Probabilidad Conceptos

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Definiciones bsicasProbabilidad

Probabilidad condicional

Probabilidad

Lorena Brun Gonzlez

Universidad de Antioquia

Teora de la probabilidad - Estadstica Matemtica IIngeniera

2 de marzo de 2015

Teora de la Probabilidad - Estadstica Matemtica I Probabilidad

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1 Definiciones bsicas

2 Probabilidad

3 Probabilidad condicional


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Experimento aleatorio:

XUn experimento aleatorio es cualquier accin o proceso cuyoresultado est sujeto a la incertidumbre. Se conocen los posi-bles resultados pero no se sabe de ante mano cual va a ocurrir.

XUn experimento aleatorio es aquel que proporciona diferentesresultados aun cuando se repite de la misma manera.


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Ejemplos de experimentos aleatorios:

XLanzar una moneda.XLanzar un dado.XApostar al resultado final de un partido.XSeleccionar un estudiante de ingeniera del curso de probabil-idad.XJugar la lotera.


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Espacio muestral:

El espacio muestral denotado con S, es el conjunto de todos losposibles resultados de un experimento aleatorio.

Diagrama de rbol:

Es la herramienta grfica que permite visualizar el espacio mues-tral. En este diagrama cada rama representa un elemento delespacio muestral.


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Ejemplos:XSea el experimento aleatorio lanzar una moneda.Denotaremos con c si el resultado es cara y s en caso de sersello. S = {c, s}XSea el experimento aleatorio lanzar dos monedas .El diagrama de rbol para el anterior espacio muestral S es:


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As S = {cc, cs, sc, ss}

XEntre las cinco personas que se destacaron en la carrera deingeniera por tener un promedio sobre 4.5 se va a escoger unapareja para trabajar en una empresa.Los candidatos son: Luisa, Jorge, Matilde, Carlos y Eleonora.

En este caso S = {LJ,LM,LC,LE , JM, JE , JC,MC,ME ,CE}

XConsidere un experimento en el que, cada 10 minutos, severifica el volumen de llenado de las latas de refresco de unamquina llenadora automtica, con la finalidad de de determi-nar si las latas cumplen con las especificaciones de volumenque deben contener.


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La evaluacin contina hasta encontrar una lata que no cumplacon las especificaciones.Si notamos con s el hecho de que la lata cumple con las especi-ficaciones, y n de que no cumple con ellas.

S = {n, sn, ssn, sssn, ssssn, y asi sucesivamente}

Este espacio muestral tiene un nmero infinito de resultadosposibles.


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Evento: Un evento denotado con (E), es es un grupo de re-sultados contenidos en el espacio muestral S cuyos miembrostienen una caracterstica en comn (se pueden ver como la in-formacin asociada a una pregunta de investigacin), por tantoun evento E es un subconjunto del espacio muestral S. Un even-to simple es un subconjunto unitario y un evento compuesto esun subconjunto con ms de un elemento.El evento que contiene a ningn resultado del espacio muestralse le llama Evento vaco o nulo, denotado por .


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Ejemplo: Teniendo en cuenta el ejemplo anterior de los estudi-antes destacados en ingeniera.Xlos elementos del evento los dos estudiantes seleccionadosson hombres est dado por: E1 = {JC}.

XLos elementos del evento E2 luisa es una de las estudiantesseleccionadas esta dado por: E2 = {LJ,LM,LC,LE}


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Ejemplo: Considrese un experimento en el cul cada uno delos tres vehculos que toman una salida de una autopista partic-ular vira a la izquierda (L) o la derecha (R) al final de la rampade salida. El espacio muestral esta dado por:

S = {LLL,RLL,LRL,LLR,LRR,RLR,RRL,RRR}

XLos elementos del evento E1; cuando mucho uno de los tresvehculos gire a la derecha es:

E1 = {LLL,RLL,LRL,LLR}


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Al definir el espacio muestral como un conjunto, todas las opera-ciones bsicas de la teora de conjuntos es aplicable a los even-tos. As podemos hablar de unin, interseccin, complemento ycontenencia.Sean A y B dos eventos del espacio muestral S.Unin: Es el evento formado por todos los posibles resultadosen A B o en ambos. Se denota por A B.Interseccin: Es el evento formado por todos los resultados co-munes tanto en A como en B. Se denota por A B.


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Complemento: El complemento de un evento A con respecto ael espacio muestral S, es aquel que contiene a todos los resul-tados de S que no se encuentran en A. Se denota por A.Contenencia: Si cualquier resultado de B tambin es un resul-tado de A, se dice que el evento B est contenido en A. Sedenota por B A.


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Eventos mutuamente excluyentes o disjuntos: Dos eventosA y B se dicen mutuamente excluyentes o disjuntos si AB =


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Ejemplo: Teniendo en cuenta el ejemplo de los estudiantes deingeniera, definamos los dos siguientes eventos:

E1 = {JC}E2 = {LJ,LM,LC,LE}

Como,E1 E2 = , entonces E1 y E2 son mutuamente excluyentes.


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Probabilidad:

El trmino de probabilidad se refiere al estudio del azar y laincertidumbre de cualquier situacin en la cual varios posiblessucesos pueden ocurrir; la disciplina de la probabilidad propor-ciona mtodos de cuantificar las oportunidades y probabilidadessociadas con varios sucesos. El lenguaje de la probabilidad seutiliza constantemente de manera informal tanto en el contextoescrito como en el hablado (funcin).


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Probabilidad clsica:

Cada vez que un espacio muestral est formado por un nmerodeterminado de posibles resultados igualmente probables, laprobabilidad de cada uno de ellos ser:

P(E) =#(E)#(S)

; donde # denota el nmero de elementos de un conjunto finito.


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Ejemplo:XSea el experimento aleatorio lanzar un dado al aire, el espaciomuestral de este experimento est dado por:

S = {1,2,3,4,5,6}

Calculemos la probabilidad del evento E , que salga dos en lacara superior del dado es:P(E) = 16 = 0.16667


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Axiomas de probabilidad:

La probabilidad es un nmero real que mide la posibilidad deque ocurra un resultado del espacio muestral, cuando el experi-mento se lleve a cabo y que satisface las siguientes propiedades.Si S es el espacio muestral y E es cualquier evento del experi-mento aleatorio.

? P(S) = 1

? 0 P(E) 1

? Para dos eventos E1 y E2 con E1 E2 = , P(E1 E2) =P(E1) + P(E2)


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Los axiomas anteriores implican los siguientes resultados:

P() = 0

Si S = E E , entonces, P(E ) = 1 P(E)

Si A y B son dos eventos, entonces P(AB) = P(A)+P(B)P(A B)


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Ejemplo:La tabla siguiente presenta la historia de 940 obleas de un pro-ceso de fabricacin de semi conductores. Supngase que seelige al azar una oblea de la tabla.

En el centro del instrumentode Deposicin electrnicoNo Si Total

Contaminacin No 514 68 582alta Si 112 246 358

Total 636 314 940


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Calcular la probabilidad del evento A, la oblea tiene altos nive-les de contaminacin. Esto es:P(A) = 358940 = 0.381

Por tanto, la probabilidad de que la oblea tenga altos niveles decontaminacin es del 38.1 %

Calcular la probabilidad del evento B, la oblea est en el centrode un instrumento de deposicin elctrica. Esto es:

P(B) = 314940 = 0.334

Por tanto, la probabilidad de que la oblea est en el centro deun instrumento de deposicin elctrica es del 33.4 %


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Calcular la probabilidad P(A B), la oblea tiene altos nive-les de contaminacin y est en el centro de un instrumento dedeposicin elctrica, es:

P(A B) = 246940 = 0.261

Por tanto, la probabilidad de que la oblea tenga altos niveles decontaminacin y est en el centro de un instrumento de deposi-cin elctrica es del 26.1 %


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Calcular la probabilidad P(A B), la oblea tiene altos nive-les de contaminacin o est en el centro de un instrumento dedeposicin elctrica, es:

P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) = 358940 + 314940 246940 = 426940 =0.453

Por tanto, la probabilidad de que la oblea tenga altos niveles decontaminacin o est en el centro de un instrumento de deposi-cin elctrica es del 45.3 %


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Ejercicio:

En un estudio realizado por la alcalda de la ciudad relacionadocon la delincuencia y su relacin con la drogadiccin, se encon-traron los siguientes resultados.El 65% de los delincuentes son adictos a algn tipo de drogaalucingena, el 40% de los delitos cometidos se han realizadocon armas blancas. Adems, el 34% de los delincuentes sonadictos a alguna droga y realizan sus atracos con armas blan-cas.


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Calcular las siguientes probabilidades.

Cul es la probabilidad de que no sea adicto a alguna drogaalucingena? Cul es la probabilidad de que utilice un arma distinta al armablanca para sus atracos? Cul es la probabilidad de que sea adicto o halla ejecutadosu delito con un arma blanca? Cul es la probabilidad de que no sea adicto pero si hallaejecutado sus delitos con un arma blanca?


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Probabilidad condicional:

XLa estimacin de la probabilidad de un evento a menudo que-da afectada como consecuencia de informacin adicional.

Para dos eventos cualesquiera A y B con P(B) > 0, la proba-bilidad condicional de A dado que B ha ocurrido est definidapor:

P(A/B) =P(A B)P(B)


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Ejemplo:

Supngase que de todos los individuos que compran cierta c-mara digital, el 60 % incluye una tarjeta de memoria opcional ensu compra, el 40 % incluye una batera extra y el 30 % incluyentanto una tarjeta como una batera.

Calcular la probabilidad de que un individuo adquiera una tarjetade memoria dado que adquiri una batera.


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Solucin:Sean los eventos:A = El individuo adquiri una tarjeta de memoria;B = El individuo adquiri una batera. Entonces,P(A) = 0.6, P(B) = 0.4 y P(A B) = 0.3

Luego,

P(A/B) =P(A B)P(B)

=0.30.4

= 0.75

Es decir, de todos los que adquieren una batera extra, el 75 %adquieren una tarjeta de memoria opcional.


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Regla de multiplicar:

La definicin anterior de probabilidad condicional puede rescribirsede modo que proporcione una expresin general para la proba-bilidad de la interseccin de dos eventos. Esto es:

P(A B) = P(A/B) P(B) = P(B/A) P(A)


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Ejemplo:

La probabilidad de que la batera de un automvil sujeta a altastemperaturas dentro del comportamiento del motor reciba unacorriente de carga mayor que la normal, es 0.7. La probabilidadde que la batera quede expuesta a altas temperaturas es 0.05

Calcular la probabilidad de que la batera experimente una cor-riente de carga mayor que la normal y este expuesta a altastemperaturas.


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Solucin:Sean los eventos:A = la batera experimente una corriente de carga mayor quela normal; B = La batera est expuesta a altas temperaturas.Entonces, P(B) = 0.05 y P(A/B) = 0.7

Luego,

P(A B) = P(A/B) P(B) = (0.7) (0.05) = 0.035

Por tanto, la probabilidad de que la batera experimente una -corriente de carga mayor que la normal y este expuesta a altastemperaturas es de 3.5 %


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Regla de la probabilidad total (para dos eventos):Para cualquier par de eventos A y B

P(B) = P(B A) + P(B A) = P(B/A)P(A) + P(B/A)P(A)

Regla de la probabilidad total (para varios eventos):Sean A1,A2, ...Ak eventos mutuamente excluyentes. Entoncespara cualquier otro evento B

P(B) = P(B/A1)P(A1) + P(B/A2)P(A2) + ...+ P(B/Ak )P(Ak )

=

P(B/Aj)P(Aj)


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Ejemplo:

Supngase que durante el proceso de fabricacin de semicon-ductores, la probabilidad de que un circuito integrado que estesujeto a grandes niveles de contaminacin sea causa de unafalla en un producto, es 0.10. Por otra parte, la probabilidad deque un circuito que no est sujeto a altos niveles de contami-nacin durante el proceso de manufactura sea la causa de lafalla es 0.005. En una corrida de produccin particular, el 20 %de los circuitos estn sujetos a altos niveles de contaminacin.

Calcular la probabilidad de que un producto que utilice algunode estos circuitos integrados falle.


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Solucin:Sean los eventos:A = El circuito est sujeto a altos niveles de contaminacin; B =el circuito integrado falla. Entonces, P(A) = 0.20, P(A) = 0.80,P(B/A) = 0.10 y P(B/A) = 0.005

Luego,

P(B) = P(B A) + P(B A) = P(B/A)P(A) + P(B/A)P(A)= (0.10)(0.20) + (0.005)(0.80) = 0.02 + 0.004 = 0.024

Por tanto, la probabilidad de que un producto que utilice algunode estos circuitos integrados falle es de 2.4 %


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Referencias

Montgomery D.C y Runger G.C. Probabilidad y Estadstica Apli-cadas a la Ingeniera. Limusa Wiley, 2004, segunda edicin.

Mendenhall W., Beaver R.J. y Beaver B.M. Introduccin a laprobabilidad y estadstica (12. ed.). Mxico: Cengage Learning,2008

Roessler, R y Alder H.L. Introduction to probability and statistics(6. ed.). Estados Unidos: W. H. Freeman, 1977


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