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CENTRO DE BACHILLERATO TECNOLÓGICO

INDUSTRIAL Y DE SERVICIOS No. 50

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

abril 1 2015

Se sugiere al aspirante que trabaje arduamente en el desarrollo de las actividades de aprendizaje, busque en otras fuentes de información, además del presente material, busque la retroalimentación del profesor y recuerda que para llegar a la meta necesitaras constancia y dedicación al 100% a tus estudios de bachillerato.

CUADERNILLO DE TRABAJO

Cbtis No. 50 Probabilidad y estadística (Matemáticas aplicadas)

1

PROBABILIDAD

Competencia: Conocer y aplicar los axiomas y teoremas de probabilidad en la

solución de problemas.

INTRODUCCIÓN

Sin tener en cuenta la profesión que se haya elegido, algo sí es seguro, en algún

momento se han de tomar decisiones. Con mucha frecuencia esto tendrá que

hacerse sin conocer todas las consecuencias de tales decisiones. Por ejemplo,

los inversionistas deben decidir sobre la conveniencia de invertir en una acción

en particular, con base en sus expectativas sobre rendimientos futuros. Los

empresarios al decidir comercializar un producto enfrentan la incertidumbre

sobre la posibilidad de éxito. En cada caso, como sucede con la mayoría de los

asuntos comerciales, se han de tomar decisiones sin toda la información

pertinente.

Todo esfuerzo por reducir el nivel de incertidumbre en el proceso de toma de

decisiones incrementa enormemente la probabilidad de que se tomen

decisiones más inteligentes y bien informadas. El propósito de esta unidad es

ilustrar las formas en las cuales puede medirse la posibilidad o probabilidad de

ocurrencia de eventos futuros.

2.1 TÉCNICAS DE CONTEO

En este tema se presentarán cuatro métodos, combinaciones, permutaciones,

escogencia múltiple y multiplicación, para determinar sin enumeración directa

el número de resultados posibles de un experimento particular o el número de

elementos de un conjunto particular.

2.1.1 Principio fundamental del conteo

Si un evento puede realizarse de 1n maneras diferentes, y si, continuando el

procedimiento, un segundo evento puede realizarse de 2n maneras diferentes,

y si, después de efectuados, un tercer evento puede realizarse de 3n maneras

diferentes, y así sucesivamente, entonces el número de maneras en que los

eventos pueden realizarse en el orden indicado es el producto:

321 nnn (II.1)

Ejemplo 2.1 Supongamos que una placa de automóvil consta de dos letras

distintas seguidas de tres dígitos de los cuales el primero no es cero.

¿Cuántas placas diferentes pueden grabarse?


2

Solución: La primer letra puede colocarse de 26 maneras diferentes

(supuesto el alfabeto de 26 letras), la segunda letra de 25 maneras

diferentes (puesto que la letra grabada en la primer posición no puede

escogerse como segunda letra), para el primer dígito, para el primer

dígito hay nueve números, es decir nueve maneras, y para cada uno de

los otros dos dígitos 10 maneras. Por lo tanto pueden grabarse

000585101092526 , ; por tanto se podrían formar 585,000 placas

diferentes.

2.1.2 Permutaciones

Si un orden es suficiente para constituir otro subconjunto de r objetos tomados

de un conjunto de n objetos entonces se trata de permutaciones. Una

permutación de los n objetos tomados r a la vez se define como

!rn

!nPrn

(II.2)

Donde n! se lee “n factorial” y significa el producto de todos los números de 1 a

n. Por tanto 120123455 ! . Por definición 10 ! .

Ejemplo 2.1 Hallar el número de palabras de tres letras diferentes que pueden

formarse con las letras: a, b, c, d, e, f.

Solución: Representemos las palabras de tres letras por tres cajas:

Ahora la primera letra puede escogerse de seis formas diferentes; en

seguida, la segunda letra se puede escoger de cinco formas diferentes; y

después de esto, la última letra se puede escoger de cuatro formas

diferentes. Escribamos cada número en su correspondiente caja como

sigue:

Aplicando la expresión II.2 se tiene:

120

6

720

36

636

!

!P


3

Por tanto se pueden formar 120 posibles palabras de tres letras sin

repetición.

2.1.3 Escogencia Múltiple

Muchos problemas del análisis combinatorio y, en particular, de probabilidad se

relacionan con la escogencia de una bola tomada de una urna que contiene

n bolas (o una carta de una baraja o una persona de una población). Cuando

escogemos una bola tras otra de una urna, r veces, definimos esta escogencia

como una prueba ordenada de tamaño r. Se consideran dos casos:

1. Pruebas con sustitución. En este caso cada bola escogida se regresa a la

urna antes de tomar la siguiente. Ahora puesto que hay n maneras

diferentes para escoger cada bola, según el principio fundamental del

conteo hay r

veces r

nnnnn (II.3)

pruebas ordenadas diferentes de tamaño r con sustitución.

2. Pruebas sin sustitución. Aquí la bola no se devuelve a la urna antes de

escoger la siguiente. Así no hay repeticiones en la prueba ordenada. O

sea que, una prueba ordenada de tamaño r sin sustitución es

simplemente una permutación r de objetos de la urna. Por consiguiente

hay

!rn

!nPrn

(II.4)

pruebas ordenadas diferentes de tamaño r sin sustitución tomadas de un

grupo de n objetos.

Ejemplo 2.2 ¿De cuantas maneras se pueden escoger tres cartas sucesivas de

una baraja de 52 cartas, (1) con sustitución, (2) sin sustitución?

Solución: (1) si cada carta se regresa al naipe antes de escoger la

siguiente, entonces cada carta puede escogerse de 52 maneras

diferentes. Entonces hay 60814052525252 3 , pruebas ordenadas

diferentes de tamaño tres con sustitución. (2) Por otra parte si no hay

sustitución, entonces la primera carta puede escogerse de 52 maneras

diferentes, la segunda carta tiene 51 maneras diferentes y la última carta

tiene 50 maneras diferentes, por tanto hay 600132352 ,P pruebas

ordenadas diferentes de tamaño tres sin sustitución.


4

2.1.4 Combinaciones

Supongamos que tenemos una colección de n objetos. Una combinación de

estos n objetos tomados r a la vez, o una combinación r, es un subconjunto de r

elementos. En otras palabras, una combinación r es una selección de r o de n

objetos donde el orden no se tiene en cuenta.

!rn!r

!nCrn

(II.5)

Ejemplo 2.3 Considere que dados 10 productos, ¿cuántos subconjuntos de tres

productos podrían empacarse juntos y ofrecerse a los clientes? Si se considera

que el orden en el cual se ofrecen los tres productos no influirá en los clientes.

Solución: El número de combinaciones de 10 elementos tomados 3 a la vez es

120310 C . Por tanto hay 120 paquetes de tres artículos que se pueden ofrece a

los clientes.

2.2 ENFOQUES DE PROBABILIDAD

La probabilidad es la posibilidad numérica de que ocurra un evento. La

probabilidad de un evento es medida por valores comprendidos entre 0 y 1.

Entre mayor sea la probabilidad de que ocurra un evento, su probabilidad

asignada estará más próxima a 1, mientras que la probabilidad de una

imposibilidad es 0, ésta se expresa como:

10 EP (II.6)

El proceso que produce un evento es denominado experimento. Un

experimento es toda acción bien definida que conlleva a un resultado único

bien definido.

El conjunto de todos los posibles resultados para un experimento es el espacio

muestral representado por:

nx,,x,xS 21 (II.7)

La teoría de la probabilidad ocupa un lugar importante en muchos asuntos de

negocios. Las pólizas de seguros de vida dependen de las tablas de mortalidad,

las cuales a su vez se basan en probabilidades de muerte en edades

específicas. Otras tasas de seguros tales como seguro de bienes raíces y de

automóviles se determinan de manera similar. La probabilidad también juega

un papel importante en la estimación del número de unidades defectuosas en


5

un proceso de fabricación, la probabilidad de recibir pagos sobre cuentas por

cobrar y las ventas potenciales de un nuevo producto.

Existen sólo tres formas generalmente aceptadas para enfocar: (1) modelo de frecuencia relativa (o a posteriori), (2) modelo subjetivo y (3) modelo clásico (o a

priori).

El modelo de frecuencia relativa utiliza datos que se han observado

empíricamente, registra la frecuencia con que ha ocurrido algún evento en el

pasado y estima la probabilidad de que el evento ocurra nuevamente con

base en estos datos históricos. La probabilidad de un evento con base al

modelo de frecuencia relativa se determina mediante:

nesobservacio de totalNúmero

pasado el en evento el ocurrido ha que veces de NúmeroEP (II.8)

El modelo subjetivo requiere establecer la probabilidad de algún evento con

base en la mejor evidencia disponible. En muchos casos esto puede ser apenas

una conjetura hecha sobre cierta base. El modelo subjetivo se utiliza cuando se

desea asignar probabilidad a un evento que nunca ha ocurrido. Por ejemplo la

probabilidad de que una mujer sea elegida como presidente de México,

debido a que no hay datos sobre los cuales confiar, deben analizar las

opiniones y creencias para obtener una estimación subjetiva.

De los tres métodos para medir la probabilidad, el modelo clásico es el que se

relaciona con mayor frecuencia con las apuestas y juegos de azar. La

probabilidad clásica de un evento E se determina mediante:

resultados posibles de totalNúmero

evento un ocurrir puede que lasen formas de NúmeroEP (II.9)

2.3 Axiomas de Probabilidad

2.3.1 Uniones, intersecciones y relaciones entre eventos

Un conjunto es una colección de objetos bien definida. Se asume que se han

identificado dos conjuntos A y B. Cada uno contiene numerosos elementos. Un

diagrama de Venn es una herramienta útil para mostrar la relación entre

conjuntos.

Intersección entre A y B BA : es el conjunto de todos los elementos que están

tanto en A como en B. Los eventos A y B se les denomina eventos no disyuntos.

La figura 2.1(a) muestra el correspondiente diagrama de Venn.


6

Unión de A y B BA : es el conjunto de todos los elementos que están en A o

en B. La figura 2.1(b) muestra el diagrama de Venn de la unión de dos eventos.

Figura II.1 Diagrama de Venn: (a) A intersección B y (b) A unión B

Se dice que dos eventos son mutuamente excluyentes si la ocurrencia de uno

prohíbe la ocurrencia del otro.

Los eventos son independientes, si la ocurrencia de uno no tiene nada que ver

con la ocurrencia del otro.

Cuando se saca de un conjunto finito, dos eventos son independientes si y sólo

si se realiza el reemplazo. Sin embargo, si el primer elemento no se reemplaza

antes de sacar el segundo elemento, los dos eventos son dependientes.

2.3.2 Tablas de contingencia y tablas de probabilidad

Una tabla de contingencia permite examinar o comparar dos variables. De los

500 empleados de King Dynamics, Inc. 170 están clasificados como miembros

de personal administrativo, 290 como trabajadores de línea y 40 son auxiliares.

La tabla compara el género de los trabajadores y la clasificación que tienen

éstos.

Tabla II.1 Tabla de contingencia para King Dynamics

Clasificación de los empleados

Género

Administrativo

Línea

Auxiliar

Total

Hombres

120 150 30 300

Mujeres

50 140 10 200

Total 170 290 40 500

Una tabla de probabilidad puede crearse dividiendo cada una de las entradas

de la tabla anterior entre el total, 500 trabajadores. Los resultados se ven en la

tabla.


7

Tabla II.2 Tabla de probabilidad para King Dynamics

Clasificación de los empleados

Género Administrativo S Línea L Auxiliar A Total

Hombres H 240500120 . 300

500150 . 060

50030 . 600

500300 .

Mujeres M 10050050 . 280

500140 . 020

50010 . 400

500200 .

Total 340500170 . 580

500290 . 080

50040 . 001

500500 .

Los valores en las márgenes de la tabla se llaman probabilidades marginales.

Por ejemplo, la probabilidad de seleccionar un trabajador de línea de manera

aleatoria es

580.LP

y la probabilidad de seleccionar un hombre es

600.MP

Las probabilidades conjuntas en las celdas de la estructura principal de la tabla

muestran la probabilidad de la intersección entre dos eventos. Por ejemplo, la

probabilidad de seleccionar un trabajador que sea parte del personal

administrativo y que sea hombre, es

240.SHP

Una probabilidad marginal se encuentra como la suma de las probabilidades

conjuntas correspondientes. Por tanto

600060300240 ....AHPLHPSHPHP

2.3.3 Probabilidad condicional

Es la probabilidad de que el evento A ocurra, dado que el evento B ya ocurrió.

Se denota como B|AP y se lee la “probabilidad de A dado B”. La formula

general para calcular la probabilidad condicional, es la siguiente:

BP

BAPB|AP

(II.10)

Para ilustrar la aplicación de la expresión III.10, retomemos la tabla de

probabilidades de King Dynamics, se puede observar que la probabilidad de

que un trabajador tomado aleatoriamente sea hombre es


8

600.HP

sin embargo, si se desea calcular la probabilidad de que el trabajador sea

hombre dado que es un miembro del personal administrativo S|HP se puede

hallar así

710340

240.

.

.

SP

SHPS|HP

2.3.4 Las dos reglas de la probabilidad

Para calcular la probabilidad de eventos más complejos utilizaremos la regla de

la multiplicación y la regla de la adición. Cada una se utiliza para propósitos

específicos.

2.3.4.1 Regla de la multiplicación

El propósito de la regla de la multiplicación es determinar la probabilidad del

evento conjunto BAP . Es decir, que para encontrar la probabilidad de A y B,

simplemente se multiplican sus respectivas probabilidades. El procedimiento

exacto depende de si A y B son dependientes o independientes.

Los eventos A y B son independientes si B|APAP . Es decir, la probabilidad

de A es la misma bien se considere o no el evento B. De igual forma, si A y B son

independientes, si A|BPBP

Para eventos independientes la probabilidad de dos eventos se vuelve:

BPAPBAP (II.11)

Si los eventos son dependientes, entonces, por definición, se debe considerar el

primer evento al determinar la probabilidad del segundo. Es decir, la

probabilidad del evento B depende de la condición que A ya haya ocurrido. Se

necesita del principio de probabilidad condicional. La probabilidad de los

eventos conjuntos A y B:

A|BPAPBAP (II.12)

Retornando a la tabla de probabilidad para King Dynamics, tabla II.2, se

observa que la probabilidad marginal de la segunda fila muestra claramente

que

40.MP

sin considerar si el trabajador es miembro administrativo, línea o auxiliar. Sin

embargo, la probabilidad conjunta de que sea mujer y miembro de línea

280.LMP


9

También se puede calcular esta probabilidad utilizando la expresión II.12

M|LPMPLMP

el último término es probabilidad condicional, la cual se determinó

anteriormente como

7040

280.

.

.

MP

MLPM|LP

entonces

2807040 ...M|LPMPLMP

Aunque el uso de una tabla II.2 puede simplificar el cálculo de probabilidad,

existen ejemplos en los cuales es muy difícil la creación de una tabla, por lo

tanto se requiere el uso de las fórmulas.

2.3.4.2 Regla de la adición

La regla de la adición se utiliza para determinar la probabilidad del evento A o

B, BAP .

La probabilidad de que ocurra el evento A o B para eventos que no son

mutuamente excluyentes, si ambos pueden ocurrir al mismo tiempo, se

determina por medio de la siguiente expresión:

BAPBPAPBAP (II.13)

En el ejemplo de King Dynamics, la probabilidad de que un empleado sea

trabajador hombre o un trabajador de línea es:

7028058040 ....LMPLPMPLMP

La probabilidad del evento A o del evento B cuando los eventos son

mutuamente excluyentes se determina por:

BPAPBAP (II.14)

De la tabla II.2 de King Dynamics, los eventos de que un empleado sea

trabajador hombre o un trabajador mujer son mutuamente excluyentes.


10

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 1. CUESTIONARIO

Calificación:

1. Utiliza la palabra, algunas se repiten, o enunciado que complete el espacio en

blanco:

acción

cero

conjunto

enfoque clásico

evento

experimento

frecuencia

relativa

probabilidad

resultado

resultados

subjetivo

uno

datos

empíricamente

enfoque

frecuencia

muestral

número de formas en las

que puede ocurrir un

evento

número de veces que ha

ocurrido el evento en el

pasado

número total de

observaciones

número total de posibles

resultados

pasado

afecta

condiconal

dependientes

excluyentes

independientes

nada

no

ocurran

ocurrencia

otro

Históricamente se han desarrollado tres enfoques conceptuales para definir la probabilidad y

determinar valores de probabilidad:

__________________________________________

__________________________________________

__________________________________________

La _________________ es la posibilidad numérica de que ocurra un evento. La ______________ de

un evento es medida por valores comprendidos entre ____ y _____.

El proceso que produce un ____________ es denominado ____________. Un experimento es toda

_________ bien definida que conlleva a un ____________ único bien definido.


11

El _____________ de todos los posibles ______________ para un _____________ es el espacio

___________ representado por: 1 2, , , ns x x x

El ____________ de ____________ relativa utiliza datos que se han observado ______________,

registra la frecuencia con que ha ocurrido algún _____________ en el _____________ y estima la

probabilidad de que el ________________ ocurra nuevamente con base en estos ____________

históricos. La probabilidad de un evento con base al modelo de _________________ relativa se

determina mediante:

( )P E

De los tres métodos para medir la probabilidad, el modelo clásico es el que se relaciona con

mayor frecuencia con las apuestas y juegos de azar. La probabilidad clásica de un evento E se

determina mediante:

( )P E

Se dice que dos o más eventos son mutuamente _________________ si la _________________ de

uno prohíbe la ocurrencia del _________________. Esto es, si no pueden ocurrir al mismo tiempo.

Dos o más eventos son ___________ excluyentes cuando es posible que _________________ al

mismo tiempo.

Los eventos son _________________, si la ocurrencia de uno _____ tiene _________________ que ver

con la _________________ del otro. Dos eventos son _________________ cuando la ocurrencia o no

ocurrencia de un evento _________________ a la probabilidad de _________________ del otro

evento.


12

Cuando dos eventos son dependientes, se emplea el concepto de probabilidad

_________________ para designar la probabilidad de ocurrencia del evento relacionado. La

expresión |P B A indica la probabilidad de que ocurra el evento B dado que ya ha ocurrido

el evento A. La formula general para calcular la probabilidad condicional, es la siguiente:

|P

PP

Probabilidad de eventos

2. Para cada una de las siguientes situaciones, indique cuál de los enfoques de la

probabilidad (el clásico, el de frecuencias relativas o el subjetivo) sería más útil para

determinar el valor de probabilidad requerido.

a. La probabilidad de que haya un golpe de estado el próximo año.

______________________________

b. La probabilidad de obtener ya sea un 1 o un 6 en un solo lanzamiento de un

dado de seis caras. _________________________________

c. La probabilidad de que una persona aleatoriamente elegida entre las que

visitan una gran tienda departamental realice una compra en esa tienda.

_________________________________________

3. Una bolsa contiene 4 canicas rojas y 3 azules. Si se saca una canica de la bolsa al

azar, ¿cuál es la probabilidad de sacar una canica azul?

4. Se escoge aleatoriamente una persona vestida de rojo de un grupo de 5 personas

que visten de rojo y 4 personas que visten de azul.


13

5. Se escoge una pelota de tenis verde de una bolsa que contiene 4 pelotas verdes, 7

amarillas y 5 blancas.

6. Determine el valor de probabilidad aplicable a cada una de las siguientes

situaciones.

a. La probabilidad de accidentes industriales en una industria en particular en un

plazo anual. Una muestra aleatoria de 10 empresas, las cuales emplean a un

total de 8000 personas, reportó la ocurrencia de 400 accidentes industriales

durante un periodo reciente de 12 meses.

b. La probabilidad de acertar a un número ganador en un juego de ruleta. Los

números de la rueda incluyen un 0, 00 y del 1 al 36.

c. La probabilidad de que un establecimiento de franquicia de comida rápida sea

financieramente exitoso. El probable inversionista obtiene datos de otras

unidades del sistema de franquicias, estudia el desarrollo de la zona residencial

en la que estará ubicado el establecimiento y considera el volumen de ventas

requerido para garantizar el éxito financiero con base en la inversión de capital

requerida y los costos operativos. En general, el inversionista juzga que hay un

80% de posibilidades de que el establecimiento sea financieramente exitoso y

20% de que no lo sea.

7. La siguiente tabla muestra el número de computadoras vendidas diariamente por

una tienda minorista

Número de

computadoras

vendidas

Número de días Probabilidad

0 12

1 43

2 18

3 20

4 25


14

Determine la probabilidad de que el número de computadoras que se vendan el día de hoy

sea:

a. 2

b. Menos de 3

c. Más de 1

d. Por lo menos 1

8. Un importador de cristal irlandés de Nueva York recibe envíos de cajas de tres

artículos. La siguiente tabla muestra los datos para las últimas 100 cajas indicaron el

número de artículos dañados que había en cada caja.

Número de defectos Número de cajas Probabilidad

0

40

1

27

2

21

3

12

Determine la probabilidad de que el número de artículos defectuosos sea:

a. 2

b. Menos de 3

c. Más de 1

d. Ninguno


15

Probabilidad con técnicas de conteo

Si un orden es suficiente para constituir otro subconjunto de r objetos tomados de un conjunto

de n objetos entonces se trata de permutaciones. Una permutación de los n objetos tomados r

a la vez se define como

!

!n r

nP

n r

9. Calcula las permutaciones para los siguientes valores de n y r:

6 3

4 2

10 4

n r

n r

n r

Supongamos que tenemos una colección de n objetos. Una combinación de estos n objetos

tomados r a la vez, o una combinación r, es un subconjunto de r elementos. En otras palabras,

una combinación r es una selección de r o de n objetos donde el orden no se tiene en cuenta.

!

! !n r

nC

r n r

10. Calcula las combinaciones para los siguientes valores de n y r:

6 3

4 2

10 4

n r

n r

n r


16

11. Un caso reciente en la corte del condado de Madison, Kentucky, sobre las

prácticas de contratación de una compañía de teléfonos local. La compañía

planeó contratar 3 nuevos empleados. Había 8 candidatos para los cargos, 6 de los

cuales eran hombres. Los 3 que fueron contratados eran hombres. Un cargo por

discriminación de sexo se impuso contra la compañía. ¿Cómo decidiría usted?

12. Diez unidades de producción se seleccionan de una línea de producción. Tres de

estas 10 son defectuosas. Si deben sacar 5 de las 10, ¿cuál es la probabilidad de

que 2 sean defectuosas?

13. Un representante de ventas debe visitar seis ciudades durante un viaje.

a. Si en la zona geográfica por visitar hay 10 ciudades, ¿cuántas diferentes

agrupaciones de seis ciudades susceptibles de ser visitadas por el representante

de ventas hay?

b. Supongamos que en la zona geográfica que visitará el representante de ventas

hay 10 ciudades y, además, que la secuencia en la que serán programadas las

visitas a la seis ciudades elegidas también es de importancia. ¿Cuántas

secuencias son posibles para las seis ciudades asignadas?

14. De las ciudades mencionadas en el problema anterior, supongamos que seis de

ellas son en realidad mercados primarios del producto en cuestión mientras que las

otras cuatro son mercados secundarios. Si el vendedor elige aleatoriamente las seis

ciudades por visitar, ¿cuál es la probabilidad de que:

a. Cuatro de ellas sean mercados primarios y dos mercados secundarios

b. Las seis resulten ser mercados primarios


17

15. Los cinco individuos que componen la dirección de una pequeña empresa

manufacturera serán sentados juntos en un banquete. Determine la probabilidad

de que el grupo de tres directivos elegido a partir de los cinco incluya a:

a. Un directivo en particular

b. Dos directivos en particular

c. Tres directivos en particular

Tablas de probabilidades conjuntas

16. La revista Forbes (febrero de 1997) clasificó las 120 ciudades de estados unidos de

acuerdo con la calidad de vida, con base en parte del porcentaje de empleados

que tenían título universitario. Los resultados se ven en la siguiente tabla de

contingencia parcial, en donde A es menos del 15% con título universitario, B es del

15 al 20% con título universitario y C es más del 20% con título universitario. Realice

una tabla de probabilidad y responda las preguntas que se presentan en la

siguiente tabla.

Tabla 1. Clasificación de la revista Forbes para las 120 ciudades de EU

Calidad de vida

Porcentaje

con título

universitario

Pobre (P) Bueno (G) Excelente (E) Total

A 10 20 40

B 20

C 10 20

Total 20 60


18

Tabla 2. Tabla de probabilidad para las 120 ciudades de EU

Porcentaje

con título

universitario

Pobre (P) Bueno (G) Excelente (E) Total

A

B

C

Total

Los valores en las márgenes de la tabla se llaman _______________________. La probabilidad de

seleccionar una ciudad con menos del 15% de empleados con título universitario es:

( ) ________P A

y la probabilidad de seleccionar un empleado con nivel de vida excelente es:

( ) ________P E

Las probabilidades conjuntas en las celdas de la estructura principal de la tabla muestran la

probabilidad de la ________________ entre dos eventos. Por ejemplo, la probabilidad de

seleccionar una ciudad con calidad de vida pobre y del 15 al 20% de sus empleados con titulo

universitario, es:

( ) __________ P P B

Mientras que la notación ( )P E C se lee como _______________________________

_____________________________________________________________________________

y da:

( ) : _______________P E C

Una probabilidad marginal se encuentra como la suma de las probabilidades conjuntas

correspondientes.


19

Probabilidad condicional

Es la probabilidad de que el evento A ocurra, dado que el evento B ya ocurrió. Para ilustrar la

aplicación de la probabilidad condicional, retomemos la tabla 2 de probabilidades, se puede

observar que la probabilidad de que una ciudad tomada aleatoriamente tenga más del 20%

de sus empleados con titulo universitario es:

P C

Sin embargo, si se desea calcular la probabilidad de que la ciudad cuente con más del 20% de

sus empleados con titulo universitario dado que su nivel de vida es excelente se puede hallar

así:

| P C E

Regla de la multiplicación

El propósito de la regla de la multiplicación es determinar la probabilidad del evento conjunto

P A B . Es decir, que para encontrar la probabilidad de A y B, simplemente se multiplican

sus respectivas probabilidades. El procedimiento exacto depende de si A y B son dependientes

o independientes.

Los eventos A y B son independientes si P A P A B . Es decir, la probabilidad de A es la

misma bien se considere o no el evento B. De igual forma, si A y B son independientes, si

P B P B A

Para eventos independientes la probabilidad de dos eventos se vuelve:


20

P A B P A P B

Si los eventos son dependientes, entonces, por definición, se debe considerar el primer evento al

determinar la probabilidad del segundo. Es decir, la probabilidad del evento B depende de la

condición que A ya haya ocurrido. Se necesita del principio de probabilidad condicional. La

probabilidad de los eventos conjuntos A y B:

|P A B P A P B A

Regla de la adición

La regla de la adición se utiliza para determinar la probabilidad del evento A o B, P A B .

La probabilidad de que ocurra el evento A o B para eventos que no son mutuamente

excluyentes, si ambos pueden ocurrir al mismo tiempo, se determina por medio de la siguiente

expresión:

P A B P P P A B

En el ejemplo de Forbes, la probabilidad de que una ciudad tenga un nivel de vida bueno o

que más del 20% de sus empleados tengan titulo universitarios es:

P P P P

La probabilidad del evento A o del evento B cuando los eventos son mutuamente excluyentes

se determina por:

P A B P P

De la tabla 2 de Forbes, los eventos de que una ciudad tenga una calidad de vida pobre o una

calidad de vida excelente son mutuamente excluyentes.


21

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

Competencia: Conocer e identificar las diferentes funciones de distribución de

probabilidad, para su aplicación en la solución de problemas.

INTRODUCCIÓN

Una variable aleatoria es una variable cuyo valor es el resultado de un evento

aleatorio. Se supone que se lanza una moneda tres veces y se anota el número de

caras que se obtienen. Los posibles resultados son 0 caras, 1 cara, 2 caras, o 3 caras. La

variable aleatoria es el número de caras que se obtienen, y los posibles resultados son

los valores de la variable aleatoria. Como segundo ejemplo, los pesos de envío del

agua mineral en contenedores oscilaban aleatoriamente entre 10 a 25 libras. Los pesos

reales de los contenedores, en libras, son los valores de la variable aleatoria "peso".

Tal y como lo sugieren estos dos ejemplos, las variables aleatorias pueden ser discretas

o continuas. Una variable aleatoria discreta puede asumir sólo ciertos valores, con

frecuencia números enteros, y resulta principalmente del conteo. El número de caras

en el experimento del lanzamiento de la moneda es un ejemplo de una variable

aleatoria discreta. Los valores de la variable aleatoria se restringen sólo a ciertos

números: 0, 1, 2, y 3. El resultado del lanzamiento de un dado, el número de camiones

que llegan por hora al puerto de carga, y el número de clientes que están en fila para

sacar sus libros favoritos, son otros ejemplos de variables aleatorias discretas.

Una variable aleatoria continua resulta principalmente de la medición y puede tomar

cualquier valor, al menos dentro de un rango dado. Los pesos del agua mineral es un

ejemplo, debido a que los contenedores pueden tomar cualquier valor entre 10 y 25

libras. Otros ejemplos de variables aleatorias continuas incluyen la estatura de los

clientes en una tienda de ropa, los ingresos de los empleados en un centro comercial

local y el tiempo transcurrido entre la llegada de cada cliente a la biblioteca. En cada

caso, la variable aleatoria puede medirse con cualquier valor, incluyendo fracciones

de la unidad. Aunque las unidades monetarias no pueden dividirse en un número

continuo o infinito de subdivisiones (el dólar puede subdividirse sólo 100 veces),

comúnmente se tratan como distribuciones continuas de probabilidad.


22

Una distribución de probabilidad es un despliegue de todos los posibles resultados de

un experimento junto con las probabilidades de cada resultado. La probabilidad de

que la variable aleatoria 𝑋 tome algún valor específico, 𝑥., se escribe 𝑃(𝑋 = 𝑥). El valor

esperado de una variable aleatoria discreta es la media ponderada de todos los

posibles resultados en los cuales los pesos son las probabilidades respectivas de tales

resultados.

3.1 Distribuciones de probabilidad binomial

En estadística, la distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que mide el número de éxitos en una secuencia de n ensayos independientes de Bernoulli con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos.

En las empresas se tienen situaciones donde se espera que ocurra o no un evento específico. Éste puede ser de éxito o fracaso.

La distribución binomial se utiliza en situaciones cuya solución tiene dos posibles resultados. Ejemplos:

Al nacer un bebé puede ser varón o mujer.

En el deporte un equipo puede ganar o perder.

En pruebas de cierto o falso sólo hay dos alternativas. Un tratamiento médico puede ser efectivo o inefectivo. La meta de producción o ventas del mes se pueden o no lograr. En pruebas de selección múltiple, aunque hay cuatro o cinco alternativas, se

pueden clasificar como correcta o incorrecta.

Propiedades de un experimento de Bernoulli

En cada prueba del experimento sólo hay dos posibles resultados: éxitos o

fracasos.

El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados

obtenidos en pruebas anteriores.

La probabilidad de un suceso es constante, la representamos por p, y no

varía de una prueba a otra. La probabilidad del complemento es 1- p y la

representamos por q .


23

Función de probabilidad binomial se expresa como:

n XX

n XP X ;n, p C p 1 p

donde :

P X ;n, p probabilidad de X-éxitos, dadas n y p

n número de observaciones

p probabilidad de éxitos

1 p probabilidad de fracasos

X número de éxitos en la muestra X 1,2, ,n

La media y desviación estándar de la distribución se definen como:

E X n p

n p 1 p

1. Grafique la distribución binomial para los siguientes valores:

3 0.25 0,1,2,3n p x

x P(X=x)

0

1

2

3


24

2. La probabilidad de que cierta clase de componente pase con éxito una

determinada prueba de impacto es 0.75. Encuentre la probabilidad de que

exactamente 2 de los siguientes 4 componentes que se prueban pasen la prueba.

3. La probabilidad de que un paciente se recupere de una rara enfermedad de la

sangre es 0.4. Si se sabe que 15 personas han contraído esta enfermedad, ¿cuál es

la probabilidad de que: a) sobrevivan entre 3 y 8 personas, b) sobrevivan

exactamente 5 personas y c) al menos 10 sobrevivan.

4. En pruebas realizadas a un amortiguador para automóvil se encontró que el 20%

presentaban fuga de aceite. Si se instalan 20 de estos amortiguadores, hallar la

probabilidad de que: a) 4 salgan defectuosos, b) más de 5 tengan fuga de aceite,

c) de 3 a 6 amortiguadores salgan defectuosos y d) determine el promedio y la

desviación estándar de amortiguadores con defectos.

x P(X=x) 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0 1 2 3

P(X

)

Número de éxitos (X)

Distribución binomial


25

11

12

13

14

15

x P(X=x) 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20


26

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

P(X

)



0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

P(X

)




27

3.2 Distribución de Poisson

En teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Poisson es una distribución de

probabilidad discreta. Expresa la probabilidad de un número k de eventos ocurriendo

en un tiempo fijo, si estos eventos ocurren con una frecuencia media conocida y son

independientes del tiempo discurrido desde el último evento. Se dice que existe un

proceso de Poisson si podemos observar eventos discretos en un área de oportunidad –

un intervalo continuo (de tiempo, longitud, superficie, etc.) – de tal manera que si se

reduce lo suficiente el área de oportunidad o el intervalo,

La probabilidad de observar exactamente un éxito en el intervalo es constante.

La probabilidad de obtener más de un éxito en el intervalo es 0.

La probabilidad de observar un éxito en cualquier intervalo es estadísticamente

independiente de la de cualquier otro intervalo.

Utilidad:

La distribución de Poisson se utiliza en situaciones donde los sucesos son

impredecibles o de ocurrencia aleatoria. En otras palabras no se sabe el total de

posibles resultados.

Permite determinar la probabilidad de ocurrencia de un suceso con resultado

discreto.

Es muy útil cuando la muestra o segmento, n, es grande y la probabilidad de

éxitos p es pequeña.

Se utiliza cuando la probabilidad del evento que nos interesa se distribuye

dentro de un segmento dado como por ejemplo distancia, área, volumen o

tiempo definido.

Esta distribución se aplica en situaciones como:

La llegada de un cliente al negocio durante una hora.

Las llamadas telefónicas que se reciben en un día.

Los defectos en manufactura de papel por cada metro producido.

Los envases llenados fuera de los límites por cada 100 galones de producto

terminado.

El número de pacientes que llegan al servicio de emergencia de un hospital en

un intervalo de tiempo.

El número de glóbulos blancos que se cuentan en una muestra dada.

El número de partos triples por año

http://www.monografias.com/trabajos14/administ-procesos/administ-procesos.shtml#PROCE

http://ads.us.e-planning.net/ei/3/29e9/cfa010f10016a577?rnd=0.8334251320794376&pb=4defc36f427b5d64&fi=c45082f0d82d529f&kw=observar

http://www.monografias.com/trabajos13/gaita/gaita.shtml

http://www.monografias.com/trabajos901/evolucion-historica-concepciones-tiempo/evolucion-historica-concepciones-tiempo.shtml

http://ads.us.e-planning.net/ei/3/29e9/cfa010f10016a577?rnd=0.6912033142898976&pb=a28b0eafc928681b&fi=c45082f0d82d529f&kw=independiente

http://www.monografias.com/trabajos14/verific-servicios/verific-servicios.shtml


28

La expresión matemática para la distribución de Poisson para obtener 𝑋 éxitos, dado que se espera 1

éxito es:

Xe

P X ;X !

P X ; la probabilidad de X eventos en un área de oportunidad

número de eventos esperado (media)

X número de eventos

5. Grafique la distribución de Poisson para los siguientes valores:

1,4,10 0,1,2,3,...,20x

X P(X=x) P(X=x) P(X=x)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18


29

19

20

6. Un comerciante de verduras tiene conocimiento de que el 3% de la caja está

descompuesta. Si un comprador elige 100 verduras al azar, encuentre la

probabilidad de que: (a) las 4 estén descompuestas y (b) de 1 a 3 estén

descompuestas.

7. En pruebas realizadas a un amortiguador para automóvil se encontró que el 0.04

presentaban fuga de aceite. Si se instalan 150 de estos amortiguadores, hallar la

probabilidad de que: (a) 4 salgan defectuosos, (b) más de 5 tengan fuga de

aceite, y (c) de 3 a 6 amortiguadores salgan defectuosos.

8. Si 8 de 100 viviendas violan el código de construcción. ¿cuál es la probabilidad de

que un inspector de viviendas, que selecciona aleatoriamente a 50 de ellas,

descubra que: (a) ninguna de las casas viola el código de construcción, (b) una

viola el código de construcción y (c) dos violan el código de construcción.

9. El número de pacientes que llega a un hospital sigue una distribución de Poisson. Si

el número promedio es de 120 por hora, ¿cuál es la probabilidad de que en un

minuto lleguen por lo menos 3 pacientes?

10. Se sabe que 10 es el número promedio de camiones tanque de aceite que llegan

por día a una cierta ciudad portuaria. Las instalaciones del puerto pueden atender

cuando mucho a 15 camiones tanque en un día. ¿Cuál es la probabilidad de que

en un determinado día se tengan que regresar los camiones tanque?

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

P(X

)

X

Distribución de Poisson


30

11. En un estudio de un inventario se determinó que, en promedio, la demanda por un

artículo en particular en una bodega era 5 veces al día. ¿Cuál es la probabilidad

de que en un determinado día este artículo sea requerido: (a) más de 5 veces y (b)

ni una sola vez?

12. El profesor Bradley anima a sus estudiantes de estadística a "actuar de forma

prudente" consultando al tutor si tienen alguna pregunta mientras se preparan para

el examen final. Parece que la llegada de los estudiantes a la oficina del tutor se

ajusta a una distribución de Poisson, con un promedio de 5.2 estudiantes cada 20

minutos. El profesor Bradley está preocupado porque si muchos estudiantes

necesitan los servicios del tutor, puede resultar un problema de congestión.

a) El tutor debe determinar la probabilidad de que cuatro estudiantes lleguen

durante cualquier intervalo de 20 minutos, lo cual podría causar el problema de

congestión que teme el profesor Bradley. Si la probabilidad excede el 20%, se

contratará un segundo tutor.

b) El tutor debe calcular la probabilidad de que más de cuatro estudiantes

lleguen durante algún período de 20 minutos. Si es mayor que el 50%, las horas

de oficina del tutor se aumentarán, permitiendo a los estudiantes extender el

horario en las que vienen a ver al tutor.

c) Si la probabilidad de que más de siete estudiantes lleguen durante un período

cualquiera de 30 minutos excede 50%, el mismo profesor Bradley ofrecerá tutoría

adicional.

13. A un conmutador de la oficina principal de la compañía llegan llamadas a un

promedio de dos por minuto y se sabe que tienen distribución de Poisson. Si el

operador está distraído por un minuto, cuál es la probabilidad de que el número de

llamadas no respondidas sea:

a. ¿Cero?

b. ¿Por lo menos una?

c. ¿Entre 3 y 5, inclusive?

14. Un proceso de fabricación utilizado para hacer artefactos plásticos Incas presenta

una tasa de defectos de 5 por cada 100 unidades. Las unidades se envían a los

distribuidores en lotes de 200. Si la probabilidad de que más de 3 salgan

defectuosos supera el 30%, usted planea vender en su lugar, camisetas Grateful

Dead. ¿Cuál artículo agregará usted al inventario?


31

15. Usted compra partes para bicicleta de un proveedor en Toledo que tiene 3

defectos por cada 100 partes. Usted está en el mercado para comprar 150 partes

pero no aceptará una probabilidad de más del 50% de que más de dos partes sean

defectuosas. ¿Usted le compraría a dicho proveedor?

3.3 Distribución normal

Una de las herramientas de mayor uso en las empresas es la utilización de la curva

normal para describir situaciones donde podemos recopilar datos. Esto nos permite

tomar decisiones que vayan a la par con las metas y objetivos de la organización.

Utilidad:

Se utiliza muy a menudo porque hay muchas variables asociadas a fenómenos

naturales que siguen el modelo de la normal.

Caracteres morfológicos de individuos (personas, animales, plantas,...) de una

especie, por ejemplo: tallas, pesos, diámetros, distancias, perímetros,...

Caracteres fisiológicos, por ejemplo: efecto de una misma dosis de un fármaco,

o de una misma cantidad de abono

Caracteres sociológicos, por ejemplo: consumo de cierto producto por un

mismo grupo de individuos, puntuaciones de examen

Caracteres psicológicos, por ejemplo: cociente intelectual, grado de

adaptación a un medio,...

La función de distribución:

Puede tomar cualquier valor (-∞ , +∞ )

Hay más probabilidad para los valores cercanos a la media m

Conforme nos separamos de µ, la probabilidad va decreciendo de igual forma

a derecha e izquierda (es simétrica).

Conforme nos separamos de µ, la probabilidad va decreciendo dependiendo la

desviación típica


32

La expresión matemática para la distribución normal:

16. Grafique la distribución normal para los siguientes valores: 50 5,10,20

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

0 20 40 60 80 100 120

P(X

)

X

Distribución normal

2X1

21f X ; , e

2

donde :

es la media

es la desviación

estándar

3.14159

X es cualquier valor

de la variable

continua

F(X)=P X k


33

17. Dada una distribución normal, encuentre el área bajo la curva que cae

a. a la izquierda de 1.43z

b. a la derecha de 0.89z

c. entre 2.16z y 0.65z

d. a la izquierda de 1.39z

e. a la derecha de 1.96z

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5-3

.4 -3

-2.6

-2.2

-1.8

-1.4 -1

-0.6

-0.2

0.2

0.6 1

1.4

1.8

2.2

2.6 3

3.4

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

-3.4 -3

-2.6

-2.2

-1.8

-1.4 -1

-0.6

-0.2 0.2

0.6 1

1.4

1.8

2.2

2.6 3

3.4

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

-3.4 -3

-2.6

-2.2

-1.8

-1.4 -1

-0.6

-0.2

0.2

0.6 1

1.4

1.8

2.2

2.6 3

3.4

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

-3.4 -3

-2.6

-2.2

-1.8

-1.4 -1

-0.6

-0.2

0.2

0.6 1

1.4

1.8

2.2

2.6 3

3.4


34

f. entre 0.48z y 1.74z

18. Dada una distribución normal con media igual a 50 y desviación estándar igual a

10, encuentre la probabilidad de que X asuma un valor entre 45 y 62.

x

z

19. Los siguientes datos representan la duración de vida en segundos de 50 moscas,

sometidas a un nuevo atomizador en un experimento de laboratorio controlado:

17 20 10 19 23 13 12 19 18 24

12 14 6 9 13 6 7 10 13 7

16 18 8 13 3 32 9 7 10 11

13 7 18 7 10 4 27 19 16 8

7 10 5 14 15 10 9 6 7 15

a) determine el porcentaje de vida de las moscas entre 10 y 20 segundos,

b) más de 23 segundos,

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

-3.4 -3

-2.6

-2.2

-1.8

-1.4 -1

-0.6

-0.2

0.2

0.6 1

1.4

1.8

2.2

2.6 3

3.4

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

-3.4 -3

-2.6

-2.2

-1.8

-1.4 -1

-0.6

-0.2

0.2

0.6 1

1.4

1.8

2.2

2.6 3

3.4

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

-3.4 -3

-2.6

-2.2

-1.8

-1.4 -1

-0.6

-0.2

0.2

0.6 1

1.4

1.8

2.2

2.6 3

3.4


35

c) menos de 10 segundos.

20. TelCom Satellite presta servicios de comunicación a los negocios del área

metropolitana de Chicago. Los funcionarios de la compañía han aprendido que la

transmisión satélite promedio es de 150 segundos, con una desviación estándar de

15 segundos. Los tiempos parecen estar distribuidos normalmente.

Para estimar de manera apropiada la demanda del cliente por sus servicios y

establecer una estructura de tarifas que maximice las utilidades corporativas,

TelCom debe determinar qué tan probable es que algunas llamadas se presenten.

El director de servicios desea que usted proporcione estimados de la probabilidad

de que una llamada dure:

a. Entre 125 y 150 segundos.

b. Menos de 125 segundos.

c. Entre 145 y 155 segundos.

d. Entre 160 y 165 segundos.

21. Como ingeniero constructor usted compra bolsas de cemento de un promedio de

50 libras, con una desviación estándar de 5.2 libras. Debe que usted tuvo el

accidente escalando una montaña, el médico le dijo que no levantara nada que

pesara más de 60 libras ¿debería usted cargar una bolsa?

CONTENIDO DE LA ESTADÍSTICA

Competencia: El estudiante determinará el contenido de la estadística dentro del área

de conocimiento de su profesión.

INTRODUCCIÓN

A medida que aumenta la complejidad de nuestro mundo, se hace cada vez más

difícil tomar decisiones inteligentes y bien documentadas. Con frecuencia tales

decisiones deben tomarse con mucho menos que un conocimiento adecuado y

experimentando una gran incertidumbre. Sin embargo, las soluciones a estos

problemas son esenciales para nuestro bienestar e incluso para nuestra supervivencia

final. Continuamente estamos recibiendo presiones debido a problemas económicos


36

como una inflación galopante, el sistema tributario engorroso, etc. Todo nuestro tejido

económico y social está amenazado por la contaminación ambiental, la deuda

pública onerosa, la tasa de criminalidad que siempre va en aumento y las

impredecibles tasas de interés. Esta unidad aportara una visión general sobre lo que es

la estadística y como puede utilizarse.

1.1 OBJETO DE LA ESTADÍSTICA

La Estadística se ocupa de la recolección, agrupación, presentación, análisis e

interpretación de datos, por tanto, la estadística es un método científico que pretende

sacar conclusiones a partir de unas observaciones hechas.

El objetivo básico de la estadística es hacer inferencia acerca de una población

basada en la información contenida en una muestra. Inferir significa predecir, suponer,

asegurar. Es decir se pretende establecer inferencia acerca de una población.

Entendiendo a la población como un conjunto de individuos, organismos o entes

inanimados de los cuales queremos conocer alguna o algunas características para

que nos ayuden a tomar una decisión u obtener alguna conclusión de suma

importancia.

La Estadística actual es el resultado de la unión de dos disciplinas que evolucionaron

de forma independiente hasta confluir en el siglo XIX:

• el Cálculo de Probabilidades, que nació en el siglo XVII como la teoría matemática

de los juegos de azar,

• la “Estadística”, o ciencia del Estado, que estudia la descripción de datos, y que tiene

unas raíces más antiguas, de hecho, tan antiguas como la humanidad (censos de

población). La interacción de ambas líneas de pensamiento da lugar a la ciencia que

estudia cómo obtener conclusiones de la investigación empírica mediante el uso de

modelos matemáticos.

Resumiendo la Estadística actúa como disciplina puente entre los modelos

matemáticos y los fenómenos reales. Un modelo matemático es una abstracción

simplificada de una realidad más compleja y siempre existirá una cierta discrepancia


37

entre lo que se observa y lo previsto por el modelo. La Estadística proporciona una

metodología para evaluar y juzgar estas discrepancias entre la realidad y la teoría.

1.2 RAMAS DE LA ESTADÍSTICA

La estadística es la ciencia que tiene que ver con la (1) recolección, (2) organización,

(3) presentación, (4) análisis, e (5) interpretación de datos. Las dos principales ramas

del análisis estadístico son:

Estadística descriptiva, es el proceso de recolectar, agrupar y presentar datos

de una manera tal que describa fácil y rápidamente dichos datos.

Estadística inferencial involucra la utilización de una muestra para sacar alguna

inferencia o conclusión sobre la población de la cual hace parte la muestra.

1.3 ESTADÍSTICA EN LA INVESTIGACIÓN

Virtualmente cada área de la investigación científica seria puede beneficiarse del

análisis estadístico. Para quien formula las políticas económicas y para quien asesora al

presidente y otros funcionarios públicos sobre procedimientos económicos apropiados,

la estadística ha demostrado ser una herramienta valiosa. Las decisiones sobre las tasas

tributarias, los programas sociales, el gasto de defensa y muchos otros asuntos pueden

hacerse de manera inteligente tan sólo con la ayuda del análisis estadístico. Los

hombres y mujeres de negocios en su eterna búsqueda de la rentabilidad, consideran

que la estadística es esencial en el proceso de toma de decisiones. Los esfuerzos en

control de calidad, minimización de costos, combinación de productos e inventarios, y

una gran cantidad de otros asuntos empresariales, pueden manejarse efectivamente a

través del uso de procedimientos estadísticos comprobados.

Para quienes están en el área de la investigación de mercados, la estadística es de

gran ayuda en el momento de determinar qué tan probable es que un producto

nuevo sea exitoso. La estadística también es muy útil para evaluar las oportunidades de

inversión por parte de asesores financieros. Los contadores, los jefes de personal y los

fabricantes encuentran oportunidades ilimitadas de beneficiarse con el uso del análisis


38

estadístico. Incluso un investigador en el campo de la medicina, interesado en la

efectividad de un nuevo medicamento, considera la estadística una aliada

imprescindible.

Recuerde su Jefe espera que usted haga dos cosas: (a) tomar decisiones y (b)

solucionar problemas; estos dos cometidos pueden lograrse a través de la aplicación

de procedimientos estadísticos.

1.3.1 La aplicación universal de la estadística

Los problemas complejos que enfrenta el mundo actual requieren soluciones

cuantitativas. Si usted no está en capacidad de aplicar la estadística y otros métodos

cuantitativos a muchos de los problemas comunes que sin duda se le presentarán,

estará en gran desventaja en el mercado laboral.

Casi todas las áreas del saber requieren del pensamiento estadístico. Las disciplinas de

estudios que dependen ampliamente del análisis estadístico, incluyen –pero no se

limitan a–, marketing, finanzas, economía e investigación de operaciones. Los principios

aprendidos en contabilidad y gerencia administrativa también se basan en la

preparación estadística.

Los analistas financieros y económicos con frecuencia se basan en sus habilidades

cuantitativas para proporcionar soluciones a problemas difíciles. La compresión de los

principios financieros y económicos permitirá aplicar las técnicas estadísticas para

hallar soluciones viables y tomar decisiones.

Bien sea que las aspiraciones profesionales tiendan hacia la industria privada, el

servicio público, el gobierno, a hacia otra fuente de retribución remunerada, la

experiencia académica será más completa si se adquiere una sólida formación en

fundamentos de análisis estadístico.

1.3.2 Gerencia de calidad total


39

A medida que la competencia mundial se intensifica, surge, de parte de los negocios,

un esfuerzo por promover la calidad de sus productos. Este esfuerzo, conocido

ampliamente como Gerencia de Calidad Total (Total Quality Management, TQM), tiene

como propósito central la promoción de las cualidades del producto que el

consumidor considera importantes. Tales atributos van desde la ausencia de defectos

hasta el servicio eficiente y la respuesta rápida a las posibles quejas del consumidor.

Hoy día, la mayoría de los grandes negocios, así como también muchos negocios

pequeños, tienen departamentos de Control de Calidad (Quality Control, QC) cuya

función es recolectar datos sobre el desempeño y solucionar problemas de calidad.

Así, la TQM representa un área creciente de oportunidades para quienes tienen

conocimientos en estadística.

La TQM involucra el uso de equipos integrados conformados por ingenieros, expertos

en marketing, especialistas en diseño, estadísticos, y otros profesionales que pueden

contribuir a la satisfacción del cliente. La formación de estos equipos, denominada

Despliegue de la Función de la Calidad (Quality Function Deployment, QFD), está

diseñada para reconocer y agenciar las inquietudes de los consumidores. Los

especialistas actúan conjuntamente para promover la calidad del producto y para

que supla de manera efectiva las necesidades y preferencias del consumidor.

Los círculos de control de calidad constan de un grupo pequeño de empleados

(generalmente entre 5 y 12) que se reúnen regularmente para solucionar problemas

relacionados con el trabajo. Con frecuencia se conforman tanto con trabajadores en

línea como con representantes de la gerencia; los miembros de estos círculos de

calidad son todos de la misma área de trabajo y reciben capacitación formal en

control estadístico de calidad y en planeación de grupos. A través de discusiones

abiertas y del análisis estadístico, los círculos pueden lograr mejoras significativas en

diversas áreas que van desde el mejoramiento de la calidad, el diseño del producto, la

productividad y los métodos de producción, hasta la reducción de costos y seguridad.

Uno de los elementos más importantes del TQM es un conjunto de herramientas y

métodos estadísticos utilizados para promover el Control Estadístico de Calidad

(Statistical Quality Control, SQC). Tales herramientas ayudan a organizar y analizar

datos para efectos de solucionar problemas.


40

Hablando en términos generales, el SQC está diseñado para asegurar que los

productos cumplan con unas normas y especificaciones mínimas de producción. Este

objetivo con frecuencia se promueve a través del uso del muestreo de aceptación, el

cual es parte integral del SQC. El muestreo de aceptación implica probar una muestra

aleatoria de productos existentes para determinar si se debe aceptar o rechazar todo

el envío, o el lote. Esta decisión se basa en parte de un nivel de calidad aceptable

(Aceptable Quality Level, AQL), o número máximo de defectos que una empresa está

dispuesta a tolerar.

1.4 CONCEPTOS BÁSICOS

Toda rama de la investigación científica tiene su vocabulario propio y la estadística no

es la excepción, las definiciones y expresiones que siguen son esenciales para la

compresión de cómo se realizan las pruebas estadísticas.

1.4.1 Población y parámetros

Población: Es la recolección completa de todas las observaciones de interés para el

investigador. Una población puede ser finita o infinita.

Población finita: Es aquella que posee o incluye un número limitado de medidas y

observaciones. Se pueden listar los elementos en algún orden y en consecuencia

contarlos uno a uno hasta alcanzar el último.

Población infinita: Es infinita si se incluye un gran conjunto de medidas y observaciones

que no pueden alcanzarse en el conteo. Hipotéticamente no existe límite en cuanto al

número de observaciones que cada uno de ellos puede generar. Es conveniente

referirse a una población infinita cuando se habla de una población que no puede ser

numerada en un periodo razonable.

Parámetro: Es una medida descriptiva de la población total de todas las observaciones

de interés para el investigador.


41

1.4.2 Muestras y estadísticos

Muestra: Es una parte representativa de la población que se selecciona para ser

estudiada ya que la población es demasiado grande como para analizarla en su

totalidad.

Estadístico: Elemento que describe una muestra y sirve como una estimación del

parámetro de la población correspondiente.

1.4.3 Variables

Variable: Es una característica de la población que se está analizando en un estudio

estadístico.

Tipos de variables:

Cualitativas, categóricas (o alfanuméricas): Pueden tomar valores no

cuantificables numéricamente. Se denomina categoría a cada uno de los

valores que toma la variable.

Nominales: si no existe ningún orden entre las categorías de la variable.

Ejemplos, el grupo sanguíneo (A ,B ,AB, O); el color de los ojos (azules,

verdes, marrones, negros).

Binarias: aquéllas que sólo toman dos valores posibles (sí/no,

presencia/ausencia de cierto carácter), dentro de las nominales. Ejemplo:

el sexo, ser fumador, tener carné de conducir, ser daltónico.

Ordinales: cuando existe un cierto orden entre las categorías de la

variable. Ejemplo: el nivel de estudios (sin estudios, básicos, medios,

superiores), el grado de miopía (ausencia, bajo, medio, alto).


42

Cuantitativas (o numéricas): Pueden tomar valores cuantificables

numéricamente.

Discretas: si solamente toman valores aislados (generalmente enteros).

Suelen corresponder a conteos. Ejemplos, el número de hermanos, el número

de cafés/día, el número de multas/año.

Continuas: potencialmente puede tomar cualquier valor numérico dentro de

un intervalo o de una unión de intervalos. Ejemplos, el tiempo de reacción a

un cierto medicamento, el peso de un individuo, la longitud del caparazón

de una tortuga.

1.4.4 Métodos de muestreo

Gran parte del trabajo de un estadístico se realiza con muestras. En la práctica no va a

ser posible estudiar todos los elementos de la población, por varias razones:

El estudio puede implicar la destrucción del elemento (estudio de la vida media

de una partida de bombillas, estudio de la tensión de rotura de unos cables).

Los elementos pueden existir conceptualmente, pero no en realidad (población

de piezas defectuosas que producirá una máquina en su vida útil).

Puede ser inviable económicamente (muy costoso) estudiar a toda la

población.

El estudio llevaría tanto tiempo que sería impracticable e incluso las propiedades

de la población podrían variar con el tiempo.

Por tanto debe seleccionarse una muestra de la población, calcular el estadístico de la

muestra, y utilizarlo para estimar el parámetro correspondiente de la población.

1.4.4.1 Muestreo aleatorio simple

Una muestra es aleatoria simple cuando:

1. cada elemento de la población tiene la misma probabilidad de ser escogido en

forma individual,

2. las observaciones se realizan con reposición, de manera que la población es

idéntica en todas las extracciones.


43

Comentarios:

La condición (1) asegura la representatividad.

La condición (2) se impone por simplicidad: si el tamaño de la población N es

grande con respecto al tamaño muestral n, es prácticamente indiferente realizar

el muestreo con o sin reposición.

¿Cómo se realiza? Se utilizan las tablas de números aleatorios: se enumeran los

elementos de la población del 1 al N y se toman números aleatorios de tantas cifras

como tenga N. El valor del número aleatorio indicará el elemento a seleccionar.

1.4.4.2 Muestreo Estratificado

Los elementos de la población se dividen en grupos homogéneos o estratos según la

característica más importante (por ejemplo, según el sexo, la edad, la profesión, etc.).

Para esto:

se asigna un número de elementos a cada estrato,

dentro de cada estrato se seleccionan los elementos por muestreo aleatorio

simple.

Si hay k estratos de tamaños k1 N,,N , de manera que k1 NNN , la

composición de la muestra será k1 nnn , donde el número de elementos se

pueden determinar de dos formas distintas:

1. proporcionalmente al tamaño de cada estrato:

N

Nnn i

i (I.1)

2. proporcionalmente a la variabilidad de cada estrato:


44

k

1i

ii

iii

N

Nnn

(I.2)

donde σi es una medida de la variabilidad del estrato i-ésimo.

1.4.4.3 Muestreo por conglomerados

Hay situaciones en que ni el muestreo aleatorio simple ni el estratificado son aplicables.

En estos casos es habitual que los elementos de la población se encuentren agrupados

en conglomerados, de los cuales sí que se sabe cuántos hay. (Por ejemplo, la

población se distribuye en provincias, los habitantes de una ciudad se distribuyen en

barrios, etc.).

Si puede suponerse que cada conglomerado es una muestra representativa de la

población total respecto de la variable de estudio, podemos:

seleccionar al azar algunos de estos conglomerados,

dentro de cada conglomerado, analizar:

a) todos sus elementos,

b) una muestra aleatoria simple de sus elementos.

Inconveniente, si los conglomerados son heterogéneos entre ellos, puesto que sólo se

analizan algunos de ellos, la muestra final puede ser no representativa de la población.

Las ideas de estratificación y conglomerado son opuestas:

La estratificación funciona mejor cuánto mayor sean las diferencias entre

estratos, pero es necesario que los estratos sean homogéneos internamente.

Los conglomerados funcionan mejor cuánto menores sean las diferencias entre

ellos, pero deben ser muy heterogéneos internamente, es decir, dentro de cada

conglomerado debe estar incluida toda la variabilidad de la población.


45

La regla general que se aplica a todos los procedimientos de muestreo es que

cualquier información previa tiene que utilizarse para subdividir la población y asegurar

una mayor representatividad de la muestra. Una vez que los grupos homogéneos han

sido definidos, la selección dentro de ellos debe realizarse por muestreo aleatorio

simple.

La exactitud de toda estimación es de enorme importancia. Esta exactitud depende

en gran parte de la forma como se tomó la muestra, y del cuidado que se tenga para

garantizar que la muestra proporcione una imagen confiable de la población. Sin

embargo, con mucha frecuencia se comprueba que la muestra no es del todo

representativa de la población y resultara un error de muestreo.

Existen dos causas posibles del error de muestreo. La primera fuente del error de

muestreo es el azar en el proceso del muestreo. Debido al factor azar en la selección

de elementos de la muestra, es posible seleccionar sin darse cuenta, elementos que

sean anormalmente grandes o inusualmente pequeños, produciendo una

subestimación del parámetro. En cualquiera de los dos casos, ha ocurrido un error de

muestreo.

Una forma más seria de error de muestreo es el sesgo muestral. El sesgo muestral ocurre

cuando hay alguna tendencia a seleccionar determinados elementos de muestra en

lugar de otros. Si el proceso de muestreo se diseña de manera incorrecta y tiende a

promover la selección de demasiadas unidades con una característica en especial, a

expensas de las unidades que no tienen dicha característica, se dice que la muestra

está sesgada.

El sesgo, es el grado de asimetría que presenta un histograma o polígono de

frecuencias. Si el histograma está cargado a la izquierda, el sesgo tiene un valor

negativo. En cambio cuando esta más cargado a la derecha, el sesgo toma un valor

positivo. Si el sesgo adquiere un valor nulo, significa que el histograma es simétrico.

1.4.5 Escalas de medida


46

Las variables pueden clasificarse con base en su escala de medida. La manera en que

se clasifican las variables afecta en gran parte la forma como se utilizan en el análisis.

Las variables pueden ser (1) nominales, (2) ordinales, (3) de intervalo, o (4) de razón.

1.4.5.1 Mediciones en escala nominal

Una medida nominal se crea cuando se utilizan nombres para establecer categorías

dentro de las cuales las variables pueden registrarse exclusivamente.

Por ejemplo, el sexo puede clasificarse como “hombre” o “mujer”. Se podría codificar

también con un “1” o “2”, pero los números servirían tan sólo para indicar las categorías

y no tendría significado numérico. Es importante recordar que una medida en escala

nominal no indica ningún orden de preferencia, sino que simplemente establece una

disposición categórica en la cual se puede ubicar cada observación.

Existen escalas nominales tanto para datos cuantitativos como cualitativos. Una escala

nominal para datos numéricos asigna números a las categorías para distinguirlas.

1.4.5.2 Medidas en escalas ordinales

Son las que clasifican las observaciones en categorías con un orden significativo.

A diferencia de una medida en escala nominal, una medida en escala ordinal si

muestra un ordenamiento o secuencia de los datos. Es decir, que las observaciones se

clasifican con base en algunos criterios. Hay quien clasifica sus productos como

“buenos”, “mejores” y “los mejores”. Las encuestas de opinión con frecuencia utilizan

una medida en escala ordinal como “totalmente de acuerdo”, “de acuerdo”, “sin

opinión”, “en desacuerdo”, y “en total desacuerdo”.

Al igual que con los datos nominales, los números pueden utilizarse para ordenar los

rangos. Y al igual que con los datos nominales, la magnitud de los números no es


47

importante; el rango depende sólo del orden de los valores. Por ejemplo se pueden

utilizar los rangos de “1”, “2” y “3”, o “1”, “3” y “12” para este asunto. Las diferencias

aritméticas entre valores carecen de sentido. Un producto con rango “2” no es dos

veces mejor que uno de rango “1”.

1.4.5.3 Medidas en escala de intervalo

Medidas en una escala numérica en la cual el valor de cero es arbitrario pero la

diferencia entre valores es importante. Los datos de intervalo son cuantitativos por

necesidad; una escala de intervalo no siempre tiene un punto cero.

En una escala de intervalo las variables se miden de manera numérica, y al igual que

los datos ordinales, llevan inherente un rango u ordenamiento. Sin embargo, a

diferencia de los rangos ordinales, la diferencia entre los valores es importante. Por eso,

las operaciones aritméticas de suma y resta, son significativas.

1.4.5.4 Medidas en escala de razón

Medidas numéricas en las cuales cero es un valor fijo en cualquier escala y la

diferencia entre valores es importante. Con datos medidos en una escala de razón, se

puede determinar cuantas veces es mayor una medida que otra.

La escala de razón se basa en un sistema numérico en el cual el cero es significativo.

Por tanto las operaciones de multiplicación y división también toman una

interpretación racional. Una escala de razón se utiliza para medir muchos tipos de

datos que se encuentran en el análisis empresarial. Variables tales como costos,

rentabilidad y niveles de inventario se expresan como medidas de razón. Por ejemplo,

una firma con una participación en el mercado del 40% tiene dos veces más

participación que una firma con una participación en el mercado del 20%. Las

medidas tales como peso, tiempo y distancia también se miden en una escala de

razón, ya que cero es significativo y un artículo que pesa 100 libras tiene la mitad del

peso de un artículo que pesa 200 libras.


48

Batería 1 de ejercicios:

1. Describa en sus propios términos la diferencia entre una población y una muestra;

entre un parámetro y un estadístico.

2. ¿Cuál es la diferencia entre una variable cuantitativa y una variable cualitativa. Dé

ejemplos.

3. Diferencie entre una variable continua y una variable discreta. Dé ejemplos de

cada una.

4. Seleccione una población cualquiera que sea de su interés. Identifique variables

cuantitativas y cualitativas de esa población que puedan seleccionarse para ser

estudiadas.

5. Analice si las siguientes variables son discretas o continuas:

a. Número de cursos que los estudiantes de su colegio están cursando este

semestre.

b. Número de pases atrapados por el beisbolista Tim brown, receptor de los LA

Raiders.

c. Peso de los compañeros de equipo de Tim Brown.

d. Peso del contenido de las cajas de cereal.

e. Número de libros que usted leyó el año pasado.

6. ¿En cuál escala de medida puede expresarse cada una de estas variables?

Explique sus respuestas.

a. Los estudiantes clasifican a su profesor de estadística sobre una escala de

“terrible”, “no tan malo”, “bueno”, “maravilloso” y “dios griego”.

b. Los estudiantes en una universidad están clasificados por profesión, tales como

marketing, administración y contaduría.

c. Los estudiantes están clasificados por cursos utilizando los valores 1, 2 , 3, 4 y 5.

d. Agrupar mediciones de líquidos en octavo, cuarto y galón.

e. Edades de los clientes.


49

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

COMPETENCIA: El estudiante aplicará las técnicas de estadística descriptiva a un

conjunto de datos mediante el uso de modelos tabulares y gráficos, con el fin de

describir dicho conjunto y utilizar dicha información en el proceso de toma de

decisiones.

Organización y representación de datos

Distribución de frecuencias tabulares y gráficas

Medidas de tendencia central

Medidas de dispersión, asimetría y kurtosis

Medidas de posición


50

INTRODUCCIÓN

Casi todos los trabajos que se hacen en estadística comienzan con el proceso de

recolección de datos necesarios para formar con ellos un conjunto que se utilizará en

el estudio. Para propósitos generales, se adoptará la suposición conveniente de que

esta labor, con frecuencia tediosa, ya ha sido realizada y que los datos están

disponibles.

Esta recolección de datos originales revela muy poco por sí sola. Es extremadamente

difícil determinar el verdadero significado de un grupo de números que simplemente se

han registrado en un papel. Nuestra labor es organizar y describir tales datos de

manera concisa y significativa. Para determinar su significancia, los datos se organizan

de manera que, con un simple vistazo, se pueda tener una idea de lo que pueden

decirnos.

1.5 ORGANIZACIÓN Y REPRESENTACIÓN DE DATOS

Pueden utilizarse varias herramientas básicas para describir y resumir un conjunto

grande de datos. La manera más simple, pero quizás la más significativa, es la serie

ordenada. Una serie ordenada simplemente enumera tales observaciones en orden

ascendente o descendente. Está proporciona alguna agrupación al conjunto de

datos; por ejemplo, se puede ver de inmediato los valores extremos. Sin embargo la

utilidad de una serie ordenada es limitada. Las herramientas que resultan de particular

utilidad para organizar los datos incluyen tablas de frecuencia que colocan los datos

en clases específicas y diversos gráficos que pueden proporcionar una representación

visual de los datos.

Los siguientes datos son los ingresos de 60 ejecutivos de marketing para empresas de

Estados Unidos. Los datos están expresados en miles de dólares. Supóngase que se

desea analizar, ¿Cuál es el ingreso promedio de los ejecutivos de marketing?, ¿Cuál


51

sería el ingreso mínimo y máximo?, etc. Los resultados obtenidos se muestran en el

siguiente cuadro de datos:

58 76 89 45 67 34

64 76 34 65 45 39

79 74 56 71 85 87

74 38 69 79 61 71

69 62 56 38 69 79

71 54 31 69 62 39

65 79 47 46 77 66

55 75 62 57 77 36

73 72 64 69 51 50

40 50 74 61 69 73

La forma en la que se presentaron los datos dificulta la obtención de la respuesta a

tales interrogantes. Conviene, pues, organizar los datos de tal modo que proporcionen

información resumida y más clara sobre el proceso.

Los métodos estadísticos de organización de datos ofrecen para ello las técnicas de

agrupación de los mismos en intervalos o categorías de clases, formando distribuciones

de frecuencias. Cabe aclarar que a los intervalos se les llama indistintamente intervalos

de clase, clases, categorías de clase o categorías.

1.6 DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS TABULARES Y GRÁFICAS

Cuando se tiene un problema en donde la muestra contenga más de 30 datos se

emplea el método de datos agrupados para obtener el histograma y las ojivas

correspondientes. El procedimiento para organizar los datos en distribuciones de

frecuencias se describe a continuación:

1. La tabla de datos se ordena de menor a mayor.

2. Se determina la tabla de frecuencias, distribución de frecuencias simples, en la cuál

se determinan los siguientes valores:

a. Se obtiene el número de datos n ,


52

b. Se obtiene el rango menor valor - mayor valorR ,

c. Se obtiene el numero de intervalos, éste en la tabla de frecuencias

determina el numero de renglones y en el histograma determina el numero

de rectángulos o barras, el cuál está definido por la siguiente ecuación:

nlog32.3Ni (I.3)

el resultado debe ser un numero entero por lo que si hay una fracción se

redondea el resultado.

d. Se determina el tamaño del intervalo por medio de:

i

iN

RT (I.4)

en el histograma representa el ancho del rectángulo. El resultado se trabaja

con un solo decimal. Si el resultado del rango tiene decimales, entonces se

recorre el punto hasta hacerlo un número entero antes de sacar el tamaño

del intervalo.

Criterio para determinar el tamaño del intervalo:

d.1 No se aceptan resultados enteros

d.2 No se aceptan decimales entre 4.01.0

d.3 Solo se aceptan decimales entre 9.05.0

d.4 Si el resultado obtenido de aplicar la expresión I.4 cae en el caso d.1 o

d.2 entonces el número de intervalos se disminuye una unidad, 1Ni y se

calcula el iT , si éste es rechazado, entonces ahora se aumenta en una

unidad el número de intervalos, 1Ni y se calcula el iT . Si no se acepta el


53

resultado, entonces al número de intervalos original se le restan o se le suman

dos unidades y así sucesivamente hasta que sea aceptado el resultado.

Cuando el resultado sea aceptado entonces queda definido el número de

intervalos; para sacar el tamaño de intervalos finalmente se redondea el

resultado aun número entero y se coloca el punto en su posición original.

e. Intervalo de clase: este intervalo está formado por dos valores, los cuales son

la frontera inferior if y la frontera superior sf . La frontera inferior empieza

con el valor más pequeño y se le va sumando, suma a suma, el valor del

tamaño del intervalo. El total de valores en la frontera inferior es igual al

número de intervalos. La frontera superior toma como primer valor el

segundo valor de la frontera inferior restándole una décima, centésima,

milésima o entero según la unidad a trabajar. También se irán sumando a los

resultados el valor del tamaño del intervalo.

f. Marca de Clase: es el punto medio del intervalo de clase dado por

2

ff.C.M si (I.5)

g. Intervalos reales: estos se obtienen del intervalo de clase de la siguiente

forma

g.1 Si se trabajan enteros se resta a if cinco décimas (0.5) y se suma a sf

cinco décimas (0.5),

g.2 Si se trabajan décimas (ej. 20.3) se resta a if cinco centésimas (0.05)

y se suma a sf cinco centésimas (0.05), y

g.3 Si se trabajan centésimas (ej. 5.67) se resta a if cinco milésimas

(0.005) y se suma a sf cinco milésimas (0.005).


54

h. Frecuencia absoluta f : es el número de datos contenidos en determinado

intervalo, se obtiene de la tabla de datos ordenados.

i. Frecuencia absoluta relativa rf :

n

ffr (I.6)

j. Frecuencia acumulada af : suma acumulada de las frecuencias absolutas

de cada uno de los intervalos, la frecuencia acumulada “menor que” suma

primero del primer intervalo al último y la frecuencia acumulada “mayor

que” suma del último intervalo al primero .

k. Frecuencia acumulada relativa arf :

n

ff aar (I.7)

La tabla I.1 muestra un resumen de las columnas que forman la tabla de frecuencias

derivada de los pasos antes mencionados. Cabe mencionar que fi1 se lee de la

siguiente manera: frontera inferior de la clase 1(o límite inferior de la clase 1), es decir el

número indica la clase a la que pertenece el valor que será colocado en esa casilla.

55

Tabla I.1. Bosquejo general de la tabla de frecuencias.

Clase

Límites de clase Marca de Clase Límites reales de clase

if sf .C.M iF sF

1

Vmf 1i

235.1

34.78

7.56

34

.ej

001.0

01.0

1.0

1

ff 2i1s

2

ff.C.M 1s1i1

34.78

7.56

34

.ej

005.0

05.0

5.0

fF 1i1i

34.78

7.56

34

.ej

005.0

05.0

5.0

fF 1s1s

2

i1i2i Tff

i1s2s Tff

2

ff.C.M 2s2i2

005.0

05.0

5.0

fF 2i2i

005.0

05.0

5.0

fF 2s2s

3

i2i3i Tff

i2s3s Tff

2

ff.C.M 3s3i3

005.0

05.0

5.0

fF 3i3i

005.0

05.0

5.0

fF 3s3s

iN

Frecuencia

Frecuencia

Relativa

Frecuencia Acumulada

Menor que …

Menos de …


Mayor que …

… o más


Relativa

Menor que …


Relativa

Mayor que …

f %fr af af %far %far

1f %100

n

ff 1

1r 11a ff 3211a ffff %100

n

ff 1a

1ar %100n

ff 1a

1ar

2f %100

n

ff 2

2r 212a fff 322a fff %100n

ff 2a

2ar %100n

ff 2a

2ar

3f %100

n

ff 3

3r 3213a ffff 33a ff %100

n

ff 3a

3ar %100n

ff 3a

3ar

56

Los gráficos también son métodos útiles para describir conjunto de datos. Un

histograma coloca las clases de una distribución de frecuencia en el eje horizontal y las

frecuencias en el eje vertical. Su objetivo es revelar detalles y patrones que no se

pueden discernir fácilmente de los datos originales.

Aplicando la metodología antes mencionada (paso 1 y 2: de a hasta d.4) a los datos

no agrupados de ingresos de ejecutivos de marketing se obtienen los siguientes valores

para determinar el número de clases:

n 60

valor menor 31

valor mayor 89

R 58

Ni 5.90

Ti 9.67

De acuerdo a los resultados obtenidos, como el valor del tamaño de intervalo resulto

un decimal entre 0.5 y 0.9 el número de intervalos calculado se acepta y se redondean

las cantidades correspondientes, por tanto la tabla de frecuencias constara de seis

clases con un tamaño de intervalo de 10, como se muestra en la tabla I.2.

En la tabla I.2 se ilustran los datos agrupados de la muestra de los ingresos de 60

ejecutivos de marketing en seis intervalos de clase donde: fi y fs es la frontera inferior y

superior, respectivamente, MC es la marca de clase, Fi y Fs es la frontera real inferior y

superior, respectivamente, f es la frecuencia y fr es la frecuencia relativa, fa < y fa > es

la frecuencia acumulada “menor que” y “mayor que”, respectivamente y finalmente

far es la frecuencia acumulada relativa.

La tabla I.3 muestra la forma general de la tabla para construir el grafico de histograma

y polígono de frecuencias en la hoja de cálculo Excel, mientras que la figura I.1

muestra el grafico obtenido de los datos de los ingresos de 60 ejecutivos de marketing

mostrados en la tabla I.2.

57

Tabla I.2. Datos agrupados de los ingresos de 60 ejecutivos de marketing.

Clase fi fs M.C. Fi Fs f fr (%) fa < fa > far < far >

1 31 40 35.5 30.5 40.5 9 15% 9 60 15% 100%

2 41 50 45.5 40.5 50.5 6 10% 15 51 25% 85%

3 51 60 55.5 50.5 60.5 7 12% 22 45 37% 75%

4 61 70 65.5 60.5 70.5 17 28% 39 38 65% 63%

5 71 80 75.5 70.5 80.5 18 30% 57 21 95% 35%

6 81 90 85.5 80.5 90.5 3 5% 60 3 100% 5%

60 100%

Tabla I.3 Datos utilizados para la construcción del Histograma y Polígono de Frecuencias

Clase iF sF f %fr

0 0 iV 0 0

1 1iF 1sF 1f 1rf

2 2iF 2sF 2f 2rf

3 3iF 3sF 3f 3rf

0 Último valor del

limite real superior fV 0 0

2

TFV i

1ii 2

Tsuperior real límitedel valor últimoV i

f

58

Figura I.1 Representación de los ingresos de ejecutivos de marketing en E.U. por medio

de un Histograma y Polígono de frecuencias.

Con frecuencia se desea determinar el número de observaciones que son “mayor

que” o “menor que” alguna cantidad. Esto puede lograrse con una distribución de

frecuencia acumulada “más de o mayor que” o una distribución de frecuencia

acumulada “menos de o menor que”.

La tabla I.4 ilustra los datos extraídos de la tabla de frecuencias para la construcción

del grafico de ojivas: “mayor que” y “menor que” utilizando la hoja de cálculo Excel, la

figura I.2 muestra el grafico obtenido de los valores de la tabla I.4. Por ejemplo, se

puede leer que de la clase uno 9 ejecutivos gana menos de $31,000 dólares y por otra

parte 60 ejecutivos gana $31,000 dólares o más.

Una distribución de frecuencia relativa expresa las frecuencias dentro de una clase

como un porcentaje del número total de observaciones.

Ingresos de ejecutivos de marketing para empresas en E.U.

0

9

67

1718

3

015%

10%

28%

30%

5%1

2%

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

25.5 40.5 50.5 60.5 70.5 80.5 90.5 95.5

0 30.5 40.5 50.5 60.5 70.5 80.5 90.5

Límites Reales (miles de dólares)

Fre

cu

en

cia

(eje

cu

tivo

s)

0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%

Fre

cu

en

cia

Rela

tiva

Histograma Polígono

59

Tabla I.4 Datos utilizados para la construcción de las Ojivas: “mayor que” y “menor que”.

Limites

Frontera

de clase

reales

Frecuencia

Acumulada

Menor que …

Menos de …

Frecuencia

Acumulada

Mayor que …

… o más

Frecuencia

Acumulada

Relativa

Menor que …

af af %far

1iF 0 1af 0

1sF 1af 2af 1arf

2sF 2af 3af 2arf

3sF 3af 3arf

0

Figura I.2 Representación de los ingresos de ejecutivos de marketing en E.U. por

medio de Ojivas: “mayor que” y “menor que”.

La tabla I.5 ilustra los datos extraídos de la tabla de frecuencias para la construcción

del polígono de frecuencias suavizado por medio de la hoja de cálculo Excel, cabe

mencionar que en este grafico se puede observar como se distribuyen los datos de la

muestra y además en este se localizan las medidas de tendencia central y medidas de

dispersión, la figura I.3 muestra el grafico obtenido de los datos de la tabla I.2.

Grafica de Frecuencias Acumuladas "OJIVAS"

0

9

15

22

39

576060

51

45

38

21

30

0%

15%

25%

37%

65%

95%100%

0

10

20

30

40

50

60

70

30.5 40.5 50.5 60.5 70.5 80.5 90.5

Límites Reales (miles de dolares $)

Fre

cu

en

cia

acu

mu

lad

a

0%

20%

40%

60%

80%

100%

120%

(%)

Fre

cu

en

cia

acu

mu

lad

a r

ela

tiva

fa "menor que" fa "mayor que" far "menor que"

60

Tabla I.5 Datos utilizados para la construcción del polígono de frecuencias suavizado.

Clase iF sF f

0 0 iV 0

1 1iF 1sF 1f

2 2iF 2sF 2f

3 3iF 3sF 3f

0 Último valor del

limite real superior fV 0

Figura I.3 Representación de los ingresos de ejecutivos de marketing en E.U. por

medio de un polígono de frecuencias suavizada.

1.7 Medidas de tendencia central

Los datos, al igual que los estudiantes, se congregan alrededor de sus puntos de

encuentro favoritos. Parece que los estudiantes acuden en masa a sitios tales como

partidos de fútbol, fraternidades, bares populares y otros sitios de reunión y en raras

ocasiones hasta la biblioteca. De igual forma, los números parecen disfrutar de la

compañía de otros números y están propensos a reunirse alrededor de un punto

central denominado medida de tendencia central o más comúnmente, media. Una

medida de tendencia ubica e identifica el punto alrededor del cual se centran los

datos.

Polígono de Frecuencias Suavizado

0

9

67

1718

3

00

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

25.5 40.5 50.5 60.5 70.5 80.5 90.5 95.5

Límites Reales (Miles de Dolares $)

Fre

cu

en

cia

(E

jecu

tivo

s)

61

Un conjunto de datos puede ser rápidamente descrito de manera sucinta con un solo

número.

1.7.1 La media

La media toma en cuenta la frecuencia y los puntos medios de cada clase, la siguiente

expresión calcula la media de un conjunto de datos agrupados

n

MCf

x

iN

1iii

(I.8)

donde

x es la media muestral,

if es la frecuencia de la i-ésima clase,

iMC es la marca de clase de la i-ésima clase,

iN es el número de intervalos, y

n es el número de datos.

1.7.2 La mediana

Primero debe hallarse la clase que contiene a la mediana, para esto se debe cumplir el

siguiente criterio

2

nfa (I.9)

62

Este criterio se debe verificar en cada clase empezando desde el primer intervalo de

clase hasta el último intervalo de clase. La clase que cumpla con la condición se le

llamará clase mediana. La expresión que calcula la posición del valor que se

encuentra a la mitad del conjunto de datos es la siguiente

i

aA

i Tf

f2

n

Fx~

(I.10)

donde

iF es la frontera inferior real de la clase que contiene a la mediana,

aAf es la frecuencia acumulada anterior a la clase que contiene a la mediana,

f es la frecuencia de la clase que contiene a la mediana, y

iT es el tamaño del intervalo.

1.7.3 La moda

Ya que por definición la moda es la observación que ocurre con mayor frecuencia, se

hallará en la clase que tenga la frecuencia más alta, llamada la clase modal. Para

estimar la moda en el caso de datos agrupados, se utiliza la siguiente ecuación:

i21

1i TFx̂

(I.11)

donde:

iF es la frontera inferior real de la clase modal,

1 es la diferencia de la frecuencia de la clase modal menos anterior,

2 es la diferencia de la frecuencia de la clase modal menos la siguiente, y


63

La media es la medida más común de tendencia central. Se presta para mayor

manipulación e interpretación algebraica. Desafortunadamente se ve afectada por

valores extremos o atípicos, y a diferencia de la mediana, puede ser sesgada por las

observaciones que están muy por encima o muy por debajo de ésta. Debido a que la

mediana no se ve afectada por valores extremos, representa mejor el conjunto de

observaciones. La moda también es menos afectada por valores atípicos, sin

embargo, si no hay moda, o si el conjunto de datos es bimodal, su uso puede ser

confuso.

Esto no implica que una medida sea necesariamente mejor que las otras. La medida

que se seleccione depende de la naturaleza de los datos o de la forma como se

utilicen los datos.

1.8 Medidas de dispersión, asimetría y kurtosis

Para describir un conjunto de datos se ha observado que es de utilidad ubicar el

centro del conjunto de datos. Pero identificar una medida de tendencia central rara

vez es suficiente. Una descripción más completa del conjunto de datos puede

obtenerse si se mide que tan dispersos están los datos alrededor de dicho punto

central. Esto es precisamente lo que hacen las medidas de dispersión, indican cuánto

se desvían las observaciones alrededor de su media.

1.8.1 El rango

La medida de dispersión más simple y menos útil es el rango o recorrido. El rango es

simplemente la diferencia entre la observación más alta y la más baja. Su ventaja es

que es fácil de calcular. Su desventaja es que considera sólo dos de los cientos de

observaciones que hay en un conjunto de datos.

1.8.2 Varianza y desviación estándar

La varianza y la desviación estándar son medidas de dispersión mucho más útiles,

proporcionan una medida más significativa sobre el punto hasta el cual se dispersan las

observaciones alrededor de su media.

64

Si los datos están agrupados en una tabla de frecuencia, la varianza y la desviación

estándar muestral pueden calcularse respectivamente como

1n

n

MCf

MCf

s

2iN

1iii

iN

1i

2ii

2

(I.12)

ianzavars (I.13)

donde

2s es la varianza de la muestra,

s es la desviación estándar de la muestra, y

2iMC es la marca de clase de la i-ésima clase elevada al cuadrado

1.8.3 Asimetría

1.8.3.1 La distribución normal y la regla empírica

La desviación estándar puede utilizarse para sacar ciertas conclusiones si el conjunto

de datos en cuestión está distribuido normalmente. Una distribución normal es una

distribución de datos continuos (no discreto) que produce una curva simétrica en

forma de campana, como la que se muestra en la figura I.4.

65

Se asume que se tiene un número grande de observaciones, si los datos están

distribuidos normalmente, una gráfica de la frecuencia con la cual ocurre cada

observación tomará la forma de la figura I.4. Las observaciones en cada extremo

ocurrirán relativamente de forma poco frecuente, pero las observaciones que están

más cerca de la mitad ocurrirán con una frecuencia alta, por tanto se produce la

curva simétrica en forma de campana. La observación modal es la que ocurre con

mayor frecuencia y por tanto está en el pico de la distribución. En una distribución

normal la media, mediana y la moda son todas iguales.

Figura I.4 Distribución normal.

La regla empírica se ilustra gráficamente en la figura I.5, ésta específica que:

68.3% de las observaciones están dentro de más o menos una desviación

estándar de la media ( s1xvmínimo y s1xvmáximo ),

95.5% de las observaciones están dentro de más o menos dos desviaciones

estándar de la media ( s2xvmínimo y s2xvmáximo ), y

99.7% de las observaciones están dentro de más o menos tres desviaciones

estándar de la media ( s3xvmínimo y s3xvmáximo ).

Es importante recordar que la regla empírica describe el área total bajo la curva

normal que se encuentra dentro de un rango dado.

66

Si las observaciones están altamente dispersas, la curva en forma de campana se

aplanará y se esparcirá. La kurtosis mide el grado de agudeza de una distribución, está

se clasifica como curva leptokurtica (delgada), curva mesokurtica (intermedia) y curva

platikurtica (aplanada).

Figura I.5 La distribución normal y la regla empírica.

1.8.3.2 Sesgo (medidas de asimetría)

No todas las distribuciones son normales, algunas están sesgadas a la izquierda o a la

derecha como se muestra en la figura I.6, en ambos casos, la moda por es por

definición la observación que ocurre con mayor frecuencia. Por tanto, está en el pico

de la distribución. Sin embargo, como se dijo anteriormente, por su naturaleza la media

se ve más afectada por las observaciones extremas. Por tanto, es jalada en la

dirección del sesgo, más de lo que está la mediana, la cual está en algún sitio entre la

media y la moda.

El sesgo es el grado de asimetría y puede medirse con el coeficiente de sesgo de

Pearson

s

x̂xS 1k

(I.14)

s

x~x3S 2k

(I.15)

67

Si 0SyS 2k1k , los datos están sesgados a la izquierda (-), si 0SyS 2k1k , los datos

están sesgados a la derecha (+); si 0SyS 2k1k están distribuidos normalmente.

Figura I.6. Distribuciones sesgadas.

1.8.3.3 Coeficiente de variación (dispersión relativa)

Cuando se consideran dos o más distribuciones que tienen medias significativamente

diferentes, o que están medidas en unidades diferentes, es peligroso sacar

conclusiones respecto a la dispersión sólo con base a la desviación estándar, recuerde

no se puede mezclar perros con gatos.

Por tanto, con frecuencia debemos considerar el coeficiente de variación (C.V.), el

cual sirve como medida relativa de dispersión. El coeficiente de variación determina el

grado de dispersión de un conjunto de datos relativo a su media por medio de la

siguiente expresión

%100x

s.V.C (I.16)

1.9 Medidas de posición

Aunque la varianza y la desviación estándar son las medidas de dispersión más útiles en

análisis estadístico, existen otras técnicas con las cuales puede medirse la dispersión de

un conjunto de datos. Estas medidas adicionales de dispersión son los cuartiles, los

deciles y los percentiles.

68

Cada conjunto de datos tiene tres cuartiles que lo dividen en cuatro partes iguales. El

primer cuartil es ese valor debajo del cual clasifica el 25% de las observaciones, y sobre

el cual puede encontrarse el 75% restante. El segundo cuartel es justo la mitad. La

mitad de las observaciones están por debajo y la mitad por encima. El tercer cuartel es

el valor debajo del cual está el 75% de las observaciones y encima del cual puede

encontrarse el 25% restante.

Primero debe hallarse las clases que contienen al primer, segundo y tercer cuartel, para

esto se debe cumplir el siguiente criterio, respectivamente

localización del primer cuartIl

4

nfa (I.17)

localización del segundo cuartil

4

n2fa (I.18)

localización del tercer cuartIl

4

n3fa (I.19)

Estas condiciones se deben verificar en cada clase empezando desde el primer

intervalo de clase hasta el último intervalo de clase. Las expresiones que calculan la

posición de cada cuartil son las siguientes

i

aA

i1 Tf

f4

n

FQ

(I.20)

i

aA

i2 Tf

f4

n2

FQ

(I.21)

69

i

aA

i3 Tf

f4

n3

FQ

(I.22)

donde

iF es la frontera inferior real de la clase que contiene al cuartil,

aAf es la frecuencia acumulada anterior a la clase que contiene al cuartil,

f es la frecuencia de la clase que contiene al cuartil, y


Una medida única de dispersión es el rango intercuartílico (R.I.). La mitad de las

observaciones se clasifican dentro de este rango. Consta del 50% de la mitad de las

observaciones y corta el 25% inferior y el 25% superior de los puntos de datos. Como

resultado, le R.I. proporciona una medida de dispersión que no está muy influenciada

por unas cuantas observaciones extremas.

13 QQ.I.R (I.23)

Los deciles separan un conjunto de datos en 10 subconjuntos iguales, y los percentiles

en 100 partes. El primer decil es la observación debajo de la cual se encuentra el 10%

de las observaciones, mientras que el 90% restante se encuentra encima de éste. El

primer percentil es el valor debajo del cual se encuentra el 1% de las observaciones, y

el resto están encima de éste. Todo conjunto de datos tiene 9 deciles y 99 percentiles.

70

Batería 2 de ejercicios:

1. Determinación del número de intervalos iN y tamaño del intervalo iT . Considere

los siguientes datos:

a. 50n y 52R

b. 35n y 820R

c. 35n y 01.82R

d. 30n y 1.90R

e. 30n y 194R

1. Un conjunto de datos contiene 100 observaciones; la más grande es 315 y la más

pequeña es 56.

a. ¿Cuántas clases debería tener la tabla de frecuencias?

b. ¿Cuál es el intervalo de clase?

c. ¿Cuáles son los límites y puntos medios de cada clase?

2. En un estudio reciente sobre 500 graduados en administración de negocios, el

salario inicial más alto que se reportó fue de $27,500 dólares y el más bajo fue de

$19,900 dólares. Usted desea crear la tabla de frecuencias para analizar y

comparar estos datos con las ofertas de trabajo que usted ha recibido.

d. ¿Cuántas clases pondrán en su tabla de frecuencia?

e. ¿Cuál es el intervalo de clase?

f. ¿Cuáles son los límites y puntos medios de cada clase?

3. Los siguientes datos son los ingresos de 60 ejecutivos de marketing para empresas

de Estados Unidos. Los datos están expresados en miles de dólares.

58 76 89 45 67 34

64 76 34 65 45 39

79 74 56 71 85 87

74 38 69 79 61 71

69 62 56 38 69 79

71 54 31 69 62 39

65 79 47 46 77 66

55 75 62 57 77 36

73 72 64 69 51 50

40 50 74 61 69 73

71

g. Construya una tabla de frecuencia para los datos. Tenga mucho cuidado en

la selección de sus intervalos de clase. Muestre las frecuencias acumulativas

y relativas para cada clase. ¿Qué conclusión puede sacar de la tabla?

h. Presente y explique una distribución de frecuencia acumulada “más que” y

una distribución “menor de”.

4. Las edades de cincuenta de los directores ejecutivos de las mejores corporaciones

de la nación reportadas en la edición de la revista Forbes de la edición del 24 de

Mayo de 1997 aparecen en la siguiente tabla de frecuencias.

EDADES Frecuencias

50 54 8

55 59 13

60 64 15

65 69 10

70 74 3

75 79 1

5. La misma edición de la revista Forbes también proporcionó datos sobre los salarios

en miles de dólares. Resulto la siguiente tabla de frecuencias:

Salario (en miles de dólares) Frecuencias

90 439 9

440 789 11

790 1139 10

1140 1489 8

1490 1839 4

1840 2189 3

2190 2540 5

a. Calcule e interprete la media, mediana y la moda.

b. Calcule e interprete la varianza y la desviación estándar.

72

c. Construya el histograma y polígono de frecuencias.

d. Construya las ojivas.

e. Construya el polígono de frecuencias suavizado e indique sus resultados

(media, mediana, moda, sesgo, C.V. y C.A.) en éste.

f. ¿Los salarios están tan dispersos como las edades del problema anterior.

6. The Wall Street Journal describió una disputa entre la gerencia y el sindicato de

trabajo local respecto a la eficiencia y productividad de los trabajadores. La

gerencia argumentaba que a los empleados les tomaba más de 20 minutos

terminar cierto trabajo. Si se mide el tiempo de 85 empleados, arrojando los

resultados tabulados, con base en esta muestra, ¿la gerencia está en lo correcto?

Clase

(número de minutos)

Frecuencia

(número de empleados)

5 6 2

7 8 8

9 10 10

11 12 15

13 14 17

15 16 14

17 18 7

19 20 9

21 23 3

a. Calcule la media, mediana y la moda.

b. Calcule la varianza y la desviación estándar.



e. Construya el polígono de frecuencias suavizado e indique sus resultados

(media, mediana, moda, sesgo, C.V. y C.A.) en éste.

73

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 1. CONCEPTOS BÁSICOS

Calificación:

Completa los espacios en blanco:

1. La ________________ ________________ se ocupa de la __________________, __________________,

_________________, ________________ e ________________ de datos, por tanto, la estadística es un método

científico que pretende sacar conclusiones a partir de unas observaciones hechas.

2. La Estadística actúa como disciplina puente entre los _______________ _______________ y los

_________________ __________________. Un ______________ _________________ es una abstracción

simplificada de una realidad más compleja y siempre existirá una cierta discrepancia entre lo que se

observa y lo previsto por el modelo.

3. La __________________________ es la recolección completa de todas las observaciones de interés para

el investigador. Ésta puede ser ____________________ o _________________.

4. El ____________________ es una medida ___________________ de la población total de todas las

____________________ de interés para el investigador.

5. La _____________________ es una parte representativa de la __________________ que se selecciona para

ser _______________________ ya que la población es demasiado ________________ como para analizarla

en su totalidad.

6. El ______________________ es el elemento que describe una _______________ y sirve como una estimación

del parámetro de la población correspondiente.

Completa el siguiente cuadro sinóptico:

Variable

Es una ________________________

de la población que se está

analizando en un estudio

estadístico

Pueden tomar

valores no

cuantificables

numéricamente

Pueden tomar valores

cuantificables

numéricamente.

Grupo sanguíneo (A, B, AB, O+)

Color de ojos (azul, negros, etc.)

Sólo toma dos valores posibles

Cuando existe un cierto orden

entre las categorías, por ejemplo:

(bajo, medio, alto)

Enteros: numero de hermanos,

número de multas/año.

Reales: peso de un individuo,

tiempo de reacción a un

medicamento.

74

Busca la palabra que complete la oración en la sopa de letras:

7. Las variables pueden clasificarse con base en su escala de ________________.

8. Una medida en escala _________________ se crea cuando se utilizan ________________ para establecer

categorías dentro de las cuales las _________________ pueden registrarse exclusivamente. Es importante

recordar que ésta no indica ningún orden de preferencia, sino que simplemente establece una

disposición ______________________ en la cual se puede ubicar cada observación.

9. Una medida en escala ________________, son las que ______________ las observaciones en categorías

con un orden significativo. Hay quien clasifica sus productos como “buenos”, “mejores” y “los mejores”.

10. En una escala de _______________ las variables se miden de manera ______________, y al igual que los

datos ordinales, llevan inherente un rango u ordenamiento. El valor de ______________ es arbitrario pero

la diferencia entre valores es importante.

11. En una escala de ________________, las medidas son numéricas, el cero es un valor _____________ en

cualquier escala y la diferencia entre valores es importante. Con datos medidos en una escala de

_________________, se puede determinar cuántas veces es mayor una medida que otra.

M I N A L S C A T E G O R I C A I V B J O T I P

E W W E O C V Q R M K J Y N U M E R I D F G K O

D D S D R R R U G J N L U I N T E R V J K L O L

I X A O R D D I N A L L E S D F K G H J K O P L

D A D O A E R I I R T O P J H G F D A S R T Y M

A G F C Q D F P N S T Ñ L I N T E R V A L O J T

A V I O E C V R U A A S D F O A N O M I K A K G

S O V R T V C E O A L T G M M X R A Z B E B L V

D U G D R S D W P X C A O N B G O N S I D F T A

F O N O O D R E C C V Y S B R A Z O N N C C M R

G C U M B R I A E V B K P H E M O N O O V D N I

J I M F T S B M R A Z I N D S C H A N K T E O A

K E E C Y P R N O M I N A L P A L A B R G A F B

L A R J K Ñ F R T M N J H H G B N M Y U I O Q L

I F I J O S Y E R P C R T Y U D I O S H E F A E

U Q C S E R O Y U O L T Y S H K M N H J S G E S

Y V A Y U D Y A N O A M I N A L E R T Y F H I P

T D X R A S O O N C L A S C L A S I F I C A N P

75

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 2. Número de intervalos Óptimo

Calificación:

Las edades de 50 integrantes de un programa de servicio social del gobierno son:

38 51 56 62 66 68 73 77 82 88

42 51 56 64 66 68 74 78 83 91

44 54 60 65 66 69 74 79 83 92

47 55 60 65 67 70 75 80 84 98

51 55 61 65 68 71 76 82 87 99

Use estos datos para construir la tabla de frecuencias con 7 y 13 intervalos iguales.

Suponga que el director de servicios sociales desea saber la proporción de participantes en el

programa que tienen entre 45 y 50 años de edad. ¿a partir de cuál distribución de frecuencias

relativas, de 7 o de 13 intervalos, puede estimar mejor la respuesta?

Valor menor =

Valor mayor =

Rango =

Caso 1: Ni = 7

Tamaño del intervalo 𝑇𝑖 =𝑅

𝑁𝑖

Clase fi fs M.C. Fi Fs f fr (%) fa < q fa > q far < q far > q

1

2

3

4

5

6

7

76

Caso 2: Ni = 13

Tamaño del intervalo 𝑇𝑖 =𝑅

𝑁𝑖

Clase fi fs M.C. Fi Fs f fr (%) fa < q fa > q far < q far > q

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

77

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

%

LÍMITES REALES

Ojivas (Frecuencias acumuladas relativas)

78

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 3. Medidas de tendencia central y de dispersión en datos agrupados

Calificación:

1. Las edades de cincuenta de los directores ejecutivos de las mejores corporaciones de la nación reportadas en la edición de la revista Forbes de

la edición del 24 de Mayo de 1997 aparecen en la siguiente tabla de frecuencias.

clase fi fs M.C. Fi Fs f fr fa < fa> far< far> f*MC f*MC2

1 50 54 8

2 55 59 10

3 60 64 15

4 65 69 9

5 70 74 7

6 75 79 1

Medidas de tendencia central:

n

MCf

x

iN

1iii

i

aA

i Tf

f2

n

Fx~

2

nfa

i21

1i TFx̂

79

Medidas de dispersión, asimetría y kurtosis:

1n

n

MCf

MCf

s

2iN

1iii

iN

1i

2ii

2

s1xvmínimo

s1xvmáximo

s2xvmínimo

s2xvmáximo

ianzavars s3xvmínimo

s3xvmáximo %100

x

s.V.C

s

x̂xS 1k

s

x~x3S 2k

Medidas de posición:

4

nfa

i

aA

i1 Tf

f4

n

FQ

4

n2fa

i

aA

i2 Tf

f4

n2

FQ

4

n3fa

i

aA

i3 Tf

f4

n3

FQ

80

clase Fi Fs f %fr

1

2

3

4

5

6

FR fa < fa > far < far >

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

49.5 54.5 59.5 64.5 69.5 74.5 79.5

% D

E E

JE

CU

TIV

OS

NU

ME

RO

DE

EJE

CU

TIV

OS

EDAD (AÑOS)

OJIVAS

0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%

0

2

4

6

8

10

12

14

16

% D

E D

IRE

CT

IVO

S

NU

ME

RO

DE

DIR

EC

TIV

OS

EDAD (AÑOS)

EDADES DE LOS DIRECTIVOS DE LAS MEJORES CORPORACIONES EN E.U.

49.5 54.5 59.5 64.5 69.5 74.5 79.5 44.5

81

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 4. Caso de estudio I

Calificación:

The Wall Street Journal describió una disputa entre la gerencia y el sindicato de trabajo local

respecto a la eficiencia y productividad de los trabajadores. La gerencia argumentaba que a

los empleados les tomaba más de 20 minutos terminar cierto trabajo. Si se mide el tiempo de 85

empleados, arrojando los resultados tabulados, con base en esta muestra, ¿la gerencia está en

lo correcto?

Clase

(número de minutos)

Frecuencia

(número de empleados)

5 6 2

7 8 8

9 10 10

11 12 15

13 14 17

15 16 14

17 18 7

19 20 9

21 22 3





Conclusiones

82

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 5. Caso de estudio II

Calificación:

Los siguientes datos representan las declaraciones trimestrales de impuestos por ventas (en miles

de dólares), correspondientes al período que finalizó en marzo de 2004, enviados al contralor

del poblado Fair Lake por los 50 negocios establecidos en dicha localidad:

10.3 11.1 9.6 9.0 14.5

13.0 6.7 11.0 8.4 10.3

13.0 11.2 7.3 5.3 12.5

8.0 11.8 8.7 10.6 9.5

11.1 10.2 11.1 9.9 9.8

11.6 15.1 12.5 6.5 7.5

10.0 12.9 9.2 10.0 12.8

12.5 9.3 10.4 12.7 10.5

9.3 11.5 10.7 11.6 7.8

10.5 7.6 10.1 8.9 8.6

a. Calcule la media, la varianza y la desviación estándar de esta población.

b. ¿Qué proporción de estos negocios tienen declaraciones trimestrales de

impuestos sobre ventas dentro de ±1, ±2 o ±3 desviaciones estándar de la

media?

c. Compare y encuentre las diferencias entre sus hallazgos con lo que cabría

esperar de acuerdo con la regla empírica. ¿le sorprenden los resultados

obtenidos en b)?

Conclusiones:

83

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 6. Caso de estudio III

Calificación:

Virginia Suboleski es una supervisora de mantenimiento de aeronaves. Una entrega reciente de

pernos por parte de un nuevo proveedor llamó la atención de uno de los empleados. Suboleski

envió 25 de esos pernos a un laboratorio de pruebas para determinar la fuerza necesaria para

romperlos. A continuación presentamos los resultados en miles de libras de fuerza:

147.8 137.4 125.2 141.1 145.7

119.9 133.3 142.3 138.7 125.7

142.0 130.8 129.8 141.2 134.9

125.0 128.9 142.0 118.6 133.0

151.1 125.7 126.3 140.9 138.2





Conclusiones:

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