PREVIO TOPOLOGÍA

1. Si F  es una familia no vacía de conjuntos, determine en cada caso la veracidad de la proposición y de su Reciproco:

i. Si x∈⋃ A∈F A ⇒x∈ A para al menos un A ⇒∈F  Solución (v) Reciproco (v) Si x∉⋃ A∈F ⇒x∉ A ∀ A ∈F 

ii. Si x∈⋃ A∈F A ⇒x∈ A para todo A ⇒∈F Solución (f)

Reciproco (v) Si x∉⋃ A∈F ⇒x∉ A para almenos un A ∈F 

iii. Si x∈∩ A∈F A ⇒x∈ A ∈ para almenosun A ⇒∈F Solución (v) Reciproco (f) Si x∉∩ A∈F ⇒x∉ A ∀ A ∈F 

iv. Si x∈∩ A∈F A ⇒x∈ A ∈ para todo A ⇒∈F Solución (v) Reciproco (v) Si x∉∩ A∈F ⇒x∉ A para almenos A ∈F 

3. Suponga conocidos los conjuntos A, B, C y exprese los siguientes conjuntos en términos de A, B, C utilizando ∩ y – de conjuntos :

i. D={x : x∈ A˄ (x∈B˅x∈C) }Solución D=A ⋃(B∩C)

ii. E=¿Solución E= (A∩B)⋃ C

iii. F=¿Solución F= A∩¿c⋃C ¿A∩ ¿c⋃C ¿ ¿c)⋃ A∩C ¿-B ¿⋃ (A ∩C)

4. Demuestre las leyes de DeMorgan para uniones e intersecciones de familias.

i. F={ Ai⊆E/ i ∈ I }F = ¿ i=I ¿ Ai σ ¿ A∈F ¿ A

{ A ,B ,C , D }

{ Ai⎹1≤i ≤ 100 } { Ai⎹ i∈ N }

{ Ai⎹ i∈ (0,1)}

(¿ i∈ I¿Ai )C= ∩i∈ IAi C

(¿ i∈ I¿Ai )C= i∈IAi C

LEYES DE MORGAN

Demostración

x∈ (¿ i=I¿Ai )C⇒ x∉¿ i∈ I ¿ Ai⇒ x∉ ¿ ¿ Ai∀ i∈ I

⇒ x∈ (¿ i=I¿Ai )C ∀ i∈ I⇒ x∈∩i∈ IAi C

x∈∩i∈ IAi C⇒ x∉∩i∈ I

Ai ⇒ x∉ Ai∀ i∈ I

⇒ x∈ Ai∃ x∈ I

¿¿ ⇒ x∉∩i∈ IAi ⇒ x∉ Ai paraalgun j∈ I

⇒ x∈ Aj c para j∈ j∃ j ∍ x∉ Aj⇒ x∈ ¿ i=I ¿ Ai ¿C

5. Determine si cada uno de los siguientes subconjuntos de  R2es producto cartesiano de subconjunto de R

I. {(x , y )/ x∈Z }=Z x RII. {(x , y )/0< y ≤1}R x ¿

III. {(x , y )/ x< y }RxIV. { (x , y ) : x∉Z˄ y∈Z }= (ℝ-ℤ)xℤV. { (x , y ) : x2+ y2<1 }

I. II. III. IV.

V.

6. Sea  ƒ : A→B y Ai ⊂ A y Bi ⊂ B i =0 v 1 muestre que :I. A0 ⊂  ƒ-1( ƒ (A0)) y que la igualdad se da si y solo si ƒ es uno a uno

Solución:

ƒ: A→B A0 ⊆ Aƒ-1(ƒ (A0))ƒ-1 (B0)=¿B0= ƒ(A0)(B0)={a ,b , c }ƒ-1(B0)={1 , 3 } ƒ-1(ƒ(A0))Luego A0 ={1 , 3,5 } ƒ(A0) = {b , d } ƒ-1(ƒ(A0))= {1 , 2,3,5 }

Demostración

I. A0⊆ ƒ-1(ƒ(A0))=x∈ A 0⇒ ƒ(x)∈ ƒ(A0)

⇒ ƒ-1 ƒ(x)⊆ ƒ-1(ƒ(A0))x∈ ƒ-1 ƒ(x)⊆ ƒ-1(ƒ(A0))

⇒ x∈ ƒ-1(ƒ(A0))

Suponemos que es uno a uno

y ∈ ƒ-1(ƒ(A0)) ƒ (y)∈ (ƒ(A0))⇒y∈ A0

II. ƒ(ƒ-1 (B0)) ⊂B0 Solución:

y= ƒ(ƒ-1 (B0))⇒∃ x∈ ƒ-1(B0)∍ ƒ(x)=y∃b0∈ B0 tal que ƒ(x)=b0

⇒ y=b0∈B0

IV. ƒ-1(B0⋃B1)= ƒ-1(B0)⋃ ƒ-1(B1)ƒ:A→Bƒ-1(B0⋃B1)= ƒ-1(B0∩B1)= ƒ-1(B0)∩ ƒ-1(B1 C)

= ƒ1(B0)∩= ƒ-1(B1)C = ƒ1(B0)- ƒ1(B1)

V. ƒ-1(B0∩B1)= ƒ-1(B0)∩ ƒ-1(B1)B0,B1⊆Bƒ:A→Bƒ-1(B0⋃B1)=¿ƒ1 (B0)∩ ƒ1(B1)

VIII. ƒ(A0⋃A1)= ƒ(A0)⋃ ƒ(A1)ƒ(A0⋃A1)=

Miro las leyes que tiene B0 y escribo las imágenes que tenemos en A

Una función que tenga inverso debe ser 1a1 y sobreyectiva de lo contrario no podría hallar f-1 pero si imagen inversa

Como no es uno a uno se escribe ⊆ Contenido contenido

Como es uno a uno

y∈ A0contenido

{b∈B/∃a (A0⋃A1) ,ƒ (a)=b }={b∈B⎹∃a∈ A0˅∃a∈ A1 ,ƒ(a)=b }={b∈B⎹∃a∈ A0 ,ƒ (a)=b {a }b∈B⎹∃a∈ A1 ,ƒ(a)=b }= ƒ(A0⋃ƒ¿)

IX. ƒ(A0∩ A1) ⊂ ƒ(A0)∩ ƒ(A1)ƒ(A0∩ A1) ⊆ {b∈B⎹∃a∈(A0∩ A1) ,ƒ(a)=b } ⊆{b∈B⎹∃a∈ A0 ʌ∃a∈¿ ,ƒ(a)=b } ⊆{b∈B⎹∃a∈ A0 ,ƒ (a)=b {n }b∈B⎹∃a∈ A1} ƒ (a)=b ⊆ ƒ(A0)∩ ƒ(A1)