia con una cierta probabilidad. El conjunto

de las probabilidades de ocurrencia de los posibles valores de la variable

aleatoria se denomina distribución de probabilidades.

En nuestro ejemplo

A esto se le llama distribución de probabilidades discreta. Discreta porque la

variable X deseo ser esterilizada es discreta.

Se dice que se ha definido una variable aleatoria para un experimento

aleatorio Cuando hemos asociado un valor numérico a cada resultado del

experimento. Para designar a las variables aleatorias se utilizan letras

mayúsculas X, Y, etc., y Letras minúsculas (x, y, etc.) para designar valores

concretos de las mismas.

Hay varios tipos de variables aleatorias, variables cualitativas y variables

cuantitativas, De éstas últimas se pueden diferenciar entre cuantitativas

continuas y continuas Discretas. Una variable es discreta cuando sólo puede

tomar ciertos valores enteros en un Número finito de valores o infinito

numerable. Como ejemplo podemos mencionar el Número de caras obtenidas

cuando se lanzan 3 monedas: (0, 1, 2, 3). Las variables Discretas representan

algo que se puede contar y no llevan decimales.

Distribución de Probabilidad de

variables discretas.

Sea una variable aleatoria discreta X, que toma los valores x1, x2, ..., xn y se

conocen las probabilidades de que la variable X tome dichos valores. Una

función de probabilidad no es más que la asignación a cada valor de la

variable de la probabilidad que le corresponde. Es decir:

f(xi)= P(X=xi)

Es una idealización de la correspondiente distribución de frecuencias ya que

en realidad se está estimando las frecuencias absolutas fi y relativas hi de

forma experimental o empírica.

También se llama función de cuantía o masa.

Características:

• A cada valor de la variable aleatoria xi le hacemos corresponder una

probabilidad esperada teórica pi .

• Se representa gráficamente mediante un diagrama de barras.

• La suma de todas las probabilidades esperadas es uno.

Función de Probabilidad.

La distribución Binomial es un caso particular de probabilidad de variable

aleatoria discreta, y por sus aplicaciones, es posiblemente la más importante.

Esta distribución corresponde a la realización de un experimento aleatorio que

cumple con las siguientes condiciones:

* Al realizar el experimento sólo son posible dos resultados: el suceso A,

llamado éxito, y el suceso B , llamado fracaso.

* Al repetir el experimento, el resultado obtenido es independiente de los

resultados obtenidos anteriormente.

* La probabilidad del suceso A es constante, es decir, no varía de una prueba

del experimento a otra.

* En cada experimento se realizan n pruebas idénticas. Todo experimento que

tenga estas características se dice que sigue el modelo de la distribución

Binomial o distribución de Bernoulli.

DISTRIBUCION BINOMINAL.

P(X=x) =

𝑛!

𝑋! 𝑛 −𝑥 !𝑝𝑥 𝑞𝑛 - x

Donde: P(X)= es la probabilidad de ocurrencia del evento

p = es la probabilidad de éxito del evento (en un intento)

q = es la probabilidad de fracaso del evento (en un intento)

(se define como q = 1 – p )

X = ocurrencia del evento o éxitos deseados

n = número de intentos

En general, si se tienen n ensayos Bernoulli con probabilidad de éxito p y de

fracaso q, entonces la distribución de probabilidad que la modela es la

distribución de probabilidad binomial y su regla de correspondencia es:

Probabilidad de salir cara al lanzar una moneda al aire (sale cara o no

sale); probabilidad de ser admitido en una universidad (o te admiten o no te admiten); probabilidad de acertar una quiniela (o aciertas o no aciertas).

Al haber únicamente dos soluciones se trata de

sucesos complementarios:

A la probabilidad de éxito se le denomina "p"

A la probabilidad de fracaso se le denomina "q"

Verificándose que:

p + q = 1

EJEMPLO.

La distribución de Bernoulli es un caso particular de la distribución Binomial

con n = 1. Si X tiene la distribución Binomial con n (número de intentos) y p

(probabilidad de éxito que denotaremos por X ∼ Bi (n, p)) entonces la variable

Y = n − X, que representa el número de fracasos, es una variable de Binomial

con n (número de intentos) y probabilidad de éxito 1 − p.

X ∼ Bi (n, p) ⇒ Y = n − X ∼ Bi (n, 1 − p)

La distribución de Bernoulli.

P(x>3)= 1-P (x<=3)= 1 - [ P (x=0) + P (x=2) + P(x=3)] =

1- [ 120

0.10 (1 – 0.1)12−0 + 121

0.11 (1 – 0.1)12−1 + 122

0.12 ( 1- 0.1)12−2 +

123

0.12 (1 – 0.1)12−3 ] = 1.09744 = 0.0256

La v.a. binomial está tabulada para valores pequeños de n. Hay tablas que dan

la función de masa de probabilidad P (X = k) o bien la función de distribución P

(X ≤ k), aunque sólo vienen para valores p ≤ 0.5.

Ejemplo:

En una fábrica hay 12 máquinas. Cada una de ellas está averiada un día de

cada 10. ¿Cuál es la probabilidad de que un determinado día haya más de 3

máquinas averiadas?

Sea la variable X ="no de máquinas averiadas de un total de 12 si P (avería) =

0, 1" ∈ Bi (n = 12, p = 0.1) .

La distribución Hipergeométrica de parámetros k, n y N (HG (k, n, N)) surge

en situaciones en donde el modelo aproximado de probabilidad se corresponde con muestreo sin reemplazamiento de una población dicotómica (Éxito y Fracaso) finita. Concretamente, las suposiciones que llevan a considerar esta distribución son:

• La población o conjunto donde deba hacerse el muestreo consta de N individuos o elementos a seleccionar.

• Cada individuo puede ser caracterizado como un éxito (E) o fracaso (F).

• Se selecciona una muestra de n individuos de entre los k individuos marcados como éxito y los N − k restantes marcados como fracaso.

• Hay selección equi-probable en cada paso. Definición 10 Una v.a. X tiene una distribución Hipergeométrica si (para algunos enteros positivos k, n y N )

X = "no de individuos de un total de n con cierta característica (éxito) si en N hay un total de k"

Distribución Hipergeométrica

1.- El espacio muestral contiene ensayos idénticos.

2.- Las observaciones posibles se pueden obtener mediante dos diferentes métodos de muestreo.

Se puede considerar que cada observación se ha seleccionado de una población infinita sin reposición o de una población finita con reposición.

3.- Cada observación se puede clasificar en una de dos categorías conocidas como éxito E o fracaso E', las cuales son mutuamente excluyentes es decir E⩀E` = 0

4.- Las probabilidades de éxito p y de fracaso q = 1 – p en un ensayo se mantienen constantes, durante los n ensayos.

5.- El resultado de cualquier observación es independiente del resultado de cualquier otra observación.

Propiedades Esenciales de la

Distribución Binominal

La probabilidad de que el evento E ocurra x veces y el evento E' ocurra (n - x) veces en n ensayos independientes está dado por la fórmula binomial:

P ( x, n, p ) = 𝑛𝑥

𝑝𝑥 𝑞𝑛−𝑥

Donde:

p = Probabilidad característica o probabilidad de éxito.

q = Probabilidad de fracaso.

x = Número de éxitos deseados.

n = Número de ensayos efectuados.

Formula.

Si se lanza 4 veces una moneda, calcular el evento `` numero de

águilas que caen``

Datos:

n= 4 ensayos

p= 1

2probabilidad de éxito en un ensayo

q= 1- p= 1 -1− 1

2 2

x= 0, 1, 2, 3, 4

S= { lanzar 4 veces la moneda}

A= { Número de. águilas que caen}

Ejemplo.

Ocurre cuando en el experimento binomial cada intento tiene más de dos

resultados posibles. Las probabilidades de ocurrencia p1, p2, ..., pk en un

solo ensayo, la distribución de probabilidad de las variables aleatorias k1,

k2, ..., kn que representan el número de ocurrencias de E1, E2, ..., En

intentos independientes es:

Distribución Multinominal.

Calcular la probabilidad de obtener dos veces el número 4, dos veces el

número 5 y una vez el número 2, en el lanzamiento de un dado 5 veces.

Ejemplo.

Esta función de distribución de variable discreta se emplea para calcular las

probabilidades asociadas a la variable aleatoria dentro de un intervalo continuo

de tiempo o espacio; este intervalo es generalmente una unidad de medida

conocida: cm2, km, gramos, litros, pulgadas, entre otros.

Algunos de los problemas que presentan como un fenómeno con distribución

de Poisson son: Los embotellamientos que se producen por día.

Número de llamadas por hora.

Defectos por m2de tela.

Número de defectos por lote de un proceso de producción.

Número de negocios cerrados por semana.

A este tipo de problemas se les conoce el número de éxitos x obtenidos por

unidad de medida en n ensayos; pero es totalmente imposible conocer el

número de fracasos (n - x).

Distribución de Poisson

Donde:

n= Número de ensayos.

x= Número de éxitos esperados en n ensayos.

e = 2.71828...

λ= n p= Constante igual al número de éxitos promedio por unidad de medida.

p= Probabilidad constante durante el proceso igual al número de éxitos

promedio por unidad de medida.

Formula:

Un conmutador recibe en promedio 5 llamadas sobre autos extraviados

por hora. ¿Cuál es la probabilidad de que en una hora tomada al azar

reciba?

a) Ninguna llamada.

b) Exactamente 3 llamadas.

c) No más de 3 llamadas.

Ejemplo.

b) Exactamente 3 llamadas: x= 3

c) No más de 3 llamadas: x< 4

Para este problema λ= 5, en otros casos deberá calcularse con: λ= n p.

a) Ninguna llamada. x= 0

Son aquellas donde las variables en estudio pueden asumir cualquiervalor dentro de determinados límites; como por ejemplo, la estatura de unestudiante. Ejemplo: El peso medio de los alumnos de una clase puedetomar infinitos valores dentro de cierto intervalo (42,37 kg, 42,3764 kg, 42,376541kg, entre otros); la esperanza media de vida de una población(72,5 años, 75,13 años, 72, 51234 años).

Distribuciones Continuas:

Uniforme

Exponencial

Normal

Distribuciones Continuas.

Muchas Gracias

Fin de la Presentación