presentación fractales

Modelacion de Fractales:Sistemas L

Marlyth LeggsAndrea Bustillos

Adriana Echeagaray

6 de junio de 2012

Introduccion

Los sistemas L son unconjunto de reglas ysımbolos usados paradesarrollar modelos deestructuras biologicas y lageneracion de fractalesauto-similares.

Propuestos en 1968 por elbiologo AristidLindenmayer.

El concepto central es elreemplazo, definiendo objetos

complejos a partir de larecursividad del reemplazo de

objetos mas sencillos.

Marlyth Leggs Andrea Bustillos Adriana Echeagaray (UABC) Modelacion de Fractales: Sistemas L 6 de junio de 2012 2 / 24

Introduccion

Planteamiento del Problema

Presentar el concepto basico de fractal y como se puede desarrollar elmodelado de estos, especıficamente a traves de sistemas de Lindenmayerpara obtener la modelacion computarizada y representacion geometrica dealgunos de los ejemplos clasicos del tema.

Marco Teorico Fractales

Fractales

Objeto que exhiberecursividad oautosimilitud a cualquierescala.El termino fue acunadopor Benoıt Mandelbrot en1975 y proviene del latınfractus que significafracturado.

Propiedades

Su irregularidad es tal,que no es posible sudescripcion con geometrıatradicional.Es autosimilar.La dimension de un fractales fraccionaria y esestrictamente mayor quesu dimension topologica.

Fractales

Propiedades

Fractales

Propiedades

Fractales

Propiedades

Fractales

Propiedades

Fractales Naturales y Matematicos

Hay muchos objetos de la naturaleza que, debido a su estructura ocomportamiento, son considerados fractales naturales, cuyarepresentacion es aproximada ya que existen lımites en la naturaleza.

Ası pues, lo que diferencia fractales matematicos de los naturales es quelos primeros son entidades con detalle infinito.

Fractales Naturales y Matematicos

Hay muchos objetos de la naturaleza que, debido a su estructura ocomportamiento, son considerados fractales naturales, cuyarepresentacion es aproximada ya que existen lımites en la naturaleza.

Ası pues, lo que diferencia fractales matematicos de los naturales es quelos primeros son entidades con detalle infinito.

Aplicaciones

En comunicaciones se emplean para el modelado del trafico en redes.

En informatica son utlizados como tecnicas de compresion de audio yvideo.

En biologıa es importante para el estudio del crecimiento de tejidos,organizacion celular y evolucion de poblaciones depredador-presa.

En matematicas se han utilizado para determinar la convergencia demetodos numericos.

En fısica se aplican en transiciones de fase en magnetismo, eneconomıa se utilizan para el analisis bursatil y de mercado, etc.

Aplicaciones

Marco Teorico Sistemas de Lindenmayer

Orıgenes

En 1968 el biologo AristidLindenmayer tras elestudio de varios tipos dealgas, propuso un sistemapara modelar sucrecimiento.

Inicialmente se utilizaroncomo una teorıamatematica delcrecimiento de plantas.

Estos sistemas se aplican enparalelo, en lugar de hacerlode manera secuencial comoen el caso de las gramaticasde Chomsky.

Orıgenes

Sistemas de Lindenmayer

El concepto central de un sistema L es el de reemplazo.Un sistema de Lindenmayer se pueden considerar como un conjunto

{V , ω,P,L}

V representa el alfabetoω es la semilla o axiomaP es una gramatica formalL es un lenguaje formal

Sistemas de Lindenmayer

El concepto central de un sistema L es el de reemplazo.Un sistema de Lindenmayer se pueden considerar como un conjunto

{V , ω,P,L}

V representa el alfabetoω es la semilla o axiomaP es una gramatica formalL es un lenguaje formal

Marco Teorico Intepretacion grafica

Intepretacion grafica

En terminos computacionales,un sistema L es un esquemade sustitucion de textorecursivo con unainterpretacion geometrica final.

Las reglas de iteracion seaplican simultaneamentea todos los elementos dela semilla.

Esta cualidad refeja elorigen biologico de lossistemas L.

El resultado obtenido despues de las iteraciones es una cadena desımbolos, y para convertirla en una imagen fractal hay que recorrer elcamino determinado por dicha cadena.

Cada uno de los sımbolos de dicha cadena representa una orden queinterpreta una “tortuga”. Una vez que la tortuga ha recorrido toda lacadena, la imagen fractal quedara definida.

El resultado obtenido despues de las iteraciones es una cadena desımbolos, y para convertirla en una imagen fractal hay que recorrer elcamino determinado por dicha cadena.

Cada uno de los sımbolos de dicha cadena representa una orden queinterpreta una “tortuga”. Una vez que la tortuga ha recorrido toda lacadena, la imagen fractal quedara definida.

Marco Teorico Estado Interno

Estado Interno

El estado interno de la tortuga se denota por (l, d) y debe ser fijado antes decomenzar el recorrido. La letra l es la longitud del trazado (influye en eltamano final de la imagen) y d es el numero de angulos que gira sobresı misma (el cual influye en la apariencia de la imagen). A diferencia de lalongitud, el numero de angulos no puede modificarse una vez que el recorridoha comenzado.

Marco Teorico Posicion en el Plano

Posicion en el Plano

La posicion en el plano se denota por (x, y, θ). Las coordenadas (x , y)representan el lugar del plano donde se encuentra la tortuga y el anguloθ representa la direccion en que la tortuga dibujara la siguiente lınea. Laposicion se modifica utilizando las siguientes ordenes:

F Avanzar una unidad dibujando una lınea.

G Avanzar una unidad sin dibujar una lınea.

+ Girar un angulo θ en sentido contrario de las manecillas del reloj.

- Girar un angulo θ en sentido de las manecillas del reloj.

Para el modelado de plantas, es necesario incluir dos nuevas ordenes lascuales permiten representar ramificaciones de una manera sencilla:

[ Genera en una nueva lınea la posicion de la tortuga (indica el comienzo deuna nueva rama).

] Regresa al origen de la nueva lınea la posicion de la tortuga (indica que larama ha terminado).

Marco Teorico Funcionamiento

Funcionamiento

Esquematicamente un Sistema L se desarrolla de la siguiente forma:Se inicia con una semilla que pasa a ser la cadena de entrada delalgoritmo.Se aplican reglas de produccion y el resultado sera una cadena desalida.La cadena de salida pasa a ser entonces la nueva cadena de entrada,volviendose a producir el reemplazo por las reglas de produccion.El proceso continua hasta que el sistema L obtenga el resultadoadecuado.

Funcionamiento

Resultados

Figura: Arbol con ramas.

Parametro ValorSemilla G

Produccion F−→ F[+G][-G]Grado 25

Repeticion 8

Cuadro: Parametros delArbol con ramas.

Resultados

Figura: Copo de nieve.

Parametro ValorSemilla G–G–G

Produccion G−→ G+G–G+GGrado 60

Repeticion 6

Cuadro: Parametros del Copo denieve.

Resultados

Figura: Cuadrado de Sierpinski.

Parametro ValorSemilla F-F-F-F

Produccion F−→ FF-F-F-F-FFGrado 90

Repeticion 4

Cuadro: Parametros delCuadrado de Sierpinski.

Resultados

Figura: Curvade Koch.

ParametroValor

SemillaF-F-F-F

ProduccionF−→ F+FF-FF-F-F+F+FF-F-F+F+FF+FF-F

Grado90

Repeticion2

Cuadro: Parametros del Curva de Koch.

Resultados

Figura: Arbusto Pinon.

ParametroSemilla++++G

ProduccionG−→ G-[-G+G+G]+[+G-G-G]

Grado16

Repeticion4

Cuadro: Parametros delArbusto Pinon.

Aplicaciones de Sistemas de Lindenmayer

Figura: Expansion de brotes de soya en 61 dıas.

Plantas

Modelacion del impacto de diversos factores en un ecosistema

Figura: Simulacion del desarrollo de una planta al ser atacada por un insecto.

Biologıa evolutiva

Simulacion de procesos naturales de variacion y seleccion natural

Figura: Visualizacion de progenitores y descendencia en dos recombinacionesgeneticas. Los puntos de cruce corresponden a los bloques resaltados en losprogenitores.

Morfogenesis

Distribucion espacial organizada de celulas durante el desarrolloembrionario

Figura: Desarrollo de un estomago simulado a partir de sistemas L.

Conclusiones

Se presentaron algunos ejemplos de fractales y patrones de plantascreados mediante la metodologıa de los Sistemas de Lindenmayer .

La generacion de modelos a traves de los Sistemas de Lindenmayer esuna tecnica muy facil para explicar el concepto basico de fractal.

En el ambito de la descripcion biologica es una metodologıa infalible paralograr un modelado adecuado de plantas.

Conclusiones

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