PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA Unidad 2...PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA UNIDAD 2 ... Las calificaciones...
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PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA UNIDAD 2 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Las medidas de tendencia central son valores que resumen una variable y que de manera general intentan darte una idea de dónde está la mitad de los datos de una variable. En teoría, las medidas de tendencia central son un valor cercano al centro del rango, y alrededor de ese valor central está repartida toda la variable. Las medidas de tendencia central son: media, mediana y moda. a) MEDIA ( ). También conocida como promedio, es la más comúnmente utilizada y se define como la suma de todos los valores que adquiere la variable dividida entre el número total de éstos. b) MEDIANA (Me). También conocida como el valor medio de una lista de valores. Para calcularla, debemos ordenar de manera ascendente o descendente todos los valores y tomar el valor que esté exactamente a la mitad de la lista, pero si el número de datos es un número par, se tienen dos datos centrales y la mediana es el promedio de los dos valores centrales. c) MODA (Mo). Es el valor más frecuente en una variable, es decir, el más repetido. Si hay un empate entre los valores más repetidos, todos los valores empatados son moda, por lo tanto una variable puede tener más de una moda e incluso puede no existir. EJEMPLO 1. En la clase de Ciencias de la Salud se pidió a 15 estudiantes de una preparatoria que mencionaran el número de horas que durmieron la noche anterior. Los resultados fueron: 7, 8, 5, 6, 8, 9, 5, 8, 11, 10, 8, 6, 7, 7, 6. Determina: a) la media b) la mediana c) la moda a) media Sumamos todos los valores y dividimos entre el número de datos. = 7 + 8 + 5 + 6 + 8 + 9 + 5 + 8 + 11 + 10 + 8 + 6 + 7 + 7 + 6 15 = 111 15 = 7.4
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PROBABILIDADYESTADÍSTICA
UNIDAD2
MEDIDASDETENDENCIACENTRAL
Lasmedidasdetendenciacentralsonvaloresqueresumenunavariableyquedemanerageneral intentandarteuna ideadedóndeestá lamitadde losdatosdeunavariable.Enteoría, las medidas de tendencia central son un valor cercano al centro del rango, yalrededordeesevalorcentralestá repartida toda lavariable.Lasmedidasde tendenciacentralson:media,medianaymoda.a) MEDIA(𝒙).Tambiénconocidacomopromedio,eslamáscomúnmenteutilizadayse
definecomolasumadetodoslosvaloresqueadquierelavariabledivididaentreelnúmerototaldeéstos.
b) MEDIANA (Me). También conocida como el valormedio de una lista de valores.Para calcularla, debemos ordenar demanera ascendente o descendente todos losvalores y tomar el valor que esté exactamente a la mitad de la lista, pero si elnúmerodedatosesunnúmeropar,setienendosdatoscentralesylamedianaeselpromediodelosdosvalorescentrales.
c) MODA(Mo).Eselvalormásfrecuenteenunavariable,esdecir,elmásrepetido.Si
hay un empate entre los valoresmás repetidos, todos los valores empatados sonmoda,por lotantounavariablepuedetenermásdeunamodae inclusopuedenoexistir.
EJEMPLO1.En la clase de Ciencias de la Salud se pidió a 15 estudiantes de una preparatoria quemencionaranelnúmerodehorasquedurmieronlanocheanterior.Losresultadosfueron:7,8,5,6,8,9,5,8,11,10,8,6,7,7,6.Determina:a) lamediab) lamedianac) lamoda
a)mediaSumamostodoslosvaloresydividimosentreelnúmerodedatos.
𝑥 =7 + 8 + 5 + 6 + 8 + 9 + 5 + 8 + 11 + 10 + 8 + 6 + 7 + 7 + 6
15=11115
𝑥 = 7.4
b)medianaOrdenamos losdatosy seleccionamoseldatoqueestáenel centrode la lista.Podemosutilizarlaformula:𝐷𝑎𝑡𝑜 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑙 = !!!
!paraubicarlaposicióndelamediana.
𝐷𝑎𝑡𝑜 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑙 =15 + 12
=162= 8
5,5,6,6,6,7,7,7,8,8,8,8,9,10,11
Son15datosentotalyellugar8(octavo)esel7𝑀𝑒 = 7
c)modaSeleccionamoselvalorquemásserepite.
5,5,6,6,6,7,7,7,8,8,8,8,9,10,11El8eselvalorquemásserepitepuestoqueapareceen4ocasiones.
𝑀𝑜 = 8EJEMPLO2.EnlaclasedeEducaciónFísicasepidióa18estudiantesquesesometieranaunapruebaparamedirsucapacidadfísicaparaelejercicio.Lacapacidaddeestosestudiantesmedidaen minutos fue: 30, 27, 35, 26, 30, 29, 33, 31, 32, 31, 25, 32, 25, 27, 30, 30, 33, 34Determina:a) lamediab) lamedianac) lamoda
a)mediaSumamostodoslosvaloresydividimosentreelnúmerodedatos.𝑥 =
30 + 27 + 35 + 26 + 30 + 29 + 33 + 31 + 32 + 31 + 25 + 32 + 25 + 27 + 30 + 30 + 33 + 3418
=54018
𝑥 = 30b)medianaOrdenamos losdatosy seleccionamoseldatoqueestáenel centrode la lista.Podemosutilizarlaformula:𝐷𝑎𝑡𝑜 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑙 = !!!
!paraubicarlaposicióndelamediana.
𝐷𝑎𝑡𝑜 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑙 =18 + 12
=192= 9.5
25,25,26,27,27,29,30,30,30,30,31,31,32,32,33,33,34,35
Son18datosentotalyellugar9.5(promediamoslosvaloresdelosdatos9y10)quees30 + 30
2= 30
𝑀𝑒 = 30c)modaSeleccionamoselvalorquemásserepite.
25,25,26,27,27,29,30,30,30,30,31,31,32,32,33,33,34,35
El30eselvalorquemásserepitepuestoqueapareceen4ocasiones.𝑀𝑜 = 30
ACTIVIDAD11.AcontinuaciónsepresentanlasedadesdemotociclistasquesehirieronenaccidentesdetránsitoenlaciudaddeMatamoroselmespasado.25,31,20,30,24,40,15,23,20,25,28,20,26,42,17,30,21,14,34,15Determina:a) lamediab) lamedianac) lamoda
2.ElnúmerodejuegosganadoscadaañoporFernandoValenzuelaquienfueralanzadordelosDodgersdeLosÁngeles.:5,15,3,16,20,20,21,22,7,21,10,16,23,22,20,7,15,5,0Determina:a) lamediab) lamedianac) lamoda
3.Losresultadosdeunapruebadematemáticasqueseaplicóaungrupodealumnosdeunapreparatoria:
5.0 5.6 7.6 4.8 8.0 7.5 7.9 8.0 9.26.0 5.6 6.0 5.7 9.2 8.1 8.0 6.5 6.68.0 6.5 6.1 6.4 6.6 7.2 5.9 4.0 5.76.0 5.6 6.0 6.2 7.7 6.7 7.7 8.2 9.0
Determina:a) lamediab) lamedianac) lamoda
OBTENCIÓNDELASMEDIDASDETENDENCIACENTRALDEUNADISTRIBUCIÓNDEFRECUENCIASDEDATOSNOAGRUPADOS.EJEMPLOLascalificacionesdelaasignaturadeQuímicaIIenungrupode52alumnosdeunaescuelapreparatoriaestándadasenlasiguientetabla.Determinalasmedidasdetendenciacentralparalasiguientedistribucióndefrecuencias.
Calificaciónx
frecuenciaf
1 32 43 24 65 76 97 88 69 410 3 N=52
a)media.Agregamoslacolumnafxqueresultademultiplicarlafrecuencia(f)porelvalordeldato,queenestecasoeslacalificación(x).Sesumalosvaloresdefxysedivideentreeltotaldefrecuencias.Calificación
xfrecuencia
ffx
1 3 1x3=32 4 2x4=83 2 3x2=64 6 245 7 356 9 547 8 568 6 489 4 3610 3 30 N=52 𝑓𝑥 = 300
𝑥 =𝑓𝑥𝑁
=30052
𝑥 = 5.77
Eldato26y27seencuentranenrango23-31
b)medianaAgregamoslacolumnafrecuenciaacumulada(fa)
𝐷𝑎𝑡𝑜 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑙 =52 + 12
=532= 26.5
Elvalordelamedianaseobtienepromediandoelvalordeldato26y27.Enamboscasoselvalores6.𝑀𝑒 = 6c)modaLa moda es el valor de mayor frecuencia. En este caso la moda es 6, puesto que sufrecuenciaes9(elmayor).
𝑀𝑜 = 6
Calificaciónx
frecuenciaf
fx fa
1 3 3 32 4 8 73 2 6 94 6 24 155 7 35 226 9 54 317 8 56 398 6 48 459 4 36 4910 3 30 52 N=52 𝑓𝑥 = 300
Calificaciónx
frecuenciaf
fx fa
1 3 3 32 4 8 73 2 6 94 6 24 155 7 35 226 9 54 317 8 56 398 6 48 459 4 36 4910 3 30 52 N=52 𝑓𝑥 = 300
ACTIVIDAD21.Elaboraunatabladefrecuenciasydeterminalasmedidasdetendenciacentralparalascalificacionesdeinglésenungrupode40alumnos.
1 7 9 2 5 4 4 3 7 84 5 6 7 6 4 3 1 5 92 6 4 6 5 2 2 8 3 64 5 2 4 3 5 6 5 2 4
2.Enunexamendematemáticas30alumnoshanobtenido las siguientes calificaciones.Determinalamedia,medianaymoda.
Calificaciónx
frecuenciaf
fx fa
1 2 3 4 5 6 7 8 9 N= 𝑓𝑥 =
Calificaciónx
Nodealumnos
f
fx fa
1 2 2 2 3 3 4 6 5 7 6 6 7 1 8 1 9 1 10 1 N= 𝑓𝑥 =
2. En la siguiente tabla se recoge el número de veces que un grupo de usuarios de unambulatorio han tenido que acudir a su médico en el último año. ¿Cuál es la media,medianaymodadedichasituación?
OBTENCIÓNDELASMEDIDASDETENDENCIACENTRALDEUNADISTRIBUCIÓNDEFRECUENCIASDEDATOSAGRUPADOS.EJEMPLODeterminalasmedidasdetendenciacentraldelasiguientedistribucióndefrecuenciasdedatosagrupados.
Intervalodeclase
frecuenciaf
20-29 1030-39 1640-49 2750-59 3260-69 15
N=50
a)mediaParaobtenerlamediadeunadistribucióndefrecuenciasdedatosagrupadosseutilizalafórmula.:
𝑥 =𝑓𝑥𝑖𝑁
Para esto, se agrega la columnamarcade clase xi y semultiplicapor la frecuenciaparaobtenerfxi
Nodevisitasalmédico
x
No.depersonas
f
fx fa
1 10 3 25 5 43 7 31 10 12 12 4 N= 𝑓𝑥 =
Eldato50estáaquí
Intervalodeclase
frecuenciaf
Marcadeclasexi 𝑓𝑥!
20-29 10 20 + 292
= 24.5 24.5x10=245
30-39 16 30 + 392
= 34.5 34.5x16=552
40-49 27 44.5 1201.550-59 32 54.5 174460-69 15 64.5 967.5
N=100 𝑓𝑥𝑖=4710
𝑥 =4710100
𝑥 = 47.1b)medianaSe agrega primero a la tabla la columna de frecuencias acumuladas (fa). Se utiliza laformula:
𝑀𝑒 = 𝐿!! +𝑁2 − 𝑓!𝑓!"
𝐶!"
PuestoqueN=100,entoncessebuscaeldato!
!= !""
!= 50.Seobservaqueestedatocae
dentrodelintervalo40–49.Eneste caso tenemosqueel límite inferiordel intervalodeclasedondeseencuentra lamediana(𝐿!")es𝐿!" = 40..La suma de las frecuencias anteriores a la clase donde se localiza la mediana 𝑓! es𝑓! = 26Lafrecuenciadelaclasedondeseencuentralamediana 𝑓!" es𝑓!" = 27Laamplituddelaclasedondeseencuentralamediana 𝐶!! .Dentrodelintervalo40–49hay10valores,porlotanto𝐶!"=10.
Intervalodeclase
frecuenciaf
Marcadeclasexi 𝑓𝑥! fa
20-29 10 24.5 245 1030-39 16 34.5 552 2640-49 27 44.5 1201.5 5350-59 32 54.5 1744 8560-69 15 64.5 967.5 100
N=100 𝑓𝑥𝑖=4710
𝑀𝑒 = 𝐿!" +𝑁2 − 𝑓!𝑓!"
𝐶!"
𝑀𝑒 = 40 +50 − 2627
10
𝑀𝑒 = 48.9
c)modaPara determinar el valor de la moda de una distribución de frecuencias de datosagrupadosseemplealafórmulasiguiente:
𝑀𝑜 = 𝐿!" +∆!
∆! + ∆!𝐶!"
Laclasemodales50–59,pueseslaquetienelafrecuenciamásalta(con32).Ellímiteinferiordelaclasemodal 𝐿!" es𝐿!" = 50∆!esunadiferenciaentrelafrecuenciadeclasemodalmenoslafrecuenciadelaclasequeleantecede,esdecir∆!= 32 − 27 = 5∆!esunadiferenciaentrelafrecuenciadeclasemodalmenoslafrecuenciadelaclasequelesigue,esdecir∆!= 32 − 15 = 17𝐶!"eselanchodelaclasedelaclasemodal.Dentrodelintervalo50–59hay10valores,porlotanto𝐶!"=10.
𝑀𝑜 = 𝐿!" +∆!
∆! + ∆!𝐶!"
𝑀𝑜 = 50 +5
5 + 1710
𝑀𝑜 = 52.27
Intervalodeclase
frecuenciaf
Marcadeclasexi 𝑓𝑥! fa
20-29 10 24.5 245 1030-39 16 34.5 552 2640-49 27 44.5 1201.5 5350-59 32 54.5 1744 8560-69 15 64.5 967.5 100
N=100 𝑓𝑥𝑖=4710
ACTIVIDAD3
1. “Comida sobre ruedas” es un programa que consiste en llevar comida caliente aenfermos confinados en casa y se desea evaluar sus servicios. El número de comidasdiariasque suministra apareceen la siguientedistribuciónde frecuencias.Determina lamedia,medianaymoda.
2.Elausentismodiariodeunaempresapareceirenaumento.Elañopasadounpromediode40.2empleadosestuvoausentealgunosdías.Serecolectóunamuestradelañoencursoy los resultados se ubicaron en la distribución de frecuencias que se muestra acontinuación.Conbaseenelladeterminalamedia,medianaymoda.
3. Determina la media, mediana y moda de la siguiente distribución de frecuencias dedatosagrupados.
Númerodecomidasdiarias
Númerodedías(frecuencia)
f
Marcadeclasexi 𝑓𝑥! fa
0-6 4 7-13 6 14-20 10 21-27 8 28-34 2
N=30 𝑓𝑥𝑖=
Númerodeempleadosausentes
Díasenlosqueesenumero
estuvoausente(frecuencia)
f
Marcadeclasexi 𝑓𝑥! fa
20-28 3 29-37 9 38-46 8 47-55 10 56-64 9 65-73 6
N=45 𝑓𝑥𝑖=
Intervalos (frecuencia)f
Marcadeclasexi 𝑓𝑥! fa
5-7 1 8-10 5 11-13 6 14-16 3 17-19 2
N=17 𝑓𝑥𝑖=
