PROBABILIDAD y ESTADSTICADefinicin de probabilidad La probabilidad de un suceso es un nmero, comprendido entre 0 y 1, que indica las posibilidades que tiene de verificarse cuando se realiza un experimento aleatorio. Experimentos deterministas Son los experimentos de los que podemos predecir el resultado antes de que se realicen. Ejemplo Si dejamos caer una piedra desde una ventana sabemos, sin lugar a dudas, que la piedra bajar. Si la arrojamos hacia arriba, sabemos que subir durante un determinado intervalo de tiempo; pero despus bajar. Experimentos aleatorios Son aquellos en los que no se puede predecir el resultado, ya que ste depende del azar. Ejemplos Si lanzamos una moneda no sabemos de antemano si saldr cara o cruz. Si lanzamos un dado tampoco podemos determinar el resultado que vamos a obtener. Teora de probabilidades La teora de probabilidades se ocupa de asignar un cierto nmero a cada posible resultado que pueda ocurrir en un experimento aleatorio, con el fin de cuantificar dichos resultados y saber si un suceso es ms probable que otro. Con este fin, introduciremos algunas definiciones:

Suceso Es cada uno de los resultados posibles de una experiencia aleatoria. Al lanzar una moneda salga cara. Al lanzar una moneda se obtenga 4. Espacio muestral Es el conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia aleatoria, lo representaremos por E (o bien por la letra griega ). Espacio muestral de una moneda: = {C, X}. Espacio muestral de un dado: = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Suceso aleatorio es cualquier subconjunto del espacio muestral. Por ejemplo al tirar un dado un suceso sera que saliera par, otro, obtener mltiplo de 3, y otro, sacar 5. Ejemplo Una bolsa contiene bolas blancas y negras. Se extraen sucesivamente tres bolas. Calcular: 1. El espacio muestral. = {(b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n ,b); (n, n,n)}

2. El suceso A = {extraer tres bolas del mismo color}. A = {(b,b,b); (n, n,n)} 3. El suceso B = {extraer al menos una bola blanca}. B= {(b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n ,b)} 4. El suceso C = {extraer una sola bola negra}. C = {(b,b,n); (b,n,b); (n,b,b)} Tipos de sucesos Suceso elemental es cada uno de los elementos que forman parte del espacio muestral. Por ejemplo al tirar un dado un suceso elemental es sacar 5. Suceso compuesto es cualquier subconjunto del espacio muestral. Por ejemplo al tirar un dado un suceso sera que saliera par, otro, obtener mltiplo de 3. Suceso seguro, , est formado por todos los posibles r esultados (es decir, por el espacio muestral). Por ejemplo al tirar un dado un dado obtener una puntuacin que sea menor que 7. Suceso imposible, , es el que no tiene ningn elemento.

Por ejemplo al tirar un dado obtener una puntuacin igual a 7. Sucesos compatibles Dos sucesos, A y B, son compatibles cuando tienen algn suceso elemental comn.

Si A es sacar puntuacin par al tirar un dado y B es obtener mltiplo de 3, A y B son compatibles porque el 6 es un suceso elemental comn. Sucesos incompatibles Dos sucesos, A y B, son incompatibles cuando no tienen ningn elemento en comn. Si A es sacar puntuacin par al tirar un dado y B es obtener mltiplo de 5, A y B son incompatibles. Sucesos independientes Dos sucesos, A y B, son independientes cuando la

probabilidad de que suceda A no se ve afectada porque haya sucedido o no B. Al lazar dos dados los resultados son independientes. Sucesos dependientes Dos sucesos, A y B, son dependientes cuando la probabilidad de que suceda A se ve afectada porque haya suce dido o no B. Extraer dos cartas de una baraja, sin reposicin, son sucesos dependientes. Suceso contrario El suceso contrario a A es otro suceso que se realiza cuando no se realiza A. Se denota por . Son sucesos contrarios sacar par e impar al lanzar un dado. Espacio de sucesos Espacio de sucesos, S, es el conjunto de todos los sucesos aleatorios. Si tiramos una moneda el espacio se sucesos est formado por: S= {{}, {C}, {X}, {C, X}}.

Observamos que el primer elemento es el suceso imposible y el ltimo el suceso seguro. Si tiene un nmero finito de elementos, n, de elementos el nmero de sucesos de es 2 n . - Una moneda = {C, X}. - Nmero de sucesos = 2 2 =4 - Dos monedas = {(C,C); (C,X); (X,C); (X,X)}. - Nmero de sucesos = 2 4 =16 - Un dado = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. - Nmero de sucesos = 2 6 = 64

Unin de sucesos La unin de sucesos, A B. Es decir, el suceso A A B se verifica cuando ocurre uno de los dos, A o B, o ambos. B, es el suceso formado por todos los elementos de A y de

B se lee como "A o B".

Ejemplo Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = "sacar par" y B = "sacar mltiplo de 3". Calcular A A = {2, 4, 6} B = {3, 6} B.

A

B = {2, 3, 4, 6}

Propiedades de la unin de sucesos Conmutativa

Asociativa

Idempotente

Simplificacin

Distributiva

Elemento neutro

Absorcin

INTERSECCIN DE SUCESOS

La interseccin de sucesos, A son, a la vez, de A y B. Es decir, el suceso A A

B, es el suceso formado por todos los elementos que

B se verifica cuando ocurren simultneamente A y B.

B se lee como "A y B".

Ejemplo Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = "sacar par" y B = "sacar mltiplo de 3". Calcular A A = {2, 4, 6} B = {3, 6} A B = {6} B.

Propiedades de la interseccin de sucesos Conmutativa

Asociativa

Idempotente

Simplificacin

Distributiva

Elemento neutro

Absorcin

Diferencia de sucesos La diferencia de sucesos, A B, es el suceso formado por todos los elementos de A que no son de B. Es decir, la diferencia de los sucesos A y B se verifica cuando lo hace A y no B.

A B se lee como "A menos B". Ejemplo Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = "sacar par" y B = "sacar mltiplo de 3". Calcular A B. A = {2, 4, 6} B = {3, 6} A B = {2, 4}

Propiedad

Sucesos contrarios El suceso = E - A se llama suceso contrario o complementario de A. Es decir, se verifica siempre y cuando no se verifique A. Ejemplo Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = "sacar par". Calcular .

A = {2, 4, 6} = {1, 3, 5}

Propiedades

Leyes de Morgan

Propiedades de la probabilidad

1. La probabilidad es positiva y menor o igual que 1. 0 p(A) 1 2. La probabilidad del suceso seguro es 1. p(E) = 1 3. Si A y B son incompatibles, es decir A p(A B) = p(A) + p(B) B = entonces:

Propiedades de la probabilidad 1. La suma de las probabilidades de un suceso y su contrario vale 1, por tanto la probabilidad del suceso contrario es:

2. Probabilidad del suceso imposible es cero.

3. La probabilidad de la unin de dos sucesos es la suma de sus probabilidades restndole la probabilidad de su interseccin.

4. Si un suceso est incluido en otro, su probabilidad es menor o igual a la de st e.

5. Si A 1 , A 2 ,..., A k son incompatibles dos a dos entonces:

6. Si el espacio muestral es finito y un suceso es S = {x 1 , x 2 ,..., x n } entonces:

Por ejemplo la probabilidad de sacar par, al tirar un dado, es: P (par) = P(2) + P(4) + P(6)

Regla de laplace

Si realizamos un experimento aleatorio en el que hay n sucesos elementales, todos igualmente probables, equiprobables, entonces si A es un suceso, la probabilidad de que ocurra el suceso A es:

Ejemplos Hallar la probabilidad de que al lanzar dos monedas al aire salgan dos caras. Casos posibles: {cc, cx, xc, xx}. Casos favorables: 1.

En una baraja de 40 cartas, hallar la P (as) y P (copas). Casos posibles: 40. Casos favorables de ases: 4.

Casos favorables de copas: 10.

Calcular la probabilidad de que al echar un dado al aire, salga:

1 Un nmero par. Casos posibles: {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Casos favorables: {2, 4, 6}.

2 Un mltiplo de tres. Casos favorables: {3, 6}.

3 Mayor que 4. Casos favorables: {5, 6}.

Combinatoria y probabilidad

La combinatoria nos

puede

ser

muy

til

para

calcular

los sucesos

posibles

y

favorables, al aplicar la regla de Laplace. Especialmente si hay un gran nmero de sucesos. Ejemplos

1 Un grupo de 10 personas se sienta en un banco. Cul es la probabilidad de que dos personas fijadas de antemano se sienten juntas? Casos posibles:

Casos favorables: Si consideramos las dos personas que se sientan juntas como una sola persona habr 9!; pero pueden estar de dos formas posibles a la izquierda uno d e otro o a la derecha, por tanto se tiene 2 9!

2. Se extraen cinco cartas de una baraja de 52. Hallar la probabilidad de extraer:

4 ases.

4 ases y un rey.

3 cincos y 2 sotas.

Un 9, 10, sota, caballo y rey en cualquier orden.

3 de un palo cualquiera y 2 de otro. Hay cuatro formas de elegir el primer palo y tres formas de elegir al segundo palo.

Al menos un as.

Probabilidad de la unin de sucesosProbabilidad de la unin de sucesos incompatibles A p(A B = B) = p(A) + p(B)

Calcular la probabilidad de obtener un 2 un 5 al lanzar un dado.

Probabilidad de la unin de sucesos compatibles A p(A p(A p(A B B) = p(A) + p(B) p(A B B B) B) p(A C) p(B C) +

C) = p(A) + p(B) + p(C) p(A C)

Calcular la probabilidad de obtener un mltiplo de 2 un 6 al lanzar un dado.

Probabilidad condicionada Sean A y B dos sucesos de un mismo espacio muestral . Se llama probabilidad del suceso A condicionada al B y se representa por P(A/B) a la probabilidad del suceso A una vez ha ocurrido el B.

Ejemplo Calcular la probabilidad de obtener un 6 al tirar un dado sabiendo que ha salido par.

Sucesos independientes Dos sucesos A y B son independientes si p(A/B) = p(A) Sucesos dependientes Dos sucesos A y B son dependientes si p(A/B) p(A)

Probabilidad compuesta o de la interseccion de sucesosProbabilidad de la interseccin de sucesos independientes

p(A Ejemplo

B) = p(A) p(B)

Se tiene una baraja de 40 cartas, se saca una y se vuelve a meter. Cul es la probabilidad de extraer dos ases?

Probabilidad de la interseccin de sucesos dependientes p(A Ejemplo Se tiene una baraja de 40 cartas, se extraen dos cartas. Cul es la probabilidad de extraer dos ases? B) = p(A) p(B/A)

Probabilidad de la diferencia de sucesos

Tablas de contingencia

Un mtodo til para clasificar los datos obtenidos en un recuento es mediante las tablas de contingencia. Se trata de tablas en cuyas celdas figuran probabilidades, y en la cual podemos determinar unas probabilidades conociendo otras de la tabla. Ejemplo Se sortea un viaje a Roma entre los 120 mejores clientes de una agencia de automviles. De ellos, 65 son mujeres, 80 estn casados y 45 son mujeres casadas. Se pide: 1. Cul ser la probabilidad de que le toque el viaje a un hombre soltero? 2. Si del afortunado se sabe que es casado, cul ser la probabilidad de que sea una mujer?

Diagramas de rbol

Para la construccin de un diagrama en rbol se partir poniendo una rama para cada una de las posibilidades, acompaada de su probabilidad. En el final de cada rama parcial se constituye a su vez, un nudo del cual parten nuevas ramas, segn las posibilidades del siguiente paso, salvo si el nudo representa un posible final del experimento ( nudo final). Hay que tener en cuenta: que la suma de probabilidades de las ramas de

cada nudo ha de dar 1. Ejemplos Una clase consta de seis nias y 10 nios. Si se escoge un comit de tres al azar, hallar la probabilidad de: 1. Seleccionar tres nios.

2. Seleccionar exactamente dos nios y una nia.

3. Seleccionar exactamente dos nias y un nio.

4. Seleccionar tres nias.

Calcular la probabilidad de que al arrojar al aire tres monedas, salgan: Tres caras.

Experimentos compuestos Un experimento compuesto es aquel que consta de dos o ms experimentos aleatorios simples. Es decir, si tiramos un dado, o una moneda, son experimentos aleatorios simples, pero si realizamos el experimento de tirar un dado y posteriormente una moneda, estamos realizando un experimento compuesto. En los experimentos compuestos es conveniente usar el llamado diagrama en

rbol para hacerse una idea global de todos ellos.

Teorema de la probabilidad total

Si A 1 , A 2 ,... , A n son: Sucesos incompatibles 2 a 2. Y cuya unin es el espacio muestral (A Y B es otro suceso. Resulta que: A ... A n = ).

1

2

p(B) = p(A 1 ) p(B/A 1 ) + p(A 2 ) p(B/A 2 ) + ... + p(A n ) p(B/A n ) Ejemplo Se dispone de tres cajas con bombillas. La primera contiene 10 bombillas, de las cuales hay cuatro fundidas; en la segunda hay seis bombillas, estando una de ellas fundida, y la tercera caja hay tres bombillas fundidas de un total de ocho. Cul es la probabilidad de que al tomar una bombilla al azar de una cualquiera de las cajas, est fundida?

Teorema de bayes

Si A 1 , A 2 ,... , A n son: Sucesos incompatibles 2 a 2. Y cuya unin es el espacio muestral (A Y B es otro suceso. Resulta que: A ... A n = ).

1

2

Las probabilidades p(A 1 ) se denominan probabilidades a priori.

Las probabilidades p(A i /B) se denominan probabilidades a posteriori. Las probabilidades p(B/A i ) se denominan verosimilitudes. Ejemplos El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas tambin, mientras que los no ingenieros y los no economistas solamente el 20% ocupa un puesto directivo. Cul es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero?

La probabilidad de que haya un accidente en una fbrica que dispone de alarma es 0.1. La probabilidad de que suene esta s se ha producido algn incidente es de 0.97 y la probabilidad de que suene si no ha sucedido ningn incidente es 0.02. En el supuesto de que haya funcionado la alarma, cul es la probabilidad de que no haya habido ningn incidente?

Sean los sucesos: I = Producirse incidente. A = Sonar la alarma.

RESUMEN DE ESTE CAPITULO

Teora de probabilidades

La teora de probabilidades se ocupa de asignar un cierto nmero a cada posible resultado que pueda ocurrir en un experimento aleatorio, con el fin de cuantificar dichos resultados y saber si un suceso es ms probable que otro. Suceso Es cada uno de los resultados posibles de una experiencia aleatoria. Espacio muestral Es el conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia aleatoria, lo representaremos por E (o bien por la letra griega ). Tipos de sucesos Suceso elemental es cada uno de los elementos que forman parte del espacio muestral. Suceso compuesto es cualquier subconjunto del espacio muestral. Suceso seguro, , est formado por todos los posibles resultados (es decir, por el espacio muestral). Suceso imposible,, es el que no tiene ningn elemento. Por ejemplo al tirar un dado obtener una puntuacin igual a 7. Sucesos compatibles Dos sucesos, A y B, son compatibles cuando tienen algn suceso elemental comn.

Sucesos incompatibles Dos sucesos, A y B, son incompatibles cuando no tienen ningn elemento en comn. Sucesos independientes Dos sucesos, A y B, son independientes cuando la probabilidad de que suceda A no se ve afectada porque haya sucedido o no B. Sucesos dependientes Dos sucesos, A y B, son dependientes cuando la probabilidad de que suceda A se ve afectada porque haya sucedido o no B. Suceso contrario El suceso contrario a A es otro suceso que se realiza cuando no se realiza A., Se denota por . Unin de sucesos La unin de sucesos, A B. Interseccin de sucesos La interseccin de sucesos, A son, a la vez, de A y B. Diferencia de sucesos La diferencia de sucesos, A B, es el suceso formado por todos los elementos de A que no son de B. B, es el suceso formado por todos los elementos que B, es el suceso formado por todos los elementos de A y de

Sucesos contrarios El suceso = - A se llama suceso contrario o complementario de A.

Axiomas de la probabilidad 1. 0 p(A) 1 2. p(E) = 1 3. p(A B) = p(A) + p(B)

Propiedades de la probabilidad 1

2

3

4 5 Si A 1 , A 2 , ..., A k son incompatibles dos a dos entonces:

6 Si el espacio muestral E es finito y un suceso es S = {x 1 , x 2 , ..., x n } entonces:

Ley de Laplace

Probabilidad de la unin de sucesos incompatibles A p(A B = B) = p(A) + p(B)

Probabilidad de la unin de sucesos compatibles A p(A B B) = p(A) + p(B) p(A B)

Probabilidad condicionada

Probabilidad de la interseccin de sucesos independientes p(A B) = p(A) p(B)

Probabilidad de la interseccin de sucesos dependientes p(A B) = p(A) p(B/A)

Teorema de la probabilidad total Si A 1 , A 2 ,... , A n son sucesos incompatibles 2 a 2, cuya unin es el espacio muestral (A1

A

2

...

A n = E) y B es otro suceso, resulta que:

p(B) = p(A 1 ) p(B/A 1 ) + p(A 2 ) p(B/A 2 ) + ... + p(A n ) p(B/A n )

Teorema de Bayes Si A 1 , A 2 ,... , A n son sucesos incompatibles 2 a 2, cuya unin es el espacio muestral (A1

A

2

...

A n = E) y B es otro suceso, resulta que:

EJERCICIOS

1. Sean A y B dos sucesos aleatorios con:

Hallar: 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

2. Sean A y B dos sucesos aleatorios con:

Hallar: 1

2

3

4

3. Se sacan dos bolas de una urna que se compone de una bola blanca, otra roja, otra verde y otra negra. Escribir el espacio muestral cuando: 1 La primera bola se devuelve a la urna antes de sacar la segunda. E = {BB, BR, BV, BN, RB, RR, RV, RN, VB, VR, VV, VN, NB, NR, NV, NN} 2 La primera bola no se devuelve. E = {BR, BV, BN, RB, RV, RN, VB, VR, VN, NB, NR, NV}

4. Una urna tiene ocho bolas rojas, 5 amarilla y siete verdes. Si se extrae una bola al azar calcular la probabilidad de: 1Sea roja.

2Sea verde.

3Sea amarilla.

4No sea roja.

5No sea amarilla.

5. Una urna contiene tres bolas rojas y siete blancas. Se extraen dos bolas al azar. Escribir el espacio muestral y hallar la probabilidad de los sucesos: 1 Con remplazamiento.

2 Sin remplazamiento.

6. Se extrae una bola de una urna que contiene 4 bolas rojas, 5 blancas y 6 negras, cul es la probabilidad de que la bola sea roja o blanca? Cul es la probabilidad de que no sea blanca?

7. En una clase hay 10 alumnas rubias, 20 morenas, cinco alumnos rubios y 10 morenos. Un da asisten 45 alumnos, encontrar la probabilidad de que un alumno: 1Sea hombre.

2Sea mujer morena.

3Sea hombre o mujer.

8. Un dado est trucado, de forma que las probabilidades de obtener las distintas caras son proporcionales a los nmeros de estas. Hallar: 1La probabilidad de obtener el 6 en un lanzamiento.

2La probabilidad de conseguir un nmero impar en un lanzamiento.

9. Se lanzan dos dados al aire y se anota la suma de los puntos obtenidos. Se pide: 1La probabilidad de que salga el 7.

2 La probabilidad de que el nmero obtenido sea par.

3 La probabilidad de que el nmero obtenido sea mltiplo de tres.

10. Se lanzan tres dados. Encontrar la probabilidad de que: 1 Salga 6 en todos.

2 Los puntos obtenidos sumen 7.

11. Hallar la probabilidad de que al levantar unas fichas de domin se obtenga un nmero de puntos mayor que 9 o que sea mltiplo de 4.

12. Busca la probabilidad de que al echar un dado al aire, salga: 1 Un nmero par.

2 Un mltiplo de tres.

3 Mayor que cuatro.

13. Hallar la probabilidad de que al lanzar al aire dos monedas, salgan: 1 Dos caras.

2 Dos cruces.

3 Una cara y una cruz.

14. En un sobre hay 20 papeletas, ocho llevan dibujado un coche las restantes son blancas. Hallar la probabilidad de extraer al menos una papeleta con el dibujo de un coche: 1 Si se saca una papeleta.

2 Si se extraen dos papeletas.

3 Si se extraen tres papeletas.

15. Los estudiantes A y B tienen respectivamente probabilidades 1/2 y 1/5 de suspender un examen. La probabilidad de que suspendan el examen simultneamente es de 1/10. Determinar la probabilidad de que al menos uno de los dos estudiantes suspenda el examen.

16. Dos hermanos salen de caza. El primero mata un promedio de 2 piezas cada 5 disparos y el segundo una pieza cada 2 disparos. Si los dos disparan al mismo tiempo a una misma pieza, cul es la probabilidad de que la maten?

17. Una clase consta de 10 hombres y 20 mujeres, la mitad de los hombres y la mitad de las mujeres tienen los ojos castaos. Determinar la probabilidad de que una persona elegida al azar sea un hombre o tenga los ojos castaos.

18. La probabilidad de que un hombre viva 20 aos es y la de que su mujer viva 20 aos es 1/3. Se pide calcular la probabilidad: 1 De que ambos vivan 20 aos.

2 De que el hombre viva 20 aos y su mujer no.

3 De que ambos mueran antes de los 20 aos.

Ejercicios y problemas resueltos de probabilidad condicionada 1 Sean A y B dos sucesos aleatorios con p(A) = 1/2, p(B) = 1/3, p(A Determinar: 1 B)= 1/4.

2

3

4

5

2 Sean A y B dos sucesos aleatorios con p(A) = 1/3, p(B) = 1/4, p(A Determinar: 1

B) = 1/5.

2

3

4

5

6

3 En un centro escolar los alumnos pueden optar por cursar como lengua extranjera ingls o francs. En un determinado curso, el 90% de los alumnos estudia ingls y el resto francs. El 30% de los que estudian ingls son chicos y de los que estudian francs son chicos el 40%. El elegido un alumno al azar, cul es la probabilidad de que sea chica?

p (chica) = 0.9 0.7 + 0.1 0.6 = 0.69

4 De una baraja de 48 cartas se extrae simultneamente dos de ellas. Calcular la probabilidad de que: 1 Las dos sean copas.

2 Al menos una sea copas.

3 Una sea copa y la otra espada.

5 Ante un examen, un alumno slo ha estudiado 15 de los 25 temas correspondientes a la materia del mismo. ste se realiza extrayendo al azar dos temas y dejando que el alumno escoja uno de los dos para ser examinado del mismo. Hallar la probabilidad de que el alumno pueda elegir en el examen uno de los temas estudiados.

6 Una clase est formada por 10 chicos y 10 chicas; la mitad de las chicas y la mitad de los chicos han elegido francs como asignatura optativa. 1 Cul es la probabilidad de que una persona elegida al azar sea chico o estudie francs?

2 Y la probabilidad de que sea chica y no estudie francs?

7 Un taller sabe que por trmino medio acuden: por la maana tres automviles con problemas elctricos, ocho con problemas mecnicos y tres con problemas de chapa, y por la tarde dos con problemas elctricos, tres con problemas mecnicos y uno con problemas de chapa. 1 Hacer una tabla ordenando los datos anteriores.

2 Calcular el porcentaje de los que acuden por la tarde.

3 Calcular el porcentaje de los que acuden por problemas mecnicos.

4 Calcular la probabilidad de que un automvil con problemas elctricos acuda por la maana.

8 Una clase consta de seis nias y 10 nios. Si se escoge un comit de tres al azar, hallar la probabilidad de: 1 Seleccionar tres nios.

2 Seleccionar exactamente dos nios y una nia.

3 Seleccionar por lo menos un nio.

4 Seleccionar exactamente dos nias y un nio.

9 Una caja contiene tres monedas. Una moneda es corriente, otra tiene dos caras y la otra est cargada de modo que la probabilidad de obtener cara es de 1/3. Se selecciona una moneda lanzar y se lanza al aire. Hallar la probabilidad de que salga cara.

10 Una urna contiene 5 bolas rojas y 8 verdes. Se extrae una bola y se reemplaza por dos del otro color. A continuacin, se extrae una segunda bola. Se pide:

1 Probabilidad de que la segunda bola sea verde.

2 Probabilidad de que las dos bolas extradas sean del mismo color.

11 En una clase en la que todos practican algn deporte, el 60% de los alumnos juega al ftbol o al baloncesto y el 10% practica ambos deportes. Si adems hay un 60% que no juega al ftbol, cul ser la probabilidad de que escogido al azar un alumno de la clase: 1 Juegue slo al ftbol.

2 Juegue slo al baloncesto.

3 Practique uno solo de los deportes.

4 No juegue ni al ftbol ni al baloncesto.

12 En una ciudad, el 40% de la poblacin tiene cabellos castaos, el 25% tiene ojos castaos y el 15% tiene cabellos y ojos castaos. Se escoge una persona al azar: 1 Si tiene los cabellos castaos, cul es la probabilidad de que tenga tambin ojos castaos?

2 Si tiene ojos castaos, cul es la probabilidad de que no tenga cabellos castaos?

3 Cul es la probabilidad de que no tenga cabellos ni ojos castaos?

13 En un aula hay 100 alumnos, de los cuales: 40 son hombres, 30 usan gafas, y 15 son varones y usan gafas. Si seleccionamos al azar un alumno de dicho curso: 1 Cul es la probabilidad de que sea mujer y no use gafas?

2 Si sabemos que el alumno seleccionado no usa gafas, qu probabilidad hay de que sea hombre?

14 Disponemos de dos urnas: la urna A contiene 6 bolas rojas y 4 bolas blancas, la urna B contiene 4 bolas rojas y 8 bolas blancas. Se lanza un dado, si aparece un nmero menor que 3; nos vamos a la urna A; si el resultado es 3 ms, nos vamos a la urna B. A continuacin extraemos una bola. Se pide:

1 Probabilidad de que la bola sea roja y de la urna B.

2 Probabilidad de que la bola sea blanca.

15 Un estudiante cuenta, para un examen con la ayuda de un despertador, el cual consigue despertarlo en un 80% de los casos. Si oye el despertador, la probabilidad de que realiza el examen es 0.9 y, en caso contrario, de 0.5. 1 Si va a realizar el examen, cul es la probabilidad de que haya odo el despertador?

2 Si no realiza el examen, cul es la probabilidad de que no haya odo el despertador?

16 En una estantera hay 60 novelas y 20 libros de poesa. Una persona A elige un libro al azar de la estantera y se lo lleva. A continuacin otra persona B elige otro libro al azar. 1 Cul es la probabilidad de que el libro seleccionado por B sea una novela?

2 Si se sabe que B eligi una novela, cul es la probabilidad de que el libro seleccionado por A sea de poesa?

17 Se supone que 25 de cada 100 hombres y 600 de cada 1000 mujeres usan gafas. Si el nmero de mujeres es cuatro veces superior al de hombres, se pide la probabilidad de encontrarnos: 1 Con una persona sin gafas.

2 Con una mujer con gafas.

18 En una casa hay tres llaveros A, B y C; el primero con cinco llaves, el segundo con siete y el tercero con ocho, de las que slo una de cada llavero abre la puerta del trastero. Se escoge al azar un llavero y, de l una llave para abrir el trastero. Se pide: 1 Cul ser la probabilidad de que se acierte con la llave?

2 Cul ser la probabilidad de que el llavero escogido sea el tercero y la llave no abra?

3 Y si la llave escogida es la correcta, cul ser la probabilidad de que pertenezca al primer llavero A?

DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD VARIABLE ALEATORIA Se llama variable aleatoria a toda funcin que asocia a cada elemento del espacio muestral un nmero real. Se utilizan letras maysculas X, Y, ... para designar variables aleatorias, y las respectivas minsculas (x, y, ...) para designar valores concretos de las mismas. Variable aleatoria discreta Una variable aleatoria discreta es aquella que slo puede tomar valores enteros . Ejemplos El nmero de hijos de una familia, la puntuacin obtenida al lanzar un dado. Variable aleatoria continua Una variable aleatoria continua es aquella que puede tomar todos los valores posibles dentro de un cierto intervalo de la recta real. Ejemplos La altura de los alumnos de una clase, las horas de duracin de una pila. Funcin de probabilidad Se llama funcin de probabilidad de una variable aleatoria discreta X a la aplicacin que asocia a cada valor de x i de la variable su probabilidad p i . 0 pi 1 p1 + p2 + p3 + + pn = pi = 1

Ejemplo Calcular la distribucin de probabilidad de las puntuaciones obtenidas al lanzar un dado.

x

1

2

3

4

5

6

pi

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

P=1

Representacin La representacin de una distribucin discreta de probabilidad es un diagrama de barras.

FUNCION DE DISTRIBUCION

Sea X una variable aleatoria discreta cuyos valores suponemos ordenados de menor a mayor. Llamaremos funcin de distribucin de la variable X, y escribiremos F(x) a la funcin: F(x) = p(X x)

La funcin de distribucin asocia a cada valor de la variable aleatoria la probabilidad acumulada hasta ese valor. Ejemplo Calcular la funcin de distribucin de probabilidad de las puntuaciones obtenidas al lanzar un dado. x x a) = 1 - P(Z a)

P(Z > 1.47) = 1 P(Z 1.47) = 1 0.9292 = 0.0708 P(Z a) = 1 P(Z a)

P(Z 1.47) = 1 P(Z 1.47) = 1 0.9292 = 0.0708 P(Z > a) = P(Z a)

p(Z > 1.47) = p(Z 1.47) = 0.9292

P(a < Z b ) = P(Z b) P(Z a)

P( 0.45 30, cualquier tamao si la poblacin es "normal"), las medias de estas muestras siguen aproximadamente la distribucin:

Consecuencias: 1.Permite averiguar la probabilidad de que la media de una muestra concreta est en un cierto intervalo. 2.Permite calcular la probabilidad de que la suma de los elementos de una muestra est, a priori, en un cierto intervalo.

3.Inferir la media de la poblacin a partir de una muestra.

Las bolsas de sal envasadas por una mquina tienen = 500 g y = 35 g. Las bolsas se empaquetaron en cajas de 100 unidades. 1.Calcular la probabilidad de que la media de los pesos de las bolsas de un paquete sea menor que 495 g.

2.Calcular la probabilidad de que una caja 100 de bolsas pese ms de 51 kg.

Estimacin de parmetros

Es el procedimiento utilizado para conocer las caractersticas de un parmetro poblacional, a partir del conocimiento de la muestra. Con una muestra aleatoria, de tamao n, podemos efectuar una estimacin de un valor de un parmetro de la poblacin; pero tambin necesitamos precisar un: Intervalo de confianza

Se llama as a un intervalo en el que sabemos que est un parmetro, con un nivel de confianza especfico. Nivel de confianza Probabilidad de que el parmetro a estimar se encuentre en el intervalo de confianza. Error de estimacin admisible Que estar relacionado con el radio del intervalo de confianza. ESTIMACION DE LA MEDIA DE UNA POBLACION Intervalo de confianza para la media El intervalo de confianza, para la media de una poblacin, con un nivel de confianza de 1- , siendo x la media de una muestra de tamao n y la desviacin tpica de la poblacin, es:

El error mximo de estimacin es:

Cuanto mayor sea el tamao de la muestra, n, menor es el error. Cuanto mayor sea el nivel de confianza, 1-, mayor es el error. Tamao de la muestra

Si aumentamos el nivel de confianza, aumenta el tamao de la muestra. Si disminuimos el error, tenemos que aumentar el tamao de la muestra.

El tiempo que tardan las cajeras de un supermercado en cobrar a los clientes sigue una ley normal con media desconocida y desviacin tpica 0,5 minutos. Para una muestra aleatoria de 25 clientes se obt uvo un tiempo medio de 5,2 minutos. 1.Calcula el intervalo de confianza al nivel del 95% para el tiempo medio que se tarda en cobrar a los clientes.

2.Indica el tamao muestral necesario para estimar dicho tiempo medio con un el error de 0,5 minutos y un nivel de confianza del 95%.

n 4 ESTIMACION DE UNA PROPORCION

Si en una poblacin, una determinada caracterstica se presenta en una proporcin p, la proporcin p' , de individuos con dicha caracterstica en

las muestras de tamao n, se distribuirn segn:

Intervalo de confianza para una proporcin

El error mximo de estimacin es:

En una fbrica de componentes electrnicos, la proporcin de componentes finales defectuosos era del 20%. Tras una serie de operaciones e inversiones destinadas a mejorar el rendimiento se analiz una muestra aleatoria de 500 componentes, encontrndose que 90 de ellos eran defectuosos. Qu nivel de confianza debe adoptarse para aceptar que el rendimiento no ha sufrido

variaciones? p = 0.2 q = 1 - p =0.8 p'= 90/ 500 = 0.18

E = 0.2 - 0.18 = 0.02

P (1 - z / 2 k

Bilateral

H 0 =k H0 k

Unilateral H 0 k

2. A partir de un nivel de confianza 1 - o el de significacin . Determinar: El valor z /2 (bilaterales), o bien z (unilaterales) La zona de aceptacin del parmetro muestral (x o p'). 3. Calcular: x o p', a partir de la muestra. 4. Si el valor del parmetro muestral est dentro de la zona de la aceptacin, se acepta la hiptesis con un nivel de significacin . Si no, se rechaza. CONTRASTE BILATERAL Se presenta cuando la hiptesis nula es del tipo H 0 : = k (o bien H 0 : p = k) y la hiptesis alternativa, por tanto, es del tipo H 1 : k (o bien H 1 : p k).

El nivel de significacin se concentra en dos partes (o colas) simtricas respecto de la media. La regin de aceptacin en este caso no es ms que el correspondiente intervalo de probabilidad para x o p', es decir:

o bien:

Se sabe que la desviacin tpica de las notas de cierto examen de Matemticas es 2,4. Para una muestra de 36 estudiantes se obtuvo una nota media de 5,6. Sirven estos datos para confirmar la hiptesis de que la nota media del examen fue de 6, con un nivel de confianza del 95%? 1. Enunciamos las hiptesis nula y alternativa: H0 : = 6 H1 : 6 La nota media no ha variado. La nota media ha variado.

2. Zona de aceptacin Para = 0.05, le corresponde un valor crtico: z / 2 = 1.96. Determinamos el intervalo de confianza para la media: (6-1,96 0,4 ; 6+1,96 0,4) = (5,22 ; 6,78) 3. Verificacin. Valor obtenido de la media de la muestra: 5,6 . 4. Decisin

Aceptamos la hiptesis nula H 0 , con un nivel de significacin del 5%. CONTRASTE UNILATERAL

Caso 1 La hiptesis nula es del tipo H 0 : k (o bien H 0 : p k). La hiptesis alternativa, por tanto, es del tipo H 1 : < k (o bien H 1 : p < k). Valores crticos 1 - 0.90 0.95 0.99 0.10 0.05 0.01 z

1.28 1.645 2.33

El nivel de significacin se concentra en una parte o cola. La regin de aceptacin en este caso ser:

o bien:

Un socilogo ha pronosticado, que en una determinada ciudad, el nivel de abstencin en las prximas elecciones ser del 40% como mnimo. Se elige al azar una muestra aleatoria de 200 individuos, con derecho a voto, 75 de los cuales estaran dispuestos a votar. Determinar con un nivel de significacin del 1%, si se puede admitir el pronstico. 1. Enunciamos las hiptesis nula y alternativa: H 0 : p 0.40 H 1 : p < 0.40 La abstencin ser como mnimo del 40%. La abstencin ser como mximo del 40%;

2. Zona de aceptacin Para = 0.01, le corresponde un valor crtico: z = 2.33. Determinamos el intervalo de confianza para la media:

3.Verificacin.

4.Decisin

Aceptamos

la

hiptesis

nula H 0 .

Podemos

afirmar,

con

un

nivel

de

significacin del 1%, que la La abstencin ser como mnimo del 40%.

Caso 2 La hiptesis nula es del tipo H 0 : k (o bien H 0 : p k). La hiptesis alternativa, por tanto, es del tipo H 1 : > k (o bien H 1 : p > k).

El nivel de significacin se concentra en la otra parte o cola. La regin de aceptacin en este caso ser:

o bien:

Un informe indica que el precio medio del billete de avin entre Canarias y Madrid es, como mximo, de 120 con una desviacin tpica de 40 . Se toma una muestra de 100 viajeros y se obtiene que la media de los precios de sus billetes es de 128 . Se puede aceptar, con un nivel de significacin igual a 0,1, la afirmacin de partida? 1. Enunciamos las hiptesis nula y alternativa: H 0 : 120 H 1 : > 120 2.Zona de aceptacin Para = 0.1, le corresponde un valor crtico: z = 1.28 . Determinamos el intervalo de confianza:

3. Verificacin. Valor obtenido de la media de la muestra: 128 . 4. Decisin No aceptamos la hiptesis nula H 0 . Con un nivel de significacin del 10%. Errores de tipo I y tipo II

Error de tipo I. Se comete cuando la hiptesis nula es verdadera y, como consecuencia del contraste, se rechaza. Error de tipo II. Se comete cuando la hiptesis nula es falsa y, como consecuencia del contraste se acepta.

H0

Verdadera Decisn correcta

Falsa Decisin ERROR DE TIPO II TIPO I Decisin correcta

Aceptar Probabilidad = 1 - ERROR Rechazar Probabilidad = DE

La probabilidad de cometer Error de tipo I es el nivel de significacin . La probabilidad de cometer Error de tipo II depende del verdadero valor del parmetro. Se hace tanto menor cuanto mayor sea n. RESUMEN DEL CAPITULO Inferencia estadstica Estudia cmo sacar conclusiones generales para toda la poblacin a partir del estudio de una muestra, y el grado de fiabilidad o significacin de los resultados obtenidos. Muestreo probabilstico Consiste en elegir una muestra de una poblacin al azar. Podemos distinguir varios tipos:

Muestreo aleatorio simple: Para obtener una muestra, se numeran los elementos de la poblacin y se seleccionan al azar los n elementos que contiene la muestra. Muestreo aleatorio sistemtico: Se elige un individuo al azar y a partir de l, a intervalos constantes, se eligen los dems hasta completar la muestra. Muestreo aleatorio estratificado: Se divide la poblacin en clases o estratos y se escoge, aleatoriamente, un nmero de individuos de cada estrato proporcional al nmero de componentes de cada estrato. Intervalos caractersticos El nivel de confianza (p) se designa mediante 1 - . El nivel de significacin se designa mediante . El valor crtico (k) como z P(Z>z/2)

/2

./2]

= /2

P[-z

/2

< z < z

= 1-

En una distribucin N(, ) el intervalo caracterstico correspondiente a una probabilidad p = 1 - es: ( - z , + z )

/2

/2

1 -

/2

z

/2

Intervalos caractersticos

0.90

0.05

1.645

( - 1.645 , + 1.645 )

0.95

0.025

1.96

( - 1.96 , + 1.96 )

0.99

0.005

2.575

( - 2.575 , + 2.575 )

Distribucin de las medias muestrales Teorema central del lmite Si una poblacin tiene media y desviacin tpica , y tomamos muestras de tamao n (n>30, cualquier tamao si la poblacin es "normal"), las medias de estas muestras siguen aproximadamente la distribucin:

Consecuencias: 1.Permite averiguar la probabilidad de que la media de una muestra concreta est en un cierto intervalo. 2.Permite calcular la probabilidad de que la suma de los elementos de una muestra est, a priori, en un cierto intervalo.

3.Inferir la media de la poblacin a partir de una muestra.

Estimacin

Intervalo

de

confianza

Se llama as a un intervalo en el que sabemos que est un parmetro, con un nivel de confianza especfico.

Nivel de confianza.

de

confianza

Probabilidad de que el parmetro a estimar se encuentre en el intervalo

Error

de

estimacin

admisible

Que estar relacionado con el radio del intervalo de confianza. Estimacin de la media de una poblacin Intervalo de confianza para la media El intervalo de confianza, para la media de una poblacin, con un nivel de confianza de 1- , siendo x la media de una muestra de tamao n y la desviacin tpica de la poblacin, es:

El error mximo de estimacin es:

Tamao de la muestra

Estimacin de una proporcin

Si en una poblacin, una determinada caracterstica se presenta en una proporcin p, la proporcin p' , de individuos con dicha caracterstica en las muestras de tamao n, se distribuirn segn:

Intervalo de confianza para una proporcin

El error mximo de estimacin es:

Hiptesis estadsticas Un TEST ESTADSTICO es un procedimiento para, a partir de una muestra aleatoria y significativa, extraer conclusiones que permitan aceptar o

rechazar una hiptesis previamente emitida sobre el valor de un parmetro desconocido de una poblacin. La hiptesis emitida se designa por H 0 y se llama HIPTESIS NULA . La hiptesis contraria se designa por H 1 y se llama HIPTESIS

ALTERNATIVA .

Contrastes de hiptesis 1. Enunciar la hiptesis nula H 0 y la alternativa H 1 . Bilateral H 0 =k H0 k H1 k H1 < k

Unilateral

H 0 k

H1> k

2. A partir de un nivel de confianza 1 - o el de significacin . Determinar: El valor z /2 (bilaterales), o bien z (unilaterales) La zona de aceptacin del parmetro muestral (x o p'). 3. Calcular: x o p', a partir de la muestra. 4. Si el valor del parmetro muestral est dentro de la zona de la aceptacin, se acepta la hiptesis con un nivel de significacin . Si no, se rechaza. Contraste Bilateral Se presenta cuando la hiptesis nula es del tipo H 0 : = k (o bien H 0 : p = k) y la hiptesis alternativa, por tanto, es del tipo H 1 : k (o bien H 1 : p k). El nivel de significacin se concentra en dos partes (o colas) simtricas respecto de la media. La regin de aceptacin en este caso no es ms que el correspondiente intervalo de probabilidad para x o p', es decir:

o bien:

Contraste unilateral Caso 1 La hiptesis nula es del tipo H 0 : k (o bien H 0 : p k). La hiptesis alternativa, por tanto, es del tipo H 1 : < k (o bien H 1 : p < k). Valores crticos 1 - 0.90 0.95 0.99 0.10 0.05 0.01 z

1.28 1.645 2.33

La regin de aceptacin en este caso ser:

o bien:

Caso 2 La hiptesis nula es del tipo H 0 : k (o bien H 0 : p k).

La hiptesis alternativa, por tanto, es del tipo H 1 : > k (o bien H 1 : p > k). La regin de aceptacin en este caso ser:

o bien:

Errores Error de tipo I. Se comete cuando la hiptesis nula es verdadera y, como consecuencia del contraste, se rechaza. Error de tipo II. Se comete cuando la hiptesis nula es falsa y, como consecuencia del contraste se acepta.

H0

Verdadera

Falsa

Decisn Aceptar Probabilidad = 1 -

correcta

Decisin ERROR DE TIPO II

ERROR Rechazar

DE

TIPO

I Decisin correcta

Probabilidad =

La probabilidad de significacin .

cometer Error

de

tipo

I es

el nivel

de

La probabilidad de cometer Error de tipo II depende del verdadero valor del parmetro. Se hace tanto menor cuanto mayor sea n. Inferencia estadstica. Ejercicios y problemas 1 En cierto barrio se quiere hacer un estudio para conocer mejor el tipo de actividades de ocio que gustan ms a sus habitante s. Para ello van a ser encuestados 100 individuos elegidos al azar. 1.Explicar qu procedimiento de seleccin sera ms adecuado utilizar: muestreo con o sin reposicin. Por qu? Todas las frmulas que hemos estudiado de teora del muestreo y de inferencia estadstica presuponen que las poblaciones son infinitas o que, si no lo son, el muestreo aleatorio se realiza con reposicin.

2.Como los gustos cambian con la edad y se sabe que en el barrio viven 2.500 nios, 7.000 adultos y 500 ancianos, post eriormente se decide elegir la muestra anterior utilizando un muestreo estratificado. Determinar el tamao muestral correspondiente a cada estrato. Para efectuar un muestreo aleatorio estratificado, ser necesario que la muestra refleje fielmente los estratos existentes en la poblacin; deben

considerarse los estratos formados por: nios, adultos y ancianos. El tamao muestral de cada estrato deber ser proporcional a la presencia del mismo en la poblacin original: Poblacin total: 2500 + 7000 + 500 = 10 000.

2 Sea la poblacin de elementos: {22,24, 26}.

1.Escriba todas las muestras posibles de tamao dos, escogidas mediante muestreo aleatorio simple. M 1 = {22, 24}, M 1 = {22, 26}, M 1 = {24, 26}

2.Calcule la varianza de la poblacin.

3.Calcule la varianza de las medias muestrales.

3 La variable altura de las alumnas que estudian en una escuela de idiomas sigue una distribucin normal de media 1,62 m y la desviacin tpica 0,12 m. Cul

es la probabilidad de que la media de una muestra aleatoria de 100 alumnas sea mayor que 1.60 m?

4 Se ha tomado una muestra de los precios de un mismo producto alimenticio en 16 comercios, elegidos al azar en un barrio de una ciudad, y se han encontrado los siguientes precios: 95, 108, 97, 112, 99, 106, 105, 100, 99, 98, 104, 110, 107, 111, 103, 110. Suponiendo que los precios de este producto se distribuyen segn una ley normal de varianza 25 y media desconocida:

1.Cul es la distribucin de la media muestral?

2.Determine el intervalo de confianza, al 95%, para la media poblacional.

95%

z /2 =1.96

(104 - 1.96 1. 25, 104 + 1.9 1.25) = (101.55; 106.45) 5 La media de las estaturas de una muestra aleatoria de 400 personas de una ciudad es 1,75 m. Se sabe que la estatura de las personas de esa ciudad es una variable aleatoria que sigue una distribucin normal con varianza 2 = 0,16 m 2 .

1.Construye un intervalo, de un 95% de confianza, para la media de las estaturas de la poblacin. n=400 1- =0.95 (1.75 1.96 0.4/20 ) x =1.75 =0.4 z /2 =1.96

(1.7108,1.7892)

2.Cul sera el mnimo tamao muestral necesario para que pueda decirse que la verdadera media de las estaturas est a menos de 2 cm de la media muestral, con un nivel de confianza del 90%?

La muestra debe tener al menos 1083 personas. 6 Las ventas mensuales de una tienda de electrodomsticos se distribuyen segn una ley normal, con desviacin tpica 900 . En un estudio estadstico de las

ventas realizadas en los ltimos nueve meses, se ha encontrado un intervalo de confianza para la media mensual de las ventas, cuyos extremos son 4 663 y 5 839 .

1. Cul ha sido la media de las ventas en estos nueve meses? n = 9 x = (4663 + 5839) / 2; x =5251

2. Cul es el nivel de confianza para este intervalo? E= ( 5839 - 4663) / 2 = 588 588 = z / 2 900 / 3 1- = 0.95 7 Se desea estimar la proporcin, p, de individuos daltnicos de una poblacin a travs del porcentaje observado en una muestra aleatoria de individuos, de tamao n. 95% z / 2 = 1.96

1. Si el porcentaje de individuos daltnicos en la muestra es igual al 30%, calcula el valor de n para que, con un nivel de confianza de 0,95, el error cometido en la estimacin sea inferior al 3,1%. 1- =0.95 z / 2 =1.96

Al menos 840 individuos.

2.Si el tamao de la muestra es de 64 individuos, y el porcentaje de individuos daltnicos en la muestra es del 35%, determina, usando un nivel de significacin del 1%, el correspondiente intervalo de confianza para la proporcin de daltnicos de la poblacin. =0.01 1- =0.99 z / 2 =2.575

8 En una poblacin una variable aleatoria sigue una ley normal de media desconocida y desviacin tpica 2.

1.Observada una muestra de tamao 400, tomada al azar, se ha obtenido una media muestra al igual a 50. Calcule un intervalo, con el 97 % de confianza, para la media de la poblacin.

2.Con el mismo nivel de confianza, qu tamao mnimo debe tener la muestra para qu la amplitud del intervalo que se obtenga sea, como mximo, 1?

n 76 9 Una marca de nueces afirma que, como mximo, el 6% de las nueces estn vacas. Se eligieron 300 nueces al azar y se detectaron 21 vacas. 1.Con un nivel de significacin del 1%, se puede aceptar la afirmacin de la marca?

1

Enunciamos las hiptesis nula y alternativa:

H 0 : p 0.06 H 1 : p >0.06

2Zona de aceptacin = 0.01 z = 2.33.

Determinamos el intervalo de confianza:

3Verificacin.

4Decisin Aceptamos la hiptesis nula H 0 . Con un nivel de significacin del 1%.

2.Si se mantiene el porcentaje muestral de nueces que estn vacas y 1 - = 0.95, qu tamao muestral se necesitara para estimar la proporcin de nueces con un error menor del 1% por ciento? 1 - = 0, 9 5 z = 1, 96

/2

10 La duracin de la bombillas de 100 W que fabrica una empresa sigue una distribucin normal con una desviacin tpica de 120 horas de duracin. Su vida media est garantizada durante un mnimo de 800 horas. Se escoge al azar una muestra de 50 bombillas de un lote y, despus de comprobarlas, se obtiene una vida media de 750 horas. Con un nivel de significacin de 0,01, habra que rechazar el lote por no cumplir la garanta? 1 Enunciamos las hiptesis nula y alternativa:

H 0 : 800 H 1 : n. S pueden entrar todos los elementos si m n S importa el orden. S se repiten los elementos.

Ejemplos 1. Cuntos nmeros de tres cifras se puede formar con los dgitos: 1, 2, 3, 4, 5 ?

m = 5

n= 3

No entran todos los elementos. De 5 dgitos entran slo 3. S importa el orden. Son nmeros distintos el 123, 231, 321. S se repiten los elementos.

2. Cuntos nmeros de tres cifras se puede formar con los dgitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5? m = 6 n= 3

Tenemos que separar el nmero en dos bloques:

El primer bloque, de un nmero, lo puede ocupar slo uno de 5 dgitos porque un nmero no comienza por cero (excepto los de las matriculas, los de la lotera y otros casos particulares). m = 5 n= 1

El segundo bloque, de dos nmeros, lo puede ocupar cualquier dgito. m = 6 n= 2

3. Cuntas quinielas de una columna han de rellenarse para asegurarse el acierto de los 15 resultados? m = 3 n = 15 m < n

S entran todos los elementos. En este caso el nmero de orden es mayor que el nmero de elementos. S importa el orden. S se repiten los elementos.

PERMUTACIONES Se llama permutaciones de m elementos (m = n) a las diferentes

agrupaciones de esos m elementos de forma que: S entran todos los elementos. S importa el orden. No se repiten los elementos.

Ejemplos 1. Calcular las permutaciones de 6 elementos. P 6 = 6! = 6 5 4 3 2 1 = 720

2. Cuntos nmeros de 5 cifras diferentes se puede formar con los dgitos: 1, 2, 3, 4, 5? m = 5 n= 5

S entran todos los elementos. S importa el orden. No se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes.

3. De cuntas formas distintas pueden sentarse ocho personas en una fila de butacas? S entran todos los elementos. Tienen que sentarse las 8 personas. S importa el orden. No se repiten los elementos. Una persona no se puede repetir.

PERMUTACIONES CIRCULARES Es un caso particular de las permutaciones. Se utilizan cuando los elementos se han de ordenar "en crculo", (por ejemplo, los comensales en una mesa), de modo que el primer elemento que "se site" en la muestra determina el principio y el final de muestra.

Ejemplos 1. Calcular las permutaciones circulares de 7 elementos. PC 7 = (7 1)! = 6! = 6 5 4 3 2 1 = 720

2. De cuntas formas distintas pueden sentarse ocho personas alrededor de una mesa redonda?

PERMUTACIONES CON REPETICION Permutaciones con repeticin de n elementos donde el primer elemento se repite a veces , el segundo b veces , el tercero c veces, ... n = a + b + c + ... Son los distintos grupos que pueden formarse con esos n elementos de forma que : S entran todos los elementos. S importa el orden. S se repiten los elementos.

Ejemplos

Calcular las permutaciones con repeticin de:

.

2. Con las cifras 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4; cuntos nmeros de nueve cifras se pueden formar? m = 9 a= 3 b =4 c= 2 a + b + c= 9

S entran todos los elementos. S importa el orden. S se repiten los elementos.

3. En el palo de seales de un barco se pueden izar tres banderas rojas, dos azules y cuatro verdes. Cuntas seales distintas pueden indicarse con la colocacin de las nueve banderas? S entran todos los elementos. S importa el orden. S se repiten los elementos.

COMBINACIONES Se llama combinaciones de m elementos tomados de n en n (m n) a todas las agrupaciones posibles que pueden hacerse con los m elementos de forma que: No entran todos los elementos. No importa el orden. No se repiten los elementos.

Tambin podemos calcular las combinaciones mediante factoriales:

Las combinaciones se denotan por Ejemplos 1. Calcular el nmero de combinaciones de 10 elementos tomados de 4 en 4.

2. En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comit formado por tres alumnos. Cuntos comits diferentes se pueden formar? No entran todos los elementos. No importa el orden: Juan, Ana. No se repiten los elementos.

COMBINACIONES CON REPETICION Las combinaciones con repeticin de m elementos tomados de n en n (m n), son los distintos grupos formados por n elementos de manera que: No entran todos los elementos. No importa el orden. S se repiten los elementos.

Ejemplo En una bodega hay en un cinco tipos diferentes de botellas. De cuntas formas se pueden elegir cuatro botellas? No entran todos los elementos. Slo elije 4.. No importa el orden. Da igual que elija 2 botellas de ans y 2 de ron, que 2 de ron y 2 de ans.

S se repiten los elementos. Puede elegir ms de una botella del mismo tipo.

NUMEROS COMBINMATORIOS

El nmero

se llama tambin nmero combinatorio. Se representa

por

y se lee "m sobre n".

Ejemplo

Propiedades de los nmeros combinatorios

1.

2. Los nmeros de este tipo se llaman complementarios.

3.

Ejemplo Hallar el nmero de combinaciones de 75 elementos de orden 72.

TRIANGULO DE PASCAL O DE TARTAGLIA El tringulo de nmeros combinatorios de Tartaglia o de Pascal (debido a que fue este matemtico quien lo populariz) es un tringulo de nmeros enteros, infinito y simtrico, del que podemos ver sus primeras lneas:

Propiedades del Tringulo de Pascal o de Tartaglia 1. El nmero superior es un 1, la segunda fila corresponde a los nmeros combinatorios de 1, la tercera de 2, la cuarta de 3 y as sucesivamente. 2.Todas la filas empiezan y acaban en 1.

3.Todas las filas son simtricas.

4.Cada nmero se obtiene sumando los dos que estn situados sobre l. Aplicando estas propiedades podemos escribir el tringulo de Pascal:

El tringulo de Pascal o de Tartaglia nos ser muy til para calcular los coefecientes del binomio de Newton. BINOMIO DE NEWTON La frmula que nos permite hallar las potencias de un binomio se conoce como binomio de Newton.

Podemos observar que:

El nmero de trminos es n+1.

Los coeficientes son nmeros combinatorios que corresponden a la fila ensima del tringulo de Tartaglia.

En el desarrollo del binomio los exponentes de a van disminuyendo, de uno en uno, de n a cero; y los exponentes de b vanaumentando, de uno en uno, de cero a n, de tal manera que la suma de los exponentes de a y de b en cada trmino es igual a n. En el caso que uno de los trminos del binomio sea negativo, se alternan los signos positivos y negativos.

Ejercicios del binomio de Newton

1.

2.

Clculo del trmino que ocupa el lugar k

Ejemplos 1.El trmino quinto del desarrollo de es:

2.El trmino cuarto del desarrollo de

es:

3.Hallar el trmino octavo del desarrollo de

RESUMEN CAPITULO Factorial de un nmero natural Es el producto de los n factores consecutivos desde n hasta 1. El factorial de un nmero se denota por n!.

Variaciones Se llama variaciones ordinarias de m elementos tomados de n en n (m n) a los distintos grupos formados por n elementos de forma que: No entran todos los elementos. S importa el orden. No se repiten los elementos.

Tambin podemos calcular las variaciones mediante factoriales:

Las variaciones se denotan por Variaciones con repeticin Se llama variaciones con repeticin de m elementos tomados de n en n a los distintos grupos formados por n elementos de manera que: No entran todos los elementos si m > n. S pueden entrar todos los elementos si m n S importa el orden. S se repiten los elementos.

Permutaciones S entran todos los elementos. S importa el orden. No se repiten los elementos.

Permutaciones circulares Se utilizan cuando los elementos se han de ordenar "en crculo", (por ejemplo, los comensales en una mesa), de modo que el primer elemento que "se site" en la muestra determina el principio y el final de muestra.

Permutaciones con repeticin Permutaciones con repeticin de m elementos donde el primer

elemento se repite a veces , el segundo b veces , el tercero c veces, ...(m = a + b + c + ... = n) son los distintos grupos que pueden formarse con esos m elementos de forma que : S entran todos los elementos. S importa el orden. S se repiten los elementos.

Combinaciones Se llama combinaciones de m elementos tomados de n en n (m n) a todas las agrupaciones posibles que pueden hacerse con los m elementos de forma que: No entran todos los elementos. No importa el orden. No se repiten los elementos.

Tambin podemos calcular las combinaciones mediante factoriales:

Combinaciones con repeticin Las combinaciones con repeticin de m elementos tomados de n en n (m n), son los distintos grupos formados por n elementos de manera que: No entran todos los elementos. No importa el orden. S se repiten los elementos.

Nmeros combinatorios

El nmero

se llama tambin nmero combinatorio. Se representa

por

y se lee "m sobre n".

Propiedades de los nmeros combinatorios

1.

2.

3. Binomio de Newton La frmula que nos permite hallar las potencias de un binomio se conoce como binomio de Newton.

Ejercicios de combinatoria 1 De cuntas formas diferentes se pueden cubrir los puestos de presidente, vicepresidente y tesorero de un club de ftbol sabiendo qu e hay 12 posibles candidatos? No entran todos los elementos. S importa el orden. No se repiten los elementos.

2 Con las letras de la palabra libro, cuntas ordenaciones distintas se pueden hacer que empiecen por vocal? La palabra empieza por i u o seguida de las 4 letras restantes tomadas de 4 en 4. S entran todos los elementos. S importa el orden. No se repiten los elementos.

3 De cuntas formas pueden mezclarse los siete colores del arco iris tomndolos de tres en tres? No entran todos los elementos. No importa el orden. No se repiten los elementos.

4 Cuntos nmeros de cinco cifras distintas se pueden formar con las cifras impares? Cuntos de ellos son mayores de 70.000? S entran todos los elementos. S importa el orden. No se repiten los elementos.

Si es impar slo puede empezar por 7 u 9.

5 De cuntos partidos consta una liguilla formada por cuatro equipos? No entran todos los elementos. S importa el orden. No se repiten los elementos.

6 A una reunin asisten 10 personas y se intercambian saludos entre todos. Cuntos saludos se han intercambiado? No entran todos los elementos. No importa el orden. No se repiten los elementos.

7 Con las cifras 1, 2 y 3, cuntos nmeros de cinco cifras pueden formarse? Cuntos son pares? S entran todos los elementos: 3 < 5 S importa el orden. S se repiten los elementos.

Si el nmero es par tan slo puede terminar en 2.

9 De cuntas formas pueden colocarse los 11 jugadores de un equipo de ftbol teniendo en cuenta que el portero no puede ocupar otra posicin distinta de la portera? Disponemos de 10 jugadores que pueden ocupar 10 posiciones distintas. S entran todos los elementos. S importa el orden. No se repiten los elementos.

10 Con el punto y raya del sistema Morse, cuntas seales distintas se pueden enviar, usando como mximo cuatro pulsaciones? No entran todos los elementos en un caso y s entran en lo otros S importa el orden. S se repiten los elementos.

11 Una mesa presidencial est formada por ocho personas, de cuntas formas distintas se pueden sentar, si el presidente y el secretario siempre van juntos? Se forman dos grupos el primero de 2 personas y el segundo de 7 personas, en los dos se cumple que: S entran todos los elementos. S importa el orden. No se repiten los elementos.

12 Cuntas diagonales tiene un pentgono y cuntos tringulos se puede informar con sus vrtices? Vamos a determinar en primer lugar las rectas que se pueden trazar entre 2 vrtices. No entran todos los elementos. No importa el orden. No se repiten los elementos.

Son

, a las que tenemos que restar los lados que determinan 5 rectas que

no son diagonales.

13 Un grupo, compuesto por cinco hombres y siete mujeres, forma un comit de 2 hombres y 3 mujeres. De cuntas formas puede formarse, si: 1. Puede pertenecer a l cualquier hombre o mujer.

2. Una mujer determinada debe pertenecer al comit.

3. Dos hombres determinados no pueden estar en el comit.

Combinatoria. Ejercicios 1 Halla el nmero de capicas de ocho cifras. Cuntos capicas hay de nueve cifras?

2 Cuatro libros distintos de matemticas, seis diferentes de fsica y dos diferentes de qumica se colocan en un estante. De cuntas formas distintas es posible ordenarlos si: 1. Los libros de cada asignatura deben estar todos juntos.

2.Solamente los libros de matemticas deben estar juntos.

3 Una persona tiene cinco monedas de distintos valores. Cuntas sumas diferentes de dinero puede formar con las cinco monedas?

4 Se ordenan en una fila 5 bolas rojas, 2 bolas blancas y 3 bolas azules. Si las bolas de igual color no se distinguen entre s, de cuntas formas posibles pueden ordenarse?

6 Resolver las ecuaciones combinatorias:

1.

2.

3.

4.

7 Resolver las ecuaciones: 1.

2.

3.

8 Resolver las ecuaciones combinatorias:

1.

2.

3.

27 no es solucin porque el nmero de orden en las combinaciones es menor que el nmero de elementos. 9 Resolver las ecuaciones combinatorias:

1. Por la 2 propiedad de los nmeros combinatorios, se tiene:

2. Por la 3 propiedad de los nmeros combinatorios, se tiene: x = 4

3.

4.