Contenido

PROBABILIDADES...................................................................................................................2

EXPERIMENTOS ALEATORIOS...................................................................................................2

PROBABILIDAD A PRIORI..........................................................................................................4

PROBABILIDAD CONDICIONADA..............................................................................................6

PROBABILIDAD TOTAL............................................................................................................10

TEOREMA DE MULTIPLICACIÓN.............................................................................................13

TEOREMA DE BAYES...............................................................................................................16

VARIABLE ALEATORIA DISCRETA............................................................................................20

VARIABLE ALEATORIA CONTINUA..........................................................................................23

DISTRIBUCIONES DISCRETAS..................................................................................................24

DISTRIBUCION DE POISSON....................................................................................................27

DISTRIBUCION BINOMIAL.......................................................................................................30

DISTRIBUCIONES CONTINUAS................................................................................................34

DISTRIBUCION NORMAL.........................................................................................................34

DISTRIBUCION UNIFORME CONTINUA...................................................................................36

1

PROBABILIDADES

EXPERIMENTOS ALEATORIOS

1. E1: Contar el número de pasajeros que suben a una combi en un día determinado. S= {0, 1, 2, 3, 4,5,...} A: Que suban no menos de 15 pasajeros. A= {15, 16, 17, 18, 19, 20,...}

B: Que suban no menos de 10 ni más de 20 pasajeros. B= {10, 11, 12, 13, 14,...}

2. E2: Extraer de un lote que contiene artículos con avería "A" y sin avería "NA". S= {A, NA} D: Se extrae un artículo con avería. D= {A}

F: Se extrae un artículo sin avería. F= {NA}

3. E3: Contar el número de personas que asisten al centro comercial "Plaza Lima Sur" en un día determinado. S= {0, 1, 2, 3, 4, 5,...} A: El número de asistentes sea un número par. A= {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14,...} B: El número de asistentes sea un número impar. B= {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13,...}

4. E4: Observar si llueve o no llueve en día determinado. S= {llueve, no llueve} D: Ocurra que llueva. D= {llueva} E: Ocurra que no llueva. E= {no llueva}

2

5. E5: En un salón de clases mixto entre alumnos "H" y alumnas "M" se

escogen al azar tres alumnos.

S= {MMM, MMH, MHM, MHH, HMM, HMH, HHM, HHH}A: Al menos se escojan dos alumnos hombres.A= {MHH, HMH, HHM, HHH}B: Se escojan tres alumnas mujeres.B= {MMM}

3

PROBABILIDAD A PRIORI

Ejemplos:

1. Se lanzan dos dados al aire, ¿cuál es la probabilidad de que la suma sea mayor de 7?Solución:

S = { 1,1; 1,2 ;1,3; 1,4; 1,5; 1,6; 2,1; 2,2; 2,3; 2,4; 2,5; 2,6; 3,1; 3,2 ;3,3; 3,4; 3,5; 3,6; 4,1; 4,2; 4,3; 4,4; 4,5; 4,6; 5,1; 5,2 ;5,3; 5,4; 5,5; 5,6; 6,1; 6,2; 6,3; 6,4; 6,5; 6,6}

A: La suma de los dados es mayor que 10.A= {5,6; 6,5; 6,6} P (A) = 3 / 36=0.08

InterpretaciónLa probabilidad de que al lanzar dos dados la suma de ellos sea mayor a 10 es del 8%.

2. En el salón de clases de computación de 30 alumnos hay 10 alumnos desaprobados ¿Cuál es la probabilidad de alumnos aprobados?

Solución: n=30 alumnos.A: Alumnos aprobadosA= {20}P(A)=20/30=0.67

InterpretaciónLa probabilidad de alumnos aprobados en el salón de computación es del 67%.

3. En la empresa “The artefacts” proveedores de hornos microondas, proveen al día 56 hornos microondas, de los cuales 40 llegan siempre sin fallas mecánicas ¿Cuál es la probabilidad de artículos con fallas mecánicas?

Solución: n=56A: hornos microondas con fallas mecánicas.A= {16}P(A)=16/56=0.29

InterpretaciónLa probabilidad de alumnos aprobados en el salón de computación es del 29%.

4

4. Un alumno ha dado dos exámenes de estadística y no sabe si va desaprobar o aprobar. ¿Cuál es la probabilidad de que apruebe un examen?

Solución: A=aprueba.D=desaprueba.

S= {AA, AD, DA, DD}F: El alumno aprueba un examen.F= {AD, DA}P (F)=2/4=0.5

InterpretaciónLa probabilidad de que el alumno apruebe un examen de los dos exámenes que ha dado es del 50%.

5. Un oficinista ha dado tres entrevistas de trabajo en diferentes empresas pero no sabe si lo han aprobado o no ¿Cuál es la probabilidad de que pase por lo menos dos entrevistas de trabajo?

Solución: A=aprueban N=no lo aprueban

5

S= {AAA, AAN, ANA, ANN, NAA, NAN, NNA, NNN}F: El oficinista pase por lo menos dos entrevistas de trabajo.F= {AAA, AAN, ANA, NAA,}P (F)=4/8=0.5

InterpretaciónLa probabilidad de que el oficinista de sus tres entrevistas previas pase por lo menos 2 es del 50%.

PROBABILIDAD CONDICIONADA

Ejemplos:

1. En un estudio sanitario se ha llegado a la conclusión de que la probabilidad de que una persona sufra problemas cardiacos es el 0,10. Además, la probabilidad de que una persona sufra problemas de obesidad es el 0,25 y la probabilidad de que una persona sufra a la vez problemas de obesidad y cardiacos es del 0,05. Calcular la probabilidad de que una persona sufra problemas cardiacos si está obesa.

6

Solución: A: Una persona sufre de problemas cardiacos.P (A)=0,10

B: Una persona sufra problemas de obesidad.P (B)=0,25P(A B)=0,05

P (A/B) = 0,05 / 0,25 = 0,20

InterpretaciónLa probabilidad de que una persona sufra problemas cardiacos dado que está obesa es del 20%.

2. Se selecciona una semilla, de una bolsa que contiene 10 semillas de flores rojas, y 12 de ellas están marchitas; además 5 son rojas y están marchitas. ¿Cuál es la probabilidad de que:

a. La semilla sea roja? b. La semilla sea roja dado que esta marchita?

Solución: n=15a) A: La primera semilla es roja. A=10 P (A)=10/15=0.67

b) B: La semilla esta marchita. B=12 P (B) =12/15=0.8A B=5P (A B) =5/15=0.33

P (A / B) = 0.33/ 0.8=0.41

Interpretación:

La probabilidad de seleccionar una semilla que sea roja dado que esta marchita es del 41 %.

3. En una ciudad, el 40% de la población tiene cabellos castaños, el 25% tiene ojos castaños y el 15% tiene cabellos y ojos castaños. Se escoge una persona al azar: n=100

a) Si tiene los cabellos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que tenga ojos castaños?

7

Solución:

Interpretación:La probabilidad de que tenga ojos castaños dado que tiene cabello castaño es del 38%.

b) Si tiene ojos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos castaños?

Solución:

Interpretación:La probabilidad de que no tenga cabello castaño dado que tiene ojos castaños es del 40%.

4. Se sabe que el 50% de la población fuma y que el 10% fuma y es hipertensa. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona sea fumador dado que es hipertenso? n=100Solución: A: ser hipertenso.P(A)=0,50B: ser fumador.P (B)=0,50 A B = 0,10

P (A|B) = 0,10 / 0,50 = 0,20

8

Interpretación:

La probabilidad de que una persona sea fumador dado que es hipertenso es del 20%.

5. En un aula hay 100 alumnos, de los cuales: 40 son hombres, 30 usan gafas, y 15 son varones y usan gafas. Si seleccionamos al azar un alumno de dicho curso:¿qué probabilidad hay de que sea hombre dado que el alumno seleccionado no usa gafas,?

Solución:

n=100 h=hombres G =Sin gafas P (Mujeres Hombres)=45/100=0.45

Interpretación:

La probabilidad de que el alumno seleccionado sea hombre dado que no usa gafas es del 36%.

9

PROBABILIDAD TOTAL

Ejemplos:

1. Una compañía dedicada al transporte público explota tres líneas de una ciudad, de forma que el 60% de los autobuses cubre el servicio de la primero línea, el 30% cubre la segunda y el 10% cubre el servicio de la tercera línea. Se sabe que la probabilidad de que, diariamente, un autobús se averíe es del 2%, 4% y 1%, respectivamente, para cada línea. Determina la probabilidad de que en un día, un autobús sufra una avería.

Solución:

Av = averíano Av= no averíaL1=Línea 1L2= Línea 2L3= Línea 3

P (Av) = P(L1) · P(Av/L1) + P(L2) · P(Av/L2) + P(L3) · P(Av/L3) = = 0.6 * 0.02 + 0.3 * 0.04 + 0.1 * 0.01 = = 0.012 + 0.012 + 0.001 = 0.025

Interpretación:

La probabilidad de que en un día, un autobús sufra una avería es del 2,5 %.

2. Una empresa del ramo de la alimentación elabora sus productos en cuatro factorías: F1, F2, F3 y F4. El porcentaje de producción total que se fábrica en cada factoría es del 40%, 30%, 20% y 10%, respectivamente, y además el porcentaje de envasado incorrecto en cada factoría es del 1%, 2%, 7% y 4%. Tomamos un producto de la empresa al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentre defectuosamente envasado?

Solución:

M =el producto está defectuosamente envasado.B=producto en buen estado.

10

P (M) = P (F1) · P(M/F1) + P(F2) · P(M/F2) + P(F3) · P(M/F3) + P(F4) · P(M/F4) == 0.4 · 0.01 + 0.3 · 0.02 + 0.2 · 0.07 + 0.1 · 0.04 == 0.004 + 0.006 + 0.014 + 0.004 = 0.028

Interpretación:

La probabilidad de que el producto se encuentre defectuosamente envasado es del 2,8%.

3. Van a cambiar a tu jefe y se barajan diversos candidatos:

a) Carlos, con una probabilidad del 60%b) Juan, con una probabilidad del 30%c) Luis, con una probabilidad del 10%En función de quien sea tu próximo jefe, la probabilidad de que te suban el sueldo es la siguiente:a) Si sale Carlos: la probabilidad de que te suban el sueldo es del 5%.b) Si sale Juan: la probabilidad de que te suban el sueldo es del 20%.c) Si sale Luis: la probabilidad de que te suban el sueldo es del 60%.En definitiva, ¿cual es la probabilidad de que te suban el sueldo?:

Solución:

P (B) = (0,60 * 0,05) + (0,30 * 0,20) + (0,10 * 0,60)0,03 + 0,06 + 0,06 = 0,15

Interpretación:La probabilidad de que te suban el sueldo es del 15%.

11

4. La prevalencia de infarto cardíaco para hipertensos es del 0,3% y para no hipertensos del 0,1%. Si la prevalencia de hipertensión en una cierta población es del 25% ¿Cuál es la prevalencia del infarto en esa población?

Solución:

A1: ser hipertenso A2: no serlo

B : padecer infarto

p(B|A1) = 0,003; p(B|A2) = 0,001; p(A1) = 0,25

p(A2) =0,75

p(B) = 0,003x0,25 + 0,001 x 0,75 = 0,0015

Interpretación:La probabilidad de prevalencia de infarto en esa población es del 15%.

5. En un saquito hay papeletas de tres colores, con las siguientes probabilidades de ser elegidas:

a) Amarilla: probabilidad del 50%.b) Verde: probabilidad del 30%c) Roja: probabilidad del 20%.

Según el color de la papeleta elegida, podrás participar en diferentes sorteos. Así, si la papeleta elegida es:a) Amarilla: participas en un sorteo con una probabilidad de ganar del 40%.b) Verde: participas en otro sorteo con una probabilidad de ganar del 60%c) Roja: participas en un tercer sorteo con una probabilidad de ganar del 80%.Con esta información, ¿Qué probabilidad tienes de ganar el sorteo en el que participes?

Solución:

Las tres papeletas forman un sistema completo: sus probabilidades suman 100%

P (B) = (0,50 * 0,40) + (0,30 * 0,60) + (0,20 * 0,80) = 0,54

Interpretación:La probabilidad de ganar el sorteo en el que participe es del 0,54.

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TEOREMA DE MULTIPLICACIÓN

Ejemplos

1. En la institución educativa San Alfonso la probabilidad de que un alumno de educación primaria apruebe el curso de matemática es 30%; que apruebe lengua es del 50%. Si la probabilidad de que apruebe lengua dado que apruebe matemática es del 75%. ¿Cual es la probabilidad de que el alumno apruebe matemática y lengua?

Solución:

Datos

A: el alumno apruebe matemática

p(A) = 0,30

B: el alumno apruebe lengua

p(B) = 0,50

p(B/A)=0,75

Determinar P(A  B)

p(A  B) = p(A) · p(B/A)

= (0,30) · (0,75)

= 0,225

Interpretación

La probabilidad de en la institución educativa San Alfonso un alumno de educación primaria apruebe matemática y lengua que es del 22,5%.

2. Se sabe que el 50% de la población de Santa Clara fuma y que el 15% es hipertensa. Además que la probabilidad de que un fumador sea hipertenso es 20% ¿Cuál es la probabilidad de que un individuo sea hipertenso y fumador?

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Solución:

Datos

A = individuo que sea hipertenso

P(A)=0,15B = individuo que sea fumador P(B)=0,50p(A|B) = 0,20

Determinar A B

p(A  B) = p(B) · p(A/B)= (0,50) · (0,20)= 0,10

Interpretación:

la probabilidad de que una individuo de la población de Santa Clara sea hipertenso y fumador es del 10%.

3. Si una mujer es portadora de la enfermedad de DUCHENNE (distrofia muscular progresiva). ¿Cuál es la probabilidad de que su próximo hijo sea varón y tenga la enfermedad?

Solución:

Según las leyes de Mendel, todos los posibles genotipos de un hijo de una madre portadora (xX) y un padre normal (XY) son xX, xY, XX, XY y tienen la misma probabilidad.

Por lo tanto

S = {xX, xY, XX, XY}

TenemosA: tener hijo enfermo (corresponde al genotipo xY) A = {xY}p(A) = 1/4 = 0,25 B: tener hijo varónB = {xY, XY}p(B) = 2/4 = 0,50Además: p(A|B) = 0,50

Determinar (A B)p(A  B) = p(B) · p(A/B)

14

= (0,50) · (0,50)

= 0,25

Interpretación:

La probabilidad de que una mujer portadora de DUCHENNE su tenga un hijo sea varón y herede la enfermedad es del 25%.

4. Se analizan muestras de policarbonato plástico para determinar su resistencia a las rayaduras y a los golpes. Se encontró que tiene una resistencia a los golpes de un 35% y a las rayaduras de 40%, además la probabilidad de que tenga una resistencia a los golpes dado que tenga resistencia a las rayaduras es del 45%. ¿Cuál es la probabilidad de que tengan resistencia a los golpes y a las rayaduras?

Solución:

Tenemos

A: Resistencia a los golpes

p(A) = 0,35

B: Resistencia a las rayaduras

p(B) = 0,40

Además: p(A|B) = 0,45

Determinar (A B)

p(A  B) = p(B) · p(A/B)

= (0,40) · (0,45)

= 0,18

Interpretación:

La probabilidad de que tengan resistencia a los golpes y a las rayaduras es del 18%.

5. El 20% de los empleados de la empresa “VALTY” son economistas y otro 20% son empleados contratados. Si el 75% de los empleados son economistas dado que sean empleados contratados. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado elegido al azar sea economista y contratado?

15

Solución:

Datos

A = empleado que es economista

P(A)=0,20

B = empleado contratado

P(B)=0,20

p(A|B) = 0,75

Determinar p(A B)

p(A  B) = p(B) · p(A/B)

= (0,20) · (0,75)

= 0,15

Interpretación:

La probabilidad de que un empleado elegido al azar de la empresa “VALTY“ sea economista y contratado es del 15%.

TEOREMA DE BAYES

Ejemplos:

1. Tenemos tres urnas:     con tres bolas rojas y cinco negras,     con dos bolas rojas y una negra y     con dos bolas rojas y tres negras. Escogemos una urna al azar y extraemos una bola. Si la bola ha sido roja, ¿cuál es la probabilidad de haber sido extraída de la urna   ?

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Solución:

R: sacar bola roja.

La probabilidad pedida es   . Utilizando el teorema de Bayes, tenemos:

Interpretación:

La probabilidad de que al extraer una bola ha sido roja, esta sea de la es del 26%.

2. Parte meteorológico ha anunciado posibilidad para el fin de semana:

Que llueva: probabilidad del 50%.

Según estos posibles estados meteorológicos, la posibilidad de que ocurra un accidente es la siguiente:

Si llueve: probabilidad de accidente del 10%

Solución:

A= Que llueva el fin de semana.

B= Que ocurra un accidente.

Interpretación

La probabilidad de que efectivamente estuviera lloviendo el día del accidente (probabilidad a posteriori) es del 71,4%.

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3. Tenemos tres urnas: A con 3 bolas azules y 5 negras, B con 2 bolas azules y 1 negra y C con 2 bolas azules y 3 negras. Escogemos una urna al azar y extraemos una bola. Si la bola ha sido azul, ¿cuál es la probabilidad de haber sido extraída de la urna A?

Solución:

R: sacar bola roja.

N: sacar bola negra.

La probabilidad pedida es P(A/R). Utilizando el teorema de Bayes, tenemos:

Interpretación

La probabilidad de haber de que al extraer una bola ha sido azul esta sea de la urna A es del 26%.

4. El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras que los no ingenieros y los no economistas solamente el 20% ocupa un puesto directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero?

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Solución:

Interpretación

La probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero es del 40,5%.

5. El parte meteorológico ha anunciado tres posibilidades para el fin de semana:

a) Que llueva: probabilidad del 50%.

b) Que nieve: probabilidad del 30%

c) Que haya niebla: probabilidad del 20%.

Según estos posibles estados meteorológicos, la posibilidad de que ocurra un accidente es la siguiente:

a) Si llueve: probabilidad de accidente del 20%.

b) Si nieva: probabilidad de accidente del 10%

c) Si hay niebla: probabilidad de accidente del 5%.

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Solución:

a) Probabilidad de que estuviera lloviendo:

Interpretación

La probabilidad de que efectivamente estuviera lloviendo el día del accidente (probabilidad a posteriori) es del 71,4%.

b) Probabilidad de que estuviera nevando:

Interpretación

La probabilidad de que estuviera nevando es del 21,4%.

c) Probabilidad de que hubiera niebla: 

Interpretación

La probabilidad de que hubiera niebla es del 7,1%  

VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

Ejemplos:

1. Supongamos que se lanzan dos monedas al aire. El espacio muestral, esto es, el conjunto de resultados elementales posibles asociado al experimento, es:

Solución:

Donde: C=cara x=cruz

S = {cc, cx, xc, xx},X: el número de caras obtenidas.

20

P(cc)=2P(cx, xc)=1P(xx)=0

RX = {0, 1, 2}

2. Consideremos el experimento que consiste en lanzar un dado dos veces. El espacio muestral será:

Solución:

Primero

segundo1 2 3 4 5 6

1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

S ={ (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3)(6,4) (6,5) (6,6) }

Definimos la variable aleatoria (v.a.) X como la suma de las puntuaciones, entoncesX((1,1))=2 X((3,4))=7 X((2,6))=8 X((5,6))=11

RX = {2,7,8,11}

3. Para estudiar si las ratas tienen visión cromática, en una caja que cuenta con tres palancas se marca en rojo aquella que al pulsarla proporciona alimento. En cada prueba laposición de este pulsador se cambia aleatoriamente. Se somete una rata a cuatro pruebas.¿Cual sería la distribución de la variable aleatoria número de pulsaciones que consiguen alimento, si la rata no distinguiera el rojo y pulsase al azar?

21

Solución:

La variable aleatoria número de pulsaciones puede tomar los valores 0, 1, 2, 3 y 4. Elsuceso que da origen a que la variable valga 0 sería:R, R,R, Rcuya probabilidad sería 2/3 · 2/3 · 2/3 · 2/3 = 16/81

El suceso que da origen a que la variable valga 1 sería:R,R, R, RUR, R, R, RUR, R,R, RUR, R,R, Ry su probabilidad sería 4 · 1/3 · 2/3 · 2/3 · 2/3 = 32/81

El suceso que es la imagen inversa de 2 es:R,R,R,RUR, R,R,RUR, R,R,RUR, R, R, RUR, R, R, RUR, R, R, Ry su probabilidad 6 · 1/3 · 1/3 · 2/3 · 2/3 = 24/81

La imagen inversa de 3 es:R,R, R, RUR, R,R, RUR, R, R, RUR,R,R,Ry su probabilidad 4 · 1/3 · 1/3 · 1/3 · 2/3 = 8/81

La imagen inversa de 4 es el suceso:R,R, R, Ry su probabilidad es 1/3 · 1/3 · 1/3 · 1/3 = 1/81Resumiendo la distribución del número de aciertos es:

RX = {0, 1, 2, 3, 4}

4. Supongamos que nos interesamos por el número de varones X en el experimento de observar al azar dos niños recién nacidos (Sea H = hombre y M = mujer). Entonces, el espacio muestral , los valores de la variable aleatoria X que cuenta el número de varones y su función de probabilidad

Solución:

Sea: H = hombre y M = mujerP(MM)=0P(MH, HM)=1P(HH)=2

RX = {0, 1, 2}

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Observe que esta variable es una variable discreta y que la suma de todas las probabilidades para todos los valores de la variable es 1.

5. Se sacan dos bolillas de manera sucesiva sin reemplazo de una urna que contiene 5 bolillas blancas y 4 bolillas rojas.

Solución:

X:”número de bolillas rojas extraídas”

Sea : N=Bolillas blancas y R=Bolillas rojas

S={NN,NR,RR,RN}

P(NN)=0P(NR)=1P(RN)=1P(RR)=2

RX = {0, 1, 2}

VARIABLE ALEATORIA CONTINUA

Ejemplos:

1. Un estudio estadístico quiere conocer la duración de un conjunto de bombillas.

Solución:

X:duración de una bombilla . La v.a. así definida es una variable continua pues puede tomar cualquier valor mayor que 0.X=x<0Rx=[ x<0]

2. Una empresa dedicada a la confección de pantalones de caballero ha determinado que la cintura de los varones en una determinada localidad oscila entre 70 cm y 130 cm.

Solución:

X= "medida de la cintura de un varón"

23

Puede tomar cualquier valor comprendidio entre 70 y 130 cm. Toma por tanto un número infinito no numerable ce valores, X es una v.a. continua.Rx=[70,130]

3. Una panificadora desea conocer qué peso tienen las barras de pan. La máquina fabrica piezas con pesos comprendidios entre 225 gr. y 275gr.

Solución:

X= "Peso de una barra de pan" es continua, tomando valores en el intervalor [225, 275].Rx=[225, 275]

4. Una pasteleria desea conocer qué peso tienen la masa del queque. La pasteleria produce pasteles con pesos comprendidios entre 280 gr. y 340gr.

Solución:

X= "Peso de un queque " Rx=[280, 340]

5. Se desea conocer las tallas de los alumnos de computacíon.cuyos pesos estan comprendidos entre 1.50 y 1.75 cm.

Solución:

X= "tallas de los alumnos" Rx=[1.50 , 1.75]

DISTRIBUCIONES DISCRETAS

DISTRIBUCION DE BERNOULLI

f(x) = px(1 − p)1 − x con x = {0,1}

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Ejemplos:

1. Una máquina fabrica una determinada pieza y se sabe que produce un 7 por 1000 de piezas defectuosas. Hallar la probabilidad de que al examinar 50 piezas sólo haya una defectuosa.

Solución:

Se trata de una distribución binomial de parámetros B(50, 0'007) y debemos calcular la probabilidad  p(X=1).

Interpretación:

La probabilidad de que al examinar 50 piezas sólo haya una defectuosa es de 24,8%.

2. La probabilidad de que el carburador de un coche salga de fábrica defectuoso es del 4 por 100. Hallar:a) El número de carburadores defectuosos esperados en un lote de 1000b) La varianza y la desviación típica.

Solución:

3. Lanzar una moneda, probabilidad de conseguir que salga cruz.

Solución:

Se trata de un solo experimento, con dos resultados posibles: el éxito (p) se considerará sacar cruz. Valdrá 0,5. El fracaso (q) que saliera cara, que vale (1 - p) = 1 - 0,5 = 0,5.

La variable aleatoria X medirá "número de cruces que salen en un lanzamiento", y sólo existirán dos resultados posibles: 0 (ninguna cruz, es decir, salir cara) y 1 (una cruz).

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Por tanto, la v.a. X se distribuirá como una Bernoulli, ya que cumple todos los requisitos.

X˜Be(0,5)

P(X = 0) = f(0) = 0,500,51 = 0,5

P(X = 1) = f(1) = 0,510,50 = 0,5

Interpretación:

La probabilidad de conseguir que salga cruz es del 50%.

4. E: "Lanzar un dado y salir un 6".

Solución:

S= {1, 2, 3, 4, 5, 6}

La probabilidad de que obtengamos un 6 viene definida como la probabilidad de que X sea igual a 1.

P(X = 1) = f(1) = (1 / 6)1 * (5 / 6)0 = 1 / 6 = 0.1667

Interpretación:

La probabilidad de que al lanzar un dado y salir un 6es del 16.7%.

5. Lanzar una moneda, probabilidad de conseguir que salga cruz".

Solución:

Se trata de un solo experimento, con dos resultados posibles: el éxito (p) se considerará sacar cruz. Valdrá 0,5. El fracaso (q) que saliera cara, que vale (1 - p) = 1 - 0,5 = 0,5.

La variable aleatoria X medirá "número de cruces que salen en un lanzamiento", y sólo existirán dos resultados posibles: 0 (ninguna cruz, es decir, salir cara) y 1 (una cruz).

Por tanto, la v.a. X se distribuirá como una Bernoulli, ya que cumple todos los requisitos.

X˜Be(0,5)

P(X = 0) = f(0) = 0,500,51 = 0,5

P(X = 1) = f(1) = 0,510,50 = 0,5

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Interpretación:

La probabilidad de conseguir que salga cruz es del 50%.

DISTRIBUCION DE POISSON

Formula:

Ejemplos

1. La probabilidad de que haya un accidente en la compañía de manufactura San Roman es de 0.02 por cada día de trabajo. Si se trabajan 300 días al año, ¿cuál es la probabilidad de tener 3 accidentes?

Solución:

Datos:

p=0,02 ; x=3 ; n=300 ; =300 * 0.02 = 6

Interpretacion:

La probabilidad de tener 3 accidentes laborales en la compañía de manufactura San Román en 300 días de trabajo es de 8.9%.

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2. La contaminación constituye un problema en la fabricación de discos de almacenamiento óptico de cierta empresa. El número de partículas de contaminación que ocurre en un disco óptico tiene una distribución de Poisson y el número promedio de partículas por centímetro cuadrado de superficie del disco es 0.1. El área de un disco bajo estudio es 100 centímetros cuadrados. Encuentre la probabilidad de que ocurran 12 partículas en el área del disco bajo estudio.

Solución:

Datos:Sea que x denote el número de partículas en el área de un disco bajo estudio. Puesto que elnúmero promedio de partículas es 0.1 partículas por cm2 .p=0,1 ; x=12 ; n=100 cm ; = 100 cm x 0.1 partículas/ cm 2 = 10 partículas

Interpretación:

La probabilidad de que ocurran 12 partículas en el área del disco de almacenamiento óptico es de 9,5%.

3. La probabilidad de que en la elaboracion de una taza navideña salga defectuosa es de 0.012. ¿Cuál es la probabilidad de que entre 800 tazas ya fabricadas hayan 5 defectuosas?

Solución:

En este ejemplo vemos nuevamente la probabilidad p menor que 0.1, y el producto

n * p menor que 10, por lo que aplicamos el modelo de distribución de Poisson:

Datos:

p=0,012 ; x=5 ; n=800 ; = 800 x 0,012 = 9,6

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Interpretación:

La probabilidad de que haya 5 tazas navideñas defectuosas entre las 800 recién elaboradas es de 4.6%.

4. En Una determinada compañía telefónica recibe llamadas a razón de 5 por minuto. Si la distribución del número de llamadas es de Poisson, calcular la probabilidad de recibir menos de cuatro llamadas en un determinado minuto.

Solución:

Datos: x=0,1,...,3 ; n=1 ; = 5 por minuto

Interpretación:

La probabilidad de que en una cierta compañía telefónica se reciban menos de cuatro llamadas en un determinado minuto es de 26,5%.

5. En una gran ciudad se producen 2 incendios anuales por termino medio. ¿Cual es la probabilidad de que el proximo año se produzcan mas de cuatro incendios?

Solución:

Datos:x=5 ; n=800 = 9,6 ; = 2

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Interpretación:La probabilidad de que el próximo año se produzcan mas de cuatro incendios es de 5%.

DISTRIBUCION BINOMIAL

Ejemplos

1. Se tiene una moneda trucada de modo que la probabilidad de sacar cara es cuatro veces la de sacar cruz. Se lanza 6 veces la moneda. Calcula las siguientes probabilidades:

a. Obtener dos veces cruz.b. Obtener a lo sumo dos veces cruz.

Solución:

Calculamos en primer lugar la probabilidad de cara y de cruz:p(cara)+p(cruz)=1. Si llamamos x a la probabilidad de sacar cruz, podemos escribir:4x+x=1; 5x=1; x=0,2Así resulta: p(cruz)=0,2 y p(cara)=0,8

Parte a:Datos: n=6; x=2; p=0,2; q=0,8

Interpretación:la probabilidad de que al lanzar 6 veces una moneda se obtenga 2 veces cruz es del 25%.

Parte b:

Datos: n=6; x=0,1,2; p=0,2; q=0,8

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Interpretación:

la probabilidad de que al lanzar 6 veces una moneda se obtenga a lo sumo 2 veces cruz es del 90%.

2. Una determinada raza de perros tiene 4 cachorros en cada camada. Si la probabilidad de que un cachorro sea macho es de 0,55. ¿Cuál es la probabilidad de que en una camada dos exactamente sean hembras?

Solución:

Calculamos en primer lugar la probabilidad de que un cachorro sea macho o hembra:p(macho)=0,55p(hembra)=0,45

Datos: n=4; x=2; p=0,45; q=0,55

Interpretación:La probabilidad de que en una camada de una determinada raza de perros dos exactamente sean hembras es del 37%.

3. La probabilidad de que un estudiante de la Universidad Ricardo Palma obtenga el título de arquitecto es 0,3. Calcula la probabilidad de que en un grupo de 7 estudiantes matriculados en primer curso:a) Ninguno de los 7 finalice la carrera.b) Sólo finalice uno la carrera.c) Al menos 2 acaben la carrera.

Solución:

Parte a:

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Datos: n=7; x=0; p=0,3; q=0,7

Interpretación:

La probabilidad de que un grupo de 7 estudiantes matriculados en primer curso ninguno finalice la carrera es del 8%.

Parte b:

Datos: n=7; x=1; p=0,3; q=0,7

Interpretación:La probabilidad de que un grupo de 7 estudiantes matriculados en primer curso solo 1 finalice la carrera es del 25%.

Parte c:

Datos: n=7; x=2,3,4,...,7 ; p=0,3; q=0,7

Interpretación:La probabilidad de que un grupo de 7 estudiantes matriculados en primer curso al menos 2 acaben la carrera es del 67%.

4. En una población en la que hay un 40% de hombres y un 60% de mujeres seleccionamos 4 individuos ¿Cual es la probabilidad de que haya 2 hombres y 2 mujeres?

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Solución:

Datos:

Para calcular la probabilidad de que haya 2 hombres y 2 mujeres en la muestra, basta calcular la probabilidad de que haya dos hombres en la misma.

Tenemosn=4 ; x=2 ; p=0,4 ; q=0,6

Interpretación:La probabilidad de que al seleccionar al azar 4 individuos de la poblacion de Santa Leonor haya 2 hombres y 2 mujeres es del 35%.

5. Una prueba de inteligencia consta de diez cuestiones cada una de ellas con cinco respuestas de las cuales una sola es verdadera .Un alumno responde al azar:a. ¿Cuál es la probabilidad de que responda al menos a dos cuestiones

correctamente?b. ¿Cuál la de que responda bien a seis?

Solución:

Calculamos en primer lugar la probabilidad de acertar una pregunta:p=1/5=0,2Así resulta: p=0,2

Parte a:

Datos:n=10 ; x=2,3,...,10 ; p=0,2 ; q=0,8

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Interpretación:La probabilidad de que en una prueba de inteligencia de diez cuestiones el alumno responda al menos a dos cuestiones correctamente es del 62%.

Parte b:

Datos:n=10 ; x=6 ; p=0,2 ; q=0,8

Interpretación:La probabilidad de que en una prueba de inteligencia de diez cuestiones el alumno responda bien a 6 preguntas es del 0,6%.

DISTRIBUCIONES CONTINUAS

DISTRIBUCION NORMAL

Se llama distribución normal, distribución de Gauss o distribución gaussiana en estadística y probabilidad. Una distribución normal de media μ y desviación típica σ se designa por N (μ, σ). Su gráfica es la campana de Gauss: que con más frecuencia aparece en fenómenos reales.

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La gráfica de su función de densidad tiene una forma acampanada y es simétrica respecto de un determinado parámetro. Esta curva se conoce como campana de Gauss.

La media de la distribución normal viene dada por:

E(X) =

Y la varianza de la distribución normal viene expresada por:

Var(X) =

Normal No Estándar (Tipificación).

Si X tiene una distribución normal con media y desviación estándar , entonces:

Se dice que tiene una distribución normal estándar. Ejemplos de tipificación:

Ejemplo

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1. En una ciudad se estima que la temperatura máxima en el mes de junio si una distribución normal, con media 23° y desviación típica 5°. Calcular el número de días del mes en los que se espera alcanzar máximas entre 21° y 27°.

DISTRIBUCION UNIFORME CONTINUA

 Ejemplo:

1. El precio medio del litro de gasolina durante el próximo año se estima que puede oscilar entre 140 y 160 pesetas. Podría ser, por tanto, de 143 pesetas., o de 143,4 pesetas., o de 143,45 ptas., o de 143,455 pesetas, etc. Hay infinitas posibilidades, todas ellas con la misma probabilidad.

Solución:

Su función de densidad, aquella que nos permite conocer la probabilidad que tiene cada punto del intervalo, viene definida por:

Donde:

b: es el extremo superior (en el ejemplo, 160 ptas.)

a: es el extremo inferior (en el ejemplo, 140 ptas.)

Por lo tanto, la función de distribución del ejemplo sería:

Es decir, que el valor final esté entre 140 ptas. y 141 ptas. tiene un 5% de probabilidad, que esté entre 141 y 142, otro 5%, etc.

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El valor medio de esta distribución se calcula:

En el ejemplo:

Interpretación:

Por lo tanto, el precio medio esperado de la gasolina para el próximo año es de 150 pesetas.

2. El volumen de precipitaciones estimado para el próximo año en la ciudad de Sevilla va a oscilar entre 400 y 500 litros por metro cuadrado. Calcular la función de distribución y la precipitación media esperada:

Solución:

Es decir, que el volumen de precipitaciones esté entre 400 y 401 litros tiene un 1% de probabilidades; que esté entre 401 y 402 litros, otro 1%, etc.

El valor medio esperado es:

Interpretación:

Es decir, la precipitación media estimada en Sevilla para el próximo año es de 450 litros.

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