ProbabilidadSemana 1

Otoño, 2007

Esquema

Presentación del curso: organización, criterios de evaluación, materiales, etc.

La asignatura de probabilidad dentro de la secuencia de asignaturas relacionadas.

1. Antecedentes históricos

2. Conceptos básicos

3. Repaso de teoría elemental de conjuntos

4. Probabilidad: interpretación objetiva y subjetiva

5. Definición axiomática de Probabilidad

Página web de la asignatura

http://www.econ.upf.edu/~mayoral/probabilidad08/probabilidad08.htm

En esta página web encontrarás información detallada sobre la asignatura

Objetivos del curso, organización, criterios de evaluación, profesores, horarios, etc.

Apuntes del curso, hojas de ejercicios, transparencias de clase, bibliografía básica, etc.

Cada semana se actualizará incluyendo nueva información y material sobre el curso.

Introducción

La probabilidad es una rama de las

matemáticas cuyo principal objeto de estudio es la incertidumbre.

En esta asignatura, por tanto, vamos a introducir el lenguaje matemático básico para tratar la incertidumbre.

La probabilidad como rama de las matemáticas es una ciencia relativamente reciente. (S. XVII)

La cultura clásica consideraba que los sucesos aleatorios no eran susceptibles de ser analizados científicamente (Aristóteles) y por tanto no se preocupó por su estudio.

En la Edad Media, se creía que el mundo era determinístico y regido completamente por la voluntad divina.

Antes de la mitad del siglo XVII, el término 'probable' (en latín probable) significaba aprobable, y se aplicaba en ese sentido a opiniones o a acciones. Una acción u opinión probable era aquella que las personas sensatas emprenderían o mantendrían.

Hasta el Renacimiento no cambió esta forma de pensar. Los primeros estudios surgieron en conexión con los juegos de azar.

1. Antecedentes históricos

El nacimiento de la probabilidad como ciencia se suele datar en el s. XVII, en la correspondencia que dos matemáticos franceses, Blaise Pascal y Pierre de Fermat mantuvieron para resolver el conocido ‘problema de los puntos’.

A partir de este momento, la probabilidad ha tenido un desarrollo muy importante, de la mano de matemáticos como De Moivre, Laplace, Bernoulli, etc.

Los avances acaecidos en este área han tenido una transcedencia fundamental en todas las ramas de la ciencia moderna. Física Cuántica, Biología Medicina , Meteorología Economía, Finanzas, Marketing, Seguros, etc.

Puedes leer más sobre la historia de la probabilidad en

http://es.wikipedia.org/wiki/Probabilidad

2. Conceptos básicos

a. Determinismo frente a incertidumbre

Cuando podemos decir de antemano el resultado de una acción sin temor a equivocarnos, hablamos de determinismo.

Ejemplo: posición de la luna con respecto a la tierra mañana.

En caso contrario, cuando no podemos estar seguros del resultado, estamos en una situación de incertidumbre.

Ejemplo: resultado (cara o cruz) de tirar al aire una moneda.

A los fenómemos de este segundo tipo los llamaremos aleatorios o estocásticos.

Considera un experimento que tiene diversos resultados posibles y existe incertidumbre sobre el resultado final del mismo.

En otras palabras: Si repetimos el experimento en las mismas condiciones, es posible que se obtenga un resultado distinto, por lo que no podemos predecir exactamente cuál va a ser.

Ejemplos: Tirar una moneda; Elegir una carta en una baraja; Lanzar un producto al mercado ...

b. Experimento aleatorio

Espacio Muestral El espacio muestral de un experimento aleatorio es el conjunto de todos los posibles resultados que se puedenObtener en el experimento

Suceso simple: a, b…Es un suceso que nada más tiene un elemento.

Suceso A, B,…Es cualquier subconjunto del espacio muestral

Nuestro objetivo será determinarP(A), la probabilidad de queal llevar a cabo el experimento aleatorio ocurra el suceso A.

Nuestro objetivo será determinarP(A), la probabilidad de queal llevar a cabo el experimento aleatorio ocurra el suceso A.

c. Sucesos & Espacio Muestral

Ejemplo I

Considera el experimento: Tirar un dado.

Espacio muestral: = 1,2,3,4,5,6

Sucesos simples o elementales: cada uno de los elementos de

Otros ejemplos de sucesos podrían ser, A = par

= 2,4,6. B = múltiplo de 3 = 3,6

Ejemplo II

Considera el experimento: Tirar una moneda tres veces Espacio muestral

= CCC, CCX, CXC, CXX, XCC, XCX, XXC, XXX.

Sucesos simples: cada uno de los elementos de

Otros ejemplos de sucesos podrían ser, A = dos caras como mínimo

= CCC, CCX,CXC, XCC. B = dos cruces = CXX, XCX,XXC

Ejemplo III

Un experimento en un hospital consiste en anotar el sexo de los niños nacidos hasta que nazca la primera niña (M).

Espacio muestral: = M, VM, VVM,VVVM, ...

El espacio muestral contiene un número infinito de posibles sucesos elementales!

Ejercicio propuesto (I)

Considera el experimento de sacar una carta de una baraja (que contiene 40 cartas)

• Escribe el espacio muestral• Describe los siguientes sucesos:

Sacar una figura (sota, caballo o rey) Sacar una carta con un número inferior o igual a 3. Sacar una carta cuyo número sea múltiplo de 3.

3. Repaso de Teoría elemental de Conjuntos

(VER Sydsaeter, pág. 23)

La teoría de la probabilidad tiene una relación directa con la Teoría de Conjuntos. Como veíamos anteriormente, conceptos básicos de probabilidad como el espacio muestral o los sucesos, no son más que conjuntos de elementos.

Por este motivo, antes de continuar desarrollando más conceptos claves para estudiar probabilidad, vamos a repasar algunos conceptos básicos de Teoría de Conjuntos

(VER: Sydsaeter, pág. 23)

Un conjunto es una colección de elementos. A=a, b, c

Notación: los conjuntos se denotan normalmente conletras mayúsculas y los elementos, con letras minúsculas.

Ejemplo: letras del alfabetoA=a,b,c,…z

Otra manera de definir un conjunto es mediante una propiedad que cumplen sus elementos.

Ejemplo: restricción presupuestaria. Dados dos bienes (x,y) y una renta m,

P=(x,y):p*x+p*y≤m,x≥0, y≥0

Representación de conjuntos: Diagramas de Venn

S

A BA∩B

Pertenencia e inclusión a un conjunto

El elemento a pertenece a A si es uno de sus elementos. Notación:

aA Un conjunto A está incluido en otro B (por tanto diremos

que A es un subconjunto de B) si todos los elementos de A están en B.

Notación:

AB

Operaciones con conjuntos

La unión de dos conjuntos A y B, A B, es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A o a B.

La intersección de dos conjuntos A y B, A B, es el conjunto formado por todos los elementos que están simultáneamente en A y en B.

La diferencia de dos conjuntos A y B, A \ B, está formada por los elementos de A que no pertenecen a B.

Un ejemplo…

Consideramos de nuevo el experimento tirar un dado. - = 1, 2,…,6:

Sea A=obtener un número primo y B=múltiplo de 2Por tanto: A=1,2,3,5; B=2,4,6;

A B=1,2,3,4,5,6= A B=2 A \ B=1,3,5 B\ A=4,6

Otros conceptos elementales…

Cuando dos conjuntos A y B no comparten ningún elemento, se dice que son conjuntos disjuntos, y su intersección será el conjunto vacío (Ø).

El complementario de un conjunto A, Ac es el conjunto que contiene todos los conjuntos de que no están incluidos en A.

Conjunto universal es el que contiene todos los elementos

El conjunto vacío (Ø) no contiene ningún elemento.

Identidad de conjuntos: dos conjuntos A y B son iguales si cada elemento de A pertenece a B y viceversa.

Ejemplo

Considera el experimento: contar el número de caras obtenidas tras tirar 10 veces una moneda.

Define A = 0, 2, 4, 6, 8, 10, B = 1, 3, 5, 7, 9, C = 0, 1, 2, 3, 4, 5. Entonces

A B= 0, 1, …, 10 = . A B no contiene ningún elemento común.

Entonces A y B son mutualmente excluyentes o su intersección es Ø.

Cc = 6, 7, 8, 9, 10, A C = 0, 2, 4.

Ejemplo II Considera:

¿Cómo son los conjuntos? A B A B A C A C A (B C) A ( B C) (A B) C

A \ B A \ C A \ ( B C) (A \ B) C

A B C

Ejercicio propuesto (II)

Con ayuda de diagramas de Venn, describe el el complementario de los conjuntos anteriores.

Algunas Propiedades básicas Propiedad conmutativa:

A B = B A, A B = B A

Propiedad asociativa: (A B) C = A (B C ) (A B) C = A (B C) .

Propiedad distributiva: (A B) C = (A C) (B C) (A B) C = (A C) (B C)

Leyes de De Morgan’

. ,1111

ci

n

i

c

i

n

i

ci

n

i

c

i

n

i

AAAA

Escribe adecuadamente el conjunto de los números naturales pares.

Considera los conjuntos A=1,1,1,2,5,5Y B=1,2,5 ¿Son iguales?

Verdadero o falso: Si AB, entonces B\A=(B A). Explica tu respuesta y en su caso, propón la expresión correcta

Demuestra con ayuda de los diagramas de Venn la propiedad asociativa.

Ejercicio propuesto (III)

Definición de Probabilidad I Para definir la probabilidad de un suceso podemos tomar en cuenta

los siguientes criterios:

La probabilidad subjetiva de un suceso se la asigna la persona que hace el estudio, y depende del conocimiento que esta persona tenga sobre el tema. Precisamente por su carácter subjetivo no se considera con validez científica.

La probabilidad frecuentista de un suceso: es el valor al que tiende la frecuencia relativa de ocurrencia de un suceso. Por ejemplo, si se tira muchas veces una moneda perfecta, aproximadamente el 50% de las veces saldrá cara. Diremos entonces que la probabilidad de cara es 0.5.

En este curso trataremos exclusivamente la segunda interpretación de este concepto

Definición de Probabilidad II

La probabilidad es una función que asigna un número a cada uno de los posibles sucesos de un espacio muestral .

Este número mide la ‘verosimilitud’ de dicho suceso y será mayor cuanto más fácil es que este suceso ocurra al realizar el experimento.

Una función será una probabilidad si verifica las siguientes propiedades (Kolmogorov).

(Nota: para simplificar supondremos que contiene un número finito de elementos)

Definición axiomática de Probabilidad

La función P definida comoP: [0,1] AP(A),

Y verifica:Axioma 1:Para todo suceso A ,

0 P(A) 1.Axioma 2: P() =1. Axioma 3: Si A B = Ø entonces,

P(A B ) = P(A) + P(B)

Ejercicio

Las siguientes functiones, ¿son una probabidad sobre Ω= a,b,c,d?

P(a)=1/2, P(b)=1/2, P(c)=-1/2,P(d)=0.

P(a)=2/3, P(b)= 1/3, P(c)=1/3, P(d)=1/3.

P(a)=0, P(b)=0,P(c)=0, P(d)=0.

P(a)=0, P(b)=0,P(c)=0, P(d)=1.

Para responder esta pregunta, verifica si los axiomas 1-2 se cumplen.

Otras propiedades que se derivan de los Axiomas 1-3

Para todo A, P(Ac) = 1 - P(A). P(Ø)=0 Si A B, entonces P(A) P(B). Para todo A y B A,

P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B). …

Ejemplo

En una población, el 10% de la gente son ricos, el 5% son famosos, y el 3% son ricos y famosos. Si se escoge una persona al azar, ¿cuál es la probabilidad de que esa persona, No sea rica? Sea rica pero no famosa? Sea rica o famosa (pero no ambas)?

Ejemplo II

El 35% de los clientes de un banco tienen una hipoteca, el 20% tienen un crédito y el 55% no tienen ni créditos ni hipotecas. ¿Cuál es la probabilidad de que al escoger una

persona al azar Tenga un crédito y una hipoteca Tenga un crédito o una hipoteca Tenga un crédito o una hipoteca (pero no ambas)

Solución

H=hipoteca, C=credito.

P(HC)=1-0.55=0.45 Tenga un crédito y una hipoteca: P(H C)=10 Tenga un crédito o una hipoteca: P(HC)=0.45 Tenga un crédito o una hipoteca (pero no ambas)

P(HC)\(H C))=0.45-10

Ejercicio propuesto (IV)

Demuestra las siguientes expresiones Si A B, entonces P(B\A) = P(B)-P(A). (usa diagramas de

Venn) Para todo, A, B y C,

P(ABC) = P(A) + P(B) + P(C) -

P(AB) - P(AC) - P(BC) + P(AB C).

Resumiendo… • Diferencia entre fenómenos determinísticos y aleatorios• La probabilidad como la rama de las matemáticas que estudia la incertidumbre.• Conceptos básicos.

• Experimento aleatorio• Sucesos• Espacio muestral • Repaso teoría básica de conjuntos

• La probabilidad como función que asigna un número entre [0,1] a cada posible resultado de un experimento aleatorio y que ha de cumplir los tres axiomas básicos.

Resultados Equiprobables

En algunos experimentos es natural suponer que todos los sucesos simples tienen la misma probabilidad de ocurrir puesto que todos ellos son simétricos.

Por ejemplo, al tirar una moneda no trucada la cara y la cruz tienen la misma probabilidad de ocurrir

Otros ejemplos: tirar un dado, jugar a la ruleta, sacar una carta de una baraja, etc.

Para que esto ocurra, el número de elementos en ha de ser un número finito

Cálculo de probabilidades con resultados equiprobables: Regla de

Laplace Calcular la probabilidad de un suceso A en este caso es muy

sencillo.

Sea # el número total de sucesos elementales que contiene . Si estos son equiprobables, entonces la probabilidad asignada a cada uno de ellos es 1/#.

REGLA DE LAPLACE: si el número de sucesos elementales de A es #A, entonces

P(A) = #A /#.

Ejemplo I

Se tira un dado no trucado. Calcula la probabilidad asociada a los siguiente sucesos: A=Obtener un 6? B=Obtener un número que no sea múltiplo de 2 ni

de 3 C=Sacar un número par.

Solución:

P(A)=1/6; P(B)=P(1,5)=2/6;

P(C)=P(2,4,6)=3/6

Ejemplo IIUn juego de azar consiste en acertar el número

que va a salir de un bombo que contiene los números del 1 al 5.

La probabilidad de acertar es 1/5.

Supón ahora que el juego consiste en acertar dos obtenidos al azar al extraer dos bolas de el bombo anterior.

Casos favorables: elegir dos números y que los dos sean correctos: 1 único caso posible.

Casos posibles: todos los subconjuntos de dos elementos que se pueden construir: 1,2, 1,3, 1,4...etc.

Ejemplo II, cont.

Hay 10 casos posibles, por tanto P(ganar)=1/10Si en vez de 5 bolas hubiera 10, ¿Cuál sería la

probabilidad de acertar? ¿Y si hubiera 50 bolas?

La dificultad de estas preguntas radica en la dificultad de determinar el número de casos favorables/posibles

¿Existe algún método que permita 'contar' de una manera sencilla ?

Repaso de técnicas de recuento(ver Pittman, p.507)

Regla multiplicativa

Caso más sencillo: supón que tienes que seleccionar de manera consecutiva dos elementos, cada uno perteneciente a un conjunto.

El primer elemento se puede elegir entre n1 alternativas y el segundo, entre n2.

Regla multiplicativa:El número total de pares que podemos construir es n1n2

Ejemplo

4 Grupos sanguíneos: A, B, AB, O.

¿Cuántos grupos de donante y receptor se podrían hacer?

Suponiendo que los grupos sanguíneos son equiprobables, ¿Cuál es la probabilidad de que donante y receptor compartan grupo sanguíneo?

Solución

N1=4, N2=4, por tanto por la regla multiplicativa, 16 grupos.

De estos grupos, en 4 el donante y el receptor tienen el mismo grupo.

Por tanto P(mismo grupo)=1/4

Regla multiplicativa, caso general

Se han de solucionar de manera consecutiva k elementos;

n1 alternativas para el primer elemento; Para cada elección del primer elemento, hay n2

alternativas del segundo elemento, …, Para cada una de las elecciones de los primeros

k-1 elementos, hay nk alternativas del elemento k-esimo.

REGLA MULTIPLICATIVA: El número total de posibles elecciones es n1n2…nk.

Ejemplo

Una persona tiene tres pantalones diferentes, 4 camisetas y dos pares de zapatos. ¿De cuántas maneras diferentes se podría vestir?

Solución:

4x3x2

Vamos a aplicar esta regla para resolver dos tipos de problemas: Dado un conjunto de n elementos, ¿de cuántas

maneras podemos ORDENAR los diferentes subconjuntos de k elementos? (Variaciones)

Dado un conjunto de n elementos, ¿cuántos subconjuntos se pueden construir? (Combinaciones. En este caso el orden NO importa)

¿En qué caso son variaciones o combinaciones los siguientes ejemplos? En una comunidad de vecinos con 10 miembros, hay que

elegir presidente, vicepresidente y tesorero. ¿De cuántas maneras lo podemos hacer?

En una clase de 40 personas, se escoge un grupo de 10 para contestar un formulario. ¿Cuántos grupos distintos podemos formar?

¿Cuántas palabras de 4 letras podemos construir con las letras de la palabra PROBABILIDAD?

Un examen tiene 10 preguntas de las cuales solo hay que responder 7, ¿cuántos posibles exámenes se pueden confeccionar?

¿De cuántas maneras se pueden emparejar un grupo de 30 personas?

Variaciones

Una variación de tamaño k es una secuencia ordenada de k elementos obtenidos de un conjunto de n objetos distintos.

Ejemplo: ¿cuántas palabras de cuatro letras se pueden formar con las letras de la palabra ARBOL?

Claramente, la palabra BOLA y LOBA no son iguales, a pesar de tener las mismas letras. Por tanto, el orden importa.

Variaciones II

El número total de variaciones de tamaño k de un conjunto de n elementos se puede calcular a través de la siguiente expresión:

Vk,n = n(n-1)(n-2)…(n-k+1) =n!/(n-k)!.

Resulta muy sencillo deducir la fórmula (no es necesario memorizarla).

Ejemplo

Considera las letras del alfabeto (26 letras).¿Cuántas palabras puedes formar, sin que se

repita ninguna letra, de- 1 letra- 2 letras- 5 letras- 26 letras?

¿Y si puedes repetir tantas letras como quieras?

Caso particular: permutaciones

Se refiere a las distintas maneras que tenemos de ordenar n elementos.

Por tanto es un caso particular de las variaciones, Vn,n

Para calcularlo, simplemente hay que aplicar la regla de las varianciones Pn =n!

Ejemplo

En una clase hay 15 niños, ¿de cuántas maneras podemos sentarlos en clase?

Solución: 15x14x13x…x1

Combinaciones

Combinaciones. Una combinación de tamaño k de un conjunto de n elementos distintos.

En este caso, el orden de los elementos NO IMPORTA.

Ejemplo: En una clase de 30 personas se quieren elegir tres representantes. ¿Cuántos grupos distintos se pueden formar?

En definitiva, combinación es sólo otra manera de decir ‘subconjunto’.

Combinaciones II

El número de posibles combinaciones de tamaño k a partir de un conjunto de tamaño n lo denotaremos como:

Y se puede calcular a través de la fórmula

.k

n o ,,

nkC

)!(!

!

!C ,

nk , knk

n

k

V nk

Ejemplo I

Una empresa está formada por 10 personas, 3 directivos y 7 empleados.

1. ¿De cuántas maneras se puede seleccionar un grupo de 4 personas?

2. ¿cuántos grupos contendrán al menos 1 directivo?

3 ¿y exactamente 3 directivos?

3. ¿Cuál es la probabilidad de que esto ocurra?

Solución

1).

2) grupos con al menos 1 directivo:

3) Grupos con 3 directivos:

4) Acudiendo a la regla de Laplace, la probabilidad se calculará como el resultado en (3) dividido por el resultado en (1)

1

7.

3

3

2

7.

2

3

3

7.

1

3

.4

1 0 1 0,4

C

.1

7 .

3

3

Ejercicios de repaso de las técnicas de recuento

1. Una persona té tres pantalons diferents, 4 camises i dos jocs sabates. De quantes maneres diferents es pot vestir?

2. Quantes ordenacions diferents de tres elements es poden formar a partir dels elements a, b, c, d, e?

3. Quantes ordenacions diferents dels cinc elements anteriors es poden formar?

4. En una classe hi ha 50 alumnes. Se n’han d’escollir 3 per formar part de diferents comissions (claustre, facultat, departament). Quantes eleccions diferents es poden fer?

5. Quants subconjunts diferents de tres elements té el conjunt a, b, c, d, e?

6. Quantes paraules de tres lletres diferents es poden formar a partir de les lletres de la paraula NORMA?

7. Quantes d’aquestes paraules estan formades només per consonants?

8. Quina és la probabilitat que en escollir a l’atzar una d’aquestes paraules sigui només de consonants?

9. Tres companys seuen sempre junts en el mateix banc. De quantes maneres ho poden fer?

10. Quants subconjunts té el conjunt a,b,c?

Ejercicio de repasoUn estudiante tiene que resolver 3

preguntas de 5 en un examen. (i) ¿Cuántas maneras de escoger tiene? (ii) Cuántas si la primera es obligatorias? (iii) ¿Cuántas si una de las dos primeras es

obligatoria?

Solucióna.

b.

c.

.3

5 5,3

C

.1

3 3,1

C

.*2 3,1C

Ejercicios adicionales1. Describe el espacio muestral asociado a cada uno de los

siguientes experimentos aleatorios:

a. Lanzar tres monedas. b. Lanzar tres dados y anotar la suma de los puntos obtenidos. c. Extracción de dos bolas de una urna que contiene cuatro

bolas blancas y tres negras. d. El tiempo, con relación a la lluvia, que hará durante tres días

consecutivos. 2. Se considera el sexo de los hijos de las familias de tres hijos.

Sea A el suceso el hijo mayor es una mujer, y B el suceso los dos hijos pequeños son varones. ¿Cuáles son los elementos de A y B?

Ejercicios adicionales. Solución1.a. Llamando C a obtener cara y X a la obtención de cruz, obtenemos el siguiente espacio muestral:

E=(CCC),(CCX),(CXC),(XCC),(CXX),(XCX),(XXC),(XXX)

b. E=3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18

c. Llamando B a sacar bola blanca y N a sacar bola negra, tenemos:

E=BB,BN,NN

d. Si llamamos L al día lluvioso y N al día sin lluvia, para tres días consecutivos se obtiene el siguiente espacio muestral:

E=(LLL),(LLN),(LNL),(NLL),(LNN),(NLN),(NNL),(NNN)

2. Llamando V a ser hombre y H a ser mujer, el espacio muestral está formado por los sucesos elementales:

E=(VVV),(VVH),(VHV),(HVV),(VHH),(HVH),(HHV),(HHH)

Y los sucesos A y B son compuestos y están formados por los siguientes sucesos elementales:

A=(HHH),(HHV),(HVH),(HVV)

B=(VVV),(HVV)