Primer teorema de traslación
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Primer teorema de traslación Si f(t) es una función que tiene una transformada de Laplace F(s) con Re (s) > σ c , entonces la función e at f ( t) también tiene una transformada de Laplace dada por L [ e at f ( t) ] =F ( s−a ) , ℜ ( s ) >σ c +ℜ(a) Demostración. Una prueba de este teorema se sigue directamente de la definición de transformada de Laplace ya que L [ e at f ( t) ] = ∫ 0 ∞ e at f ( t ) e −St dt=¿ ∫ 0 ∞ f ( t) e −(S−a) t dt ¿ Entonces como L [ f ( t )]=F ( s ) = ∫ 0 ∞ e at f ( t ) e −St dt ℜ ( s) > σ c Vemos que la última integral de arriba está estructurada exactamente como la transformada de Laplace de f(t) exepto que s – a toma el lugar de s, así que L [ e at f ( t) ] =F ( s−a ) , ℜ ( s−a ) >σ c O L [ e at f ( t) ] =F ( s−a ) , ℜ ( s ) >σ c +ℜ(a) Una manera alternativa para expresar el resultado del teorema 2.2, que puede ser más conveniente para aplicaciones, es L [ e at f ( t) ] = [ L [ f ( t) ] ] S→s−a =[ F ( s) ] S→s−a En otras palabras, el teorema dice que la transformada de Laplace de e αt veces una función f(t) es igual a la transformada de Laplace de f(t) reemplazando s con s – a.
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Primer teorema de traslación
Si f(t) es una función que tiene una transformada de Laplace F(s) con Re (s) > σ c, entonces la
función eat f (t) también tiene una transformada de Laplace dada por
L [eat f (t )]=F ( s−a ) ,ℜ (s )>σ c+ℜ(a)
Demostración.
Una prueba de este teorema se sigue directamente de la definición de transformada de Laplace ya que
L [eat f (t )]=∫0
∞
eat f (t )e−St dt=¿∫0
∞
f (t )e−(S−a)t dt ¿
Entonces como
L [ f (t )]=F ( s )=∫0
∞
eat f (t ) e−St dtℜ (s )>σ c
Vemos que la última integral de arriba está estructurada exactamente como la transformada de Laplace de f(t) exepto que s – a toma el lugar de s, así que
L [eat f (t )]=F ( s−a ) ,ℜ (s−a )>σ c
O
L [eat f (t )]=F ( s−a ) ,ℜ (s )>σ c+ℜ(a)
Una manera alternativa para expresar el resultado del teorema 2.2, que puede ser más conveniente para aplicaciones, es
L [eat f (t )]=[L [ f (t )] ]S→s−a=[F (s )]S→s−a
En otras palabras, el teorema dice que la transformada de Laplace de eαt veces una función f(t) es igual a la transformada de Laplace de f(t) reemplazando s con s – a.
