Probabilidad y estadística, entrega 3, TP Nº3

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CORDOBA

FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS, FISICAS Y NATURALES

MATERIA: Probabilidad y Estadísticas Trabajo Práctico N° 3

DOCENTE A CARGO: Magdalena Dimitroff

TEMA DEL TRABAJO: GRUPO:

Intervalos de Confianza Pruebas de Hipótesis

Verificación del Modelo 10

MATRÍCULA APELLIDO Y NOMBRE CALIFICACIÓN

30330417 Charras, J. Sebastián 35479475 Hoyos, Hector D. 5808838 Lopez Ibáñez Mauricio

33475936 Magnano, Agustín 33991660 Tévez, Martín M. 34859299 Vazquez Vinuesa, Tomás

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• Enunciado del problema Como consecuencia de los resultados observados en análisis anteriores, hemos tomado medidas para corregir los procesos que se desarrollan en el área de mantenimiento. Sin embargo, consideramos conveniente implementar un programa de capacitación para el personal del sector ya que consideramos que las mejoras en los procesos debe ser una meta permanente en nuestra tarea. Dicho programa incluirá capacitación específica en temas de índole mecánico, pero además abordará contenidos relacionados con la organización y logística de un taller de mantenimiento. Es nuestra intención que esta modalidad de capacitación se sostenga en el tiempo; esto hace necesario evaluar los resultados obtenidos de su aplicación. Una de las tareas necesarias consiste en estimar los verdaderos parámetros que caracterizan las distribuciones de los tiempos de reparación como así también las formas que tienen tales distribuciones. Sabemos que, si todo anda bien, las mismas deberían ser normales y con la menor variabilidad posible. Aparentemente, las medidas ya aplicadas (previas a la capacitación) han producido mejoras en las distribuciones de los tiempos de reparación de algunos componentes. Para verificarlo se tomaron nuevas muestras de tiempos de reparación, referidas a los motivos más problemáticos en cuanto a su distribución. Los datos se presentan en la siguiente tabla:

Radiador Embrague Rodamientos Mangueras Tren Rodamientos auxiliares de agua delantero de distribución

18,20 18,60 15,90 12,10 21,80 20,20 16,20 19,60 19,50 32,20 17,60 21,80 19,30 16,60 16,40 24,20 18,60 20,30 21,40 18,80 10,90 30,30 20,50 18,00 21,20 20,80 6,60 19,60 20,70 19,30 22,30 19,20 11,30 25,20 19,10 21,00 14,40 17,50 13,40 26,80 21,60 19,40 18,30 19,90 15,10 27,20 22,20 19,40 21,00 20,90 9,80 30,00 20,80 19,20 16,60 18,50 11,10 18,20 24,40 20,10 17,40 18,70 4,90 27,30 22,60 17,90 15,40 17,60 17,90 24,50 18,00 20,50 15,10 17,80 6,50 22,90 18,70 16,80 16,20 11,40 25,00 19,90 17,30 19,00 16,80 29,40 19,30 14,60 20,40 22,40 18,40

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17,70 19,40 20,30 19,00 18,00 17,10 23,50 21,10 19,10 17,10 28,20 20,80 18,10 17,50 22,40 20,20 18,10 20,60 24,50 18,10 18,80 31,50 21,50 18,50 22,60 18,60 14,50 19,60 18,40 16,20 28,40

15,60 22,20 19,10 21,40 16,70 19,90 15,60 23,60 17,20 19,10 17,50 34,00 16,20 19,60 17,90 17,80 16,80 26,00 17,40 18,50 19,10 17,60 15,50 16,70

19,50 Con esta información se debe:

� Analizar si las medidas adoptadas han producido el cambio deseado hacia un estado de control. Recordemos que dicho estado se valora con la condición de normalidad, por lo tanto es importante verificarlo especialmente en aquellas distribuciones que mostraban estar fuera de control.

� Determinar si es posible suponer que hemos logrado disminuir la variabilidad de las otras.

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• Introducción En el presente trabajo se evaluarán si las medidas adoptadas produjeron cambios hacia una situación de control. Para ello se utilizarán diversas herramientas que la estadística ofrece, para cuantizar los cambios realizados y establecer si éstos han producido cambios significativos o no. Se realizará el análisis individual de cada variable antes y después que se produjeran los cambios, analizando si su distribución de probabilidades se asemeje a una distribución NORMAL, ya que de ser así la situación estará bajo control. Así mismo se establecerán intervalos de confianza tanto para la medida como para la varianza a fin de evaluar la significancia de los cambios ejecutados.

� Tiempo de reparación de RADIADORES. En primer lugar se calcularán datos estadísticos de posición, dispersión y medidas de simetría, como así también se elaborarán diagramas de caja y/o histogramas según se requiera para obtener una mirada global del comportamiento de los datos. Posteriormente se realizará una prueba de Kolmogorov – Smirnov para evaluar si las muestras provienen de una población normal. Si es así, se establecerán intervalos de confianza para la media y la varianza. Posteriormente, a través de la misma prueba de ajuste veremos si la muestra que teníamos en un principio para esta misma variable proviene también de una población con distribución normal. En caso de que esto suceda, veremos si ha disminuido o no la variabilidad de esta nueva muestra con respecto a la primera. Esto se logrará mediante la comparación de sus respectivas varianzas con la realización de una Prueba F, lo que nos permitirá evaluar el comportamiento de la variable respecto a estas características.

� Tiempo de reparación de EMBRAGUES. En primer lugar se calcularán datos

estadísticos de posición, dispersión y medidas de simetría, como así también se elaborarán diagramas de caja y/o histogramas según se requiera para obtener una mirada global del comportamiento de los datos. Luego se analizará si la muestra proviene o no de una población normal para lo cual se utilizará la Prueba de bondad de ajuste χ2 debido a que la muestra posee un gran numero de datos. Si es así, se establecerán intervalos de confianza para la media y la varianza. Posteriormente, veremos si la muestra que teníamos en un principio para esta misma variable proviene también de una población con distribución normal mediante la misma prueba de bondad, ya que se encuentra bajo las mismas condiciones que esta última. En caso de que esto suceda, veremos si ha disminuido o no la variabilidad de esta nueva muestra con respecto a la primera. Esto se logrará mediante la comparación de sus respectivas varianzas con la realización de una prueba F, lo que nos permitirá evaluar el comportamiento de la variable respecto a estas características

� Tiempo de reparación de RODAMIENTOS AUXILIARES. En primer lugar

se calcularán datos estadísticos de posición, dispersión y medidas de simetría, como así también se elaborarán diagramas de caja y/o histogramas según se requiera para obtener una mirada global del comportamiento de los datos. Luego se analizará si la muestra proviene o no de una población normal para lo cual se utilizará la Prueba de Kolmogorov – Smirnov. Si es así, se establecerán intervalos de confianza para la media y la varianza. Además, dado que la cantidad de datos lo permite, se realizará una prueba de bondad de ajuste X2

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con los datos antes de que se ejecutaran los cambios, para evaluar si los mismos provienen de una población con distribución normal. En caso de que esto suceda, veremos si ha disminuido o no la variabilidad de esta nueva muestra con respecto a la primera. Esto se logrará mediante la comparación de sus respectivas varianzas con la realización de una prueba F, lo que nos permitirá evaluar el comportamiento de la variable respecto a estas características.

� Tiempo de reparación de MANGUERAS DE AGUA. En primer lugar se

calcularán datos estadísticos de posición, dispersión y medidas de simetría, como así también se elaborarán diagramas de caja y/o histogramas según se requiera para obtener una mirada global del comportamiento de los datos. Luego se analizará si la muestra proviene o no de una población normal para lo cual se utilizará la Prueba de bondad de ajuste χ2 debido a que la muestra posee un gran numero de datos. Si es así, se establecerán intervalos de confianza para la media y la varianza. Posteriormente, veremos si la muestra que teníamos en un principio para esta misma variable proviene también de una población con distribución normal mediante la misma prueba de bondad, ya que se encuentra bajo las mismas condiciones que esta última. En caso de que esto suceda, veremos si ha disminuido o no la variabilidad de esta nueva muestra con respecto a la primera. Esto se logrará mediante la comparación de sus respectivas varianzas con la realización de una prueba F, lo que nos permitirá evaluar el comportamiento de la variable respecto a estas características.

� Tiempo de reparación de TREN DELANTERO. En primer lugar se

calcularán datos estadísticos de posición, dispersión y medidas de simetría, como así también se elaborarán diagramas de caja y/o histogramas según se requiera para obtener una mirada global del comportamiento de los datos. Luego se analizará si la muestra proviene o no de una población normal para lo cual se utilizará la Prueba de Kolmogorov – Smirnov. Si es así, se establecerán intervalos de confianza para la media y la varianza. Además, dado que la cantidad de datos lo permite, se realizará una prueba de bondad de ajuste X2

con los datos antes de que se ejecutaran los cambios, para evaluar si los mismos provienen de una población con distribución normal. En caso de que esto suceda, veremos si ha disminuido o no la variabilidad de esta nueva muestra con respecto a la primera. Esto se logrará mediante la comparación de sus respectivas varianzas con la realización de una prueba F, lo que nos permitirá evaluar el comportamiento de la variable respecto a estas características.

� Tiempo de reparación de RODAMIENTOS DE DISTRIBUCIÓN. En

primer lugar se calcularán datos estadísticos de posición, dispersión y medidas de simetría, como así también se elaborarán diagramas de caja y/o histogramas según se requiera para obtener una mirada global del comportamiento de los datos. Luego se analizará si la muestra proviene o no de una población normal para lo cual se utilizará la Prueba de Kolmogorov – Smirnov debido a que la muestra no posee un gran numero de datos. Si es así, se establecerán intervalos de confianza para la media y la varianza. Posteriormente, veremos si la muestra que teníamos en un principio para esta misma variable proviene también de una población con distribución normal mediante la misma prueba de bondad, ya que se encuentra bajo las mismas condiciones que esta última. En caso de que esto suceda, veremos si ha disminuido o no la variabilidad de esta nueva muestra con

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respecto a la primera. Esto se logrará mediante la comparación de sus respectivas varianzas con la realización de una prueba F, lo que nos permitirá evaluar el comportamiento de la variable respecto a estas características

A lo largo del presente informe, se ha decidido ir realizando conclusiones parciales a medida que se evalúan cada uno de los resultados obtenidos por las diferentes herramientas estadísticas, con el fin de no perder de vista la interpretación de estos resultados. Finalmente se establecerá una conclusión general de lo ejecutado en este informe. NOTA: A lo largo del desarrollo del presente informe se utilizará la nomenclatura DATOS 1 para los datos antes de que se ejecutaran los cambios y DATOS 2 para los datos luego de ejecutados los cambios. Considérese las unidades correspondientes a cada uno de los datos incluidos en el trabajo anterior, dado que las mismas han sido omitidas en las tablas.

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• Desarrollo y análisis

� Tiempos de reparación de RADIADOR Estadística descriptiva: Se hará un análisis descriptivo de los Datos 1 y Datos 2, con el fin de tener un vistazo general del comportamiento de los mismos.

RADIADORES

Rad 1 Rad 2

Número de datos (n) 25 25

Media 18,49 18,12

Desviación Estándar (S) 4,41 2,16

Varianza (S2) 19,49 4,67

Coeficiente de Variación 23,88 11,92

Mediana 17,70 18,10

Asimetría 0,04 0,20

Curtosis -0,73 -0,42 Versión Estudiantil Versión Estudiantil Versión Estudiantil Versión Estudiantil Versión Estudiantil

Versión Estudiantil Versión Estudiantil Versión Estudiantil Versión Estudiantil Versión Estudiantil




























9,16

13,76

18,35

22,94

27,54

Tie

mp

o d

e r

ep

ara

ció

n [H

s]

Radiador (Comparación)

Referencias: Amarillo: Rad 1 Verde: Rad 2

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Luego de realizar la estadística descriptiva, podemos observar que las medias de ambas muestras son similares al igual que las respectivas medianas, el coeficiente de asimetría aumenta considerablemente. También podemos observar que la desviación estándar disminuyo poco mas de la mitad. Prueba de Kolmogorov – Smirnov para comprobar la Distribución Normal Se realizará la Prueba de Kolmogorov – Smirnov, tanto a Datos 2 como a Datos 1 a fin de establecer si los mismos provienen de una población con Distribución Normal o no. Radiadores 2 En primer lugar planteamos tanto la hipótesis nula como alternativa para Datos 2 bajo un nivel de significancia de 0,05.

H0: X ~ N (18,12; 4,67)

Ha: X ~ N (18,12; 4,67)

Luego confeccionaremos una tabla que nos permita realizar los cálculos necesarios para obtener el valor crítico necesario para la presente prueba. Para Datos 2 se plantea:

Radiador 2 n 25 Media 18,12 Desvío 2,16 Nivel de significancia ( α) 0,05 D máximo 0,1053 D crítico 0,2640

i X i Froi z Frei Di

1 14,4 0,0385 -1,7222 0,0427 0,0042

2 14,6 0,0769 -1,6296 0,0515 0,0254

3 15,1 0,1154 -1,3981 0,0807 0,0347

4 15,4 0,1538 -1,2593 0,1038 0,0500

5 16,2 0,1923 -0,8889 0,1867 0,0056

6 16,6 0,2308 -0,7037 0,2419 0,0111

7 16,8 0,2692 -0,6111 0,2709 0,0017

8 17,3 0,3077 -0,3796 0,3519 0,0442

9 17,4 0,3462 -0,3333 0,3707 0,0245

10 17,7 0,3846 -0,1944 0,4246 0,0400

11 18 0,4231 -0,0556 0,4760 0,0529

9

12 18,1 0,4615 -0,0093 0,4960 0,0345

13 18,1 0,5000 -0,0093 0,4960 0,0040

14 18,1 0,5385 -0,0093 0,4960 0,0425

15 18,2 0,5769 0,0370 0,5159 0,0610

16 18,3 0,6154 0,0833 0,5318 0,0836

17 18,4 0,6538 0,1296 0,5517 0,1021

18 18,6 0,6923 0,2222 0,5870 0,1053 19 19,1 0,7308 0,4537 0,6736 0,0572

20 19,3 0,7692 0,5463 0,7088 0,0604

21 21 0,8077 1,3333 0,9082 0,1005

22 21,2 0,8462 1,4259 0,9236 0,0774

23 21,4 0,8846 1,5185 0,9237 0,0391

24 21,5 0,9231 1,5648 0,9406 0,0175

25 22,3 0,9615 1,9352 0,9738 0,0123 Dado que DMáximo (0,1053) < DCrítico (0,2640) no se puede rechazar la H0, por lo que se puede suponer que Datos 2 proviene de una población con Distribución Normal con los parámetros especificados en la hipótesis nula, con un nivel de significancia de 0,05. A continuación se establecerán los intervalos de confianza tanto para le media como para la varianza de los Datos 2. Cabe destacar que éstos no han sido desarrollados para Datos 1, ya que los mismos no presentan una distribución Normal, supuesto básico para establecer dichos intervalos.

Tiempo de Reparación de Radiador

Intervalos de Confianza Para la Media (α = 0,05)

Datos 2

Límite Inferior Límite Superior

17,23 19,02

Tiempo de Reparación de Radiador

Intervalos de Confianza Para la Varianza (α = 0,05)

Datos 2


2,85 9,03 Radiadores 1 En primer lugar planteamos tanto la hipótesis nula como alternativa para Datos 1 bajo un nivel de significancia de 0,05.

H0: X ~ N (18,49; 19,4481)

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Ha: X ~ N (18,49; 19,4481) Luego se elaboran los cálculos a fin de obtener el valor DCrítico que permita evaluar la hipótesis.

Radiador 1

n 25 Media 18,49 Desvío 4,41 Nivel de significancia ( α) 0,05 D máximo 0,5114 D crítico 0,2640

i X i Froi z Frei Di 1 10 0,0385 -1,9252 0,0268 0,0117

2 12,2 0,0769 -1,4263 0,0763 0,0006

3 12,5 0,1154 -1,3583 0,0869 0,0285 4 13,1 0,1538 -1,2222 0,1112 0,0426

5 14,2 0,1923 -0,9728 0,1660 0,0263 6 15,3 0,2308 -0,7234 0,2357 0,0049

7 16 0,2692 -0,5646 0,2877 0,0185

8 16,3 0,3077 -0,4966 0,3085 0,0008 9 16,4 0,3462 -0,4739 0,3191 0,0271

10 16,7 0,3846 -0,4059 0,3409 0,0437 11 17,2 0,4231 -0,2925 0,3859 0,0372

12 17,5 0,4615 -0,2245 0,4129 0,0486 13 17,7 0,5000 -0,1791 0,4285 0,0715

14 18,4 0,5385 -0,0204 0,4920 0,0465

15 18,6 0,5769 0,0249 0,5079 0,0690 16 20,3 0,6154 0,4104 0,6590 0,0436

17 21,3 0,6538 0,6372 0,7389 0,0851 18 21,4 0,6923 0,6599 0,7453 0,0530

19 22,1 0,7308 0,8186 0,7938 0,0630

20 22,2 0,7692 0,8413 0,7995 0,0303 21 22,5 0,8077 0,9093 0,8185 0,0108

22 23,8 0,8462 1,2041 0,8849 0,0387 23 24,4 0,8846 1,3401 0,9098 0,0252

24 25,4 0,9231 1,5669 0,4117 0,5114 25 26,7 0,9615 1,8617 0,9685 0,0070

Dado que DMáximo (0,5114) > DCrítico (0,2640) rechaza la H0, por lo que no se puede suponer que Datos 1 proviene de una población con Distribución Normal con los parámetros especificados en la hipótesis nula, con un nivel de significancia de 0,05.

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Tan solo se puedo establecer los intervalos de confianza para Datos 2, lo que nos permite interpretar que los cambios han producido importantes mejoras en la distribución de esta variable. Aunque no permite comparación de variabilidad ya que la información correspondientes a Datos 1 no se puedo obtener puesto que sus datos no presentan Distribución Normal.

� Tiempos de reparación de EMBRAGUE Estadística descriptiva: Se hará un análisis descriptivo de los Datos 1 y Datos 2, con el fin de tener un vistazo general del comportamiento de los mismos.

EMBRAGUE

EMB. 1 EMB. 2


Media 30,23 17,96


Varianza (S2) 48,37 2,48


Mediana 30,40 17,70

Asimetría 0,02 -6,6E-04

Curtosis -1,18 -0,59

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Versión Estudiantil Versión Estudiantil Versión Estudiantil Versión Estudiantil



























14,18

21,58

28,98

36,39

43,79

Tie

mpo

s d

e re

para

ció

n [H

s]

Embrague (Comparación)

Tras haber realizado la estadística descriptiva, podemos observar que ambas muestras presentan grandes diferencias tanto en la media, como en la mediana, coeficiente de variación, varianza, etc. Prueba de Bondad χ2 para comprobar la Distribución Normal Se realizará la Prueba de Bondad χ

2, tanto a Datos 2 como a Datos 1 a fin de establecer si los mismos provienen de una población con Distribución Normal o no. Embrague 2 Para Datos 2 se plantea:

H0: X ~ N (17,96; 2,48)

Ha: X ~ N (17,96; 2,48)

Ajuste: Normal con estimación de parámetros: Media= 17,955 y varianza= 2,48254

Variable Clase LI LS MC FA FR E(FA) E(FR) Chi-Cuadrado p Emb. 2 1 14,5 15,78 15,14 4 0,1 3,35 8,00E-02 1,30E-01 Emb. 2 2 15,78 17,06 16,42 7 0,18 8,05 2,00E-01 0,26

Referencias: Amarillo: Emb. 1 Verde: Emb. 2

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Emb. 2 3 17,06 18,34 17,7 11 0,28 12,46 3,10E-01 0,43 Emb. 2 4 18,34 19,62 18,98 13 0,33 10,33 2,60E-01 1,13 Emb. 2 5 19,62 20,9 20,26 5 0,13 5,81 0,15 1,24 0,5378

Dado que el p-valor (0,5378) > Nivel de significancia (0,05), no se puede rechazar la H0, lo que significa que Datos 2 proviene de una población normal, con un nivel de significancia de 0,05. A continuación se establecerán los intervalos de confianza tanto para le media como para la varianza de los Datos 2.

Tiempo de Reparación de Embrague


Datos 2


17,45 18,46



Datos 2


1,67 4,09 Embrague 1 Para Datos 1 se plantea:

H0: X ~ N (30,234; 48,369)

Ha: X ~ N (30,234; 48,369)

Ajuste: Normal con estimación de parámetros: Media= 30,234 y varianza=48,36964

Variable Clase LI LS MC FA FR E(FA) E(FR) Chi-Cuadrado p Emb. 1 1 18,8 23,56 21,18 11 0,22 8,43 1,70E-01 7,80E-01 Emb. 1 2 23,56 28,32 25,94 11 0,22 11,15 2,20E-01 0,78 Emb. 1 3 28,32 33,08 30,7 9 0,18 13,36 2,70E-01 2,21 Emb. 1 4 33,08 37,84 35,46 11 0,22 10,21 2,00E-01 2,27 Emb. 1 5 37,84 42,6 40,22 8 0,16 6,85 0,14 2,46 0,292

Dado que el p-valor (0,292) > Nivel de significancia (0,05), no se puede rechazar la H0, lo que significa que Datos 1 proviene de una población normal, con un nivel de significancia de 0,05.

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A continuación se establecerán los intervalos de confianza tanto para le media como para la varianza de los Datos 2.



Datos 1


28,26 32,21



Datos 2


33,75 75,11 Prueba F (Comparación de Varianzas) Sean X1, X2, …, Xm ; e Y1, Y2, …, Yn dos muestras aleatorias independientes de tamaño m y n extraídas de poblaciones normales, con medias µmy µn y varianzas σ2

m y σ2

n respectivamente. Y sean S2m y S2

n las respectivas varianzas muestrales. Bajo estas condiciones se verifica que: Si σ2

m = σ2n entonces:

~ Fm-1;n-1 el cociente entre varianzas muestrales tiene distribución F.

Entonces planteamos lo siguiente:

H0: σ2emb1 = σ

2emb2

Ha: σ

2emb1 > σ

2emb2

Entonces, con α = 0,05: F = = 19,504

Fα; 49; 39 = 1,6775

Entonces, como F > Fα; 49; 39 se rechaza H0 . Como una conclusión final, tras haber realizado la Pruba F para comprar las varianzas de cada una de las muestras de esta variable, podemos decir que si bien ambas provienen de una población con distribución normal, luego de haber aplicados los cambios en la organización de la empresa ha disminuido notablemente la variabilidad en las reparaciones de este sector con un nivel de significancia del 0,05.

S2m

S2n

48,37 2,48

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� Tiempo de reparación de RODAMIENTOS AUXILIARES Estadística descriptiva: En primer lugar se hará un análisis descriptivo tanto de los Datos 1 como de los Datos 2 a fin de tener una visión general del comportamiento de los mismos.

RODAMIENTOS AUXILIARES

R. AUX 1 R. AUX 2


Media 20,915 12,50


Varianza (S2) 57,37 19,57


Mediana 20,30 11,40

Asimetría 0,19 -0,18

Curtosis -1,31 -0,92 Versión Estudiantil Versión Estudiantil Versión Estudiantil Versión Estudiantil Versión Estudiantil





























4,17

8,21

12,26

16,30

20,34

24,39

28,43

32,47

36,52

Tie

mpo

s de

rep

arac

ión

[Hs]

Rodamientos Auxil iares

Referencias: Amarillo: R. Aux 1 Verde: R. Aux 2

16

Luego de realizar la estadística descriptiva, podemos observar que las medias de ambas muestras difieren notablemente, al igual que sus respectivas medianas, desvíos y varianzas. Por otro lado, podemos ver que los coeficientes de variación son muy similares en ambas muestras. Rodamientos Auxiliares 2 Prueba de Kolmogorov – Smirnov para comprobar la Distribución Normal Con el fin de corroborar si tenemos una distribución normal para los rodamientos auxiliares 2, decidimos hacer una Prueba de Kolmogorov – Smirnov. En primer lugar planteamos tanto la hipótesis nula como alternativa para Datos 2 bajo un nivel de significancia de 0,05.

H0: X ~ N (12,50; 19,5364)

Ha: X ~ N (12,50; 19,5364)

Luego confeccionaremos una tabla que nos permita realizar los cálculos necesarios para obtener el valor crítico necesario para la presente prueba.

Rodamientos Auxiliares 2 n 15 Media 12,50 Desvío 4,42 Nivel de significancia ( α) 0,05 D máximo 0,0983 D crítico 0,3376

i X i Froi z Frei Di 1 4,9 0,0625 -1,7195 0,0428 0,0197 2 6,5 0,1250 -1,3575 0,0873 0,0377 3 6,6 0,1875 -1,3348 0,0910 0,0965 4 9,8 0,2500 -0,6109 0,2706 0,0206 5 10,9 0,3125 -0,3620 0,3587 0,0462 6 11,1 0,3750 -0,3167 0,3757 0,0007 7 11,3 0,4375 -0,2715 0,3930 0,0445 8 11,4 0,5000 -0,2489 0,4017 0,0983 9 13,4 0,5625 0,2036 0,5807 0,0182 10 15,1 0,6250 0,5882 0,7218 0,0968 11 15,9 0,6875 0,7692 0,7791 0,0916 12 16,4 0,7500 0,8824 0,8112 0,0612 13 16,8 0,8125 0,9729 0,8347 0,0222 14 17,9 0,8750 1,2217 0,8891 0,0141 15 19,5 0,9375 1,5837 0,9434 0,0059

17

Dado que DMáximo (0,0983 ) < DCrítico (0,3376) no se puede rechazar la H0, por lo que se puede suponer que Datos 2 proviene de una población con Distribución Normal con los parámetros indicados en la hipótesis, con un nivel de significancia de 0,05. A continuación se establecerán los intervalos de confianza tanto para le media como para la varianza de los Datos 2.

Tiempo de Reparación de Rodamientos Auxiliares


Datos 2


10,05 14,95

Tiempo de Reparación de Rodamientos Auxiliares


Datos 2


10,49 48,68 Rodamientos Auxiliares 1 Prueba de Bondad χ2 para comprobar la Distribución Normal Con el fin de corroborar si tenemos una distribución normal para los rodamientos auxiliares 1, decidimos hacer una Prueba χ2 (Chi-cuadrado) bajo las mismas hipótesis y con un nivel de significancia de 0,05.

H0: X ~ N (20,915; 57,373)

Ha: X ~ N (20,915; 57,373)

Los resultados fueron los siguientes: Ajuste a una Normal con media= 20,91500 y varianza= 57,37300

Variable Clase LI LS MC FA FR E(FA) E(FR) Chi-Cuadrado p R.Aux. 1 1 8,9 14,16 11,53 17 0,28 11,17 0,19 3,04 R.Aux. 1 2 14,16 19,42 16,79 11 0,18 14,13 0,24 3,73 R.Aux. 1 3 19,42 24,68 22,05 7 0,12 16,12 0,27 8,89 R.Aux. 1 4 24,68 29,94 27,31 16 0,27 11,57 0,19 10,59 R.Aux. 1 5 29,94 35,2 32,57 9 0,15 7 0,12 11,15 0,0249

18

Dado que el p-valor (0,0294) < Nivel de significancia (0,05), se rechaza la H0, lo que significa que Datos 1 no proviene de una población normal, con un nivel de significancia de 0,05. Tan solo se pudo establecer los intervalos de confianza para Datos 2. Podemos interpretar que los cambios han producido importantes mejoras en la distribución de esta variable. Aunque no permite comparación de variabilidad ya que la información correspondientes a Datos 1 no se puedo obtener puesto que sus datos no presentan Distribución Normal.

� Tiempo de reparación de MANGUERAS DE AGUA Estadística descriptiva: En primer lugar se hará un análisis descriptivo tanto de los Datos 1 como de los Datos 2 a fin de tener una visión general del comportamiento de los mismos.

MANGUERAS DE AGUA

MANG. 1 MANG. 2


Media 17,70 24,01


Varianza (S2) 13,45 22,84


Mediana 18,05 23,60

Asimetría -0,06 5,0E-03

Curtosis -0,64 -0,04

19




























9,31

12,99

16,68

20,36

24,04

27,73

31,41

35,09

Tiem

po

de

Re

par

ació

n [H

s]

Mang. de Agua (Comparación)

Luego de realizar la estadística descriptiva, podemos observar que las medias de ambas muestras difieren notablemente, al igual que sus respectivas medianas, desvíos y varianzas. Por otro lado, podemos ver que los coeficientes de variación son muy similares en ambas muestras. Prueba de Bondad χ2 para comprobar la Distribución Normal Se realizará la Prueba de Bondad χ

2, tanto a Datos 2 como a Datos 1 a fin de establecer si los mismos provienen de una población con Distribución Normal o no. Mangueras de Agua 2 Para Datos 2 se plantea:

H0: X ~ N (24,012; 22,838)

Ha: X ~ N (24,012; 22,838)

Ajuste: Normal con estimación de parámetros: Media=24,012 y varianza= 22,838

Variable Clase LI LS MC FA FR E(FA) E(FR) Chi-Cuadrado p Mang. 2 1 12,1 16,48 14,29 1 0,03 2,01 0,06 0,51 Mang. 2 2 16,48 20,86 18,67 9 0,26 6,91 0,2 1,15 Mang. 2 3 20,86 25,24 23,05 13 0,37 12,13 0,35 1,21

Referencias: Amarillo: Mang. 1 Verde: Mang. 2

20

Mang. 2 4 25,24 29,62 27,43 7 0,2 9,74 0,28 1,98 Mang. 2 5 29,62 34 31,81 5 0,14 4,21 0,12 2,13 0,3453

Dado que el p-valor (0,3453) > Nivel de significancia (0,05), no se puede rechazar la H0, lo que significa que Datos 2 no proviene de una población normal, con un nivel de significancia de 0,05. A continuación se establecerán los intervalos de confianza tanto para le media como para la varianza de los Datos 2.

Tiempo de Reparación de Mangueras de Agua


Datos 2


22,37 25,65



Datos 2


14,94 39,21 Mangueras de Agua 1 Para Datos 2 se plantea:

H0: X ~ N (17,695; 13,448)

Ha: X ~ N (17,695; 13,448)

Ajuste: Normal con estimación de parámetros: Media=17,695 y varianza=13,448

Variable Clase LI LS MC FA FR E(FA) E(FR) Chi-Cuadrado p Mang. 1 1 10,1 13,26 11,68 8 0,13 6,8 0,11 0,21 Mang. 1 2 13,26 16,42 14,84 15 0,25 15,05 0,25 0,21 Mang. 1 3 16,42 19,58 18 17 0,28 19,94 0,33 0,65 Mang. 1 4 19,58 22,74 21,16 16 0,27 13,15 0,22 1,26 Mang. 1 5 22,74 25,9 24,32 4 0,07 5,07 0,08 1,49 0,4748

Dado que el p-valor (0,4748) > Nivel de significancia (0,05), no se puede rechazar la H0, lo que significa que Datos 2 no proviene de una población normal, con un nivel de significancia de 0,05. A continuación se establecerán los intervalos de confianza tanto para le media como para la varianza de los Datos 2.

21



Datos 1


16,75 18,64



Datos 1


9,66 20,01 Prueba F (Comparación de Varianzas) Sean X1, X2, …, Xm ; e Y1, Y2, …, Yn dos muestras aleatorias independientes de tamaño m y n extraidas de poblaciones normales, con medias µmy µn y varianzas σ2

m y σ2



m = σ2n entonces:



H0: σ2emb1 = σ

2emb2

Ha: σ

2emb1 > σ

2emb2

Entonces, con α = 0,05: F = = 1,3024

Fα; 34; 59 = 1,6307

Entonces, como F < Fα; 34; 59 no se rechaza H0 . Como una conclusión final, tras haber realizado la Pruba F para comprar las varianzas de cada una de las muestras de esta variable, podemos decir que si bien ambas provienen de una población con distribución normal, luego de haber aplicados los cambios en la organización de la empresa, no ha disminuido la variabilidad en las reparaciones de este sector en un nivel de significancia del 0,05.

S2m

S2n

4,78 3,67

22

� Tiempo de reparación de TREN DELANTERO Estadística descriptiva: En primer lugar se hará un análisis descriptivo tanto de los Datos 1 como de los Datos 2 a fin de tener una visión general del comportamiento de los mismos.

TREN DELANTERO

TREN. 1 TREN. 2


Media 18,32 20,66


Varianza (S2) 30,40 4,13


Mediana 17,30 20,75


Curtosis 0,76 -0,53




























11,34

17,17

23,00

28,83

34,66

Tie

mpo

de

Re

para

ción

[Hs]

Tren Delantero (Comparación)

Referencias: Amarillo: Tren. 1 Verde: Tren. 2

23

Luego de realizar la estadística descriptiva, podemos observar que las medias de ambas muestras difieren notablemente, al igual que sus respectivas medianas, desvíos y varianzas. Por otro lado, podemos ver que los coeficientes de variación son muy similares en ambas muestras. Tren Delantero 2 Prueba de Kolmogorov – Smirnov para comprobar la Distribución Normal Con el fin de corroborar si tenemos una distribución normal para los tren delantero 2, decidimos hacer una Prueba de Kolmogorov – Smirnov. En primer lugar planteamos tanto la hipótesis nula como alternativa para Datos 2 bajo un nivel de significancia de 0,05.

H0: X ~ N (20,66; 4,13)

Ha: X ~ N (20,66; 4,13)


Tren Delantero 2 n 12 Media 20,66 Desvío 2,03 Nivel de significancia ( α) 0,05 D máximo 0,0867 D crítico 0,3754

i X i Froi z Frei Di 1 17,6 0,0769 -1,5074 0,0658 0,0111 2 18 0,1538 -1,3103 0,095 0,0588 3 18,6 0,2308 -1,0148 0,1551 0,0757 4 19,1 0,3077 -0,7685 0,221 0,0867 5 20,5 0,3846 -0,0788 0,4685 0,0839 6 20,7 0,4615 0,0197 0,5078 0,0463 7 20,8 0,5385 0,0690 0,5275 0,0110 8 21,6 0,6154 0,4631 0,6783 0,0629 9 21,8 0,6923 0,5616 0,7128 0,0205 10 22,2 0,7692 0,7586 0,7884 0,0192 11 22,6 0,8462 0,9557 0,8303 0,0159 12 24,4 0,9231 1,8424 0,9672 0,0441

Dado que DMáximo (0,0867 ) < DCrítico (0,3754) no se puede rechazar la H0, por lo que se puede suponer que Datos 2 proviene de una población con Distribución Normal con los parámetros indicados en la hipótesis, con un nivel de significancia de 0,05.

24


Tiempo de Reparación de Tren Delantero


Datos 2


19,37 21,95

Tiempo de Reparación de Tren Delantero


Datos 2


2,07 11,92 Tren Delantero 1 Prueba de Bondad χ2 para comprobar la Distribución Normal Con el fin de corroborar si tenemos una distribución normal para tren delantero 1, decidimos hacer una Prueba χ

2 (Chi-cuadrado) bajo las mismas hipótesis y con un nivel de significancia de 0,05.

H0: X ~ N (20,915; 57,373)

Ha: X ~ N (20,915; 57,373)

Los resultados fueron los siguientes: Ajuste a una Normal con media=18,32 y varianza=30,3951

Variable Clase LI LS MC FA FR E(FA) E(FR) Chi-Cuadrado p Tren 1 1 12,4 16,64 14,52 21 0,42 19,01 3,80E-01 2,10E-01 Tren 1 2 16,64 20,88 18,76 18 0,36 14,93 3,00E-01 0,84 Tren 1 3 20,88 25,12 23 3 0,06 10,62 2,10E-01 6,31 Tren 1 4 25,12 29,36 27,24 5 0,1 4,3 9,00E-02 6,42 Tren 1 5 29,36 33,6 31,48 3 0,06 1,13 0,02 9,51 0,0086

Dado que el p-valor (0,0086) < Nivel de significancia (0,05), se rechaza la H0, lo que significa que Datos 1 no proviene de una población normal, con un nivel de significancia de 0,05.

25

Tan solo se pudo establecer los intervalos de confianza para Datos 2. Podemos interpretar que los cambios han producido importantes mejoras en la distribución de esta variable. Aunque no permite comparación de variabilidad ya que la información correspondientes a Datos 1 no se puedo obtener puesto que sus datos no presentan Distribución Normal.

� Tiempo de reparación de RODAMIENTOS DE DISTRIBUCIÓN Estadística descriptiva: En primer lugar se hará un análisis descriptivo tanto de los Datos 1 como de los Datos 2 a fin de tener una visión general del comportamiento de los mismos.

RODAMIENTOS DE DISTRIBUCIÓN

DIST. 1 DIST. 2


Media 19,53 19,73


Varianza (S2) 4,30 1,11


Mediana 19,65 19,65


Curtosis 0,43 -0,51

26




























15,82

17,91

20,00

22,09

24,18

Tie

mpo

de

Re

par

aci

on

es [H

s]

Rodamientos de Dist. (Comparación)

Luego de realizar la estadística descriptiva, podemos observar que las medianas de ambas muestras son exactamente iguales, que sus respectivas medias se encuentran muy próximas. Por otro lado, podemos ver que tanto el desvío como sus varianzas han disminuido notablemente de la primera a la segunda muestra. El Coeficiente de variación de la segunda muestra es prácticamente la mitad del de la primera. Por último, podemos observar que la segunda muestra posee una asimetría prácticamente nula. Prueba de Kolmogorov – Smirnov para comprobar la Distribución Normal Se realizará la Prueba de Kolmogorov – Smirnov, tanto a Datos 2 como a Datos 1 a fin de establecer si los mismos provienen de una población con Distribución Normal o no. Rodamientos de Distribución 2 En primer lugar planteamos tanto la hipótesis nula como alternativa para Datos 2 bajo un nivel de significancia de 0,05.

H0: X ~ N (19,73; 1,11)

H0: X ~ N (19,73; 1,11)


27

Para Datos 2 se plantea:

Radiador 2 n 20 Media 19,73 Desvío 1,05 Nivel de significancia ( α) 0,05 D máximo 0,0995

D crítico 0,2940

i X i Froi z Frei Di 1 17,90 0,0476 -1,7429 0,0407 0,0069 2 18,00 0,0952 -1,6476 0,0497 0,0455 3 18,40 0,1429 -1,2667 0,1026 0,0402 4 18,70 0,1905 -0,9810 0,1633 0,0272 5 19,00 0,2381 -0,6952 0,2435 0,0054 6 19,20 0,2857 -0,5048 0,3069 0,0211 7 19,30 0,3333 -0,4095 0,3411 0,0077 8 19,30 0,3810 -0,4095 0,3411 0,0399 9 19,40 0,4286 -0,3143 0,3767 0,0519 10 19,40 0,4762 -0,3143 0,3767 0,0995 11 19,90 0,5238 0,1619 0,5643 0,0405 12 20,10 0,5714 0,3524 0,6377 0,0663 13 20,20 0,6190 0,4476 0,6728 0,0537 14 20,20 0,6667 0,4476 0,6728 0,0061 15 20,30 0,7143 0,5429 0,7064 0,0079 16 20,50 0,7619 0,7333 0,7683 0,0064 17 20,80 0,8095 1,0190 0,8459 0,0364 18 21,00 0,8571 1,2095 0,8868 0,0296 19 21,10 0,9048 1,3048 0,9040 0,0007 20 21,80 0,9524 1,9714 0,9757 0,0233

Dado que DMáximo (0,0995 ) < DCrítico (0,2940) no se puede rechazar la H0, por lo que se puede suponer que Datos 2 proviene de una población con Distribución Normal con los parámetros indicados en la hipótesis, con un nivel de significancia de 0,05. A continuación se establecerán los intervalos de confianza tanto para le media como para la varianza de los Datos 2.

Tiempo de Reparación de Rodamientos de Distribución


Datos 2


16,75 18,64

28



Datos 2


9,66 20,01 Rodamientos de Distribución 1 En primer lugar planteamos tanto la hipótesis nula como alternativa para Datos 1 bajo un nivel de significancia de 0,05.

H0: X ~ N (19,53; 2,07)

H0: X ~ N (19,53; 2,07)

Luego confeccionaremos una tabla que nos permita realizar los cálculos necesarios para obtener el valor crítico necesario para la presente prueba. Para Datos 1 se plantea:

Rodamientos de Distribución 1 n 12 Media 19,53 Desvío 2,07 Nivel de significancia ( α) 0,05 D máximo 0,0718 D crítico 0,3754

i X i Froi z Frei Di 1 16,20 0,0769 -1,6087 0,0538 0,0231 2 17,40 0,1538 -1,0290 0,1517 0,0021 3 17,70 0,2308 -0,8841 0,1883 0,0424 4 18,10 0,3077 -0,6908 0,2448 0,0629 5 18,80 0,3846 -0,3527 0,3622 0,0224 6 19,20 0,4615 -0,1594 0,4367 0,0249 7 20,10 0,5385 0,2754 0,6085 0,0700 8 20,40 0,6154 0,4203 0,6629 0,0475 9 20,50 0,6923 0,4686 0,6803 0,0120 10 20,60 0,7692 0,5169 0,6974 0,0718 11 21,60 0,8462 1,0000 0,8413 0,0048 12 23,80 0,9231 2,0628 0,9804 0,0574

Dado que DMáximo (0,0718 ) < DCrítico (0,3754) no se puede rechazar la H0, por lo que se puede suponer que Datos 1 proviene de una población con Distribución Normal con los parámetros indicados en la hipótesis, con un nivel de significancia de 0,05.

29




Datos 1


18,22 20,85



Datos 1


2,16 12,41 Prueba F (Comparación de Varianzas) Sean X1, X2, …, Xm ; e Y1, Y2, …, Yn dos muestras aleatorias independientes de tamaño m y n extraidas de poblaciones normales, con medias µmy µn y varianzas σ2

m y σ2



m = σ2n entonces:



H0: σ2emb1 = σ

2emb2

Ha: σ

2emb1 > σ

2emb2

Entonces, con α = 0,05: F = = 3,8738

Fα; 11; 19 = 2,345

Entonces, como F > Fα; 34; 59 se rechaza H0 . Como una conclusión final, tras haber realizado la Pruba F para comprar las varianzas de cada una de las muestras de esta variable, podemos decir que si bien ambas provienen de una población con distribución normal, luego de haber aplicados los cambios en la organización de la empresa ha disminuido notablemente la variabilidad en las reparaciones de este sector con un nivel de significancia del 0,05.

S2m

S2n

4,30 1,11

30

• CONCLUSION

Luego de la elaboración del presente informe podemos decir que

con un nivel de significancia (0,05), las medidas adoptadas han

producido el cambio deseado hacia un estado de control. Esto se

verifica observando que luego de, ejecutadas las modificaciones, todos

las variables se han distribuido normalmente cada uno con sus

determinados parámetros.

En conclusión, se determinaron límites de confianza para cada

variable, dentro del cual se tiene un control sobre las mismas,

permitiendo de esta manera conocer el intervalo de valores donde el

comportamiento de la variable esta controlado.

31

• BIBLIOGRAFIA

� DEVORE, J. [2005] “PROBABILIDAD Y ESTADISTICAS PARA

INGENIERIA Y CIENCIAS” 6 a ED. THOMPSON. MEXICO.

� NAVIDI, W. [2006] “ESTADISTICA PARA INGENIEROS Y

CIENTIFICOS”. McGRAW -GIL. MEXICO.

� JOHNSON, R. Y KUBY P. [2003] “ESTADISTICA ELEMENTAL .

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� J. SUSAN MILTON; JESSE C. ARNOLD. “PROBABILIDAD Y

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CIENCIAS COMPUTACIONALES”. 4 a ED. McGRAW-GIL.

INTERAMERICANA.

Probabilidad y estadística, entrega 3, TP Nº3

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