Pro Yec to Final

7/18/2019 Pro Yec to Final

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Metodos de Diferencias Finitas y Elementos

Finitos para la Solucion de Ecuaciones

Diferenciales Estocasticas

Jhon J. Ramırez

Carlos A. Vanegas

Andres M. Villegas

Universidad Eafit, Medellın, Colombia

Noviembre 10, 2005

Indice

1. Introduccion 1

2. Forma unidimensional de la Ecuacion de Calor 2

3. Metodos numericos en la solucion de EDP 2

4. Metodo de Diferencias Finitas 3

5. Soluciones propuestas al problema 3

6. Ejemplos 6

7. Conclusion y Trabajo Posterior 6

1. Introduccion

La teorıa de Ecuaciones en Derivadas Parciales (EDP) se ha convertido enuno de los campos de estudio mas importantes en matematicas, debido a sufrecuente aplicacion en diferentes areas de la fısica, ingenierıa y otras ciencias.Entre las EDP mas representativas se encuentra la Ecuacion de Calor.

La Ecuacion de Calor constituye una herramienta de gran utilidad para darsolucion a problemas de flujo de calor en cuerpos determinados. Su soluci onpuede calcularse mediante metodos analıticos, o aproximarse mediante metodosnumericos. Es el proposito de este artıculo presentar un resumen del trabajo

1



desarrollado en torno a los metodos numericos de diferencias finitas y elemen-tos finitos, para el calculo de la solucion de la Ecuacion de Calor en el caso

unidimensional.

2. Forma unidimensional de la Ecuacion de Calor

La ecuacion de calor unidimensional ut = kuxx permite modelar la distribu-cion de temperatura en una barra de longitud l, que presenta una temperaturainicial f (x), y cuyos extremos se mantienen a temperatura cero, al dar solucional problema

ut = kuxx 0 < x < l t > 0 (1)

u(0, t) = 0 (2)

u(l, t) = 0 (3)

u(x, 0) = f (x) 0 ≤ x ≤ l (4)

Este problema puede resolverse por medio del metodo analıtico de separacionde variables y su solucion es de la forma

u(x, t) =∞n=1

2

l

l0

f (τ )sin nπτ

l dτ

e(nπl )

2kt sin

nπx

l

3. Metodos numericos en la solucion de EDP

Los metodos de aproximacion analıtica a la solucion de EDP proporcionanfrecuentemente informacion util acerca del comportamiento de la solucion envalores crıticos de la variable dependiente, pero tienden a ser mas difıciles deaplicar que los metodos numericos. Entre las consideraciones que justifican eluso de metodos numericos para solucionar ciertos tipos de ecuaciones diferen-ciales ordinarias y en derivadas parciales se encuentran: 1) Los datos de losproblemas reales presentan siempre errores de medicion, y el trabajo aritmeticopara la solucion esta limitado a un numero finito de cifras significativas queresultan en errores de redondeo. Por lo tanto, incluso los metodos analıticosproporcionan resultados que son aproximaciones numericas; 2) La evaluacionnumerica de las soluciones analıticas es a menudo una tarea laboriosa y com-putacionalmente ineficiente, mientras que los metodos numericos generalmente

proporcionan soluciones numericas adecuadas, de manera mas simple y eficiente[6]. De los metodos de aproximacion numerica disponibles para resolver ecua-ciones diferenciales, los mas utilizados son el metodo de diferencias finitas y elmetodo de elementos finitos. Ambos metodos se utilizaron en el desarrollo deeste proyecto, y sus resultados se presentan de manera general en este artıculo.

2



4. Metodo de Diferencias Finitas

Sı u es una funcion de x con derivadas finitas y continuas, aplicando elteorema de Taylor se puede llegar a que una aproximacion a u(x) esta dadapor

u(x) 1

h2{u(x + h) − 2u(x) + u(x − h)} (5)

con un error de orden h2; y que dos aproximaciones a u(x) estan dadas por

u(x) 1

h{u(x) − u(x − h)} (6)

u(x) 1

h{u(x + h) − u(x)} (7)

que se denominan aproximaciones regresivas y progresivas, respectivamente.Si tomamos una funcion u de las variables x y t, subdividimos el plano x − ten un conjunto de rectangulos iguales de lados δx = h y δt = k mediante lıneasigualmente espaciadas y paralelas al eje t, definidas por xi = ih,i = 0,±1,±2, . . .y lıneas igualmente espaciadas y paralelas al eje x definidas por yj = jk, j =0,±1,±2, . . . ,, y denotamos el valor de u en un punto P (ih,jk) de la mallacomo:

uP = uih,jk = ui,j

Entonces, por la ecuacion (5), podemos llegar a que∂ 2u

∂x2

i,j

ui+1,j − 2ui,j + ui−1,j

h2 (8)

De manera similar, ∂ 2u

∂t2

i,j

ui,j+1 − 2ui,j + ui,j−1

k2 (9)

De las ecuaciones (6) y (7) se sigue que dos aproximaciones para δu/δt en P son

∂u

∂t

ui,j+1 − ui,j

k2 (diferencias progresivas) (10)

∂u

∂t

ui,j − ui,j−1

k2 (diferencias regresivas) (11)

5. Soluciones propuestas al problema

Para la Ecuacion de Calor se plantean tres variantes del metodo de diferen-cias finitas: Diferencias Progresivas, Diferencias Regresivas y Metodo de Crank-Nicolson. Considerando el problema planteado en las ecuaciones (2)-(4), se puedellegar, a partir de las ecuaciones (10) y (8), a que un primer metodo de solucionse puede plantear matricialmente como

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u( j) = Au( j−1) , para todo j = 1, 2, . . .

donde u(0) = (f (x1), f (x2), . . . , f (xm−1))t y u( j) = (u1j , u2j , . . . , um−1,j)t,para todo j = 1, 2, . . . , y A es la siguiente matriz tridiagonal

A =

(1− 2λ) λ 0 . . . . . . . . . . . . . 0

λ (1 − 2λ) λ . . .

...

0 . . .

......

. . . 0...

. . . λ (1 − 2λ) λ0 . . . . . . . . . . . . . 0 λ (1 − 2λ)

w( j)

se obtiene para w( j−1)

por una multiplicacion simple de matrices. Aesto se le conoce con el nombre de metodo de diferencias progresivas. A pesarde la simplicidad para obtener soluciones, el metodo es inestable para λ > 1/2.Por tanto se propone un segundo metodo. Una discusion mas amplia sobre elproblema de estabilidad se presenta en [1].

Otra aproximacion en diferencias finitas a la ecuacion de calor se obtiene pormedio de

ui,j − ui,j−1

k = α2 ui+1,j − 2ui,j + ui−1,j

h2 (12)

Que se puede reescribir como

(1 + 2λ)ui,j − λui+1,j − λui−

1,j = ui,j−

1 (13)Aplicando el hecho de que wi,0 = f (xi) para toda i = 1, 2, . . . , m− 1 y wm,j =w0,j = 0 para toda j = 1, 2, . . ., este metodo de diferencias tiene la repre-sentacion matricial:

(1 + 2λ) −λ 0 . . . . . . . . . . . . . 0

−λ (1 + 2λ) −λ . . .

...

0 . . .

......

. . . 0...

. . . −λ (1 + 2λ) −λ0 . . . . . . . . . . . . . 0 −λ (1 + 2λ)

w1,j

w2,j

...wm−1,j

=

w1,j−1

w2,j−1

...wm−1,j−1

(14)o Aw( j) = w( j+1) para toda j = 1, 2, . . .

Ası debemos resolver ahora un sistema lineal para obtener w( j) a partir dew( j−1). Este metodo se conoce como el metodo de diferencias regresivas, y es

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estable para cualquier λ.

Dado que λ > 0, la matriz A es definida positiva y estrictamente dominanteen forma diagonal, ademas de ser tridiagonal. Para resolver este sistema, pode-mos emplear la factorizacion LU de Crout para sistemas lineales tridiagonales.En este algoritmo suponemos, para propositos de detencion o paro, que se dauna cota para t [1].

Con el metodo de diferencias regresivas se soluciono el problema de estabil-idad. Sin embargo, para evitar la falta de precision, generada por el error detruncamiento, se requiere que los intervalos de tiempo sean mucho mas pequenosque los de espacio (h >> k), y esto reduce su eficiencia. Por tanto, se hace nece-sario un metodo que permita tomar valores similares para h y k , y que ademassea estable para todo λ. El Metodo de Crank-Nicolson cumple con estas condi-ciones, y se puede expresar matricialmente como

Aw( j+1) = Bw( j) (15)

donde

A =

(1 + λ) −λ2 0 . . . . . . . . . . . . 0

−λ2 (1 + λ) −λ

2

. . . ...

0 . . .

......

. . . 0...

. . . −λ2 (1 + λ) −λ

2

0 . . . . . . . . . . . . 0 −λ2 (1 + λ)

y

B =

(1 − λ) λ2 0 . . . . . . . . . . . . 0

λ2 (1 − λ) λ

2

. . . ...

0 . . .

......

. . . 0...

. . . λ2 (1 − λ) λ

2

0 . . . . . . . . . . . . 0 λ2 (1− λ)

Para obtener w j+1 a partir de w j+1, se debe resolver el sistema planteado en(15).

Por medio de un procedimiento similar a los anteriores, se puede generarun metodo iterativo para la solucion de la ecuacion de onda. Consideramossin embargo que los tres metodos presentados son suficiente ilustracion para elmetodo de diferencias finitas.

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6. Ejemplos

Durante el desarrollo del proyecto se probaron las implementaciones de lasvariantes del metodo de diferencias finitas para multiples combinaciones decondiciones inciales y de frontera, en la ecuacion de Calor. Esto, con el propositode comparar los resultados analıticos con los resultados obtenidos con los meto-dos. A manera de ilustracion, se presenta una de estas cominaciones, y su solu-cion por medio del metodo de Crank-Nicolson.

Supongamos que se quiere determinar la distribucion de temperatura encualquier instante t de una barra de cobre (α ≈ 1) con l = 1, que presenta unafuncion de temperatura inicial dada por f (x) = sin(π ∗ x). Mediante un proce-dimiento matematico puede verificarse que la solucion analıtica a este problemaesta dada por

u(x, t) = e−π2t sin(πx)

En la tabla se presentan los valores de la distribuci on de temperatura de labarra en t = 0,25, calculados por el metodo de Crank-Nicolson, implementadoen MATLAB r.

Notese que el porcentaje de error obtenido es de 1.8 %. Al calcular la soluciondel mismo problema con el metodo de diferencias regresivas el porcentaje deerror es de 14.2 %, mientras que el metodo de diferencias progresivas no convergepara el valor de lambda utilizado (λ = 1).

Crank-Nicolson Error relativoxi u(xi, 0,25) × 10−2 uci,25 × 10−2 |uc − u|/u × 10−2

0.0 0 00.1 2.621 2.669 1.8440.2 4.985 5.077 1.844

0.3 6.861 6.987 1.8440.4 8.065 8.214 1.8440.5 8.480 8.637 1.8440.6 8.065 8.214 1.8440.7 6.861 6.987 1.8440.8 4.985 5.077 1.8440.9 2.621 2.669 1.8441.0 0 0

Tabla 1: Valores de la distribucion de temperatura de la barra en t = 0,25calculados por el metodo de Crank-Nicolson(h = 0,1, k = 0,01, λ = 1)

7. Conclusion y Trabajo Posterior

Las Ecuaciones en Derivadas Parciales constituyen uno de los principalescampos de estudio en matematicas, debido a su creciente aplicacion en fısica,ingenierıa y otras ciencias. Se ha visto que por lo general la solucion de una EDP

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no es expresable en terminos de funciones elementales, lo que dificulta el c alcu-lo de las soluciones analiticas. Por lo tanto es recomendable emplear metodos

numericos para resolver EDP cuando, para fines practicos, basta generar solu-ciones aproximadas, pero de manera eficiente. El Metodo de Diferencias Finitases una herramienta util para calcular aproximaciones a las soluciones de algunasEDP, en particular la Ecuacion de Calor y la Ecuacion de Onda.

Para el caso de la ecuacion de Calor se observo que generalmente el metodomas adecuado es el de Crank Nicolson, debido a que presento el menor errorrelativo para los ejemplos desarrollados, y a que su convergencia no depende delvalor de λ utilizado.

Como trabajo posterior para el tema aquı desarrollado, se propone la ex-pansion de las variantes del metodo de Diferencias Finitas al caso dos y tresdimensional para la ecuacion de calor, y dos dimensional para la ecuacion deonda. La implementacion del metodo para estos casos ampliarıa su aplicabilidada problemas como el flujo de calor en laminas y solidos, y la vibracion de unamembrana elastica. Por otra parte, se propone el uso del metodo de elementosfinitos como metodo alternativo que permita, entre otras cosas, aplicar las ecua-ciones de Calor y Onda a membranas y solidos con formas irregulares, como losque generalmente se encuentran en aplicaciones industriales.

Referencias

[1] Burden, R. and Faires, J. Analisis Numerico. Thomson Learning, Mexico,D.F. 2002

[2] Harrel, E. and Herod, J. Linear Methods of Applied Mathematics. 1996.

Tomado de: http://www.mathphysics.com/pde/HEderiv.html

[3] Mathews, J. and Fink, K. Metodos numericos con Matlab. Prentice Hall.Madrid. 1999.

[4] Myint-U, T. Partial differential equations o mathematical physics. ElservierNorth-Holland, New York. 1978.

[5] Serway, R. and Beichner, F ISICA para ciencias e ingenierıa I. Mc GrawHill. Mexico. 2001.

[6] Smith, G. Numerical Solution of Partial Differential Equations: Finite Dif- ference Methods . Oxford University Press, New York.1999.

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