República Bolivariana de VenezuelaMinisterio del Poder Popular Para la defensa

Universidad Nacional Experimental de la Fuerza ArmadaNúcleo Miranda

Extensión Ocumare del TuyC.B.I 301Nocturno

PROBABILIDADES Y ESTADISTICA

PROFESORA: BACHILLERES:

Obdulio Pérez Luis

Rodríguez

C.I 20.674.663

Kleber Colmenares

C.I 20.976.627

Ocumare del Tuy Mayo 2014

INTRODUCCION

El concepto de probabilidad nace con el deseo del hombre de conocer con

certeza los eventos futuros. Es por ello que el estudio de probabilidades surge

como una herramienta utilizada por los nobles para ganar en los juegos y

pasatiempos de la época. El desarrollo de estas herramientas fue asignado a

los matemáticos de la corte. Con el tiempo estas técnicas matemáticas se

perfeccionaron y encontraron otros usos muy diferentes para la que fueron

creadas. Actualmente se continuó con el estudio de nuevas metodologías que

permitan maximizar el uso de la computación en el estudio de las probabilidades

disminuyendo, de este modo, los márgenes de error en los cálculos. El ejemplo

Más sencillo y cotidiano de un experimento aleatorio es el de lanzar una moneda

o un dado, y aunque estos experimentos pueden parecer muy sencillos, algunas

personas los utilizan para tomar decisiones en sus vidas. En principio no sabemos

cuál será el resultado del experimento aleatorio, así que por lo menos conviene

agrupar en un conjunto a todos los resultados posibles. A continuación más

adelante se explican conceptos y formulaciones básicas dentro del ámbito de la

probabilidad y estadística.

DESIGUALDAD DE CHEBYSHEV

Es uno de los resultados más importantes e interesantes en la teoría de la

probabilidad. Este resultado establece que si X es una variable aleatoria y E(X) es

la esperanza de, la cual existe, entonces

Para todo donde V(X) es la varianza de la variable aleatoria X.

La demostración de esta desigualdad se basa en la desigualdad de Markov, la

cual dice lo siguiente: Si es una variable aleatoria, entonces

Para todo y todo entero positivo .

La estimación que la desigualdad de Chebyshev da a la probabilidad del evento

; puede ser muy buena. Esta probabilidad generalmente es

menor que

Y en consecuencia este valor es una buena sobre estimación de

.

Una de las aplicaciones principales de las desigualdades de tipo Chebyshev es el

de aproximar o estimar probabilidades de la forma por

medio de cálculo de cotas.

Es conocido en la literatura, que si conocemos la función de distribución de la

variable aleatoria X, podemos calcular su esperanza E(X) y su varianza V(X), si

estas existen.

De igual modo si conocemos dos variables aleatorias X, Y con su función de

distribución conjunta, podemos calcular E (XY), E(X), E (Y) y su matriz de

covarianzas . Pero el problema reciproco no es cierto, es decir si

conocemos E(X) y V(X), no necesariamente, se puede construir la función de

distribución de la variable aleatoria X y por consiguiente

Son muy difíciles de obtener. Igualmente para el caso de funciones de

distribuciones conjuntas de dos variables aleatorias.

En este artículo vamos a desarrollar principalmente la desigualdad de Chebyshev

bidimensional, la cual no es muy conocida en la literatura de la probabilidad,

además es muy conveniente, ya que en ocasiones la estimación del valor real de

una probabilidad conjunta, suele dar información insuficiente para nuestro

objetivo, como por ejemplo, lado derecho de la desigualdad mayor o igual a uno.

En este sentido podemos decir que entre más pequeño sea el lado derecho de la

desigualdad más precisa es la información de las probabilidades

Además del resultado la desigualdad de Chebyshev bidimensional vamos a

presentar otros resultaos interesantes que son consecuencia de la desigualdad

de Chebyshev.

LEY DE LOS GRANDES NÚMEROS

En la teoría de la probabilidad, bajo el término genérico de La ley de los grandes

números se engloban varios teoremas que escriben el comportamiento

del promedio de una sucesión de variables aleatorias conforme aumenta su

número de ensayos. Estos teoremas prescriben condiciones suficientes para

garantizar que dicho promedio converge (en los sentidos explicados abajo) al

promedio de las esperanzas de las variables aleatorias involucradas. Las distintas

formulaciones de la ley de los grandes números (y sus condiciones asociadas)

especifican la convergencia de formas distintas. Las leyes de los grandes números

explican por qué el promedio de una muestra al azar de una población de gran

tamaño tenderá a estar cerca de la media de la población completa. Cuando las

variables aleatorias tienen una varianza finita, el teorema central del

límite extiende nuestro entendimiento de la convergencia de su promedio

describiendo la distribución de diferencias estandarizadas entre la suma de

variables aleatorias y el valor esperado de esta suma: sin importar la distribución

subyacente de las variables aleatorias, esta diferencia estandarizada converge a

una variable aleatoria normal estándar.

La frase "ley de los grandes números" es también usada ocasionalmente para

referirse al principio de que la probabilidad de que cualquier evento posible

(incluso uno improbable) ocurra al menos una vez en una serie, incrementa con

el número de eventos en la serie. Por ejemplo, la probabilidad de que un

individuo gane la lotería es bastante baja; sin embargo, la probabilidad de

que alguien gane la lotería es bastante alta, suponiendo que suficientes personas

comprasen boletos de lotería.

La ley débil de los grandes números establece que si X1, X2, X3,... es una sucesión

infinita de variables aleatorias independientes que tienen el mismo valor

esperado μ y varianza Entonces el promedio

Converge en probabilidad a μ. En otras palabras, para cualquier número positivo

ε se tiene

La ley fuerte de los grandes números establece que si X1, X2, X3,... es una

sucesión infinita de variables aleatorias independientes e idénticamente

distribuidas que cumplen E (|Xi|) < ∞ y tienen el valor esperado μ, entonces

Es decir, el promedio de las variables aleatorias converge a μ casi

seguramente (en un conjunto de probabilidad 1).

Esta ley justifica la interpretación intuitiva de que el valor esperado de una

variable aleatoria como el "promedio a largo plazo al hacer un muestreo

repetitivo".

TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE

Dice que si tenemos un grupo numeroso de variables independientes y todas

ellas siguen el mismo modelo de distribución (cualquiera que éste sea), la suma

de ellas se distribuye según una distribución normal.

Ejemplo: la variable "tirar una moneda al aire" sigue la distribución de Bernoulli.

Si lanzamos la moneda al aire 50 veces, la suma de estas 50 variables (cada una

independiente entre sí) se distribuye según una distribución normal.

Este teorema se aplica tanto a suma de variables discretas como de variables

continuas.

Los parámetros de la distribución normal son:

Media: n * m (media de la variable individual multiplicada por el número de

variables independientes)

Varianza: n * s2 (varianza de la variable individual multiplicada por el número de

variables individuales)

Veamos un ejemplo:

Se lanza una moneda al aire 100 veces, si sale cara le damos el valor 1 y si sale

cruz el valor 0. Cada lanzamiento es una variable independiente que se distribuye

según el modelo de Bernoulli, con media 0,5 y varianza 0,25. Calcular la

probabilidad de que en estos 100 lanzamientos salga más de 60 caras.

La variable suma de estas 100 variables independientes se distribuye, por tanto,

según una distribución normal.

Media = 100 * 0,5 = 50

Varianza = 100 * 0,25 = 25

Para ver la probabilidad de que salgan más de 60 caras calculamos la variable

normal tipificada equivalente:

(*) 5 es la raíz cuadrada de 25, o sea la desviación típica de esta distribución

Por lo tanto:

P (X > 60) = P (Y > 2,0) = 1- P (Y < 2,0) = 1 - 0,9772 = 0,0228

Es decir, la probabilidad de que al tirar 100 veces la moneda salga más de 60

caras es tan sólo del 2,28%

ESTADISTICA

La Estadística es la parte de las Matemáticas que se encarga del estudio de una

determinada característica en una población, recogiendo los datos,

organizándolos en tablas, representándolos gráficamente y analizándolos para

sacar conclusiones de dicha población. Según se haga el estudio sobre todos los

elementos de la población o sobre un grupo de ella, vamos a diferenciar dos

tipos de Estadística: Estadística descriptiva. Realiza el estudio sobre la población

completa, observando una característica de la misma y calculando unos

parámetros que den información global de toda la población. Estadística

inferencial. Realiza el estudio descriptivo sobre un subconjunto de la población

llamado muestra y, posteriormente, extiende los resultados obtenidos a toda la

población.

EJEMPLO. Cuando van a llegar cualquier tipo de elecciones, por ejemplo, las

elecciones generales, es muy frecuente que los medios de comunicación, nos

adelanten los resultados de encuestas o sondeos en los que se nos indica el

resultado final de dichas elecciones con una precisión y con un error

determinado. Estos sondeos son realizados por distintas técnicas sobre un grupo

(muestra) más o menos numeroso de personas. Naturalmente, cuánto mayor sea

el número de españoles con derecho a voto encuestados, mayor será la fiabilidad

de la encuesta, pero también mayor será el coste del sondeo. el estudio de esta

muestra se haría mediante estadística descriptiva, pero lo que nos interesa no es

el resultado de este estudio reducido sino el resultado final de las elecciones. el

paso de generalizar los resultados de la muestra a toda la población, se hace

mediante técnicas de estadística inferencial. la elección de la muestra debe

hacerse mediante métodos de muestreo para que el estudio resulte lo más fiable

posible.

POBLACIÓN Y MUESTRA

El concepto de población en estadística va más allá de lo que comúnmente se

conoce como tal. Una población se precisa como un conjunto finito o infinito de

personas u objetos que presentan características comunes.

Destacamos algunas definiciones:

"Una población es un conjunto de todos los elementos que estamos estudiando,

acerca de los cuales intentamos sacar conclusiones". Levin & Rubin (1996).

"Una población es un conjunto de elementos que presentan una característica

común". Cadenas (1974).

El tamaño que tiene una población es un factor de suma importancia en el

proceso de investigación estadística y en nuestro caso social, y este tamaño

vienen dados por el número de elementos que constituyen la población, según el

número de elementos la población puede ser finita o infinita. Cuando el número

de elementos que integra la población es muy grande, se puede considerar a

esta como una población infinita, por ejemplo; el conjunto de todos los números

positivos.

Una población finita es aquella que está formada por un limitado número de

elementos, por ejemplo; el número de habitantes de una comarca.

Cuando la población es muy grande, es obvio que la observación y/o medición de

todos los elementos se multiplica la complejidad, en cuanto al trabajo, tiempo y

costos necesarios para hacerlo. Para solucionar este inconveniente se utiliza una

muestra estadística.

Es a menudo imposible o poco práctico observar la totalidad de los individuos,

sobre todos si estos son muchos. En lugar de examinar el grupo entero llamado

población o universo, se examina una pequeña parte del grupo denominada

muestra.

MUESTRA

La muestra es una representación significativa de las características de una

población, que bajo, la asunción de un error (generalmente no superior al 5%)

estudiamos las características de un conjunto poblacional mucho menor que la

población global.

"Se llama muestra a una parte de la población a estudiar que sirve para

representarla". Murria R. Spiegel (1991).

"Una muestra es una colección de algunos elementos de la población, pero no de

todos". Levin & Rubin (1996).

"Una muestra debe ser definida en base de la población determinada, y las

conclusiones que se obtengan de dicha muestra solo podrán referirse a la

población en referencia", Cadenas (1974).

Por ejemplo estudiamos los valores sociales de una población de 5000 habitantes

aprox., entendemos que sería de gran dificultad poder analizar los valores

sociales de todos ellos, por ello, la estadística nos dota de una herramienta que

es la muestra para extraer un conjunto de población que represente a la

globalidad y sobre la muestra realizar el estudio. Una muestra representativa

contiene las características relevantes de la población en las mismas

proporciones que están incluidas en tal población.

Los expertos en estadística recogen datos de una muestra. Utilizan esta

información para hacer referencias sobre la población que está representada por

la muestra. En consecuencia muestra y población son conceptos relativos. Una

población es un todo y una muestra es una fracción o segmento de ese todo.

TÉCNICAS DE MUESTREO

Esto no es más que el procedimiento empleado para obtener una o más

muestras de una población; el muestreo es una técnica que sirve para obtener

una o más muestras de población. Este se realiza una vez que se ha establecido

un marco muestral representativo de la población, se procede a la selección de

los elementos de la muestra aunque hay muchos diseños de la muestra. Al tomar

varias muestras de una población, las estadísticas que calculamos para cada

muestra no necesariamente serían iguales, y lo más probable es que variaran de

una muestra a otra.

TIPOS DE MUESTREO

Existen dos métodos para seleccionar muestras de poblaciones; el muestreo no

aleatorio o de juicio y el muestreo aleatorio o de probabilidad. En este último

todos los elementos de la población tienen la oportunidad de ser escogidos en la

muestra. Una muestra seleccionada por muestreo de juicio se basa en la

experiencia de alguien con la población. Algunas veces una muestra de juicio se

usa como guía o muestra tentativa para decidir cómo tomar una muestra

aleatoria más adelante. Las muestras de juicio evitan el análisis estadístico

necesario para hacer muestras de probabilidad.

DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS

La distribución de frecuencia es una disposición tabular de datos estadísticos,

ordenados ascendente o descendentemente, de acuerdo a la frecuencia de cada

dato. Las frecuencias pueden ser:

Frecuencia absoluta (f¡): Es el número de veces que se repite un determinado

valor de la variable (xi). Se designa por fi.

PROPIEDAD: la suma de todas las frecuencias absolutas es igual al total de

observaciones (n).

frecuencia acumulada (F¡): Las frecuencias acumuladas de una distribución de

frecuencias son aquellas que se obtienen de las sumas sucesivas de las fi que

integran cada una de las filas de una distribución de frecuencia, esto se logra

cuando la acumulación de las frecuencias se realiza tomando en cuenta la

primera fila hasta alcanzar la última. Las frecuencias acumuladas se designan con

las letras F¡. Se calcula:

PROPIEDAD: La última frecuencia acumulada absoluta es igual al total de

observaciones.

Frecuencia relativa (hi): Es aquella que resulta de dividir cada una de las

frecuencias absolutas entre el número total de datos. Las frecuencias relativas

se designan con las letras hi. Se calcula

PROPIEDAD: la suma de todas las frecuencias relativas es igual a la unidad.

Frecuencia relativa acumulada (Hi): Es aquella que resulta de dividir cada una de

las frecuencias acumuladas entre número total de datos. Se designa con las

letras Hi. Se calcula;

PROPIEDAD: La última frecuencia relativa acumulada es la unidad.

DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS ABSOLUTAS

Es la representación estructurada en forma de tabla de toda la información que

se ha recogido sobre la variable que se estudia, es decir, es una tabla que

presenta de manera ordenada los distintos valores de una variable y sus

correspondientes frecuencias.

DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS AGRUPADAS

Es aquella distribución en la que la disposición tabular de los datos estadísticos

se encuentra ordenada en clases y con la frecuencia en cada clase; es decir, los

datos originales de varios valores adyacentes del conjunto se combinan para

formar un intervalo de clase. No existen normas establecidas para determinar

cuándo es apropiado utilizar datos agrupados o datos no agrupados; sin

embargo, se sugiere que cuando el número total de datos (N) es igual o superior

50 y además el rango o recorrido de la serie de datos es mayor de 20, entonces,

se utilizará la distribución de frecuencia para datos agrupados, también se

utilizará este tipo de distribución cuando se requiera elaborar gráficos lineales

como el histograma, el polígono de frecuencia o la ojiva.

La razón fundamental para utilizar la distribución de frecuencia de clases es

proporcionar mejor comunicación acerca del patrón establecido en los datos y

facilitar la manipulación de los mismos. Los datos se agrupan en clases con el fin

de sintetizar, resumir, condensar o hacer que la información obtenida de una

investigación sea manejable con mayor facilidad.

Al agrupar los datos en una distribución de frecuencia de clase se pierde parte

de la información. La reducción o agrupamiento a que son sometidos los datos

de una serie de valores cuando existen muchos valores diferentes, originan los

denominados errores de agrupamiento; sin embargo, estos errores son en

general muy pequeños, razón por la cual la distribución de frecuencia de clase

tiene una validez estadística práctica.

Para agrupar los datos en intervalos de clase se deben seguir las siguientes

reglas generales:

• El número de intervalos de clase se toma entre 5 y 15 dependiendo de los

datos.

• Cada observación debe estar incluida en una y solo una clase o intervalo.

• El valor más pequeño y más grande deben entrar en la clasificación.

• No deben existir brechas o vacíos entre clases sucesivas.

• Los intervalos no se deben sobreponer.

• En la medida de lo posible, se debe utilizar la misma amplitud para todos los

intervalos.

PROCEDIMIENTO PARA CONSTRUIR UNA DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS

AGRUPADA EN INTERVALOS

1. Determinar el máximo y mínimo entre los valores que tenemos en la

muestra y calcular el recorrido de la variable o rango, es decir,

R=Xmax-Xmin

2. Calcular el número de clases a utilizar. Existen diversos criterios para

determinar el número de clases, ante tanta diversidad de criterios, se ha

considerado que lo más importante es dar un ancho o longitud de clases

a todos los intervalos de tal manera que respondan a la naturaleza de los

datos y al objetivo que se persigue y esto se logra con la práctica.

Existe una forma para determinar el número de clases y la misma puede

ilustrarse en el siguiente cuadro:

Numero de Datos Número de Intervalos

10 – 100 De 4 a 8

100 - 1.000 De 8 a 11

1.000 - 10.000 De 11 a 14

Cuando se tenga dudas en determinar el número de intervalos de clases, es de

gran utilidad utilizar el método sugerido por Hebert A. Sturges, el cual establece

que: K= 1+3,322 log(n) = número de intervalos. En este curso se utilizará este

método siempre y cuando el mismo sea aplicable.

3. Determinamos la amplitud o tamaño de los intervalos través de la

siguiente formula:

ESTADÍSTICO Y PARÁMETRO:

Estadístico: valor numérico que describe una característica de la muestra y se

obtiene mediante la manipulación algebraica de sus datos. (Pardo Merino)

Ejemplo: Suponga se tomó una muestra representativa de los estudiantes

regulares de la Universidad de los Andes. Para esta muestra se calculó: edad

promedio, rendimiento promedio, porcentaje de estudiantes que fuman.

Parámetro: valor numérico que describe una característica de la población

(Pardo Merino). Los parámetros se estiman a partir de la información aportada

por una muestra de la población.

Ejemplo: Si se considera como universo a todos los estudiantes regulares de la

Universidad de Los Andes, la edad promedio de estos, el porcentaje de

estudiantes de sexo femenino que fuman, el ingreso medio todos los

estudiantes, son valores que describen a este conjunto.

MEDIDAS DE DISPERSIÓN - VARIANZA Y DESVIACIÓN

Así como las medidas de tendencia central nos permiten identificar el punto

central de los datos, las Medidas de dispersión nos permiten reconocer que

tanto se dispersan los datos alrededor del punto central; es decir, nos indican

cuanto se desvían las observaciones alrededor de su promedio aritmético

(Media). Este tipo de medidas son parámetros informativos que nos permiten

conocer como los valores de los datos se reparten a través de eje X, mediante

un valor numérico que representa el promedio de dispersión de los datos. Las

medidas de dispersión más importantes y las más utilizadas son la Varianza y

la Desviación estándar (o Típica).

VARIANZA

Esta medida nos permite identificar la diferencia promedio que hay entre cada

uno de los valores respecto a su punto central (Media ). Este promedio es

calculado, elevando cada una de las diferencias al cuadrado (Con el fin de

eliminar los signos negativos), y calculando su promedio o media; es decir,

sumado todos los cuadrados de las diferencias de cada valor respecto a la media

y dividiendo este resultado por el número de observaciones que se tengan. Si la

varianza es calculada a una población (Total de componentes de un conjunto), la

ecuación sería:

Donde ( ) representa la varianza, (Xi) representa cada uno de los

valores, ( ) representa la media poblacional y (N) es el número de

observaciones ó tamaño de la población. En el caso que estemos

trabajando con una muestra la ecuación que se debe emplear es:

Donde (S2) representa la varianza, (Xi) representa cada uno de los valores, ( )

representa la media de la muestra y (n) es el número de observaciones ó tamaño

de la muestra. Si nos fijamos en la ecuación, notaremos que se le resta uno al

tamaño de la muestra; esto se hace con el objetivo de aplicar una pequeña

medida de corrección a la varianza, intentando hacerla más representativa para

la población. Es necesario resaltar que la varianza nos da como resultado el

promedio de la desviación, pero este valor se encuentra elevado al cuadrado.

DESVIACIÓN ESTÁNDAR O TÍPICA

Esta medida nos permite determinar el promedio aritmético de fluctuación de

los datos respecto a su punto central o media. La desviación estándar nos da

como resultado un valor numérico que representa el promedio de diferencia que

hay entre los datos y la media. Para calcular la desviación estándar basta con

hallar la raíz cuadrada de la varianza, por lo tanto su ecuación sería:

Para comprender el concepto de las medidas de distribución vamos a suponer

que el gerente de una empresa de alimentos desea saber que tanto varían los

pesos de los empaques (en gramos), de uno de sus productos; por lo que opta

por seleccionar al azar cinco unidades de ellos para pesarlos. Los productos

tienen los siguientes pesos (490, 500, 510, 515 y 520) gramos respectivamente.

Por lo que su media es:

La varianza sería:

Por lo tanto la desviación estándar sería:

Con lo que concluiríamos que el peso promedio de los empaques es de 507

gramos, con una tendencia a variar por debajo o por encima de dicho peso en 12

gramos. Esta información le permite al gerente determinar cuánto es el promedio

de perdidas causado por el exceso de peso en los empaques y le da las bases

para tomar los correctivos necesarios en el proceso de empacado.

CONCLUSIÓN

Con todo lo aprendido, podemos concluir que la probabilidad y la estadística son

ramas de la matemática que no se encuentran muy visible en lo cotidiano pero

que en realidad es de mucha utilidad para interpretar y ver desde un punto de

vista muy general datos que se obtienen. A través de sus gráficas, medidas de

tendencia central y de dispersión podemos ver más claro y concreto un conjunto

de datos que se nos hacen muy complicados, en resumen son un verdadero

método de ayuda para informar.