Primer Grado

I.E.SAN ALFONSO UGARTE MATEMATICA PRIMER GRADO

TEORÍA DE CONJUNTOS

Se imaginan ustedes como llevaría el control de sus ventas el administrador de una tienda comercial, la señora que vende frutas en la esquina de una calle, el señor que vende pescado en el mercado, la señora que vende ropa en su bazar; como el cajero de un banco tendría que atender a un cliente con tanta rapidez cuando tenga que pagarle S/. 3548 240, todo ese control obedece a una manera de tener cada cosa en su respectivo lugar. Seguramente el cajero del banco tiene agrupados los billetes de S/. 200, de S/. 100, de S/. 50, de S/ 10, pequeños montoncitos de S/. 5, de S/. 2, de S/. 1, de S/. 0.50, de S/. 0.20, de S/. 0.10 para poder pagar en forma rápida y precisa el monto a un determinado cliente.

IDEA DE CONJUNTO

Entendemos por conjunto a una colección, agrupación de objetos denominados elementos del conjunto, los cuales (los elementos), pueden ser de naturaleza real o material (carpetas, libros, alumnos, etc.) y abstracta o inmaterial (puntos, rectas, ideas, etc.).

Así tenemos los ejemplos siguientes:

* Un conjunto de sillas

* Un conjunto de frutas

* Un conjunto de jugadores

Matemáticamente, la noción de conjunto, no está definida.

Analiza si los siguientes ejemplos son conjuntos o no:

1. Conjunto de los números pares menores que 20

..............................................................................................................................

2. Conjunto de los alumnos más simpáticos de 6to. Grado del colegio Lord Kelvin

..............................................................................................................................

3. Conjunto de los órganos de los sentidos

............................................................................................................................

4. Conjunto de los días más calurosos de la semana.

..............................................................................................................................

REPRESENTACIÓN DE CONJUNTOS

REPRESENTACIÓN SIMBÓLICA:

Generalmente a los conjuntos se los representa por cualquier letra mayúscula del abecedario y sus elementos se denotan por letras minúsculas. Los elementos van encerrados entre llaves, separados con comas cuando son letras y separados por punto y coma cuando son números.

Ejemplo:

a. Representar con M el conjunto de letras de la palabra “amistad”.

M = { a, m, i, s, t, d }

b. Representar con P el conjunto de números impares menores que diez.

P = { 1; 3; 5; 7; 9 }

REPRESENTACIÓN GRAFICA

Los conjuntos se representan gráficamente, haciendo uso de regiones planas, cerradas que tienen diferentes formas: ovaladas, triangulares, rectangulares, circulares, dentro de las cuales se ubican los elementos que le pertenecen al conjunto, y fuera, los elementos que no le pertenecen.

A esta representación gráfica de los conjuntos se llama diagramas de Venn, en honor al matemático John Venn, quien sistematizó su empleó.

Ejemplo 1. Representa gráficamente los siguientes conjuntos:

U = {2; 3; 5; 7; 9} ; A = {2; 5; 7; 9}

Se lee: “A es el conjunto cuyos elementos son: 2; 5; 7; 9. Además observamos:2 A ; 5 A 7 A ; 3 A

Ejemplo 2. Gráficamente representa los siguientes conjuntos:

1


A = { 1; 3; 5; 6; 8; 10 }

B = {7; 5; 3; 9; 10 }

C = {9; 8; 5; 3; 11 }

1 A 10 A B 7 A 7 B 9 B C8 B 11 C 8 A C 1 C

RELACIÓN DE PERTENENCIA:

Para indicar que un elemento pertenece a un conjunto, se escribe el símbolo y en caso contrario se escribe el símbolo . Así tenemos:

Ejemplo 1.

Si A = {1; 2; 4; 7}, entonces podemos afirmar que:

1 A “1 pertenece a A”2 A “2 pertenece a A”3 A “3 no pertenece a A”4 A “4 pertenece a A”.5 A “ 5 no pertenece a A”6 A “7 pertenece a A”

Ejemplo 2.

Si B = {a; b; c; d}, entonces podemos afirmar que:a B “a pertenece a B”b B “b pertenece a B”f B “f no pertenece a B”c B “c pertenece a B”

Ejemplo 03. Dados los conjuntos:

A = {1; 2; {3}; 4; {5; 6}; 7} y B = {0; {1}; 2; 3; {4}}

Se tiene que:

a) 1 A b) {1} B c) {3} A d) 7 A e) {7} B f) {5} A g) 6 A h) {2} B

NUMERO CARDINAL

Se denomina número cardinal al último elemento, después de contar los elementos del conjunto, es decir, se refiere al número de elementos del conjunto. Se denota de la siguiente manera:

Car (A) = n(A) = Nº de elementos de A

Ejemplo:

Determina el número cardinal siguiente conjunto:

A = { r, s, t, u, v, x, y, z}

Solución:

Analizando el conjunto A, notamos que tiene 8 elementos, porque:

{r, s, t, u, v, x, y, z} 1 2 3 4 5 6 7 8 N° cardinal de A

Por lo tanto el conjunto A indica que tiene 8 elementos, es decir:

Car(A) = n(A) = 8

NUMERO ORDINAL

Se llama número ordinal, al número natural que corresponde a cada elemento del conjunto. Así por ejemplo, si contamos los elementos del conjunto A (Ejemplo 1), de izquierda a derecha, el ordinal de los elementos será:

De “r” es 1 “r” es el 1er elemento.De “s” es 2 “s” es el 2do elemento.De “t” es 3 “t” es el 3er elemento.

DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS:

Determinar un conjunto, es indicar o señalar en forma clara y precisa, cuáles son los elementos que forman dichos conjuntos. Existen dos formas para determinar un conjunto: por extensión y por comprensión.

POR EXTENSIÓN:Un conjunto se determina por extensión cuando se indican uno por uno los elementos del conjunto. Así tenemos:

a. R = {do, re, mi, fa, sol, la, si}

b. S = {5; 7; 9}

POR COMPRENSIÓN:Un conjunto se determina por comprensión cuando se enuncia una propiedad común que caracteriza a todos los elementos del conjunto. Así tenemos:

2


a. R = {las notas musicales}

b. S = { x/x es un número impar mayor que 3 pero menor que 11}

Ejemplo 1. Determinar por extensión el conjunto:

T = { x N / 2 < x < 7 }

Se lee: T es el conjunto de los x, tal que x pertenece a N y x es mayor que 2 y menor que 7; es decir que esta formado por los números comprendidos entre 2 y 7; Así:

T = {3; 4; 5; 6 }

Ejemplo 2. Determinar por extensión el conjunto:

V = { x N / x = a +2 a < 5 }

Solución: Para determinar los elementos de V, analizamos las condiciones que presenta:

Como a es menor que 5; toma los siguientes valores: 0; 1; 2; 3; 4 Para hallar los valores de x, reemplazamos los valores de a en x = a +2; así:

Valores x = a + 2

Si a = 0 x = 0 + 2 = 2Si a = 1 x = 1 + 2 = 3Si a = 2 x = 2 + 2 = 4Si a = 3 x = 3 + 2 = 5Si a = 4 x = 4 + 2 = 6

Por lo tanto, el conjunto V está conformado de la siguiente manera:

V = { 2; 3; 4; 5; 6 }

Ejemplo 3. Determina por extensión el siguiente conjunto:

E = {n2/ 3<n<8; n N y n es par}

Solución:Como “n” debe cumplir:

3<n<8; n N y n es imparEntonces, los valores de “n” son: 4, 6

Luego el conjunto E esta conformado por los siguientes elementos:

E = {16, 36}

PRÁCTICA DE CLASE:

1. Señalar la relación de y en las siguientes afirmaciones:

A = {satélite del planeta tierra}

B = {x/x es un mes del año}

C = {0; 1; 2; 3; 4; 5}

D = {x/x es una ciudad de América del sur}

Marte .......... A Primavera ........... B

Lunes .......... B 10 ........... C

0 .......... C Miami ........... D

Buenos Aires .......... D 5 ........... C

Luna .......... A Abril ........... B

Perú .......... D Sol ........... A

2. Define por extensión:

A = {las letras de la palabra honestidad} A = { ............................................

B = {x/x es un color de la bandera del Perú} B = { ..........................................C = {X N / 7 x 18} C = { ............................................

D = {x-2 / x N y 1 x 7} D = { ...........................................

E = {x N / x + 14 = 19} E = { ............................................

3. Define por comprensión:

A = {norte, sur, este, oeste} A = { ..............................................

B = {a, m, i, g, o} B = { ..............................................

C = {naranjas, plátanos, peras, manzanas} C = { ..............................................

D = {0; 1; 2; 3; 4; 5} D = { .............................................

E = {15, 16, 17, 18} E = { .............................................

4. Halla el Car(A) + Car(B) en los siguientes conjuntos:

A = {r, s, t, u, v, x, y, z} ; B = {2; 4; 6; 8; 10; 12}

5. Determina por extensión el siguiente conjunto: E = {3x+1 / x N 2 < x < 6}

3


a) {3,4,5} b){10,12,14} c){10,13,16} d) {4,5,6} e) N.a.

6. Calcula el número de elementos del conjunto: R ={xN / x es múltiplo de 5 14<x44}

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

7. Si A = {x N / -3 < (3x-1)/3 < 4}. El número de elementos de A es igual a:

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

8. El conjunto C = { x N / 2x - 3 = 5 } es :

a) Unitario b) Vacío c) Tiene 2 elementosd)Tiene 3 elementos e) N.a.

9. ¿Cuántos de las siguientes afirmaciones son verdaderas?

I. {0} II. {} = {0}III. 0 {f} IV. {{}}

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) Todas

10. Al expresar por extensión: B = {(2x+1) / x < 8 y x N}. ¿Cuántos son de dos cifras?

a) 2 b) 3 c) 6 d) 5 e) 4

EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 01

1. En la figura adjunta ¿Cuántos puntos hay en el triángulo y cuadrado a la vez pero no en el círculo?

2. En la tabla, el conjunto A es:

3. Dado T = { 2a+1/a y 1 ≤ a ≤ 3 } La suma de todos los elementos de T es:

a) 15 b) 17 c) 12 d) N.a.

4. Si B = { x2 - 3/x ; 3 ≤ x < 6 }; entonces por extensión será:

a) {6; 13; 22; 33} b) {3; 4; 5} c) {6; 13; 22} d) N.a.

5. El conjunto M = {2; 3; 4; 5; 6; 7}, determinado por comprensión:

a) b)

c) d)

4


e) N.a.

TAREA DOMICILIARIA

1. Observa el siguiente diagrama y escribe V si la notación es verdadera y F si es falsa

1 M ( ) 10 N ( ) 9 P ( )8 M ( ) 7 M ( ) 6 N ( )2 N ( ) 11 P ( ) 5 M ( )8 N ( ) 6 P ( ) 3 N ( )

2. Observa el diagrama y escribe el símbolo o entre:

I ....................... B e .......................... C m ...................... C

o....................... A a .......................... B o ...................... B

m...................... A b .......................... A m ...................... B

3. Determina por extensión:

“A conjunto de letras de la palabra “solidaridad”“B conjunto de vocales de la palabra murciélago”C = {X N / x - 8 = 18}D = {x + 2 / x N y 1 x 4}E = {x N / x por menor que 8}F = {x2/1 x 5}G = {x N / 5 x 9}H = {múltiplos de 4 menores que 12}

4. Determina por comprensión:

“H es el conjunto de departamentos del Perú”I = {4; 5; 6; 7; 8; 9}

“J es el conjunto de los divisores de 500”“ K es el conjunto de los números naturales menores que 800”“ L es el conjunto de números pares mayores que S y menores o igual que 200”“P es el conjunto de los días de la semana”M = {0; 1; 2; 3 ....}N = {6; 8; 10; 12 ....}

5. Observa los diagramas y escribe dentro de las llaves los elementos de cada conjunto:

5


CLASES DE CONJUNTOS

De acuerdo al número de sus elementos, se clasifican en:

A. Conjunto Universal o Referencial:

Es el conjunto formado por todos los elementos del tema tratado usualmente se le denota por U y se representa mediante un rectángulo para diferenciarlo de los diagramas de los demás conjuntos.

Ejemplo:

A = {0; 2; 4; 6...} B = {1; 3; 5; 7...} U = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8...}

B. Conjunto nulo o vacío:

Es aquel conjunto que no tiene elementos o sus elementos no existen, se representa por por {}.

Ejemplo:

A = {hombre que mida 5 m de altura} == A = { } A = B = {x/x ; 5 ≤ x ≤ 6 } == B = { } B =

C. Conjunto unitario o singletón:

Es aquel conjunto que solo tiene un elemento.

Ejemplo:

M = {x/x es un país llamado Perú}N = { 5 }

D. Conjunto finito:

Es aquel conjunto en el que se pueden contar sus elementos.

Ejemplo:

R = {x/x es un punto cardinal}S = {el número de lados de un triángulo}

E. Conjunto infinito:

Es aquel conjunto en el cual no se puede terminar de contar sus elementos.

Ejemplo:

P = {x/x es un número par}Q = {los puntos de una recta}

RELACIÓN ENTRE CONJUNTOS

1. Relación de Inclusión. Se dice que un conjunto A está incluido en B, cuando todos los elementos del conjunto A, están contenidos en el conjunto B; es decir, es un subconjunto. Simbólicamente se denota: A B o también B A.

Ejemplo: Sean los conjuntos:

A = { 1; 2; 3 } ; B = {1; 2; 3; 4; 5}

Se verifica que A es subconjunto de B, es decir, que el conjunto A está contenido en B. Aplicando el Diagrama de Venn se tiene:

A B ó B A

Se lee : “A es subconjunto de B”“A está incluido en B” ó“A está contenido en B” ó“B incluye a A”“B contiene a A”

Cuando un conjunto se encuentra incluido dentro de otro se dice que ambos son conjuntos comparables.

PROPIEDADES DE LA INCLUSIÓN

La inclusión goza de las siguientes propiedades: reflexiva, conjunto vacío y transitiva.

* Reflexiva. Todo conjunto es subconjunto de sí mismo; es decir : A A

* Conjunto Vacío. Es subconjunto de cualquier conjunto; es decir: A

* Transitiva. Si un conjunto está incluido en otro, y éste en un tercero, entonces el primer conjunto está incluido en el tercer conjunto. Es decir, se cumple:

Si A B y B D A D

2. Relación de no inclusión. Esta relación se presenta, cuando un conjunto no es subconjunto de otro. Se presenta dos casos:

Cuando los dos conjuntos en referencia tienen algún elemento en común, se tiene una relación de intersección.

Ejemplo. Sean los conjuntos:

A = { a, e, o}B = {i, o, u }

6


A B

Cuando dos conjuntos en referencia no tienen ningún elemento común, reciben el nombre de conjuntos disjuntos.

Ejemplo. Sean los conjuntos:M = {4; 6; 8}

N = {5; 7; 9 }

Verificamos que M y N son conjuntos disjuntos, porque M y N no tienen ningún elemento que se repite o común.

NOTA: Para que quede claro la relación entre conjuntos, es importante definir un subconjunto.

Subconjunto. Se dice que un conjunto A es subconjunto de un conjunto B, si todo elemento de A está en B. Simbólicamente se denota : A B.

Aclarando el concepto, sabemos que: si A es un subconjunto de B, decimos que A es parte de B, que A está incluido en B, o que B contiene a A.

Ejemplo: Sean los conjuntos: A = { a, b, c, d } y B = { b , d }

En los conjuntos observamos que:

b B y b Ad B y d A

Luego los elementos b y d de B están en A, entonces B A.

Si A no es subconjunto de B, se escribe A B; se lee:A no es subconjunto de BA no es parte de BA no está incluido en B

Subconjunto Propios. Dado un conjunto A, su número de subconjuntos será:

No se considera el mismo conjunto A.

Ejemplo: Sea el conjunto A={2; 4; 6}, los subconjuntos propios de A serán:{2},{4},{6},{2;4},{2; 6},{4; 6},

No es subconjunto propio de A: {2; 4; 6}

3. Relación de Igualdad. Dos conjuntos A y B son iguales cuando tienen los mismos elementos.

Si: A = B A B B AEjemplos: M = { 1; 3; 5; 7 } y N = { 2x – 1 / x Z ,1 x < 5} M y N son dos conjuntos iguales.

4. Conjuntos Diferentes. Dos conjuntos son diferentes si uno de ellos tiene por lo menos un elemento que no tiene el otro.

Ejemplos: A = { 3; 4; 5 } y B = {3; 4; 5; 6 }6 es elemento del conjunto B, pero no es elemento A A B.

5. Conjuntos disjuntos. Dos conjuntos son disjuntos si no tienen elemento común alguno.

Ejemplos: A = { 2 ;4 ; 6; 8 } y B = { x / x es una vocal }

6. Relación de Coordinabilidad de conjuntos. Dos conjuntos son coordínables, equivalentes o equipotentes ( < >), si tienen el mismo número de elementos o el mismo cardinal.

A ={ 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10} B ={ a ; e ; i ; o ; u }

Graficando, tenemos:

7. Conjunto de Conjuntos. Es aquel conjunto, donde al menos uno de sus elementos es un conjunto a su vez. Así tenemos:

Ejemplo 1. Sean los conjuntos siguientes:a) M = { { 5; 4}, { 7}, }

Analizando el conjunto de conjuntos, observamos que:

M = { {5; 4}, {7} , }

conjunto vacío conjunto con 1 elemento

7

son coordinables


conjunto con 2 elementos

Entonces M es una familia de conjuntos.

b) N = { { 1; 2} ; {4; 3}; 9 : }

Entonces N no representa a una familia de conjuntos, pero si es un conjunto de conjuntos.

Ejemplo 2. Sean los conjuntos:

A = { 3; 4; {5 }; 1}

B = { {Ana}, {Dora, María }, {Rosa} }C = { {2; 4; 6}; {a, b, c }7 ; 8 }D = { {e, f }, {0; 1; 3}

Es importante saber que cuando todos los elementos de un conjunto, son conjuntos; recibe el nombre de familia de conjuntos. Así tenemos en el ejemplo anterior.A, B, C, D son conjuntos de conjuntosB, D son familia de conjuntos

CONJUNTO POTENCIA

Es el conjunto formado por todos los subconjuntos de un conjunto dado. El conjunto potencia de A se representa por P(A).

El número de elementos de P(A) o número de subconjuntos de A, está dado por:

donde n(A) representa el número de elementos del conjunto A.

Ejemplo 01: Sea: A = {1; 2; 3}. Hallar Los subconjuntos de A.

{1}; {2}; {3} 3 conjuntos unitarios{1;2}; {1;3}; {2;3} 3 conjuntos binarios{1; 2; 3} 1 el mismo conjunto 1 conjunto vacíoTotal 8 subconjuntos A = 23 = 8 subconjuntos

El conjunto potencia de A es:

P (A) = {{1}; {2}; {3}; {1;2}; {1;3}; {2;3}; {1;2;3}; }

Ejemplo 02:

Si: n[P(A)] = 16. Hallar n(A)

* De la definición:

Ejemplo 03:

Si: n[P(A)] = 64 ; n[P(B)] = 32 ; n[P(A B)] = 8.Hallar; n[A B]

* Aplicamos la definición en cada caso:

* Ahora graficamos y colocamos los cardinales obtenidos.

* Ahora calculamos lo que nos piden: n(AB) = 3 + 3 + 2 = 8

PRÁCTICA DE CLASE:

1. Indica con U si el conjunto es unitario y con V si es vacío.

A = {x / x: 2 = 3} .........................................................................................

B = {x / 4 < x < 5} .....................................................................................

8


C = {x / x- 2 = 2} .........................................................................................

D = { meses del año cuyos nombres comienzan con E} .......................................

E = {x/x es un virrey actual del Perú} ...................................................................

2. Escribe 2 ejemplos de conjuntos finitos.

..............................................................................................................................

..............................................................................................................................

3. Escribe 2 ejemplos de conjuntos iguales.

..............................................................................................................................

..............................................................................................................................

4. Escribe 2 ejemplos de conjuntos infinitos.

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

5. Según el diagrama completa:

Escribe , , , ¢ según convenga:

A ........... U B ......... U 9 ........... A 6 ............. D D ........... U

5 ........... U D ......... A 4 ........... A 6 ............. B D ........... B

7 ........... D 10 ........ A 8 ........... A 6 ............. U B ........... A

6. Escribe el conjunto potencia que le corresponde a cada uno de estos conjuntos:

A = {1; 3 } ..........................................................................................................

B = {m; n; s } ......................................................................................................

C = {a; e; i; o; u} .................................................................................................

D = {15 } ............................................................................................................7. La unión de dos conjuntos A y B tienen 126 subconjuntos más que su intersección que es un

conjunto unitario.¿Cuántos elementos tiene el conjunto A, si (B – A) tiene dos subconjuntos?

a) 3b) 4 c) 6 d) 5 e) 2

8. Dados los conjuntos:

U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} ; A = {x/ x N 1 x 6};B = {x + 1/x N 0 x 4} y C = {1; 2; 6}

Hallar: n[P(A)] + n(B) – n[P(C)]

a) 28 b) 16 c) 32 d) 24 e) N.a.9. ¿Cuántos subconjuntos propios tiene W?. W = {{3; 4}; {5; 6}; 0}

a) 3b) 4 c) 7 d) 8 e) 910. Si el conjunto A tiene 2 elementos, ¿Cuántos subconjuntos propios tiene P(A)?

a) 3b) 4 c) 7 d) 8 e) 15


1. Si E = {x / 6 < x < 7} y F = { x / x < 5 y x es múltiplo de 5}, entonces:

a) E es unitario c) E y F son unitariosb) Sólo F es vacío d) E y F son nulos

9


2. Si C = {x / x-2 < 4} y D = { x / x+3 = 10} entonces la suma de todos los elementos de C con los elementos de D es:

a) 20 b) 21 c) 22 d) N.a

3. Dado el diagrama: y las proposiciones:

Decir cuales son verdaderas:

a) sólo I b) I y II c) sólo II d) N.a.

4. Si A = {4x/x ; 3 ≤ x < 6 } entonces por extensión será:

a) {12; 16; 20} b) {3; 4; 5} c) {4; 4; 4} d) N.a.

5. Si el siguiente conjunto es unitario. Hallar los valores de b y a ; dar como respuesta su diferencia A = {a + b; b + 4; 11}

a) 7 b) 4 c) 11 d) 3

6. Dados los conjuntos: A = B = {0} C = {}; Indique lo correcto

a) A = B b) n (B) = 0 c) B = C d) n (B) = n (C)

7. Si P = {3a - 3b + 2, a+b, 14} es un conjunto unitario. Hallar el valor de: (2a-5b)

a) 7 b) 5 c) –7 d) NA

8. Si S= {x2/ x Z, x+1 < 2x+4 < x+7}. ¿ Cuántos subconjuntos tiene S?

a) 64 b) 16 c) 32 d) NA

9. ¿Cuántos subconjuntos tiene el siguiente conjunto? A = {x2/x Z ; -9 < 2x - 1 < 11}

a) 512 b) 128 c) 1024 d) NA

10. Si el conjunto A es unitario: A = {5x+3y+5; 2x+7y+12}. Hallar: 9x – 12y.

a) 21 b) 22 c) 23 d) NATAREA DOMICILIARIA

1. Completa:

Un conjunto es unitario porque tiene ........................................................................

Un conjunto es vacío porque tiene .......................................................................

Un conjunto es unitario porque tiene .......................................................................

Un conjunto es finito porque tiene .......................................................................

Dos conjuntos son iguales porque tienen ..........................................................

Dos conjuntos son desiguales porque ........................................................................

2. Según el diagrama escribe , , , :

A ........... U B ......... U 9 ........... A 6 ............. D D ........... U

5 ........... U D ......... A 4 ........... A 6 ............. B D ........... B

7 ........... D 10 ........ A 8 ........... A 6 ............. U B ........... A

3. Escribe el conjunto potencia que le corresponde a cada uno de estos conjuntos:

M = { 19 } ...............................................................................................................

S = { 5; 6; 7 } .........................................................................................................

T = {m; n; p; r } ......................................................................................................

4. Dado el conjunto B = {x/x ; 0 < x ≤ s } . Hallar n[ P(B) ]

OPERACIONES CON CONJUNTOS

1. UNIÓN O REUNIÓN: La operación de reunión entre los conjuntos A y B, son todos los elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B.La operación de Reunión tiene como símbolo:

Simbólicamente se denotaría así: A B = {x/ x A ó x B}Y gráficamente así:

10


Ejemplo: Dado los conjuntos: A = {2; 3; 5} y B = {1; 2; 4; 6}, hallar:

a) A B b) B A c) A A d) B BSolución:

a) A B = {1; 2; 3; 4; 5; 6}Gráficamente:

b) B A = {1; 2; 3; 4; 5; 6}

Gráficamente:

c) A U A = {2, 3, 4}Gráficamente:

2. INTERSECCIÓN: La intersección entre los conjuntos A y B, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen tanto al conjunto A como al conjunto B; es decir; formado por los elementos comunes.

Simbólicamente se denotaría así: A N = {x/ x A x B}

Y gráficamente así:

Ejemplo: Dados los conjuntos:A ={x / x N 2 < x < 6}; B = {x /x Z -2 < x < 3} y C ={ x + 2 / x Z -5< x < 3}

Hallar:

a) A B b) B C c) A C d) A B C

Solución:

Nota: Para desarrollar cualquier ejercicio sobre conjuntos, primeramente se debe tener el conjunto determinado por extensión.

Primero: Determinando por extensión los conjuntos A; B y C, tenemos:

A = {3;4;5}; B = {-1;0;1;2}; C = { -2;-1;0;1;2;3;4}

Segundo: Hallando las operaciones solicitadas:

a) A B = { } b) B C = { -1; 0; 1; 2}

c) Hágalo Ud. d) Hágalo Ud.

....................................................... .......................................................3. DIFERENCIA: La diferencia del conjunto A menos el conjunto B, es el conjunto formado por

los elementos del conjunto A que no pertenecen al conjunto B; es decir, es el conjunto formado los elementos que sólo pertenecen al conjunto A.

Simbólicamente se denota así: A – B = { x / x A x B}


11


Ejemplo: Dados los conjuntos

A = {x/ x N x < 5}, B = { x-2/ x Z -1 < x < 3} y C ={2x-3 / x Z -1 < x < 4}

Hallar:

a) A – B b) B - C c) C – B d) A – C

Solución:

Primero: Determinamos los conjuntos A, B y C; por extensión: (hágalo Ud.)

A = {...........................................................................................}

B = {...........................................................................................}

C = {...........................................................................................}Segundo: Hallamos las operaciones que se nos solicitan. (Debe hacerlo Ud.)

a) b)

c) d)4. DIFERENCIA SIMÉTRICA: La diferencia simétrica entre los conjuntos A y B, es el conjunto

formado por los elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B; pero no a ambos, y tiene como símbolo:

Simbólicamente se representa así: A B = { x / x [(A B) – ( A B ) ] }

También puede representarse así: A B = { x / x [(A – B) (B – A ) ]


Ejemplo: Dado los conjuntos:

A = {x + 3 / x N 2 x < 6}B = {2x – 1 / x N 2 x 6}C = {x (x – 1) / x N 2 x 5}Hallar: a) A B b) A C c) (A U B) C

Solución:

Primero: Determinar cada conjunto por extensión:Hallando lo solicitado.

A = {5, 6; 7; 8}B = {3; 5; 7; 9, 11}C = {2; 6; 12; 20}

a) A B = {......................................................}

b) A C = {......................................................}

c) A B = {......................................................}Luego:(A B) C = { ......................................................}

5. COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO RESPECTO A UN CONJUNTO UNIVERSAL O DE REFERENCIA: El complemento de un conjunto A, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto universal; pero no pertenecen al conjunto A; es decir, los elementos sólo pertenecen al conjunto U.

Su símbolo es: A; ; ; CA.

Simbólicamente sería así: A = {x / x x A}Gráficamente es:

12


Ejemplo: Dado los conjuntos:

U = Universal = { x N / x < 10}A = { x B / B = <3; 7] }C = { x2 – 3 / x N 2 x 3 }Hallar:

a) A b) CB c) (A B) d) [ (A B) – C ]

Solución:Determinar por extensión los conjuntos:U = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} A = {4; 5; 6; 7}B = {4; 5; 6; 7} C = {1; 6}

Hallando lo solicitado:

a) A = {0; 1; 2; 8; 9}b) CB = B = {0; 1; 2; 8; 9}c) (A B)

1° A B = {4; 5; 6; 7}2° (A B) = {0; 1; 2; 3; 8; 9}

d) [(A B) – C] 1° A B = {4; 5; 6; 7}2° (A B) – C = {4; 5; 7}

Finalmente:

[ ( A B ) – C ] = {.....................................................................}

PRÁCTICA DE CLASE

1. Dado el diagrama, Determina la unión de:

A U C = { ..........................................................

C U D = { ..........................................................

B U A = { ..........................................................

B U C U D = { ...................................................

(C U D) U B = { ................................................

A U B U D = { ...................................................

2. Dado el diagrama adjunto, escribe el conjunto intersección de:

A B= { .........................................

B C= { .........................................

C D= { .........................................

A D= { .........................................

B D= { .........................................

A B C= { .................................

3. Dados los conjuntos E = {x+2 / x y 2 < x < 6 }; F = {x / x 3} ; G = {x / 3 < x < 7} ; H = {3, 6}

Efectúa y construye los diagramas de: E U F, G U H , (G H) U F

4. Dado los conjuntos : A = {x / N / 2 < x ≤ 5 } B = {x / / 2x+3; 1 ≤ x < 4}C = { x + 1 / x / y 2 < x < 6 } , Determina y construye su diagrama de:

A B A C B C

5. Dado los conjuntos : R = { 4; 7; 10 } S = { a,b,c } T = { 8; 9; 10 } Q = { 7 }Escribe V o F según corresponda:

R Q = { 7 } ...…….. ( ) R T = { 10 } .......... ( )

13


S T = {a,b} .…....... ( ) Q T = {7,8,9,10 } .......... ( )

Q S = { } ……….. ( ) S R = { } ……… ( )

6. Dados los conjuntos: M = {2; 4; 6; 8} N = {6; 8; 10} R = {3; 5} S = {2; 4} Determine y grafique:

a) M – S b) M – N c) (R – M) N

7. Dado los conjuntos A = {a, b, c, d} B = {c, d, e, f} C = {b, c} D = { g }Determine y construya el diagrama:

a) A B b) D C c) (A B) - C

8. Sean:P = {x / 12 ≤ x < 25 ; x es múltiplo de 3 }

Q = {x / 20 ≤ x < 32 ; x es múltiplo de 6 } . Determinar y graficar P Q

9. ¿Qué relación dada entre conjuntos, identifica a la zona achurada?

a) [ (A B) – (B C) ] [ C – (A B) ] b) [ (A B) – C] ( C – A )c) [ (A B) – C] ( C – B ) d) [ C - (A B) ] [ (A B) – C ]

10. P, S, T, son conjuntos no vacíos. ¿Cuál operación corresponde a la parte sombreada del diagrama?

a) ( P – S ) – T b) ( P S ) T c) ( S T ) – ( S P )d) ( P S ) – ( S T ) e) ( P S ) T

14


EJERCICIOS PROPUESTOS N º 03

I. Indicar la expresión que representa a las zonas sombreadas en cada diagrama:

1.

a) P U S c) P S

b) S - P d) N. a.

2.

a) (A U B) (B U C) c) (A B) U (BUC)

b) (A U B) U (B C) d) (A B) U (B C)

3. Del siguiente diagrama. Hallar “(A - B) U (B - C)”

a) {1; 2; 4; 6} c) {1; 2; 3; 5}

b) {2; 3; 4; 5; 6} d) N. a.

4. Del siguiente diagrama hallar (B U C)’ - (A D)’

a) {1; 5}

b) {1; 4; 5}

c) { 4 }

d) N.a.

Dados:

5. Efectuar ( N U R ) es :

6. R U (L N) es:

15


TAREA DOMICILIARIA

1. Sean los conjuntos:A = {1; 2; 3; 4} B = {3; 4; 5} C = {4; 5} D = {6; 7; 8} E = {3; 4}

Halla y construye el diagrama de:A U B; B U C; C U D; A U E; B U D; A U E U C

2. Dado el diagrama. Hallar la unión de:

A = { ..........................................................

B = { ..........................................................

C = { ..........................................................

A U B = { ..........................} A B = {........................}

B U C = { ..........................} B C = {........................}

A U B U C={ ........................} A B

C={.........................}

3. Dados los conjuntos: M = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} A = {x/x es un número no menor que 9 pero menor que 1} B = {1; 2; 3; 4}

Determina y construye su diagrama:

a) A B b) A U B c) A – B d) B – A

e) A B f) M A g) M B h) A – M

i ) M A j) M B

4. Sean los conjuntos U = {2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18; 20}A = {1; 3; 5} B = {10; 12; 14} C = { 2; 20}Determine y construya su diagrama:

a) B’ b) C’ c) A B d) A - C

5. Dados los conjuntos A = {2; 3; 7; 9} B = {2; 5; 7; 8} C = {3; 4; 5; 7}Determine:

a) A U B U C b) A B C c) (A B) U C

d) (A – B) C e) A C f) (A B) C

6. Con el siguiente diagrama sombrear las siguientes operaciones:

a) (A B) – C

b) (A C) U B

c) (B – C ) U A

7. Con el siguiente diagrama sombrear las siguientes operaciones:

a) (A’ A B’) C

b) (A B)’

c) (A B A)’

PROBLEMAS CON CONJUNTOS

Para resolver problemas entre conjuntos, es necesario conocer otros elementos básicos de matemática tales como: Adición y sustracción de expresiones algebraicas, porque muchas veces necesitamos trabajar con datos donde se utilizan variables (letras) y resolución de ecuaciones, porque una veces para resolver el problema se establecen ecuaciones de primer grado tanto con una, como con dos incógnitas. Para no tener dificultades, en esta sesión repasaremos estos elementos.

A continuación se presenta algunos ejercicios para recordar estos elementos básicos mencionados:

I. Efectuar:

1) 4x - (4 + x) = ...............................................

2) 20 + 5x - (10 - 4x) = ...............................................

3) 40 - (8 + 10-x + 12-x) = ...............................................

4) 100 - (x +12- a - b + 28 - a - c+30 - b – c = ...............................................

5) a- (12 - a) = ...............................................

6) 120 - (80 - x) = ...............................................

7) 1000 - (x - 20) = ...............................................

8) 120 - 2a - 2b - (2a - b) = ...............................................

II. Hallar los valores de las variables en cada ecuación:

A)1) x + 3 = 5 2) 2x - 10 = 20 3) (x + 3)/2 = 4

B)1) x + 1/2 = 5/2 2) 3x + 2 - x = 12 3) (12- a-b)+(18 - a - b) = 42

16


Ejemplos:

1. En una fábrica de 200 obreros 45 compran “El Comercio”, 53 “La República” y 17 los dos primeros. ¡Cuántos compran “El Comercio” solamente?

Total = 200Comercio = 45República = 53Los dos primeros 17

Rpta.: 28 obreros compran solamente “El Comercio”

2. De la pregunta ( 1 ) . ¿Cuántos compran periódico?

...................................................................................................................................

3. De la pregunta ( 1 ) . ¿Cuántos compran sólo “La República”?

...................................................................................................................................

4. De la pregunta ( 1 ) . ¿Cuántos no compran periódico?

..................................................................................................................................

5. De 30 alumnos 18 practican fútbol y 16 básquet. ¿Cuántos practican los dos deportes?

Total = 30 18 – x + x + 16 – x = 30

Fútbol = 18 34 – x = 30

Básquet = 16 – x = 30 – 34

F ∩ B = ? – x = 4

x = 4

Rpta.: 4 alumnos practican los dos deportes

6. En una encuesta realizada en el CEPUNT a 150 alumnas con relación a preferencias arrojó lo siguiente: 80 prefieren perfumes, 70 prefieren las flores, 50 prefieren las joyas y sólo a 10 los tres regalos. ¿Cuántos prefieren las flores pero no las joyas ni los perfumes?Solución:

Primero: P = prefieren perfumesF = Prefieren las floresJ = Prefieren las joyas

n(U) =150 ; n(P) =80 ; n(F) =70n(J) =50 ; n(P I) = 20 ; n(F J) = 30n( P J) = 25 ; n(P F J) = 10

Segundo:

Tercero: Ahora tú coloca en el diagrama los datos.

Rpta: ......................................................................

PRÁCTICA DE CLASE

1. En un salón de 34 alumnos, 18 tienen chompa, 7 chompa y casaca. ¿Cuántos tienen casaca?

2. En un restaurante donde asisten 40 personas, 19 toman solo café, 10 café y té, el resto solo té ¿Cuántos toman té?

17


3. Un conjunto R tiene 40 elementos y otro conjunto S, 32 elementos. Si entre los dos tienen 58. ¿Cuántos elementos están en los dos conjuntos?

4. De los 50 alumnos de una aula30 tienen libro de razonamiento Matemático27 tienen libro de razonamiento Verbal5 no tienen ninguno de estos libros¿Cuántos alumnos tienen solamente libro de razonamiento Matemático?

5. En una reunión de deportistas:8 practican fútbol y natación6 no practican estos deportes32 practican solamente natación23 practican fútbol¿Cuántos deportistas habían en la reunión?

6. En el aula del 6to grado hay 48 alumnos: 26 gustan del arte y 28 del deporte. Si 12 gustan de cine y deporte. ¿Cuántos alumnos no gusten de ninguno?

7. De 60 personas: 38 conocen el Cuzco, 34 conocen Tacna y 16 ambas ciudades. ¿Cuántas personas no conocen ninguna de estas dos ciudades?

8. Se encuestó a 120 alumnas sobre sus preferencias por el vóley o la natación; se obtuvo los siguientes resultados:- A la cuarta parte no le gusta el vóley ni la natación- A la mitad les gusta natación- A los 5/12 les gusta el vóleyResponde:a) ¿A cuántas alumnas les gusta el vóley y la natación?b) ¿A cuántas alumnas les gusta solamente el vóley?c) ¿A cuántas alumnas les gusta solamente la natación?

9. En un aula de 50 alumnos; aprueban 30 de ellos, física 30; castellano 35, matemática y física 18; física y castellano 19, matemática y castellano 20; y 10 alumnos aprueban los tres cursos. Se deduce que:

a) 2 alumnos no aprueban ninguno de los 3 cursosb) 8 aprueban matemática y castellano pero no físicac) 2 aprueban matemática, pero no aprueban física ni castellano.d) 6 aprueban matemática y física pero no castellano

10. En una escuela de 135 alumnos, 90 practican fútbol, 55 básquetbol y 75 natación. Si 20 alumnos practican los tres deportes y 10 no practican ninguno. ¿Cuántos alumnos practican un deporte y sólo uno?

a) 50 b) 55 c) 60 d) 70 e) 6518


EJERCICIOS PROPUESTOS N º 04 1. En una fiesta donde había 100 personas: 65 bailaban la salsa; 60 personas bailaban el rock.

¿Cuántas personas no bailaban el rock?

a) 40 b) 25 c) 35 d) N.a.

2. De un grupo de 200 consumidores de “pollos a la brasa” a 120 no les gusta la mostaza, a 130 no les gusta el ketchup; a 80 no les gusta ni la mostaza ni el ketchup. ¿A cuántas personas les gusta ambas salsas?

a) 10 b) 20 c) 30 d) N.a.

3. De un grupo de 48 alumnos; a 24 les gusta el helado de vainilla, a 21 de chocolate y a 8 ninguno de los dos sabores. ¿A cuántas les gusta los dos sabores?

a) 8 b) 5 c) 6 d) N.a.

4. De 75 alumnos: los 3/5 usan reloj; 1/3 de los alumnos sólo usa anteojos; los 2/5 usa anteojos y reloj. ¿Cuántas no usan anteojos ni reloj?

a) 5 b) 3 c) 4 d) N.a.

5. Un club consta de 78 personas, de ellos 50 juegan fútbol, 32 básquet y 23 voley, 6 figuran en los tres deportes y 10 no practican deporte alguno. Entonces, cuántas personas practican un solo deporte?

a) 57 b) 42 c) 35 d) 24e) N.a.

TAREA DOMICILIARIA

1. En un grupo de 60 jóvenes, 40 estudian Lenguaje, 23 Matemática y 11 los dos cursos. ¿Cuántos no estudian ninguno de los dos cursos?

2. De 300 alumnos que salen al recreo: 90 bebieron Inca Kola, 60 bebieron Coca Cola y 10 bebieron ambas bebidas.¿Cuántos alumnos bebieron sólo una de estas bebidas?

3. De 60 alumnos, 40 juegan fútbol, 36 juegan vóley. ¿Cuántos alumnos practican los dos deportes?

4. De 12 profesores, 8 enseñan en 5to grado y 7 en 6to grado. ¿Cuántos enseñan en los dos grados?

5. Juan consume en el mes de mayo: 18 días mermelada y 7 días mermelada y jugo. ¿Cuántos días consume jugo?

6. En el mes de abril, la señorita Carolina almorzó: cada 18 días y ensalada 20 días. ¿Cuántos días almorzó caldo y ensalada?

7. De un grupo de 30 niños, 10 estudian computación y arte y 25 estudian arte. ¿Cuántos estudian un solo curso?

8. Veintidós camiones transportan sandías y papayas. Si 16 camiones transportan sandías y 4 transportan sandías y papayas. ¿Cuántos camiones transportan papayas?

9. En el IST “Williams Thompson” se requiere que los estudiantes del último ciclo de contabilidad cursen matemática, contabilidad o economía. Si se sabe que de 610 estudiantes, 400 cursan

matemática, 300 contabilidad, 250 economía, 240 economía y matemática, 90 contabilidad y matemática y 50 contabilidad y economía. ¿Cuántos alumnos cursan las 3 materias?

10. Cuántos de los 200 alumnos de la Universidad Nacional de Trujillo están matriculados en Complemento matemático, pero no en física I. Sabiendo que: 105 están inscritos en Complemento matemático, 75 en física, 65 en Complemento matemático y matemática I, 35 en física y complemento matemático, 30 en matemática I y física, 115 en matemática I y 20 llevan las tres asignaturas.

PRODUCTO CARTESIANO

A. Par ordenado. Un par ordenado es un ente matemático formado por dos elementos “a” y “b”, con un orden establecido y que se denota así:

(a; b) Donde: a, se denomina primera componente b, segunda componente.

PROPIEDADES:

1°) (a;b) (b;a), a b2°) (a;b) = (c;d) a = c b = d

Ejemplo 1:

Los pares ordenados (3a + b ; 17) y (11; a + 3b)

son iguales, hallar “ab”

(3a + b ; 17 ) = (11 ; a + 3b ) 3a + b = 11 a + 3b = 17

resolviendo: a = 2 y b = 5 por lo tanto, ab = 10

REPRESENTACIÓN GRAFICA EN EL PLANO CARTESIANO

Sobre el plano de la hoja de papel, tomemos dos rectas numéricas mutuamente perpendiculares y que coincidan en el “0”.Generalmente una de las rectas que se toman es horizontal a la cual se le llama eje abscisas o eje x y la otra (lógicamente vertical) se le llama eje de ordenadas o eje y este es el plano cartesiano y en él, un par ordenado se representa mediante un único punto y recíprocamente, a cada punto de ese plano se le asigna un único, par ordenado. Así:

NOTA: Si dos pares ordenados representa un mismo punto en el plano cartesiano, entonces dichos pares son iguales.

B. Producto cartesiano de dos conjuntos.

19


Aprende:

A = {1; 2; 3} B = {a, b}

A x B = {(1,a); (1,b); (2,a); (2,b); (3,a); (3,b)}

Observan(A) = 3 elementos 3 x 2 = 6 pares ordenadosn(B) = 2 elementos

Simbólicamente tendremos: n(AxB) = n(A) x n(B)

RAZONO .....

Karina y Sofía deciden ir de viaje y no deciden qué medio de transporte utilizar: por avión, barco y ómnibus. ¿Cuántas posibilidades tienen?

Tienen ...................... posibilidad

PRÁCTICA DE CLASE

1. Dados A = {x / x ≤ 3 } B = {x + 2/x y 2 ≤ x ≤ 5 } C = { a, e }Efectúa y construye los tres gráficos:

a) A x B = { .................................................................................................

Diagrama de flechas Diagrama Cartesiano Tabla de doble entrada

b) B x C = { …………………………………………………………………………..

c) C x C = { …………………………………………………………………………….

20


2. Dados los conjuntos: M = {1; 3; 5} N = {2; 4; 6; 8} R = {10; 12} . Hallar:

n (M x N) = .................................. n (M x M) = .....................................

n (N x R) = ................................... n (N x N) = .....................................

n (M x R) = ................................... n (R x R) = .....................................

3. Dada la igualdad de pares ordenados: ( a + b ; 5 ) = ( 9 ; a – b ). Hallar el valor de : 2a – b

a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

4. Los pares ordenados (3x - 5; 1 + 2y) y (7 – x ; 7x - 8y) son iguales, entonces el valor de x es :

a) 6 b) 3 c) 2 d) 12 e) N.a.5. Los pares ordenados (3x - 5; 1 + 2y) y (7 – x ; 7x - 8y) son iguales, entonces el valor de y

es :

a) 6 b) 3 c) 2 d) 12 e) N.a.

6. Los pares ordenados: (a + 2b + 1; b) y (a – 9; a + 5) son iguales, entonces (a; b) está ubicado en

a) el primer cuadrante b) el segundo cuadrante c) el tercer cuadranted) el cuarto cuadrante e) en el eje “x”

7. Siendo los conjuntos: A = {x R / - 2 x 8}; B = {x R / - 5 x 6}; C = {x A / x Z};

D = {x B / x N}

a) n(AxB) = 120 b) n(AxB) = 99 c) n(CxD) = 120d) n(CxD) = 60 e) n(CxD) = 70

8. Dados: A = {a}, B = {b}, C ={a,1} y D = {b,2}, verificar:

a) A x B B x A

b) (A x B) (C x D)

c) A x (B C) = (A x B) (A x C)

d) A x (B C) = (A x B) (A x C)

e) A x (B – C) = (A x B) – (A x C)

EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 05 21


1. Si A = {3; 4; 5; 6} B = {4; 6; 8; 10} C = {c, d, e, f} ¿Cuántos pares ordenados tiene (A ∩ B) x C?

a) 10 b) 6 c) 8 d) N. a.

2. Hallar la suma de todos los números formados por 1 y 4:

a) 110 b) 41 c) 111 d) N. a.

3. ¿Cuánto es la suma de todos los números de dos cifras formados con 2; 3 y 0?

a) 196 b) 165 c) 156 d) N. a.

4. Dados A = {1; 2} B = {2; 3} ¿Cuáles son los números de dos cifras que se pueden formar?

a) 12; 13; 22; 23 b) 21; 31; 22; 23 c) 22; 23; 21; 33 d) N. a.

5. Sabiendo que A x B = {(2; 3); (2; 4); (3; 3); (3; 4)}. Hallar A – B

a) { 4 } b) { 2; 3 } c) { 2 } d) N.a.

TAREA DOMICILIARIA

1. Dados los conjuntos C = {x / 1 ≤ x ≤ 3 } D = {x / 6 < x ≤ 10 }E = { x+1 / x y x < 2} F = { x / x ≤ 10; es múltiplo de 5 }.Efectúa y construye las tres gráficas de:

C x D D x E F x C

C x E D x F E x C

C x F D x C F x FRELACIÓN BINARIA

En nuestro lenguaje cotidiano, es frecuente el uso de las frases tales como: “depende de”, “familia con”, “tan bueno como”, “es mayor que”, “es igual a”, etc., es decir, son frasees que significan nexo, enlace, correspondencia, etc. entre dos objetos. Así tenemos:

César es padre de Diego,Sofía es más alta que Juana,25 es menor que 28,13 es igual a 8 + 5, etc.

En el lenguaje matemático, estas frases nos sugieren la idea de “Relación” siempre que se refieran a uno o dos conjuntos donde es posible establecer vínculos entre sus elementos mediante pares ordenados que cumplan un criterio o condición.

Definición: Dado el producto cartesiano AxB, una relación R de A en B es cualquier subconjunto de AxB R es una relación de A en B R AxB

Notación : Una relación de este tipo se llama relación binaria y suele denotarse así

R : A B

Y se lee: “relación R que se aplica de A hacia B”. Recuerde que A es el conjunto de partida y B es el conjunto de llegada.

En toda relación binaria hay:a) Un conjunto de partida. d) Dominio (primeros componentes de pares ordenadosb) Un conjunto de llegada e) Rango (segundos componentes)c) Una regla de correspondencia

Ejemplo: Dados los conjuntos: A = {1; 2; 3} y B = {2; 4}. Hallar la Relación definida por “a es menor que b”.

Solución:

a) A x B = {(1; 2); (1; 4); (2; 2); (2; 4); (3; 2); (3; 4)}

b) R = {(1; 2); (1; 4); (2; 4); (3; 4)}c) Un conjunto departida es:

A = {1; 2; 3}

d) El conjunto de llegada es:B = {2; 4}

e) El dominio de la relación es:DR = {1; 2; 3}

f) El rango de la relación es:RR = {2; 4}

g) Su gráfica es:

22


FUNCIÓN

Una función es un conjunto de pares ordenados, es decir una relación pero con una caracteristica especial: al tomar dos pares cualesquiera de aquella, esto no tiende la misma primera componente lo cual significa que si todos los pares de la función son distintos entre sí su primera componente son todas distintas.

Definición: Dada la relación F: A B, se dice que es una función si sólo si para cada x A, existe a lo más un y B que le corresponde a travez de F.

Ejemplo 1: En cada caso, reconocer si l conjunto de pares dados es una función:

F = {(1;2),(2;5),(3;1),(4;3),(5;1),(6;4)} ............ si es función

G = {(1;6),(2;6),(3;6),(4;6)} ......................... si es función

H = {(2;2),(3;1),(4;2),(2;5),(5;3)} ................ no es función

Ejemplo 2: De los siguientes diagramas sagitales, reconocer si es o mo una función:

PROPIEDAD

Dado un conjunto de pares ordenados F, donde (a;b) y (a;c) son de ellos:

F es una función b = c

Ejemplo 3: Calcular m y n para que el conjunto:

F ={(2 ; 9),(3 ; 11),(4 ; m+2),(3 ; 2m+n),(4 ; 4)}

sea una función.

Para que F sea una función, se debe cumplir que:

(3;11) y (3;2m+n) F 11 = 2m + n ..(1) (4;m+2n) y (4;4) F m + 2n = 4 .......(2)

Resolviendo (1) y (2): m = 6 ; n = -1

Ejemplo 4: Calcular a y b sabiendo que el conjunto sea una función:

G= {(5 ; 11),(8 ; 27),(13 ; 7),(8 ; 2m+n),(10 ; 20),(13 ; 2m-n)}

Solución:

DOMINICO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN

La definición del dominio y el rango de una función es análoga al caso de una relación

Ejemplo 5: Para la función : F={(3 ; 2),(1 ; 0),(2 ; 0),(0 ;1 ),(4 ; 2)}

Dom(F) ={3 , 1 ; 2 ; 0 ; 4}={0; 1; 2; 3; 4}

Ran(F) = {2 ; 0 ; 0; 1; 2} = {0 ; 1 ; 2}

y para la función : G = {(1 ; 4),(2 ; 4),(3 ; 4),(4 ; 4),(5 ; 4)}

Dom(G) ={1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5} y Ran(G) = { 4 }

EVALUACION DE UNA FUNCION

Dada una función: y = F(x) ; x Dom(F).

Para x = a (a Dom(F) se dice que y = F(a) es un valor de la función y ademas el par (a ; F (a) ) es un elemento de F.

Ejemplo 6: Considerando la función del ejemplo 35:

F = {(3; 2)(1; 0)(2; 0)(0; 1)(4; 2)}

Supongamos la existencia de una regla de correspondencia: y = F, entonces este conjunto se puede colocar así:

F ={(3 ; F(3)),(1 ; F(1) ),(2 ; F(2)),(0 ; F(0)),(4 ; F(4))

Con lo cual:

F(3) = 2, F(1) = 0, F(2) = 0, F(0) = 1, F(4) = 2}

Observese que todos estos valores forman el rango de la función F.

REPRESENTACION GRAFICA DE UNA FUNCION

Ya sabemos que la grafica cartesiana de una relación puede ser un trazo continuo o discontinuo, abierto o cerrado, o talvez una región o porción del plano.

Para una función, su gráfica solo puede ser un trazo (continuo o discontinuo) abierto, que en algunos casos se denomina curva.

Ejemplo 7: Para la función :

F( x ) = 3x – 2 ; x < - 4 ; 5]

Su gráfica, como se verá más adelante, es:

23


PROPIEDADES: En el plano cartesiano, una curva corresponde a la gráfica de una función sí sólo si cualquier línea vertical intersecta dicha gráfica a lo más en un punto.

Ejemplo 8: Reconocer en cada caso si la gráfica corresponde a uan función:

PRÁCTICA DE CLASE

1. Sean los conjuntos: A = {Trujillo, Huaraz, Chiclayo} B = {Ancash, La Libertad, Lambayeque, Piura} con una relación definida por “a es la capital de b”. Hallar:

a) La relación:

………………………………………..

b) Conjunto de Partida: c) Conjunto de llegada:

…………………………………… ………………………………..

d) El dominio e) El rango:

……………………………………….. …………………………………..........

f) Diagrama sagital

2. Sean los conjuntos: D = {6; 7; 8} y E = {2; 3; 4} con R definida por “a es múltiplo de b”. Hallar

a) D x E

……………………………………………………………………………………………

b) La Relación:

....…………………………………………………………………………………………

c) El conjunto de partida: d) El conjunto de llegada:

…………………………………… ..........................................................

e) El Dominio: f) El Rango:

………………………………………… ………………………………………

g) Diagrama Sagital: h) Diagrama Cartesiano:

3. Dados los conjuntos A = {1; 3; 5} y B = {2; 4; 6} con R definido por “a + b = 7”. Hallar:

a) La Relación:

………………………………………… ……………………………………….

b) El conjunto de llegada c)El conjunto de partida:

.....………………………..…………… …………………….....………………

d) El Dominio e)El Rango:

…..........…………………….………… …………………......………………..

f) Diagrama Sagital g)Diagrama Cartesiano:24


4. Sea A = {a, b, c} y la relación en A definida por “a = b”. Hallar:

a) A x A

b) La Relación:

.....………………………………………………………………………………………..

c) El conjunto de partida d) El conjunto de llegada:

…………………………………….. ......……………………………………

e) El Dominio f) El Rango:

….....………………………........… …………………………...………..…

g) Diagrama Sagital h) Diagrama Cartesiano:

5. Sea C = {5; 8; 10} y la relación en C definido por “a divisible b”. Hallar:

a) C x C

b) La Relación:

……………………………………………………………………………………………

c) El conjunto de partida d) El conjunto de llegada:

…………………………………...... ….....................……………………..

e) El Dominio f) El Rango:

……………………………………….. .....…………………………………..

g) Diagrama Sagital h) Diagrama Cartesiano:

6. Hallar la suma de los elementos del dominio de la siguiente relación:

R = {(1;3), (-2; 4), (3; 4), (7; -8), (6; 3)}

a) 15 b) 17 c) 6 d) 7 e) NA

7. Hallar la suma de los elementos del rango de la siguiente relación:

R = {(1;3), (-2; 4), (3; 4), (7; -8), (6; 3)}

a) 15 b) 17 c) 6 d) 7 e) NA

8 Dado el conjunto A = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8} , R A x A ; (a ; b) R a es divisor de b. Hallar n(R).

a) 10 b) 20 c) 15 d) 25 e) 30


25


1. Sea R la relación de: A = {2, 4, 6, 8}en B = {3,5,7} ; definida por: (a ; b) R si y sólo si a < b. Indicar el número de elementos de

R.

a) 12 b) 7 * c) 6d) 4 e) 8

2. Dado el conjunto : A = {1 ; 2; 5/2 ; 3}Encontrar por extensión la siguiente relación en A:

R1 = {(x,y) / x2 + y2 < 8 }

a) R1 = {(1,1), (2,2), (1,2), (2,1)}

b) R1 = {(1,1), (1,2), (1, 5/2), (5/2, 1), (2,1), (2,2)}

c) R1 = {(1,2), (1,3), (3,3)}

d) R1 = {((1,1), (2,2), (5/2, 5/2), (3,3)}

e) R1 = {(1,3), (3,1), (2,2)}

3. ¿Qué conjunto de pares ordenados:

R1 = {(3;2) , (4; 6) , (5; -1)}R2 = {(1; 2) , (1; 3) , (1; -2)}R3 = {(1; 4) , (3 ; 4) , (7 ; 3)}R4 = {(3; 6) , (3; 7) , (4; 7)}

Son funciones:

a) R1 R3 b) R1 R2 c) R2 R4

d) R3 R4 e) N.a

4. ¿Cuáles de los siguientes diagramas de Venn – Euler representen a funciones:

TAREA DOMICILIARIA

1. Dados los conjuntos: A = {2; 3; 8} B = {2; 4; 6; 8} y C = {3; 4; 5; 6}. Hallar:

a)R1 = {(a, b) A x B / a < b }

b)R2 = {(a, c) A x C / a = c }

c)R3 = {(b, c) B x C / b + c = 9}

d)R4 = {(c, a) C x A / c – a = 1}

e)R5 = {(b, c) B x C / b > c }

* Para cada Relación hallar el producto cartesiano, el conjunto de partida y llegada, el dominio y rango, y los diagramas.

* Determine cuáles son funciones y cuáles no lo son.

SISTEMAS DE NUMERACIÓN

Es la parte de la aritmética que se encarga del estudio de la correcta formación, lectura y escritura de los números de una manera sencilla, con una limitada cantidad de símbolos llamados numerales.

SISTEMA POSICIONAL DE NUMERACIÓN

Es un conjunto de reglas, principios, leyes, empleados para expresar y escribir mediante símbolos los numerales.

26


NúmeroEs un ente o idea matemática por ello se dice que no tiene definición, el cual nos permite cuantificar los objetos de la naturaleza.

NumeralEs la representación escrita de los números por medio de símbolos llamados cifras, güarismos o dígitos.

Ejemplo: ;

4, IV, cuatro, four, ...

☺ ☺ ☺ ☺ ☺

PRINCIPIOS FUNDAMENTALES

1. Del OrdenToda cifra en el numeral tiene un orden, por convención se enumera de derecha a izquierda.Ejemplo:

Lugar 1º 2º 3º 4ºNúmero 1 9 9 8Orden 4 3 2 1

Ejemplo:

2. De la BaseEs un numeral referencial que nos indica como se agrupan las unidades de un orden cualquiera para formar la unidad colectiva del orden inmediato superior:

Sea “B” una base: Z

BEs mayor que 1

Base : 2, 3, 4, 5, 6, ......

12 =

REGLA DE LOS SIGNOSEn una igualdad de dos numerales a mayor numeral aparente le corresponde menor base:Ejemplo:

Cumple:z < x

Ejemplo:- +

Se cumple: q < p

3. De las cifrasLas cifras son números naturales inclusive el cero, que siempre son menores que la base en la cual son empleadas o utilizadas.

0 , 1 , 2 , 3 , 4 , ..... , (n-2), (n -1) cifra no cifras significativa significativas

Cifra máxima = n-1Cifra mínima = 0

27


* El cero no tiene valor por si mismo, si no únicamente valor posicional es decir por el orden que ocupa.

* Así pues, cada cifra dentro de un numeral tiene un valor digital o valor absoluto y un valor de posición o valor relativo.

Valor Absoluto (VA)Es el valor que tiene una cifra de acuerdo por su apariencia o figura.

Valor Relativo (VR)Es el valor que tiene una cifra de acuerdo al orden que ocupa dentro de un numeral.

Ejemplo:

SISTEMA DECIMAL DE NUMERACION

El sistema decimal de numeración es el que tiene como base diez.Diez unidades de cualquier orden forman una unidad del orden inmediatamente superior.

Cifras utilizadas:0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

cero uno dos tres cuatro cinco seis siete ocho nueve

Convencionalismos utilizados cuando las cifras son mayores que, 9

a = = (10)b = = (11)c = = (12)d = = (13)

PRINCIPALES SISTEMAS DENUMERACION

Base Nombre (Sistema) Cifras que se usan23456789

10111220

n

BinarioTernarioCuaternarioQuinarioSenarioHeptanarioOctanarioNonarioDecimal (Décuplo)UndecimalDuodecimaVigesimal Enésimal

0, 10, 1, 2

0, 1, 2, 30, 1, 2, 3, 4

0, 1, 2, 3, 4, 50, 1, 2, 3, 4, 5, 6

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 70, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 80, 1, 2, 3, ... , 6, 7, 8, 90, 1, 2, 3, ... 8, 9, (10)0, 1, 2, . . . (10), (11)0, 1, 2, . . . (18), (19)

0, 1, 2, . . . , (n-3),(n-2),(n-1)

Consideraciones en el Sistema de numeración de base “n”

a. Cualquier número puede ser escrito empleando el sistema de numeración considerando que la primera cifra siempre es diferente de cero.

b. Un número de unidades de cualquier orden que coincida con la base del sistema de numeración, origina una unidad del orden inmediato superior.

c. Cualquier cifra escrita inmediatamente a la izquierda de otra representa unidades tantas veces mayores que ésta como unidades tenga la base del sistema de numeración.

d. En cualquier sistema de numeración la cantidad de cifras posibles a utilizar siempre será numéricamente igual a la base.

Ejemplo:

Base “n” 0, 1, 2, 3, ......, n -1

“n” cifras

28


e. Para leer un número en un sistema diferente al decimal se le nombra cifra por cifra de izquierda a derecha y al final la base.

Ejemplo: 123(4)

Se lee: uno, dos, tres de base, 4.

Representación literal de numerales.

Cuando las cifras son desconocidas se reemplaza por letras del abecedario, para diferenciar de ser una multiplicación de factores, se coloca una raya horizontal arriba de las letras.

Ejemplo:

: representa un número de 2 cifras del sistema decimal.

: {10, 11, 122, . . . , 98, 99}

: numeral de 3 cifras de la base 7

{1000, 1001, 1002, . . . , 9999}

Numeral Capicúa

Se llama numeral capicúa a aquel numeral que tiene representación simétrica es decir las cifras equidistantes de los extremos son iguales.

Ejemplos:

{11, 22, 33, . . . , 99}

{101, 111, 121, . . . , 999}

{1001, 1111, . . . , 9999}

;

;

;

;

;

DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA DE NUMERALES

Analicemos los siguientes ejemplos:

* 123 = 1 x 102 + 2 x 10 + 3* 3000204(5) = 3 x 56 + 2 x 52 + 4* 210005(7) = 2 x 75 + 1 x 74 + 5

Ejemplos:

= a x 10 + b = 10a + b

= a x 102 + b x 10 + c = 100a + 10b + c

= a x 103 + b x 102 + c x 10 + d

= m x 82 + n x 8 + p

= 64m + 8n + p

= an4 + bn3 + cn2 + dn + e

CONVERSION DE UN NUMERO DE UN SISTEMA A OTRO

Se puede plantear los siguientes casos:

I. De base diferente de 10 a base 10.II. De base 10 a base diferente de 10.III. De base diferente de 10 a otra base diferente de 10.

CASO I: De base diferente de 10 a base 10

Método: POR DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA

Ejemplos:

* = 3 x 72 + 4 x 7 + 4 = 179

* = 1 x 53 + 3 x 52 + 0 + 4 = 204

* = 3 x 73 + 2 x 72 + 4 x 7 + 1 = 1156

CASO II: De base 10 a base diferente de 10Método: DIVISIONES SUCESIVAS

Para pasar un número decimal a otra base se divide el número por la base del nuevo sistema de numeración. El cociente obtenido se vuelve a dividir por la nueva base y así sucesivamente hasta que se obtenga un cociente que sea menor que la nueva base.

29


Para escribir el número en el nuevo sistema de numeración se escribe el último cociente a la izquierda y cada uno de los restos obtenidos en las divisiones anteriores se van escribiendo sucesivamente a su derecha, así:

Base (B)

=

Ejemplo 171984 B(15)

71984 =

Donde: d = 13 ; e = 14

CASO III: De Base de 10 a otra base de 10

Método general:B(n) B(m) ; m n

n 10 m

Descomposición Divisionespolinómica sucesivas

.

Ejemplo 1: Convertir : a base 6

Paso 1 : B(10)

= 4 x 92 + 6 x 9 + 5 = 383

Paso 2 : 383 B(6)

Divisiones sucesivas

PRÁCTICA DE CLASE

I. A continuación propone una serie de ítems, los cuales debes desarrollar en forma grupal consultando con tus compañeros o el profesor.

01. ¿En qué orden se encuentra la cifra 3 en el numeral 5437?

....................................................................................................................

...

02. ¿En que lugar se encuentra la cifra 6 en el numeral 436 559?

....................................................................................................................

...

03. ¿Qué características tiene el numeral que representa la base de un sistema de numeración?

....................................................................................................................

...

04. ¿Cuántos sistemas de numeración existen?

....................................................................................................................

...

05. En el sistema decimal cuenta 12 palitos de fósforo y luego agrúpalos de 5 en 5 y responde:

a) ¿Cuántos grupitos se formaron?

30


b) ¿Cuántos palitos sobraron sin agrupar?

c) ¿En qué sistema de numeración estamos trabajando?

d) ¿En el sistema que estamos trabajando, qué numeral representa?

06. Indicar los Valores Absolutos y los Valores Relativos de las cifras del numeral 24326(8.

07. Expresar la descomposición polinómica de cada uno de los siguientes numerales:

a) 2341(5 =

..................................................................................................

..

b) 786(9 =

..................................................................................................

..

c) 12345(6 =

..................................................................................................

..

d) 23425(B =

..................................................................................................

..

e) xynm(p =

..................................................................................................

..

08. Representa 10202(4) en el sistema decimal.

09. Representa 4321(5) en el sistema decimal.

10. Representa 108 en el sistema binario.

11. Representa 23102 en el sistema nonal.

12. Representa 3320(4) en el sistema heptanal.

13. Representa 2541(8) en el sistema undecimal.


01. El numeral 32012(4) representado en el sistema decimal es:

a) 900 b) 902 c) 904 d) 905 e) N.a.

02. Expresar en base 10 la suma de: 23A(D) y 107(C)

a) 3301 b) 3401 c) 3402 d) 3341 e) N.a.

03. El numeral 476 escrito en el sistema quinario será:

a) 3301 b) 3401 c) 3402 d) 3341 e) N.a.

04. El numeral 14 325 escrito en el sistema de base 30 será:

a) fqf(30) b) fgf(30) c) ñzñ(30) d) fkf(30) e) N.a.

05. Convertir el numeral 7ab55(12) al sistema decimal.

a) 13 975 b) 17 524 c) 13 673 d) 12 321 e) N.a.

06. El numeral 432(7) se escribe en el sistema de base 3 como:

a) 22 011(3) b) 22001(3) c) 22 010(3) d) 20121(3) e) N.a.

07. El numeral 540d(15) se escribe en el sistema duodecimal, así:

a) A 494(12) b) A 484(b) c) A 494(c) d) A 474(12) e) B264(12)

08. El numeral 5657 en el sistema octanario es:

a) 13031(8) b) 3151(8) c) 2151(8) d) 5111(8) e) N.a.

09. ¿Cuál de las siguientes expresiones dadas en sistemas de numeración distintas, representa el número mayor?

a) 1101(2) b) 2103(4) c) 1030(4) d) 1201(5) e) 1042(6)

10. Escriba el numeral 0,24 en el sistema quinario.

a) 0,22(5) b) 0,21(5) c) 0,11(5) d) 23(5) e) N.a.

TAREA DOMICILIARIA

01. Expresa la descomposición polinómica de los siguientes números:

a) 2345(8) b) 4376(A) c)4763(9)

02. En el sistema decimal cuenta 32 palitos de fósforo y luego agrúpalos de 7 en

7 y responde:

a) ¿Cuántos grupitos se formaron?b) ¿Cuántos palitos sobraron sin agrupar?c) ¿En qué sistema de numeración estamos trabajando?d) En el sistema que estamos trabajando, qué numeral representa?

31


03. Indicar los Valores Absolutos y los Valores Relativos de las cifras del numeral

50 321(8)

04. Expresar la descomposición polinómica de cada uno de los siguientes numerales:

a) 2011(5) b) 754(9)

05. Representa 265(8) en el sistema decimal

SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL

- El sistema de numeración que utilizamos se denomina SISTEMA DECIMAL porque su base es 10.

- En este sistema utilizamos los símbolos 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 a cada uno de estos símbolos se le denomina CIFRA O DÍGITO.

Aprendemos:

Las 12 primeras órdenes de la numeración se aprecian en el siguiente tablero de Valor Posicional

Diez unidades de un orden cualquier equivalente a una unidad de orden inmediato superior

Ejemplo:

Aprendo:

a) 125 438 625

Se lee: “125 millones, 438 mil, 625 unidades”

b) 2 345 824 075

Se lee: “2 mil, 345 millones, 824 mil, 75 unidades”

c) 18 456 395 784 489

Se lee: “18 billones, 456 mil 395 millones, 784 mil 489 unidades”

DESCOMPOSICIÓN DE UN NÚMERO

1. Según el nombre de la posición de cada dígito:

Ejm:

95 382 647 = 9 DMLL + 5 UMLL + 3CM + 8 DM + 2 UM + 6 C + 4 D + 7 U.

2. Según el valor posicional de cada dígito.

Ejm:

95 382 647 = 90 000 000 + 5 000 000 + 300 000 + 80 000 + 2 000 + 600 + 40 + 7

3. Según el valor por unidades de cada dígito.

Ejm:

95 382 647 = ( 9 x 10 000 000 ) + ( 5 x 1 000 000 ) + (3 x 100 000 ) + ( 8 x 10 000 ) + ( 2 x 1 000 ) + ( 6 x 100 ) + ( 4 x 10 ) + ( 7 x 1 )

4. Según el desarrollo exponencial de cada dígito.

Ejm:

95 382 647 = ( 9 x 107 ) + ( 5 x 106 ) + (3 x 105 ) + ( 8 x 104 ) + ( 2 x 103 ) + ( 6 x 102 ) + ( 4 x 101 ) + ( 7 x 100 )

PRÁCTICA DE CLASE

01. Escribe el valor posicional de cada número 8:

15 875 746 =....................................................................................

..............

485 723 123 =....................................................................................

..............

149 759 847 =....................................................................................

..............

89 342 191 306 =....................................................................................

..............

32


825 572 193 563 =....................................................................................

..............81

724 000 000 346 =....................................................................................

..............

02. Completa el cuadro:

NÚMERO SE LEE

45 789 005 325 498

15 058 729 459

“238 millones, 509 mil 742 unidades”

“15 billones, 6 mil 325 millones, 605 unidades”

45 728 006 358178 932 141 398

006“18 millones, 145 unidades”

38 475 000 000 003

03. Razona y completa el cuadro: (cifras diferentes)

El mayor Número El menor NúmeroDe 4 cifras

De 5 cifras

De 3 cifras

De 6 cifras

De 8 cifras

04. Razona y completa el cuadro: (cifras iguales)

El número Mayor El número MenorDe 3 cifras

De 4 cifras

De 5 cifras

De 7 cifras

05. Descomponer cada número según el nombre de laposición de cada dígito.

NÚMERO DESCOMPOSICIÓN

43 542

6 782 543

544 631

832 982

1 423 532

178 932 141 398

34 256 241

38 475 000 000 003

06. Completa el desarrollo exponencial de cada número:

a) 45 789 564 =

......................................................................................................

b) 123 491 784 =

......................................................................................................

.....................................................................................

.................

c) 145 008 976 495 =

......................................................................................................

.....................................................................................

.................

d) 125 003 945 =

......................................................................................................

.....................................................................................

.................

e) 465 396 124 549 =

......................................................................................................

.....................................................................................

.................

07. Escribe el número que corresponde a cada uno de estos desarrollos:

(9x106) + (5x105) + (4x104) + (8x103) + (5x102) + (3x101) + (2x100) =

............................................................................................................................

........................

(3x104) + (5x103) + (2x102) + (7x101) + (5x100) =

............................................................................................................................

........................

(2x107) + (3x106) + (5x105) + (9x104) + (7x103)+(6x102)+(4x101)+(5x100) =

............................................................................................................................

........................

08. Escribe el número anterior y posterior de:

............................................ 4 498 791 ..............................................

............................................ 18 975 489 ............................................

............................................ 3 333 444 ..............................................

............................................ 99 999 999 ............................................

33


09. Ordena en forma creciente:

16 656 100 – 28 178 000 – 7460 109 – 16565 101 – 28 154 958

............................................................................................................................

........................

10. Ordena en forma creciente:

4 498 792 – 598 791 – 15 151 516 – 56 200 300 – 3 333 444

............................................................................................................................

........................

11. Escribe “V” o “F” según corresponda:

1 456 128 1 457 128 ( )5 389 010 5 389 001 ( )25 578 100= 25 587 100 ( )16 126 476= 16 126 476 ( )3 576 126 3 576 026 ( )

12. Piensa y Razona:

Si “a” tiene 3 cifras y “b” tiene dos cifras. ¿Cuál es el mayor valor que puede tener a x b?


01. ¿Cuántos millares tiene 3 decenas de millar?

a) 3 b) 30 c) 300 d) N.A

02. ¿Cuánto suman el mayor número de 3 cifras pares diferentes con el menor número impar de 4 cifras?

a) 1428 b) 1737 c) 1865 d) N.A

03. Si “c” es un número de 3 cifras y “d” un número de dos cifras ¿Cuál es el menor valor que puede tener “c - d”?

a) 1 b) 11 c) 101 d) N.A

04. ¿Cuánto aumenta el número 286 si se pone un cero entre el 2 y el 8?

a) 1600 b) 1800 c) 1900 d) N.A

05. Si “a” tiene 3 cifras y “b” tiene dos cifras. ¿Cuál es el mayor valor que puede tener a x b?

a) 1000 b) 98901 c) 68703 d) N.ATAREA DOMICILIARIA

01. Escribe como se lee los números:

25 784

954

795

709

= .........................................................................................

1 742

000

325

462

= .........................................................................................

35 056

785

462

= .........................................................................................

458

729

000

000

345

= .........................................................................................

12 78 000

572

245

= .........................................................................................

02. Escribe los números:

a) “325 millones 123 unidades”

……………………………………………………..

b) “3 billones, 125 millones, 456 mil 308 unidades”

……………………………………………………..

c) “125 billones, 9 mil 125 millones, 457 unidades”

……………………………………………………..03. Realiza la descomposición exponencial:

57 489 576 = .......................................................................................................

589 742 059 = …..................................................................................................

36 745 327 984 = ................................................................................................

145 678 905 391 458 = .......................................................................................

OPERACIONES CON NÚMEROS NATURALESADICIÓN Y SUSTRACCIÓN

Recordemos los términos de la adición y la sustracción:

PROPIEDADES DE LA ADICIÓN

a) Propiedad de Clausura o Cerradura: La suma de dos números naturales da como resultado otro número natural.

Si a y b N, entonces: a + b N

34


Ejemplo: 8 + 3 = 11 N

b) Propiedad Conmutativa: El orden de los sumandos no altera la suma.

Si a y b N, entonces: a + b = b + a

Ejemplo: 7 + 8 = 8 + 7 = 15

c) Propiedad Asociativa: En una adición se pueden agrupar de diferente forma los sumandos y la suma no cambia.

Si a , b y c N, entonces: ( a + b ) + c = a + ( b + c )

Ejemplo: ( 7 + 3 ) + 5 = 7 + ( 3 + 5 ) = 15

d) Propiedad del Elemento Neutro: Cualquier número sumado con cero es igual al mismo número. El cero es elemento neutro aditivo.

Si a N, entonces: a + 0 = 0 + a = 0Ejemplo: 0 + 5 = 5 + 0) = 5

PRÁCTICA DE CLASE

01. Halla la diferencia y comprueba:

a) 8 500 – 1 396 b) 13 400 – 8 957 c) 90 000 – 13 458

02. Completa el sumando desconocido: (Recuerda que la sustracción nos permite encontrar el sumando desconocido en una adición).

742 + 1 046 + ............................ = 904 528

............................ + 27 048 = 50 196

............................ + 625 200 = 840 918

............................ + 48 670 = 52 368

24 673 + ............................ = 60 540

43 282 + ............................ = 62 047

03. Completa las siguientes tablas relacionadas con los elementos de la adición y la sustracción.

Sumando Sumando Suma

5 951 742 296 742

865 431 2 013 725

4 310 250 6 230 400

520 346 2 000 000

Minuendo Sustraendo Diferencia

64 324 52 478

25 743 16 579

56 480 42 709

47 831 15 406

04. Resuelve cada ejercicio guiándote por la clave:

a = 2541 b = 6740 c = 1043 d = 8095

d – (a + c) (b + c) - a a + (b + c)

(b - a) + (d - c) (a + b) – (d - c) (a - c) + (d - b)

05. Escribe el nombre de la propiedad de la adición que se ha aplicado en cada caso:

a) 450 + 312 = 312 + 450 = …………………………………..

b) 485+ (25 + 182) = (485+25)+182 = …………………………………..

c) 4 350 + 0 = 4 354 = …………………………………..

d) 43 + (12 + 53) = (12 + 53)+ 43 = …………………………………..

e) 84 + ( 43 + 12 ) = ( 84 + 12 ) + 43 = …………………………………..

06. Halla el valor de cada letra en:

a) ( m + 54 ) + 82 = 68 + ( 54 + 75 )35


b) ( n + 12 ) + 48 = 38 + 29

c) 27 + ( 54 + d ) = ( 17 + 45 ) + 82

07. Escribe los dígitos que faltan en cada uno de los recuadros para completar las siguientes adiciones:

a)

b)

08. Escribe los dígitos que faltan en cada uno de los recuadros para completar las siguientes sustracciones:

a)

b)

05. Si a 27 se le resta 15 y al resultado se le suma 6. ¿Cuál es el resultado final?

10. Si a 27 se le suma 15 y al resultado se le resta 6 ¿Cuál es el resultado final?

11. La suma de dos números es 3 672 845 y uno de ellas es 2 541 778. ¿Cuál es el otro número?

12. En una resta el minuendo es 28 368 y la diferencia es 7 486. ¿Cuál es la suma del minuendo y el sustraendo?

13. Si me sacara S/. 2 800 en la lotería. Tendría 5 834. Si mi hermano tiene 936 menos que yo, y mi prima 893 menos que mi hermano y yo juntos. ¿Cuántos tenemos entre los tres?

14. Si se suma el minuendo con el sustraendo y la diferencia, se obtiene 22. Hallar el minuendo

15. Si 56 + n = 81 y x – 35 = 28. Hallar n + x

36



01. La suma de dos números es 15 287 y uno de ellos es 3 984. ¿Cuál es el otro número?

a) 11 303 b) 10 703 c) 10 623 d) N.A.

02. El signo correcto en cada espacio vacío es:

a) 4 685 + 12 498 36 584 – 20 918

b) 32 187 – 6 943 12 458 + 11 978

a) >; = b) >; > c) <; < d) N.A.

02. ¿Cuánto suman las cifras que completa la operación?03.

a) 6 b) 9 c) 8 d) N.A.

04. Ordena A, B y C de mayor a menor

a) A < C < B b) C > A > B c) C > B > A d) N.A.

05. Un camión vacío pesa 2585 Kilos y lleno de piedras 3 358 Kilos. ¿Cuántos Kilos pesan las piedras que lleva el camión?

a) 673 b) 753 c) 773 d) N.A.

TAREA DOMICILIARIA

01. Hallar la diferencia y comprueba:

a) 5 840 – 3 958 b) 12 005 – 9 348 c) 23 585 – 15

896

d) 41 000 – 38 538 e) 7 326 – 3 458 f) 35 225 – 27 338

02. Efectuar:

a) 5 895 + 396 + 57 458 b) 57 000 + 3 954 – 27 458

c) 49 783 + 195 + 3956 d) 7 500 – 3 942 + 5 847

03. Resuelve:

a) (2 508 – 1 676) – 673

b) (3 526 – 1 676) + 576

c) 7 + 11 – 13 + 12 + 1

d) (26 - 10) + (36 - 11) – (41 - 31)

e) 11 - 16-18 – (56 - 49)

37


MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN

MULTIPLICACIÓN:

Guillermo recibe 5 soles diarios de propina. ¿Cuánto recibe en una semana?

Guillermo recibe 35 soles en una semana

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN:

En la multiplicación de números naturales se cumple las siguientes propiedades:

1. Propiedad Clausurativa:El producto de dos o más números naturales es siempre otro número natural. Por eso la multiplicación es una operación interna en .

4 x 9 = 36 5 x 6 = 30 a . b N

2. Propiedad Conmutativa:El orden de los factores no altera el producto.

7 x 6 = 42 y 6 x 7 = 42 7 x 6 = 6 x 7a . b = b . a

3. Propiedad Asociativa:El producto de varios números naturales no depende del orden en que los asociemos.

4. Propiedad del Elemento Neutro:El producto de un número natural por 1 es igual al mismo número. El elemento neutro de la multiplicación es el 1.

16 x 1 = 6 ; 1 x 9 = 9

5. Elemento Absorbente:El producto de uno o más factores por 0, es 0.

18 x 0 ; 3 x 5 x 0 = 0

6. Propiedad distributiva con respecto a la adición o sustracción:

4 x (5 + 2) = 4 x 5 + 4 x 24 x 7 = 20 + 8 28 = 28

7 (8 - 2) = 7 x 8 – 7 x 27 x 6 = 56 - 14 42 = 42

DIVISIÓN:

I. DIVISIÓN EXACTA DE DOS NÚMEROSEs la operación que permite encontrar el factor desconocido de una multiplicación en la que se conocen el producto y el otro factor.Ejemplo: Se quiere repartir 24 caramelos entre 6 niños. ¿Cuántos caramelos le corresponden a cada niño?

( # Niños ) ( # caramelos / niño ) = (# Total de caramelos )

6 x = 24

El factor desconocido es el cociente exacto de dividir 24 entre 6. Es decir:

= 24 : 6

Luego podemos concluir que:

DIVIDENDO = DIVISOR x COCIENTE

II. DIVISIÓN INEXACTA DE DOS NÚMEROS

Se desea repartir 26 caramelos entre 6 niños. ¿Cuántos caramelos le corresponden a cada niño?Se observa que no hay ningún número natural que multiplicado por 6 de 26.

6 x 4 = 24 que es menor que 266 x 5 = 30 que es mayor que 26

38


Podemos observar que:26 = 6 x 4 + 2

De aquí que:

DIVIDENDO = ( DIVISOR ) . ( COCIENTE ) + RESIDUO

La prueba de una división consiste en comprobar que se cumplen las relaciones:

a) El residuo debe ser menor que el divisor. ( r < d )b) El dividendo es igual al producto del divisor por el cociente más el residuo.

( D = d . C + r)

PRÁCTICA DE CLASE

01. Expresa como factores y calcula

a) 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = .................... b) x + x + x + x = .................

c) 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = ..................... d) 5 + 5 + 5 = ....................

e) 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = .................... f) a + a + a = ....................

02. Calcula el valor de x y enuncia la propiedad utilizada en cada caso.

a) 3 . x = 3 ...........................................................................

b) 5 . x = 4 . 5 ......................................................................

c) 4 . x . 6 = 24 ....................................................................

d) 3 . 8 . x = 0 ......................................................................

e) 7 . 2 . x = 3 . 14 ...............................................................

f) 6 . 5 . x = 30 . 4 ................................................................

03. Completa con el nombre de la propiedad:

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN en

a . b

a . 1 = a

a . b = b . a

(a . b) . c = a . (b . c)

a . 0 = 0

a (b + c) = ab + ac

04. Para entretenerte:

¿Cuántos años han transcurrido desde que has nacido?

¿Cuántos días? ¿Cuántas semanas?

¿Cuántas horas? ¿Cuántos meses?

05. El auditorio del colegio de Bertha tiene 48 filas y cada fila tienen 26 asientos. Hay 972 alumnos en el auditorio. ¿Cuántos asientos quedan libres?

a) 276 b) 267 c) 376 d) N.A.

06. Completa la analogía:

a) 7 b) 3 c) 4 d) N.A.

39


07. Completa los factores que faltan y dar como respuesta: (A . B) + C

a) 70 b) 80 c) 90 d) N.A.

08. Dada la tabla:

a) 3 b) 6 c) 9 d) N.A.

09. Dados los números 30 y 20 el producto de su suma por su diferencia es:

a) 400 b) 500 c) 600 d) N.A.

10. Hallar el dividendo de cada una de estas divisiones:

C = 524 d = 9 r= 7 C = 128 d = 6 r= 4

C = 429 d = 8 r= 5 C = 702 d = 8 r= 3

11. ¿Qué número multiplicado por 147 da 2646?

12. ¿Qué número multiplicado por 123 da 8364?

13. Calcula mentalmente y responde: 900 : 10 = .................. 7 200 000 : 6 000 = ......................

8 000 : 100 = .................. 4 500 000 : 30 000 = ......................

28 000 : 1400 = .................. 48 000 000 : 60 000 = ......................

14. Al dividir 9753 : 125 el cociente es P y el residuo es Q. Hallar P : Q

15. Si multiplicas 48 x 96 entonces en el producto la cifra de las CENTENAS es A y la cifra de las UNIDADES DE MILLAR es B. Hallar 2A : B + 26

16. Efectuar:

40


a) 6 370 : (60 + 5) b) (376 + 89) : 12

c) (12 x 46) : (96 : 6) d) 9 7852 : (126 + 7)


01. Si 12A =108 y 25B = 900. Hallar B : A

a) 1 b) 100 c) 90 d) N.A.

02. Al dividir 354 entre cierto número natural se obtiene 20 de cociente y 14 de residuo. Entonces el divisor es:

a) 15 b) 20 c) 17 d) N.A.

03. Se repartió un premio de 460 soles entre dos estudiantes calcular lo que recibió cada uno si el que hizo la repartición se quedó con 50 soles más que el otro.

a) 250 y 200 b) 255 y 205 c) 260 y 200 d) N.A.

04. Si sumas las cantidades que tiene Claudia y Sergio obtienes S/. 2176 y si divides lo que divides lo que tiene Claudia entre lo que tiene Sergio obtienes 16, entonces Sergio tiene:

a) 128 b) 17 c) 126 d) N.A.

05. Juan, Inés y Guido viven en casas diferentes, pero los tres contiguas. Se sabe que Inés vive en el lado de Juan y que la casa de Guido no está al lado de Inés. ¿Quién vive en medio de los dos?

a) Juan b) Inés c) Guido d) N.A.TAREA DOMICILIARIA

01. Hallar el producto de:

578 x 95 9058 x 746 9521 x 579 48507 x 4567862 x 748 5965 x 248 7284 x 364 3945 x 896

02. Aplica todas las propiedades de la multiplicación con los números 8, 6 y 10

03. Resuelve en forma abreviada:

585 x 400 895 x 30 584 x 1000123 x 1000 405 x 700 791 x 200

04. Halla el cociente y comprueba:

a) 5786 : 9 b) 17 613 : 309 c) 950674 : 3254d) 3052 : 28 e) 8736 : 123 f) 47821 : 2256g) 3428 : 32 h) 4648 : 791 i) 820052 : 5270

DESAFÍO MI RAZONAMIENTO

01. ¿Cuál es el número que sumado con su duplo da 45?

Solución:

45 es el número que se busca más dos veces dicho número, ósea, el triple del número; luego el número buscado será

45 : 3 = 15

Respuesta: El número es 15

02. ¿Cuál es el número que sumado con su duplo da 261?

03. ¿Cuál es el número que sumado con su triplo da 384?

04. Un hombre que nació en 1911 se casó a los 25 años, 3 años después nació si primer hijo y murió cuando el hijo tiene 27 años ¿En qué año murió?

41


05. Compré un libro que me costó S/. 16 y un traje que me costó S/. 35, una cámara fotográfica que me costó S/. 42 más que el libro y el traje juntos; un anillo que me costó S/. 13 más que el libro, el traje y la cámara, y un auto que me costó S/. 2585 más que todos lo anterior. Si me sobraron S/. 211 ¿Cuánto dinero tenía?

06. Un comerciante compró 30 chompas S/. 20 cada uno. Vendió 20 chompas S/. 18 cada uno. ¿A como debe vender los restantes para no perder?

07. Un camión lleva 18 cajas de conservas a un supermercado. En cada caja hay 24 cartones y en cada cartón hay 24 latas de conserva. ¿Cuántas latas de conserva lleva el camión en total?

08. A un desayuno asisten 20 jóvenes de los cuales 5 son invitados. Si cada desayuno cuesta 18 soles. ¿Cuánto tiene que pagar cada uno de los restantes?

09. Si un número se divide entre 7, se obtiene 615 de cociente y 3 de residuo. Si dicho número se divide entre 8. ¿Cuál es el residuo?

10. Tres amigos almuerzan en un restaurante y la cuenta asiente a S/. 84. Si acordaron pagar en partes iguales y uno de ellos tenía solamente 20 soles. ¿Cuánto tuvo que abonar en partes iguales cada uno de los otros dos para soldar la cuenta?

11. ¿Por qué número se multiplica 13 para que se convierta en 3445?

12. Un comerciante compra un saco de pallar de 45 Kg a 135 soles. Si quiere ganar 1 sol por cada Kg. ¿A como debe vender cada Kg.?

13. Del álbum de Historia del Perú, mi hermano Alberto tiene 4 docenas de figuras, mi hermano Ramón el triple de lo que tiene Alberto y yo tengo la diferencia de ambos. ¿Cuántas figuras tenemos en total?

42


14. ¿Cuánto ha perdido un comerciante al vender 420 prendas de vestir, si habiéndolas comprado a S/. 84 cada una, las remató en S/. 71 la unidad?


01. Si el producto de 32 y 17 se le disminuye 300 resulta un número que al dividirlo por 4 da:

a) 62 b) 63 c) 61 d) N.A.

02. La edad de mi abuelito es 72 años. Si el triple de mi edad es igual a la mitad de la edad de mi abuelito, entonces el doble de mi edad es:

a) 20 b) 24 c) 18 d) N.A.

03. Si se dividen el mayor entre el menor dos números consecutivos mayores que 2, la suma del cociente y el residuo es:

a) 3 b) 1 c) 2 d) N.A.

04. Si a un número se suma 8, esta suma se multiplica por 4, este producto se divide entre 12, a este cociente se le resta 4 y si a esta diferencia se multiplica por 7 se obtiene 700. El número original es:

a) 305 b) 302 c) 303 d) 304

05. Si tengo una caja roja con 5 cajas blancas dentro y 5 cajas amarillas dentro de cada caja blanca. ¿Cuántos cajas hay en total?

a) 18 b) 28 c) 31 d) N.A.

NÚMEROS NATURALES EXPRESADOS COMO POTENCIAS

Recordemos:

- El exponente indica las veces que se repite la base como factor.- Si el exponente es cero y la base es diferente de cero, entonces la potencia es

1.

Ejemplo:

PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN:

1. Multiplicación de Potencias con bases Iguales:Para multiplicar de la misma base, se deja la misma base y se suman los exponentes.

Observa:

2. División de Potencias con Bases Iguales:Para dividir de la misma base, se deja la misma base y se restan los exponentes.Observa:

43


3. Potencia de una Potencia:Para elevar una potencia a otra potencia, se deja la misma base y se multiplica los exponentes.

Observa:

4. Potencia de un Producto:Para elevar un producto a una potencia se eleva cada uno de los factores a dicha potencia se multiplican.

Observa:

PRÁCTICA DE CLASE

01. Aplica las propiedades de la Potenciación en cada uno de los ejercicios:

a) .............................. g)

..........................

b) .............................. h)

...........................

c) .............................. i)

...........................

d) .............................. j)

...........................

e) ..................................... k)

.............................

f) ...................................... l)

..............

02. Dividir el cuadrado de la diferencia de 29 y 23 entre el cuadrado de la suma de 2 y 4.

03. Multiplica el cuadrado de 8 por el cubo de 5.

04. Sumar el cuadrado de la diferencia de 15 y 7 con la diferencia de 56 y 48.

05. Dividir el cuadrado de la suma de 5 y 3 entre el cubo de la diferencia de 6 y 2.

06. Completa la tabla:

A 1 5 6 8

A2 16 49 81

A3 8 1000 27

07. Si F = m 8 m 6; K = ( m 4 ) 7; m 7 = 3. Hallar F + K

08. Efectuar:

44


09. Si . Hallar

10. Si : Hallar - 173

11. Si . Hallar 250 - E

12. Si . Hallar N: 501

13. Si Hallar : 4000

14. Completa cada igualdad:

15. Hallar el valor numérico de si:

16. Resuelve:


01. Si y si . Hallar 5A.

45


a) 1800 b) 2400 c) 1600 d) N.A.

02. Se sabe que Entonces E: 2187 es:

a) 25 b) 75 c) 50 d) N.A.

03. Si . Entonces A – B es:

a) 244 b) 241 c) 240 d) N.A.

04. En una operación de sustracción, la suma del minuendo, el sustraendo y la diferencia es 12. En consecuencia el minuendo es:

a) 6 b) 7 c) No se sabe d) N.A.

05. Efectúa:

a) 1 b) 3 c) 6 d) N.A.

TAREA DOMICILIARIA

01. Resuelve aplicando las propiedades:

02. Efectúa:

a) c)

b) d)

03. Efectuar:

5 2 + 2 5 : 4 2 + 4 3 : 2 4

RADICACIÓN DE NÚMEROS NATURALES

¿Qué número debo escribir para completar la igualdad?

Respuesta:

Debo escribir el número 5 porque 52 = 25 decimos entonces que 5 es la raíz cuadrada de 25 se escribe así:

Concluimos

Raíz de un número es el número que elevado a la potencia que indica el índice reproduce la cantidad subradical.

PRÁCTICA DE CLASE

01. Hallar:

46


a) = .......................... porque ....................................................

b) = .......................... porque ....................................................

c) = .......................... porque ....................................................

d) = .......................... porque ....................................................

e) = .......................... porque ....................................................

f) = .......................... porque ....................................................

g) = .......................... porque ....................................................

02. Si = A = B Hallar: A x B

03. Si = P y = Q. Hallar Q : P + 13

04. Si = 7 Y = 5. Hallar (M + N) : 4

05. Si = 3 Y = B. Hallar B – A - 23

06. Efectuar:

47


07. Resuelvo operaciones combinadas; respetando el orden o jerarquía de desarrollo:

126 + 25 : 8 – 53

08. Si ; ;

Hallar el valor de:

a) A + B – C b)

c) d)

e) f)

09. Resuelvo:

a)

b)

c)

48


d)

e)

f)

g)


01. Si . Hallar 100A-B

a) 535 b) 525 c) 515 d) N.a.

02. Si .

Hallar P- 2Q

a) 7 b) 6 c) 8 d) N.a.

03. Si

. Hallar 3R – 2M

a) 16 b) 14 c) 15 d) N.a.

04. Si . Hallar 250 - E

a) 242 b) 246 c) 244 d) N.a.

05. La suma de 324 y 296 multiplicado por su diferencia es igual a:

a) 17360 b) 17630 c) 17480 d) N.a.

06. Si a = 17 b = 13 c = 24. Hallar el valor numérico: R = 4a - 3b – 5c

a) 159 b) 149 c) 139 d) N.a.

TAREA DOMICILIARIA

Resolver:

01.

02.

03.

04.

49


05.

06.

07.

08.

09.

10.

MÚLTIPLOS Y DIVISORES

Con una pieza de cinta de 24 metros. ¿Puede Milagros obtener cortes iguales de 3m cada uno?

Recuerda:

Dividimos:

24 : 3 = 8 Milagro obtiene 8 cortes iguales de 3m

Observamos que 24 : 3 = 8 es una división exacta porque 24 = 3 x 8

En la división 24 es múltiplo de 3 y se escribe

También se dice que 24 es divisible entre 3

Aprendo:

Para obtener múltiplos de un número, basta multiplicarlos por cualquier número natural.

Los números 6; 9; 15; 21; 27 son múltiplos de 3

Decimos que un número es divisor de otro si lo divide en forma exacta.

Ejemplo:

6 es divisor de 54

¿Cuáles son los divisores de 16?

PRÁCTICA DE CLASE

01. Escribe par o impar para completar cada enunciado

a) La suma de dos números pares cualquiera

es ........................................................

b) La suma de dos números impares cualquiera

es ....................................................

c) La suma de un número impar y uno par

es ...........................................................

d) El producto de dos números impares cualquiera

es ...............................................

50


e) El producto de un número impar por un par

es .....................................................

f) El producto de dos números pares cualquiera

es ...................................................

g) La suma de tres números impares cualquiera

es ....................................................

02. Hallar los múltiplos de 9 entre 25 y 120

.................................................................................................................................

..

03. Halla los múltiplos de 11 entre 30 y 170

.................................................................................................................................

..

04.

.................................................................................................................................

..

05.

.................................................................................................................................

..

06.

.................................................................................................................................

..

07.

.................................................................................................................................

..

08.

.................................................................................................................................

..

09. Si

determina por extensión cada conjunto

halla el número de elementos de:

.......................................................................

.......................................................................

.......................................................................

.......................................................................

.......................................................................

n(A) = .......................................................................

n (B) = .......................................................................

n (A B) = ......................................................................

n (A - B) = .....................................................................

n (A B) = ......................................................................

10. La suma de los 4 primeros múltiplos de 5 es: ......................................................

11. La suma de los 3 primeros múltiplos de 7 es: ......................................................

12. ¿Cuántos múltiplos de 5 hay entre 50 y 80? ........................................................

13. Hallar el conjunto de todos los divisores de:

51


14. Hallar la suma de los divisores de:

Sd (35) = ...................................................

Sd (42) = ...................................................

Sd (30) = ...................................................

Sd (25) = ...................................................

15. El cociente entre el mayor y el menor divisor de 20 es:

.................................................................................................................................

..

16. ¿Cuántos divisores tiene 18?

.................................................................................................................................

..


01. La suma de todos los divisores de 28, diferentes de 280:

a) 28 b) 14 c) 56 d) N.a.

02. ¿Cuántos divisores más tiene 48 que 63?

a) 2 b) 3 c) 4 d) N.a.

03. Si al cuádruple de 67 la sumamos el quíntuple de 24, se obtiene

a) 288 b) 388 c) 838 d) N.a.

04. ¿Cuántos divisores comunes tienen los números 36 y 28?

a) 2 b) 3 c) 4 d) N.a.

05. La suma de los divisores de 60 es:

a) 288 b) 350 c) 168 d) N.A

TAREA DOMICILIARIA

01. Si

Determinar por extensión: P, Q, R

n ( P ), n ( Q ), n ( R ), n ( P Q )

n ( P – Q ), n ( P – R ), n ( Q R )

02. Si

Determina por extensión: A, B, C

n ( A ), n ( B ), n ( C ), n ( A B ), n ( A C ), n ( A – B )

03. Contesta las siguientes preguntas:

a) ¿Porqué todo número tiene infinitos múltiplos?

b) ¿Porqué el cero es múltiplo de todos los números menos de sí mismo?

c) ¿Cuántos divisores diferentes tiene la unidad?

52


TEORÍA DE LA DIVISIBILIDAD

Definición.- Es la parte de la Aritmética que estudia las condiciones que debe tener un número para ser divisible entre otro. Estas condiciones se denominan caracteres o Criterios de Divisibilidad.

NÚMEROS DIVISIBLES ENTRE SI.-

Se dice que un número A es divisible entre otro número B cuando el residuo de dividir A entre B es CERO y el cociente es entero. Se dice entonces que A es múltiplo de B o que B es un divisor de A.

PRINCIPIOS DE LA DIVISIBILIDAD:

01. Operaciones entre múltiplos

a)

Ejm: 36 + 45 = 81

+ =

b)

Ejm : 72 - 16 = 56

- =

c)

Ejm : 48 x 5 = 240

x 5 =

d)

Ejm : 64 = 1296

02. Los Números no Múltiplos :

a) División Inexacta por Defecto :

b) División Inexacta por exceso :

Ejemplos:

03.

Ejemplos :

53


04. PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES:

Dos números enteros cuyo producto es divisible por un cierto módulo, si uno de tales números no admite divisores comunes con el módulo, aparte de la unidad, entonces el otro número será divisible por dicho módulo.

Ejemplo 1: 8n = 9 n = 9

Ejemplo 2:

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

1. Divisibilidad por 2: Un número es divisible por 2 si su última cifra es cero o número par.12 28 36 456 12345678 son divisibles por 2 pues su última cifra es un número par.

2. Divisibilidad por 4: Un número es divisible por 4 si el número formado con sus dos última cifras es múltiplo de 4.112 128 12300 456 24680 12345688 son divisibles por 4 pues las dos últimas cifras son múltiplos de 4.

3. Divisibilidad por 8: Un número es divisible por 8 si el número formado con sus tres última cifras es múltiplo de 8.112 128 12300 456 24680 12345688 son divisibles por 4 pues las dos últimas cifras son múltiplos de 4.

En términos generales podemos afirmar que un número es múltiplo de 2n si el número formado por sus “n” últimas cifras es múltiplo de 2n.

4. Divisibilidad por 5: Un número es divisible por 5 si su última cifra es 5 ó 0.

35 125 1230 455 12345 24680 son divisibles por 5, pues la última cifra es 5 ó 0.

5. Divisibilidad por 25: Un número es divisible por 25 si el número formado por sus dos últimas cifras es múltiplo de 25 ó 00.Ejemplos:

325 125 475 123450 246825 son divisibles por 25 pues el número formado con sus 2 últimas cifras son múltiplos de 25 ó son ‘ceros”.

En términos generales podemos afirmar que un número es múltiplo de 5n si el número formado por sus “n” últimas cifras es múltiplo de 5n.

6. Divisibilidad por 3: Un número es divisible por 3 si la suma de todas sus cifras es un número múltiplo de 3.Ejemplos:

12 es divisible por 3 pues 1+2 = 3 .234 es divisible por 3 pues 2+3+4 = 9 5775 es divisible por 3 pues 5+7+7+5 = 24.

7. Divisibilidad por 9: Un número es divisible por 9 si la suma de todas sus cifras es un número múltiplo de 9.

72 es divisible por 9 pues 7+2=9.234 es divisible por 9 pues 2+3+4 = 9.5445 es divisible por 9 pues 5+4+4+5=18.

8. Divisibilidad por 7: número es divisible por 7 si de derecha a izquierda y cifra por cifra se multiplique por los factores: 1, 3, 2, -1, -3, -2, 1, 3, ..... y así sucesivamente; luego efectuamos la suma algebraica debemos obtener cero o múltiplo de 7.

Si entonces

(h + 3g + 2f) –(e + 3d + 2c) + (b + 3a) =

OTRA FORMA:

Un número es divisible por 7 si al número se le quita y resta la última cifra multiplicado por 2 así sucesivamente y al final se debe de obtener un múltiplo de 7.Ejemplos:

1582 es divisible por 7 pues: Separamos la ultima cifra 2 y le restamos el doble158 - 2(2) = 154 hacemos lo mismo:

54


15 - 2(4) = 7 y como 7 es divisible por 7 entonces 1582 es divisible por 7.9. Divisibilidad por 11: Un número es múltiplo por 11 si la diferencia de la

suma de las cifras de orden impar y la de orden par es múltiplo de 11.

Es decir:Sea N = a b c d e f es divisible por 11 sí

a b c d e f

Suma de cifras de orden par: a + c + eSuma de cifras de orden impar: b + d + f

luego se tiene:

(a + c + e) – (b + d + f) =

123 464 es divisible por 11 pues:

1 2 3 4 6 4 (1+3+5) - (2+4+4) = 0

72567 es divisible por 11 pues:

(7+5+7) - (2+6) = 11.10. Divisibilidad por 13: Un número es divisible por 13 si de derecha a izquierda

y cifra por cifra se multiplique por los factores: 1, -3, -4, -1, 3, 4, 1, -3, ..... y así sucesivamente; luego efectuamos la suma algebraica debemos obtener cero o múltiplo de 13.

Si

entonces

h – (3g + 4f + e) + (3d + 4c + b) - 3a =

OTRA FORMAUn número es divisible por 13 si al número se le quita y resta la última cifra multiplicado por 9 así sucesivamente y al final se debe de obtener un múltiplo de 13.

* 91 es divisible por 13 pues 9 - 9(1) = 0.* 2665 es divisible por 13 pues:

Separamos la ultima cifra 5 y le restamos 9 veces al número que queda: 266 - 9(5) = 221 hacemos lo mismo:22 - 9(1) = 13 y como 13 es divisible por 13 entonces 2665 es divisible por 13.

11. Divisibilidad por 17: Un número es divisible por 17 si al número se le quita y resta la última cifra multiplicado por 5 así sucesivamente y al final se debe de obtener 0 ó un divisible de 17.* 51 es divisible por 17 pues 5 - 5(1) = 0.* 2465 es divisible por 17 pues:

Separamos la ultima cifra 5 y le restamos 9 veces al número que queda: 246 - 5(5) = 221 hacemos lo mismo:22 - 5(1) = 17 y como 17 es divisible por17 entonces 2 465 es divisible

por 17

PRÁCTICA DE CLASEActividad: Debes desarrollar en tu cuaderno.

01. Clasifique usted como verdadera o falsa cada una de las siguientes afirmaciones:

a) 30 es múltiplo de 3. ( )b) 28 es múltiplo de 6. ( )c) 0 es múltiplo de 7. ( )d) 308 es múltiplo de 4. ( )e) 111 es divisible por 3. ( )f) 1050 es divisible por 125. ( )g) 4 + 6 es un número par. ( )h) 15 – 11 es un número impar. ( )

02. Responda a las siguientes preguntas:a) ¿Qué es la divisibilidad?b) ¿Qué entiende por criterios de divisibilidad?.c) ¿Puede un número ser divisible por 10 y no por 5?, ¿Por qué?d) El producto de 6 x 30 x 5, es divisible por 4?, ¿Por qué?.

06. Completa una tabla y además marca con una aspa los casilleros respectivos (la flecha se lee “es divisible por”)

2 3 4 5 6 7 8 9 11

18

21

33

25

17

125

485

521

127

130

55


333

07. Conteste lo siguiente:

a) ¿Cuál es el menor número de tres dígitos que es divisible por 2; 3 y 5?b) ¿Cuál es el menor dígito que debe escribirse a la derecha de 752 para que

resulte un número divisible por 3; 4 y 11?c) Cambia el orden de los dígitos del número 4370 a fin de que resulte un

número divisible por 2; 4; 5 y 11.d) ¿Cuál es el menor número que debe restarse de 4370 a fin que resulte un

número divisible por 9?e) ¿Cuál es el menor número que debe aumentarse a 2573 para que el

resultado sea divisible por 8?08. Considerando los números siguientes: 116; 204; 380; 465; 720; 657;

1080;453 y 2346. Indica lo siguiente:a) ¿Cuáles son divisibles por 2?b) ¿Cuáles son divisibles por 7?c) ¿Cuáles son divisibles por 11?d) ¿Cuántos son divisibles por 5?e) ¿Cuántos son divisibles por 8?

09. Desarrolle los siguientes planteamientos:a) Determinar una pareja (a; b) si: es múltiplo de 72.

b) Determinar una pareja (a; b) si: es múltiplo de 12.


01. La suma: es siempre divisible por:

a) 1 y 9 b) 1 y 11 c) 2 y 8 d) 1 y 99 e) N.a.

02. La diferencia: es siempre divisible por:

a) 1; 3 y 9 b) 3; 9 y 11 c) 9 y 11 d) sólo 9 e) N.a.

03. La diferencia: es siempre divisible por:

I) 2 II) 3 III) 1 IV) 9 V) 11 VI) 7

Son ciertas:

a) sólo I, II y III b) sólo II, IV, y VI c) sólo II, III y Vd) todas excepto I y Vi e) Todas

04. El producto de 3 números consecutivos es siempre múltiplo de:

a) 1; 2; 3 y 4 b) 2; 3; 4; 5 y 6 c) 1; 2; 3; y 6 d) 2 y 5 e) 1; 3; 7 y 11

05. El número de la forma es siempre divisible por:

a) 1; 2; 3 y 4 b) 1; 2; 3 y 5 c) 1; 2; 3 y 6 d) 1; 2; 3; 4; 6 e) N.a.

TAREA DOMICILIARIA

01. El producto de dos números consecutivos es siempre divisible por:

02. El número de la forma es siempre divisible por:

03. ¿Cuál es le valor de "a" para que sea divisible por 8?

04. Hallar el mayor valor de "a" para que sea divisible por 3.

05. Hallar "x" en:

56


RESTOS POTENCIALES

Se llaman restos potenciales de un entero "E" respecto a un módulo "m" al residuo que deja cada una de las potencias naturales de "E" al ser divididos entre el módulo "m".

Ejemplo: Calcular los restos potenciales de 3 respecto al módulo 5.

Solución:

30 = + 1

31 = + 3

32 = + 4 g = 4

33 = + 2

34 = + 1

35 = + 3

36 = + 4

37 = + 2

"Observe que los restos potenciales empiezan a repetirse en forma ordenada y periódica. Al tomar una potencia cualquiera luego de 4 potencias sucesivas se obtendrá el mismo resto que deja la potencia tomada".

GAUSSIANO (g): Se llama así a la menor cantidad de restos diferentes posibles que forman el periodo. En el ejemplo anterior: g = 4.Se tiene en general:

+ 1 E =

3E = + 3 E = + 1

+ 4 E = + 2

+ 2 E = + 3

Ejemplo: Hallar el resto de dividir: 340001 entre 5.

340001 = + r

34+1 = + r

+ 3 = + r

Por tanto : r = 3

ECUACIONES DIOFÁNTICAS

Son aquellas ecuaciones insuficientes en las cuales los coeficientes y las variables son números enteros.

Ejemplo: Determine los valores de "x" e "y" sabiendo que son número enteros:

4x + 7y = 225

Resolución: Criterio: Divisibilidad por 4

4x + 7y = 225

+ (4+3)y = + 1

3y = + 1

3y - 1 =

3y - 1 - 8 = -

3 ( y - 3 ) =

y - 3 =

y = + 3 Luego y = 3

Reemplazando en la ecuación inicial: x = 51

PRÁCTICA DE CLASE

01. ¿Cuál es el residuo de dividir 260 entre 7?

57


02 .¿Cuál es el residuo de dividir 250 entre 17 ?


04. Hallar el residuo que resula de dividir 155 154 entre 8.

05. ¿Cuántos númerales de dos cifras son múltiplos de 8?.

06. ¿Cuántos numerales de 4 cifras múltiplos de 7 y terminan en 3?.

08. Cuantos números de 3 cifras múltiplos de 9 existen de tal manera que la cifra central sea igual a la suma de las laterales .

09. Cual es el menor número de tres cifras, múltiplo de 7 que da de resto la unidad al ser dividido por 3 u 11?

10. Compre vacas a $ 45 000, cada una y caballos a $ 52 000 cada uno. Si en total gaste $ 939 000. Hallar la diferencia entre el numero de vacas y de caballos que compre .

11. Se compran panetones y tortas a $ 4 y $ 7 respectivamente . Si el gasto fue de $ 123 en total. Determinar la suma del números de panetones mas el de tortas, si el producto de estos números es lo máximo posible.

12. Compre vacas, cerdos y ovejas que cuestan: s/.70 000, s/.50 000, s/.30000, respectivamente, gastando en total s/. 1 290 000. Si compré doble numero de cerdos que ovejas. ¿Cuántos animales compré en total?

a) 23 b) 28 c) 30 d) 25 e) NA



a) 1 b) 6 c) 5 d) 2 e) N.A

02. En una tienda hay artículos A, B, C, D y F cuyos precios son: 2; 3; 5; 7 y 11 nuevos soles respectivamente. Si tengo S/. 231 y no me debe sobrar nuevos soles?. ¿Qué artículos puedo comprar?

a) A, B y C b) A, B y D c) B, C y D d) B, D y E e) N.a.

03. María va al mercado con S/. 22,590, compra papayas a 770 soles cada una, naranjas a 910 soles cada una y manzanas a 1430 soles cada una . Si compra la mayor cantidad posible de manzanas; cuantas frutas compro en total, si gasto todo su dinero .

a) 7 b) 8 c) 9 d) 4 e) NA

04. ¿Cuántos múltiplos de 19 hay entre 50 y 450?

a) 19 b) 21 c) 20 d) 32 e) 33

05. ¿Cuántos múltiplos de 17, entre 200 y 1300 terminan en cifra 8?

a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11

TAREA DOMICILIARIA


02 ¿Cuál es el residuo de dividir 1980 entre 17 ?

03. ¿Cuántos múltiplos de 19 hay entre 105 y 250?

04. ¿Cuántos múltiplos de 17, entre 500 y 1000 terminan en cifra 8?

05. Se han comprado botellas de vino: 7 cajas de 18 botellas a s/.50 por botella, 1 caja de 13 botellas a S/.300 por botella, también por lo menos una caja de 19 botellas a S/.100 por botella y cajas (por lo menos una) de 10 botellas a S/. 290 por botella; si por todo se pago S/. 42 000. ¿Cuantas cajas del ultimo grupo se compraron ?

58


TEORÍA DE LOS NÚMEROS PRIMOSTEORÍA DE LOS NÚMEROS PRIMOS

NÚMERO PRIMO: Es aquel número que tiene únicamente 2 divisores: el mismo y la unidad.

P : número primo (# primo absoluto)

Tabla de Números Primos Menores que 200

2 3 5 7 11 13 17 19 23

29 31 37 41 43 47 53 59 61

67 71 73 79 83 89 97 101 103

107 109 113 127 131 137 139 149 151

157 163 167 179 181 191 193 197 199

Números primos relativos o primos entre si (PESI)

Son dos o más números que tienen como único divisor común a la unidad.

Ejemplo 1

Número Divisores

10 1 ; 2 ; 5 ; 10

21 1 ; 3 ; 7 ; 21

10 y 21 son PESI

Números primos entre si dos a dos (PESI 2 a 2)

Un conjunto de números resultará ser PESI 2 a 2 si precisamente al tomarlos en pareja resultan ser primos entre sí.

Ejemplo 1: ¿Son 8 ; 9 y 25 PESI 2 a 2 ?

Solución:

8 : 1 ; 2 ; 4 ; 8

9 : 1 ; 3 ; 9

Observación

A. Dos números enteros consecutivos siempre son PESI.

B. Dos números impares consecutivos también son PESI

CRITERIO PARA RECONOCER SI UN NÚMERO ENTERO ES PRIMO

Para saber si un número dado es primo o no, se deben seguir los siguientes pasos:

a. Extraer la raíz cuadrada, aproximadamente por defecto.

b. Enumerar los números primos menores a esta aproximación

c. Aplicar las condiciones de divisibilidad del número por cada uno de estos números primos.

d. Si en ninguno de los casos es divisible, se dice que el número es primo.

Ejemplo 1: ¿Es 853 número primo?

Solución

a) 29 , . . .

b) Los números primos menores que: 29 , . . .

2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29

c) Cómo 853 no es divisible por ninguno de estos números entonces podemos afirmar que es un número primo.

DESCOMPOSICION CANONICA

(Teorema fundamental de la Aritmética o Teorema de Gauss)

Todo número entero mayor que uno (compuesto) se puede descomponer como el producto de sus factores primos elevados a exponentes enteros positivos, dicha descomposición es única.

Sea “N” el número compuesto.

N = A x B x C

A, B, C factores primos.

, , Exponentes (números enteros positivos)

REGLA PARA DETERMINAR LOS DIVISORES DE UN NÚMERO

a) Se descompone el número en factores primos

59


b) Se escribe el 1 (que es divisor de todo número) y a continuación se pone las diversas potencias del primer factor primo.

c) Se multiplica los divisores hallados por las diferentes potencias del segundo factor primo.

d) Se multiplica todos los factores hallados anteriormente por las diferentes potencias del tercer factor y así sucesivamente. El último divisor hallado al formar éstos productos es el número dado.

Tabla de divisores de 240

1 2 4 8 16

3 6 12 24 48 x3

5 10 20 40 80 x5

15 30 60 120 240 3x5

* 240 posee 20 divisores de los cuales 3 son divisores primos ( 2 ; 3 ; 5 ).

Ejemplo:

24 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 24

La Divisores Divisores

Unidad Primos Compuestos

D (24) = 8 DP = 2 DC = 5

Número de Divisores Divisores

divisores de 24 Primos compuestos

Sea “N” un número compuesto.

ESTUDIO DE LOS DIVISORES DE UN NÚMERO

I. Cantidad de divisores [D(N)]

El número total de divisores de un número es igual al producto de los exponentes de los factores primos aumentados en 1.

D(N) = ( + 1) ( + 1) ( + 1)

Ejemplo:

720 = 24 x 32 x 51

D(720) = (4+1)(2+1)(1+1)

D(720) = 5 x 3 x 2 = 30

II. Suma de divisores [SD(N)]

Ejemplo:

240 = 24 x 3 x 5

SD(240) = 744

Importante:

Todo número que tenga un número impar de divisores es un número cuadrado perfecto.

Ejemplo:

9 1 , 3 , 9 ; D(9) = 3.

Divisores

36 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36; D(36) = 9

Divisores

PRÁCTICA DE CLASE

01. Descomponer canónicamente cada número:

a) 2000 b) 5200 c) 7200

02. Descomponer canónicamente 420 e indicar los factores primos.

60


03. Descomponer canónicamente 770 e indicar los factores.

04. Determinar el número de divisores de 720.

05. Determine cuántos y cuáles son los divisores de 72.

06. Para el número 1440, determine ¿Cuántos divisores tiene?; ¿Cuántos son compuestos?; ¿Cuántos son primos?; ¿Es perfecto, defectuoso o abundante?.

07. Para el números: 60, determine:

a) El número de divisores primos.b) El número de divisores compuestosc) El número de divisores.d) La suma de todos sus divisores.e) La suma de sus divisores compuestos.

08. Dado el número 315 000, determine:

a) El número de divisores.b) El número de divisores pares.c) El número de divisores impares.d) El número de divisores múltiplos de 3.e) El número de divisores múltiplos de 21.f) El número de divisores que terminan en cero.

09. Hallar el valor de K, si: 25 x 15K tiene 24 divisores.

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) N.A

10. Si el número: N=25.3x.5x ; tiene 20 divisores compuestos. Hallar "x".

a) 4 b) 5 c) 2 d) 3 e) N.A

11. Hallar la suma de los divisores de 24 que sean múltiplos de 3.

a) 24 b) 45 c) 18 d) 36 e) N.A

12. De los divisores de 180, hallar la suma de los que sean múltiplos de 6.

a) 432 b) 528 c) 682 d) 316 e) N.A

13. ¿Cuántos ceros se debe poner a la derecha de 9 para que el resultado tenga 239 divisores?

a) 5 b) 8 c) 10 d) 16 e) N.A

14. ¿Cuántas veces hay que multiplicar por 8 el número 300 para que el resultado tenga 126 divisores?

a) 5 b) 8 c) 10 d) 16 e) N.A

15. Si 12x tiene 63 divisores compuestos. Calcule "x".

a) 5 b) 8 c) 4 d) 6 e) N.A


01. Si: A = 202 453 y B = 123 302, ¿Cuántos divisores tiene A B?

a) 1248 b) 624 c) 720 d) 814 e) N.a.

02. Calcular la suma de todos los números primos que existen entre 30 y 50.

a) 142 b) 199 c) 172 d) 184 e) 190

03. Hallar el valor de "x" para que el número A = 10 12x, tenga 36 divisores.

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

04. ¿Cuántas veces debemos multiplicar 5 al número 12, para que el producto tenga 24 divisores?

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

05. ¿Cuál es el menor número que tenga 6 divisores?

a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 15

06. Un número tiene como factores primos: 2; 3 y 5. Si éste número tiene 20 divisores y es el menor posible, ¿cuál es la suma de sus cifras?

a) 6 b) 8 c) 7 d) 5 e) 4

07. ¿Cuantos divisores de 540 son múltiplos de 2?

a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 15

08. ¿Cuántos divisores de 1200 son múltiplos de 10?

a) 14 b) 16 c) 18 d) 13 e) 11

09. ¿Cuántos divisores de 640 no son múltiplo de 20?

a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 e) 9

10. Si: A = 122 303 y B = 15 202. ¿Cuántos divisores tiene A/B?

a) 10 b) 12 c) 16 d) 19 e) 20

TAREA DOMICILIARIA

61


01. Descomponer canónicamente cada número:

a) 7040 b) 8100

02. Descomponer canónicamente 630 y calcular sus divisores.

03. Descomponer canónicamente 1080 e indicar el número de divisores.

04. Descomponer canónicamente el número 5040; e indicar:

a) Todos sus divisores. b) Sus divisores primos

c) El número de divisores d) El producto de sus divisores

e) La suma de sus divisores f) La suma de las inversas de sus divisores.

MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚNMÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO MÚLTIPLO

MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D.)MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D.)

Para que un número sea el MCD de dos o más cantidades debe reunir las siguientes condiciones:

1. Es un divisor común de los números.2. Es el mayor posible.

Formas Prácticas para determinar el MCD

1. DESCOMPOSICIÓN SIMULTÁNEA

Ejemplo: Determinar el MCD de 20 y 15.

20 - 15 5 MCD 4 - 3

PESI

Observación: Si a cada uno de los número de un conjunto de ellos se divide entre su MCD, los cocientes obtenidos son números PESI.

2. POR DESCOMPOSICIÓN CANÓNICA

Ejemplo: Determinar el MCD de los números:

A = 26 x 35 x 54

B = 24 x 53 x 72

MCD ( A ; B ) = 24 x 53

"Para determinar el MCD de dos cantidades expresadas en función de sus factores primos (descomposición canónica), se toman los factores comunes elevados a sus menores exponentes".

3. ALGORITMO DE EUCLIDESPermite calcular el MCD de tal solo 2 cantidades

Ejm:

Calcular el MCD (380, 220)

MCD(380, 220) = 20

Propiedades:

1. El MCD nunca es mayor que uno de los números.2. Si el menor de los números es divisor común de los otros entonces el MCD será

ese número menor.3. El MCD de dos números PESI es la unidad.4. Todos los divisores comunes de varios números son los divisores de su MCD.

n es divisor común de A y B

62


n es divisor del MCD (A, B)

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (M.C.M.):

Para que un número sea el MCM de dos o más cantidades debe reunir las siguientes condiciones:

1. Debe ser un múltiplo común a los números.2. De ser el menor posible.

Formas Prácticas para determinar el MCM

1. DESCOMPOSICIÓN SIMULTÁNEA

Ejemplo: Determinar el MCM de 20 y 15.

20 - 15 2 10 - 15 2 5 - 15 3 5 - 5 5 MCM 1 - 1

MCM ( 20 ; 15 ) = 22 x 3 x 5 = 302. POR DESCOMPOSICIÓN CANÓNICA

Ejemplo: Determinar el MCM de los números:

A = 26 x 35 x 54

B = 24 x 53 x 72

MCM ( A ; B ) = 26 x 35 x 54 x 72

"Para determinar el MCM de dos cantidades expresadas en función de sus factores primos (descomposición canónica), se toman los factores comunes y no comunes elevados a sus mayores exponentes".

Propiedades:

1. El MCM nunca es menor que uno de los números.

2. Si el mayor de los números es múltiplo de los otros entonces el MCM será ese número mayor.

3. El MCM de dos números PESI es el producto de dichos números.

4. Todos los múltiplos comunes de varios números son los Múltiplos de su MCM”

PROPIEDADES DEL MCD y MCM

01. Para 2 cantidades : A x B = MCD x MCM

Ejemplo :

MCD (24, 36) 12MCM (24, 36) = 72 24 x 36 = 12 x 72

02. Casos Particulares de Cálculo :

a) Si A y B son Pesi

MCD (A, B) = 1

MCM(A, B) = A x B

b) Si A =

MCD(A, B) = B

MCM(A, B) = A

PRÁCTICA DE CLASE

01. Hallar el MCM de:

63


02. Hallar el MCD de:

03. En cada caso observa bien los números y halla directamente el MCM:

MCM (6 y 36) = ............................... MCM (5, 15 y 60) = ...............................

MCM (7 y 63) = ............................... MCM (7, 63, 21) = ...............................

MCM (9 y 72) = ............................... MCM (3, 12, 48) = ...............................

MCM (81 y 27) = ............................... MCM (4, 12, 60) = ...............................

04. A es el MCM de 48, 6 y 192B es el MCM de 35, 14 y 28. Hallar A + B

05. Se sabe que:P = es el MCM de 108, 9 y 18Q = es el MCM de 6, 24 y 18. Hallar P – Q

06. Si A es el MCM de 49 y 8 y B es el MCM de 9 y 10. Hallar 5A – 4B

07. Hallar directamente el MCD de:

MCD (25, 50) = ............................... MCD (7, 11) = .......................................

MCD (6, 36) = ............................... MCD (11, 21, 35) = ...............................

64


MCD (12, 48, 36) = .......................... MCD (15, 5, 35) = .................................

MCD (5, 6) = ............................... MCD (20, 40, 10) = ...............................

08. Hallar la suma del MCD de 18 y 24 con el MCM de 6 y 27

09. Halla el MCM de las soluciones de 12x – 50 < 10

10. Hallar el MCD de (A, B) si

11. Hallar el producto del MCM por el MCD de 78 y 182

12. Si .

Hallar:

MCM (B, C) MCM (A, B)

MCD (A, B) MCD (B, C)


Si 3n – 8 = n + 2 4 ; ; . Hallar:

01. MCD (n, x)a) 4 b) 3 c) 5 d) N.A

02. MCD (n, z)

a) 4 b) 6 c) 3 d) N.A

03. MCD (n, z, x)

a) 8 b) 5 c) 3 d) N.A

04. MCM (n, x)

a) 40 b) 20 c) 60 d) N.A

05. MCM (n, x, z)

a) 720 b) 540 c) 150 d) N.A

06. Juan participa en una carrera y antes de llegar a la meta pasó al segundo atleta. ¿En qué lugar llegó Juan?

a) Primero b) Segundo c) Tercero d) N.a.

TAREA DOMICILIARIA 01. Hallar el MCM de:

36, 45

20, 36, 80

16, 36, 72

02. Hallar el MCD de:

36 – 48

144 – 80

12 – 30

4 – 10 – 18

20 – 50 – 70

RAZONAMOS CON EL MCM Y EL MCD

PRÁCTICA DE CLASE

01. Hallar el MCM de las soluciones mayores que 1 de:

65


5 x + 3 < 4 x + 7

4 x – 9 < 2 x + 3

02. ¿Cuál es el menor número, diferente de cero, divisible por 4, 12 y 18?

03. ¿Cuál es el mayor número que puede dividir a la vez a 72, 120 y 1080?

04. Claudia va a la gimnasia cada 4 días, Krizia cada 5 días y Diana cada 10 días. Si los tres se encuentran el 2 de agosto. ¿en qué fecha se encontraron nuevamente?

05. En un salón hay 30 alumnos y en otro salón 36. Si se forman grupos del mismo número de alumnos en ambos salones. ¿Cuál será el máximo número de alumnos que podrá tener este grupo?

06. Un gallo canta cada 8 minutos y otro cada 12 minutos. Si ambos cantan a las 6:00 am. ¿A qué hora volverán a cantar juntos otra vez?

07. Una abuelita tiene 3 nietas. Una lo visita cada 12 días, otro la visita cada 15 días y el otro cada 20 días, si casualmente se encuentran las tres en un mismo día. ¿Cuánto tiempo después se volverán a encontrar las tres juntas?

08. Tienes 120 casetes de salsa, 80 casetes de rock y 72 casetes de música criollo. ¿Cuál es el mayor número de paquetes iguales que puedes hacer y cuantos casetes de cada clase de música podrás en cada paquete?

09. Tres líneas de microbuses salen de un mismo paradero inicial. De la primera línea salen microbuses cada 2 horas, de la segunda salen microbuses cada hora y de la tercera cada hora con 12 minutos. Si a las 6:00 a.m. salen los tres juntos. ¿A qué hora volverán a salir al mismo tiempo?

66


10. Tenemos 90 galletas, 54 chocolates y 150 bombones, necesitamos empaquetarlos en bolsas que contengan la misma cantidad de cada artículo. ¿Cuál es la máxima cantidad de bolsas que se necesitan?

11. La suma de dos números es 27. Si uno de ellas es 12. ¿Cuál es el producto de su MCM por su MCD?


01. Hallar la suma del MCD de 18 y 24 con el MCM de 6 y 27

a) 50 b) 40 c) 60 d) N.A

02. Hallar la suma del MCD y el MCM de los números 18 y 60

a) 144 b) 186 c) 120 d) N.A

03. El MCM de 30 y 40 excede al MCD de 80 y 120 en:

a) 40 b) 60 c) 80 d) N.A

04. La suma de dos números es 30. Si uno de ellos es 2/3 del otro, hallar el producto del MCM por MCD de los números.

a) 600 b) 60 c) 500 d) N.A

05. Halla el menor número que al ser dividido por 12, 18 y 36, siempre tiene como residuo 6a) 36 b) 42 c) 38 d) N.A

TAREA DOMICILIARIA

01. Katherine va al mercado cada 6 días y Rosa cada 7 días ¿Cada cuantos días coinciden?

02. Tres líneas de autobuses salen juntas del terminal terrestre a las 06 horas. Si la 1ra línea sale cada 15 minutos, la 2da cada 18 minutos y la 3ra cada 24 minutos. ¿A qué hora volverán a salir juntas nuevamente?

03. Una madre a su hija, si mi edad se divide entre 2, 3 y 5, siempre se obtiene 3 de resto. ¿Cuántos años tengo, si todavía no cumplo los 35 años?

04. De las 138 clases de matemática al año, un alumno asistió a un número de ellas que es múltiplo de 6, 7 y 9. ¿A cuantas clases no asistió?

05. 3 varillas de fierro de 12, 15 y 24 m de longitud respectivamente se quieren dividir en partes de igual y la máxima longitud posible ¿Cuántas partes se obtendrán?

06. ¿Cuál es la mayor longitud que debe tener una cinta métrica para medir exactamente longitudes de 90m y 108m?

07. El MCM de 2 números es 630. Si su producto es 3780 ¿Cuál es su MCD?08. ¿Cuál será la mayor longitud posible de una medida con la que se puede

calcular, exactamente dimensiones de 240 ; 180 y 600 m ?

NÚMEROS FRACCIONARIOSSabias qué ...

Recordamos:Una fracción expresa una o más partes iguales de la unidad.

La mitad se ha dividido en 4 partes iguales de las cuales se han tomado 3 partes (Región Sombreado) que como fracción se escribe:

67


ó

se lee: tres cuartos

LOS TÉRMINOS DE UNA FRACCIÓN SON:

NUMERADOR Y DENOMINADOR

El ............................................ indica en cuantas partes iguales se ha dividido la

unidad.

El ............................................ indica cuantas partes se han tomado.

Se lee: Cinco octavos

Se representa así:

y en la recta numérica

CLASES DE FRACCIONES

Fracciones Comunes

Son aquellas cuyo denominador no es la unidad seguida de ceros

Fracciones Decimales

Son aquellas cuyo denominador es la unidad seguida de ceros

Fracciones Propias

Son aquellas cuyo numerador es menor que el denominador. Es menor que la unidad

Fracciones Impropias

Son aquellos cuyo numerador es mayor que el denominador. Es mayor que la unidad

Fracción Igual a la Unidad

Es aquello cuyo numerador es igual al denominador

Fracciones Homogéneas

Son aquellas que tienen igual denominador

Fracciones Heterogéneas

Son aquellos que tienen diferente denominador

Número Mixto En el que consta de un entero y una fracción

Fracciones Equivalentes:

Si se divide o se multiplica el numerador y el denominador de una fracción por un mismo número distinto de cero se obtiene una fracción equivalente a la fracción dada.

PRÁCTICA DE CLASE

01. Representa gráficamente cada fracción y clasifica en Propia o Impropia:

68


02. Representa en la recta numérica las fracciones y clasifícalas en Propias o Impropias:

03. Escribe la fracción para cada gráfico:

................................................. .................................................

04. Escribe 10 fracciones Impropias:

.................................................................................................................................

..

.................................................................................................................................

..

05. Escribe 10 fracciones Propias:

.................................................................................................................................

..

.................................................................................................................................

..

06. Escribe 5 fracciones iguales a la unidad:

.................................................................................................................................

..

.................................................................................................................................

..

07. Escribe 10 fracciones Decimales:

.................................................................................................................................

..

.................................................................................................................................

..

.................................................................................................................................

..

09. Escribe 3 fracciones equivalentes para cada fracción:

10. Convierte a número Mixto:

11. Convierte a fracción impropia:

69


12. Simplifica las fracciones hasta obtener una fracción irreductible:

TAREA DOMICILIARIA

01. Representa en forma gráfica y en la recta numérica las fracciones:

;

02. Convierte a Mixto:

;

03. Convierte a Fracción:

04. Escribe 4 fracciones Equivalentes a:

;

FRACCIONES COMPLEJAS

Fracción compleja es aquella cuyo numerador o denominador, o ambos son quebrados.

Ejemplo:

PRÁCTICA DE CLASE

Simplificar:

70


01.

02.

03.

04.

05.

06.

07.

08.

09.

71


10.

11.

12. ¿Cuánto le falta a 4/9 para ser igual a los 2/3 de 5/2?

13. Tenía 360 soles. Gasté los 2/9 y regalé los 3/5. ¿Cuánto me queda?

14. El granjero Arturo tiene 1200 aves. Si los 5/8 del total son pollos, los 8/9 de lo que falta para el total son gallinas y el resto son pavos ¿Cuántos pavos tiene?


01. Efectuar: 3 x + 1 = 7/5

a) 2/15 b) 3/15 c) 1/5 d) N.A

02. Si 4 x + 3 = 7/2 y 3m – 3/2 = 3/4. Hallar x + m

a) 4/12 b) 1/8 c) 7/8 d) N.A

03. Resuelve:

a) b) c) d) N.A

04. Simplificar

a) b) c) d) N.A.

05. Efectuar de los de 72

a) b) c) d) N.A

TAREA DOMICILIARIA

72


01.

02.

03.

04.

05.

POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN DE FRACCIONES

Si es una fracción y “n” el exponente:

Si es una fracción y “n” el índice de la raíz:

PRÁCTICA DE CLASE

01. Efectuar:

.......................................... ..........................................

.......................................... ..........................................

.......................................... ..........................................

.......................................... ........................................

..

02.

73


03.

04.

05.

06.

07.

08.

09.

10.

11.

12.

74


13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

75


RAZONAMOS CON FRACCIONES

PRÁCTICA DE CLASE

01. La mamá de Renzo compró dos retazos de la misma tela. Uno media 5/8 de metro y el otro 7/12 de metro. ¿Cuántos metros de tela compró?

02. El papá de Yosefin compró los 7/8 de una finca y vendió 5/6. ¿Qué parte le quedó?

03. Nestor vendió 3/8 de su terreno y luego vendió 5/16 ¿Qué parte le queda?

04. Carlos camina en un día 1/2 Km y al día siguiente 3/4 Km. ¿Cuánto ha recorrido en total?

05. Enrique compra 3m de casimir y para confeccionar su terno utiliza 14/5m ¿Cuánto le queda?

06. Fiorella ha leído 3/5 de un libro. ¿Qué parte del libro le falta leer?

07. Viviana lee 5/8 de un cuento y al día siguiente lee 2/8 ¿Qué parte del libro le falta leer?

08. Un jardinero corta 3/7 del césped de un parque. ¿Qué parte del césped le falta cortar?

09. Hay 3/4 de una torta y Giorgio se come 1/4. ¿Cuánto queda?

10. Caminé 3/11 Km y regresé. ¿Cuánto caminé?

76


11. Vendo 5/7 de un terreno. ¿Qué parte me queda?

12. ¿A que fracción le falta 1/2 para valer 5/8?

13. María compra 3/4m de cinta roja y 4/5 de cinta blanca. Si gasta 7/20. ¿Cuánto le queda?

14. Si un saco de harina pesa de Kg. ¿Cuál será el peso de 6 sacos?

15. Tengo una varilla de fierro de 26m de longitud que debo dividir en pedazos

iguales de m ¿Cuántos pedazos obtengo?

16. Se repartió de un bizcocho entre 4 niños. ¿Qué parte del bizcocho recibió

cada uno?

17. Si en minuto se lee una página de un libro. ¿Cuántas páginas se

leerán en 60 minutos?

18. Repartí soles entre varios personas y a cada una le tocó

. ¿Cuántas personas eran?

19. Un albañil levanta metros de pared en 1 día. ¿Cuántos metros construye

en 20 días?

77



01. Si . Hallar A + B

a) b) c) d) N.a.

02. Carmen recibe de regalo tres bolsas con azúcar. La primera bolsa contiene

Kg. De azúcar, la segunda Kg. Y la tercera Kg. ¿Cuántos Kg. De

azúcar le regalaron?

a) 7Kg. b) 8 Kg. c) Kg. d) N.a.

03. De una pieza de tela se vendió primero m y después m Sobra un

retazo de m. ¿Cuál fue la longitud original de la pieza?

a) 31m b) 33m c) 32m d) N.a.

04. Un hombre camina Kg. el lunes, Km el martes, 10 Km el jueves y 5/8

de Km. ¿Cuánto ha recorrido en los 4 días?

a) 23 Km b) Km c) Km d) N.a.

05. Resolver 50 – (6 – 1/5)

a) b) c) d) N.a.

06. Una bolsa de caramelos pesa Kg. ¿Cuanto pesan 15 bolsas iguales?

a) 48 Kg b) 36 Kg c) 63 Kg d) N.A

07. Los 2/7 de los 3/8 de los 12/21 de la tercera parte de 294 es:

a) 6 b) 4 c) 5 d) N.A

08. Sumar 4/9 de 72 más 5/8 de 56

a) 55 b) 57 c) 67 d) N.A

09. Luisito cría 70 aves entre patos, gallinas y pavos. Los 2/5 del total son patos, los 3/7 son gallinas. ¿Cuántos pavos cría Luisito?

a) 10 b) 12 c) 11 d) N.A

10. Efectuar de 72 más 2/5 de 80

a) 82 b) 86 c) 83 d) N.A

TAREA DOMICILIARIA

01. Fernando ha estudiado horas, Enrique horas y Miguel 6 horas.

¿Cuánto han estudiado los tres juntos?

02. El lunes ahorré $ , el martes $ , el miércoles $ y el jueves $

. ¿Cuánto tengo?

03. Si tengo $ 7/8 ¿Cuánto me falta para tener $ 1?

04. Debo 180 soles y pago soles. ¿cuánto me falta por pagar?

05. Tenía 50 soles. Pagué S/. que debía, gasté S/. y después recibí S/.

. ¿Cuánto tengo ahora?

06. Pedro tiene años, Juan años más que Pedro y Martín tanto como

Juan y Pedro juntos. ¿Cuánto suman los tres edades?

07. La cuarta parte del día la emplea un niño en estudiar, la sexta parte en hacer ejercicios y la novena en divertirse. ¿Qué parte del día le queda libre?

08. Tenía 40 soles y gasté los 3/8 ¿Cuanto me queda?

78


09. En un colegio hay 324 alumnos y el número de alumnas es los 7/18 del total. ¿Cuántos varones hay? CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROSCONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS

INTRODUCCIÓN HISTÓRICA

La primera consideración sobre el número entero negativo no llega en el mundo occidental sino hasta el siglo XVI como consecuencia de la solución de ecuaciones algebraicas. En oriente, en cambio, durante el siglo IV ya manipulaban números positivos y negativos en los ábacos usando bolas de diferentes colores.

El matemático alemán Kronecker afirmó: “El número natural lo creó Dios y todo lo demás es obra de los hombres”. Si nos remitimos a tiempos remotos podemos encontrar que nuestros antepasados utilizaban los números, según su necesidad, cuál era el contar los animales que poseían, la cantidad de grano que almacenaban, etc. para lo cual era suficiente el conjunto de los números naturales. Posteriormente el hombre ha ido ampliando sus necesidades en la utilización de los números y se ha visto en la necesidad de ampliar el conjunto de los números naturales, como veremos más adelante.

JUSTIFICACIÓN PARA LA EXTENSIÓN DEL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES

Por lo aprendido, en el módulo anterior: N = {0; 1; 2; 3; 4; 5;........}; cuya representación en la semirecta es:

También, quedó establecido que las operaciones de adición y multiplicación siempre son posibles en N (definidas en N), esto es:

Sin embargo, la operación de sustracción existe solamente en una forma muy restringida, es decir sólo cuando el minuendo es mayor o igual que el sustraendo, y por lo tanto la sustracción no verifica la clausuratividad en N. Por ejemplo:

Propiedad de Clausura o cerradura:

a; b N (a + b) N a; b N (a . b) N15 – 7 = 8; 8 N M > S12 – 12 = 0; 0 N M = S21 – 36 = x; x N M < S

Se concluye:

79


- Con el conjunto de los números naturales (N), no es suficiente para realizar todas las operaciones.

- Para que la sustracción siempre sea posible se hace necesario extender o ampliar el conjunto N a otro conjunto de números en el cual la sustracción sea clausurativa.

- Se construye un nuevo conjunto de números que incluye al conjunto N. Cumpliéndose en este nuevo conjunto las operaciones y propiedades de los naturales.Además en este conjunto se establecen otras propiedades con las que será posible ampliar el campo operatorio.

- Este nuevo conjunto de números se denomina conjunto de los números enteros, cuya notación es Z.

1. CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS

Veamos los siguientes ejemplos:

37 – 29 = 8 37 = 8 + 2925 – 25 = 0 25 = 2512 – 56 = -44 12 = -44 + 56

1.1. Conjunto de los números enteros positivosAl conjunto de los números enteros positivos se denota por , siendo sus elementos las diferencias de números naturales (a-b), tales que a > b.

NOTACIÓN POR COMPRENSIÓN

= {a-b/a; b N a > b}

NOTACIÓN POR EXTENSIÓN

= { }

NOTACIÓN POR CONVENIO MATEMATICO

= {1; 2; 3; 4; 5; ....}

1.2. Conjunto unitario, elemento cero.

Este conjunto tiene como elemento al número cero (0), que se obtiene de la diferencia de números naturales (a-b), tales que a = b.

{0} = {a-b/a; b N a = b}

El número entero cero no es positivo ni negativo, es decir:

0

0 1.3. Conjunto de los números enteros negativos

NOTACION POR COMPRENSIÓN

= {a-b/a; b N a < b}

NOTACIÓN POR EXTENSIÓN= { ...; }

1.4. Conjunto de los números enterosAl conjunto de los números enteros se denota por Z, siendo sus elementos todas las diferencias de números naturales, es decir, la reunión de los conjuntos antes mencionados, cuya notación son:

POR COMPRENSIÓNZ = Z- U {0} U

POR EXTENSIÓN

Z = { ..... ; ; ......}COROLARIO

Los números naturales forman un subconjunto de los números enteros.

Luego:

Todo número natural es entero, pero no todo número entero es natural.

Ejemplo:

7 N 7 Z-15 Z -15 N

REPRESENTACIÓN GRAFICA DE Z

2. REPRESENTACIÓN DE LOS NÚMEROS ENTEROS EN LA RECTA

NUMÉRICA

Se elige en la recta numérica un punto de origen, el que se le hace corresponder el número entero cero.

A la derecha de cero se ubican a distancias iguales, los números enteros positivos.

80


A la izquierda de cero se ubican a distancias iguales, los números enteros negativos.

3. NUMEROS ENTEROS OPUESTOS

Establecida la correspondencia de cada número entero, con un punto de la recta, se observa que los números enteros simétricos u opuestos

, equidistan de cero (expresan igual distancia al origen).

-2 y 2 son # Z opuestos.

4. VALOR ABSOLUTO: | |

El valor absoluto de un número es la distancia de dicho número al origen.

|a| se lee: valor absoluto de a.

Ejemplos:|7| = 7; (7 > 0)|0| = 0|-7| = 7; (-7 < 0)

De los ejemplos se concluye:

|a| nunca es un número negativo.|a| es mayor o igual que cero.|a| 0

4.1. APLICACIONES

1) Si |x| = 3, a qué números enteros representa x ?

Solución:

X es un número que dista 6 unidades del origen. Luego: X = {- 3; 3}

2) Si |x| < 5, a qué números enteros representa X?

Solución:X representa a todos los números enteros cuyas distancias al origen son menores que cinco.

Del gráfico: X = {-4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4}

3) Cuando afirmamos que |X| 5, a qué números enteros representa X?

Solución:X representa a todos los números enteros cuyas distancias al origen son iguales o menores que 5.

Del gráfico: X = {-5; -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5}

4) Si |X| > 2, a qué números enteros representa X?

SoluciónX representa a todos los enteros cuyas distancias al origen son mayores que 2.

Del gráfico: X = {.....; -5; -4; -3; 3; 4; 5; .....}

5) Cuando afirmamos que |X| 2. ¿A qué números representa X?

SoluciónX representa a todos los enteros cuyas distancias al origen son mayores o iguales que 2.

81


Del gráfico: X = {.....; -4; -3; -2; 2; 3; 4; .....}

5. COMPARACION ENTRE NUMEROS ENTEROS

En la recta numérica para los números enteros:

De aquí se deducen las siguientes propiedades de comparación entre

números enteros:

Propiedad 1: Cualquier número positivo es mayor que cero.

Propiedad 2: Cualquier número negativo es menor que cero.

Propiedad 3: Cualquier número positivo es mayor que cualquier

número negativo.

Ejemplo: +1 > -1 000 000.

Propiedad 4: De dos números positivos es mayor el que tiene mayor

valor absoluto.

Ejemplo: +50 > +12

Propiedad 5: De dos números negativos es mayor el que tiene menor valor absoluto.

Ejemplo: -16 > -58.

Escribe los símbolos <, = , > en el espacio que corresponde.

+127 ........ +132 +127 ........ +132

+19 ........ +7 |-7| ........ |7|

-11 ........ 0 -27 ........ -38

0 ........ -16 -124 ........ -178

8 ........ -26 -18 ........ 18

PRÁCTICA DE CLASE

A continuación proponemos una serie de ejercicios que te permitirán plasmar lo aprendido en la sesión. ADELANTE.

01. Colocar verdadero (V) o falso (F), según corresponda:

-3 N ........ ( ) 5 N ........ ( ) N Z ........ ( )

-8 Z ........ ( ) 7 Z ........ ( ) 0 Z ........ ( )

02. Ordenar de menor a mayor:

–104; -26; -5; 0; -1; +1; +3; +30; -60; -24

………………………………………………………………………..

03. Ordenar en forma decreciente.

–26; -32; -5; 0; -1; +1; +3; +30; +19

………………………………………………………………………….

04. Determine el valor absoluto de:

|-5| = ....................... |+5| = .......................

|-7| = ....................... |0| = .......................

|-50| = ....................... |-16|+|-5| = .......................

|-7| - |3| = ....................... |-233|+|+10| = .......................

05. Escribir 6 pares de números opuestos:

a) ...................................... b) ......................................

c) ...................................... d) ......................................

e) ...................................... f) ......................................

06. En la recta numérica:

Suponiendo que cada espacio mide 1 centímetro, entonces la distancia del punto:

D a cero es ......................... R es acero es .........................

M a cero es ......................... B es acero es .........................

E a cero es ......................... Q a cero es .........................

07. Dado |X| = 5. ¿Qué números enteros representa X? ¿Por qué?

82


08. Si |X| < 4. ¿A qué números enteros representa X? ¿Por qué?

09. Si |X| > 6. ¿A qué números enteros representa X? ¿Por qué?

10. Escribe el signo >, = ó <. Según corresponda en los espacios punteados.

a) –15 ........ -7 g) |-5| ........ |5|

b) 20 ........ +20 h) |-12| ........ |-18|

c) 12 ........ -12 i) |-15| ........ |+12|

d) -32 ........ 20 j) 0 ........ -9

e) –1 ........ 0 k) -32 ........ -1

f) 0 ........ 11 l) |0| ........ |-3|

EJERCICIOS PROPUESTOS N° 17

01. Dados los siguientes números enteros: -5 ; -12 ; -1 ; -18. determine el mayor de ellos.

a) -18 b) -5 c) -12 d) -1

02. Dados los siguientes números enteros determine el menor de ellos:

-8 ; -123 ; -15 ; -1

a) -123 b) -15 c) -8 d) -1

03. Luego de ordenar los siguientes números enteros, determine el que ocupa el lugar central: -8 ; 5 ; -2 ; -3 ; -9 ; 12 ; -18

a) -2 b) -3 c) 5 d) -8

04. Si |x| = 3 ¿Cuántos valores puede tomar “x”?

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3

05. Si |x-5| = 3 determine el menor valor que puede tomar “x”.

a) 8 b) 3 c) 2 d) -8

TAREA DOMICILIARIA

01. Ordenar de menor a mayor:

a) 10 ; -1 ; -8 ; +4 ; +7 ; -6 ; -9 b) –12 ; 13 ; +14 ; -7 ; -10 ; -1 ; 0

02. Ordenar en forma decreciente.

a) –4 ; -8 ; -13 ; 0 ; -7 ; +7 ; +16 ; -1

03. Si |X| 4. ¿A qué números enteros representa X? ¿Por qué? 04. Si |X| 3. ¿A qué números enteros representa X? ¿Por qué? 05. Si |X| = 6. ¿A qué números enteros representa X? ¿Por qué? 06. Si |X| < 5. ¿A qué números enteros representa X? ¿Por qué? 07. Si |X| > 4. ¿A qué números enteros representa X? ¿Por qué?

08. Aplicando las propiedades de la Igualdad y Desigualdad, escribir la conclusión en cada proposición?

a) Si: a = b y b = c. Se concluye: .................................

b) Si: -8 < -2 y -2 < 5. Se concluye: .................................

c) Si: -1 > -2 y -2 > -3. Se concluye: .................................

09. Escribe los símbolos <, =, > en el espacio que corresponde:

a) -152 ......... 0 g) |15| ......... |-15|

b) 22 ......... 4 h) |-21| ......... |-8|

c) 5 ......... -60/-12 i) |-1| ......... |2|

d) –32 ......... 23 j) 53 ......... -999

e) 03 ......... k) -39 ......... 2

f) 0 ......... -58 l) |10| ......... |-31|

83


10. En la recta numérica:

Suponiendo que cada espacio mide 1 centímetro, entonces la distancia del punto:

E a cero es ..................... H a cero es .....................

I a cero es ..................... B a cero es .....................

A a cero es ..................... J a cero es .....................

E al punto J ..................... C al punto F .....................

F al punto J ..................... A al punto J .....................

B al punto H ..................... C al punto I .....................

OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROSADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS

ENTEROS

I. ADICIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

SUMAR números enteros, significa combinarlas para obtener un solo número que represente el total de ellos o su efecto total.Veamos el siguiente ejemplo:Janelly dirige un negocio y diariamente ejecuta ventas donde se le podrían presentar las siguientes situaciones: GANANCIAS y PÉRDIDAS.Lo ejecutado por Elena lo detallamos en el cuadro adjunto, advirtiendo que a las ganancias y pérdidas le asignamos números enteros positivos y negativos respectivamente.

DIA SITUACIONESSUMANDO

ALGEBRAICAMENTEEFECTO

Lunes +15 +32 (+15) + (+32) = +47 Ganó

Martes -21 -10 (-21) + (-10) = -31 PerdióMiércole

s+52 -75 (+52) + (-75) = -23 Perdió

Jueves +127 -46 (+127) + (-46) = +81 Ganó

Viernes +89 -89 (+89) + (-89) = 0 Ni ganó Ni perdió

Del cuadro extraemos las siguientes reglas:

1. Para sumar números enteros que tienen el mismo signo, se suman sus valores absolutos y el signo del resultado es el mismo que el de los sumandos.Ejemplos:

(+15) + (+32) = +15 + +32 = +47(-21) + (-10) = -21 + -10 = -31

2. Para sumar números enteros de distinto signo, se restan los valores absolutos de los números dados (el mayor menos el menor) y se coloca al resultado el signo del número del mayor valor absoluto.Ejemplos:

(+52) + (-75) = +52 + -75 = -23(+127) + (-46) = +127 + -46 = +81

De los ejemplos anteriores podemos extraer la siguiente conclusión:

a) Cuando sumamos enteros de igual signo, el resultado es otro número entero del mismo signo.

FORMA PRÁCTICA

(+ ) + (+ ) = + 1. (+15) + (+32)

Suprimimos el operador y

paréntesis.

+15 + 32 = +47

(- ) + (- ) = - 2. (-25) + (-10)Suprimimos el operador y

paréntesis.-25 - 10 = -35

b) Cuando sumamos números enteros de distinto signo, el resultado lleva el signo del número de mayor valor absoluto.

FORMA PRÁCTICA

(+ ) + (- ) = ? 1. (+52) + (-75)Suprimimos el operador y

paréntesis.+52 - 75 = -23

(- ) + (+ ) = ? 2. +127 + -46Suprimimos el operador.127 - 46 = +81

c) Cuando sumamos números enteros, el resultado que se obtiene es otro número entero. (La adición es cerrada en Z).

84


II. SUSTRACCION DE NÚMEROS ENTEROS

Enunciemos la siguiente regla: para efectuar la sustracción de dos números enteros, basta sumar al minuendo el opuesto del sustraendo.

1) (-15) – (-7) 2) (+39) – (- 58)

La sustracción convertida en adición: Transformando la sustracción en adición:

(-15) + (+7) = -8 (+39) + (+58) = +97

Así, la sustracción queda transformada en una adición de números enteros y la regla para resolverla se dio anteriormente.

De los ejemplos expuestos podemos extraer la siguiente conclusión:

a) En la sustracción de números enteros, el resultado que se obtiene es otro número entero (la sustracción es cerrada en Z).

b) En la sustracción de números enteros, no se cumple la propiedad conmutativa.Ejemplo:

(-15) – (-7) (-7) – (-15)

(-15) + (+7) (-7) + (+15)

- 8 +8

c) Ampliamos afirmando que en la sustracción de números enteros, no se cumple la propiedad asociativa:Ejemplo:

[ (+7) – (-11) ] – (-32) (+7) – [ (-11) – (-32) ][ (+7) + (+11) ] – (-32) (+7) – [ (-11) + (+32) ]

(+18) – (-32) (+7) – (+21)(+18) + (+32) (+7) + (-21)

50 -14

OPERACIONES COMBINADAS DE ADICION Y SUSTRACCION EN Z

Veamos los ejemplos:

1) Efectuar: (+15) + (-11) – (+17) + (+5) – (-21)

Solución:

Expresando las sustracciones como adiciones:

OTRA FORMA:(+15) + (-11) – (+17) + (+5) – (-21)

Expresando las sustracciones como adiciones:(+15) + (-11) + (-17) + (+5) + (21)

Suprimiendo los operadores y paréntesis:+15 – 11 – 17 + 5 + 21

Agrupamos los números positivos y negativos.

2) Efectuar: -15 + {7 – 29 – [-16 – (8 – 3 – 5 + 7)] – 4}

Solución:Suprimimos el paréntesis (signo colector ubicado en la parte más interna); efectuando antes las operaciones del interior, lo mismo aplicamos con el corchete y llave.

OTRA FORMA

85


Podemos ir suprimiendo los signos corchetes comenzando por la parte más interna y antes de operar los números que se encuentran en su interior, así:

a) Si delante del paréntesis está el signo +, se suprime el paréntesis y los números del interior no alteran su signo.

+ (+7 – 10 – 8) = +7 – 10 – 8

b) Si delante del paréntesis está el signo, se suprime el paréntesis y los números del interior se alteran en su signo.

- (+7 – 10 – 8) = -7 + 10 + 8

Luego tenemos:

- 15 + {7 – 29 – [-16 – (8 – 3 – 5 + 7)] – 4}

- 15 + {7 – 29 – [-16 – 8 + 3 + 5 - 7)] – 4}

- 15 + {7 – 29 + 16 + 8 – 3 – 5 + 7 – 4}

- 15 + 7 – 29 + 16 + 8 – 3 – 5 + 7 – 4

Operamos los positivos y negativos por separado. (no se observa opuestos).

PRÁCTICA DE CLASE01. Resuelve :

a) +4 + +3 = b)

c) d)

e) f)

02. Halle el resultado de : 5 – 12 + 6 – 4 + 9 – 1 + 14

03. Efectuar: 20 – 15 + 8 – 12 + 4 – 8 + 16 – 30

04. Efectuar: – 6 – 4 + 8 + 3 + –5

05. Efectuar: –5 + 8 –12 + 4 + 5 –13 + 7 –11 + 16

06. Efectuar: +13 + –6 + +2 + –8

07. Efectuar: +4 + +3 + –5 + –7 + –10 + +9

08. Efectuar: 4 – 7 – 6 + 8 – 9 +5

09. Efectuar: 3 – 6 – 8 + 4 – 1210. Efectuar: +4 + –6 – 7 + –5 – –3 + –8 – +5 – –1011. Efectuar: (20 – 5) + (–6 + 18)12. Efectuar: 7– (+3 – 4 – 2)

13. Efectuar: +4 +

14. Efectuar: –4 + –8 + –3 – (+5 – –3)

EJERCICIOS PROPUESTOS N° 1801. ¿Cuántos enteros hay comprendidos entre -4 < x < 2?

a) 4 b) 5 c) 6 d) N.a.

02. Un submarino navega a una profundidad de 134 metros, asciende 40 metros, luego desciende 60 metros. ¿A que profundidad se encuentra?

a) 142m b) 124m c) 214m d) N.a.

03. ¿Cuál es el número que al restarle -3 da 5?

a) 6 b) -2 c) 2 d) N.a.

04. Halle el resultado de : E = 32 - {-16 - (-8 + 2) - (- 10 + 6) + 12 }

a) 22 b) 24 c) 26 d) N.a.

05. Si la suma de tres números es -20 y dos de ellos son -9 y -13 ¿Cuál es el otro número?

a) 1 b) 2 c) -2 d) N.a.

TAREA DOMICILIARIA Resuelve:

–4 + (–3 +6) – (+4 + –8) (–2 – 7) – (–1 – 2) + (–31 + 1)

+12 – 6 +7 –5 –8 + 5 – 2 + 4 – 3

–6 + -4 – –6 + –5 + –4 + +6 +6 + –4+ –5 + +8 + –4 + –8

+3 – [+6 + (+7 – +2 + –9)]

86


MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

Veamos: 13 + 13 + 13 + 13 + 13 = 5 . 13 = 65

5 veces

(-24) + (-24) + (-24) + (-24) + (-24) + .... + (-24) = 100 x (-24) = (100) (-24) = - 2400

100 veces

Se observa que la adición de sumandos iguales, se puede expresar como una multiplicación del sumando en referencia con las veces que éste se repite.

En la multiplicación de números enteros se pueden presentar distintas situaciones:

1. (+7) . (+8) = +56(-11) . (-7) = +77

Si dos números enteros tienen el mismo signo, para multiplicarlos se multiplican sus valores absolutos y el resultado es un número entero positivo.

2. (-15) (+7) = -105(+13) (-6) = -78

Para multiplicar dos números enteros que tienen distinto signo, se multiplican sus valores absolutos y el resultado es un número entero negativo.

En resumen:

Observaciones: Cuando existen más de dos factores, contamos cuántos de ellos son negativos. Luego:

a) Si el resultado del conteo es impar, el resultado será negativo (-). Ejemplo:

(-2)(-3)(5)(- 4) = - 120

b) Si el resultado del conteo es un número par, el resultado será positivo (+). Ejemplo:

(-3)(3)(-4) = 60DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

Veamos las divisiones:

15 -3 = -5; porque 15 = (-5)(-3) 15 es múltiplo de - 3

11 760 245 = 48; porque 11 760 = (245)(48) 11 760 es múltiplo de 245.

72 7 = x Z; porque no existe númer0000o entero que multiplicado por 7 nos de como producto 72. Por lo tanto 72 no es múltiplo de 7.

De los ejemplos anteriormente expuestos se concluye:

* La operación de división de números enteros no es clausurativa; no siempre se encuentra el entero que multiplicado por el divisor, dé el dividendo.

* La división en el conjunto de los números enteros sólo será posible cuando el dividendo (D) sea múltiplo del divisor (d) y éste diferente de CERO, con esta referencia se encontrará un número q (cociente) tal que multiplicado por d, nos dé por producto el número D.

Simbólicamente:

Si D, d, q Z; = q D = dq

Los elementos de la división son:

Dividendo (D).- Es la cantidad a ser dividida.

Divisor (d).- Indica el número de partes iguales en que debe dividirse el dividendo.

Cociente (c).- Es el número de elementos que resultan para cada una de las partes indicadas por el divisor.

Además para indicar la operación de división se acostumbra usar:

__ ; / ; estos signos representan al operador de la división leyéndose como “entre”.

87


Los números enteros pueden ser positivos o negativos, a efectos de realizar correctamente una operación de división, es preciso tener en cuenta las siguientes reglas:

1. Para dividir dos números enteros del mismo signo se dividen sus valores absolutos del primero por el segundo, y se antepone al cociente el signo más (+).

Ejemplos:(+16) (+4) = +4(-54) (-3) = +18

2. Para dividir dos números enteros de distintos signos se dividen sus valores absolutos del primero por el segundo, y se antepone al cociente el signo menos (-).Ejemplos:

(+52) (-4) = -13(-16) (+2) = -8

Recordar:

Al dividir dos números enteros:

- Del mismo signo, el cociente es positivo.- De distinto signo, el cociente es negativo.

Observaciones:

* El cero dividido por cualquier número entero distinto de cero es cero. Ejemplo:

* Un número entero (distinto de cero) dividido por cero es una operación que carece de sentido.

Ejemplo:

Carecen de sentido

PRÁCTICA DE CLASE01. Completa el cuadro:

X – 1 + 2 – 3 + 4 – 5 +6

+ 5

– 7

+ 8

– 9

+ 4

02. Completa el cuadro

: + 3 – 5 – 6 + 10

+ 60

– 180

+ 120

– 720

+ 360

03. Efectuar: (– 7) (+ 3) (– 2)

04. Efectuar: (– 1) (– 7) (+ 3) (– 10)

05. Efectuar: =

06. Efectuar:

07. Efectuar:

08. Efectuar: =

09. Efectuar:

88


10. Efectuar: – 7 (– 8 + – 6) =

11. Efectuar: (+ 3 – 6 + 2) x 5 =

12. Efectuar: +6 (– 1 + – 2 – +4 – –5) =

13. Efectuar: (– 3) (– 2) + 8 : (– 2) =

14. Efectuar: +72 : – 9 + – 45 : – 15

15. Efectuar: +72 : – 9 + – 45 : – 15

16. Efectuar: (– 9 – + 15) : (– 10 + + 8)

17. Efectuar: –2 x – 3

EJERCICIOS PROPUESTOS N° 19

01. Identifica la propiedad aplicada en :

a) Elemento Neutro b) Asociativa c) Elemento Absorbente d) N.a.

02. Señale el menor de los números:

M = (–2) . (+ 3) ; N = (+ 6) : (– 1) ; P = (–2) + (–2) – (– 5)

a) Sólo M b) M ó N c) N ó P d) sólo P

03. Antonio, que colecciona llaveros, les dijo a sus amigos Ana y José: “Si agrupo mis llaveros en grupo de 11 me sobran 7; y si los agrupo en grupos de 23 me sobran 3. ¿Cuántos llaveros tengo si son más de 50 y menos de 100?”

a) 95 b) 86 c) 96 d) 99

04. La suma de los cuatro primeros primos impares es :

a) 17 b) 26 c) 24 d) 15

05. Si el promedio de tres números consecutivos es impar, el número intermedio es:

a) múltiplo de 3 b) Primo absoluto c) número par d) número impar

TAREA DOMICILIARIA

Resolver:

01. –60 : (– 2 x – 3 x – 5) 07. (– 2) (–3) (– 2) (– 1) (– 4) (–5)

02. 200 : 08. – 12 x [– 6 – 10 x (– 2 –

3)]

03. (+ 12 + 8 – 4) : + 4 09. –5 + 3 x 8 – (4 – 1 x 5)

04. (21 + 70 – 42) : 7 10. (8 – 3) x 4 – 1

05. (105 + 75 – 125) : 5 11. (– 13 + 6) x (– 3) + 4 x (– 1)

06. – 3 (– 2) (5) (7) (– 1) 12.

89


POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

POTENCIACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

Es una operación que consiste en elevar un número entero “b” a un exponente natural “n”, el cual nos indica la cantidad de veces que se repite la base entera como factor, hallando así el resultado llamado Potencia.

Ejemplos:

= (+7)(+7) = +49

2 veces

= (+3) (+3) (+3) (+3) (+3) = +243

5 veces

= (-2) (-2) (-2) (-2) (-2) (-2) = +64

6 veces

= (-3)(-3)(-3) = -27

3 veces

Por lo mostrado en los grupos anteriores, es preciso tener en cuenta las siguientes reglas:

1) Si la base es positiva y el exponente cualquier número natural, el resultado es positivo:

Ejemplo: = + 625

= + 216

2) Si la base es negativa y el exponente un número natural par, el resultado es positivo:

Ejemplo: = + 64

3) Si la base es negativa y el exponente un número natural impar, el resultado es negativo.Ejemplo:

= - 125

= - 128

RADICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

La radicación es la operación inversa a la potenciación que consiste en encontrar un número entero “b”, llamado raíz, el cual elevado a un exponente natural “n”, llamado índice nos reproduzca el valor P, llamado radicando o cantidad subradical.

b : base b: raíz enésima (b Z)n : exponente n: índice (n N, n > 1)P : potencia P: radicando o cantidad subradical.(P Z)

Nota:

- La potenciación es la operación que permite hallar la potencia conociendo la base y el exponente.

- La radicación es la operación que permite hallar la raíz enésima, conociendo el radicando y el índice.

La raíz enésima de un número P es otro número b que elevado al exponente “n” nos reproduce P.

Simbólicamente:

Ejemplos:

Por lo mostrado en los ejemplos anteriores, es preciso tener en cuenta las siguientes reglas:

1. Cuando el radicando es un número entero positivo y el índice es un número natural par, hay dos resultados que tienen el mismo valor absoluto y distinto signo. Ejemplos:

Porque

Porque

90


Recordar: Cuando el radicando es positivo y el índice par, se utiliza sólo la RAIZ POSITIVA (por conveniencia) que se le conoce con el nombre de RAIZ ARITMETICA.

Es decir:

2. Cuando el radicando es un número entero positivo y el índice es un número impar, el resultado o raíz hallada es positiva. Ejemplos:

Porque

Porque

3. Cuando el radicando es un número entero negativo y el índice es un número impar, el resultado es un número negativo. Ejemplos:

Porque

Porque

4. Cuando el radicando es un número entero negativo y el índice es un número par, no tiene solución en el conjunto de los números enteros. Ejemplos: , no tiene solución en Z, porque:

PASAJE DE EXPONENTE E INDICE DE UN MIEMBRO A OTRO

La operación contraria a la potenciación. Si en una igualdad uno de los miembros tiene una raíz enésima, pasa al otro miembro con la operación contraria; es decir, como potencia indicada y viceversa.

a) Por definición:

Ejemplo:

x = = 125

b) Por definición

Ejemplo:

= 32 x = = 2

PRÁCTICA DE CLASE01. Efectuar:

a)

b)

c)

d)

e)

02. Resolver :

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

03. Efectuar:

04. Efectuar:

05. Efectuar:

06. Efectuar:

91


07. Efectuar:

TAREA DOMICILIARIAEfectuar:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

92

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