Probabilidad y Estadistica

Probabilidad y estadstica Tema 1. Conceptos de probabilidad

1.1 Conceptos bsicos de probabilidad

La probabilidad se define como un nmero decimal entre 0 y 1 inclusive, que mide la creencia que se tiene de que llegue a ocurrir un evento especfico resultado de unexperimento.

Algunos ejemplos de experimentos son:

Preguntar a un grupo de estudiantes su preferencia en marcas de computadoras porttiles.

Medir el dimetro exterior de anillos de pistn para determinar el nmero probable de defectos encontrados.

Contar el nmero de reclusos mayores a 60 aos.

Un evento se define como un resultado posible para un experimento, por ejemplo:

Experimento: Tirar un dado Evento: Obtener un 1 Obtener un 2 Obtener un 3 Obtener un 4 Obtener un 5 Obtener un 6

Cuanto ms se acerca la probabilidad a 0, es ms improbable que suceda el evento al que se asocia. Cuanto ms se acerca la probabilidad a 1, estaremos ms seguros de que suceder.

Espacio muestral

Al conjunto de eventos que componen un experimento, se le denomina espacio muestral.

Ejemplo:

El espacio muestral de tirar un dado est representado por el siguiente conjunto:

De igual forma, el espacio muestral de tirar un par de datos, est dado por el siguiente conjunto:

En probabilidad, es importante conocer el espacio muestral de un experimento para determinar las caractersticas de independencia de los eventos, o determinar si los eventos son mutuamente excluyentes.

1.2 Enfoques de la probabilidad

La teora de probabilidad tiene dos enfoques: La probabilidad objetiva y la probabilidad subjetiva:

Probabilidad objetiva

El enfoque de la probabilidad objetiva se divide a su vez en probabilidad clsica o a priori y, el concepto de frecuencia relativa o probabilidad a posteriori.

La probabilidad clsica se basa en la consideracin de que los resultados de un experimento son igualmente posibles. Empleando el punto de vista clsico, la probabilidad de que ocurra un evento se calcula dividiendo el nmero de resultados favorables entre el total de resultados posibles:

Ejemplo:

Si consideramos el experimento del dado, podemos hacernos las siguientes preguntas:

Cul es la probabilidad de obtener un 1? Observando los eventos posibles del experimento, el espacio muestral del experimento est dado por S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, donde slo uno ellos cumple con la condicin. En este

caso la probabilidad ser , o bien, 0.1667, lo que significa que existe un 16.67% de probabilidades de que se obtenga el nmero 1 al lanzar un dado.

Cul es la probabilidad de obtener un par? Observando los eventos posibles del experimento, considerando el espacio muestral S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, tres de ellos cumple con la condicin: el 2, el 4 y el 6. En este caso la

probabilidad ser , o bien, 0.5000, lo que significa que existe un 50% de probabilidades de que se obtenga un nmero par al lanzar un dado.

Cul es la probabilidad de obtener un 7? En este caso el resultado ser 0 porque no existe un evento asociado al experimento pues ninguna cara del dado tiene el nmero 7.

En este ejemplo, observamos dos caractersticas:

1. Al tirar un dado, solamente un evento es posible. Si cae un dos, no puede caer al mismo

tiempo un 5. A esta caracterstica se le llama eventos mutuamente excluyentes.

2. El experimento del dado tiene un total de 6 resultados posibles. Dichos eventos son el total del experimento. A esta caracterstica se le denomina colectivamente exhaustivo.

El concepto de frecuencia relativa, define que la probabilidad de que un evento ocurra en el tiempo se determina observando el nmero de veces que ocurri en el pasado. En trminos de una frmula, tenemos que:

Ejemplo:

En un estudio realizado, 751 graduados de Administracin, revel que 453 de los 751 no estaban trabajando en su principal rea de estudio. Cul es la probabilidad de que un graduado en especfico est trabajando en un rea distinta a su principal rea de estudio?

Segn la frmula, tenemos que:

Por tanto:

El resultado muestra que existe un 60.31% de probabilidades de que al seleccionar un graduado de la universidad al azar, est trabajando en un rea distinta a su principal rea de estudio.

Probabilidad subjetiva

Si existe poca o ninguna informacin o experiencia en la que se pueda basar una probabilidad, la probabilidad subjetiva puede darnos una solucin. Fundamentalmente significa evaluar las opiniones disponibles y otra informacin para despus llegar a la probabilidad.

Algunos ejemplos de la probabilidad subjetiva son:

Estimar la posibilidad de que el equipo local obtenga un triunfo en su prximo juego de visita.

Estimar la posibilidad de que apruebes el curso de Probabilidad y Estadstica con una calificacin superior a 90.

1.3 Teoremas de probabilidad

Una vez definidos los conceptos y los diferentes enfoques de la probabilidad, definiremos algunas reglas y propiedades bsicas de la probabilidad. Probabilidad nula

La probabilidad de un evento es cero si el evento es nulo o vacio. Por ejemplo, al tirar un dado, la probabilidad de que caiga un 7 es cero pues es un evento nulo, es decir, no existe, pues no existe una cara del dado que tenga siete puntos. Matemticamente, la probabilidad nula se representa como:

Probabilidad del complemento

La probabilidad del evento complemento es igual a la resta de 1 menos la probabilidad del evento. Matemticamente:

Ejemplo:

Considerando el ejemplo del dado, cul es la probabilidad de no obtener un 1?

Evento A: Obtener 1. Evento A: No obtener un 1.

Aplicando la frmula tenemos que:

Reglas de adicin

1. Regla especial de adicin: Para aplicar la regla especial de adicin, los eventos deben ser mutuamente excluyentes, como por ejemplo, al tirar un dado.

Ejemplo:

Considerando el ejemplo del dado, cul es la probabilidad de obtener un 1 o un nmero par?

Evento A: Obtener 1. Evento B: Obtener un nmero par.


2. Regla general de adicin: Cuando los eventos de un experimento no sean mutuamente excluyentes, se utiliza la frmula de la regla general de adicin:

Ejemplo:

Una encuesta del departamento de turismo de Nuevo Len, revel que 120 turistas visitaron el nuevo Andador Santa Luca y 100 turistas visitaron la cascada conocida como Cola de Caballo. Tambin se sabe que 60 de los turistas visitaron ambos lugares. Cul es la probabilidad de que un turista haya visitado el Andador Santa Luca o la Cola de Caballo?

Utilizando la regla general de adicin, obtenemos:

Evento A: Visitar Andador Santa Luca. Evento B: Visitar Cola de Caballo.


Esto es irreal pues la probabilidad debe ser de 0 a 1, inclusive. Si revisamos nuevamente el ejemplo, los eventos no son mutuamente excluyentes y hay una cantidad de turistas que visitaron ambos lugares. En este caso, aplicamos la regla general de adicin.

Cuando dos eventos se traslapan, como en el caso de los turistas de Nuevo Len, se dice que existe una Probabilidad Conjunta.

Reglas de multiplicacin

1. Regla especial de multiplicacin: Para aplicar la regla especial de adicin, los eventos deben ser independientes, como el caso de tirar dos dados, pues el evento obtenido en el primer dado no afecta al evento obtenido en el segundo dado.

Ejemplo:

Considerando el ejemplo de dos dados, cul es la probabilidad de obtener un 5 en un dado y otro 5 en el otro dado?

Evento A: Obtener 5 en el dado 1. Evento B: Obtener 5 en el dado 2.


2. Regla general de multiplicacin: Se utiliza para determinar la probabilidad conjunta de que ocurran dos eventos dependientes, por ejemplo, el sacar de una urna de pelotas de diferentes colores, dos pelotas de forma consecutiva.

Ejemplo:

En una urna contiene 5 pelotas rojas y 5 pelotas azules. Cul es la probabilidad de obtener una pelota roja en un primer evento y una segunda pelota en un segundo evento?

Utilizando la regla general de multiplicacin, obtenemos:

Evento A: Obtener una pelota roja en un primer intento. Evento B: Obtener una pelota roja en un segundo intento.


En el primer evento, se tienen en total 10 pelotas, 5 de las cuales son rojas. Por tanto, la

probabilidad de obtener una pelota roja es de . En el segundo evento, quedan nicamente 9 pelotas, 4 de ellas rojas. Esto muestra que la probabilidad de sacar una segunda pelota roja dado

que ya sacamos una roja, es de .

Glosario

Experimento: Se refiere a una actividad que se observa o se mide, es algo que se planea hacer y cuyo resultado no lo conocemos con certeza.

Eventos mutuamente excluyentes: Si slo uno de varios eventos pueden ocurrir en un experimento.

Evento independiente: Se dice que dos eventos son independientes, si la probabilidad de que ocurra uno no tiene ninguna relacin en la probabilidad de que ocurra el otro.

Evento simple: Se dice que un evento es simple si consiste de exactamente un resultado.

Evento compuesto: Se dice que un evento es compuesto si consta de ms de un resultado.

Experimento colectivamente exhaustivo: Se le denomina al experimento que tiene un conjunto de eventos que incluye todos los resultados posibles.

Probabilidad conjunta: Probabilidad que mide la posibilidad de que dos o ms eventos ocurran en forma simultnea.

Probabilidad y estadstica Tema 2. Probabilidad Condicional e Independencia

2.1 Probabilidad Condicional

La probabilidad condicional puede definirse como:

1. Devore, J. (2008). Probabilidad y estadstica para ingeniera y ciencias. (7a. Ed.). Mxico: Cengage Learning. Captulo: 2.

Coloquialmente se dice que la probabilidad condicional es la probabilidad de que ocurra el evento A dado que el evento B ocurri.

Ejemplo

Consideremos el siguiente experimento: Una muestra al azar de 100 diferentes tipos de animales, arroja los siguientes resultados:

15 animales son aves que vuelan y nadan.

45 animales son aves que nadan.

20 animales son aves que vuelan.

55 animales son aves.

25 animales vuelan y nadan.

70 animales nadan.

50 animales vuelan.

Podemos poner esta informacin en un diagrama de Venn, como se ilustra en la figura 2.1

Fig. 2.1. Diagrama de Venn resultante

Con esta informacin agrupada en un diagrama, podemos fcilmente calcular probabilidades como

por ejemplo:

Cul es la probabilidad de que un animal seleccionado al azar sea un ave?

Cul es la probabilidad de que un animal seleccionado al azar sea un animal que nade?

Volviendo al planteamiento original, ahora podemos calcular probabilidades condicionales, por ejemplo:

Cul es la probabilidad de que un ave seleccionada al azar nade?

Ahora ya sabemos que el evento de que el animal seleccionado es un ave, lo que nos falta es determinar la probabilidad de que esa ave seleccionada nade. Aplicando la frmula de probabilidad condicional tenemos:

Reemplazando las variables de acuerdo a nuestro planteamiento:

De los primeros ejemplos, tenemos que la probabilidad de que un animal seleccionado sea un ave es de 55 de cada 100. Si observamos el diagrama de Venn, observamos que la proporcin de aves que vuelan es de 45 de cada 100.

Con esta informacin podemos obtener la probabilidad de que un ave seleccionada al azar nade:

Diagramas de rbol

Una tcnica muy til para representar eventos condicionales es un diagrama de rbol. Supongamos el siguiente ejemplo: Se hace un estudio para determinar el tiempo en aos en que fallan ciertas partes electrnicas de una marca de televisores. El resultado es el siguiente con una muestra de 200 televisores seleccionados se redujo a dos tipos de fallas generales:

El diagrama de rbol resultante del planteamiento se refleja en la figura 2.2

Fig. 2.2. Diagrama de rbol resultante

Con el rbol resultante podemos determinar por ejemplo, cul es la probabilidad de que un televisor con falla en el monitor haya fallado en un periodo de 1 a 5 aos? Aplicando la frmula tenemos

Nota:

En el diagrama de rbol podemos observar, adems de la probabilidad condicional, la probabilidad conjunta en el lado derecho del diagrama de la figura 2.3.

Fig. 2.3. Diagrama de rbol resultante considerando la probabilidad condicional

2.2 Independencia de eventos

La probabilidad condicional nos ayuda a determinar la probabilidad de ocurrencia de un evento A, dado que ya sabemos con certeza que ya ocurri un evento B. Sin embargo, hay situaciones en donde la probabilidad de ocurrencia de un evento A no se ve afectada por la ocurrencia de un evento B.

La independencia de eventos puede definirse como:

Ejemplo:

Se lanzan dos monedas al aire, cul es la probabilidad de que ambas caigan guila? La probabilidad de que una moneda caiga guila es de 0.5 al ser lanzada. Podemos deducir que el lanzar una segunda moneda no tiene relevancia con el lanzamiento de una primer moneda, por ende, son eventos independientes.

P(A) = Lanzar una primer moneda y que caiga guila. P(B) = Lanzar una segunda moneda y que caiga guila.

Entonces

Existe un 25% de probabilidades de que caigan dos guilas seguidas. Podemos comprobarlo utilizando un diagrama de rbol como la figura 2.4

Fig. 2.4 Diagrama de rbol resultante de lanzar dos monedas al aire

2. Devore, J. (2008). Probabilidad y estadstica para ingeniera y ciencias. (7a. Ed.). Mxico: Cengage Learning. Captulo: 2, pgina 86

2.3 Teorema de Bayes

En el siglo XVIII, el reverendo Thomas Bayes, ministro presbiteriano ingls, intent demostrar la existencia de Dios desarrollando una frmula que evaluaba la posibilidad de su existencia con base en la evidencia existente en la tierra.

Laplace afin el trabajo de Bayes y le dio el nombre de Teorema de Bayes y lo defini como el resultado obtenido por la distribucin de probabilidad condicional de un evento A, dado que ocurri B, en trminos de la probabilidad condicional del evento B dado que ocurri A y la distribucin de probabilidad el evento A.

Ejemplo:

Se han colocado dos embarques cada uno con 20 computadoras porttiles de reciente modelo. Se sabe que en el embarque 1 existen 5 computadoras descompuestas y en el embarque 2 existe una computadora descompuesta.

Se eligi aleatoriamente un embarque y posteriormente, se eligi una computadora, la cual estaba descompuesta. Cul es la probabilidad de que la computadora descompuesta al azar haya sido seleccionada del embarque 1?

Presentaremos la solucin primero en un diagrama de rbol:

Fig. 2.3. Diagrama de rbol para el embarque de computadoras

De acuerdo al teorema de Bayes:

En donde:

: : Probabilidad de que se seleccion el embarque 1 dado que la computadora estaba descompuesta.

: : Probabilidad de seleccionar aleatoriamente el embarque 1.

: : Probabilidad de seleccionar aleatoriamente el embarque 2.

: : Probabilidad de seleccionar una computadora descompuesta dado que se seleccion el embarque 1.

: : Probabilidad de seleccionar una computadora descompuesta dado que se seleccion el embarque 2.

Sustituyendo los valores en la frmula, tenemos que:

La solucin tiene la siguiente interpretacin: Dado que en el embarque 1 tiene ms computadoras defectuosas que el embarque 2, existe un 83.33% de probabilidad de que la computadora haya sido tomada del embarque 1.

Glosario

Probabilidad conjunta: Probabilidad que mide la posibilidad de que dos o ms eventos ocurran en forma simultnea.

Probabilidad y estadstica Tema 3. Tcnicas de Conteo

3.1 Diagrama de rbol

Una forma grfica para obtener el total de eventos resultado de un experimento es a travs de un diagrama de rbol. La mejor manera de verlo es a travs de un ejemplo.

Ejemplo:

En el mundial de futbol del 2010, la Seleccin Mexicana deber enfrentar a tres rivales en la primera fase y obtener la mayor cantidad de puntos posibles para acceder a la siguiente fase. Considerando nicamente la primera fase, cuntas posibles combinaciones de resultados puede obtener la Seleccin Mexicana?

Considerando nicamente los tres juegos en donde se puede perder, empatar o ganar, la lista de resultados posibles est dada por el siguiente diagrama:

Fig. 3.1 Posibles eventos del experimento jugar la primera fase de un mundial

De acuerdo a la figura 3.1, la lista de posibles resultados es:

Un diagrama de rbol es de gran utilidad para entender la naturaleza de un experimento y el comportamiento de los eventos entre s.

Sin embargo, puede resultar poco prctico llevarlo a cabo pues la cantidad de resultados puede ser muy grande, de manera tal que podra ser complicado construirlo y de poca utilidad para visualizar las ramas que cumplen con el requerimiento deseado.

Existen tcnicas matemticas que permiten obtener el total de elementos en un espacio muestral para un experimento dado, entre las que se encuentran:

Principio multiplicativo

Principio aditivo

Permutaciones

Combinaciones

3.2 Principio multiplicativo

Si el nmero de eventos posibles en un experimento es relativamente pequeo, resulta sencillo enlistarlos. Regresemos al ejemplo del tirar un dado balanceado: Un dado tiene 6 eventos posibles:

Fig. 3.2 Posibles eventos del experimento de tirar un dado balanceado

Sin embargo existen experimentos en los que describir eventos posibles resultara tedioso, el enlistar y contar todas las formas posibles de obtener los eventos, pues la cantidad de posibles combinaciones puede llegar a ser enorme; como podra ser seleccionar un conjunto de seis nmeros de cincuenta y uno posibles para participar en el sorteo Melate.

Frmula de la multiplicacin

El principio multiplicativo establece que si hay m formas de hacer una cosa y n formas de hacer otra, existen m x n formas de realizar ambas.

Ejemplo:

Un hombre de negocios busca determinar cul combinacin traje, camisa y corbata debe elegir para concretar una importante negociacin. En su guardarropa, el hombre encuentra:

Cuatro trajes.

Siete camisas de vestir.

Cinco corbatas.

Suponiendo que los trajes, las camisas y las corbatas son combinables, de cuntas maneras puede ir vestido este hombre de negocios?

Aplicando la frmula, tenemos que:

Donde

3.3 Principio aditivo

Adicional a los experimentos donde la cantidad de eventos se establece multiplicando la cantidad de formas de hacer o seleccionar las cosas; existen otro tipo de experimentos con restricciones de orden, jerarqua o prioridad, como por ejemplo cuando una primera decisin excluye por completo una o varias decisiones, y por tanto, la posibilidad de que ocurran otros eventos.

Frmula de la adicin

El principio aditivo establece que si existen dos actividades en donde la primera tiene M formas de ser realizada y la segunda Nformas de ser realizadas, entonces el conjunto de actividades puede ser llevado a cabo de M + N formas.

Ejemplo:

Una persona requiere la siguiente lista de muebles de oficina:

Un escritorio.

Un archivero.

Un librero.

Al llegar a la mueblera se da cuenta que existen escritorios de madera y metlicos, cada uno en cuatro colores diferentes, tambin encuentra archiveros de uno, dos y tres cajones en tres colores diferentes y libreros de dos, tres, cuatro y cinco estantes en tamao chico, mediano y grande. De cuntas maneras puede seleccionar un mueble de cada tipo?

Sea:

A = Evento de seleccionar un escritorio. B = Evento de seleccionar un archivero.

C = Evento de seleccionar un librero.

Sabemos que de los escritorios existen dos tipos de materiales en cuatro colores distintos, entonces aplicamos la frmula de la multiplicacin:

Donde

Tambin sabemos que tienen archiveros de dos, tres y cuatro cajones en tres colores diferentes, entonces aplicamos la frmula de la multiplicacin:

Donde

Posteriormente, sabemos que tienen en existencia libreros de dos, tres, cuatro y cinco estantes en tres tamaos diferentes, entonces aplicamos la frmula de la multiplicacin:

Donde

Finalmente, para determinar de cuntas formas pueden seleccionar los muebles de oficina, aplicamos la frmula de la adicin:

Donde

3.4 Permutaciones

Como se pudo observar, la frmula de la multiplicacin nos ayuda a determinar la cantidad de arreglos posibles en dos o ms grupos. Sin embargo, existen experimentos en los que slo se tiene un grupo para seleccionar una serie de elementos y queremos determinar el nmero de arreglos posibles en la seleccin. Un claro ejemplo es el caso del sorteo Melate.

La permutacin nos ayuda a determinar el nmero posible de arreglos cuando slo hay un grupo de elementos.

1. Mason, R., Lind, D. (1995). Estadstica para administracin y economa. (7a. Ed.). Mxico: Alfaomega Grupo Editor. Captulo: 5.

La frmula de la permutacin supone que primero se obtiene un elemento, despus el segundo y as sucesivamente hasta obtener el total de objetos requeridos del grupo en cuestin, en donde cada elemento es distinguible y no se puede repetir la seleccin de un objeto.

Ejemplo:

En un evento de caridad, existe una urna con 10 pelotas diferentes e identificables entre s. Suponga que el presidente de la institucin de caridad desea obtener tres pelotas que definirn a los ganadores de una rifa del primero, segundo y tercer premio respectivamente. Cul es la cantidad de permutaciones posibles al seleccionar tres ganadores de un total de 10?

El evento consiste en obtener tres pelotas sin repeticin, dado que una persona no puede ganar dos premios, y deseamos saber el total de permutaciones.

Aplicando la frmula tenemos:

Donde

Entonces:

Se tienen 720 diferentes formas de obtener tres ganadores seleccionando 3 pelotas en una urna de 10.

Permutaciones con repeticin

En el planteamiento original, la permutacin obtiene r elementos de un conjunto de n, en el que no se puede volver a seleccionar ms de una vez un elemento dado. Cuando en un experimento pueden existir repeticiones, la frmula de las permutaciones es:

Ejemplo:

Supongamos que en el alfabeto solo existen 5 letras, cuntas palabras de tres letras podran formarse con 5 letras?

En este caso, las letras pudieran repetirse al ir formando palabras, por tanto, se aplica la frmula de la permutacin con repeticiones:

Donde

Entonces:

3.5 Combinaciones

En el caso de las permutaciones, otro aspecto importante adems de la repeticin, es que importa el orden en que se obtienen los objetos del conjunto. En el ejemplo de obtener dos pelotas de una urna de 10, no es lo mismo obtener primero la pelota A y en segundo lugar la pelota B que obtener primero la pelota B y en segundo lugar la pelota A, pues en este caso, la permutacin contara dos veces el obtener la pelota A y B.

Ejemplo:

Supongamos que en la rifa efectuada en el evento de caridad, los tres ganadores obtendrn el mismo premio, es decir, el premio para cada uno de los tres elegidos es el mismo sin importar quin salga en primero, quin en segundo y quin en tercero. Cul es la cantidad de combinaciones posibles al seleccionar tres pelotas de un total de 10?

El evento consiste en obtener tres pelotas sin repeticin, dado que una persona no puede ganar dos premios, y deseamos saber el total de combinaciones, pues no importa el orden en que se obtengan las tres pelotas. Aplicando la frmula tenemos

Donde

Entonces:

Se tienen 120 diferentes formas de obtener tres pelotas en una urna de 10 pelotas sin importar el orden en que se seleccionen.

Glosario

Principio multiplicativo: Establece que si hay m formas de hacer una cosa y n formas de hacer otra, existen m x n formas de realizar ambas.

Principio aditivo: Establece que si existen dos actividades en donde la primera tiene M formas de ser realizada y la segunda Nformas de ser realizadas, entonces el conjunto de actividades puede ser llevado a cabo de M + N formas.

Permutacin: Disposicin en orden de un conjunto de objetos en el que hay un primero, un segundo, un tercero, etc., hasta n.

Combinacin: Tipo de conteo donde se selecciona un nmero de objetos de un conjunto y, los arreglos obtenidos son iguales no importando el orden en que se seleccionaron.

Probabilidad y estadstica Tema 4. Variables aleatorias

4.1 Distribuciones de probabilidad

Una distribucin de probabilidad es un resumen grfico o tabular que nos muestra los resultados esperados de un experimento, as como la probabilidad asociada con cada uno de los resultados esperados.

Ejemplo:

Supongamos que estamos interesados en determinar la suma de los puntos al lanzar dos dados balanceados. El espacio muestral para este experimento es:

Hay 11 posibles resultados, dados de la siguiente manera. En el primer dado se obtiene 1 y en el segundo dado se obtiene 1; en el primer dado se obtiene 1 y en el segundo dado se obtiene 2; en el primer dado se obtiene 1 y en el segundo dado se obtiene 3; as sucesivamente hasta obtener todos los posibles resultados de la suma de los dos dados. El resumen de los resultados se ve en la siguiente tabla:

Dado 1 Dado 2 Suma Dado 1 Dado 2 Suma Dado 1 Dado 2 Suma

1 1 2 3 1 4 5 1 6

1 2 3 3 2 5 5 2 7

1 3 4 3 3 6 5 3 8

1 4 5 3 4 7 5 4 9

1 5 6 3 5 8 5 5 10

1 6 7 3 6 9 5 6 11

2 1 3 4 1 5 6 1 7

2 2 4 4 2 6 6 2 8

2 3 5 4 3 7 6 3 9

2 4 6 4 4 8 6 4 10

2 5 7 4 5 9 6 5 11

2 6 8 4 6 10 6 6 12

Tabla 4.1 Resultados probables de tirar dos dados

De la tabla podemos concluir el nmero de ocurrencias para cada resultado, es decir, el nmero de resultados del experimento donde se obtiene una suma de 2 es 1, mientras que el nmero de resultados donde se obtiene una suma de 7 es 6. Veamos el resumen una tabla, en donde tambin se incluye la probabilidad de que ocurra el resultado:

Resultado Esperado

Nmero de ocasiones

Probabilidad del resultado

2 1

3 2

4 3

5 4

6 5

7 6

8 5

9 4

10 3

11 2

12 1

Tabla 4.2 Resumen de datos y probabilidad del resultado

Grficamente, podemos observar la distribucin de probabilidad de la suma de los puntos de dos dados balanceados. Utilizaremos la herramienta Excel para construir la grfica de la distribucin de probabilidad.

En una hoja de Excel se captura la informacin de la tabla de probabilidades 4.2:

Fig. 4.1. Captura de distribucin de probabilidad en Excel

Selecciona las columnas e inserta una grfica de columnas, tal como se ve en la siguiente imagen:

Fig. 4.2. Seleccin del tipo de grfica a insertar

Ajustamos los datos del cuadro de dilogo de acuerdo a la siguiente figura:

Fig. 4.3 Seleccin de series a graficar

Finalmente, obtenemos una grfica similar a la que se muestra en la grfica 4.1

Grfica 4.1 Distribucin de probabilidad de la suma de puntos de dos dados

4.2 Variables Aleatorias

Vemos unos ejemplos de variables aleatorias:

El nmero de empleados ausentes los lunes, que puede tomar el valor de 0, 1, 2, 3 El peso de una barra de acero, que puede tomar el valor de 2500, 2500.1, 2500.13, etc.,

dependiendo de la exactitud de la bscula.

El nmero de caras al lanzar dos monedas, que puede tomar el valor de 0, 1 o 2.

La suma de los puntos al tirar dos dados, que puede tomar el valor de 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 o 12.

Existen dos tipos de variables aleatorias:

1. Variables aleatorias discretas.

Una variable aleatoria discreta es vlida para cierto nmero de valores definidos y distantes, en otras palabras, es una variable que slo puede tomar ciertos valores claramente separados y que es resultado de contar algn elemento de inters.

Un claro ejemplo de una variable aleatoria discreta es la suma de los puntos de dos dados balanceados.

Es importante notar que no necesariamente son valores enteros, tambin puedes ser valores fraccionarios o decimales con cierta distancia entre ellos, como pueden ser puntuaciones otorgadas por los jueces a los gimnastas en los juegos olmpicos, como la de los clavadistas en donde los resultados podran ser datos como los siguientes:

Juez 1 Juez 2 Juez 3 Juez 4 Juez 5 Total

5.9 5.7 6.0 5.3 5.2 28.1

2. Variables aleatorias continuas.

Una variable aleatoria continua es vlida para un nmero infinito de valores dentro de un rango, en otras palabras, es una variable que puede tomar cualquier valor de una cantidad infinitamente

grande de valores y que es resultado de medir algn elemento de inters.

Algunos ejemplos de variables aleatorias continuas pueden ser:

La estatura de una alumno de primero de primaria, puede ir de 1 metro a 1.20 metros, considerando precisiones de varios decimales: 1.05, 1.13, 1.12

La distancia en kilmetros entre las poblaciones mexicanas, pueden tomar desde pocos kilmetros hasta miles de kilmetros: 14.5 Km, 170.33 Km, etc.

Las distribuciones de probabilidad establecen el comportamiento de una variable aleatoria, como el ejemplo de la suma de los puntos de dados balanceados.

4.3 Valor esperado y varianza de una variable aleatoria

El valor esperado de una variable aleatoria es una medida de tendencia central que representa a una distribucin probabilstica. Tambin es el valor promedio a largo plazo de la variable aleatoria, representado por E(X)

En otras palabras, el valor esperado de una variable aleatoria se calcula sumando las multiplicaciones individuales de cada valor de X por su probabilidad de ocurrencia.

En otras palabras, la varianza de una variable aleatoria se obtiene como la suma de las diferencias entre la media y cada valor individual, multiplicado por su probabilidad de ocurrencia.

Ejemplo:

Una tienda de electrodomsticos que vende televisores, ha establecido la siguiente distribucin de probabilidad para el nmero de televisores que espera vender en un sbado en particular.

Nmero de televisores vendidos

X

Probabilidad P(X)

0 0.10

1 0.20

2 0.30

3 0.30

4 0.10

Total 1.00

Sea X la variable aleatoria discreta para el nmero de televisores vendidos en un sbado en particular, para calcular el valor esperado, aplicamos la siguiente frmula:

El valor esperado obtenido muestra que en promedio se venden 2.1 televisores en un sbado en particular

Visto en una tabla, tenemos que:


X

Probabilidad P(X)

X * P(X)

0 0.10 0

1 0.20 0.2

2 0.30 0.6

3 0.30 0.9

4 0.10 0.4

Total 1.00 E(X) = 2.1

Para calcular la varianza, podemos utilizar nuevamente una tabla:


X

Probabilidad P(X)

0 0.10 0 2.1 4.41 0.441

1 0.20 1 2.1 1.21 0.242

2 0.30 2 2.1 0.01 0.003

3 0.30 3 2.1 0.81 0.243

4 0.10 4 2.1 3.61 0.361

Total 1.00

Como corolario, podemos definir la desviacin estndar como la raz cuadrada de la varianza, que para este caso es de 1.136 televisores. Recuerda que la desviacin estndar es una medida de dispersin que nos indica la distancia en promedio que existe entre los valores mximo y mnimo, con respecto a la media.

Lo anterior significa que en un sbado en particular, la tienda de electrodomsticos puede vender entre 0.964 y 3.236.

Glosario

Promedio: Valor que representa un conjunto de datos. Seala un centro de los valores.

Media: Medida de tendencia central (promedio) que representa el valor central de un conjunto de datos.

Media poblacional: Medida de tendencia central para una poblacin

Donde: X = Un valor especfico N = Total de valores de la poblacin

Media muestral: Medida de tendencia central para una muestra de una poblacin

Donde: X = Un valor especfico n = Total de valores de la muestra

Varianza: Media aritmtica de las desviaciones cuadrticas con respecto a la media.

Varianza poblacional: Media aritmtica de las desviaciones cuadrticas con respecto a la media para una poblacin.

Varianza muestral: Media aritmtica de las desviaciones cuadrticas con respecto a la media para la muestra de una poblacin.

Desviacin estndar: Media aritmtica de los valores absolutos de las desviaciones con respecto a la media. Se define como la raz cuadrada de la varianza.

Probabilidad y estadstica Tema 5. Distribuciones de probabilidad discretas

5.1 Distribucin de probabilidad de Bernoulli

Como recordars, una distribucin de probabilidad discreta se representa mediante un resumen tabular que nos muestra los resultados esperados de un experimento, as como la probabilidad asociada con cada uno de los resultados esperados.

Una de las distribuciones de probabilidad ms conocidas es la distribucin de probabilidad de Bernoulli, creada por el matemtico y cientfico suizo Jakob Bernoulli. La distribucin de probabilidad de Bernoulli es una distribucin de probabilidad que asigna un valor de 1 al xito en un experimento y un valor de 0 al fracaso. Expresado matemticamente, se dira:

Si X es una variable aleatoria que determina el nmero de xitos y se realiza un slo experimento con nicamente dos posibles resultados, entonces la variable aleatoria X tiene una distribucin de probabilidad de Bernoulli. En resumen, las caractersticas principales de una distribucin de Bernoulli son:

La frmula para calcular una probabilidad con la distribucin de Bernoulli es:

En donde el valor esperado y la varianza de un experimento con distribucin de probabilidad de Bernoulli est dado por:

Ejemplo:

Implcitamente hemos trabajado con la distribucin de probabilidad de Bernoulli, algunos de los experimentos que hemos visto durante el curso, tienen las caractersticas propias de esta distribucin: lanzar una moneda o tirar un dado balanceado.

Repasemos una vez ms el ejemplo de tirar un dado balanceado, considerando la distribucin de probabilidad de Bernoulli:

Cul es la probabilidad de obtener un 6?

Sea:

Entonces, el xito del experimento se representa cmo:

El fracaso del experimento como:

Aplicando la frmula:

Donde:

Entonces

Esto significa que existe el 16.67% de probabilidades de que se obtenga un 6 al tirar un dado balanceado.

5.2 Distribucin de probabilidad Binomial

La distribucin de probabilidad binomial, es una distribucin de probabilidad discreta y es una extensin de la distribucin de probabilidad de Bernoulli. Si una de las caractersticas de la distribucin de probabilidad Bernoulli es que se realiza una sola vez el experimento, en la distribucin de probabilidad binomial, el experimento puede realizarse un sinnmero de veces.

La distribucin de probabilidad binomial puede describirse mediante la siguiente frmula:

Ejemplo:

En una lnea de ensamble se encuentra que 1 de cada 5 partes producidas tiene un milmetro ms de lo deseado. Cul es la probabilidad de que en las siguientes 7 partes producidas se encuentren dos cuya longitud es un milmetro mayor de la esperada?

Consideremos el experimento de encontrar una pieza con un milmetro mayor al deseado, donde:


Esto significa que un 27.52% de las veces se encontrarn 2 partes con un milmetro de ms.

5.3 Representacin grfica de la distribucin de probabilidad binomial

Como todo experimento en donde hay dos resultados posibles, la probabilidad de ocurrencia de los eventos en un experimento con las caractersticas de la distribucin de probabilidad binomial, se puede representar tanto en una tabla de resultados como en una grfica de barras.

Ejemplo:

Continuando con el ejemplo de la lnea de ensamble, en donde se desea saber la cantidad de partes producidas cuya longitud es un milmetro mayor de lo esperado en las siguientes 7 partes, tenemos el siguiente espacio muestral:

Utilizaremos la herramienta Excel para construir la tabla de resultados y la grfica de la distribucin de probabilidad.


Para generar la grfica, selecciona las columnas e inserta una grfica de columnas, tal como se ve en la siguiente imagen:



Grfica 5.3 Distribucin de probabilidad para las partes con longitud mayor en un milmetro

5.4 Distribucin de probabilidad binomial acumulada

El clculo de la probabilidad de un evento en especfico, es una de las posibles preguntas que nos hacemos en un experimento; en ocasiones puede ser conveniente determinar la probabilidad acumulada de ciertos eventos. Continuemos con el ejemplo de la lnea de ensamble: En una lnea de ensamble se encuentra que uno de cada 5 partes producidas tiene un milmetro ms de lo deseado.

Cul es la probabilidad de que en las siguientes 7 partes producidas se encuentren tres o menos partes cuya longitud es un milmetro mayor de la esperada?

Cul es la probabilidad de que en las siguientes 7 partes producidas se encuentren dos o ms partes cuya longitud es un milmetro mayor de la esperada?

Para el primer caso, en donde se requiere saber la probabilidad de que tres o menos partes tengan una longitud mayor a cero, debemos calcular la probabilidad de que se encuentren 0 partes, ms la probabilidad de que se encuentre 1 parte, ms la probabilidad de que se encuentren dos partes y la probabilidad de que se encuentren 3 partes con una longitud mayor en un milmetro.

Para calcular las probabilidades individuales, tenemos:

Finalmente, para calcular la probabilidad de que en las siguientes 7 partes producidas, se encuentren tres o menos partes cuya longitud es un milmetro mayor, tenemos:

Esto indica que existe un 96.67% de probabilidades de encontrar tres o menos partes con un milmetro de ms.

Para la siguiente pregunta, sobre cul es la probabilidad de que en las siguientes 7 partes producidas se encuentren dos o ms partes cuya longitud es un milmetro ms de lo esperado, se sigue un procedimiento similar:

Realizando los clculos individuales y realizando la suma, tenemos que:

Esto indica que existe un 42.33% de probabilidades de encontrar dos o ms partes con un milmetro de ms.

Para ayudar a responder preguntas del tipo mayor que, menor que, cuando mucho, al menos y otras similares, es conveniente realizar una tabla con la probabilidad de ocurrencia acumulada.

Nmero de partes con un mm. de ms

(r) P(r)

Probabilidades menores de

Probabilidades mayores de

0 0.2097

Se suma hacia abajo

0.2097

Se suma hacia arriba

1.0000

1 0.3670 0.5767 0.7903

2 0.2753 0.8520 0.4233

3 0.1147 0.9667 0.1480

4 0.0287 0.9953 0.0333

5 0.0043 0.9996 0.0047

6 0.0004 1.0000 0.0004

7 0.0000 1.0000 0.0000

Tabla 5.1 Probabilidades acumuladas para n = 7

Tablas de distribucin binomial

Una distribucin de probabilidad binomial, es una distribucin que puede generarse matemticamente. Sin embargo, los clculos con tamaos de muestra n grandes, pueden ser muy tediosos. Como auxiliar para determinar probabilidades de 0,1, 2, 3, xitos para diferentes valores de n y p, se han formado tablas similares a la siguiente:

Probabilidades binomiales para n = 6

r 0.05 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0.95

0 0.735 0.531 0.262 0.118 0.047 0.016 0.004 0.001 0.000 0.000 0.000

1 0.232 0.354 0.393 0.303 0.187 0.094 0.037 0.010 0.002 0.000 0.000

2 0.031 0.098 0.246 0.324 0.311 0.234 0.138 0.060 0.015 0.001 0.000

3 0.002 0.015 0.082 0.185 0.276 0.313 0.276 0.185 0.082 0.015 0.002

4 0.000 0.001 0.015 0.060 0.138 0.234 0.311 0.324 0.246 0.098 0.031

5 0.000 0.000 0.002 0.010 0.037 0.094 0.187 0.303 0.393 0.354 0.232

6 0.000 0.000 0.000 0.001 0.004 0.016 0.047 0.118 0.262 0.531 0.735

Considerando esta tabla, podemos calcular las probabilidades sin realizar los clculos involucrados. Por ejemplo. Supongamos que en la lnea de ensamble de nuestro ejemplo, se obtiene una muestra de 6 piezas y deseamos obtener:

Probabilidad de que se encuentren 2 piezas con un milmetro de ms. Sabemos que la probabilidad de encontrar una pieza con ms de un milmetro es del 20%. Observando la tabla, podemos obtener directamente esta probabilidad:

r 0.05 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0.95

0 0.735 0.531 0.262 0.118 0.047 0.016 0.004 0.001 0.000 0.000 0.000

1 0.232 0.354 0.393 0.303 0.187 0.094 0.037 0.010 0.002 0.000 0.000

2 0.031 0.098 0.246 0.324 0.311 0.234 0.138 0.060 0.015 0.001 0.000

3 0.002 0.015 0.082 0.185 0.276 0.313 0.276 0.185 0.082 0.015 0.002

4 0.000 0.001 0.015 0.060 0.138 0.234 0.311 0.324 0.246 0.098 0.031

5 0.000 0.000 0.002 0.010 0.037 0.094 0.187 0.303 0.393 0.354 0.232

6 0.000 0.000 0.000 0.001 0.004 0.016 0.047 0.118 0.262 0.531 0.735

En este caso, la probabilidad de encontrar dos piezas con un milmetro de ms, en una muestra de seis piezas es del 24.6%.

Probabilidad de que se encuentren cuando mucho 3 piezas con un milmetro de ms. Para encontrar la probabilidad de que se encuentren cuando mucho 3 piezas, es decir, 3 o

menos piezas, con un milmetro de ms, podemos obtener sumando las probabilidades de 0, 1, 2 y 3 piezas, como se ve en la tabla de probabilidades binomiales:

r 0.05 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0.95

0 0.735 0.531 0.262 0.118 0.047 0.016 0.004 0.001 0.000 0.000 0.000

1 0.232 0.354 0.393 0.303 0.187 0.094 0.037 0.010 0.002 0.000 0.000

2 0.031 0.098 0.246 0.324 0.311 0.234 0.138 0.060 0.015 0.001 0.000

3 0.002 0.015 0.082 0.185 0.276 0.313 0.276 0.185 0.082 0.015 0.002

4 0.000 0.001 0.015 0.060 0.138 0.234 0.311 0.324 0.246 0.098 0.031

5 0.000 0.000 0.002 0.010 0.037 0.094 0.187 0.303 0.393 0.354 0.232

6 0.000 0.000 0.000 0.001 0.004 0.016 0.047 0.118 0.262 0.531 0.735

En este caso, la probabilidad de encontrar cuando mucho tres piezas con un milmetro de ms, en una muestra de seis piezas es del 98.3%.

Probabilidad de que se encuentren al menos dos piezas con un milmetro de ms. Similar al punto anterior, para encontrar la probabilidad de que se encuentren al menos 2 piezas, es decir, 2 o ms piezas, con un milmetro de ms, podemos obtener sumando las probabilidades de 2, 3, 4, 5 y 6 piezas, como se ve en la tabla de probabilidades binomiales:

r 0.05 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0.95

0 0.735 0.531 0.262 0.118 0.047 0.016 0.004 0.001 0.000 0.000 0.000

1 0.232 0.354 0.393 0.303 0.187 0.094 0.037 0.010 0.002 0.000 0.000

2 0.031 0.098 0.246 0.324 0.311 0.234 0.138 0.060 0.015 0.001 0.000

3 0.002 0.015 0.082 0.185 0.276 0.313 0.276 0.185 0.082 0.015 0.002

4 0.000 0.001 0.015 0.060 0.138 0.234 0.311 0.324 0.246 0.098 0.031

5 0.000 0.000 0.002 0.010 0.037 0.094 0.187 0.303 0.393 0.354 0.232

6 0.000 0.000 0.000 0.001 0.004 0.016 0.047 0.118 0.262 0.531 0.735

La probabilidad de encontrar al menos dos piezas con un milmetro de ms en una muestra de seis piezas es del 34.5%.

5.5 Distribucin de Poisson

El lmite de la distribucin binomial cuando la probabilidad de xito es muy pequea y el nmero de observaciones es muy grande se le denomina distribucin de probabilidad de Poisson, en honor de Simeon Poisson quien la estudi y la dio a conocer en 1937. A la distribucin de Poisson tambin se le conoce como Ley de Eventos Improbables, debido a que la probabilidad de que un evento suceda es bastante pequea.

La distribucin de Poisson puede describirse matemticamente como:

Ejemplo:

Los empleados de facturacin rara vez cometen errores en la captura de los datos de facturas. Muchas de las facturas no tienen errores, algunas tienen uno, unas cuantas tienen dos, rara vez una factura tiene tres errores. Una muestra aleatoria de 100 facturas revel 30 errores, cul es la probabilidad de que en una factura seleccionada al azar no se encuentren dos errores?

Considerando el experimento, tenemos que en 100 facturas se encontraron 30 errores, una media de 0.3 errores por factura, entonces:

Aplicando la frmula de la distribucin de Poisson, tenemos:

Exista un 3.33% de probabilidades de encontrar 2 errores en una factura seleccionada al azar.

Veamos otro ejemplo:

La Sra. Garca est encargada de los prstamos de un banco. Con base en sus aos de experiencia, estima que la probabilidad de que un solicitante no sea capaz de pagar oportunamente su prstamo es de 2%. El mes pasado, la Sra. Garca realiz 400 prstamos. Cul es la probabilidad de que 5 prstamos no se paguen a tiempo?

El valor , se obtiene de multiplicar el nmero de prstamos realizados por la probabilidad de que el solicitante no pague su prstamo oportunamente.

Considerando el experimento y el dato de , tenemos:

Aplicando la frmula de la distribucin de Poisson, tenemos:

Existe un 9.16% de probabilidades de que 5 de que los 400 los solicitantes no paguen su prstamo oportunamente.

5.6 Representacin grfica de la distribucin de probabilidad Poisson

La distribucin de probabilidad Poisson se puede representar en una tabla de resultados, y en una grfica que describa la distribucin de probabilidad. Continuando con el ejemplo de los prstamos otorgados de la Sra. Garca, utilizaremos la herramienta Excel para construir la tabla de resultados y la grfica de la distribucin de probabilidad.


Para generar la grfica, selecciona las columnas e inserta una grfica de columnas, tal como se ve en la siguiente imagen:



Grfica 5.6 Distribucin de probabilidad para los solicitantes que no pagan a tiempo

5.7 Distribucin de probabilidad Poisson acumulada

Al igual que en la distribucin de probabilidad binomial, en ocasiones puede ser conveniente determinar la probabilidad acumulada de ciertos eventos. Continuemos con el ejemplo de la Sra. Garca: Con base en sus aos de experiencia, estima que la probabilidad de que un solicitante no sea capaz de pagar oportunamente su prstamo es de 2%. El mes pasado, la Sra. Garca realiz

400 prstamos.

Cul es la probabilidad de que a lo mucho 3 prstamos no se liquiden a tiempo?

Para este caso, en donde se requiere saber la probabilidad de mximo tres prstamos no se liquiden a tiempo, debemos calcular la probabilidad de que no se liquiden a tiempo 0 prstamos, ms la probabilidad de que no se liquiden a tiempo 1 prstamo, ms la probabilidad de que no se liquiden a tiempo 2 prstamos y la probabilidad de que no se liquiden a tiempo 0 prstamos.

Para calcular las probabilidades individuales, tenemos:

Finalmente, para calcular la probabilidad de que mximo 3 prstamos no se liquiden oportunamente, tenemos:

Esto indica que existe un 4.24% de probabilidades de encontrar tres o menos solicitantes que no paguen su prstamo oportunamente.

Para ayudar a responder preguntas del tipo mayor que, menor que, cuando mucho, al menos y otras similares, es conveniente realizar una tabla con la probabilidad de ocurrencia acumulada.

Prstamos no pagados a tiempo

(x) P(x)

Probabilidades menores de

Probabilidades mayores de

0 0.0003

Se suma hacia abajo

0.0003

Se suma hacia arriba

1.0000

1 0.0027 0.0030 0.9996

2 0.0107 0.0138 0.9970

3 0.0286 0.0424 0.9862

4 0.0573 0.0996 0.9576

5 0.0916 0.1912 0.9003

6 0.1221 0.3134 0.8087

7 0.1396 0.4530 0.6866

8 0.1396 0.5926 0.5470

9 0.1241 0.7166 0.4074

10 0.0993 0.8159 0.2833

11 0.0722 0.8881 0.1841

12 0.0481 0.9362 0.1119

13 0.0296 0.9658 0.0638

14 0.0169 0.9827 0.0341

15 0.0090 0.9918 0.0172

16 0.0045 0.9963 0.0082

17 0.0021 0.9984 0.0037

18 0.0009 0.9994 0.0016

19 0.0004 0.9998 0.0006

20 0.0002 0.9999 0.0002

21 0.0001 1.0000 0.0001

Tabla 5.2 Probabilidades acumuladas para = 8

Tablas de distribucin binomial

Una distribucin de probabilidad de Poisson, es una distribucin que puede generarse

matemticamente. Sin embargo, los clculos para diferentes valores de , pueden ser muy

tediosos. Como auxiliar para determinar probabilidades diferentes valores de , se han formado tablas similares a la siguiente:

Probabilidades de exactamente x ocurrencias

x 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0 0.9048 0.8187 0.7408 0.6703 0.6065 0.5488 0.4966 0.4493 0.4066 0.3679

1 0.0905 0.1637 0.2222 0.2681 0.3033 0.3293 0.3476 0.3595 0.3659 0.3679

2 0.0045 0.0164 0.0333 0.0536 0.0758 0.0988 0.1217 0.1438 0.1647 0.1839

3 0.0002 0.0011 0.0333 0.0072 0.0126 0.0198 0.0284 0.0383 0.0494 0.0613

4 0.0001 0.0003 0.0007 0.0016 0.0030 0.0050 0.0077 0.0111 0.0153

5 0.0002 0.0004 0.0007 0.0012 0.0020 0.0031

6 0.0001 0.0002 0.0003 0.0005

7 0.0001

Considerando esta tabla, podemos calcular las probabilidades sin realizar los clculos involucrados. Por ejemplo: supongamos que en el ejemplo de la Sra. Garca, se tiene un valor

de = 1.0 deseamos obtener la probabilidad de que dos o ms solicitantes no paguen oportunamente su prstamo.

Para encontrar la probabilidad de que dos o ms solicitantes no paguen oportunamente su

prstamo, podemos obtenerla sumando las probabilidades de 2, 3, 4, 5, 6 y 7 solicitantes, como se ve en la tabla de probabilidades Poisson:

Probabilidades de exactamente x ocurrencias

x 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0 0.9048 0.8187 0.7408 0.6703 0.6065 0.5488 0.4966 0.4493 0.4066 0.3679

1 0.0905 0.1637 0.2222 0.2681 0.3033 0.3293 0.3476 0.3595 0.3659 0.3679

2 0.0045 0.0164 0.0333 0.0536 0.0758 0.0988 0.1217 0.1438 0.1647 0.1839

3 0.0002 0.0011 0.0333 0.0072 0.0126 0.0198 0.0284 0.0383 0.0494 0.0613

4 0.0001 0.0003 0.0007 0.0016 0.0030 0.0050 0.0077 0.0111 0.0153

5 0.0002 0.0004 0.0007 0.0012 0.0020 0.0031

6 0.0001 0.0002 0.0003 0.0005

7 0.0001

En este caso, la probabilidad de que dos o ms solicitantes no paguen oportunamente su prstamo es del 26.42%.

5.8 Aproximacin de Poisson a Binomial

La distribucin de probabilidad binomial es buena para determinar probabilidades en dnde la probabilidad de xito es superior a 0.05 y el nmero de observaciones n es relativamente pequeo (menores a 20). Al intentar calcular probabilidades con probabilidad de xito menor a 0.05 y n mayor a 20, la distribucin de probabilidades se vuelve cada vez ms sesgada.

Dada las caractersticas anteriores, podemos decir que:

Por ejemplo, si la probabilidad de que sea devuelto un cheque girado es de 0.0003 y se cambian en promedio 10,000 cheques al mes, el nmero medio de cheques devueltos es:

Ejemplo:

Apliquemos la distribucin binomial con el ejemplo visto de los empleados de facturacin, en donde:

Se sabe que la cantidad de errores promedio es de 0.3 errores por factura. Para obtener la probabilidad de encontrar un error, despejamos la frmula del valor esperado para la distribucin binomial:

Despejando para p

Entonces, para aplicar la distribucin binomial, tenemos:


Existe un 3.33% de probabilidades de encontrar 2 errores en una factura seleccionada al azar. Al comparar los resultados de las probabilidades calculadas por la distribucin de Poisson y la distribucin binomial, observamos que la diferencia entre un clculo y otro es de tan slo 0.000149427, por lo que podemos concluir que la aproximacin de Poisson tambin es una buena opcin para calcular probabilidades binomiales.

Glosario

Distribucin de Bernoulli: Distribucin de probabilidad de experimentos con un solo ensayo con dos posibles resultados.

Distribucin Binomial: Extensin de la distribucin de Bernoulli, en el que se realizan mltiples ensayos en un experimento que tiene dos posibles resultados.

Distribucin de Poisson: Distribucin que mide la probabilidad de xito o fracaso en un intervalo

definido. Es el lmite de la distribucin binomial cuando y o bien,

cuando .

Probabilidad y estadstica Tema 6. Casos especiales de la distribucin Binomial

6.1 Distribucin de probabilidad binomial negativa

La distribucin de probabilidad binomial negativa es un caso especial de la distribucin binomial. En el cual al realizar un experimento con dos resultados posibles, xito o fracaso, interesa obtener un nmero r de exitosos, y en donde el ltimo de dichos eventos exitosos, ocurra en el intento nmero k.

Para comprender mejor, supongamos lo siguiente: Se realiza un experimento en donde se tira una moneda en cinco ocasiones y se busca obtener la probabilidad de que se obtengan dos guilas, considerando que la segunda guila es obtenida en el ltimo intento.

Si consideramos el espacio muestral del experimento, tenemos:

Podemos obtener aquellos eventos en donde se tienen dos guilas y en la ltima de ellas es un guila. Los casos que cumplen esta condicin son:

De los 32 resultados posibles, solo 4 cumplen la condicin de contar con un resultado con dos guilas, siendo uno de esos resultados el ltimo evento. De lo anterior, podemos concluir que la probabilidad de que se obtengan dos guilas, considerando que la segunda guila es obtenida en el ltimo intento es de 0.125

Matemticamente, la frmula de la distribucin de probabilidad binomial negativa es:

Ejemplo:

Se realiza un experimento en el cual se tira una moneda en cinco ocasiones y, se busca obtener la probabilidad de que se obtengan dos guilas, considerando que la segunda guila es obtenida en el ltimo intento.

Consideremos el experimento de encontrar una pieza con un milmetro mayor al deseado, donde:


Esto significa que el 12.5% de las veces se obtendrn dos guilas, considerando que la segunda guila es obtenida en el ltimo intento, lo que concuerda con el anlisis realizado mediante el espacio muestral del experimento.

6.2 Distribucin de probabilidad geomtrica

La distribucin de probabilidad geomtrica es otro caso especial de la distribucin binomial, en donde al realizar un experimento con dos resultados posibles, xito o fracaso, interesa obtener la probabilidad de obtener un nico xito en el ltimo intento.

Supongamos lo siguiente: Se realiza un experimento en donde se tira una moneda en cinco ocasiones y se busca obtener la probabilidad de que se obtenga un guila en el ltimo intento.

Si consideramos el espacio muestral del experimento, tenemos:

Podemos obtener aquellos eventos en donde se obtiene un guila en el ltimo intento:

De los 32 resultados posibles, solo 1 cumple la condicin de contar con un resultado de un guila en el ltimo evento. De lo anterior, podemos concluir que la probabilidad de que se obtengan un guila, considerando que es obtenida en el ltimo intento es de 0.03125

La frmula de la probabilidad de distribucin geomtrica es:

Ejemplo:

Se realiza un experimento en donde se tira una moneda en cinco ocasiones y se busca obtener la probabilidad de que se obtenga un guila en el ltimo intento.

Consideremos el experimento de obtener un guila en el ltimo intento, donde:


Matemticamente, la probabilidad de que se obtenga un guila en el ltimo intento es de 3.125%, lo que concuerda con el anlisis realizado mediante el espacio muestral del experimento.

6.3 Distribucin de probabilidad hipergeomtrica

La distribucin de probabilidad hipergeomtrica es otro caso de la distribucin de probabilidad binomial en donde no existe reposicin de los elementos. Supongamos lo siguiente: en un distrito electoral se van a seleccionar 27 votantes y se sabe que el 40% de la poblacin simpatiza por el candidato oficial, mientras que el 60% restante al candidato opositor.

Al seleccionar el primer votante, la probabilidad de que el seleccionado sea simpatizante del candidato oficial es de 0.40. Al seleccionar el segundo votante, dado que ya eliminamos a uno, la probabilidad de que el segundo seleccionado sea simpatizante del candidato oficial se reduce, pues ya quitamos un individuo de la seleccin original.

Matemticamente, la frmula de la distribucin de probabilidad hipergeomtrica es:

Ejemplo:

Durante la semana se fabricaron 50 televisores en donde 40 de ellos operaron sin ningn problema y 10 tuvieron al menos un defecto. Se selecciona al azar una muestra de 5 televisores y se desea saber cul es la probabilidad de que cuatro de los 5 seleccionados funcionen sin problemas.

Considerando la informacin, tenemos que:


La probabilidad de que 4 televisores de los 5 seleccionados funcionen sin problema es del 43.13%.

Probabilidad y estadstica Tema 7. Distribuciones de probabilidad continuas

7.1 Distribucin de probabilidad Uniforme

La distribucin de probabilidad uniforme es aquella que puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo, todos ellos con la misma probabilidad. Es una distribucin continua porque puede tomar cualquier valor y no nicamente un nmero determinado.

Matemticamente, la distribucin de probabilidad uniforme puede definirse como:

En esta funcin de densidad, la probabilidad de que al hacer un experimento aleatorio, el valor de X este comprendido en cierto subintervalo de [a,b], depende nicamente de la longitud del intervalo, no de su posicin.

La distribucin de probabilidad uniforme o rectangular, se puede ver en la figura 7.1

Fig. 7.1 Grfica de la distribucin de probabilidad uniforme

Para la distribucin uniforme, podemos definir su funcin de distribucin de probabilidad como:

Grficamente, la probabilidad de ocurrencia de un evento est dada por la lnea en el rango donde la distribucin es vlida, como podemos observar en la siguiente figura:

Fig. 7.2 Probabilidad de ocurrencia para que en el evento se obtiene un valor entre a y c

El valor esperado y la varianza en una distribucin uniforme est dada por:

Ejemplo:

El volumen de precipitaciones estimado para el prximo ao en la ciudad va a oscilar entre 400 y 500 litros por metro cuadrado. Calcular la funcin de distribucin, la precipitacin media esperada y la varianza.

En este caso, la probabilidad de que la precipitacin estimada sea cualquier valor entre 400 y 500 litros, est dada por:

Grficamente:

Fig. 7.3 Probabilidad de que la precipitacin estimada este entre 400 y 500 litros

Calculando el valor esperado y la varianza, tenemos que:

Los resultados anteriores significan que la probabilidad de que caigan 400 litros, 401, litros, 402 litros, y as sucesivamente, es de 1%. Se espera, en promedio, que lluevan 450 litros de agua para el prximo ao, con una desviacin estndar de 28.86 litros, es decir, se espera en promedio que llueva entre 421.14 y 478.86 litros de agua el prximo ao.

Sabiendo que la probabilidad de que lluevan una cantidad especfica de litros de agua es de 1% entre el rango de 400 y 500 litros:

Cul es la probabilidad de que lluevan menos de 430 litros de agua? En este caso, la probabilidad de que lluevan menos de 430 litros de agua est dada por la probabilidad de que lluevan 400 litros, ms la probabilidad de 401, etc. Matemticamente:

Integrando la funcin de densidad y evaluando en x = 430 y x = 400, tenemos que:

La probabilidad de que llueva menos de 430 litros es del 30%. Grficamente:

Fig. 7.4. Probabilidad de que lluevan menos de 430 litros de agua

Cul es la probabilidad de que lluevan ms de 490 litros de agua? Similarmente, la probabilidad de que lluevan ms de 490 litros de agua est dada por la probabilidad de que lluevan 490 litros, ms la probabilidad de 491, etc. Matemticamente se expresa de la siguiente forma:

La probabilidad de que llueva ms de 490 litros es del 10%. Grficamente:

Fig. 7.5. Probabilidad de que lluevan ms de 490 litros de agua

Cul es la probabilidad de que lluevan entre 420 y 480 litros de agua? La probabilidad de que lluevan entre 420 y 480 litros de agua est dada por la probabilidad de que lluevan 420 litros, ms la probabilidad de 421, etc., hasta la probabilidad de que lluevan 480 litros de agua. Matemticamente, se expresa:

La probabilidad de que llueva entre 420 y 480 litros de agua es del 60%. Grficamente:

Fig. 7.6. Probabilidad de que lluevan entre 420 y 480 litros de agua

7.2 Distribucin de probabilidad exponencial

La distribucin exponencial es el equivalente continuo, de la distribucin geomtrica discreta. Esta ley de distribucin describe procesos en los que nos interesa saber el tiempo hasta que ocurre determinado evento, sabiendo que el tiempo que pueda transcurrir desde cualquier instante dado t, hasta que ello ocurra en un instante , y es independiente del tiempo transcurrido anteriormente en el que no ha pasado nada.

Matemticamente, la distribucin de probabilidad uniforme puede definirse como:

La distribucin de probabilidad exponencial, se puede ver en la figura 7.2.

Fig. 7.7 Grfica de la distribucin de probabilidad exponencial

Para la distribucin exponencial, la funcin de distribucin de probabilidad es:

Grficamente, la probabilidad de ocurrencia de un evento est dada por el rea bajo la curva, como podemos observar en la siguiente figura:

Fig. 7.8 Probabilidad de ocurrencia o rea bajo la curva para la distribucin exponencial

El valor esperado y la varianza en una distribucin exponencial est dada por:

Ejemplo:

Se ha comprobado que el tiempo de vida de cierto tipo de marcapasos sigue una distribucin exponencial con media de 8 aos. Cul es la probabilidad de que a una persona a la que se le ha implantado este marcapasos se le deba reimplantar otro antes de 10 aos?

Sea X la variable aleatoria que mide la duracin de un marcapasos en una persona, entonces, si el valor esperado est dado por:

Entonces, despejando para , tenemos:

La probabilidad de que el marcapasos dure menos de 10 aos, est dada por la funcin de distribucin de probabilidad:

Utilizando la frmula para cuando X sea mayor a 0, entonces:

El resultado indica que existe una probabilidad del 71.35% de que el marcapasos deba ser cambiado antes de 10 aos de uso.

Considerando el ejemplo del marcapasos, cul sera la probabilidad de que un marcapasos en particular tuviera que ser cambiado entre los 7 y los 9 aos de uso?

Matemticamente, se expresa:

Integrando la funcin de densidad y evaluando en x = 9 y x = 7, tenemos que:

El resultado indica que existe una probabilidad del 9.22% de que el marcapasos deba ser cambiado cuando haya sido usado entre 7 y 9 aos.

Glosario

Funcin de Densidad: La funcin de densidad de una variable aleatoria continua representada como f(x), se utiliza con el propsito de conocer cmo se distribuyen las probabilidades de un suceso o evento, en relacin al resultado del suceso.

Funcin de Distribucin de Probabilidad: La funcin de distribucin asocia a cada valor de la variable aleatoria la probabilidad acumulada hasta ese valor.

Para el caso discreto:

Para el caso continuo:

Probabilidad y estadstica Tema 8. Distribucin normal estndar y distribuciones relacionadas

8.1 Distribucin de probabilidad normal

Fig. 8.1 Caractersticas de una distribucin normal

En una poblacin normal, la relacin entre la media aritmtica y la desviacin estndar presenta tiene la siguiente estructura:

68.25 % de los puntos estn a una distancia de +-1 desviacin estndar de la media.

95.45 % de los puntos estn a una distancia de +-2 desviaciones estndar de la media.

99.73 % de los puntos estn a una distancia de +-3 desviaciones estndar de la media.

99.99966 % de los puntos estn a una distancia de +-6 desviaciones estndar de la media,

que representa el estndar de calidad para Seis Sigma.

Grficamente, la relacin entre la media y la desviacin estndar en una distribucin de probabilidad se representa de la siguiente forma:

Fig. 8.2 Relacin entre la media y la desviacin estndar

Lo anterior significa que si tomamos un elemento de la poblacin cuyo comportamiento sea normal, tenemos 68.25% de posibilidades de que sea un elemento que est en promedio entre ms y menos una desviacin estndar con respecto a la media.

Ejemplo:

Una prueba de duracin realizada a un gran nmero de pilas alcalinas revel que la duracin media para un uso especfico antes de que falle es de 19 horas. La distribucin de las duraciones aproxima a una distribucin normal con una desviacin estndar de 1.2 horas.

De lo anterior, podemos afirmar:

Aproximadamente el 68.25% de las bateras fall entre 17.8 horas y 20.2 horas (ms menos una desviacin estndar).

Aproximadamente el 95.45% de las bateras fall entre 16.6 horas y 21.4 horas (ms menos dos desviaciones estndar).

Aproximadamente el 99.73% de las bateras fall entre 15.5 horas y 22.6 horas (ms menos tres desviaciones estndar).

Distribucin probabilstica normal estndar

Cada distribucin normal estndar tiene una media y una desviacin estndar diferente. Por tanto, el nmero de distribuciones normales es ilimitado y resultara fsicamente imposible proporcionar

una tabla de probabilidades para cada combinacin de media y desviacin estndar.

Podemos utilizar un elemento de la familia de distribuciones normales para todos los casos donde la distribucin normal resulte aplicable, tiene una media igual a 0 y una desviacin estndar igual a 1.

Para utilizar la distribucin normal estndar en un problema con una poblacin que se distribuye normalmente, primero se convierte la distribucin en estudio a una distribucin normal estndar, es decir, se le aplica una estandarizacin, utilizando el Valor Z.

Una vez estandarizada, podemos buscar la probabilidad del valor Z en la tabla del rea bajo la curva normal. La tabla considera que el valor de Z empieza en 0 y contina hacia la derecha. Debido a que la mayora de las observaciones est a 3 desviaciones estndar, los valores de probabilidad de Z que podemos encontrar estn en el rango de 0 al 3.09.

Veamos el siguiente ejemplo: Si obtenemos un valor de Z = 1.96, el rea bajo la curva a obtener, y por tanto la probabilidad del valor la probabilidad, buscaremos un valor de acuerdo a la grfica 8.2:

Fig. 8.3 rea bajo la curva para un valor de Z = 1.96

El valor de Z se obtiene de la tabla de distribucin normal estndar, que tiene la siguiente estructura:

z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0.0 0.000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.0359

0.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.0754

0.2 0.0793 0.0832 0.0871 0.091 0.0948 0.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0.1141

0.3 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.1368 0.1406 0.1443 0.148 0.1517

0.4 0.1554 0.1591 0.1628 0.1664 0.17 0.1736 0.1772 0.1808 0.1844 0.1879

0.5 0.1915 0.195 0.1985 0.2019 0.2054 0.2088 0.2123 0.2157 0.2190 0.2224

0.6 0.2258 0.2291 0.2324 0.2357 0.2389 0.2422 0.2454 0.2486 0.2518 0.2549

0.7 0.2580 0.2612 0.2642 0.2673 0.2704 0.2734 0.2764 0.2794 0.2823 0.2852

0.8 0.2881 0.2910 0.2939 0.2967 0.2996 0.3023 0.3051 0.3079 0.3106 0.3133

0.9 0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 0.3264 0.3289 0.3315 0.334 0.3365 0.3389

1.0 0.3413 0.3438 0.3461 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.3577 0.3599 0.3621

1.1 0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.3729 0.3749 0.3770 0.3790 0.3810 0.3830

1.2 0.3849 0.3869 0.3888 0.3907 0.3925 0.3944 0.3962 0.398 0.3997 0.4015

1.3 0.4032 0.4049 0.4066 0.4082 0.4099 0.4115 0.4131 0.4147 0.4162 0.4177

1.4 0.4192 0.4207 0.4222 0.4236 0.4251 0.4265 0.4279 0.4292 0.4306 0.4319

1.5 0.4332 0.4345 0.4357 0.4370 0.4382 0.4394 0.4406 0.4418 0.443 0.4441

1.6 0.4452 0.4463 0.4474 0.4485 0.4495 0.4505 0.4515 0.4525 0.4535 0.4545

1.7 0.4554 0.4564 0.4573 0.4582 0.4591 0.4599 0.4608 0.4616 0.4625 0.4633

1.8 0.4641 0.4649 0.4656 0.4664 0.4671 0.4678 0.4686 0.4693 0.4700 0.4706

1.9 0.4713 0.4719 0.4726 0.4732 0.4738 0.4744 0.4750 0.4756 0.4762 0.4767

2.0 0.4773 0.4778 0.4783 0.4788 0.4793 0.4798 0.4803 0.4808 0.4812 0.4817

2.1 0.4821 0.4826 0.4830 0.4834 0.4838 0.4842 0.4846 0.485 0.4854 0.4857

2.2 0.4861 0.4865 0.4868 0.4871 0.4875 0.4878 0.4881 0.4884 0.4887 0.4890

2.3 0.4893 0.4896 0.4898 0.4901 0.4904 0.4906 0.4909 0.4911 0.4913 0.4916

2.4 0.4918 0.4920 0.4922 0.4925 0.4927 0.4929 0.4931 0.4932 0.4934 0.4936

2.5 0.4938 0.494 0.4941 0.4943 0.4945 0.4946 0.4948 0.4949 0.4951 0.4952

2.6 0.4953 0.4955 0.4956 0.4957 0.4959 0.496 0.4961 0.4962 0.4963 0.4964

2.7 0.4965 0.4966 0.4967 0.4968 0.4969 0.497 0.4971 0.4972 0.4973 0.4974

2.8 0.4974 0.4975 0.4976 0.4977 0.4977 0.4978 0.4979 0.4980 0.4980 0.4981

2.9 0.4981 0.4982 0.4983 0.4983 0.4984 0.4984 0.4985 0.4985 0.4986 0.4986

3.0 0.4987 0.4987 0.4987 0.4988 0.4988 0.4989 0.4989 0.4989 0.4990 0.4990

Para encontrar el valor de probabilidad para una Z = 1.96, buscamos primero en la columna Z, donde localizamos el valor 1.9. Recorremos por la fila 1.9 entre las columnas hasta encontrar el 0.06, pues 1.9 ms 0.06 da el valor 1.96 que estamos buscando.

En la unin de la fila 1.9 y la columna 0.06, encontramos el valor 0.4750, que representa el rea bajo la curva desde 0 hasta 1.96 en la distribucin de probabilidad.

Ejemplo:

En una empresa de consultora se est evaluando el esquema de compensaciones de los programadores. El estudio revela la siguiente informacin:

El sueldo promedio de un programador es de 1,000 pesos diarios.

La desviacin estndar es de 100 pesos diarios.

Se desea conocer:

a. Cul es la probabilidad un programador seleccionado al azar obtenga un sueldo entre 790 y 1000 pesos diarios?

b. Qu porcentaje de los ejecutivos tienen ingresos de 1245 o ms? c. Cul es el sueldo por debajo del que se encuentra el 30% de los programadores?

a. Para el primer caso, calculamos el valor de Z para 790.

Dado que la curva es simtrica, podemos obtener el valor de Z = 2.10 de la tabla de la distribucin normal estndar, cuyo valor es de 0.4821. Como se muestra en la figura 8.4, el rea bajo la curva est dado por:


Lo anterior nos dice que existe una probabilidad del 48.21% de que un programador seleccionado al azar obtenga un sueldo entre 790 y 1000 pesos diarios.

Para la segunda pregunta, determinar el porcentaje de los ejecutivos tienen ingresos de 1245 o ms, es necesario determinar el rea entre la media de 1000 y una X de 1245.

Observando la grfica, determinamos el rea de inters:

Fig. 8.5, rea bajo la curva para los sueldos mayores de 1245

Consultando la tabla para Z = 2.45 en la tabla de distribucin normal, observamos:

z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07

2.0 0.4773 0.4778 0.4783 0.4788 0.4793 0.4798 0.4803 0.4808

2.1 0.4821 0.4826 0.4830 0.4834 0.4838 0.4842 0.4846 0.485

2.2 0.4861 0.4865 0.4868 0.4871 0.4875 0.4878 0.4881 0.4884

2.3 0.4893 0.4896 0.4898 0.4901 0.4904 0.4906 0.4909 0.4911

2.4 0.4918 0.4920 0.4922 0.4925 0.4927 0.4929 0.4931 0.4932

Dado que buscamos mayores a 1245, entonces al valor encontrado lo restamos de 0.5, lo que nos da un valor de 0.0071. Esto quiere decir que el 0.71% de los programadores ganan arriba de los 1245 pesos diarios.

Para el ltimo punto, en donde se desea saber el sueldo diarios por debajo del que se encuentra el 30% de los programadores, veremos primero en la grfica dnde se encuentra el 30% ms a la izquierda de la curva normal estndar:

Fig. 8.6, rea bajo la curva para el 30% con menor sueldo

Dado que la grfica es simtrica, obtenemos el punto en donde la probabilidad es el 0.2000 para la tabla de la distribucin de probabilidad normal.

z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06

0.0 0.000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239

0.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636

0.2 0.0793 0.0832 0.0871 0.091 0.0948 0.0987 0.1026

0.3 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.1368 0.1406

0.4 0.1554 0.1591 0.1628 0.1664 0.17 0.1736 0.1772

0.5 0.1915 0.195 0.1985 0.2019 0.2054 0.2088 0.2123

0.6 0.2258 0.2291 0.2324 0.2357 0.2389 0.2422 0.2454

En la tabla no existe una Z donde el valor exacto sea 0.2000. Se seleccionan los dos puntos ms

cercanos al valor buscado y determinamos nuestro valor de Z como 0.525. Como nos interesa el lado izquierdo de la curva, entonces el valor de Z es de -0.525:

Despejando para X:

Resolviendo la ecuacin:

Lo anterior significa que el 30% de los programadores ganan menos de 947.5 pesos diarios.

8.2 Aproximacin de Normal a Binomial

En la distribucin de probabilidad binomial pueden construirse tablas de distribucin parecidas a la tabla de distribucin normal. Sin embargo, mientras el tamao de la muestra va en aumento, el generar una distribucin de probabilidades tomara mucho tiempo.

Una caracterstica hasta ahora no mencionada, es que en una distribucin binomial, al aumentar el tamao de la muestra, se acerca a una distribucin de probabilidad normal.

Ejemplo:

En una pizzera se realiz un estudio en donde se descubri que el 70% de sus clientes nuevos vuelven una segunda ocasin. En una semana en la que 80 clientes nuevos cenaron en el establecimiento, cul es la probabilidad de que regresen 60 o ms en otra ocasin?

Debido a que estamos aproximando una distribucin discreta a una distribucin continua, es necesario hacer un ajuste llamado factor de correccin de continuidad. Esto obliga a restar 0.5 al valor que estamos buscando, es decir, 60 0.5 = 59.5.

Consideremos lo siguiente:

Obtenemos el valor de Z para 60 clientes:

Obtenemos el valor del rea bajo la curva para Z = 0.85:


Debido a que buscamos la probabilidad de que regresen 60 o ms clientes, lo que nos interesa es el valor de la probabilidad del z = 0.85 en adelante. Tambin sabemos que el rea bajo la curva de cada mitad es de 0.5, entonces:

El resultado indica que existe un 19.77% de probabilidades de regresen 60 o ms clientes de los 80 clientes nuevos que visitaron la pizzera.

8.3 Distribuciones relacionadas a la distribucin normal

Distribucin de probabilidad de Weibull

La distribucin de Weibull se aplica en los anlisis de fiabilidad para establecer, por ejemplo, el periodo de vida de un componente hasta que presenta una falla. La distribucin de Weibull es til por su habilidad para simular un amplio rango de distribuciones como la distribucin de probabilidad normal y la distribucin de probabilidad exponencial.

La funcin de distribucin de probabilidad de Weibull est dada por:

Grficamente, la distribucin de Weibull tiene la siguiente forma:

Fig. 8.8 Grfica de la distribucin Weibull

Ejemplo:

Una cermica diseada tiene un mdulo de Weibull = 9. La resistencia a la flexin estndar es de 269.4 MPa y se desea saber cul es la probabilidad de que la resistencia de la cermica falle a los 250?

Consideremos lo siguiente:

Aplicando la frmula, tenemos que:

Esto significa, que existe una probabilidad del 40% de que la cermica falle con una presin de 250MPa.

Distribucin de probabilidad Lognormal

La distribucin lognormal tiene dos parmetros:

La funcin de distribucin de probabilidad Lognormal est dada por:

Grficamente, la distribucin de LogNormal tiene la siguiente forma:

Fig. 8.8 Grfica de la distribucin Log Normal

Ejemplo:

En un estudio realizado en maquinaria pesada, se encontr en promedio las mquinas fallan a los 2.32 aos de uso continuo, con una desviacin estndar de 0.45. Suponiendo que sigue una distribucin Lognormal, cul es la probabilidad de que una mquina en especfico dure 8 aos o menos?

Considerando:


Grficamente, tenemos:

Fig. 8.9 rea bajo la curva para fallas en 8 aos o menos

Buscamos el valor de 0.5345 en la tabla de Z y lo restamos a 0.5, pues es la cola derecha la que estamos buscando y que es igual a la cola izquierda del valor original.

z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

0.0 0.000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199

0.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596

0.2 0.0793 0.0832 0.0871 0.091 0.0948 0.0987

0.3 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.1368

0.4 0.1554 0.1591 0.1628 0.1664 0.17 0.1736

0.5 0.1915 0.195 0.1985 0.2019 0.2054 0.2088

Debido a que el valor de Z es de 0.5345, tomamos el promedio entre las probabilidades 0.53 y 0.54, lo que da como resultado un valor de 0.20365. Al 0.5 le restamos 0.20365 y obtendremos la probabilidad deseada, que es de 0.29635.

Esto nos dice que la probabilidad de que falle una maquinaria antes de los 8 aos en una distribucin lognormal es de 29.63%.

Distribucin de probabilidad Beta

La distribucin de probabilidad beta es una funcin de densidad con dos parmetros definida en el

intervalo cerrado . Se utiliza frecuentemente como modelo para fracciones, como por ejemplo: la proporcin de impurezas en un producto qumico o la fraccin de tiempo que una maquina est en reparacin.

La funcin de distribucin de probabilidad Beta est dada por:

Un caso especial de la distribucin Beta con a = 1 y b = 1 es la distribucin de probabilidad uniforme. Grficamente, la distribucin Beta tiene la siguiente forma:

Fig. 8.10 Grfica de la distribucin Beta

Ejemplo:

En el presupuesto familiar, la proporcin que se dedica a salud sigue una distribucin Beta con parmetros a = 2 y b = 2. Cul es la probabilidad de que se gaste ms del 25% del presupuesto familiar en salud?

Utilizaremos Excel para obtener la probabilidad con la funcin de distribucin Beta. Conociendo los parmetros a y b, adems del valor de X = 25, aplicamos la frmula en Excel:

Donde:

Aplicando la frmula en Excel, tenemos:

Fig. 8.11. Aplicacin de la distribucin Beta en Excel

La frmula en Excel nos da la probabilidad acumulada menor al valor de X, en nuestro caso, solo hay que buscar la probabilidad complemento, la cul es de 0.84375. Este resultado nos dice que existe una probabilidad del 84.37% de que se gaste ms del 25% del presupuesto familiar en salud,

Glosario Factor de correccin de continuidad: El valor de 0.5 se suma o se resta a un valor seleccionado, dependiendo del problema. Cuando una distribucin probabilstica binomial se est aproximando por medio de una distribucin de probabilidad continua, en este caso a la distribucin normal.

Probabilidad y estadstica Tema 9. Experimentacin y presentacin de datos

9.1 Conceptos bsicos

Si uno revisa los diarios o escucha un juego de futbol por la televisin, se ver sometido a una gran cantidad de cifras a las que comnmente se les denomina estadstica. Sin embargo, el estudio de las estadsticas tiene un significado mucho ms amplio que la simple recopilacin y publicacin de hechos y datos numricos.

La primera parte de la definicin de Estadstica se refiere a la organizacin, presentacin y anlisis de datos numricos. A este aspecto de la estadstica se le llama Estadstica Descriptiva.

Formalmente, podemos considerar una definicin de Estadstica Descriptiva como los procedimientos empleados para organizar y resumir conjuntos de datos numricos.

Niveles de medicin.

Existe una clasificacin que nos permite distinguir la forma en que se presentan las estadsticas, debido principalmente a las caractersticas de los datos que se tienen o que se van a reunir.

1. Nivel nominal. Representa el nivel ms primitivo o el ms bajo de medicin, se refiere a datos que slo pueden clasificarse en categoras, no intervienen mediciones ni escalas, solo hay conteos globales. La siguiente tabla es un ejemplo del nivel de medicin nominal:

Religin indicada por la poblacin por personas con edades de 14 aos o mayores

Religin Total

Protestante 78,952,000

Catlica 30,669,000

Juda 3,868,000

Otra religin 1,545,000

Ninguna religin 3,195,000

Religin no indicada 1,104,000

Total 119,333,000

En el nivel nominal no existe un orden particular entre los grupos, puesto que se pudo haber ordenado por el nmero de personas que practican una religin. Otra caracterstica que podemos obtener de la tabla, es que las categoras se consideran mutuamente excluyentes, lo que significa que una persona no podra ser protestante y al mismo tiempo no tener ninguna religin, es decir, cada persona, objeto o medicin se incluye solamente en una categora.

Finalmente, tambin podemos observar que las categoras son exhaustivas, lo que significa que cada individuo, objeto o medicin debe aparecer en una categora.

2. Nivel ordinal.

En el nivel ordinal, las categoras se distinguen unas de otras por tener un orden relacionado con mejor, superior, mayor, en donde una clasificacin tiene una mejor posicin dentro del objeto de medicin. Veamos un ejemplo:

Calificaciones de estudiantes, semestre de otoo

Calificaciones Nmero de calificaciones

Excelente 6

Muy bien 18

Bien 15

Suficiente 7

Deficiente 0

En este ejemplo, podemos ver que una calificacin Excelente es mejor que una calificacin Muy bien.

Al igual que el nivel nominal, las categoras son mutuamente excluyentes y exhaustivas. La principal diferencia con el nivel nominal es la relacin mayor que entre las categoras.

3. Nivel de intervalo.

La escala de medicin de intervalo incluye todas las categoras del nivel ordinal, pero adems la distancia entre valores de la categora es constante. La siguiente tabla muestra un ejemplo de ello.

Calificaciones de examen para ingresar a una escuela

Puntuaciones Nmero de solicitantes

90-99 42

80-89 19

70-79 7

60-69 4

Menos de 60 3

Las puntuaciones del examen se clasifican por categoras y tiene una relacin de mayor que entre ellas. Sin embargo, tambin se puede determinar la diferencia entre estas puntuaciones (categoras) y tales diferencias son de un tamao constante y conocido: La puntuacin 95 est 10 puntos por encima de una de 85, una puntuacin de 85 est 10 puntos por encima de una de 75 y as sucesivamente.

4. Nivel de razn o de cociente. Es el nivel de medicin ms alto. Tiene todas las caractersticas del nivel de intervalo: las distancias son de un tamao conocido y constante, las categoras son mutuamente excluyentes y exhaustivas. Existen dos diferencias entre el nivel de razn o cociente y el nivel de intervalo:

o Los datos de nivel de razn tienen un punto cero significativo.

o La razn o cociente entre dos nmeros es significativa.

El dinero es un buen ejemplo del nivel de razn: el tener 0 pesos tiene significado: no se tiene ningn dinero! Asimismo, si una persona gana $40,000 pesos al mes y otra persona gana $10,000 pesos al mes, la primera persona gana 4 veces ms que la segunda.

Otros ejemplos de niveles de razn, son el peso de una persona, el nmero de aos dedicados a la enseanza y el nmero de automviles vendidos el ltimo mes.

9.2 Clasificacin y organizacin de los datos

Una distribucin de frecuencias es un mtodo estadstico til para organizar un conjunto de observaciones en forma significativa, basado en un agrupamiento de datos en categoras que muestran el nmero de observaciones de cada categora.

Ejemplo:

La gerencia de ventas de una gran empresa de construccin y renta especializada en condominios vacacionales realiza un estudio para determinar las ofertas en las rentas mensuales a los prximos vacacionistas. Se seleccion una muestra de 120 ofertas de arrendamiento:

Rentas mensuales de condominios

1170 1207 1581 1277 1305 1472 1077 1319 1537 1849

1332 1418 1949 1403 1744 1532 1219 896 1500 1671

1471 1399 1041 1379 821 1558 1118 1533 1510 1760

1826 1309 1426 1288 1394 1545 1032 1289 695 803

1440 1421 1329 1407 718 1457 1449 1455 2051 1677

1119 1020 1400 1442 1593 1962 1263 1788 1501 1668

1352 1340 1459 1823 1451 1138 1592 982 1981 1091

1428 1603 1699 1237 1325 1590 1142 1425 1550 913

1470 1783 1618 1431 1557 896 1662 1591 1551 1612

1249 1419 2162 1373 1542 1631 1567 1221 1972 1714

949 1539 1634 1637 1649 1607 1640 1739 1540 2187

1752 1648 1978 640 1736 1222 1790 1188 2091 1829

De la informacin sin procesar, podemos obtener un primer par de datos de inters: El valor menor y mayor, marcados en la tabla. Resulta tedioso en este mundo de informacin obtener informacin, incluso el valor ms grande o el ms bajo. Una forma de resolverlo es ordenando la tabla de mayor a menor, pero lo nico que facilitara ser precisamente encontrar los valores menor y mayor de la tabla.

Una mejor forma de resumir las rentas mensuales de condominios es organizarlas en una distribucin de frecuencias.

1. El primer paso es establecer un conjunto de agrupamientos denominados clases. Una clase puede contener todas las rentas desde 600 hasta 799, inclusive. La siguiente clase podra ser desde 800 hasta 899 inclusive, as sucesivamente.

Cada clase tiene dos lmites: un lmite inferior declarado y un lmite superior declarado. Es prctica comn que el lmite inferior de la primera clase sea uno ligeramente menor que la primera o ms baja observacin.

Utilizando 200 una distancia entres los lmites inferiores de las clases, stas quedaran como sigue:

Clases para la renta mensual de condominios

200 es la distancia entre los lmites de clase inferiores

declarados

600 799

800 999

1000 1199

1200 1399

1400 1599

1600 1799

1800 1999

2000 2199

De la tabla anterior podemos definir los siguientes conceptos:

Un intervalo de clase se determina restando el lmite inferior declarado de la clase del lmite inferior declarado de la siguiente clase. En el caso de la renta de condominios, el intervalo de clases de 200.

El punto medio de una clase, denominado marca de clase, se determina localizando la mitad entre los lmites declarados. Se determina sumando los lmites inferior y superior y dividiendo el total entre dos:

Clase Marca de clase

600 799 699.5

800 999 899.5

1000 1199 1099.5

1200 1399 1299.5

1400 1599 1499.5

1600 1799 1699.5

1800 1999 1899.5

2000 2199 2099.5

Una forma prctica para obtener el intervalo de clase es utilizar la siguiente

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