Solucion: Al usar la extensin de la distribucin hipergeomtrica con x1 = 1, x2 = 2, x3 = 2, a1 = 3, a2 = 4, a3 = 3, N = 10 y n = 5, encontramos que la probabilidad que se desea es

Ejercicios

5.29 Si se reparten 7 cartas de una baraja ordinaria de 52 cartas, cul es la probabilidad de que

a) exactamente 2 de ellas sean mayores a 10?

b) al menos 1 de ellas sea una reina?

5.30 Para evitar la deteccin en la aduana, un viajero coloca seis comprimidos con narcticos en una botella que contiene 9 pldoras de vitamina que son similares en apariencia. Si el ofi cial de la aduana selecciona 3 de las tabletas al azar para su anlisis, cul es la probabi-lidad de que el viajero sea arrestado por posesin ilegal de narcticos?

5.31 El dueo de una casa planta 6 bulbos seleccio-nados al azar de una caja que contiene 5 bulbos de tu-lipn y cuatro de narciso. Cul es la probabilidad de que plante 2 bulbos de narciso y 4 de tulipn?

5.32 De un lote de 10 proyectiles, se seleccionan 4 al azar y se lanzan. Si el lote contiene tres proyectiles defectuosos que no explotarn, cul es la probabilidad de que

a) los 4 exploten?

b) a lo ms 2 fallen?

5.33 Se selecciona al azar un comit de 3 personas a partir de 4 doctores y 2 enfermeras. Escriba una frmu-la para la distribucin de probabilidad de la variable aleatoria X que representa el nmero de doctores en el comit. Encuentre P (2 X 3).

5.34 Cul es la probabilidad de que una mesera se rehuse a servir bebidas alcohlicas a slo dos menores si ella verifi ca al azar las identifi caciones de 5 estudian-tes de entre 9 estudiantes, de los cuales 4 no tienen la edad legal para beber?

5.35 Una compaa est interesada en evaluar su procedimiento de inspeccin actual en embarques de 50 artculos idnticos. El procedimiento consiste en to-mar una muestra de 5 y pasar el embarque si no se encuentran ms de 2 defectuosos. Qu proporcin de embarques con 20% defectuosos se aceptar?

5.36 Una compaa fabricante utiliza un esquema de aceptacin de produccin de artculos antes de que se embarquen. El plan tiene dos etapas. Se preparan ca-

jas de 25 artculos para su embarque y se prueba una muestra de 3 en busca de defectuosos. Si se encuentra alguno defectuoso, toda la caja se regresa para verifi car e1 100%. Si no se encuentran defectuosos, la caja se embarca.

a) Cul es la probabilidad de que se embarque una caja que contiene 3 defectuosos?

b) Cul es la probabilidad de que una caja que con-tenga slo 1 artculo defectuoso se regrese para su revisin?

5.37 Suponga que la compaa fabricante del ejer-cicio 5.36 decide cambiar su esquema de aceptacin. Con el nuevo esquema un inspector toma un artculo al azar, lo inspecciona y despus lo reemplaza en la caja; un segundo inspector hace lo mismo. Finalmente, un tercer inspector lleva a cabo el mismo procedimiento. La caja no se embarca si cualquiera de los tres encuen-tra uno defectuoso. Responda el ejercicio 5.36 con este nuevo plan.

5.38 En el ejercicio 5.32, cuntos proyectiles defec-tuosos se pueden incluir entre los 4 que se seleccionan? Utilice el teorema de Chebyshev para describir la va-riabilidad del nmero de proyectiles defectuosos que se incluyen cuando se seleccionan 4 de varios lotes, cada uno de tamao 10 con 3 proyectiles defectuosos.

5.39 Si a una persona se le reparten varias veces 13 cartas de una baraja ordinaria de 52 cartas, cuntas car-tas de corazones por mano puede esperar? Entre culesdos valores esperara que cayera el nmero de corazo-nes al menos 75% de las veces?

5.40 Se estima que 4000 de los 10,000 residentes con derecho al voto de una ciudad estn en contra de un nuevo impuesto sobre ventas. Si se seleccionan al azar 15 votantes y se les pide su opinin, cul es la pro-babilidad de que a lo ms 7 estn a favor del nuevo impuesto?

5.41 Una ciudad vecina considera una peticin de anexin de 1200 residencias contra una subdivisin del condado. Si los ocupantes de la mitad de las residencias objetan la anexin, cul es la probabilidad de que en una muestra aleatoria de 10 al menos 3 estn a favor de la peticin de anexin?

Ejercicios 157

158 Captulo 5 Algunas distribuciones de probabilidad discreta

5.42 Entre 150 empleados de IRS en una ciudad gran-de, slo 30 son mujeres. Si se eligen al azar 10 de los aspirantes para que proporcionen asistencia libre de impuestos a los residentes de esta ciudad, utilice la aproximacin binomial a la hipergeomtrica para en-contrar la probabilidad de que al menos 3 mujeres se seleccionen.

5.43 Una encuesta a nivel nacional de la Universidad de Michigan a 17,000 estudiantes universitarios de l-timo ao revela que casi 70% desaprueba el consumo de mariguana. Si se seleccionan al azar 18 de tales es-tudiantes y se les pide su opinin, cul es la probabili-dad de que ms de 9 pero menos de 14 desaprueben el consumo de mariguana?

5.44 Encuentre la probabilidad de que cuando se le reparta una mano de bridge de 13 cartas tenga 5 de es-padas, 2 de corazones, 3 de diamantes y 3 de trboles.

5.45 Un club de estudiantes extranjeros tiene como miembros a 2 canadienses, 3 japoneses, 5 italianos y 2 alemanes. Si se selecciona al azar un co mit de 4, encuentre la probabilidad de que

a) todas las nacionalidades estn representadas;

b) todas las nacionalidades estn representadas excep-to los italianos.

5.46 Una urna contiene 3 bolas verdes, 2 azules y 4 rojas. En una muestra aleatoria de 5 bolas, encuentre la probabilidad de que se seleccionen bolas azules y al menos una roja.

5.47 Estudios de poblacin de biologa y el ambiente a menudo etiquetan y sueltan a sujetos con la fi na-lidad de estimar el tamao y el grado de ciertas carac-tersticas en la poblacin. Se capturan 10 animales deuna poblacin que se piensa extinta (o cerca de la

extincin), se etiquetan y se liberan en cierta regin. Despus de un periodo se selecciona en la regin una muestra aleatoria de 15 animales del tipo. Cul es la probabilidad de que 5 de estos seleccionados sean animales etiquetados si hay 25 animales de este tipo en la regin?

5.48 Una compaa grande tiene un sistema de ins-peccin para los lotes de compresores pequeos que se compran a los vendedores. Un lote tpico contiene 15 com-presores. En el sistema de inspeccin se selecciona una muestra aleatoria de 5 y todos se prueban. Suponga que en el lote de 15 hay 2 compresores defectuosos.

a) Cul es la probabilidad de que para una muestra dada haya 1 compresor defectuoso?

b) Cul es la probabilidad de que la inspeccin descu-bra ambos compresores defectuosos?

5.49 Una fuerza de tarea gubernamental sospecha que algunas fbricas infringen los reglamentos federa-les contra la contaminacin ambiental en cuanto a la descarga de cierto tipo de producto. Veinte empresas estn bajo sospecha pero no todas se pueden inspec-cionar. Suponga que 3 de las empresas infringen los reglamentos.

a) Cul es la probabilidad de que la inspeccin de 5 empresas no encuentre ninguna infraccin?

b) Cul es la probabilidad de que el plan anterior en-cuentre a dos que infringen el reglamento?

5.50 Cada hora, una mquina llena 10,000 latas de bebida gaseosa, entre las cuales se producen 300 con un llenado insufi ciente. Cada hora se elige al azar una muestra de 30 latas y se verifi ca el nmero de onzas de gaseosa. Denote con X el nmero de latas seleccionadas que tiene llenado insufi ciente. Encuentre la probabili-dad de que habr al menos una con llenado insufi ciente entre las muestreadas.

5.5 Distribuciones binomial negativa y geomtrica

Consideremos un experimento donde las propiedades son las mismas que las que se indican para un experimento binomial, con la excepcin de que las pruebas se repetirn hasta que ocurra un nmero fijo de xitos. Por lo tanto, en vez de encon-trar la probabilidad de x xitos en n pruebas, donde n es fi ja, ahora nos interesa la probabilidad de que ocurra el k-simo xito en la x-sima prueba. Los experimentos de este tipo se llaman experimentos binomiales negativos. Como ejemplo, considere el uso de un medicamento que se sabe que es efectivo en 60% de los casos en que se utiliza. El uso del medicamento se considerar un xito si es efectivo al proporcionar algn grado de alivio al paciente. Nos interesa encon-trar la probabilidad de que el quinto paciente que experimente alivio sea el sptimo paciente en recibir el medicamento en una semana dada. Designamos xito con S y fracaso con F, un orden posible para alcanzar el resultado que se desea es SFSSSFS, que ocurre con probabilidad

(0.6)(0.4)(0.6)(0.6)(0.6)(0.4)(0.6) = (0.6)5(0.4)2.