Probabilidad y Procesos Aleatorios · Chupoposky, 15 de Beethoven y 9 de Makano. Su programa...
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Probabilidad y Procesos Aleatorios
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1. Probabilidad • Espacios probabilísticos
• Probabilidad condicional
2. Variables Aleatorias
3. Múltiples Variables Aleatorias
4. Procesos Aleatorios
5. Métodos de Estimación
Plan del curso
Probabilidad
Variables Aleatorias
Múltiples Variables Aleatorias
Procesos Aleatorios
Métodos de Estimación
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Plan del curso
1. Probabilidad
2. Variables Aleatorias • Definición de una variable aleatoria
• Distribución y densidad de probabilidad
• Características de una ley de probabilidad
• Función de una variable aleatoria
• La variable aleatoria Gaussiana
3. Múltiples Variables Aleatorias
4. Procesos Aleatorios
5. Métodos de Estimación
Probabilidad
Variables Aleatorias
Múltiples Variables Aleatorias
Procesos Aleatorios
Métodos de Estimación
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1. Probabilidad
2. Variables Aleatorias
3. Múltiples Variables Aleatorias • Ley de probabilidad: covarianza y correlación
• Probabilidad condicional
• Suma de dos variables aleatorias
• Relación de dos variables aleatorias
4. Procesos Aleatorios
5. Métodos de Estimación
Plan del curso
Probabilidad
Variables Aleatorias
Múltiples Variables Aleatorias
Procesos Aleatorios
Métodos de Estimación
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1. Probabilidad
2. Variables Aleatorias
3. Múltiples Variables Aleatorias
4. Procesos Aleatorios • Definición de un proceso aleatorio
• Densidad de probabilidad de orden superior
• Propiedades de las funciones de autocorrelación y autocovarianza
• Procesos aleatorios estacionarios
• El ruido blanco Gaussiano de promedio cero
5. Métodos de Estimación
Plan del curso
Probabilidad
Variables Aleatorias
Múltiples Variables Aleatorias
Procesos Aleatorios
Métodos de Estimación
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Introducción
Probabilidad
Variables Aleatorias
Múltiples Variables Aleatorias
Procesos Aleatorios
Métodos de Estimación
Experiencia aleatoria: experiencia en la cual el
conocimiento de las condiciones experimentales no permite
predecir el resultado con exactitud
Teoría de las Probabilidades
• Objetivo: modelar una aleatoriedad para poder manejarla
• Modelo probabilista: representación formal de
conocimientos relativos a una experiencia aleatoria.
• La probabilidad de un resultado impredecible es una
información.
• La dependencia entre varios eventos es una información.
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Introducción
Probabilidad
Variables Aleatorias
Múltiples Variables Aleatorias
Procesos Aleatorios
Métodos de Estimación
Historia
• Siglo XVI: evaluación de riesgos en contratos marítimos
• 1654, P. Fermat y B. Pascal: primeras bases matemáticas
• 1657, C. Huygens: “Razonamientos sobre el juego de
dados”
• 1713, J. Bernoulli: noción de variable aleatoria (VA)
• 1812, Laplace: Teorema del límite central
• 1933, Kolmogorov: Teoría axiomática
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Introducción
Probabilidad
Variables Aleatorias
Múltiples Variables Aleatorias
Procesos Aleatorios
Métodos de Estimación
Campos de aplicación
• Juegos de azar
• Teoría del juego: economía y finanzas
• Física: física estadística, mecánica cuántica
• Estadística: control de calidad, fiabilidad de un sistema
• Modelización estocástica: evaluación de riesgos
• Procesamiento de señales: modelos de ruidos
• Teoría de la decisión: reconocimiento de caracteres
• Teoría de la información: comunicaciones digitales
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Probabilidad
Probabilidad
Variables Aleatorias
Múltiples Variables Aleatorias
Procesos Aleatorios
Métodos de Estimación
Espacios probabilísticos
Probabilidad condicional
Espacio probabilístico
Ω: conjunto fundamental, resultados elementales (finito, infinito,
continuo)
ℱ: conjunto de eventos, A 𝜖 ℱ es subconjunto de Ω. P: ley de probabilidad que tiene todo evento A 𝜖 ℱ, P(A) 𝜖 [0,1]
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Probabilidad
Probabilidad
Variables Aleatorias
Múltiples Variables Aleatorias
Procesos Aleatorios
Métodos de Estimación
Espacios probabilísticos
Probabilidad condicional
Conjunto de eventos
Lenguaje de probabilidad: lenguaje de la teoría de conjuntos
A⊂B: A implica B, todos los resultados de A están en B
A∪B: A ó B, evento que se realiza si se realiza uno o el otro, o
ambos
A∩B: A y B, evento que se realiza si A y B se realizan
simultáneamente 𝜙: evento imposible
𝛺: evento certero
𝐴 : evento contrario
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Probabilidad
Probabilidad
Variables Aleatorias
Múltiples Variables Aleatorias
Procesos Aleatorios
Métodos de Estimación
Espacios probabilísticos
Probabilidad condicional
Ley de probabilidad
𝑃 Ω = 1 𝑃 A ∪ B =𝑃 A + 𝑃 B Eventos incompatibles
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Probabilidad
Probabilidad
Variables Aleatorias
Múltiples Variables Aleatorias
Procesos Aleatorios
Métodos de Estimación
Espacios probabilísticos
Probabilidad condicional
Ley de probabilidad
𝑃 𝐴 = 1- 𝑃 A 𝑃 ∅ = 0
Si A ⊂ B ⇒ 𝑃 A ≤ 𝑃 B 𝑃 A ∪ B =𝑃 A + 𝑃 B − 𝑃 A ∩ B
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Probabilidad
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Variables Aleatorias
Múltiples Variables Aleatorias
Procesos Aleatorios
Métodos de Estimación
Espacios probabilísticos
Probabilidad condicional
Espacios probabilísticos finitos
Caso general: 𝑃 𝑊 = 𝑃(𝑤𝑖𝑖 ) donde 𝑊 = 𝑤𝑛, … , 𝑤𝑖 , …𝑤𝑁 y 𝑃(𝑤𝑖) ≠ 𝑃(𝑤𝑛)
Caso equiprobable: 𝑃 𝑤𝑖 =𝑁𝑊
𝑁 donde 𝑁𝑊 es el número de
veces que sucede el evento 𝑤𝑖.
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Enumeraciones: 𝑛 balotas y 𝑝 lances.
Lance orden Lance desorden
Lance sin reuso 𝑝 ≤ 𝑛 Arreglo
𝐴𝑝𝑛 =𝑛!
𝑛 − 𝑝 !
Combinación
𝐶𝑝𝑛 =𝑛!
𝑝! 𝑛 − 𝑝 !
𝑝 = 𝑛
Permutación 𝑛! 1
Lance con reuso
𝑝 Arreglo con
repetición
𝑛𝑝
Combinación con
repetición
𝐶𝑛−1𝑛+𝑝−1
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Múltiples Variables Aleatorias
Procesos Aleatorios
Métodos de Estimación
Espacios probabilísticos
Probabilidad condicional
Probabilidad
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Probabilidad
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Variables Aleatorias
Múltiples Variables Aleatorias
Procesos Aleatorios
Métodos de Estimación
Espacios probabilísticos
Probabilidad condicional
Problema 1.
Los partidos de la 8va fecha del grupo A de la LNA son: Pan
de Azúcar vs Orión, Millenium vs Tierra Firme y Suntracs vs
Atlético Nacional. Cuantos son la cantidad de resultados
posibles. La LNA no ha dado el orden de los partidos,
cuantos resultados hay posibles si los partidos se dan en
cualquier orden.
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Procesos Aleatorios
Métodos de Estimación
Espacios probabilísticos
Probabilidad condicional
Problema 2.
Si se lanzan 5 dados. Cuantos resultados hay posibles. Entre
esos resultados cuantos son de la forma (a,a,b,c,d) y cuantos
de la forma (a,a,b,b,c).
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Probabilidad
Variables Aleatorias
Múltiples Variables Aleatorias
Procesos Aleatorios
Métodos de Estimación
Espacios probabilísticos
Probabilidad condicional
Problema 3.
Una orquesta en su repertorio tiene 30 sinfonías de
Chupoposky, 15 de Beethoven y 9 de Makano. Su programa
contiene una sinfonía de C/U. Cuantos programas diferentes
se pueden tocar, si respetamos el orden C-B-M. Cuantos
programas diferentes se pueden tocar si el orden no importa.
Cuantos programas diferentes se pueden tocar si se puede
tocar más de una sinfonía de la misma categoría en el mismo
programa.
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Probabilidad
Variables Aleatorias
Múltiples Variables Aleatorias
Procesos Aleatorios
Métodos de Estimación
Espacios probabilísticos
Probabilidad condicional
Problema 4.
Se lanza una mano de “poker” (5 cartas) de una baraja de 52
cartas. Cuantos son los resultados posibles. De esos
resultados cuantos son un “full” ( un trío y un par).
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Probabilidad
Probabilidad
Variables Aleatorias
Múltiples Variables Aleatorias
Procesos Aleatorios
Métodos de Estimación
Espacios probabilísticos
Probabilidad condicional
𝑃 𝐵 𝐴 ≝𝑃 A ∩ B
𝑃 A
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Probabilidad
Variables Aleatorias
Múltiples Variables Aleatorias
Procesos Aleatorios
Métodos de Estimación
Espacios probabilísticos
Probabilidad condicional
𝑃 𝐵 𝐴 ≝𝑃 A ∩ B
𝑃 A
Problema 5.
La probabilidad de que Panamá llegue al mundial es de 86%.
La probabilidad de que llegue a 1/8s de final es 39%.
Sabiendo que Panamá llego al mundial, utilice la probabilidad
para calcular la probabilidad que Panamá pase a 1/8s.
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Variables Aleatorias
Múltiples Variables Aleatorias
Procesos Aleatorios
Métodos de Estimación
Espacios probabilísticos
Probabilidad condicional
𝑃 𝐶𝑖 𝐴 ≝𝑃 𝐴 𝐶𝑖 𝑃 𝐶𝑖 𝑃(𝐴 𝐶𝑘)𝑘 𝑃 𝐶𝑘
Problema 6.
Dos urnas contienen balotas rojas y blancas. La primera
urna contiene 9 balotas rojas y 1 blanca. La segunda urna
contiene 1 roja y 4 blancas. Si tomamos una balota al azar y
esta es roja, cual es la probabilidad de que fue tomada de la
urna 1. Utilice el teorema de Bayes.
Teorema de Bayes
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Probabilidad
Variables Aleatorias
Múltiples Variables Aleatorias
Procesos Aleatorios
Métodos de Estimación
Espacios probabilísticos
Probabilidad condicional
Eventos mutuamente exclusivos: 𝑃 A ∩ B = 0 Eventos independientes: 𝑃 A ∩ B = 𝑃 A 𝑃 B
Problema 7.
Una fábrica produce una serie de camisetas en 2 fases
independientes. En la primera fase se produce un defecto A
en un 2% de los casos, en la segunda fase se produce un
defecto 𝐵 en 8% de los casos. Calcular la proba. de que una
camiseta tirada al azar tenga: 1/Ambos defectos. 2/ Al menos
uno. 3/ Un solo defecto. 4/ Ningún defecto.
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Probabilidad
Variables Aleatorias
Múltiples Variables Aleatorias
Procesos Aleatorios
Métodos de Estimación
Distribución de probabilidad
Densidad de probabilidad
Características de una ley de probabilidad
Función de una variable aleatoria
La variable aleatoria Gaussiana
Variable aleatoria (VA)
𝑋 es una VA definida en el espacio probabilístico Ω,ℱ, 𝑃 :
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Probabilidad
Variables Aleatorias
Múltiples Variables Aleatorias
Procesos Aleatorios
Métodos de Estimación
Distribución de probabilidad
Densidad de probabilidad
Características de una ley de probabilidad
Función de una variable aleatoria
La variable aleatoria Gaussiana
𝐸: conjunto discreto de números
𝑋:Ω → 𝐸 𝜔 → 𝑋(𝜔)
Variable aleatoria (VA)
𝑋 es una VA definida en el espacio probabilístico Ω,ℱ, 𝑃 :
VA discreta
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Variables Aleatorias
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Procesos Aleatorios
Métodos de Estimación
Distribución de probabilidad
Densidad de probabilidad
Características de una ley de probabilidad
Función de una variable aleatoria
La variable aleatoria Gaussiana
Función de distribución
Ley de probabilidad
𝑃 𝑋 = 𝑥𝑖 = 𝑝𝑖= 𝑃(𝑥𝑖)
Función de distribución
𝐹 𝑥 = 𝑃 𝑋 < 𝑥 = 𝑝𝑖𝑖 𝑥𝑖<𝑥
VA discreta
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Métodos de Estimación
Distribución de probabilidad
Densidad de probabilidad
Características de una ley de probabilidad
Función de una variable aleatoria
La variable aleatoria Gaussiana
Función de distribución
𝑝𝑖
𝑥𝑖
𝐹(𝑥)
𝑥
Ejemplo
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Probabilidad
Variables Aleatorias
Múltiples Variables Aleatorias
Procesos Aleatorios
Métodos de Estimación
Distribución de probabilidad
Densidad de probabilidad
Características de una ley de probabilidad
Función de una variable aleatoria
La variable aleatoria Gaussiana
Función de distribución
Problema 8.
Suponga una VA 𝑋 que toma valores discretos en
{−1,−0.5, 0.7, 1.5} sus probabilidades correspondientes son
0.1, 0.2, 0.1, 0.4, 0.2 . Grafique la función de distribución,
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Distribución de probabilidad
Densidad de probabilidad
Características de una ley de probabilidad
Función de una variable aleatoria
La variable aleatoria Gaussiana
Función de distribución
VA continua: Distribución Uniforme
Supongamos una ley de proba. uniforme en un intervalo
[𝑎, 𝑏] . La probabilidad de un evento en el intervalo
𝛼, 𝛽 , donde 𝛼 ≤ 𝑎 ≤ 𝛽 ≤ 𝑏 esta dada por:
𝑃 𝛼 ≤ 𝑋 ≤ 𝛽 =𝛽−𝛼
𝑏−𝑎
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Densidad de probabilidad
Características de una ley de probabilidad
Función de una variable aleatoria
La variable aleatoria Gaussiana
Función de distribución
𝐹(𝑥) =
0 para 𝑥 ≤ 𝑎𝑥 − 𝑎
𝑏 − 𝑎 para 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏
1 para 𝑥 ≥ 𝑏
VA continua: Distribución Uniforme
𝐹(𝑥)
𝑥
𝐹 𝑥 = 𝑃(𝑋 < 𝑥)
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Procesos Aleatorios
Métodos de Estimación
Distribución de probabilidad
Densidad de probabilidad
Características de una ley de probabilidad
Función de una variable aleatoria
La variable aleatoria Gaussiana
Función de distribución
Propiedades
• 𝐹 −∞ = 0 • 𝐹 ∞ = 1 • 0 ≤ 𝐹 𝑥 ≤ 1 • 𝑃 𝑥1 ≤ 𝑥 < 𝑥2 = 𝐹 𝑥2 − 𝐹 𝑥1
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Métodos de Estimación
Densidad de probabilidad
Ejemplo: La distribución uniforme
Distribución de probabilidad
Densidad de probabilidad
Características de una ley de probabilidad
Función de una variable aleatoria
La variable aleatoria Gaussiana
𝑓(𝑥) =1
𝑏 − 𝑎
𝑓(𝑥)
𝑥
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Distribución de probabilidad
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Características de una ley de probabilidad
Función de una variable aleatoria
La variable aleatoria Gaussiana
Densidad de probabilidad
Propiedades
• 𝑓 𝑥 =𝜕𝐹(𝑥)
𝜕𝑥⇒ 𝐹 𝑥 = 𝑓 𝑥′ 𝑑𝑥′
𝑥
−∞
• 𝑓(𝑥) ≥ 0
• 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 1∞
−∞
• 𝑃 𝑥1 ≤ 𝑥 < 𝑥2 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑥2𝑥1
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Métodos de Estimación
Características de una ley de probabilidad
Promedio y varianza
Distribución de probabilidad
Densidad de probabilidad
Características de una ley de probabilidad
Función de una variable aleatoria
La variable aleatoria Gaussiana
• Promedio: 𝐸 𝑥 = 𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥∞
−∞
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Distribución de probabilidad
Densidad de probabilidad
Características de una ley de probabilidad
Función de una variable aleatoria
La variable aleatoria Gaussiana
• Promedio: 𝐸 𝑥 = 𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥∞
−∞
• Momento de orden 𝑛: 𝑚𝑛 = 𝐸 𝑋𝑛 = 𝑥𝑛𝑓 𝑥 𝑑𝑥
∞
−∞
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Promedio y varianza
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Densidad de probabilidad
Características de una ley de probabilidad
Función de una variable aleatoria
La variable aleatoria Gaussiana
• Promedio: 𝐸 𝑥 = 𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥∞
−∞
• Momento de orden 𝑛: 𝑚𝑛 = 𝐸 𝑋𝑛 = 𝑥𝑛𝑓 𝑥 𝑑𝑥
∞
−∞
• Momento centrado:𝜇𝑛 = 𝐸[(𝑋 − 𝐸 𝑋 )𝑛]
= (𝑥 −𝑚1)𝑛𝑓 𝑥 𝑑𝑥
∞
−∞
• Varianza: 𝜇2 = 𝐸[(𝑋 − 𝐸 𝑋 )2]
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La variable aleatoria Gaussiana
• Promedio: 𝐸 𝑥 = 𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥∞
−∞
• Momento de orden 𝑛: 𝑚𝑛 = 𝐸 𝑋𝑛 = 𝑥𝑛𝑓 𝑥 𝑑𝑥
∞
−∞
• Momento centrado:𝜇𝑛 = 𝐸[(𝑋 − 𝐸 𝑋 )𝑛]
= (𝑥 −𝑚1)𝑛𝑓 𝑥 𝑑𝑥
∞
−∞
• Varianza: 𝜇2 = 𝐸[(𝑋 − 𝐸 𝑋 )2]
En el caso discreto las integrales se convierten en sumatorias.
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Función de una VA
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Densidad de probabilidad
Características de una ley de probabilidad
Función de una variable aleatoria
La variable aleatoria Gaussiana
𝑋 es VA con una función de densidad 𝑓 𝑥
Queremos definir la ley de probabilidad de Y = α(𝑋)
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Densidad de probabilidad
Características de una ley de probabilidad
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La variable aleatoria Gaussiana
𝑋 es VA con una función de densidad 𝑓 𝑥
Queremos definir la ley de probabilidad de Y = α(𝑋)
𝐹𝑌 𝑦 = 𝑃 𝑌 < 𝑦 = 𝑃(𝛼(𝑋) < 𝑌) 𝐹𝑌 𝑦 = 𝑃 𝑋 < 𝑥1 + 𝑃 𝑥2 < 𝑋 < 𝑥3
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𝑋 es VA con una función de densidad 𝑓 𝑥
Queremos definir la ley de probabilidad de Y = α(𝑋)
𝑓𝑌 𝑦 =𝑓𝑋(𝑥1)
𝛼′(𝑥1)+𝑓𝑋(𝑥2)
𝛼′(𝑥2)+𝑓𝑋(𝑥3)
𝛼′(𝑥3)
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Ejemplo 1
𝑋 es VA con una función de densidad 𝑓 𝑥 . Obtenga 𝐹𝑌(𝑦) y 𝑓𝑌(𝑦)
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Densidad de probabilidad
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La variable aleatoria Gaussiana
Ejemplo 1
𝑋 es VA con una función de densidad 𝑓 𝑥 . Obtenga 𝐹𝑌(𝑦) y 𝑓𝑌(𝑦)
Ejemplo 2
𝑋 es VA con una función de densidad 𝑓 𝑥 . 𝑌 = 𝑐𝑋2.Obtenga 𝐹𝑌(𝑦) y 𝑓𝑌(𝑦)
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Métodos de Estimación
Función de una VA
Distribución de probabilidad
Densidad de probabilidad
Características de una ley de probabilidad
Función de una variable aleatoria
La variable aleatoria Gaussiana
Sea una VA X de densidad de probabilidad definida para 𝑥 ≥ 0:
𝑓 𝑥 =1
𝜋
1
1 + 𝑥2
Demuestre que la VA 𝑌 = 1/𝑋 tiene la misma densidad de
probabilidad que la va X
Ejemplo 3
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Densidad de probabilidad
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𝑓(𝑥)
𝑥
𝑓 𝑥 =1
𝜎 2𝜋𝑒−(𝑥−𝑚)2
2𝜎2
−𝜎 𝜎 𝑚
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Densidad de probabilidad
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La variable aleatoria Gaussiana
𝑓(𝑥)
𝑥 −𝜎 𝜎 𝑚
𝐹 𝑥 = 𝑃 𝑋 < 𝑥 = 1
𝜎 2𝜋𝑒−(𝜉−𝑚)2
2𝜎2𝑥
−∞
𝑑𝜁
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Densidad de probabilidad
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La variable aleatoria Gaussiana
𝐹 𝑥 = 𝑃 𝑋 < 𝑥 =1
2𝜋 𝑒−
𝑢2
2
𝑥−𝑚𝜎
−∞
𝑑𝑢
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Densidad de probabilidad
Características de una ley de probabilidad
Función de una variable aleatoria
La variable aleatoria Gaussiana
𝐹 𝑥 = 𝑃 𝑋 < 𝑥 =1
2𝜋 𝑒−
𝑢2
2
𝑥−𝑚𝜎
−∞
𝑑𝑢 = 𝐹𝑅𝑥 − 𝑚
𝜎
𝐹𝑅 𝑧 =1
2𝜋 𝑒−
𝑢2
2 𝑑𝑢 =1
21 + erf
𝑧
2
𝑧
−∞
función del error
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Ejercicio: Demuestre que 𝑓 𝑥 𝑑𝑥∞
−∞= 1. Obtenga el valor de 𝐸 𝑋 𝑦 𝑉(𝑋).
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Tarea 1: Demuestre que 𝑓 𝑥 𝑑𝑥∞
−∞= 1. Obtenga el valor de 𝐸 𝑋 𝑦 𝑉(𝑋).
• 𝑎𝑒−(𝑥+𝑏)2
𝑐2 𝑑𝑥∞
−∞= a 𝑐 𝜋
Recuerde:
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La variable aleatoria Gaussiana
𝑓(𝑥)
𝑥 0 −𝜎 = −1 𝜎 = 1
𝑓 𝑥 =1
2𝜋𝑒−𝑥2
2
VA Gaussiana centrada y reducida
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Un transmisor emite una señal S, esta pasa a través de un canal de
ruido blanco aditivo Gausiano (BAG). En recepción la señal obtenida
es:
𝑅 = 𝑆 + 𝐵
Donde R representa la señal recibida y B es el ruido BAG. B es una
va con una distribución Gausiana, promedio cero y varianza 𝜎2.
• Cual es la función densidad de probabilidad 𝑓(𝑥) de B.
• Dibuje la función de densidad 𝑓 𝑥 de B.
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Otras distribuciones
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Características de una ley de probabilidad
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Ley de Poisson
Ley binomial 𝑃(𝑋 = 𝑘) = 𝐶𝑛𝑘 𝑝𝑘(1 − 𝑝) 1−𝑘
𝑃(𝑋 = 𝑘) =𝜆𝑘
𝑘!𝑒−𝜆
Ley de Poisson: ley binomial con un valor grande de 𝑛 y un valor de
𝑝 pequeño.
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Otras distribuciones
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Laplace
𝜒2 a 𝑛
Exponencial
Cauchy
𝐸[𝑋] 𝜎
Student
𝑓(𝑥) Parámetros
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Distribución de Rayleigh 𝑓(𝑥) =2𝑥
Ω𝑟𝑒−𝑥2
Ω𝑟 𝑥 ≥ 0 Ω𝑟=2𝜎𝑟2
𝑥
𝑓(𝑥)
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Distribución de Rice
𝒥0 𝑦 ≜ 𝑒−𝑦𝑐𝑜𝑠(𝑧)
2𝜋
0
𝑑𝑧
𝒦𝑟𝑖𝑐𝑒=𝜇𝑟2
2𝜎𝑟2
Ω𝑟=𝜇𝑟2 + 2𝜎𝑟
2
𝑓(𝑥) =𝑥
𝜎𝑟2 𝑒−𝑥2+𝜇
𝑟2
2𝜎𝑟2 𝒥0
𝑥𝜇𝑟
𝜎𝑟2 𝑥 ≥ 0
𝑥
𝑓(𝑥)
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La variable aleatoria Gaussiana
Un componente electrónico funciona solamente si se la aplica una
tensión comprendida entre 22 V y 26 V. Su alimentación es una VA
Gaussiana de promedio 24 V y desviación estándar 𝜎 = 1.8V.
Determine la probabilidad a la cual el componente funciona.
Determine la probabilidad que el componente se destruya. Suponga
que una tensión mayor a 29 V destruye el componente. Que valor de
𝜎 es necesario para que la probabilidad de que el componente
funcione sea 85%.
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Teorema del límite central
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