Probabilidad y Estadistica

UNIVERSIDAD DE LIMA ESCUELA DE NEGOCIOS


ASIGNATURA : ESTADISTICA APLICADA IPROFESORES : ILMER CONDORPERIODO ACADEMICO : 2005 – I

GUIA DE CLASE Nº 6

VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES

Introducción

El uso de una variable nos permite hablar de la demanda de un producto (digamos latas de espárragos). Podemos pensar en la demanda que esperamos que ocurra el próximo mes, de su variabilidad, etc.; podemos hablar también de la oferta de dicho producto en el mercado europeo.El conocimiento que tenemos de las variables hasta ahora, no nos permite hablar de la relación que hay entre la oferta y la demanda de espárragos en el mercado europeo; es decir, de cómo es uno respecto al otro, de su variabilidad conjunta, de su comportamiento (su distribución), etc.

Al estudiar este tipo de relación podremos producir más espárragos, sólo si la probabilidad de la demanda sea mayor que la oferta; es decir, si X representa la demanda y Y representa la oferta, se producirá más latas de conservas de espárragos siempre que P(X > Y).

Este tipo de problema es lo que queremos estudiar a continuación.

DEFINICIÓN

Sea un experimento aleatorio y el espacio muestral asociado a . Sean también X = X(s) y Y = Y(s) dos funciones que asignan un número real a cada resultado s del experimento, contenido en el espacio muestral; es decir, para cada s S existe un número real x para el cual x = X(s) y también un número real y tal que y = Y(s). Bajo estas consideraciones diremos que (X, Y) recibe el nombre de variable aleatoria bidimensional.

En la siguiente figura se muestra lo que queremos decir.

Ilmer Cóndor Página 1 de 28

Y=Y(s)

Y

X

X=X(s)

s X

Y


Observaciones:

a) X es una v.a. X tomará los valores x1, x2, ... xn con su espacio rango; mientras

que la v.a. Y tomará los valores y , y2, ... , ym con su espacio rango.

b) El espacio rango de (X, Y), es un conjunto formado por pares ordenados del

plano cartesiano.

Tipos de Variable Aleatoria

Una variable aleatoria bidimensional (X, Y) puede ser Discreta o Continua.

VARIABLE ALEATORIA BIDIMENSIONAL DISCRETA

Diremos que (X, Y) es una variable aleatoria bidimensional discreta si el conjunto de los valores posibles de la variable es finito o numerablemente infinito. Este conjunto, llamado

espacio rango es un conjunto reticular.

Los valores posibles de (X, Y) pueden ser representados como pares ordenados (x i, yj) para i = 1, 2, ..., n, ... y j = 1, 2, ..., m, ...

DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD PARA (X, Y)

DEFINICIÓN

Sea (X, Y) una variable aleatoria bidimensional discreta, con su espacio rango. Si

p(xi, yj) es una función tal que a cada par (xi, yj) le asigna el número real P(X = xi, Y = yj) diremos entonces que p(xi, yj) es función de probabilidad conjunta de (X, Y), siempre que cumpla las siguientes condiciones:

i) p(x i, yj) 0 (x i, yj)

ii)

Observaciones1. p(xi, yj) = P(X = xi, Y = yj) es la probabilidad de que ocurra el evento

compuesto { X = xi , Y = yj } i = 1, 2, 3, ..., n, ... ; j = 1, 2, 3, ..., m, ...


.

. ..

. .. . . ..... ),( YX

. ... .... ... .... ... ....


2. p(x, y) es conocida también como la distribución conjunta de probabilidades de (X, Y)

3. Si (X, Y) es una variable aleatoria bidimensional, diremos que F es la función de DISTRIBUCION ACUMULADA de (X, Y) y se define por

F(x, y) = P(X ≤ y, Y ≤ y) =

En otras palabras, se suma todos los p(x, y) mientras se cumple X x, Y y.

4. La gráfica de la función de probabilidad de (X, Y), se muestra en la siguiente figura. Como en este caso el espacio rango es un espacio reticulado, el valor de probabilidad para un valor de la variable será una barra perpendicular en el nodo correspondiente, como se puede apreciar.

5. La suma de todos los p(x, y) x y y, debe ser igual a 1. Observe también que puede sumar cada fila y colocar el resultado en la última columna, pero de la misma fila; o por el contrario, puede sumar cada columna y obtener el resultado en la última fila disponible.

Ejemplo 1Si se lanza al aire dos dados y definimos a X como “El número obtenido con el primer dado” y definimos a Y como “El número obtenido con el segundo dado”, obtenga la distribución de probabilidad de la variable aleatoria (X, Y).

SoluciónSea X: ........................................................... Valores de X: .......................................................Sea Y: ........................................................... Valores de Y: .......................................................Cómo define a (X, Y)?: ..............................................................................................................Cuál es el espacio rango de (X, Y)? : ........................................................................................Qué significa p(1,1) = P(X = 1, Y = 1)?. A qué es igual p(1,1)? = .........................


p(x3,y1)

.

. ..

. .. . . ..... ),( YX

. ... .... ... .... ... ...

x3

y1

X

Y

Figura 85

Y\Xy1

y2

....

....ym

x1 x2 x3 ... xn

p(x3,y2)

Y\X

0

1

2

0 1 2


Encuentre p(1,2) = ............ p(1,3) = ............ p(3, 4) = ............ p(6,3) = .............Construya la tabla de distribución para esta variable (X, Y) como se muestra líneas arriba.Ejemplo 2Se lanza una moneda tres veces. Sea X la variable aleatoria definida como el número de caras obtenidas en los dos primeros lanzamientos y sea Y la variable definida como el número de caras obtenidas en los dos últimos lanzamientos. Obtenga la distribución de probabilidad de la variable aleatoria (X, Y).

SoluciónSea X: ...................................................Sea Y: ...................................................Espacio rango de (X, Y): ................................................

Obtenga las siguientes probabilidades:p(0,0) = P(X = 0, Y = 0) =P(SSS) = .............p(1,0) = P(X = 1, Y = 0) =P(CSS) = .............p(2,0) = P(X = 2, Y = 0) =P(CCS) = .............p(0,1) = P(X = 0, Y = 1) =P(SSC) = .............p(1,1) = P(X = 1, Y = 1) =P(SCS, ) = .........p(1,2) = P(X = 1, Y = 2) =P(SCC) = .............p(0,2) = P(X = 0, Y = 2) =P(SCC) = .............p(1,2) = P(X = 1, Y = 2) =P(SCC) = .............p(2,2) = P(X = 2, Y = 2) =P( ) = .............

Ejercicio 1En un grupo de 6 ejecutivos de cierta empresa, 3 son economistas, 2 son abogados y uno es ingeniero. Se debe seleccionar al azar a dos de estos ejecutivos para un ascenso. Sea X el número de economistas e Y el número de abogados seleccionados. Obtener la distribución de probabilidad de X e Y.

Ejercicio 2Una urna contiene tres bolas numeradas: 1, 2, 3, respectivamente. De esta urna se extrae exactamente dos bolas, una a una y sin reemplazo. Sea X el número de que muestra la primera bola extraída e Y, el número que muestra la segunda bola extraída. Hallar la distribución de probabilidad de (X, Y).

Ejercicio 3Suponga que tres objetos no diferenciables se distribuyen al azar en tres celdas numeradas. Sea X el número de celdas vacías e Y el número de objetos colocados en la primera celda. Obtenga la distribución de probabilidad de X e Y.

Ejemplo 3Se elige uno de los números enteros: 1, 2, 3, 4, 5. Después de eliminar todos los enteros (si los hubiera) menores que el elegido, se elige uno de los restantes. Sean X e Y los números obtenidos en la primera y segunda elección, respectivamente. Obtenga la distribución de probabilidad de X e Y.

SoluciónSea X: ................................................................ Valores de X: .............................................Sea Y: ................................................................ Valores de Y: .............................................



Rango de (X, Y): ............................................. .............................................

p(1, 1) es la probabilidad de elegir el 1 la primera vez y 1 la segunda vez. La probabilidad de elegir 1 la primera es 1/5. Cuántos quedan después de eliminar los menores a 1? .............Cuál es la probabilidad de elegir 1 la segunda vez? ..........Luego p(1,1) = P(X=0, Y=0) = ............

p(1, 2) es la probabilidad de elegir 1 la primera vez y 2 la segunda; p(1, 2) = ........p(1, 3) es la probabilidad de elegir 1 la primera vez y 3 la segunda; p(1, 2) = ........p(2, 1) es la probabilidad de elegir 2 la primera vez y 1 la segunda. Si en la primera se elige 2, cuántos se elimina? ........ Cuántos quedan? .............................. p(2,1) = ....................Complete la distribución usando el mismo razonamiento.

Ejercicio 4Se extraen al azar dos naipes sin reemplazo de una baraja de 52 naipes. Sea X el número de ases e Y el número de espadas que aparecen. Obtenga p(x, y).

Ejercicio 5En una urna hay 3 bolas negras y 7 bolas blancas. Se selecciona al azar dos bolas de la urna, sin reemplazo. Sea X el número de bolas negras extraídas, e Y el número de blancas. Obtener la distribución de probabilidad de X e Y.

Ejercicio 6Cuál es la probabilidad de obtener C y un número menor que 4 en el ejercicio 01?

Ejercicio 7En el ejemplo 2, cuál es la probabilidad de obtener más caras en las dos primeras que en las dos últimas?. Cuál es la probabilidad de obtener a lo más, una cara en los dos primeros lanzamientos y por lo menos una cara en los dos últimos lanzamientos?

Ejercicio 8Una tienda comercial tiene dos vendedores: Tuco y Tico. En ella se han vendido hasta dos televisores por día. Sea X el número de televisores vendidos en un día por Tuco, e Y el número de televisores vendidos en un día por Tico

a) Obtenga el rango de la variable aleatoria (X, Y)b) Si se sabe que la distribución conjunta de X e Y está dada por la siguiente tabla

YX

0 1 2

0 1/16 1/16 1/8


1 2 31

4 5X\Y

1

2

3

4

5


1 1/8 1/8 1 /42 1/8 1/16 1/16

b.1 Hallar la probabilidad de que cada vendedor venda a lo más, un televisorb.2 Hallara la probabilidad de que Isabel venda más televisores que Miguel

DISTRIBUCIONES MARGINALES

DEFINICIÓN

Sea (X, Y) una variable aleatoria bidimensional discreta con p(xi, yj) su función de probabilidad conjunta, donde i = 1, 2, 3, ..., n y j = 1, 2, 3, ..., m. Diremos que p(xi) es la Distribución de Probabilidad Marginal de X si p(xi) viene definida por

p(xi) = , i = 1, 2, 3, …, n

Del mismo modo, diremos que q(yj) es la Función de Probabilidad Marginal de Y si q(yj) viene definida por

q(yj) = , j = 1, 2, 3, ..., m

Observaciones

1. Tomando en cuenta la siguiente tabla, la Distribución de probabilidad Marginal de X, p(x), la obtendremos en la última fila en el cuadro de distribución de probabilidad conjunta.Igualmente, la Distribución de probabilidad Marginal de Y estará ubicada en la última columna de la misma.

2. La suma de todos los valores de p(xi) es 1, con i = 1, 2, 3, ..., n. Igualmente si sumamos todos los valores de q(yj) , esto será igual a 1, con j = 1, 2, 3, ..., m.


Marginal de X

p(x3,y2)

y1

y2

....

....

ym

x1 x2 x3 ... xn

ni

ii yxpyq

111 ),()(

ni

ii yxpyq

122 ),()(

ni

imim yxpyq

1

),()(

mj

jjyxpxq

112 ),()(

mj

jjnn yxpxq

1

),()(

Y\Xq(y)

p(x)

Marginal de Y

p(x) 6/27 18/27 3/27

0

1

2

3

0 1 2Y\X

0

6/27

6/27

6/27

6/27

2/27

1/27

0

0

0

0

0

q(y)

8/27 12/27

6/27

1/27

Marginal de X

Marginal de Y


Ejemplo 4

Encuentre las distribuciones marginales de X e Y, del Ejercicio 3.

Solución

Puesto que la distribución de probabilidades conjunta de (X, Y) viene dada por

Entonces La distribución Marginal de X es:

Si X = 0 entonces p(0) = p(0, 1) + p(0, 2) + p(0, 3) = 6/27Si X = 1 entonces p(1) = p(1, 1) + p(1, 2) + p(1, 3) = 18/27Si X = 2 entonces p(0) = p(2, 1) + p(2, 2) + p(2, 3) = 3/27

Por lo que la función marginal de X, dado en forma tabular, es

Esta misma distribución se aprecia en la última fila del cuadro de distribución conjunta.

La distribución Marginal de Y es:Si Y = 0 entonces q(0) = q(0, 0) + q(1, 0) + q(2, 0) = 8/27Si Y = 1 entonces q(1) = q(0, 1) + q(1, 1) + q(2, 1) = 12/27Si Y = 2 entonces q(2) = q(0, 2) + q(1, 2) + q(2, 2) = 6/27Si Y = 3 entonces q(3) = q(0, 3) + q(1, 3) + q(2, 3) = 1/27

Por lo que la función marginal de X, dado en forma tabular, esEsta misma distribución se aprecia en la última columna del cuadro de distribución conjunta.


0 1 2

6/27 18/27 3/27

X

p(x)

0 1 2 3Y

q (y) 8/27 12/27 6/27 1/27

X Y


Ejemplo 5

La distribución de probabilidad conjunta de la variable aleatoria (X, Y), está definida por

, x = 1, 2; y = 1, 2, 3, 4

a) Hallar la distribución de probabilidad marginal de Xb) Hallar la distribución de probabilidad marginal de Yc) Encuentre las distribuciones condicionales de X, dado Y = 2 e Y, dado X = 1

SoluciónSugerencia: Complete la siguiente tabla dando valores a X e Y, y reemplazando en p(x, y). A continuación sume hacia la derecha y tendrá la distribución de X; del mismo modo, sumando hacia abajo tendrá la distribución de Y.

YX

1 2 3 4

12 .

Algebraicamente:

a) p(x) = p(x,1) + p(x, 2) + p(x, 3) + p(x, 4) = , x = 1, 2

b) p(y) = p(1,y) + p(2, y) = , y = 1, 2, 3, 4.

Ejercicio 9Una compañía clasificadora de riesgo ha estimado una función de probabilidad conjunta para las variables aleatorias: Rentabilidad (X) y Riesgo (Y), referidas a una acción común de la Compañía AB Hosting S.A., que cotiza en la Bolsa de Lima. Se pide determinar si se debe invertir en esta acción, teniendo como regla de decisión que se invertirá, sólo en el caso de que la rentabilidad promedio sea mayor al riesgo promedio. La función de probabilidad conjunta de (X, Y), se define como

, x = 1, 2; y = 1, 2

Ejercicio 10Cierto supermercado tiene una caja de salida común y una caja rápida. Sea X el número de clientes que están en espera en la caja común en un momento particular del día; y sea Y el número de clientes en espera en la caja rápida al mismo tiempo. Suponga que la distribución de probabilidad conjunta de X e Y se indica en la siguiente tabla:

YX

0 1 2 3



0 0.08 0.07 0.04 0.001 0.06 0.15 0.05 0.042 0.05 0.04 0.10 0.063 0.00 0.03 0.04 0.074 0.00 0.01 0.05 0.06

a) ¿Cuál es la probabilidad de que haya igual número de clientes en las dos líneas?b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya por lo menos dos clientes más en una línea de

espera que en la otra?c) ¿Cuál es la probabilidad de que el número de clientes de las dos líneas de espera sea

por lo menos cuatro?d) Si hay dos clientes que están en espera en la caja rápida, ¿cuál es la probabilidad de

que hay menos de dos clientes en la caja común?e) Cree Ud. que existe independencia entre X e Y?

VARIABLE ALEATORIA BIDIMENSIONAL CONTINUA

DEFINICIÓN

Sea (X, Y) una variable aleatoria bidimensional continua, con R² su espacio

rango. Diremos que f(x, y) es una función de densidad de probabilidad conjunta de (X, Y) siempre que f cumpla las siguientes condiciones:

ii) f(x , y) 0 (x i, yj)

iii)

Observaciones

1) De manera simplificada fdpc significará “función de densidad de probabilidad conjunta”.2) Sin duda el intervalo al que correspondan X e Y serán - < X < + y - < Y < + . En

particular, X pertenecerá al intervalo (a, b) tal que a X b. Del mismo modo, Y

pertenecerá al intervalo (c, d) tal que c Y d. La gráfica de la función f determina una superficie en el espacio tridimensional, como se muestra en la figura anterior.


),( YX

Figura 86


3) Si B = {(x, y)/a x b, c y d } es un evento en el espacio rango de (X, Y), la probabilidad de que ocurra este evento, es igual a

4) P(a ≤ X ≤ b, c ≤ Y ≤ d) = P(a < X ≤ b, c < Y < d) = P(a < X < b, c < Y ≤ d)

5) Si matemáticamente la probabilidad P(a X b) = , geométricamente

representa el área de una superficie sobre el plano cartesiano. En el caso bidimensional la probabilidad P(a X b, c Y d) geométricamente representa el volumen de una superficie en el espacio, definida por la gráfica de la curva f(x,y) y limitada por los

intervalos a X b , c Y d y en el plano XY, por la región .

6) El orden de integración (dydx ó dxdy) lo determina Ud. , según su dominio.

7) Distribución Acumulada de una variable aleatoria bidimensional continua

Si (X, Y) es una variable aleatoria bidimensional continua con f(x, y) su función de densidad de probabilidad conjunta, diremos que F(x, y) es su función de distribución acumulada si

F(x, y) = P( X x, Y y) =

Ejemplo 6

Sea (X, Y) una variable aleatoria bidimensional continua con función de densidad de probabilidad conjunta definida por

c) Determine el valor de la constante cd) Calcule P(X < 0.5, Y > 0.5)e) Calcule P(Y < 0.5)

SoluciónSegún vemos, la definición de f depende del valor de c. Esto es lo que debemos determinar primero.a) Para hallar el valor de c, debemos usar la segunda condición en la definición; es

decir, . Efectuando la integración obtenemos: c = .............

b) P(X < 0.5, Y > 0.5 ) = ...............................................c) P(Y < 0.5) = P(- < X < + , Y > 0.5 ) = .........................................

Ejercicio 11

El precio X de compra de un artículo en miles de dólares y el precio Y de venta del artículo, varían de acuerdo a la siguiente función de densidad conjunta:

a) Hallar la probabilidad de que el precio de compra sea mayor que el precio de venta.b) Hallar la probabilidad de que el precio de venta sea superior a 1000 dólaresc) Hallar P(X 1.2 / X < 0.3)d) Hallar P( Y > 1.2 / X = 0.3)



DISTRIBCION MARGINAL

DEFINICIÓN

Sea (X, Y) una variable aleatoria bidimensional continua donde f es su función de densidad de probabilidad conjunta. Diremos que g es la función de distribución marginal de X y la definiremos como Del mismo modo, diremos que h es la función de distribución marginal de Y y la definiremos como

Observaciones

1) Siendo g y h son funciones de distribución de probabilidad, debe suponerse que ambas satisfacen las condiciones para ser funciones de densidad de probabilidad; es decir, y del mismo modo

Ejemplo 7

Suponga que (X, Y) es una variable aleatoria bidimensional continua con función de densidad de probabilidad conjunta dada por

Calcule lo siguiente:a) P(X > ½ )b) P( Y < X )c) P( Y < ½ / X < ½ )

SoluciónUna fugaz mirada por las preguntas planteadas nos sugiere que debemos encontrar ante todo, las distribuciones marginales de X e Y, respectivamente.Procedamos:Marginal de X: Integramos a f respecto de y, en todo el recorrido de Y

g(x) =

Marginal de Y: Integramos a f respecto de x, en todo el recorrido de X

h(y) =

Con esta información:

a) P(X > ½ ) = 1 – P(X ½) =1 -

b) P(Y < X ). Esto lo resolveremos usando la función de densidad conjunta. La región que define el espacio rango de (X, Y) se muestra en la figura del costado. Por ello y de acuerdo al análisis matemático, la probabilidad pedida es

p(Y< X) =

c) P(Y< ½ / X < ½ ) =


y=x

0 1


En a) encontramos P(X > ½), por ello, P(X < ½ ) = P(X ≤ ½) = 1/6

Ejercicio 12

Dada la función de densidad conjunta de la variable aleatoria (X, Y),

a) Calcule P(X 1; Y > 3)b) Obtenga la función de distribución marginal de X y de Y

DISTRIBUCIONES CONDICIONALES

CASO DISCRETO: DEFINICIÓN

Sea (X, Y) una variable aleatoria bidimensional discreta, cuya función de probabilidad conjunta es p(xi, yj). Sea p(xi) y q(yj) , i =1, 2, ..., n, ...; j = 1, 2, ..., m, ... , las distribuciones de probabilidad marginal de X e Y, respectivamente.Diremos que pX/Y(xi/Y = yj) es la función de probabilidad condicional de X, dado Y = yj, si

Del mismo modo, diremos que pY/X(yj/X = xi) es la función de probabilidad condicional de Y, dado X = xi , si

Observaciones

1. La notación simplificada que usaremos es p(x/Y=y) para la función de probabilidad condicional de X, dado Y, y q(y/X=x) para la función de probabilidad de Y, dado X.

2. Observe con cuidado la definición: En el caso de p(x/y), el evento que ha ocurrido es { y / Y = yj }; es decir, deberemos encontrar la función de probabilidad condicional de X dado Y, para un valor particular de Y; mientras que en el caso de la función de probabilidad de Y dado X, el evento que ha ocurrido es {x / X = xi }.

3. Igualmente observe que las funciones de probabilidad se definen simplemente como un cociente entre la conjunta y la probabilidad del evento que ha ocurrido.

4. Por lo expuesto, para obtener una de las distribuciones condicionales debemos usar el siguiente procedimiento:

i) Paso 1: Disponer de, o calcular, la distribución de probabilidad conjunta

ii) Paso 2: Obtener la(s) distribución(es) marginal(es) respectiva(s)iii) Paso 3: Obtener la(s) distribución(es) condicional(es) respectiva(s)iv) Paso 4: Dividir a cada la conjunta entre el valor de probabilidad

puntual de la marginal correspondiente.



Ejemplo 8

La función de probabilidad conjunta de (X, Y) está dada por

, x = 0, 1, 2, 3 ; y = 0, 1

Encuentre las distribuciones condicionales X e Y, respectivamente.

Solución

Según el problema, , x = 0, 1, 2, 3 ; y = 0, 1

Para obtener la distribución de probabilidad condicional de X dado Y = 1, debemos encontrar primero la distribución marginal de Y, de ella extraemos q(y = 1).

Del mismo modo, para obtener la distribución de probabilidad condicional de Y dado X = 2, debemos encontrar primero la distribución marginal de X, de ella extraemos p(x = 2).

En consecuencia debemos encontrar las dos distribuciones marginales y luego proceder a encontrar la condicional respectiva.

Distribución Marginal de X:

Distribución Marginal de Y:

Distribución Condicional de X, dado Y = 1:

Hemos reemplazado y = 1 en q(y)

Distribución Condicional de Y, dado X = 2:

Hemos reemplazado x = 2 en p(x)

CASO CONTINUO: DEFINICIÓN

Sea (X, Y) una variable aleatoria bidimensional continua. Si f(x, y) es su función de densidad conjunta, y g(x) y h(y) sus distribuciones marginales correspondientes, definimos con gX/Y(x/y) o g(x/y) como la función de densidad condicional de X, dado Y = y, tal que

Del mismo modo, diremos que hY/X(y/x) o h(y/x) es la función de densidad condicional de Y, dado X, tal que



Observaciones

1. Usaremos g(x/y) y h(y/x) para representar las funciones condicionales respectivas.

2. Para obtener dichas condicionales es suficiente dividir la distribución conjunta entre la distribución marginal que le corresponda. Es decir, para g(x/y), es suficiente la división de la conjunta f entre la marginal de Y, h(y). Del mismo modo, para obtener h(y/x) es suficiente dividir la conjunta entre la marginal de X, g(x).

Sea (X, Y) una variable aleatoria bidimensional continua cuya función de densidad de probabilidad conjunta viene dada por

Ejemplo 9

Encuentre las distribuciones condicionales de X, dado Y así como la distribución condicional condicionadle Y, dado X.

Solución

Puesto que las distribuciones condicionales provienen del cociente de las conjuntas entre las marginales, debemos hallar primero las distribuciones marginales.



Obtención de la Distribución condicional de X, dado Y:

.

Luego

Obtención de la Distribución condicional de Y, dado X:

.

Luego

ESPERANZA CONDICIONAL

DEFINICION

Caso discreto:



Sea (X, Y) una variable aleatoria bidimensional discreta con p(x i, yj) , i = 1, 2, ..., n, ...; j = 1, 2, ..., m, ... su función de probabilidad conjunta. Sea p(xi) y q(yj) las funciones de distribución marginal de X e Y, respectivamente.Diremos que E[X/Y = yj] es la esperanza condicional de X, dado Y = yj, tal que

Del mismo modo, E[Y/X = xi] es la esperanza condicional de Y, dado X = xi, tal que

Ejemplo 10

Sea (X, Y) una variable aleatoria bidimensional discreta cuya función de probabilidad conjunta es

Obtener las esperanzas condicionales E[X/Y] y E[Y/X], para todos los valores de X e Y.

Solución

Como para E[X/Y] se requiere la marginal de Y y la probabilidad condicional de X, dado Y, así como para E[Y/X] se requiere la marginal de X y luego la probabilidad condicional de Y, dado X, procederemos de manera ordenada:



Distribución condicional de X, dado Y:

Distribución condicional de Y, dado X:

Con toda esta información:


.020 .050 .070 .045

.015 .106 .146 .140

.140 .126 .121 .021

Y\X 0 1 2 3

0

1

2

q(y)

.185

.407

.408

p(x) .175 .282 .337 .206


Igualmente

Ejemplo 11

Si la distribución de probabilidad conjunta de(X, Y) viene dada por la siguiente tabla, calculea) E[X]b) E[Y]c) E[3X + 4Y]d) E[Y²]e) V[Y]f) E[XY]g) P(X = 1 / Y = 1)h) E[X / Y = 1]i) E[2X + 1/ Y = 1]j) E[2X + Y / Y = 1 ]k) E[ XY / Y = 1]

Solución

Aprovechando el cuadro ya hemos calculado las distribuciones marginales de X e Y.a) E[X] = …………………………………….. = 1.574b) E[Y] = …………………………………….. = 1.223c) Sea Z = 3X + 4Y. Si X , Y = 0, 1, 2, 3, 4 entonces Z = 0, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 14;

con lo cual su distribución será

Luego E[Z] = …………………………………………………….. = 9.614

d) E[Y²] = 0²(……) + 1²(…..) + 2²(……) = 2.039e) V[Y] = E[Y²] – (E[Y])² = – ……… = 0.543271f) Antes de evaluar E[XY], encontremos la distribución de XY. Para ello, sea Z = XY.

Los valores que toma Z son 0 = {(0,0), (1, 0), (2, 0), (3, 0), (0, 1), (0, 2)},1 = {(1, 1) } 2 = {(1, 2), (2, 1) } 3 = {(3, 1)}, 4 = {(2, 2) } 6 = {(3, 2) }


0 3 4 6 7 8 9 10 11 13 14 17

.020 .050 .015 .070 .106 .140 .045 .146 .126 .140 .121 .021

Z

p(z)

0 1 2 3 4 6

.340 .106 .272 ..140 .121 .021


Luego su distribución es

De acuerdo a esto, E[XY] = E[Z] =

P(X = 1 / Y = 1) =

g) E[X / Y = 1] =

h) E[2X + 1 / Y = 1 ] Aplicando propiedades, E[2X + 1/Y= 1]= 2 E[X / Y = 1] + 1 = ……………..= 5.0196

i) E[2X + Y / Y = 1]. Como ya ha ocurrido el evento { Y = 1 } entonces ya se conoce el valor de Y, por ello E[2X + Y / Y = 1] = E[2X + 1 / Y = 1] = 5.0196

j) Igualmente, E[XY / Y = 1 ] = E[X(1) / Y = 1] = E[X / Y = 1 ] =

Caso continuo:

Sea (X, Y) una variable aleatoria bidimensional continua con f su función de densidad de probabilidad conjunta y sean también g(x) y h(y) las funciones de densidad marginales de X e Y, respectivamente.Diremos que E[X/Y] es la esperanza condicional de X, dado Y tal que

Del mismo modo, E[Y/X] es la esperanza condicional de Y, dado X tal que

Ejemplo 12

Sea (X, Y) una variable aleatoria bidimensional continua cuya función de densidad de probabilidad conjunta viene dada por

a) Encuentre E[X/Y = ½ ]b) Evalúe P(Y < ½ / X = ½ )

SoluciónEncontraremos primero las marginales y luego las condicionales.

Marginal de X:

Marginal de Y:



Respondiendo a las preguntas:



a)

b) P(X < ½ / Y = ½ ] =

Ejercicio 13

A continuación se presenta la fdpc de la vabc (X, Y).

a) Hallar la fdp condicional de X, dado Y = yb) Calcule P(X < 0.5 / Y = 1)c) Hallar la fdp condicional de Y, dado X = xd) Calcule P(Y > 1 / X = 0.25)e) Calcule E(Y/X = x) E( Y / X = 0.25 )

INDEPENDENCIA DE VARIABLES

DEFINCIÓN

Sea (X, Y) una variable aleatoria bidimensional. Diremos que X e Y son variables aleatorias independientes si

a) Caso discreto: Si distribución condicional es igual a la marginal de la variablep(xi, / Y = yj) = p(xi) para todo i = 1, 2, ....., n ; j = 1, 2, ...... m op(yj / X = xi,) = q(yj) para todo i = 1, 2, ....., n ; j = 1, 2, ...... m

b) Caso continuo: Si la distribución condicional es igual a la marginal de la variablef(x / Y = y) = g(x)f(y / X = x ) = h(y)

Teorema

Las variables X e Y son independientes si y sólo si la distribución conjunta es igual al producto de sus distribuciones marginales; es decir,Caso discreto : p(xi, , yj) = p(xi) q(yj); para todo i = 1, 2, ....., n ; j = 1, 2, ...... mCaso continuo: f(x, y) = g(x) h(y) para todo (x, y) en el espacio rango de (X, Y).

Teorema

Si X e Y son dos variables aleatorias independientes entoncesa) E(XY) = E(X)E(Y)b) V(X Y) = V(X) + V(Y)

Ejemplo 13



Las variables aleatorias X e Y representan las proporciones de los mercados correspondientes a dos productos distintos fabricados por la misma compañía y cuya función de densidad de probabilidad conjunta está dada por

a) Son independientes las variables X e Y? Justifique su respuestab) Si la producción del mercado del producto X es de 20%(x = 0.2), obtenga la

función de densidad condicional de Y

Solucióna) Marginal de X: g(x) = .......................... h(y) = .............................

g(x)h(y) = .......................Son independientes X e Y? ........................

b) Qué es lo se nos está pidiendo? ...................................

Luego h(...../ X = ......) = ....................

Ejercicio 14

SEARS es una empresa de grandes almacenes. Cada semana, almacena miles de toneladas de productos enlatados y después los vende a ciertas empresas minoristas. Sea X la cantidad almacenada (en miles de toneladas) del producto al inicio de la semana(X varía de semana en semana). Sea Y la cantidad (en miles de toneladas) que se vende durante la semana. Si tenemos la siguiente fdpc

a) Calcular la probabilidad de que se almacene menos de 500 toneladas del producto, pero se venda más de 250 toneladas

b) Cree Ud. que existe dependencia estadística entre la cantidad almacenada y la cantidad vendida? Sustente.

Ejercicio 15

Sea (X, Y) una variable aleatoria bidimensional continua con fdpc definida por

Además x + y 1. Son independientes X e Y?

COEFICIENTE DE VARIACION

DEFINCIÓN

Sea X e Y dos variables aleatorias. Diremos que COV(X, Y) es la Covarianza de X e Y tal que COV(X, Y) = E [(X – E[X])(Y-E[Y]) ]

Teorema

COV(X, Y) = E(XY) – E(X)E(Y)

Teorema



Si X e Y son variables aleatorias independientes entonces COV(X, Y) = 0

Interpretación

La covarianza de dos variables mide la co-variabilidad de dichas variables. Cómo varía una respecto a la otra. Si Covar(X, Y) es positica entonces ambas aumentan o disminuyen; mientras que si Cov(X, Y) es negativa, una variable aumenta y la otra disminuye. Si Cov(X, Y) es 0, una no depende de la otra.

Abra el archivo DiagDisp.xls y luego analice y comente el diagrama de dispersión de las variables del problema. Use las hojas DiagDisp y Más diagramas.

Propiedades

1. COV(X,βY) = βCOV(X, Y)2. COV(X+c,βY+d) = βCOV(X,Y)3. Si X e Y son dos variables cualquiera V(X + Y) = V(X) + V(Y)

+2COV(X,Y)4. Si X e Y son dos variables cualquiera V(X + βY) = ²V(X) + β²

V(Y) +2βCOV(X,Y)

COEFICIENTE DE CORRELACION

DEFINCIÓN

Sea X e Y dos variables aleatorias. Diremos que (X, Y) es el Coeficiente de Correlación de X e Y tal que

Observaciones

1. El coeficiente de correlación representa el grado de correlación que hay entre las variables

2. Por la forma cómo está definido, puede ser positivo o negativo3. -1 ≤ ≤ 14. Si 1 entre X e Y existe una correlación casi perfecta5. (aX + b, cY + d) = (X, Y)

TeoremaSi X e Y son dos variables aleatorias independientes entonces = 0

Interpretación

El coeficiente de correlación mide el grado de asociación que hay entre dos variables. Es la cuantificación porcentual de cuán relacionadas están las dos variables,



Abra el archivo DiagDisp.xls y luego analice y comente el diagrama de dispersión de las variables del problema. Use la hoja Cálculos y realice todos los cálculos que se pide en ella.

Ejercicio 16

Encuentre el coeficiente de correlación en el problema 10.

Ejercicio 17

Encuentre el coeficiente de correlación de (X, Y) del problema 12

Ejercicio 18

Encuentre el coeficiente de correlación de (X, Y) del problema 13

Ejercicio 19

La función de probabilidad conjunta de (X, Y) esta dada por la siguiente tablaY

X0 1

0 1/8 1/81 2/8 1/82 2/8 1/8

Calcular:a) E(X), E(Y), V(X), V(Y), E(XY)b) COV(X,Y)c) (X,Y)d) (2X,3Y+4)e) E(X / Y = 1)f) E(2X/Y = 1)g) E(3X + 4 / Y = 1)h) E(XY / Y = 1 )i) E(2X + 3Y / Y = 1)

VARIABLES ALEATORIAS n – DIMENSIONALES

Sea X1, X2, ...., Xn un conjunto de n variables aleatorias (discretas o continuas). Existirá una función f que será su función de distribución conjunta f(X1, X2, ...., Xn ); del mismo existirá una variable aleatoria Z que es función de las X i tal que Z = f(X1, X2, ...., Xn ) en la que podamos tener

1. Z = f(X1, X2, ...., Xn ) = X1+ X2 + ....+ Xn = o también

2. Z = f(X1, X2, ...., Xn ) = X1,X2 .... Xn (producto de ellas) 3. Z = f(X1, X2, ...., Xn ) = Max(X1, X2, ...., Xn )4. Z = f(X1, X2, ...., Xn ) = Min(X1, X2, ...., Xn )

X1, X2, ...., Xn serán independientes si f(X1, X2, ...., Xn ) = f(X1)f(X2)....f(Xn )



Si son independientes entonces

1. E(X1+ X2 + ....+ Xn ) = E[ ] = E(X1)+ E(X2 )+ ....+ E( Xn ) =

2. V(X1+ X2 + ....+ Xn ) = V( )=V(X1)+V(X2 )+ ....+ V(Xn ) =

La gran pregunta :

De todo lo que hemos visto hasta ahora podemos decir que, dada la función de distribución de una o más variables aleatorias, podemos saber el comportamiento de la población a la cual representa(n) dicha(s) variable(s).

Y si no se conoce su distribución? Es momento de presentar nuevos conceptos que nos permitan resolver esta pregunta y muchas otras más, de manera general.

ADVERTENCIA

A partir de este punto las variables a ser usadas serán independientes ya que muchos fenómenos reales se explican a través de las variables aleatorias independientes. En ellos,

E(X1+ X2 + ....+ Xn ) = E(X1)+ E(X2 )+ ....+ E( Xn ) =μ1 + μ2 + ... + μn =

V(X1+ X2 + ....+ Xn ) = V(X1)+V(X2 )+ ....+ V(Xn) = σ²1 + σ²2 + ... + σ²n =

PROPIEDAD REPRODUCTIVA

Teorema

Sea X1, X2, ...., Xn un conjunto de n variables aleatorias independientes. Supongamos que cada una de ellas proviene de una población cuya distribución es conocida, con parámetros μ i

y σi² . Si definimos a T como una nueva variable tal que entonces S tiene la

misma distribución con

Importancia de este teorema:

Si las Xi B(ni, pi ) y entonces T B(n, p) donde n = n1 + n2 + ...+ nn y p =

p1 + p2 + ... pn .

Si las Xi E(i ) y entonces T E( = 1 + 2+ ...+ n )

Si las Xi P(λi ) y entonces T ...............................

Teorema: Propiedad reproductiva de la Normal



Sea X1, X2, ...., Xn un conjunto de n variables aleatorias independientes. Supongamos que cada una de ellas proviene de una población cuya distribución normal; es decir, X i N(μi ,

σ²i ). Si entonces T N(μT , σ²T ) donde

Si ahora definimos entonces Z N(0, 1)

Corolario

Si X N(μ , σ² ). Si entonces T N(μT = n μ , nσ²)

Si ahora definimos entonces Z N(0, 1)

Ejemplo 14

Sea Y = X1 + X2 + X3, donde X1 N(4, 3²); X2 N(6, 4²) y X3 N(8, 5²) son variables aleatorias normales e independientesa) Hallar la distribución de probabilidad de la variable aleatoria Yb) Evalúe P(Y < 20)Solucióna) Para encontrar la distribución de probabilidad de Y es suficiente encontrar su media μY y

su varianza σY². Si Y = X1 + X2 + X3 μY = E(Y) = E(X1 ) + E(X2 ) + E( X3 ) = .........Del mismo modo σY² = V(Y) = V(X1 + X2 + X3 ) = ...................................

b) Como por el teorema Y N(....., ......) entonces, usando la distribución normal mediante el programa Minitab o Excel, tenemos P(Y < 20 ) = ........................................

Ejercicio 20

Sea Y = 0.5X1 + 0.5X2 - X3 + 2; donde Xi N(i, i² ), son variables aleatorias normales e independientesa) Hallar la distribución de probabilidad de Yb) Evalúe P(0 < Y < 3)

Ejemplo 15

El promedio diario de ventas que realiza una bodega es de S/. 8000 con una desviación estándar de S/. 1000. Si la distribución de las ventas es normal, hallara) la probabilidad de que una venta en un día cualquiera esté entre los S/. 7000 y S/.

9000.b) la probabilidad de que el total de ventas en 50 días independientes sea menor que

S/. 378,000.

Solución



Sea X: Las ventas diarias de la bodega Según esto, X N(........, .........)a) Aquí se pide P(................................). Usando Minitab o Execl P(.................)

= ................b) Creo que debemos definir otra variable, digamos

T: .........................................................Por el teorema de la propiedad reproductiva de la normal, T N(μT , σ²T) dondeμT = ................. y σ²T = ................................Luego P(T < ...................) = .....................................................

Ejercicio 21

El precio (en miles de $) que un propietario fija para cierto tipo de propiedad es una variable aleatoria que tiene distribución normal con una media de $ 50.0 y una desviación de $ 5.0. Los compradores desean pagar una cantidad (en miles de $) que también es una variable aleatoria con distribución normal donde su media es de $ 45.0 y su desviación es de $ 2.50. Cuál es la probabilidad de que tenga lugar una transacción?

Ejercicio 22

Un censo ha determinado que en las familias en donde tanto el esposo como la esposa trabajan, el sueldo X del esposo sigue una distribución normal con una media de 800 soles y una desviación estándar de 50 soles; mientras que el sueldo Y de la esposa sigue una distribución normal con una media de 700 soles y una desviación de 70 soles. Si los sueldos se consideran independientes:a) Hallar la probabilidad de que, en una familia de esposos que trabajan, el sueldo del

esposo sea mayor que el sueldo de la esposab) Hallara la probabilidad de que, en una familia de esposos que trabajan, el sueldo

total(entre esposo y esposa) sea superior a 1800 soles

Ejercicio 23

Dos supermercados compiten por tomar el liderazgo del mercado. Un estudio reciente de una compañía de mercadeo estimó que las ventas diarias en miles de dólares de los dos supermercados, se distribuyen normalmente con 1 = 15 y 1 = 3 y 2 = 17 y 2 = 4 respectivamente. Calcule la probabilidad de que el segundo mercado supere en ventas al primer mercado.

Ejercicio 24

El FMI sólo otorgará préstamos al Perú siempre que la tasa de crecimiento de su PBI sea mayor que la tasa de crecimiento de su población. Si en el Perú la tasa de crecimiento de crecimiento del PBI es una v.a. normal N(5, 9), y la tasa de crecimiento poblacional es N(4, 4), ¿cuál es la probabilidad de que se otorgue el préstamo al Perú?. Suponga que ambas variables son independientes.

TEOREMA DEL LIMITE CENTRAL (TLC).

Algunas palabras previas:



Los teoremas relativos a la propiedad reproductiva de la distribución de probabilidad de una variable aleatoria, nos ha permitido resolver problemas relacionados con la generación de una nueva variable que resulta de la combinación lineal de otras cuya distribución es conocida.

Ahora, reformulando la pregunta allí planteada, surge otra interrogante: Y cómo procedemos

con variables de la forma si la distribución de los Xi no es conocida?

La estadística resuelve este problema tomando en cuenta el importante y conocido teorema del Límite Central (TLC).

Teorema

Sea X1, X2, ...., Xn un conjunto de n variables aleatorias independientes, con μi y σi² , parámetros de la distribución. Si definimos a T como una nueva variable aleatoria tal que

entonces, para un tamaño de n, “suficientemente grande”, la variable Z, definida

por tiene una distribución aproximadamente normal N(0, 1) donde

Observación

1. El conjunto de las n variables aleatorias que, por lo general, constituye una muestra aleatoria extraída de la población.

2. Supondremos que el tamaño de n será “suficientemente grande” si n ≥ 30. La demostración de tal afirmación escapa al desarrollo de este curso.

3.

4. Para resolver un problema, se debe obtener la μT y σT² y aplicar Minitab o Excel.

Teorema

Sea X1, X2, ...., Xn un conjunto de n variables aleatorias independientes, provenientes de la misma población con μi = μ y σi² = σ. Si definimos a T como una nueva variable aleatoria tal

que entonces, para un tamaño de n, “suficientemente grande”, la variable Z,



definida por tiene una distribución aproximadamente normal N(0, 1), donde μT

= n μ y σT² = n σ²

En este caso Z toma la forma N(0, 1)

Observación

Abra el archivo TLC.xls. En la hoja Pob desconocida se tiene en la columna A, el registro de los ingresos medios de 1000 trabajadores del sector textil. Se puede verificar que la gráfica no muestra ningún comportamiento definido. Se ha extraído 10 muestras de tamaño 278. Se ha obtenido una variable T como la suma de cada uno de los ingresos que conforman las muestras. A partir de ello, hemos encontrado la variable Z. La gráfica de Z nos indica que, cuando n ≥ 30, la variable T puede ser aproximada por una normal.

Ejemplo 16

La capacidad máxima de un ómnibus es de 2,500 Kg. Si el peso de los pasajeros se distribuye normalmente con una media de 65 Kg. y una desviación estándar de 10 Kg., ¿cuál es la probabilidad de que el peso total de 38 pasajeros sobrepase la capacidad del ómnibus?.

SoluciónSea X: ...........................................................X N(65, 10). n = ......... Como se pregunta por el peso total de pasajeros, debemos definir otra variable, digamos T: ..........................................Qué se pregunta?: .................................................Podemos usar la propiedad reproductiva de la normal?: ................................Podemos usar el TLC? .........................................A qué es igual μT? : μT = ................... Su varianza σ²T ?: σ²T = .............................

Use Minitab o Excel para encontrar la probabilidad pedida:P( T > 2500) = ............................................................

Ejemplo 17

El tiempo que tarda un empleado en atender a un cliente es una variable aleatoria que se distribuye normalmente con una media de 10 minutos y una desviación estándar de 2 minutos. a) Si el empleado atiende a 15 clientes consecutivamente, ¿cuál es la probabilidad de

que demore a lo más 2 horas con 20 minutos?b) Si el empleado dispone de 44 minutos para atender a n clientes, hallar n de tal

manera que esto sea posible con probabilidad 0.84134.

SoluciónSea X: Tiempo que tarda el empleado en atender a un cliente. X N(...............)a) Sea T: ........................................... n = ......................



A qué es igual μT? : μT = ................... Su varianza σ²T ?: σ²T = .............................Qué aplicamos el TLC o la propiedad reproductiva? .................................................Encuentre P( T ≤ .............) = .......................

b) Sea T: Tiempo total empleado en atender a n clientes. Si ahora se trata de n clientes, μT = ................... σ²T = ............................. Debemos encontrar P( T ≤ .................) = 0.84134. Se debe pasar a Z N(0, 1) para poder usar la opción <Inverse...> en Minitab con media 0 y desviación 1. En Excel se deberá usar =Distr.Norm.Estand.Inv(0.84134).

Ejemplo 18

Un conjunto de productos que en promedio pesan 10 gramos, con una desviación estándar de 2 gramos, son embalados en cajas de 50 unidades. Se sabe que las cajas vacías pesan en promedio 500 gramos, con una desviación estándar de 25 gramos. Suponiendo que los pesos de los productos y el de las cajas son independientes, calcular la probabilidad de que una caja llena pese más de 1050 gramos.

SoluciónSea X: ..................................................... μX = .............. σX = ......................... n = ........Usamos TLC o propiedad reproductiva? .....................................................................Sea Y : Peso de la caja Y = ..............................................Tomando esperanza y varianza a Y, obtenemos: μY = .............. σ²Y = .............................Ahora debemos encontrar: P(T > 1050) = .....................................

Ejercicio 25

El administrador de una tienda al menudeo afirma que la cajera de la tienda puede despachar sin ningún inconveniente, a 100 clientes en menos de 2 horas. Para comprobar tal afirmación, se registró los tiempos de espera de los clientes que pasaron por la caja registradora y se obtuvo una media de 1.5 minutos, con una desviación estándar de 1 minuto. Cuál es la probabilidad de que la cajera pueda atender a 100 clientes en menos de 2 horas? Tiene razón el administrador?

Sugerencia:Defina a X:Determine si se debe usar el TLC o la propiedad reproductiva. Observe que en este problema nada se dice de la distribución de X.Ejercicio 26

Se sabe que el peso de ciertos caramelos es una variable aleatoria con distribución uniforme entre 10 y 12 gramos. ¿Cuál es la probabilidad aproximada de que una caja con 100 caramelos pese más de 1.2 Kg.? (el peso de la caja es despreciable)

Ejercicio 27

En una compañía distribuidora de botellas de vino, se observa que el número de botellas de vino que se distribuye mensualmente a un establecimiento comercial, es una variable con media 257 y desviación estándar de 20 botellas. Cada botella distribuido a un establecimiento cuesta 5 nuevos soles. Si la cartera de clientes de la compañía distribuidora cuenta con 64 establecimientos comerciales ,



a) Obtener la distribución de probabilidad de la v.a. T, donde T es el monto total de dinero obtenido mensualmente por la compañía distribuidora.

b) Calcular e interpretar P(T > 80000)c) Calcule el valor mínimo de T tal que esto ocurra con probabilidad de 5%.

Ejercicio 28

Las ventas diarias de una empresa comercializadora se distribuyen exponencialmente con una media de 1500 dólares. Si se observa las ventas de los últimos 40 días y se calcula la venta total de este período, encontrar el valor de esta venta total, tal que la probabilidad de no sobrepasarla es de 95%

Ejercicio 29

Se empacan artículos pequeños a razón de 250 por caja de madera. Los pesos de los artículos son variables aleatorias independientes normales con una media de 0.5 libras y una desviación estándar de 0.10 libras. Se colocan 20 cajas en una plataforma de transporte. Calcule la probabilidad de que los artículos en la plataforma pesen más de 2,510 libras.

Ejercicio 30

El contenido de nicotina de un solo cigarrillo de una marca en particular es una variable aleatoria con media 0.8 mg y una desviación estándar de 0.1 mg. Si un individuo fuma 5 cajetillas de estos cigarros por semana, ¿cuál es la probabilidad de que la cantidad total de nicotina consumida en una semana sea por lo menos de 82 mg.?

Ejercicio 31

Hay 40 estudiantes den el curso de Análisis Real. En base a estadísticas pasadas, el profesor sabe que el tiempo necesario para calificar un examen seleccionado al azar, es una variable aleatoria con media igual a 6 minutos y una desviación estándar de 5 minutos. Si los tiempos para calificar los exámenes son independientes y el profesor comienza a calificar a las 6:50 pm y lo hace en forma continua,a) ¿cual es la probabilidad de que termine de calificar antes de que empiecen las

noticias de las 11:00 por TV?b) Si la sección deportiva empieza a las 11:10 pm, ¿cuál es la probabilidad de que se

pierda parte de esa sección, si espera hasta terminar, antes de encender el televisor?


Probabilidad y Estadistica

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