PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

UNIDAD II: VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES

JOSÉ IGNACIO ORTIZ RODRÍGUEZ INSTITUTO TECNOLÓGICO DE PACHUCA

29/09/2012

2.1 VARIABLE ALEATORIA Y FUNCIONES DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD

2.2 VALOR ESPERADO Y MOMENTOS

2.3 DISTRIBUCIONES DISCRETAS

2.3.1 BERNOULLI

2.3.2 BINOMIAL

2.3.3 POISSON

2.3.4 GEOMÉTRICA

2.4 DISTRIBUCIONES CONTINUAS

2.4.1 UNIFORME

2.4.2 NORMAL Y NORMAL ESTÁNDAR

2.4.3 APROXIMACIONES CON LA NORMAL

2.1 VARIABLE ALEATORIA Y FUNCIONES DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD

Ejemplos:

1. Un embarque de 8 microcomputadoras similares que se envía a un distribuidor que contiene 3

aparatos defectuosos. Si una escuela realiza una compra aleatoria eligiendo de 2 de estas computadoras,

encontrar la distribución de probabilidad para el número de microcomputadoras defectuosas.

Solución:

Sea X una variable aleatoria cuyos valores x son los números de computadoras defectuosas compradas

por la escuela. Entonces x (resultado posible) puede ser cualquiera de los números: “0” por si no se

elige una computadora defectuosa, “1” por si hay la probabilidad de elegir una computadora defectuosa

y por último si se eligen “2” computadoras defectuosas. Para su solución utilizaremos Combinaciones.

( ) ( ) ( )(

)

( )

La distribución de probabilidad de X:

( ) ( ) ( )(

)

( )

( ) ( ) ( )(

)

( )

2. Clasifique las siguientes variables aleatorias como discretas o continuas.

X: El numero de accidentes de automóvil por año en el estado de Virginia.

Y: El tiempo que toma jugar 18 hoyos de golf.

M: La cantidad de leche producida anualmente por una vaca en particular.

N: El numero de huevos que pone mensualmente una gallina.

P: El numero de permisos para la construcción de edificios que otorga mensualmente

una ciudad.

Solución:

Para dar solución primero consultamos las siguientes definiciones:

Definición 1: Si un espacio muestral contiene un numero finito de posibilidades o una

secuencias interminable con tantos elementos como números naturales existentes, sele llama

espacio muestral discreto.

x 0 1 2

( )

Definición 2: Si un espacio muestral contiene un numero infinito de probabilidades

igual al numero de puntos en un segmento de línea, se le llama espacio muestral

continuo.

Para las siguientes variables aleatorias su clasificación es:

X: Discreta, por que siempre hay accidentes es una secuencia interminable.

Y: Continua, por que tiene un número infinito para jugar y es continuo la probabilidad.

M: Continua, por que hay la probabilidad de que la vaca elegida aleatoriamente

aumente o disminuya la cantidad de leche producida.

N: Discreta, por que hay las posibilidades de elementos reales en este caso los huevos.

P: Discreta, por que hay una secuencia continua interminable el otorgar permisos.

3. Un embarque de 5 automóviles extranjeros incluye 2 que tienen unas ligeras manchas de

pintura. Si una agencia recibe 3 de estos vehículos aleatoriamente, indique los elementos del

espacio muestral (δ) utilizando las letras B para “manchado” y N para “no manchado”,

respectivamente; asigne para cada punto muestral un valor x (resultado posible) de la variable

aleatoria X que representa el numero de automóviles con manchas de pintura comprados por la

agencia.

Solución:

Para esto se consideran los 3 vehículos que se van a elegir aleatoriamente realizando una tabla

donde se mostraran los posibles resultados de x de este espacio muestral.

δ x

NNN 0

NNB 1

NBN 1

BNN 1

NBB 2

BNB 2

BBN 2

BBB 3

4. Un embarque de 7 televisores contiene 2 aparatos defectuosos. Un hotel realiza una compra

aleatoria de 3 de ellos. Si X es el número de unidades defectuosas que se compran, encontrar la

distribución de probabilidad de X.

Solución:

Sea X una variable aleatoria cuyos valores x son los números de televisores defectuosos comprados por

el hotel. Entonces x (resultado posible) puede ser cualquiera de los números: “0” por si no se elige un

televisor defectuoso, “1” por si hay la probabilidad de elegir un televisor defectuoso y por último si se

eligen “2” televisores defectuosos. Para su solución utilizaremos Combinaciones. Tenemos que:

( ) ( ) ( )(

)

( )

La distribución de probabilidad de X:

( ) ( ) ( )(

)

( )

( ) ( ) ( )(

)

( )

5. Una moneda se lanza tres veces. Si X es la variable aleatoria que indica el número de caras que

resultan, construir una tabla que muestre la distribución de probabilidad.

Solución:

Para esto primero se debe hallar la función de probabilidad correspondiente a la variable aleatoria X.

a) Función probabilidad

P (CCC) P (CCS) P (CSC) P (SCC)

P (SSS) P (SSC) P (SCS) P (CSS)

Por lo tanto se le asigna

de probabilidad.

P (X=0) = P (SSS) =

P (X=1) = P (SSC) + P (SCS) + P (CSS) =

+

+

=

P (X=2) = P (CCS) + P (CSC) + P (SCC) =

+

+

=

P(X=3) = P (CCC) =

A si queda la función probabilidad con la siguiente tabla:

x 0 1 2

( )

x 0 1 2 3

( )

2.2 VALOR ESPERADO Y MOMENTOS

Ejemplos:

1. La función de densidad de una variable aleatoria X esta dado por:

( ) {

Solución:

Calcular el valor esperado de X, se tiene:

( ) ∫ ( ) ∫ (

) ∫

∫

(

)|

2. Sea X una variable definida aleatoria de finida por la función densidad:

( ) {

Hallar: (a) E(X), (b) E (3X-2) (c) E(X2).

Solución:

Calcular el valor esperado de X, se tiene:

( ) ∫ ( ) ∫ ( ) ∫ (

)|

( ) ∫ ( )( ) ∫ ( ) ∫ ∫ (

) ( )|

( ) ∫

( ) ∫ (

)|

3. ¿Qué proporción de personas puede esperarse que respondan a un requerimiento por

correo, si la proporción X tiene la función de densidad

( ) {

( )

Solución:

Calcular el valor esperado de X, se tiene:

( ) ∫ * ( )

+

∫ ( )

*

+

4. Encuentre el número esperado de químicos que formen parte de un comité de 3 miembros que se

seleccionan al azar de un grupo de 4 químicos y 3 biólogos.

Solución:

Sea X represente el numero de químicos en el comité. La distribución de probabilidad de X es:

( ) ( )(

)

( )

Se realizan los cálculos correspondientes sustituyendo los valores de x se tiene que:

( ) ( )(

)

( )

( )(

)

( )

( ) ( )(

)

( )

( )(

)

( )

( ) ( )(

)

( )

( )(

)

( )

( ) ( )(

)

( )

( )(

)

( )

( ) ( ) (

) ( ) (

) ( ) (

) ( ) (

)

Por lo tanto si un comité de 3 miembros se selecciona aleatoriamente, una y otra vez de un grupo de 4

químicos y 3 biólogos, se tendrá en promedio 1.71 químicos.

5. Hallar los primeros cuatro momentos (a) alrededor del origen, (b) alrededor de la media, para

una variable aleatoria X con una función de densidad

( ) { ( )

Solución:

Calcular los momentos de la variable aleatoria X, utilizando las siguientes definiciones:

( ) ∫ ( )

a) Alrededor del origen:

( )

∫ ( )

( )

∫ ( )

( )

∫ ( )

( )

∫ ( )

b) Usando la definición de µ tenemos que:

(

)

( )(

) (

)

(

)(

) ( )(

)

(

)

2.3 DISTRIBUCIONES DISCRETAS

2.3.1 BERNOULLI (2.3.2 BINOMIAL)

Ejemplos:

1. Se resolverá el problema número 5 de la sección 2.1. Una moneda se lanza tres veces. Si X es

la variable aleatoria que indica el número de caras que resultan.

Solución:

Se puede resolver con 2 métodos diferentes, el primero es el método de variable aleatoria y el segundo

método es con una distribución Binomial (Bernoulli).

Método 1: Variable Aleatoria X.

Método 2: Distribución Binomial (Bernoulli).

( ) ( ) (

) (

)

(

)

( ) ( ) (

) (

)

(

)

( ) ( ) (

) (

)

(

)

( ) ( ) (

) (

)

(

)

2. En una cierta área de la ciudad se da como una razón del 75% de los robos la necesidad de

dinero para comprar estupefacientes. Encuentre la probabilidad que dentro de los 5

próximos asaltos reportados en esta área.

a) Exactamente 2 se debieran ala necesidad de dinero para comprar drogas.

b) Cuando mucho 3 se deberían ala necesidad de dinero para comprar drogas.

Solución:

Aplicando la formula Binomial.

a) ( ) ( ) ( )( ) ( )

b) Cuando mucho 3: P (X≤3) = P (X=0) + P (X=1) + P (X=2) + P (X=3)

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) (

) ( ) ( )

( ) ( ) (

) ( ) ( )

( ) ( ) (

) ( ) ( )

P (X≤3) = 0.26362 + 0.08789 + 0.014648 + 0.000977 = 0.3671

3. De acuerdo con un estudio publicado por un grupo de sociólogos de la Universidad de

Massachusetts, aproximadamente 60% de los adictos al Valium en el estado de Massachusetts,

lo tomaron por primera vez debido a problemas sicológicos. Encuentre la probabilidad de que

los siguientes 8 adictos entrevistados.

a) Exactamente 3 hayan comenzado a usarlo debido a problemas sicológicos

b) Al menos 5 de ellos comenzaron a tomarlo por problemas que no fueron sicológicos.

Solución:

Aplicando la formula Binomial.

a) ( ) ( ) ( )( ) ( )

b) Al menos 5: P (X≥5) = P(X=5) + P(X=6) + P(X=7) + P(X=8)

( ) ( ) (

) ( ) ( )

( ) ( ) (

) ( ) ( )

( ) ( ) (

) ( ) ( )

( ) ( ) (

) ( ) ( )

P (X≥5) = 0.2787 + 0.2090 + 0.0896 + 0.0168 = 0.5941

4. Un ingeniero de control de tráfico reporta que 75% de los vehículos que pasan por un punto

de verificación tienen matriculas del estado. ¿Cuál es al probabilidad de que menos de 4 de los

siguientes 9 vehículos no sean del estado?

Solución:

Nos pide la probabilidad de que los vehículos no sean del estado por lo tanto el porcentaje que

no son del estado es 25%.

Que sean menos de 4: P(X<4) = P(X=3) + P(X=2) + P(X=1) + P(X=0)

( ) ( ) (

) ( ) ( )

( ) ( ) (

) ( ) ( )

( ) ( ) (

) ( ) ( )

( ) ( ) (

) ( ) ( )

P(X<4) = 0.2336 + 0.3003 + 0.2253 + 0.0751 = 0.8343

5. Si el 20% de los tornillos producidos por una maquina son defectuosos,

determinar la probabilidad de que de 4 tornillos escogidos aleatoriamente (a) 1, (b)

0, (c) menos de 2 sean defectuosos.

Solución:

La probabilidad de un tornillo defectuoso es 0.20. Sea la variable aleatoria X el número de

tornillos defectuosos.

(a) ( ) ( )( ) ( )

(b) ( ) ( )( ) ( )

(c) P(X<2) = P(X=0) + P(X=1)

= 0.4096 + 0.4096 = 0.8192

2.3.3 POISSON

Ejemplos:

1. En promedio, en una cierta intersección ocurren 3 accidentes viales por mes. Cuál es la

probabilidad de que en un determinado mes en esta intersección

a) Ocurran exactamente 5 accidentes

b) Ocurran menos de 3 accidentes

Solución:

Primero determinamos los siguientes datos, p=0.1, x=5, n=30 y empleamos la formula de

Poisson: ( )

a) ( ) ( ) ( )

b) Ocurran menos de 3 accidentes: P (X<3) = P(X=2) + P(X=1) + P(X=0)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

P (X<3) = 0.2240 + 0.1494 + 0.0498 = 0.4232

2. Una cierta área del este de Estados Unidos es afectada en promedio por 6

huracanes al año. Encuentre la probabilidad de que en un determinado año esta

área sea afectada por

a) Menos de 4 huracanes;

b) Cualquier cantidad entre 6 y 8 huracanes.

Solución:

Primero determinamos los siguientes datos, p=0.5, P (0≤x≤4) y P (6≤x≤8), n=12 y empleamos la

formula de Poisson: ( )

a) Menos de 4 huracanes: P (X<4) = P(X=3) + P(X=2) + P(X=1) + P(X=0)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

P (X<4) = 0.08924 + 0.04462 + 0.01487 + 0.00248 = 0.1512

b) Cualquier cantidad entre 6 y 8 huracanes: P(6≤x≤8) = P (X=8) + P (X=7) + P (X=6)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

P (6≤x≤8) = 0.10326 + 0.13768 + 0.16062 = 0.4015

3. Suponga que en promedio 1 persona de cada 1000 comete un error numérico al preparar su

declaración de impuestos. Si se seleccionan ala azar 10,000 formas y se examinan, encuentre la

probabilidad de 6, 7 u 8 formas tengan error.

Solución:

Primero determinamos los siguientes datos, p=0.001, (6≤x≤8), n=10,000 y empleamos la

formula de Poisson: ( ) .0

P (6≤x≤8) = P(X=6) + P(X=7) P(X=8)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

P (6≤x≤8) = 0.06306 + 0.09008 + 0.11259 = 0.2657

4. Si 3% de las lámparas eléctricas producidas por una compañía son defectuosas, hallar la

probabilidad de que una muestra de 100 lámparas eléctricas (a) 0, (b) 1, (c) 2, (d) 3, (e) 4, (f) 5

lámparas sean defectuosas.

Solución:

Primero determinamos los siguientes datos, p=0.03, x=0, 1, 2, 3, 4, 5, n=100 y empleamos la

formula de Poisson: ( )

a) ( ) ( ) ( )

b) ( ) ( ) ( )

c) ( ) ( ) ( )

d) ( ) ( ) ( )

e) ( ) ( ) ( )

f) ( ) ( ) ( )

5. Si la probabilidad de que un individuo sufra una reacción por una inyección de un

determinado suero, es 0.001, determinar la probabilidad de que de un total de 2000 individuos

(a) exactamente 3, (b) mas de 2 individuos tengan reacción.

Solución:

Primero determinamos los siguientes datos, p=0.001, X=variable aleatoria, n=2000 y empleamos

la formula de Poisson: ( )

a) ( ) ( )

b) ( ) [ ( ) ( ) ( )]

= *

+

2.3.4 GEOMÉTRICA

Ejemplos:

1. Hallar la probabilidad que en lanzamientos sucesivos de un dado honrado resulte un 3 por

primera vez en el quinto lanzamiento

Solución:

Utilizando la formula tenemos que la probabilidad del dado es

,

, .

( ) ( ) (

) (

)

2. Necesitamos establecer una conexión. Cada vez que intentamos conectarnos, tenemos una probabilidad de 0,2 de lograr establecer la conexión. Cuál es la probabilidad de que l ogremos conectarnos en menos de 4 intentos.

Solución:

Utilizando la formula tenemos que p=0.2 y

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

( )

3. En el acoplamiento de una estación espacial, el 30% de los intentos es exitoso. Calcule la probabilidad de que se logre el acoplamiento en 4 ó menos intentos.

Solución:

Utilizando la formula tenemos que p=0.3 y

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

( )

4. En un cierto proceso de manifactura se sabe que en, promedio, 1 de cada 100

piezas esta defectuosa. ¿Cuál es la probabilidad de que la quinta pieza inspeccionada

sea la primera defectuosa?

Solución:

Utilizando la distribución geométrica con x=5 y p=0.01, se tiene:

( ) ( ) ( )( )

5. El tablero de un comunicador telefónico es de muy poca capacidad en cuanto tiempo de

ocupado se refiere, de tal forma que las personas no pueden encontrar una línea desocupada

para sus llamadas. Puede ser de interés saber el numero de intentos necesarios que se

requieren para tener una línea disponible. Suponga que sea p=0.05 la probabilidad de tener

línea durante la mayor congestión de llamadas. Se tiene el interés particular de saber la

probabilidad de que sean necesarios 5 intentos para logar una comunicación.

Solución:

Utilizando la distribución geométrica con x=5 y p=0.05 se tiene:

( ) ( ) ( )( )

2.4 DISTRIBUCIONES CONTINUAS

2.4.1 UNIFORME

Ejemplos:

1. Cuando un foco se selecciona al azar de una caja que contiene un foco de 40 watts, uno de

60, uno de 75 y uno de 100, cada elemento del espacio muestral S= {40, 60, 75, 100} ocurre una

probabilidad de ¼ por lo tanto se tiene una distribución uniforme con:

Solución:

( )

( )

2. Cuando se lanza un dado, cada elemento del espacio muestral S= {1, 2, 3, 4, 5, 6} ocurre con

una probabilidad de 1/6. Por lo tanto se tiene una distribución uniforme con:

( )

( )

3. La rueda de una ruleta se divide en 25 sectores de igual área y se enumeran del 1

al 25. Encuentre la formula para la distribución de probabilidad de X, que represente

el numero que ocurre cuando se hace girar la ruleta.

( )

( )

4. Si se define la variable aleatoria X como el número de caras que ocurren cuando una moneda

legal se lanza al aire una vez, encuentre la distribución de probabilidad de X. ¿Esta distribución

probabilidad es uniforme discreta, binomial o ambas?

( )

( )

2.4.2 NORMAL Y NORMAL ESTÁNDAR

Ejemplos:

1. Una maquina despachadora de refrescos esta ajustada para servir un promedio de 200

mililitros por vaso. Si la cantidad de refresco es normalmente distribuida con una desviación

estándar igual a 15 mililitros.

a) Que fracción de los vasos contendrá más de 224 mililitros

b) Cual es la probabilidad de que un vaso contenga entre 191 y 209 mililitros

Solución:

a) Tenemos los siguientes datos M=200, σ=15 y P(X=224).

Este valor de 1.6 se busca en tablas en áreas bajos la curva=0.9452

b) Tenemos los siguientes datos M=200, σ=15 y P (191≤X≤209).

2. Un proceso de fabricación tiene una distribución normal, cuya media = 100, con una

desviación estándar =10. ¿Cuál es la probabilidad que una media escogida aleatoriamente

puede estar en 110 y 100?

Solución:

Tenemos los siguientes datos M=100, σ=10 y P (100≤X≤110).

El área es de 0.8413 (por tablas). Es el área entre 100 y 110.

200 224

200 209 191

100 110

Encuentre la probabilidad de una media 108.2 o más alto.

( ) ( )

Cual es la probabilidad de obtener un media entre 110 y 115.

( ) ( )

3. Los pesos de 2000 costales de arroz están distribuidos normalmente con una media de 155 kg

y una σ=20. Hallar el número de costales con:

a) Inferiores o iguales a 100 kg

b) Encuentre 120 kg y 130kg.

( )

100 108.2

100 110 115

155 100

155 110 130

c) Mayores o iguales a 200kg.

4. Dada una distribución normal con M=50 y σ=10, encuentre la probabilidad de que X asuma un

valor entre 45 y 62.

Solución:

Los valores correspondientes a son:

( ) ( )

( ) ( )

5. Dada una distribución normal con M=300 y σ=50, encuentre la probabilidad de que X asuma

un valor mayor que 362.

( ) ( )

( )

155 200

300 362

0 1.2 -0.5

2.4.3 APROXIMACIONES CON LA NORMAL

1. Una moneda se lanza 400 veces. Utiliza la aproximación de la curva normal para encontrar la

probabilidad de obtener

a) Entre 185 y 210 caras inclusive

( )( ) √( )( )( )

Donde

( ) ( )

( ) ( )

b) Exactamente 205 caras

( )

( ) ( ) ( )

c) Menos de 176 o más 227 caras

( )

( ) ( ) ( )

0 1.05 -1.55

0 0.45 0.55

0 2.75 -2.45

2. Una compañía farmacéutica sabe que aproximadamente 5% de sus píldoras para

el control natal tiene un ingrediente que esta por debajo de la dosis mínima, lo que

vuelve ineficaz a la píldora. ¿Cuál es la probabilidad de que menos de 10 en una muestra de 200

sea ineficaz?

Solución:

, como es aproximación x=10.5

( ) ( )

3. Estadísticas publicadas por la National High-way Traffic Administration y el National Safety

Council muestran que en una noche de fin de semana, promedio, 1 de cada 10 conductores esta

ebrio. Si se verifican 400 conductores en forma aleatoria la siguiente noche del sábado, ¿Cuál es

la probabilidad de que el numero de conductores ebrios sea

( )( ) √( )( )( )

a) menos de 32, P(X>32), x=31.5

b) mas de 49, P(X>49), x=49.5

c) al menos 35 pero menos de 47, P (35>x<47),

0 0.16

0 -1.42

0 1.58

0 1.08 -0.92

4. La probabilidad de que un paciente se recupere de una rara enfermedad de la

sangre es 0.4. Si se sabe que 100 personas han contraído esta enfermedad, ¿Cuál es

la probabilidad de que al menos 30 sobrevivan?

Solución:

Sea la variable X que representa el número de pacientes que sobrevivan. Dado que n=100,

p=0.4, x=29.5.

( )( )

√( )( )( )

( ) ( )

5. Una prueba de opción múltiple tiene 200 preguntas cada una con 4 posibles respuestas, de

las cuales solo 1 es la correcta. ¿Cuál es la probabilidad que al azar se den 25 a 30 respuestas

correctas para 80 de los 200 problemas acerca de los cuales el estudiante no tiene

conocimientos?

Solución.

La probabilidad de una respuesta correcta para cada una de las 80 respuestas p= ¼. Si X

representa el número de respuestas correctas dadas al azar.

( ) (

)

√( ) (

) (

)

( ) ( ) ( )

0 -2.14

0 1.16 2.71