Julio C. Salazar

Estimado puntual:Estadístico calculado a partir de información de la muestra paraestimar el parámetro poblacional.

Intervalo de confianza:Conjunto de valores formado a partir de una muestra de datos deforma que exista la posibilidad de que el parámetro poblacionalocurra dentro de dicho conjunto con una probabilidad especifica,la cual recibe el nombre de nivel de confianza.

Julio C. Salazar

Hay 3 niveles de confianza relacionados comúnmente:

90% 95% Y 99%,

Julio C. Salazar

NIVEL DE CONFIANZA:

Es la probabilidad 1 - , que es la proporción de veces que el

intervalo de confianza realmente contiene el parámetro de

población, suponiendo que el proceso de estimación se repite

un gran número de veces. El nivel de confianza también se

conoce como grado de confianza, coeficiente de confianza, ovalor alfa.

Para un nivel de confianza de 90%, = 0.10.

Para un nivel de confianza de 95%, =0.05.

Para un nivel de confianza de 99%, = 0.01.

Julio C. Salazar

La opción de 95% es la más común, puesto que provee unbuen balance entre precisión y confianza

Vamos a la tabla A-2 y buscamos en el cuerpo de la tabla el área equivalente a 0.9750, y este valor corresponde a un valor critico de z / 2 = 1.96.

Julio C. Salazar

NIVEL DE CONFIANZA VALOR CRITICO 𝒛𝜶/𝟐

90% 0.10 1.645

95% 0.05 1.96

99% 0.01 2.575

Intervalo de confianza para la media poblacional con una conocida

𝑋 ∓ 𝑧𝜎

𝑛

Julio C. Salazar

𝑥 − 𝑍𝜎

𝑛< 𝜇 < 𝑥 + 𝑍

𝜎

𝑛

7) Bob Nale es propietario NTGT A él le gustaría estimar la cantidad de galones degasolina vendidos. Suponga que la cantidad de galones vendidos tiende a seguir unadistribución normal, con una desviación estándar de 2.30 galones. De acuerdo con susregistros, selecciona una muestra aleatoria de 60 ventas y descubre que la cantidadmedia de galones vendidos es de 8.60.

a) ¿Cuál es el estimador puntual de la media poblacional?

b) Establezca un intervalo de confianza de 99% para la media poblacional.

c) Interprete el resultado del inciso b).

a) El mejor estimado puntual es de 8.60.

b) 8.60 – 2.582.30

60< 𝜇 < 8.60 + 2.58

2.30

60

7.83 < < 9.37

Julio C. Salazar

𝑏) 𝑥 − 𝑍𝜎

𝑛< 𝜇 < 𝑥 + 𝑍

𝜎

𝑛

ESTIMACIÓN DE LA MEDIA POBLACIONAL ( DESCONOCIDA)

Son necesarios los siguientes supuestos:

1. La muestra debe ser aleatoria simple. 2. La muestra proviene de una población que se distribuye normalmente o n >30.

La media muestral x es el mejor estimado puntual de la media poblacional .

DISTRIBUCIÓN t DE STUDENT

Si la distribución de una población es esencialmente normal, entonces la distribución de

t =

n

s

x

Es esencialmente una distribución t de Student para todas las muestras de tamaño n. La distribución t de Student, que a menudo se refiere como la

distribución t, se utiliza para calcular valores críticos denotados por t/2.

Julio C. Salazar

Intervalo de confianza para la media poblacional con desconocida

𝑋 ∓ 𝑡𝑆

𝑛

𝑥 –ts

n<𝜇< 𝑥 +t

s

n

Julio C. Salazar

Julio C. Salazar

13) Merrill Lynch Securities y Health Care Retirement, Inc., sondos grandes empresas ubicadas en el centro de Toledo Ohio.Contemplan ofrecer de forma conjunta servicio de guarderíapara sus empleados. Como parte del estudio de viabilidad delproyecto, desean calcular el costo medio semanal por elcuidado de los niños. Una muestra de 10 empleados querecurren al servicio de guardería revela las siguientescantidades gastadas la semana pasada.

$107 $92 $97 $95 $105 $101 $91 $99 $95 $104

Construya el intervalo de confianza de 90% de la media poblacional. Interprete el resultado.

Julio C. Salazar

107 8.4 70.56 7.8492 -6.6 43.56 4.8497 -1.6 2.56 0.2844444495 -3.6 12.96 1.44

105 6.4 40.96 4.55111111101 2.4 5.76 0.6491 -7.6 57.76 6.4177777899 0.4 0.16 0.0177777895 -3.6 12.96 1.44

104 5.4 29.16 3.24986 27.4711111

x x - 𝑥 (𝑥 − 𝑥)2 𝑥 − 𝑥 2/9

𝑥 =986

10= 98.6

𝑆 = 27.4711 = 5.24

𝑥 –ts

n<𝜇< 𝑥 +t

s

n

Julio C. Salazar

Intervalo de confianza, c

80% 90% 95% 98% 99% 99.90%

Nivel de significancia de una prueba de una cola, �

gl 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0.0005

Nivel de significancia de la prueba de dos colas, �

0.2 0.1 0.05 0.02 0.01 0.001

1 3.08 6.314 12.706 31.821 63.657 636.619

2 1.89 2.92 4.303 6.965 9.925 31.599

3 1.64 2.353 3.182 4.541 5.841 12.924

4 1.53 2.132 2.776 3.747 4.604 8.61

5 1.48 2.015 2.571 3.365 4.032 6.869

6 1.44 1.943 2.447 3.143 3.707 5.959

7 1.42 1.895 2.365 2.998 3.499 5.408

8 1.4 1.86 2.306 2.896 3.355 5.041

9 1.38 1.833 2.262 2.821 3.25 4.781

10 1.37 1.812 2.228 2.764 3.169 4.587

11 1.36 1.796 2.201 2.718 3.106 4.437

12 1.36 1.782 2.179 2.681 3.055 4.318

13 1.35 1.771 2.16 2.65 3.012 4.221

14 1.35 1.761 2.145 2.624 2.977 4.14

15 1.34 1.753 2.131 2.602 2.947 4.073

16 1.34 1.746 2.12 2.583 2.921 4.015

17 1.33 1.74 2.11 2.567 2.898 3.965

18 1.33 1.734 2.101 2.552 2.878 3.922

19 1.33 1.729 2.093 2.539 2.861 3.883

20 1.33 1.725 2.086 2.528 2.845 3.85

21 1.32 1.721 2.08 2.518 2.831 3.819

22 1.32 1.717 2.074 2.508 2.819 3.792

23 1.32 1.714 2.069 2.5 2.807 3.768

24 1.32 1.711 2.064 2.492 2.797 3.745

25 1.32 1.708 2.06 2.485 2.787 3.725

26 1.32 1.706 2.056 2.479 2.779 3.707

27 1.31 1.703 2.052 2.473 2.771 3.69

28 1.31 1.701 2.048 2.467 2.763 3.674

29 1.31 1.699 2.045 2.462 2.756 3.659

30 1.31 1.697 2.042 2.457 2.75 3.646

31 1.31 1.696 2.04 2.453 2.744 3.633

32 1.31 1.694 2.037 2.449 2.738 3.622

33 1.31 1.692 2.035 2.445 2.733 3.611

34 1.31 1.691 2.032 2.441 2.728 3.601

35 1.31 1.69 2.03 2.438 2.724 3.591

Intervalo de confianza, c

80% 90% 95% 98% 99% 99.90%

Nivel de significancia de una prueba de una cola, �

gl 0.1 0.05 0.03 0.01 0.01 0.0005

Nivel de significancia de la prueba de dos colas, �

0.2 0.1 0.05 0.02 0.01 0.001

36 1.306 1.688 2.03 2.43 2.72 3.582

37 1.305 1.687 2.03 2.43 2.72 3.574

38 1.304 1.686 2.02 2.43 2.71 3.566

39 1.304 1.685 2.02 2.43 2.71 3.558

40 1.303 1.684 2.02 2.42 2.7 3.551

41 1.303 1.683 2.02 2.42 2.7 3.544

42 1.302 1.682 2.02 2.42 2.7 3.538

43 1.302 1.681 2.02 2.42 2.7 3.532

44 1.301 1.68 2.02 2.41 2.69 3.526

45 1.301 1.679 2.01 2.41 2.69 3.52

46 1.3 1.679 2.01 2.41 2.69 3.515

47 1.3 1.678 2.01 2.41 2.69 3.51

48 1.299 1.677 2.01 2.41 2.68 3.505

49 1.299 1.677 2.01 2.41 2.68 3.5

50 1.299 1.676 2.01 2.4 2.68 3.496

51 1.298 1.675 2.01 2.4 2.68 3.492

52 1.298 1.675 2.01 2.4 2.67 3.488

53 1.298 1.674 2.01 2.4 2.67 3.484

54 1.297 1.674 2.01 2.4 2.67 3.48

55 1.297 1.673 2 2.4 2.67 3.476

56 1.297 1.673 2 2.4 2.67 3.473

57 1.297 1.672 2 2.39 2.67 3.47

58 1.296 1.672 2 2.39 2.66 3.466

59 1.296 1.671 2 2.39 2.66 3.463

60 1.296 1.671 2 2.39 2.66 3.46

61 1.296 1.67 2 2.39 2.66 3.457

62 1.295 1.67 2 2.39 2.66 3.454

63 1.295 1.669 2 2.39 2.66 3.452

64 1.295 1.669 2 2.39 2.66 3.449

65 1.295 1.669 2 2.39 2.65 3.447

66 1.295 1.668 2 2.38 2.65 3.444

67 1.294 1.668 2 2.38 2.65 3.442

68 1.294 1.668 2 2.38 2.65 3.439

69 1.294 1.667 2 2.38 2.65 3.437

70 1.294 1.667 1.99 2.38 2.65 3.435

Julio C. Salazar

Intervalo de confianza, c

80% 90% 95% 98% 99% 99.90%

Nivel de significancia de una prueba de una cola, �

gl 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0.0005

Nivel de significancia de la prueba de dos colas, �

0.2 0.1 0.05 0.02 0.01 0.001

71 1.294 1.667 1.994 2.38 2.647 3.433

72 1.293 1.666 1.993 2.379 2.646 3.431

73 1.293 1.666 1.993 2.379 2.645 3.429

74 1.293 1.666 1.993 2.378 2.644 3.427

75 1.293 1.665 1.992 2.377 2.643 3.425

76 1.293 1.665 1.992 2.376 2.642 3.423

77 1.293 1.665 1.991 2.376 2.641 3.421

78 1.292 1.665 1.991 2.375 2.64 3.42

79 1.292 1.664 1.99 2.374 2.64 3.418

80 1.292 1.664 1.99 2.374 2.639 3.416

81 1.292 1.664 1.99 2.373 2.638 3.415

82 1.292 1.664 1.989 2.373 2.637 3.413

83 1.292 1.663 1.989 2.372 2.636 3.412

84 1.292 1.663 1.989 2.372 2.636 3.41

85 1.292 1.663 1.988 2.371 2.635 3.409

86 1.291 1.663 1.988 2.37 2.634 3.407

87 1.291 1.663 1.988 2.37 2.634 3.406

88 1.291 1.662 1.987 2.369 2.633 3.405

Intervalo de confianza, c

80% 90% 95% 98% 99% 99.90%

Nivel de significancia de una prueba de una cola, �

gl 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0.0005

Nivel de significancia de la prueba de dos colas, �

0.2 0.1 0.05 0.02 0.01 0.001

89 1.29 1.662 1.987 2.369 2.632 3.403

90 1.29 1.662 1.987 2.368 2.632 3.402

91 1.29 1.662 1.986 2.368 2.631 3.401

92 1.29 1.662 1.986 2.368 2.63 3.399

93 1.29 1.661 1.986 2.367 2.63 3.398

94 1.29 1.661 1.986 2.367 2.629 3.397

95 1.29 1.661 1.985 2.366 2.629 3.396

96 1.29 1.661 1.985 2.366 2.628 3.395

97 1.29 1.661 1.985 2.365 2.627 3.394

98 1.29 1.661 1.984 2.365 2.627 3.393

99 1.29 1.66 1.984 2.365 2.626 3.392

100 1.29 1.66 1.984 2.364 2.626 3.39

120 1.29 1.658 1.98 2.358 2.617 3.373

140 1.29 1.656 1.977 2.353 2.611 3.361

160 1.29 1.654 1.975 2.35 2.607 3.352

180 1.29 1.653 1.973 2.347 2.603 3.345

200 1.29 1.653 1.972 2.345 2.601 3.34

� 1.28 1.645 1.96 2.326 2.576 3.291

Julio C. Salazar

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𝑥 –ts

n<𝜇< 𝑥 +t

s

n

98.6 – 1.8335.24

10<<98.6+1.833

5.24

10

95.39 < < 101.81

NOTACIÓN PARA PROPORCIONES:

p = Proporción de la población.

En lugar de calcular el valor de x

n, en ocasiones el valor de ya se conoce,

puesto que la proporción muestral o porcentaje se da directamente.

=𝒙

𝒏= Proporción muestal de x éxitos en una muestra de tamaño n.

Julio C. Salazar

Proporción muestral de fracasos en una muestra de tamaño n.

ˆ 1q

∓𝑧 1−

𝑛

- 𝑧 1−

𝑛< < + 𝑧

1−𝑛

Regla de redondeo para estimados de intervalo de confianza de p.Redondee los limites del intervalo de confianza para a tres dígitos significativos.

Julio C. Salazar

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17) La televisora Fox Tv considera reemplazar uno de susprogramas de investigación criminal, que se transmite durantelas horas de mayor audiencia, por una nueva comediaorientada a la familia. Antes de tomar una decisión definitiva,los ejecutivos estudian una muestra de 400 telespectadores.Después de ver la comedia, 250 afirmaron que la verían ysugirieron reemplazar el programa de investigación criminal.

a) Calcule el valor de la proporción de la muestra

b) Construya el intervalo de confianza de 99% de la proporción de la población

c) Interprete los resultados que obtuvo.

n =400, x =250

a) = 𝑥

𝑛 =

250

400 = 0.625

b) -Z(1−)

𝑛< 𝓅 < +Z

(1−)𝑛

0.625-2.580.625(1−0.625)

400< 𝓅 < 0.625+2.58

0.625(1−0.625)

400

0.563 < P < 0.687

c) La proporción está entre 56% y 69%

Julio C. Salazar

Factor de corrección de una población finita

𝐹𝑃𝐶 =𝑁 − 𝑛

𝑁 − 1

Tamaño de la muestra para estimar la media poblacional

𝑛 =𝑧𝜎

𝐸

2

Tamaño de la muestra para la proporción poblacional

𝑛 = 𝑃 1 − 𝑃𝑧

𝐸

2

Julio C. Salazar

21) El estimador de la proporción poblacional debe estar más o menos de 0.05, con un nivel de confianza de 95%. El mejor estimador de la proporción poblacional es de 0.15 ¿de qué tamaño debe de ser la muestra que se requiere?

E= 0.05, Z = 1.96, P = 0.15, n =?

n = P (1 - P)𝒁

𝑬

𝟐

n = 0.15 (1 - 0.15)𝟏.𝟗𝟔

𝟎.𝟎𝟓

𝟐

0.1275 * 1536.64

n= 196Julio C. Salazar

23) Se planea llevar a cabo una encuesta para determinar el tiempomedio que ven televisión los ejecutivos corporativos. Una encuestapiloto indico que el tiempo medio por semana es de 12 horas, conuna desviación estándar de 3 horas. Se desea calcular el tiempomedio que se ve televisión a menos de un cuarto de hora. Seutilizara el nivel de confianza 95%. ¿A cuántos ejecutivos debeentrevistarse?

𝜇= 12, 𝜎 =3, E= 0.25, Z = 1.96

n =𝒛𝝈

𝑬

𝟐

n =𝟏.𝟗𝟔∗𝟑

𝟎.𝟐𝟓

𝟐

n = 553.19 ≅ 𝟓𝟓𝟒Julio C. Salazar