PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

TÉCNICAS DE CONTEO

TÉCNICAS DE CONTEO INTRODUCCIÓN

• En las siguientes diapositivas presentare información sobre las técnicas de conteo, iniciando con su respectiva definición y la interacción que existen entre las mismas, exponiendo algunos ejemplos para su comprensión.

TÉCNICAS DE CONTEO PERMUTACIONES

• L a técnica de la permutación es aplicada para encontrar el numero posible de arreglos donde hay un solo n grupos de objetos.

• Como ilustración analizáremos el siguiente problema:

• Tres componentes electrónicos; un transistor, un capacitador, y un diodo serán ensamblados. Los componentes pueden ser ensamblados en cualquier orden. ¿De cuantas diferentes maneras pueden ser ensamblados los tres componentes?

• Las diferentes maneras de ensamblar los componentes son llamadas permutaciones, y son las siguientes:T D C D T C C D TT C D D C T C T D

Permutación: todos los arreglos de r objetos seleccionados de n objetos posibles.

• La formula empleada para contar el número total de diferentes permutaciones es:nPr=n!

(n-r)!• Donde:• nPr= es el número de permutaciones posibles.• n =es el número total de objetos.• r= al número de objetos utilizados en un

mismo momento.• nPr=n!=3!=3x2=6

(n-r)! (8-3)! 5!

• Ejemplo: • Suponga que hay 6 pelotas de caritas diferentes

pero solo 3 espacios disponibles para exhibirlas en la juguetería. ¿De cuantas maneras diferentes pueden ser arregladas las 6 pelotas en los tres espacios disponibles?

Es decir: encuentre el número de permutaciones de seis pelotitas A, B, C, D, E, F, tomados de a tres cada vez.

5*4*3=60

AB

C,

D E F

nPr=n!=6!=6!=60

n-r)! (6-3)! 3!

El análisis anterior los arreglos no representan reparticiones, es decir no hay dos espacios disponibles con el mismo tipo de pelota. Si en los arreglos se permite la repetición, la formula de permutaciones en la siguiente:

nPr= nr

Para ilustrar el punto, queremos saber ¿Cuántas series de dos letra podemos formar en las letras A, B, C, D, E, F, si se permite la repetición? Las permutaciones son las siguientes:

AA, AB, AC, AD, AE, AF, BB, BC, BD, BE, BF, CC, CD, CE, CF, DD,DE,DF, FF.

nPr=nr6 P 3= 18 = 19

Total de objetos

Número de objetos

utilizado en el momento.

Número de permutaciones

TECNICAS DE CONTEO COMBINACIONES

En una permutación, el orden de los objetos de cada posible resultado es diferente. Si el orden de los objetos no es importante, cada uno de estos resultados se denomina combinación.

Combinaciones: Es el numero de formas de seleccionar r objetos de un grupo de n objetos sin importar el orden.

• Por ejemplo; si se requiere formar un equipo de trabajo por 2 personas seleccionadas de un grupo de tres (A, B, C,). Si en el equipo hay dos funciones diferentes, entonces si importa el orden, los resultados serán permutaciones . Por el contrario si en equipo no hay funciones definidas, entonces no importa el orden y los resultados serán combinaciones. Los resultados de ambos casos son:

• Permutaciones: AB, AC, BA, CA, BC, CB• Combinaciones: AB, AC, BC

• Permutaciones: AB,AC,AD,BA,CA,DA, BC,BD

• Combinaciones: AB, BC, CD,DA

A DB C