PROBABILIDADY ECONOMÍA4 MercadosFinancieros...

PROBABILIDAD Y ECONOMÍA 4Mercados Financieros continuos

J. Margalef Roig, S. Miret ArtésE. Outerelo Domínguez

*

III

Prefacio

En este cuarto volumen se extienden los resultados del primero al casode un mercado financiero a tiempo continuo (que es modelo de un mer-cado financiero a tiempo continuo real con sistema de funcionamientodescentralizado de negociación mediante sistemas informáticos -cada vezmás sofisticados- que permiten la actuación de los operadores a distan-cia, desde sus despachos y oficinas, y en tiempo real). Se utiliza de maneraesencial el movimiento Browniano geométrico (P. A. Samuelson) para darprecio y cobertura de activos financieros. Finalmente, mediante técnicasde cálculo numérico se llega a las fórmulas explícitas del precio teórico delas opciones, que es un referente esencial de los precios que marcan losmercados regulados, que se utilizan en el día a día y se incluyen con elmínimo desarrollo matemático en los manuales de Mercados Financieros,(véase, por ejemplo, ([34], 2004)).

Con un poco más de detalle, el contenido del libro es el siguiente:

En la primera sección, se da una breve descripción de los mercadosreales con el objetivo de presentar la terminología básica que permite unamejor comprensión de los modelos abstractos de mercados financieroscontinuos que se construyen a lo largo del libro.

La sección segunda contiene las bases generales de los modelos demercados financieros a tiempo continuo. Los distintos modelos particu-lares se obtienen a partir de este modelo general, dando ecuaciones dife-renciales estocásticas que determinan la evolución de los precios de losactivos financieros que configuran el mercado.

IV

La parte fundamental del libro la constituyen las secciones 3, 4, 5 y 6.En la tercera, se construye el modelo Black-Scholes-Merton (BSM) de unmercado financiero continuo y se establecen las propiedades de la inva-riancia de las estrategias de gestión autofinanciadas por el cambio de Gir-sanov, y se utiliza esta importante técnica del cambio de probabilidad, (porel cambio de Girsanov), para construir la única probabilidad, equivalentea la dada, respecto a la cual los precios actualizados del activo financierocon riesgo constituyen una martingala. En la sección cuarta, se estable-cen los teoremas centrales del modelo BSM cuyas características nos lle-van a asignar el precio de las opciones europeas (call y put) y las opcionesamericanas, y nos permiten obtener fórmulas explícitas de los precios deestos tipos de opciones, así como de la cobertura de las mismas. Estos re-sultados fueron formulados por primera vez por Fischer S. Black y MyronS. Scholes en el artículo ([4], 1973), e independientemente por Robert C.Merton en ([35], 1973), utilizando la teoría de las ecuaciones diferencialesen derivadas parciales. La técnica del cambio de probabilidad para obte-ner las fórmulas citadas, que es la que se ha utilizado en la sección cuarta,se debe a John M. Harrison y Stanley R. Pliska ([16], 1981). En la secciónquinta, se relaciona el problema del precio de las opciones, en el modeloBSM de mercado financiero continuo, con las ecuaciones diferenciales enderivadas parciales de tipo parabólico. Entonces, con las técnicas clásicasdel Cálculo Numérico, en la sección sexta del libro, se llega a fórmulas decálculo aproximado de los precios de las opciones, que son las que se uti-lizan en la práctica cotidiana de los mercados financieros reales.

A partir de las ideas que han servido para construir el modelo BSM, enla séptima y última sección del libro, se inicia el estudio de modelos ge-neralizados de mercados financieros continuos modelizados sobre el mo-vimiento Browniano de dimensión n (procesos de Wiener) y se aborda laproblemática de la existencia de arbitrajes y de la completitud del merca-do. También, se establecen fórmulas generales de valoración de opcioneseuropeas y americanas en el momento de su adquisición. Los resultadosde esta sección marcan la pauta a seguir para la construcción y estudio demodelos de mercados financieros continuos más generales, que estudia-remos en volúmenes posteriores de esta obra, con un concepto de integral

V

más general que el de Itô y la utilización de semimartingalas como proce-sos estocásticos de los precios de los activos con riesgo.

Finalmente, se advierte al lector que a lo largo de todo este libro lasreferencias de resultados de los volúmenes 1, 2 y 3, de esta obra, llevanasociadas V. 1, V. 2 y V. 3, respectivamente.

Nuestro agradecimiento al Dr. D. Manuel Linares Linares por las fruc-tíferas discusiones y colaboraciones en estos temas, y al Dr. D. José MaríaSánchez Abril autor de la excelente maquetación del libro.

Este trabajo ha sido parcialmente financiado por el proyecto: FIS2014-52172-C2-1-P (Ministerio de Economía y Competitividad).

LOS AUTORES

Índice general

Prefacio III

Índice general VII

5. Mercados financieros a tiempo continuo 15.1. Mercados financieros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.2. Modelos de mercados financieros continuos (MFC) . . . . . . 115.3. Modelo de Black-Scholes-Merton (BSM) . . . . . . . . . . . . 165.4. Evaluación y cobertura de las opciones en el modelo BSM . . 325.5. Precios de opciones y ecuaciones en derivadas parciales . . . 625.6. Valor aproximado del precio de las opciones . . . . . . . . . . 945.7. MFC sobre un proceso de Wiener de dimensión n . . . . . . . 107

Bibliografía 139

Índice alfabético 143

VII

VIII ÍNDICE GENERAL

Capítulo 5

Mercados financieros a tiempocontinuo

5.1. Mercados financieros reales

Observamos un mercado financiero real con los agentes que intervienen,las regulaciones existentes, los activos financieros y sus precios, la forma-ción de estos precios y las transacciones que realizan los agentes con di-chos activos financieros, y se pone de manifiesto de inmediato que hay ac-tivos sin riesgo, salvo incumplimiento en el pago (default) de la deuda queemiten algunos Estados o algunas grandes compañías, (activos de este ti-po son, por ejemplo, deuda pública a corto plazo, los depósitos, las cuentasbancarias, pagarés a corto plazo, etc.), y hay activos con riesgo los cualespresentan una marcada aleatoriedad en la formación de sus precios, (porejemplo, una acción, un pagaré a largo plazo de una empresa, etc). Un in-versor (particular o institucional a través de agentes autorizados) compray vende activos financieros en este mercado y a la acumulación de todoslos activos de su propiedad se le llama cartera (portfolio). Se ha buscado,desde hace muchos años, dar un modelo de este mercado real que apor-tara claridad y precisión sobre todo en la formación de los precios de losactivos y sus derivados financieros y las transacciones de estos activos enel mercado.

1

2 CAPÍTULO 5. MERCADOS FINANCIEROS A TIEMPO CONTINUO

Para una mejor comprensión de los modelos abstractos de los merca-dos financieros reales, es importante analizar su estructura y los activos oinstrumentos financieros que se negocian en dichos mercados financierosreales.En la economía financiera se distinguen los siguientes objetos clave y es-tructuras que definen y explican la naturaleza específica de los problemasfinancieros, los objetivos de la teoría financiera y qué técnicas matemáti-cas son las más adecuadas para su estudio:

(1). Agentes económicos.

(1a). Unidades de gasto con déficit (UGD) o prestatarios.Son agentes necesitados de financiación en un momento dadoque emiten cierto tipo de activos o instrumentos financieros,para captar la liquidez de agentes con capacidad de ahorro.

(1b). Unidades de gasto con superávit (UGS) o prestamistas.

En la vida real las UGD y UGS se identifican con los individuos, las fa-milias, las empresas y el propio Estado. Un agente económico puedeactuar como UGD y como UGS (por ejemplo, una empresa del sectorproductivo puede mantener en su activo una cierta cartera de valo-res y al mismo tiempo, que en su pasivo aparezca una financiaciónajena a largo plazo).

(2). Mediadores.Son agentes que intermedian entre las UGD y UGS sin modificar losactivos financieros emitidos. Se distinguen dos tipos:

(2a). Comisionistas (Brokers).Son agentes que cobran una comisión por los servicios presta-dos y no asumen riesgos en las operaciones ya sean de ganan-cias o de pérdidas.

(2b). Dealers.Compran y venden activos por cuenta propia y asumen el ries-go de movimientos adversos en los precios de los título nego-ciados. Como ejemplos de dealers tenemos los bancos.

5.1. MERCADOS FINANCIEROS REALES 3

(3). Intermediarios.Son agentes económicos que prestan o piden prestados fondos. Rea-lizan transformaciones en los activos, pues compran activos a lasUGD y los venden modificados a las UGS. La intermediación la eje-cutan los bancos, las compañías de inversión, los seguros, etc..

(4). Activos o instrumentos financieros principales o primarios.Los activos financieros primarios son los que representan una par-te alícuota de un préstamo o del capital social de una corporación(privada o pública). A continuación se detallan algunos de ellos:

(4a). Acciones de sociedades.Una acción es un activo, de renta variable, que representa partealícuota del capital de la sociedad que la emite y confiere a su ti-tular la condición de socio, con los consiguientes derechos eco-nómicos (reparto de dividendos) y políticos. Se pueden enaje-nar.

(4b). Depósito monetario a plazo fijo.Es un activo, de renta fija, garantizado hasta una cierta cantidadpor el Supervisor. Si C es la cantidad inicial, al final del tiempot se tiene el capital C ·exp(r t ), (fórmula de capitalización).

(4c). Préstamo de una institución.Es el activo financiero simétrico del anterior.

(4d). Bonos, Pagarés, Letras y Obligaciones de diversos vencimien-to.Es deuda emitida por instituciones estatales o particulares yquedan determinados por el nominal, el tipo de interés y elvencimiento, (el Bono Estatal (español) a 10 años, mide la pri-ma de riesgo, al compararlo con su homólogo alemán).

(4e). Fondos, colectivos, de inversión.Los inversores I1,...,In aportan los capitales C (0)

1 ,...,C (0)n , respec-

tivamente, en el tiempo t = 0 y se crean (en t = 0) N partici-paciones para cubrir el capital (C (0) =)C (0)

1 + ...+C (0)n . Entonces,

C (0)/N (= L(0)) es el valor de cada participación en t = 0. El capi-tal C (0) está constituido por metálico y se pacta la vocación del


fondo, es decir, qué tipo de transaciones se van a realizar. Laoperativa del fondo es que en cada cierre diario t1 (se discretizael tiempo en días) se calcula el nuevo capital del fondo, C (t1),el nuevo número de participaciones Nt1 y el valor liquidativo,C (t1)/Nt1 (= L(t1)), de cada nueva participación (aquí, de nuevola participación es un título de propiedad). En t = 0, las partici-paciones se reparten entre los inversores proporcionalmente.

(4f ). Cualquier capital C , público o privado, se puede considerar co-mo un Banco y genera, bajo las normas regulatorias vigentes,activos financieros, entre otros, como (4a), (4b), (4c), (4d), (4e).

(4g). Participaciones preferentes.Son activos financieros híbridos entre acciones y bonos. Su prin-cipal característica es una alta rentabilidad fija (en España sehan vendido preferentes con intereses anuales de hasta el 8 %).No obstante, los riesgos son igual de altos que los intereses,pues las entidades solo abonarán estos retornos si alcanzan undeterminado nivel de beneficios. Además, son instrumentos fi-nancieros sin vencimiento prefijado, lo que hace que el inver-sor no pueda recuperar su dinero cuando lo desee.

(4h). Deuda subordinada.Son títulos valores de renta fija con rendimiento explícito, emi-tidos habitualmente por entidades de crédito y grandes socie-dades, en los que el cobro de los intereses puede estar condi-cionado a la existencia de un determinado nivel de beneficios.De igual manera, en caso de liquidación o quiebra de la enti-dad emisora, al establecerse el orden de pago a los acreedores,esta deuda se coloca por detrás de los acreedores ordinarios. Acambio de este mayor riesgo, que asumen los compradores debonos subordinados, suelen ofrecer una rentabilidad mayor ala de del mercado de renta fija estricta.Existen tres tipos de deuda subordinada: 1. Redimible, cuyo prin-cipal tiene un vencimiento determinado en el tiempo; 2. Noredimible, cuyo principal no tiene vencimiento y produce unadeuda perpetua; y 3. Convertible en acciones, en determinadafecha a opción de la sociedad o del titular de los bonos.


(5). Activos o instrumentos financieros derivados.La característica esencial de los activos financieros derivados es sudependencia de otro activo financiero que se denomina subyacente.Surgen de la necesidad de eliminar el factor riesgo de algunas activi-dades productivas, y entre los más relevantes tenemos los siguientes:

(5a). Opciones.Una opción es un contrato que da derecho (pero no obligación)a su poseedor a vender o comprar un activo financiero a un pre-cio determinado, (precio de ejercicio), durante un periodo detiempo o en una fecha determinada. Para adquirir estos con-tratos se paga una prima cuyo importe se obtiene, como vere-mos, de los teoremas importantes y fundamentales de la teoríadel modelo abstracto del mercado financiero. Por otro lado, elemisor debe dar garantías para que el inversor pueda ejercer elderecho adquirido, y se tiene el problema de la cobertura (hed-ging). En resumen, las opciones se caracterizan por tener unactivo financiero subyacente, una fecha de vencimiento (ma-turity), un precio (strike) y un tipo oficial del dinero, que hayque tenerlo en cuenta para el cálculo de la prima.Las opciones que se pueden ejercer antes de la fecha de venci-miento se les llama americanas y las que sólo se pueden ejerceren la fecha de vencimiento se les llama europeas. Las opcionesde compra se les denominan call y las de venta put.Se tienen además opciones sobre tipos de interés a corto o lar-go plazo, índices bursátiles, sobre materias primas y divisas.Finalmente, existen opciones exóticas, que son opciones cuyoprecio de ejercicio se fija según la evolución del precio del acti-vo subyacente. Por ejemplo, las opciones asiáticas son aquellasen las que precio de ejercicio se determina como la media delas cotizaciones del activo subyacente durante un período detiempo.

(5b). Forwards.Son contratos por los que dos instituciones se obligan a com-prar y vender un activo financiero a un determinado precio enla fecha de vencimiento pactada. No se negocian en mercados


regulados, y por tanto resulta difícil deshacer la operación (be-neficio o pérdida al vencimiento del contrato).

(5c). Futuros.Son contratos análogos a los Forwards que se negocian en mer-cados regulados y que se pueden vender antes de la fecha devencimiento.

(5d). Swaps, (intercambio financiero).En estos contratos, las dos partes acuerdan intercambiar pagoso cobros a lo largo del tiempo. No se negocian en mercados or-ganizados y regulados.

(5e). Warrants.Son tipos especiales de opciones y la diferencia entre ellos espuramente nominal.

(5f ). Combinaciones.Estrategias de compra o venta de varias opciones de distintotipo (call y put).

(5g). Spreads.Estrategia de compra o venta de varias opciones del mismo tipo(call o put).

(5h). CDS (Credit Default Swaps).Son instrumentos financieros que aseguran una deuda en ca-so de impago del emisor. Miden el riesgo de crédito y asegu-ran contra quiebras o impagos. Cuando se toman deudas so-bre compañías extranjeras, se utilizan los CDS para cubrirse delriesgo país.

(5i). Repo.Venta de un activo financiero (de deuda pública) con pacto derecompra a un tipo de interés determinado. Los tipos de interésofrecidos dependen de los tipos de interés de la deuda pública.

(5j). Contratos por diferencias (CFD).Son contratos que se establecen entre un inversor particular yuna entidad financiera. Su riesgo es superior al de las opciones,futuros y warrants, por falta de regulación. El inversor estará


siempre a expensas del precio que ofrezca la entidad con la cualcontrata el producto.

(6). Mercados.Lugares donde, o mecanismos y procedimientos a través de los cua-les, se intercambian productos (dinero, divisas, metales preciosos)y activos o instrumentos financieros, y se fijan sus precios. Con losavances del tratamiento automático de la información y de las tele-comunicaciones, los mercados convencionales de lugar de encuen-tro físico de compradores y vendedores ha perdido gran parte de susignificado. Existen mercados donde no se produce contacto físicoentre compradores y vendedores (por ejemplo, el Mercado de Deu-da anotada del Estado, donde las operaciones se realizan a través deordenadores).

La actividad financiera se puede describir en términos del dilema:Consumo-inversión. La ambivalencia en el comportamiento tantode consumidores (consume ahora más) como de inversores (invier-te ahora para obtener más en el futuro) conduce a un problema deoptimización formulado en economía matemática como consumo-ahorro, (este problema se trata en la Teoría de la Utilidad), y a un pro-blema de decisión de constituir una cartera (conjunto de productosadquiridos por un inversor). El problema de constituir una cartera sepuede describir, de forma simplificada, como el problema de la me-jor inversión de fondos con la debida atención a los posibles riesgos.En la cartera de cualquier inversor la cantidad de activos financierosdebe ser variada y de sectores no correlacionados del mercado paraevitar un elevado riesgo (la idea de diversificación se refleja en ada-gios bien conocidos, a saber, no pongas todos los huevos en un mismocesto o nada arriesgado nada ganado.

La interrelación entre oferta y demanda, en una economía libre demercado, es la que conduce al precio actualizado (spot price) de ca-da producto.


En la actividad de los mercados juega un papel importante la vola-tilidad del mercado, que hace referencia a la velocidad de cambiode los precios de los productos que se negocian en el mismo. Losmercados en los cuales los precios de los productos cambian lenta-mente, se llaman mercados de baja volatilidad, mientras que aque-llos en los que la variación de precios es muy rápida son mercadosmuy volátiles. Se distinguen tres tipos de volatilidad: futura (impor-tante para el inversor, pero imposible de determinar a priori), histó-rica (refleja el comportamiento del mercado en el pasado, y dependedel período de tiempo que se considera para su análisis) e implícita(se determina conociendo todos los factores que se han utilizado enla determinación del precio de los productos, y aplicando criteriosde valoración).

La liquidez de un mercado significa que un inversor puede fácilmen-te comprar o vender un activo financiero en cualquier momento.Cuanto más líquido es un mercado, más segura es la inversión.

En los mercados hay, básicamente, tres tipos de riesgo: Riesgo de cré-dito, riesgo operacional y riesgo de mercado. El primero considerala posibilidad de que alguna de las partes no pueda o pueda par-cialmente cumplir las obligaciones a las que se ha comprometido alfirmar un contrato. El segundo tipo de riesgos incluye todo tipo deerrores humanos y tecnológicos o condiciones adversas durante lastransacciones. Y, por último, el tercer riesgo está relacionado con lasfluctuaciones de los precios de los productos debidas a la dinámicade la oferta y la demanda, influencias externas tales como de índolegeopolítico, variaciones en los intereses, etc.

El arbitraje es una actividad financiera en la que simultáneamentese compra un producto en un mercado y se vende el mismo pro-ducto en otro mercado, obteniendo ventajas mediante la diferenciade precios entre ambos mercados. El arbitraje es una operación nor-malmente a muy corto plazo con obtención de beneficios sin ningu-na pérdida de dinero, es decir, libre de riesgos (chollo). En un mismomercado, se pueden tener arbitrajes por anomalías en los precios delos productos que se negocian en él. Los mercados sin posibilidadesde arbitrajes, (sin chollos), se llaman viables, (V. 1, pág. 119).


El apalancamiento es una actividad financiera en la que se utiliza elendeudamiento para financiar una inversión. Con la deuda se ge-nera un coste financiero (intereses), pero si la inversión genera uningreso mayor a los intereses a pagar, la diferencia incrementa el be-neficio del inversor.

La especulación consiste en el intento de obtener ganancias por par-te de un inversor (especulador) a partir de su capacidad para pre-decir un movimiento en los precios, de los productos, no anticipadopor el mercado.

Los mercados según su grado de formalización se clasifican en orga-nizados y no organizados. En los primeros se negocian grandes can-tidades de títulos de forma simultánea en un solo lugar bajo ciertasnormas y reglamentos (por ejemplo, la Bolsa de Valores). Los merca-dos no organizados son los que no se someten a una reglamentaciónestricta y en los que se negocia sin que exista un lugar concreto paraello (por ejemplo, los mercados over the counter (OTC)).

Mencionamos algunos de los mercados:

(6a). Mercados de dinero.

(6b). Mercados de divisas.Con las reservas, el cambio y la masa monetaria circulante sepuede deducir la solidez económica de un país.En los negocios en que interviene más de una moneda apareceel contrato Swaps de riesgo y volatilidad altos.

(6c). Mercados de metales preciosos.

(6d). Mercados del petróleo Brent.

(6e). Mercados de cuentas Bancarias.

(6f ). Mercados de Deuda Pública.

(6g). Mercados de acciones.


(6h). Mercados financieros.En este mercado especial, los productos intercambiados sonlos activos o instrumentos financieros.

(7). Técnicas matemáticas.Teniendo en cuenta la esencia de los mercados financieros, las he-rramientas matemáticas adecuadas para la elaboración de modelosde partes de estos mercados son las siguientes:

(7a). Teoría de procesos estocásticos.

(7b). Cálculo estocástico.

(7c). Estadísticas de los procesos estocásticos.

(7d). Optimización estocástica.

Ejercicios y problemas

1.1. Las características de un activo financiero son:

(1). Liquidez.Medida de la posibilidad de que un activo financiero se pueda trans-ferir antes de su vencimiento, en un mercado, sin pérdida de capital.Se le designa por L.

(2). Riesgo.Es función de que a su vencimiento el emisor del activo financierocumpla con lo pactado en las cláusulas de amortización. Se le desig-na por R .

(3). Rentabilidad.Se refiere a los rendimientos nominales generados por la correspon-diente inversión financiera en el activo. Se le designa por r .

La relación entre estas características de los activos financieros se expresade la forma R = f (L,r ) con las condiciones ∂ f

∂L < 0, ∂ f∂r > 0.

Dar una interpretación financiera de las dos condiciones anteriores.

5.2. MODELOS DE MERCADOS FINANCIEROS CONTINUOS (MFC) 11

5.2. Modelos de mercados financieros continuos(MFC)

La idea de mercado financiero discreto (MFD) expuesta en la página 77del V. 1, se extiende de forma natural al caso de tiempo continuo. En estecaso, el dominio de variación del parámetro t , (t se asimila usualmente altiempo), es el intervalo JT = [0,T ] ⊂ R, (0 < T < +∞), (a veces el intervaloconsiderado será [0,+∞), que se designa también por J∞).

Una base estocástica (Ω,F , Ft t∈JT ,P ), que, por definición, consiste enun espacio de probabilidad completo (Ω,F ,P ) y una filtración Ft t∈JT , (V.3, pág. 23), en este espacio tal que:

(1) Ft t∈JTes completa respecto a P , (V. 3, pág. 24). Como F0 ⊂Ft , t ∈ JT ,

es claro que la completitud de Ft t∈JT equivale a que F0 contengaa N , donde N = N ∈F : P (N ) = 0, (los P-cero-conjuntos de F ).

(2) Ft t∈JT es continua por la derecha, (V. 3, pág. 24), es decir,

Ft =⋂

s∈(t ,T ]Fs , t ∈ JT , (en particular, FT =F );

junto con d +1, (d ∈N), activos financieros primarios, S0 (activo sin riesgo,por ejemplo una cuenta bancaria), S1,..., Sd , (activos con riesgo, por ejem-plo acciones), cuyos respectivos precios en cada instante t ∈ JT , S0

t , S1t ,...,

Sdt , son variables aleatorias y

S0 =S0

t

t∈JT

, S1 =S1

t

t∈JT

, ..., Sd =

Sdt

t∈JT

,

son procesos estocásticos en (Ω,F ,P ) adaptados a la filtración Ft t∈JT, (V.

3, pág. 25), continuos por la derecha con límite por la izquierda (CDLI), (V.3, pág. 3), estrictamente positivos, (P-a.s.) las trayectorias de S0 =

S0

t

t∈JT

son de variación acotada, y S00 = 1, constituyen, por definición, un merca-

do financiero a tiempo continuo o mercado financiero continuo (MFC).

En un MFC la σ-álgebra Ft representa la información disponible en elinstante t ∈ JT .


Nota. Recordamos que una función f : [a,b] → R, (a,b ∈ R, a < b), es devariación acotada (VA) o variación finita (VF) si existe un número real po-sitivo M tal que

∑i=n−1i=0 | f (ti+1)− f (ti )| 6 M , para todo t0, t1, ..., tn ∈ [a,b]

con a = t0 < t1 < ... < tn = b, y que si una función f es de variación acotadaen [a,b], entonces existe la integral de Riemann de f en [a,b].

Observación 1. (1). Recordamos: Sean (Ω,F ,P ) un espacio de probabili-dad, (E ,E ) un espacio medible y η : Ω→ E una variable aleatoria en (Ω,F )con valores en (E ,E ), (V. 2, pág. 149). Entonces:(a). Un elemento e de E es una realización de la variable aleatoria η si exis-te ω ∈Ω tal que η(ω) = e .(b). La aplicación Pη : E → [0,1], dada por Pη(A) = P

(η−1(A)

), A ∈ E , es una

probabilidad en (E ,E ), que se llama distribución de probabilidad de η en(E ,E ), (V. 2, pág. 151).

Sea ξ = ξs s∈S , S subconjunto infinito de R, un proceso estocásticoreal en (Ω,F ) con dominio del parámetro S, (V. 3, pág. 2). Consideramosel espacio medible

(R

S ,B(R

S))

y X ξ : Ω → RS la aplicación definida por

X ξ(ω)(s) = ξs (ω), ω ∈Ω, s ∈ S, que es una variable aleatoria en (Ω,F ) con

valores en(R

S ,B(R

S))

. Por tanto, por lo recordado en (b), se tiene la pro-babilidad PXξ

en el espacio medible(R

S ,B(R

S))

. Además, si (s1, ..., sn) esuna n-tupla ordenada de elementos distintos dos a dos de S, entonces(ξs1 , ...,ξsn

): Ω → R

n es una variable aleatoria en (Ω,F ) con valores en

el espacio medible (Rn ,B (Rn)) y P(ξs1 ,...,ξsn

) (B n) = P((ξs1 , ...,ξsn

)−1(B n)

)=

PXξ

(J(s1,...,sn ) (B n)

), B n ∈ B (Rn), puesto que se tiene X −1

ξ

(J(s1,...,sn ) (B n)

)=

(ξs1 , ...,ξsn

)−1(B n), (V. 3, páginas 4 y 5).

Finalmente, sea x ∈RS una realización de la variable aleatoria X ξ : Ω→

RS . Entonces, existe ωx ∈Ω tal que X ξ(ωx ) = x y, naturalmente, para todo

ω′x ∈ X −1

ξ(x), se tiene que X ξ(ω′

x ) = x. Para todo s ∈ S (y ωx , fijo, en X −1ξ

(x))

se cumple que X ξ(ωx )(s) = ξs (ωx ) = x(s).

Consideramos ϕωx

ξ: S → R, s 7→ ξs (ωx ), la trayectoria de ξ en ωx , que sa-

bemos que es medible. Entonces, ϕωx

ξ(s) = ξs (ωx ) = x(s) ∈ R, s ∈ S. Luego,


ϕωx

ξ= x, y por tanto, la realización x de la variable aleatoria X ξ es la tra-

yectoria ϕωx

ξdel proceso estocástico ξ en ωx , (V. 3, pág. 2). Obsérvese que

ϕωx

ξ= ϕ

ω′x

ξ, para todo ω′

x ∈ X −1ξ

(x). Supongamos, ahora, la trayectoria ϕω

ξ,

ω ∈Ω, del proceso estocástico ξ en ω, (V. 3, pág. 2). Entonces, ϕω

ξes la rea-

lización X ξ(ω) de la variable aleatoria X ξ, ya que ϕω

ξ(s) = ξs (ω) = X ξ(ω)(s),

s ∈ S.

(2). En un MFC, con base estocástica (Ω,F , Ft t∈JT ,P ), el precio del ac-tivo financiero Si , i = 0,1, ...,d , en el tiempo t ∈ JT , es la variable aleato-ria Ft -medible Si

t , (pág. 11). Así, con la terminología recordada en (1), lasrealizaciones de Si

t son números reales, y para todo B ∈ B(R) el conjunto

ω : ω ∈Ω y Sit (ω) ∈ B =

(Si

t

)−1(B) es un elemento de Ft , (Ft ⊂ F ), y por

tanto está definida la probabilidad PS it(B) = P

((Si

t

)−1(B)

), del suceso B .

En particular, si Sit es una variable aleatoria constante, Si

t tiene una únicarealización ut ∈ R y PS i

t(ut ) = P (Ω) = 1, (ut ∈B(R)). Además, para cual-

quier otro número real v con v 6= ut , se tiene que PS it(v) = P (;) = 0.

(3). Los conceptos de activos sin riesgo y con riesgo se establecerán másadelante, con toda generalidad, en cada modelo particular de mercado fi-nanciero continuo. En algunos de estos modelos, se define el activo sinriesgo S0 como aquel en que las variables aleatorias S0

t , t ∈ JT , son cons-tantes de valor Ct . En este caso, el precio de S0 en t ∈ JT tiene a Ct como

única realización y P((

S0t

)−1(Ct )

)= PS0

t(Ct ) = P (Ω) = 1, t ∈ JT .

Un MFC en el que S0t es la variable aleatoria constante de valor 1, para

todo t ∈ JT , se llama normalizado.

Dado un MFC con activos financieros primarios S0, S1,..., Sd , y preciosde estos activos en el tiempo t ∈ JT , S0

t , S1t ,..., Sd

t , respectivamente, para

todo t ∈ JT y todo i ∈ 0,1, ...,d a(S

it =

)Si

t /S0t se le llama precio actualizado

en t ∈ JT del activo Si , (es decir, se toma S0t como unidad de precio y se

calcula el precio, en el instante t ∈ JT , del activo financiero Si en términosde esta unidad).


Observación 2. Asociado a un MFC con base estocástica(Ω,F , Ft t∈JT ,P

)

y activos financieros S0, S1,..., Sd , con precios en el tiempo t ∈ JT , S0t , S1

t ,...,Sd

t , respectivamente, se tiene un MFC normalizado con la misma base es-tocástica y con los mismos activos S0, S1,..., Sd , pero con otra escala de

precios en t ∈ JT , S0t = S0

t /S0t = 1, S

1t = S1

t /S0t ,..., S

dt = Sd

t /S0t , respectivamen-

te, es decir, los precios actualizados.

Una cartera (portfolio), (V. 1, pág. 118), en un MFC con base estocás-tica

(Ω,F , Ft t∈JT

,P)

y activos financieros primarios S0, S1,..., Sd , conprecios en t ∈ JT , S0

t ,..., Sdt , respectivamente, es un proceso estocástico en

(Ω,F ,P ) medible, φ=(

H0t , H1

t , ..., Hdt

)t∈JT

, (V. 3, pág. 21), del espacio me-

dible (JT ,B(JT ))⊗ (Ω,F ) en(R

d+1,B(R

d+1))

, y adaptado a Ft t∈JT , don-de H i

t da, en el instante t , la cantidad del activo financiero Si que hay enla cartera, i = 0,1, ...,d , t ∈ JT . Un inversor consigue una cartera φ nego-ciando con los activos financieros del mercado siguiendo una estrategia degestión. Dada una cartera φ, se llama valor de dicha cartera, en el instantet ∈ JT , a la variable aleatoria

H0t S0

t +H1t S1

t + ...+Hdt Sd

t

(=Vt

(φ

)).

Es claro queVt

(φ

)t∈JT

es un proceso estocástico real.

Además, si φ es una cartera de un MFC, entonces también es una carte-ra en el mercado normalizado asociado al mercado dado, y el valor de lacartera, en el instante t ∈ JT , en el mercado asociado es

(V t

(φ

)=

)H0

t ·1+H1t S

1t + ...+Hd

t Sdt .

Se tiene que V t(φ

)=

(Vt

(φ

))/S0

t , t ∈ JT . A V t(φ

)se le llama valor actuali-

zado de la cartera φ en el instante t ∈ JT .Finalmente, observamos que toda cartera en el MFC normalizado asocia-do es también cartera en el MFC dado. Así, ambos mercados tienen lasmismas carteras.Se dice que una estrategia de gestión φ=

(H0

t , H1t , ..., Hd

t

)t∈JT

, en un MFC,es autofinanciada si

Vt(φ

)=V0

(φ

)+

∫t

0

(H0

s dS0s +H1

s dS1s + ...+Hd

s dSds

), t ∈ JT ,

donde la integral, que se supone que existe, se especificará más adelante.


Una estrategia de gestión autofinanciada φ =(

H0t , H1

t , ..., Hdt

)t∈JT

se

dice que es débilmente admisible si existe una constante K(φ

)< +∞ tal

que Vt(φ

)>−K

(φ

), (λT ×P )-a.s, (λT medida de Lebesgue en JT , (V. 2, pág.

106)). Esta condición de admisibilidad refleja la condición natural, en losmercados reales, de endeudamiento tolerable por los acreedores.

Una estrategia de gestión débilmente admisible φ =(

H0t , H1

t , ..., Hdt

)t∈JT

se llama arbitraje si V0(φ

)= 0, VT

(φ

)> 0 (P-a.s) y P

(VT

(φ

)> 0

)> 0, (pág.

8).Los distintos modelos particulares de un MFC se obtienen imponiendocondiciones adicionales a los procesos estocásticos de los precios de susactivos financieros (por ejemplo: que sean procesos de Itô respecto a unproceso de Wiener o que sean semi-martingalas (se estudiarán en el V. 5),etc.).


2.1. Consideramos un MFC con activos financieros primarios S0, S1,..., Sd ,y precios de estos activos en el tiempo t ∈ JT , S0

t , S1t ,..., Sd

t , respectivamen-te. Supongamos que la evolución, con el tiempo t , de los precios de S0 estáregida por la ecuación diferencial dS0

t = r S0t d t , S0

0 = 1, r > 0, r ∈ R. Deter-minar (resolviendo la anterior ecuación) S0

t , y los precios actualizados deS1,..., Sd .

2.2. Consideramos un MFC con base estocástica(Ω,F , Ft t∈JT ,P

)y ac-

tivos financieros primarios S0, S1,..., Sd , y precios de estos activos en eltiempo t ∈ JT , S0

t , S1t ,..., Sd

t , respectivamente. Supongamos que la evolu-ción, con el tiempo t , de los precios de S0 está regida por la ecuación dife-rencial estocástica

dS0t = rt (ω)S0

t d t , S00 = 1, (es decir, S0

t = 1+∫t

0ruS0

udu),

donde rt t∈JT es un proceso estocástico real medible y adaptado a Ft t∈JT ,

tal que P(∫T

0 |rt |d t <+∞)

= 1. Determinar (resolviendo la anterior ecua-

ción) S0t , y los precios actualizados de S1,..., Sd .


5.3. Modelo de Black-Scholes-Merton (BSM)

Se considera un MFC con base estocástica(Ω,F , Ft t∈JT ,P

)y dos activos

financieros primarios, (d = 1), S0 y S1(= S), (véase la página 11).

Después de los trabajos de L. Bachelier y P. A. Samuelson, (véase el Pre-facio de V. 1)), las condiciones adoptadas por F. Black, M. Scholes y R. C.Merton, para describir la evolución de las cotizaciones de los activos finan-cieros S0 y S en el MFC dado son las siguientes:

(1). Los precios S0t , t ∈ JT , del activo S0 (activo sin riesgo) están regidos

por la ecuación diferencial ordinaria

dS0t

d t= r S0

t , S00 = 1,

donde r es una constante positiva (r es la tasa o tipo de interés ins-tantáneo, (V. 1, páginas 140 y 141)). Se sobreentiende que la ecuacióndiferencial está dada para cada ω ∈Ω. Por consiguiente, resolviendola ecuación diferencial anterior,

S0t (ω) = exp(r t ), t > 0, ω ∈Ω.

Para cada t , fijo, S0t (ω) es una variable aleatoria constante de valor

exp(r t ).

(2). Los precios St , t ∈ JT , del activo S (activo con riesgo) están regidos porla ecuación diferencial estocástica

dSt =µSt d t +σSt dWt , con condición inicial S0 = x0, t ∈ JT , (3.1)

donde µ, σ y x0 son constantes reales con σ 6= 0 y x0 > 0, (a µ se lellama deriva y a σ volatilidad (en la literatura de economía financie-ra)), y W = Wt t∈JT es un proceso de Wiener, en (Ω,F ,P ), respectoa Ft t∈JT

y a P , (V. 3, pág. 83). Así, por el Teorema 4.9.10., (V. 3, pág.162),

St = S0 exp

((µ−

σ2

2

)· t +σWt

), t ∈ JT ,

5.3. MODELO DE BLACK-SCHOLES-MERTON (BSM) 17

(solución única de la ecuación diferencial estocástica (3.1)), y se tie-ne que S = St t∈JT es un proceso estocástico de Itô (movimientoBrowniano geométrico, (P. A. Samuelson)), (V. 3, pág. 120), respec-to al proceso de Wiener W , y por el Teorema 4.9.13., (V. 3, pág.170),S es un proceso de Markov respecto a Ft t∈JT y a P . Además, si µ= 0(no hay deriva), S = St t∈JT

es una martingala respecto a Ft t∈JTy

a P , (Problema 6.2, (V. 3, pág. 96)).(Como el proceso estocástico W es continuo, S es proceso estocásti-co continuo.)

En lo sucesivo al MFC particular descrito por las condiciones (1) y (2) an-teriores, se le designará por modelo BSM.

Observación. Si se tiene la ecuación diferencial ordinariadS0

tdt = r S0

t , S00 =

C , entonces S0t = C exp(r t ), t > 0, que es la fórmula de capitalización al

final del tiempo t de una cantidad inicial C al tipo de interés instantáneodel r por 1, (véase el Ejemplo 9, (V. 1, pág. 140)).

Si tomamos logaritmos Neperianos en la fórmula de (2), obtenemos:

ln(St ) = ln(S0)+(µ−

σ2

2

)· t +σWt = b(t )+σWt , t ∈ JT ,

siendo b(t ) = ln(S0)+(µ−

(σ2/2

))· t .

De donde, (Teorema 4.6.4., (V. 3, pág. 83), y (1) de la página 80 de V. 3),

Fln(St )(y) = P (b(t )+σWt 6 y) = P

(Wt 6

y −b(t )

σ

)=

= FWt

(y −b(t )

σ

)=

1p

2πt

∫x

−∞exp

(−

y2

2t

)d y , x =

y −b(t )

σ,

(Fln(St ) y FWt son las funciones de distribución de las variables aleatoriasln(St ) y Wt , respectivamente, (V. 2, pág. 151)), y efectuando el cambio u =yσ+b(t ), se obtiene

Fln(St )(y) =∫y

−∞

1p

2πt·

1

σ·exp

(−

(u −b(t ))2

σ22t

)du,


siendo σ 6= 0 , lo que indica que la variable aleatoria ln(St ) es normal,N

(b(t ), tσ2

), (V. 2, pág. 299). Se tiene un resultado más preciso: El pro-

ceso estocástico real S = St t∈JTes solución de una ecuación diferencial

estocástica del tipo (3.1) de (2), (pág. 16), si y sólo si ln(St )t∈JT es un mo-vimiento Browniano (no necesariamente estándar).

Por último, observamos que

1

S0t

= exp(−r t ) = 1+∫t

0−r exp(−r s)d s y St , t ∈ JT ,

son procesos estocásticos de Itô respecto a W y aplicando la fórmula deintegración por partes (estocástica) (V. 3, pág. 144) se tiene,

S t =St

S0t

= exp(−r t )St = S0 +∫t

0

(exp(−r s)Ssµ+Ss (−r )exp(−r s)

)d s+

+∫t

0exp(−r s)σSsdWs , (P −a.s.), t ∈ JT ,

de donde, para todo t ∈ JT ,

St = S0 +∫t

0Ss(µ− r )d s +

∫t

0SsσdWs , (P −a.s.),

lo que podemos escribir en la forma de ecuación diferencial estocástica

dSt = St (µ− r )d t +σS t dWt , con condición inicial S0,

(compárese con la ecuación diferencial estocástica que rige los preciosdel activo con riesgo: dSt = µSt d t +σSt dWt con condición inicial S0),S0 = S0 = S0

S00

. La ecuación diferencial estocástica obtenida rige la evolución

de los precios actualizados del activo con riesgo, (pág. 13). En el modeloBSM se tiene que en t ∈ JT el precio actualizado del activo con riesgo es unvalor S t , en t = 0, que al capitalizarlo da St al final del tiempo t , (pág. 13).

Estrategias de gestion autofinanciadas en el modelo BSM

En el caso discreto, la estrategia de gestión autofinanciada se caracterizapor, (V. 1, páginas 118 y 119), Vn+1

(φ

)−Vn

(φ

)=φn+1 · (Sn+1 −Sn).


En el caso de mercado financiero a tiempo continuo, la estrategia au-tofinanciada en el modelo BSM, se define así: El contexto es un MFC conbase estocástica

(Ω,F , Ft t∈JT

,P)

y dos activos financieros S0 y S con pre-cios regidos por las ecuaciones diferenciales estocásticas

dS0t = r S0

t d t , S00 = 1, (es decir, S0

t = 1+∫t

0 r S0udu)

dSt =µSt d t +σSt dWt , S0 = x0,

(r , µ, σ y x0, constantes con σ 6= 0 y x0 > 0), donde W = Wt t∈JT es un pro-ceso de Wiener en (Ω,F ,P ) respecto a Ft t∈JT y a P , y φ=

(H0

t , Ht)

t∈JT

una estrategia de gestión (cartera), (pág. 14), en este mercado.

Definición 5.3.1. La estrategia de gestión φ =(

H0t , Ht

)t∈JT

es autofinan-ciada en el modelo BSM si:

(1)∫T

0 | H0t | d t +

∫T0 H2

t d t <+∞, (P-a.s.),

(2) Para todo t ∈ JT , (P-a.s.),

Vt(φ

)=V0

(φ

)+

∫t

0

(H0

ur exp(r u)+HuµSu)

du +∫t

0HuσSudWu .

Observaciones. (a). De la condición (1), de la definición anterior, se de-duce que

∫T0 H2

udu <+∞, (P-a.s.). Por otro lado, la aplicación t 7→ St

es continua (P-a.s.), ((2), pág. 16). Así, la función H(u,ω)σS(u,ω) esde clase PT respecto a Ft t∈JT y a P , (V. 3, pág. 97), y por consiguien-te existe la integral

∫t0 HuσSudWu . Por tanto, (1) implica que la fór-

mula de (2) está bien definida, (véase la página 97 de V. 3)).

(b). La condición (2), de la definición anterior, muestra queVt

(φ

)t∈JT

es

un proceso de Itô respecto a W , y en consecuencia la ecuación de (2)se puede escribir como ecuación diferencial estocástica: dVt

(φ

)=(

H0t r exp(r t )+HtµSt

)d t +HtσSt dWt con condición inicial V0

(φ

).

Recordamos que si un proceso estocástico, ξ = ξt t∈JT, tiene diferen-

cial estocástica

dξt = at d t +bt dWt con condición inicial ξ0,


y f (t ,ω), t ∈ JT , ω ∈Ω, es una función no anticipativa, (V. 3, pág. 96), res-pecto a Ft t∈JT , (es decir, f es medible y adaptada a Ft t∈JT ), entoncesse define la integral estocástica

∫t0 f (s,ω)dξs , (V. 3, pág. 121), mediante la

fórmula∫t

0f (s,ω)dξs =

∫t

0f (s,ω)a(s,ω)d s +

∫t

0f (s,ω)b(s,ω)dWs , t ∈ JT ,

siempre que las dos integrales del segundo miembro existan, para lo cuales suficiente que

P

∫T

0

∣∣ f (s,ω)a(s,ω)∣∣d s <+∞

= 1, P

∫T

0f 2(s,ω)b2(s,ω) <+∞

= 1.

Sea φ =(

H0t , Ht

)t∈JT

estrategia de gestión autofinanciada en el modeloBSM. Entonces, se tiene dSt = µSt d t +σSt dWt con condición inicial S0, y

P∫T

0

∣∣H(s,ω)µS(s,ω)∣∣d s <+∞

= 1, P

∫T0 H2(s,ω)σ2S2(s,ω) <+∞

= 1.

Así, por lo que se acaba de recordar,∫t

0Hs dSs =

∫t

0HsµSs d s +

∫t

0HsσSsdWs ,

y por tanto, se concluye que

Vt(φ

)−V0

(φ

)=

∫t

0H0

s r exp(r s)d s +∫t

0Hs dSs

y teniendo en cuenta que S0t = 1+

∫t0 r exp(r u)du, de donde r exp(r t )d t =

dS0t , (pág. 16),

Vt(φ

)=V0

(φ

)+

∫t

0H0

s dS0t +

∫t

0HsdSs =V0(φ+

∫t

0

(H0

s dS0t +Hs dSs

),

(véase la página 14), o bien en notación diferencial estocástica, análoga ala de los procesos de Itô,

dVt(φ

)= H0

t r exp(r t )d t +Ht dSt con condición inicial V0(φ

), o

dVt(φ

)= H0

t dS0t +Ht dSt con condición inicial V0

(φ

),

que recuerda la caracterización de estrategia de gestión autofinanciada enel caso discreto.


Observación. Si en el modelo BSM se supone que una estrategia de ges-tión φ es un proceso de Itô respecto a W (V. 3, pág. 126), entonces por elTeorema 4.8.6., (V. 3, página 128), aplicado a:

dS0t = r S0

t d t , S00 = 1

dSt =µSt d t +σSt dWt , S0 = x0

d H0t = a0

t d t +b0t dWt , H0

0 = u0

d Ht = at d t +bt dWt , H0 = v0,

tomando f (t , x, y,u, v) = xu + yv , se tiene que

d(Vt

(φ

))=

(H0

t dS0t +Ht dSt

)+

(S0

t d H0t +St d Ht +σSt bt d t

).

Por tanto, en este caso, la variación del valor de la cartera φ tiene dos par-tes, una debida al cambio de los precios de los activos financieros del mer-cado S0 y S, H0

t dS0t +Ht dSt , y otra S0

t d H0t +St d Ht +σSt bt d t que se puede

interpretar como inyección de capital externo al mercado, (véase la pági-na 54). Por consiguiente, las estrategias de gestión autofinanciadas en elmodelo BSM son estrategias de gestión con valor que evoluciona, con eltiempo, sin aporte o consumo de capital, (véase la página 14).

Designamos, como se ha dicho anteriormente, por St = exp(−r t )St elprecio actualizado del activo con riesgo en el instante t ∈ JT , (página 18).

Proposición 5.3.2. Sea φ =(

H0t , Ht

)t∈JT

una estrategia de gestión en elmodelo BSM cumpliendo (1) de la definición anterior. Consideramos el va-lor actualizado de la cartera φ, (pág. 14),

V t(φ

)= exp(−r t ) ·Vt

(φ

), (es claro que V 0

(φ

)=V0

(φ

)).

Entonces, las siguientes afirmaciones son equivalentes:

(a). φ es una estrategia de gestión autofinanciada en el modelo BSM (esdecir, se cumple (2) de la definición anterior).

(b). Para todo t ∈ JT ,

V t(φ

)=V 0

(φ

)+

∫t

0HuSu(µ− r )du +

∫t

0σHuSudWu (P −a.s.),


(c). Para todo t ∈ JT

∫t

0HsdSs =V t

(φ

)−V 0

(φ

), (P −a.s.), t ∈ JT .

Demostración. (a)=⇒(b). Tenemos que φ es una estrategia de gestión au-tofinanciada en el modelo BSM. Consideramos los procesos de Itô respec-to a W ,

Vt

(φ

)t∈JT

y

1

S0t

= exp(−r t ) = 1+∫t

0(−r exp(−r s))d s, (d

(1

S0t

)=−r exp(−r t )d t ), t ∈ JT .

Por la fórmula de integración por partes estocástica, (V. 3, pág. 144), se tie-ne:

V t(φ

)= exp(−r t )Vt

(φ

)=V0

(φ

)+

+∫t

0

[exp(−r s)

(H0

s r exp(r s)+HsµSs)+Vs (φ)(−r )exp(−r s)

]d s+

+∫t

0exp(−r s)HsσSs dWs =V0(φ)+

∫t

0(µ− r )Hs Ssd s +

∫t

0HsσSsdWs ,

(P-a.s.), t ∈ JT , que es lo que se afirma en (b).

(b)=⇒(a). Los procesos estocásticos V t(φ

)y exp(r t ), t ∈ JT , son procesos

de Itô respecto a W . Aplicamos la fórmula de integración por partes esto-cástica (V. 3, pág. 144) y obtenemos:

Vt(φ

)=V t

(φ

)exp(r t ) =V0

(φ

)+

+∫t

0

[V s

(φ

)r exp(r s)+exp(r s)HsSs (µ− r )

]d s +

∫t

0exp(r s)σHsSs dWs =

=V0(φ

)+

∫t

0

(H0

s r exp(r s)+HsµSs)

d s+∫t

0HsσSsdWs , (P −a.s.), t ∈ JT ,

lo que prueba (2) de la definición anterior.

(b)⇐⇒(c). Tenemos, (pág. 18),

dSt = St (µ− r )d t +σS t dWt , con condición inicial S0.


Así, por la definición de∫t

0 Hs dSs , s ∈ JT , siempre se tiene

∫t

0Hs Ss(µ− r )d s +

∫t

0HsσSs dWs =

∫t

0Hs dSs , (P −a.s.),

lo cual establece la equivalencia entre (b) y (c).

Observación. Si operamos formalmente la igualdad que define dSu , obte-nemos

dSu = d(exp(−r u) ·Su

)= exp(−r u)dSu +Su exp(−r u)(−r )du =

=[exp(−r u)µSu +Su exp(−r u)(−r )

]du +exp(−r u)σSudWu =

= Su(µ− r )du +σSudWu ,

que es la ecuación diferencial estocástica, que rige los precios actualizadosdel activo con riesgo, obtenida rigurosamente en la página 18.

Invariancia del precio del activo con riesgo, en el modelo BSM, por elcambio de Girsanov.

Recordamos que si (Ω,F ,P ) es un espacio de probabilidad y Q es una pro-babilidad en (Ω,F ), se dice que Q es absolutamente continua respecto aP , (Q ≪ P ), si Q(A) = 0 siempre que P (A) = 0, A ∈ F , (Definición 3.1.17,(V. 2, pág. 26)).

Recordamos también una versión (más restringida) del teorema de Ra-don-Nikodym (V. 2, pág. 187):Sean (Ω,F ,P ) un espacio de probabilidad y Q una probabilidad en (Ω,F ).Entonces, Q es absolutamente continua respecto a P , (Q ≪ P ), si y só-lo si existe una variable aleatoria ξ sobre (Ω,F ), ξ : Ω → [0,+∞), tal queQ(A) =

∫A ξdP , A ∈F . Además, ξ es única, salvo equivalencia estocástica.

Se pone la notación dQdP = ξ, (V. 2, pág. 189).

En efecto: Si existe una variable aleatoria ξ, sobre (Ω,F ), ξ : Ω→ [0,+∞),tal que Q(A) =

∫A ξdP , A ∈ F , por el Teorema 3.4.20., (V. 2, pág. 183),

Q ≪ P . La otra implicación es la que constituye el teorema de Radon-Nikodym.


Recordamos que dos probabilidades P y Q, sobre un espacio medible(Ω,F ), se dice que son equivalentes si P ≪Q y Q ≪ P .Sean P , Q probabilidades en (Ω,F ) tales que Q ≪ P . Consideramos ξ =dQdP , como en el teorema de Radon-Nikodym anterior. Entonces P , Q sonequivalentes si y sólo si P (ξ> 0)= 1, (Problema 3.1, pág. 32).Es importante destacar que:

Proposición 5.3.3. Si P y Q son probabilidades equivalentes sobre un es-pacio medible (Ω,F ), (P ≪ Q y Q ≪ P )), y ξnn∈N es una sucesión de va-riables aleatorias convergente en probabilidad a la variable aleatoria ξ, res-pecto a P, (es decir, para todo ε > 0, lımn→+∞ P |ξn −ξ| > ε = 0), entoncesξnn∈N converge en probabilidad a ξ, respecto a Q, (es decir, para todo ε> 0,lımn→+∞Q|ξn −ξ| > ε = 0).

Demostración. Ponemos Aεn = |ξn − ξ| > ε. Como Q ≪ P , por la versión

anterior del teorema de Radon-Nikodym, existeη>0 tal que Q(A)=∫

A ηdP ,A ∈F . Sea ε> 0. Queremos probar que

lımn→+∞

∫

Aεn

ηdP

= 0

y sabemos por hipótesis que lımn→+∞ P(

Aεn

)= 0.

Si η es simple, (η =∑n

i=1 xi I Ai )), es claro que se produce dicha conver-gencia. El caso general es consecuencia del Corolario 3.4.22, (V. 2, pág.184).

Finalmente, recordamos el teorema del cambio de Girsanov, (Teorema4.12.6., V. 3, pág. 193), y la invariancia de la integral estocástica por estetipo de cambios, (V. 3, pág. 194).

Teorema 5.3.4 (Girsanov). Sean (Ω,F ,P ) un espacio de probabilidad com-pleto, Ft t∈JT

una filtración de este espacio completa respecto a P, W =Wt t∈JT un proceso de Wiener, en (Ω,F ,P ), respecto a Ft t∈JT y a P, y θ =θt t∈JT un proceso estocástico, en (Ω,F ,P ), medible y adaptado a Ft t∈JT ,

con P(∫T

0 θ2s d s <+∞

)= 1, y tal que el proceso estocástico

kt = exp

(−

∫t

0θs dWs −

1

2

∫t

0θ2

s d s

), t ∈ JT ,


es una martingala respecto a Ft t∈JT y respecto a P, (una condición su-

ficiente para que kt t∈JT sea martingala es que E[

exp(

12

∫T0 θ2

t d t)]

< +∞,

(Teorema 4.12.2, (V. 3, pág. 190))). Entonces, E (kT ) = 1 y W ∗t =Wt+

∫t0 θsd s,

t ∈ JT , es un proceso de Wiener respecto a Ft t∈JTy respecto a la probabili-

dad P∗, donde P∗(A) =∫

A kT dP, A ∈F .

A veces usamos la notación P kT en vez de P∗, (kT > 0). Por otro lado, esclaro que P y P∗ son probabilidades equivalentes, (Problema 3.2., pág. 32).

Proposición 5.3.5 (Invariancia de la integral estocástica). Con las hipó-tesis del teorema anterior, se considera además un proceso estocástico η =ηt

t∈Jt

medible y adaptado a Ft t∈JT con∫T

0 η2s d s <+∞, (P-a.s), (como P

y P∗ son probabilidades equivalentes, también se tiene que∫T

0 η2s d s <+∞,

(P∗-a.s.)). Entonces,∫t

0ηs dWs +

∫t

0ηsθsd s =

∫t

0ηsdW ∗

s ,

(la integral del segundo miembro en el contexto del espacio de probabilidad(Ω,F ,P∗) y el proceso de Wiener W ∗ =

W ∗

t

t∈JT

).

El precio del activo con riesgo en el modelo BSM, (pág. 16), está defini-do en el escenario:[(Ω,F , Ft t∈JT ,P

)base estocástica y W = Wt t∈JT proceso de Wiener, en

(Ω,F ,P ), respecto a Ft t∈JTy a P ], concretamente ese precio es la solu-

ción única de la ecuación diferencial estocástica

dSt =µSt d t +σSt dWt , con condición inicial S0, t ∈ JT , (3.2)

que no es otra que

St = S0 exp

((µ−

σ2

2

)t +σWt

), t ∈ JT .

Realizamos el cambio de Girsanov , (teorema anterior), para θt = (µ−r )/σ,t ∈ JT . Entonces el nuevo escenario es:[(Ω,F , Ft t∈JT ,P∗)

base estocástica, donde

P∗(A) =∫

AkT dP, A ∈F , kT = exp

(−µ− r

σWT −

1

2T

(µ− r )2

σ2

),


y W ∗ =W ∗

t

t∈JT

proceso estocástico de Wiener, en (Ω,F ,P∗), respecto a

Ft t∈JT y respecto a P∗, donde W ∗t =Wt +

µ−rσ · t , t ∈ JT ].

Ocurre que

St = S0 exp

((µ−

σ2

2

)t +σWt

)=

= S0 exp

((µ−

σ2

2

)t +σ

(W ∗

t −µ− r

σt))

= S0 exp

((r −

σ2

2

)t +σW ∗

t

),

que es solución única de la ecuación diferencial estocástica

dSt = r St d t +σSt dW ∗t , con condición inicial S0, t ∈ JT . (3.3)

En este sentido decimos que el precio del activo con riesgo es invariantepor el cambio de Girsanov. También diremos que el cambio lleva la ecua-ción diferencial estocástica (3.2) a la ecuación diferencial estocástica (3.3).

Invariancia de la estrategia de gestión autofinanciada, en el modelo BSM,respecto al cambio de Girsanov

Observamos que la Definición 5.3.1., se da en el marco:(Ω,F , Ft t∈JT

,P)

base estocástica, W = Wt t∈JT proceso de Wiener, en (Ω,F ,P ), respectoa Ft t∈JT

y a P , y la solución de la ecuación diferencial estocástica dSt =µSt d t +σSt dWt con condición inicial S0 (precio del activo financiero conriesgo S en t = 0).Como sabemos, la solución de dicha ecuación diferencial estocástica es

St = S0 exp

((µ−

σ2

2

)t +σWt

), t ∈ JT .

Después del cambio de Girsanov, (pág. 24), (poniendo θt = (µ− r )/σ, t ∈JT ), se tiene el escenario:

(Ω,F , Ft t∈JT ,P∗)

base estocástica, donde dP∗=kT dP ,

W ∗ =

W ∗t =Wt +

µ− r

σ· t

t∈JT

proceso de Wiener, en (Ω,F ,P∗), respecto a Ft t∈JTy a P∗, y la solución

(única) de la ecuación diferencial estocástica dSt = r St d t +σSt dW ∗t con


condición inicial S0, solución que naturalmente es

S0 exp

((r −

σ2

2

)t +σW ∗

t

)= S0 exp

((µ−

σ2

2

)t +σWt

)= St , t ∈ JT .

En este sentido decimos que dSt = µSt d t +σSt dWt con condición inicialS0, (3.2), se transforma, mediante el cambio de Girsanov con θt = (µ−r )/σ,t ∈ JT , en dSt = St r d t +σSt dW ∗

t con condición inicial S0, (3.3), (se puededecir también que el precio del activo financiero con riesgo es invariantepor dicho cambio).Por cálculo formal (incorrecto) se pasa de (3.2) a (3.3). En efecto:

dSt =µSt d t +σSt

(dW ∗

t −µ− r

σd t

)=σSt dW ∗

t + r St d t .

Sea φ=(

H0t , Ht

)t∈JT

una estrategia de gestión autofinanciada (Defini-ción 5.3.1., pág. 19) respecto al primer escenario, es decir se cumplen:

(1)∫T

0 | H0t | d t +

∫T0 H2

t d t <+∞, (P-a.s.),

(2) Para todo t ∈ JT , (P-a.s.),

Vt(φ

)=V0

(φ

)+

∫t

0

(H0

ur exp(r u)+HuµSu)

du +∫t

0HuσSudWu ,

donde Vt(φ

)= H0

t S0t +Ht St .

Como ya se ha visto, (pág. 20), al ser φ autofinanciada, se tiene que

Vt(φ

)−V0

(φ

)=

∫t

0H0

s r exp(r s)d s +∫t

0Hs dSs .

Entonces, φ =(

H0t , Ht

)t∈JT

es una estrategia de gestión autofinanciada(pág. 19) respecto al segundo escenario.En efecto: Teniendo en cuenta que P∗ y P son equivalentes, se tiene (1) dela Definición 5.3.1.. Probemos (2) de la Definición 5.3.1., (para el segundoescenario). Lo que tenemos que probar es que para todo t ∈ JT

Vt(φ

)=V0

(φ

)+

∫t

0

(H0

ur exp(r u)+Hur Su)

du+∫t

0HuσSudW ∗

u , (P∗−a.s.).


Por la invariancia de integración estocástica por el cambio de Girsanov(Proposición 5.3.5., pág. 25), se tiene que

∫t

0Ss Hs dWs +

∫t

0Ss Hs

µ− r

σd s =

∫t

0Ss Hs dW ∗

s ,

y por tanto,

∫t

0σSs Hs dWs +

∫t

0Ss Hsµd s =

∫t

0Ss Hs r d s +

∫t

0SsσHsdW ∗

s .

Esta última ecuación junto a

Vt(φ

)=V0

(φ

)+

∫t

0

(H0

ur exp(r u)+HuµSu)

du +∫t

0HuσSudWu ,

nos da la igualdad que se quería probar.Análogamente se prueba el recíproco, es decir: Estrategia de gestión au-tofinanciada en el segundo escenario implica estrategia de gestión autofi-nanciada en el primer escenario.

En lo que precede se ha demostrado el siguiente resultado (véase el Pro-blema 3.4, pág. 32):

Proposición 5.3.6. Se considera el escenario:(I).

(Ω,F , Ft t∈JT ,P

)base estocástica, W = Wt t∈JT proceso de Wiener, en

(Ω,F ,P ), respecto a Ft t∈JT y a P, y la ecuación diferencial estocástica

dSt =µSt d t +σSt dWt con condición inicial S0.

Realizamos el cambio de Girsanov para θt = (µ− r )/σ, t ∈ JT , y obtenemosel escenario:(II).



P∗(A) =∫

AkT dP, A ∈F , y kT = exp

(−µ− r

σWT −

1

2T

(µ− r

σ

)2)

,

W ∗ =W ∗

t =Wt + ((µ− r )/σ) · t

t∈JTproceso de Wiener, en (Ω,F ,P∗), res-

pecto a la filtración Ft t∈JT y a P∗, y la ecuación diferencial estocástica


dSt=r St d t +σSt dW ∗t con condición inicial S0.

Sea φ=(

H0t , Ht

)t∈JT

un proceso estocástico medible de (JT ,B(JT ))⊗(Ω,F )

en(R

2,B(R

2))

, y adaptado a Ft t∈JT . Entonces, las siguientes afirmacionesson equivalentes:(a). φ es una estrategia de gestión autofinanciada en el escenario (I), es decir,se verifica:

(a1)∫T

0 | H0t | d t +

∫T0 H2

t d t <+∞, (P-a.s.),

(a2) Para todo t ∈ JT , (P-a.s.),

Vt(φ

)=V0

(φ

)+

∫t

0

(H0

ur exp(r u)+HuµSu)

du +∫t

0HuσSudWu .

(b). φ es una estrategia de gestión autofinanciada en el escenario (II), es de-cir, se verifica:

(b1)∫T

0 | H0t | d t +

∫T0 H2

t d t <+∞, (P∗-a.s.),

(b2) Para todo t ∈ JT , (P∗-a.s.),

Vt(φ

)=V0

(φ

)+

∫t

0

(H0

ur exp(r u)+Hur Su)

du +∫t

0HuσSudW ∗

u .

Proposición 5.3.7. Consideramos los escenarios (I) y (II) como en la propo-sición anterior. Sea φ=

(H0

t , Ht)

t∈JTuna estrategia de gestión tal que

∫T

0|Ht |d t +

∫T

0H2

t d t <+∞, (P∗−a.s.).

Entonces, se verifica, (P∗-a.s.),

Vt(φ

)=V0

(φ

)+

∫t

0

(H0

ur exp(r u)+Hur Su)

du +∫t

0HuσSudW ∗

u , t ∈ JT ,

si y sólo si

V t(φ

)=V0

(φ

)+

∫t

0σHuSudW ∗

u , t ∈ JT , (P∗−a.s.).


Indicación de la demostración: Utilizar la fórmula de integración por par-tes (estocástica), (V. 3, pág. 144).

Martingala de los precios actualizados del activo con riesgo en el modeloBSM

Los teoremas fundamentales Teorema 2.1.5. (V. 1, pág. 78), Teorema 2.2.1.(V. 1, pág. 90), de la teoría discreta, se han obtenido realizando un cambiode probabilidad que convierte los precios actualizados en martingalas. Entiempo continuo, el teorema de Girsanov, (pág. 24), suministra el cambiode probabilidad conveniente, en el sentido que convierte los precios ac-tualizados en martingalas, (V. 3, pág. 58).Como en el caso discreto, vamos a demostrar a continuación, para el casocontinuo, que los precios actualizados del activo con riesgo forman unamartingala respecto a una probabilidad equivalente a la dada.

Sean(Ω,F , Ft t∈JT ,P

)una base estocástica, W = Wt t∈JT un proceso

de Wiener, en (Ω,F ,P ), respecto a Ft t∈JT y a P , y la ecuación diferencialestocástica

dξt =µξt d t +σξt dWt con condición inicial S0 (3.4).

Aplicamos el teorema del cambio de Girsanov, (pág. 24), para θt = (µ−r )/σ, t ∈ JT . Entonces, obtenemos el escenario:


base

estocástica, donde dP∗ = kT dP y kT = exp(−µ−r

σ ·WT − 12 T

(µ−rσ

)2), W ∗ =

W ∗

t =Wt +µ−rσ t

t∈JT

proceso de Wiener, en (Ω,F ,P∗), respecto a Ft t∈JT

y a P∗, y la ecuación diferencial estocástica

dξt = rξt d t +σξt dW ∗t con condición inicial S0 (3.5).

Naturalmente

S0 exp

((µ−

σ2

2

)t +σWt

)= St , t ∈ JT ,

es solución de (3.4) y

S0 exp

((r −

σ2

2

)t +σW ∗

t

), t ∈ JT ,


es solución de (3.5) y ambas coinciden. Así,

St = S0 +∫t

0r Ssd s +

∫t

0σSsdW ∗

s , t ∈ JT (3.6)

y este proceso estocástico es un proceso de Itô respecto a W ∗. Aplicamosla fórmula de integración por partes estocástica, (V. 3, pág. 144), (en el con-texto P∗, Ft t∈JT

, W ∗), a los procesos (3.6) y exp(−r t ), t ∈ JT , y obtenemos

S t = St exp(−r t ) = S0 +∫t

0

(Ss (−r )exp(−r s)+exp(−r s)r Ss

)d s+

∫t

0exp(−r s)σSsdW ∗

s = S0 +∫t

0σSs dW ∗

s , (P∗−a.s.), t ∈ JT ,

lo que implica (Teorema 4.9.10., (V. 3, pág. 162)), que

S t

t∈JT

es una mar-

tingala respecto a Ft t∈JTy a P∗ (probabilidad equivalente a P ) y

S t = S0 exp

(−σ2

2t +σW ∗

t

), t ∈ JT .

Por otro lado, como se ha dicho anteriormente,

St = St ·exp(r t ) = S0 exp

((r −

σ2

2

)· t +σW ∗

t

)

es solución de la ecuación diferencial estocástica

dξt = rξt d t +σξt dW ∗t con condición inicial S0.

Resumen. Los precios actualizados del activo con riesgo, St , t ∈ JT , cons-tituyen una martingala en el espacio de probabilidad (Ω,F ,P∗) respecto aFt t∈JT y a P∗.El proceso de Itô respecto a W ∗, St = S0 +

∫t0 σSsdW ∗

s , lo escribimos tam-bién de la forma

dS t =σSt dW ∗t , con condición inicial S0,

que podemos comparar con la ecuación diferencial estocástica, obtenidaen la página 18,

dSt = St (µ− r )d t +σS t dWt , con condición inicial S0,


y por cálculo formal (incorrecto) se pasa de la primera expresión a la se-gunda, diferenciado formalmente la expresión W ∗

t =Wt + ((µ− r )/σ)t .


3.1. Sean P , Q probabilidades en (Ω,F ) tales que Q ≪ P . Se consideraξ = dQ

dP , como en el teorema de Radon-Nikodym, (Q(A) =∫

A ξdP, A ∈ F ).Probar que P , Q son equivalentes si y sólo si P (ξ> 0) = 1.Indicación: Si P ≪ Q, se toma A = ξ−1(0) y se calcula Q(A) =

∫A ξdP =∫

Ω I AξdP .Para la otra implicación: Si P (ξ > 0) = 1 y Q(B) = 0, entonces 0 =

∫B ξdP =∫

Ω IBξdP , y se determina IBξ, (propiedades de la esperanza matemática).

3.2. En el teorema del cambio de Girsanov (pág. 24), aparece la proba-bilidad P∗(A) =

∫A kT dP , A ∈ F . Probar que las probabilidades P y P∗

son equivalentes, (P ≪ P∗, (propiedades de la esperanza matemática), yP∗ ≪ P , (continuidad absoluta de la integral de Lebesgue), (V. 2, pág. 184)).

3.3. Probar la Proposición 5.3.5., (pág. 25).Indicación: Para ηt simple, (V. 3, pág. 97), es claro que la igualdad de la pro-posición es cierta, y se concluye aplicando el teorema de la convergenciadominada de Lebesgue, (V. 2, pág. 172).

3.4. Completar la demostración de la Proposición 5.3.6. de la página 28,probando que (b) implica (a), es decir, toda estrategia de gestión autofi-nanciada en el segundo escenario también es estrategia de gestión autofi-nanciada en el primer escenario.

5.4. Evaluación y cobertura de las opciones en elmodelo BSM

Establecido el modelo BSM, vamos a estudiar en primer lugar cómo se fija,en este modelo, el precio de las opciones, (pág. 5).

5.4. EVALUACIÓN Y COBERTURA DE LAS OPCIONES EN EL MODELO BSM 33

Precio de las opciones europeas

Se considera el modelo BSM con base estocástica(Ω,F , Ft t∈JT

,P)

y dosactivos financieros primarios S0 y S, con evolución de sus precios regidapor las ecuaciones diferenciales estocásticas

dS0t = r S0

t d t , S00 = 1,

dSt =µSt d t +σSt dWt , con condición inicial S0 = x0, t ∈ JT ,

respectivamente, donde r ,µ,σ y x0 son constantes con r > 0,σ 6= 0 y x0 > 0.

Una opción europea es una variable aleatoria positiva h, en (Ω,F ,P ),(> 0, es decir, h : Ω→ [0,+∞)). Se recuerda que F =FT .Casos particulares de opciones europeas son, (K constante):

(1). h = (ST −K )+ = max ST −K ,0, en cuyo caso la opción se llama call.

(2). h = (K −ST )+ = max K −ST ,0, en cuyo caso la opción se llama put.

Si pensamos en un contrato que da derecho (y no obligación), en el tiem-po T , a comprar una acción (activo con riesgo) al precio K , al ejecutar estecontrato en T , el tenedor del mismo cobrará (ST − K )+, (call). Análoga-mente, si pensamos en un contrato que da derecho (y no obligación), en eltiempo T , a vender una acción (activo con riesgo) al precio K , al ejecutareste contrato en T , el tenedor del mismo cobrará (K −ST )+, (put).Como en el caso discreto, (V. 1, pág. 94) vamos a definir el valor de la op-ción en cada instante t .

Definición 5.4.1. Una estrategia de gestión φ =(

H0t , Ht

)t∈JT

, (pág. 14),es admisible, si es autofinanciada, (Definición 5.3.1., pág. 19), y el valoractualizado

V t(φ

)= H0

t +Ht S t

de la cartera correspondiente es (para todo t) positivo y de cuadrado inte-

grable respecto a P∗, (es decir, E∗(Vt

(φ

)2)<+∞), donde (pág. 25)

dP∗ = kT dP, kT = exp

(−µ− r

σWT −

1

2T

(µ− r

σ

)2)

.


Definición 5.4.2. Sea h una opción europea. Se dice que h es realizable(attainable) si existe φ =

(H0

t , Ht)

t∈JTestrategia de gestión admisible tal

que VT(φ

)= h, (se dice que φ realiza a h o que la cartera φ alcanza o cubre

la opción h en el tiempo T ).

Es claro que si la opción europea h es realizable (VT(φ

)= h), entonces

h es de cuadrado integrable respecto a P∗, es decir, E∗ (h2

)< +∞. Si te-

nemos una opción europea h que es call, es decir h = (ST −K )+, entoncesE∗ (

h2)<+∞ ya que E∗ (

S2T

)<+∞, (Proposición 4.9.11., (V. 3, pág. 163)),

y h2 6 S2T , ((2) de la página 169 de V. 2).

Teorema 5.4.3. Sea h una opción europea de cuadrado integrable respectoa P∗. Entonces h es realizable, (existe una estrategia de gestión admisible talque su valor en el tiempo T es h), y el valor, en t ∈ JT , de toda cartera querealiza a h, (estrategia de gestión admisible tal que su valor en el tiempo Tes h), es

E∗ (h ·exp(−r (T − t ))|Ft

),

(independiente de la cartera considerada), donde


(−µ− r

σWT −

1

2T

(µ− r

σ

)2)

.

Demostración. Supongamos que existe φ=(

H0t , Ht

)t∈JT

estrategia de ges-

tión admisible tal que VT(φ

)= h. Por la Definición 5.4.1. y (b) de la Pro-

posición 5.3.2., (pág. 21),

V t(φ

)=V0

(φ

)+

∫t

0HuSu(µ− r )du +

∫t

0σHuSudWu , (P −a.s.), t ∈ JT ,

o bien (de forma equivalente, ((c) de la misma proposición))

∫t

0HsdSs =V t

(φ

)−V0

(φ

), (P −a.s.), t ∈ JT .

Por la fórmula de la invariancia de la integral estocástica por el cambio deGirsanov, (Proposición 5.3.5., pág. 25), se tiene

∫t

0Ss HsdWs +

∫t

0Ss Hs

µ− r

σd s =

∫t

0Ss Hs dW ∗

s ,


dondeW ∗

t =Wt +µ− r

σ· t .

Así,

V t(φ

)=V0

(φ

)+

∫t

0σSs Hs dW ∗

s .

En la base estocástica (Ω,F , Ft t∈JT,P∗) y proceso estocástico de Wiener

W ∗, en (Ω,F ,P∗), respecto a Ft t∈JT y a P∗, se tiene por la Observación(a) de la página 19 y (g) de la página 109 de V. 3,

E∗[(∫T

0σSs Hs dW ∗

s

)2]= E∗

[∫T

0σ2S

2s H2

s d s

]<+∞

donde la desigualdad, <+∞, se debe a que V t(φ

)es de cuadrado integra-

ble respecto a P∗, es decir, E∗(V t

(φ

)2)<+∞.

Por tanto, por (4) de la página 103 de V. 3,

V t(φ

)t∈JT

es martingala res-

pecto a Ft t∈JT y respecto a P∗, ya que E∗(∫T

0 σ2S2s H2

s d s)<+∞. Así,

V t(φ

)= E∗

(V T

(φ

)|Ft

), V t

(φ

)= E∗ (

h ·exp(−r T )|Ft)

y

Vt(φ

)= E∗ (

h ·exp(−r T + r t )|Ft)

, t ∈ JT , (independiente de φ).

Probemos, ahora, la existencia de φ (estrategia de gestión admisible conVT

(φ

)= h). Se define el proceso estocástico

µt = E∗ (h ·exp(−r T )|Ft

), t ∈ JT .

Entonces,µt

t∈JT

es una martingala respecto a Ft t∈JT y respecto a P∗,(Ejemplo 2, (V. 3, pág. 61)), de cuadrado integrable respecto a P∗ (es cua-drado integrable respecto a P∗ por la desigualdad de Doob (V. 3, pág. 100)).Por el Teorema 4.11.11., (V. 3, página 183), existe un proceso estocástico

as s∈JT , medible y adaptado a Fs s∈JT con E∗(∫T

0 a2s d s

)<+∞, y tal que

µt =µ0 +∫t

0as dW ∗

s , (P∗−a.s.), t ∈ JT , (4.1).


Tomamos

Ht =at

σSt

, H0t =µt −Ht St y φ=

(H0

t , Ht)

t∈JT.

Entonces φ es una estrategia de gestión autofinanciada, (Definición 5.3.1.(pág. 19) y Proposición 5.3.2. (pág. 21)), ya que:

(1) V t(φ

)−V0

(φ

)=µt −µ0, (por la construcción de Ht y H0

t ),

(2) Por la definición de∫t

0 Hs dSs , (pág. 20), y la definición que se acaba dedar de Ht , se tiene

∫t

0Hs dSs =

∫t

0as ·

µ− r

σd s +

∫t

0as dWs ,

(dS t = S t (µ− r )d t +σSt dWt ).

(3) µt −µ0 =∫t

0 as dW ∗s , (por la igualdad (4.1)).

(4) Por la invariancia de la integral estocástica por el cambio de Girsanov,(Proposición 5.3.5., pág. 25),

∫t

0as

µ− r

σd s +

∫t

0as dWs =

∫t

0as dW ∗

s ,

y, como consecuencia,

V t(φ

)−V0

(φ

)=

∫t

0HsdSs .

Además, ya que V0(φ

)=µ0,

Vt(φ

)=µt ·exp(r t ) = E∗ (

h ·exp(−r T + r t )|Ft)

y VT(φ

)= h.

Por último, V t(φ

)es positiva y de cuadrado integrable respecto a P∗, ya

que µt lo es, (pág. 35).


Observación 1. Si h es una opción europea de cuadrado integrable res-pecto a P∗ y φ=

(H0

t , Ht)

t∈JTes una estrategia de gestión admisible con

VT(φ

)= h, entonces, como se ha visto en la demostración del teorema,

V t(φ

)=V0

(φ

)+

∫t

0σSs Hs dW ∗

s

y V t(φ

)es de cuadrado integrable respecto a P∗, y

V t

(φ

)t∈JT

es martin-

gala respecto a Ft t∈JT y respecto a P∗.Además, de la primera parte de la demostración del teorema,

Vt(φ

)= E∗ [

h ·exp(−r (T − t ))|Ft]

, t ∈ JT , (independiente de φ).

El Teorema 4.11.11, (V. 3, pág. 183), ha sido esencial para la existencia dela estrategia φ.

Vemos, pues, que hay estrategias de gestión φ que realizan a h, y el va-lor de la cartera Vt

(φ

)es independiente de φ. Es natural, por tanto, definir

el valor de la opción europea h, en el tiempo t , por la expresión

E∗ (h ·exp(−r (T − t ))|Ft

).

Observamos que el call, h = (ST −K )+, cumple que E∗ (h2

)< +∞ y por

tanto entra dentro del teorema anterior, es decir h es realizable y el valor,en t ∈ JT , de toda cartera φ que realiza a h es

Vt(φ

)= E∗ (

(ST −K )+ ·exp(−r (T − t ))|Ft)

.

Observación 2. Supongamos que h, en el teorema anterior (h > 0, h va-riable aleatoria y E∗ (

h2)<+∞), es de la forma h = f (ST ), donde f es una

función de R en R (suficientemente regular). Entonces,

(Vt =)Vt(φ

)= E∗ [

f (ST ) ·exp(−r (T − t ))|Ft]=

= E∗[

f

(St exp

(σ(W ∗

T −W ∗t )+

(r −

σ2

2

)(T − t )

))·exp(−r (T − t ))|Ft

],

(φ cualquier estrategia de gestión que realiza a h), ya que, (pág. 27),

St = S0 ·exp

((r −

σ2

2

)· t +σW ∗

t

).


Sabemos que St es Ft -medible y, respecto a P∗, W ∗T −W ∗

t es indepen-diente de Ft (propiedad de los procesos estocásticos de Wiener, (V. 3, (7)de la página 80)).

Recordamos el siguiente resultado general:

Lema 5.4.4. Sean (Ω1,F ′,P1) espacio de probabilidad, (E ,E ) y (E ′,E ′) es-pacios medibles, B una σ-álgebra en Ω1 con B ⊂ F

′, ξ : Ω1 → E una fun-ción B|E -medible, (Definición 3.1.15., (V. 2, pág. 17)), η : Ω1 → E ′ una fun-ción F

′|E ′-medible e independiente de B, y φ una variable aleatoria po-sitiva (o acotada) en el espacio (E ×E ′,E

⊗E′), (V. 2, pág. 149). Entonces,

ϕ(x) = E1(φ(x,η)), x ∈ E , es una variable aleatoria en (E ,E ) y

ϕ(ξ) = E1(φ(ξ,η)|B) (P1 −a.s.).

Demostración. Consideramos la probabilidad Pη en (E ′,E ′) inducida porη, (Pη(A′) = P1(η−1(A′), A′ ∈ E

′) y la probabilidad Pξ en (E ,E ) inducida porξ. Entonces, por el Teorema 3.4.36., (V. 2, pág. 202), aplicado a (E ,E ,Pξ),(E ′,E ′,Pη) y φ, se deduce que la aplicación ϕ : E → R, definida por ϕ(x) =∫

E ′ φ(x, y)Pη(d y), x ∈ E , es una variable aleatoria en (E ,E ).Por otro lado, por el Teorema 3.4.28., (V. 2, pág. 189), se tiene que

ϕ(x) =∫

E ′φ(x, y)Pη(d y) =

∫

Ω1

φ(x,η(ω1))P1(dω1) = E1(φ(x,η)), x ∈ E .

Para toda variable aleatoria no-negativa ζ en (Ω1,B), se considera la pro-babilidad P(ξ,ζ) en E×R inducida por (ξ,ζ). Entonces, por el Teorema 3.4.36.,citado anteriormente, se deduce

∫

(E×R)×E ′φ(x, y)zd(P(ξ,ζ) ×Pη) =

∫

E×R

(∫

E ′φ(x, y)Pη(d y)

)zdP(ξ,ζ) =

=∫

E×Rϕ(x)zdP(ξ,ζ).

Aplicando de nuevo el Teorema 3.4.28. y teniendo en cuenta que η es in-dependiente de B, se concluye que

∫

Ω1

φ(ξ,η)ζdP1 =∫

Ω1

ϕ(ξ)ζdP1,


y en particular para ζ= IB , B ∈B,∫

B φ(ξ,η)dP1 =∫

B ϕ(ξ)dP1, lo cual prue-ba que E1(φ(ξ,η)|B) =ϕ(ξ), (P1-a.s.).

Consideramos la función:

F (t , x) = E∗[

exp(−r (T − t )) f

(x ·exp

(σ

(W ∗

T −W ∗t

)+

(r −

σ2

2

)(T − t )

))]

donde f : R→ R es una función suficientemente regular, t ∈ JT y x ∈ R. Aveces, para hacer referencia explícita a la función f , la función F (t , x) ladesignaremos por F f (t , x). Se verifica, F (T, x) = f (x) y, aplicando el lemaanterior, el precio de la opción h = f (ST ) en el tiempo t está dado por Vt =F (t ,St ), (P-a.s.). En efecto, basta tomar (en el lema):

(Ω1,F ′,P1) B ξ (E ,E ) η (E ′,E ′) φ : E ×E ′ →R

(Ω,F ,P∗) Ft St (R,B(R)) W ∗T −W ∗

t (R,B(R)) φt (x, y)

donde φt (x, y) = exp(−r (T − t )) · f(x ·exp

(σy +

(r − σ2

2

)(T − t )

)).

De esta forma

ϕt (x) = E∗ (φt

(x,W ∗

T −W ∗t

))=

= E∗[

exp(−r (T − t )) · f

(x ·exp

(σ

(W ∗

T −W ∗t

)+

(r −

σ2

2

)(T − t )

))]=

= F (t , x) y por consiguiente, (P∗-a.s.), ϕt (St ) = F (t ,St ) =

= E∗[

exp(−r (T − t )) · f

(St ·exp

(σ

(W ∗

T −W ∗t

)+

(r −

σ2

2

)(T − t )

))|Ft

].

Por último, F (t ,St ) =Vt , (P-a.s.).Seguimos con la Observación 2. Respecto a P∗, W ∗

T −W ∗t es Gaussiano de

media 0 y varianza T − t , (V. 3, páginas 83 y 78). Por tanto,

FW ∗T −W ∗

t(x) = P∗ (

W ∗T −W ∗

t 6 x)=

∫x

−∞

1p

2π

1p

T − texp

(−

y2

2(T − t )

)d y


y por la Proposición 3.4.30., (V. 2, pág. 191),

F (t , x) = exp(−r (T − t ))E∗[

f

(x exp

(σ

(W ∗

T −W ∗t

)+

(r −

σ2

2

)(T − t )

))]=

= exp(−r (T − t )) ·∫+∞

−∞f

(x ·exp

(σy +

(r −

σ2

2

)(T − t )

))1

p2π

pT − t

·

·exp

(−

y2

2(T − t )

)d y

Finalmente, realizando el cambio y = zp

T − t , se obtiene

F (t , x) = exp(−r (T − t ))·

·∫+∞

−∞f

(x ·exp

(σz

pT − t +

(r −

σ2

2

)(T − t )

))1

p2π

·exp

(−

z2

2

)d z,

Casos particulares de la función f , (h = f (ST )). Con las notaciones de laObservación 2 anterior, consideramos ahora los dos casos siguientes:

I. La función f es de la forma f (x) = (x −K )+ y por tanto h = f (ST ) = (ST −K )+, (call). Entonces,

F (t , x) = E∗ [exp(−r (T − t ))·

·(

x exp

(σ

(W ∗

T −W ∗t

)+

(r −

σ2

2

)(T − t )

)−K

)

+

]=

= E∗[(

x ·exp

(σ

(W ∗

T −W ∗t

)−σ2

2(T − t )

)−K ·exp(−r (T − t ))

)

+

]=

= E∗[(

x ·exp

(σζ

pT − t −

σ2

2(T − t )

)−K ·exp(−r (T − t ))

)

+

],

donde ζ= (W ∗T −W ∗

t )/p

T − t .Por la estructura de ζ, ésta es Gaussiana N (0,1) respecto a P∗. AdemásVt = F (t ,St ), (P-a.s.).


Se introducen las funciones de (t , x):

d1(t , x) =ln

( xK

)+

(r + σ2

2

)· (T − t )

σp

T − t,

d2(t , x) = d1(t , x)−σp

T − t =ln

( xK

)+

(r − σ2

2

)· (T − t )

σp

T − t, x > 0, t < T.

Entonces,

x ·exp

(σζ

pT − t −

σ2

2(T − t )

)−K exp(−r (T − t )) > 0⇐⇒ d2(t , x)+ζ> 0

y por tanto, para x > 0, σ> 0, t < T ,

F (t , x) =

= E∗[(

x ·exp

(σζ

pT − t −

σ2

2(T − t )

)−K exp(−r (T − t ))

)· Iζ+d2(t ,x)>0

].

Así, por la Proposición 3.4.30., (V. 2, pág. 191),

F (t , x) =∫+∞

−d2(t ,x)

(x ·exp

(σy

pT − t −

σ2

2(T − t )

)−K exp(−r (T − t ))

)·

·1

p2π

·exp(−y2

2)d y,

y cambiando y por −y queda

F (t , x) =∫d2(t ,x)

−∞

(x ·exp

(−σy

pT − t −

σ2

2(T − t )

)−K exp(−r (T − t ))

)·

·1

p2π

·exp(−y2

2)d y =

∫d2(t ,x)

−∞x ·exp

(−σy

pT − t −

σ2

2(T − t )

)·

1p

2π·

˙exp(−y2

2)d y −

∫d2(t ,x)

−∞K exp(−r (T − t )) ·

1p

2π·exp

(−

y2

2

)d y.


Realizando en la primera integral el cambio z = y+σp

T − t se obtiene que

F (t , x) =

=∫d1(t ,x)

−∞x exp

(−

z2

2

)1

p2π

d z−∫d2(t ,x)

−∞K exp(−r (T−t ))

1p

2πexp

(−

y2

2

)d y =

= xN (d1(t , x))−K exp(−r (T − t )) ·N (d2(t , x)) ,

donde N (d) =Φ(d), (V. 2, pág. 90), es decir,

N (d) =Φ(d) =1

p2π

·∫d

−∞exp

(−

y2

2

)d y.

Naturalmente en este caso particular tenemos también que Vt = F (t ,St ),(precio de la opción h = f (ST ) = (ST −K )+ en el tiempo t ), t ∈ JT , igualdadobtenida al comienzo de la observación. En particular,

V0 = F (0,S0) = S0N (d1(0,S0))−K ·exp(−r T ) ·N (d2(0,S0)).

Hemos analizado el caso particular f (x) = (x −K )+ que corresponde acall, h = f (ST ) = (ST −K )+.

II. Veamos el caso put:Ahora, f (x) = (K −x)+ y por tanto, h = f (ST ) = (K −ST )+, (put). Entonces,

F (t , x) = E∗ [exp(−r (T − t ))·

·(−x ·exp

(σ

(W ∗

T −W ∗t

)+

(r −

σ2

2

)(T − t )

)+K

)

+

]=

= E∗[(−x ·exp

(σ

(W ∗

T −W ∗t

)−σ2

2· (T − t )

)+K ·exp(−r (T − t ))

)

+

]=

= E∗[(−x ·exp

(σζ

pT − t −

σ2

2· (T − t )

)+K ·exp(−r (T − t ))

)

+

],

donde ζ =(W ∗

T −W ∗t

)/p

T − t . Así, por la estructura de ζ, ζ es GaussianaN (0,1) respecto a P∗.Se introducen las funciones d1(t , x), d2(t , x) como antes. Entonces

−x ·exp

(σζ

pT − t − (T − t ) ·

σ2

2

)+K ·exp(−r (T − t )) > 0


si y sólo si 0 > d2(t , x)+ζ, y por tanto, para x > 0, σ> 0, t < T , se tiene

F (t , x) =

= E∗[(−x ·exp

(σζ

pT − t − (T − t ) ·

σ2

2

)+K exp(−r (T − t ))

)· Id2(t ,x)+ζ60

]

Por consiguiente,

F (t , x) =∫−d2(t ,x)

−∞

(−x ·exp

(σy

pT − t − (T − t ) ·

σ2

2

)+K exp(−r (T − t ))

)·

·1

p2π

·exp

(−y2

2

)d y,

donde se ha aplicado la Proposición 3.4.30., (V. 2, pág. 191). Cambiando lavariable y por −y la fórmula anterior se convierte en

F (t , x) =∫+∞

d2(t ,x)

(−x ·exp

(−σy

pT − t − (T − t ) ·

σ2

2

)+K exp(−r (T − t ))

)·

·1

p2π

·exp

(−y2

2

)d y =

∫+∞

d2(t ,x)−x ·exp

(−σy

pT − t − (T − t ) ·

σ2

2

)·

·1

p2π

·exp

(−y2

2

)d y +

∫+∞

d2(t ,x)K ·exp(−r (T − t )) ·

1p

2π·exp

(−

y2

2

)d y.

Realizando en la primera integral el cambio de variable z = y +σpθ se

obtiene

F (t , x) =−xN (−d1(t , x))+K ·exp(−r (T − t )) ·N (−d2(t , x)).

Como precio de la opción h = (K − ST )+ en el tiempo t , tenemos Vt =F (t ,St ) y en particular,

V0 = F (0,S0) =−S0N (−d1(0,S0))+K ·exp(−r T ) ·N (−d2(0,S0)).

Observación 3. En el ámbito (Ω,F , Ft t∈JT ,P ), W = Wt t∈JT ,

dSt =µSt d t +σSt dWt con condición inicial S0, t ∈ JT ,


se da la opción europea de cuadrado integrable respecto a la probabilidadP∗, (θt = (µ− r )/σ), con h = f (ST ), f : R→R y se construye

F (t , x) = E∗[

exp(−r (T − t )) f (x ·exp

(σ

(W ∗

T −W ∗t

)+

(r −

σ2

2

)(T − t )

)].

Los resultados que preceden se resumen en el siguiente teorema.

Teorema 5.4.5. Sea h una opción europea de cuadrado integrable respectoa P∗, y supongamos que h es de la forma h = f (ST ) donde f : R → R essuficientemente regular. Entonces:

(1) Se tiene,

Vt =Vt(φ

)= E∗ [

f (ST ) ·exp(−r (T − t ))|Ft]=

= E∗[

f

(St ·exp

(σ

(W ∗

T −W ∗t

)+

(r −

σ2

2

)(T − t )

))·

·exp(−r (T − t ))|Ft]

,

para toda estrategia de gestión φ que realiza a h.

(2) F (t ,St ) =Vt , (P-a.s.), donde

F (t , x) =

= E∗[

exp(−r (T − t )) f

(x ·exp

(σ

(W ∗

T −W ∗t

)+

(r −

σ2

2

)(T − t )

))].

(3) Se verifica que

F (t , x) = exp(−r (T − t ))·

·∫+∞

−∞f

(x ·exp

((r −

σ2

2

)(T − t )

)·exp

(σy

pT − t

))·

·1

p2π

·exp

(−

y2

2

)d y.

(4) Si f (x) = (x −K )+ y por tanto h = f (ST ) = (ST −K )+, se tiene que

F (t , x) = x ·N (d1(t , x))−K ·exp(−r (T − t )) ·N (d2(t , x)) ,


donde

N (d) =1

p2π

·∫d

−∞exp

(−

y2

2

)d y

d1(t , x) =ln

( xK

)+

(r + σ2

2

)· (T − t )

σp

T − t, x > 0, t < T

d2(t , x) = d1(t , x)−σp

T − t .

Además, Vt = F (t ,St ). En particular, para t = 0,

V0 = F (0,S0) =

= S0N

ln(

S0K

)+ r T + σ2T

2

σp

T

−K exp(−r T )N

ln(

S0K

)+ r T − σ2T

2

σp

T

.

(5) Si f (x) = (K −x)+ y por tanto h = f (ST ) = (K −ST )+, se tiene que

F (t , x) =−x ·N (−d1(t , x))+K ·exp(−r (T − t )) ·N (−d2(t , x)) .

Además, Vt = F (t ,St ). En particular, para t = 0,

V0 = F (0,S0) =−S0N

−

ln(

S0K

)+ r T + σ2T

2

σp

T

+

+K exp(−r T )N

−

ln(

S0K

)+ r T − σ2T

2

σp

T

.

Observación (Paridad put-call). Se tiene:

F(K−x)+(t , x)−F(x−K )+ (t , x) =−x +K exp(−r (T − t )),

(véase la página 39), y por tanto,

F(K−x)+ (t ,St )−F(x−K )+ (t ,St ) = St +K exp(−r (T − t )).


Desde su definición el precio de la opción debe calcularse medianteuna esperanza matemática condicionada. Con la función F (t , x), que es lafunción fundamental que da el precio, Vt = F (t ,St ), el cálculo anterior sereduce al cálculo de una esperanza matemática en el contexto del espaciode probabilidad (Ω,F ,P∗). En el caso call-put tenemos fórmulas explíci-tas para F (t , x). Para las coberturas call-put veremos a continuación quese tienen también fórmulas explícitas. Más adelante se verá que F (t , x) essolución de una ecuación diferencial en derivadas parciales.

Cobertura de las opciones europeas en el modelo BSM

Después de dar precio a las opciones, (Teorema 5.4.3., (pág. 34)), veamossu cobertura. En la demostración del citado teorema, hemos establecidola existencia de una estrategia que realiza (o cubre) a una opción europeah de cuadrado integrable respecto a P∗. Nos proponemos construir efecti-vamente φ para cubrir la opción h. La construcción en las páginas 34, 35 y36 se hace mediante el proceso estocástico at t∈JT (Teorema 4.11.11., (V.3, pág. 183)), que es desconocido.

Sean (Ω,F , Ft t∈JT ,P ) una base estocástica, W = Wt t∈JT un procesode Wiener, en (Ω,F ,P ), respecto a Ft t∈JT y a P , y la ecuación diferencialestocástica

dSt =µSt d t +σSt dWt con condición inicial S0, t ∈ JT .

Sea h una opción europea de cuadrado integrable respecto a P∗ (segundoescenario) tal que h = f (ST ), f > 0. Entonces, según hemos visto en la pá-gina 39, V t

(φ

)= exp(−r t )Vt = exp(−r t ) ·F (t ,St ) para cualquier estrategia

φ que realice a h. Supongamos que f es suficientemente regular para queF (t , x) sea de clase ∞ en JT ×R. Ponemos la notación

F ♯(t , x) = exp(−r t ) ·F (t , x ·exp(r t )), t ∈ JT , x ∈R.

Entonces,

exp(−r t )Vt =V t(φ

)= exp(−r t ) ·F (t ,St ) =

= exp(−r t ) ·F(t ,exp(r t ) ·S t

)= F ♯

(t ,S t

)


y aplicando la fórmula de Itô (Teorema 4.8.5., (V. 3, pág. 128)) en el esce-nario, [(Ω,F , Ft t∈JT ,P∗) base estocástica, donde


(−µ− r

σ·WT −

1

2·T ·

(µ− r

σ

)2)

,

W ∗ =W ∗

t

t∈JT

proceso de Wiener, en el espacio (Ω,F ,P∗), respecto aFt t∈JT y a P∗, donde W ∗

t = Wt + ((µ− r )/σ) · t , y la ecuación diferencialestocástica dSt = r St d t +σSt dW ∗

t , con condición inicial S0, t ∈ JT ], a

St = S0 +∫t

0σSs dW ∗

s ,

(proceso de Itô respecto al proceso de Wiener W ∗, (V. 3, pág. 120), St =S0 exp

((r − (σ2)/2

)· t +σW ∗

t

)), y a la función F ♯(t , x), se tiene que para to-

do t ∈ JT ,

F ♯(t ,S t

)= F ♯ (0,S0)+

∫t

0

∂F ♯

(u,Su

)

∂u+

1

2

∂2F ♯(u,Su

)

∂x2σ2S

2u

du+

+∫t

0

∂F ♯(u,Su

)

∂xσSudW ∗

u , (P∗−a.s.).

Sabemos, de la demostración del Teorema 4.8.5., (V. 3, pág. 128), que V t(φ

)

= F ♯(t ,St

), t ∈ JT , es martingala respecto a Ft t∈JT y respecto a P∗, que es

cuadrado integrable respecto a P∗. Entonces se prueba que

∂F ♯(u,Su

)

∂u+

1

2

∂2F ♯(u,Su

)

∂x2 σ2S2u = 0, (4.2)

y por tanto

F ♯(t ,S t

)= F ♯ (0,S0)+

∫t

0

∂F ♯(u,Su

)

∂x·σSudW ∗

u ,


(Se ha admitido, al probar (4.2), el siguiente resultado general: Seaµt

t∈JT

,una martingala de la forma

∫t

0Hs dWs +

∫t

0Ksd s, donde

∫t

0H2

s d s <+∞, (P −a.s.), y∫t

0|Ks |d s <+∞, (P −a.s.).

Entonces Kt = 0, (λ×P )-a.s.).Luego si se parte de una estrategia admisible φ (cualquiera) que realiza ah = f (ST ) se llega a la fórmula

exp(−r t )Vt =V t(φ

)= F ♯

(t ,S t

)= F ♯ (0,S0)+

∫t

0

∂F ♯(u,Su

)

∂x·σ ·SudW ∗

u .

Pero en la demostración del Teorema 4.8.5., (V. 3, pág. 128), se ha obtenido

V t(φ

)=V0

(φ

)+

∫t

0σSs Hs dW ∗

s .

Por tanto, dado que h es opción europea de cuadrado integrable respectoa P∗ con h = f (ST ), f > 0, f suficientemente regular para que F (t , x) seade clase ∞, es natural construir la cobertura buscada así:

(H ♯)t =∂F ♯

(t ,S t

)

∂x=

∂F (t ,St )

∂x, (H ♯)0

t = F ♯(t ,St

)−Ht S t , t ∈ JT .

(F ♯(t ,S t

)= exp(−r t )Vt ). Entonces φ♯ =

((H ♯)0

t , (H ♯)t)

t∈JTes una estrate-

gia autofinanciada, (Definición 5.3.1., pág. 19), ya que

V t

(φ♯

)=V0

(φ♯

)+

∫t

0σ∂F ♯

(u,Su

)

∂xSudW ∗

u ,

y además V t

(φ♯

)= (H ♯)0

t + (H ♯)t St = F ♯(t ,S t

), V T

(φ♯

)= exp(−r T ) f (ST ) y

VT

(φ♯

)= f (ST ) = h, F (T, x) = f (x).

Luego, en definitiva, φ♯ realiza a h, (Definición 5.4.2., pág. 34).


Casos particulares

I. La función f es de la forma f (x) = (x −K )+. Hemos visto, (pág. 42), que

F (t , x) = x ·N (d1(t , x))−K exp(−r (T − t ))N (d2(t , x)), F (t ,St ) =Vt ,

donde

N (d) =1

p2π

∫d

−∞exp

(−

y2

2

)d y.

Así,

∂F (t , x)

∂x= N (d1(t , x))+x ·Nd (d1(t , x)) ·

1

σp

T − t·

1

x−

−K Nd (d2(t , x)) ·1

σp

T − t·

1

x·exp(−r (T − t )) = N (d1(t , x))+

+1

(σp

T − t )x·

1p

2π

[x ·exp

(−

d 21 (t , x)

2

)−K exp

(−r (T − t )−

d 22 (t , x)

2

)]=

= N (d1(t , x))+1

xσp

T − tp

2π· A,

donde

A = x ·exp

(−

d 21 (t , x)

2

)−K ·exp

(−r (T − t )−

d 22 (t , x)

2

)

y se deduce fácilmente que A = 0. Luego ∂F (t ,x)∂x = N (d1(t , x)) y

(H ♯)t = Fx (t ,St ) = N (d1 (t ,St )) , (H ♯)0t = exp(−r t )F (t ,St )−N (d1(t ,St )) ·S t ,

que es la estrategia que realiza a h = f (ST ) = (ST −K )+ en este caso call.

Para t = 0,

(H ♯)0 = N (d1 (0,S0)) , (H ♯)00 = F (0,S0)−N (d1 (0,S0)) ·S0, (S0 = S0).

Se utiliza la siguiente nomenclatura, las (letras) griegas:(1). A ∂F (t ,St )

∂x = N (d1(t ,St )), (F (t ,St ) =Vt ), se le llama delta del call,δ. Signi-fica la variación (sensibilidad) del valor de la cartera respecto a la variación


del precio del activo con riesgo (St ) en el tiempo t .

(2). A ∂2F (t ,St )∂x2 se le llama gamma del call, γ. Significa la variación segunda

del valor de la cartera respecto a la variación del precio del activo con ries-go.(3). A ∂F (t ,St )

∂t se le llama theta del call, θ. Significa la variación del valor dela cartera respecto a la variación del tiempo.(4). Tenemos F (t , x) = xN (d1(t , x))−K (exp(−r (T −t ))N (d2(t , x)), F (t ,St ) =Vt , donde

N (d) =1

p2π

·∫d

−∞exp

(−

y2

2

)d y

d1(t , x) =ln

( xK

)+

(r + σ2

2

)· (T − t )

σp

T − t, x > 0, t < T

d2(t , x) = d1(t , x)−σp

T − t .

A ∂F (t ,St )∂σ se le llama vega o kappa del call, κ. Significa la variación del valor

de la cartera respecto a la variación de σ.(5). Con las notaciones de (4), a ∂F (t ,St )

∂r se le llama rho del call, ρ. Significala variación del valor de la cartera respecto a la variación de r .

II. La función f es de la forma f (x) = (K −x)+. Hemos visto, (pág. 43), que

F (t , x) =−xN (−d1(t , x))+K exp(−r (T − t ))N (−d2(t , x)).

Así, ∂F (t ,x)∂x =−N (−d1(t , x)), ya que

∂F (t , x)

∂x=−N (−d1(t , x))−x ·Nd (−d1(t , x)) ·

−1

σp

T − t·

1

x+

+K Nd (−d2(t , x)) ·−1

σp

T − t·

1

x·exp(−r (T − t )) =−N (−d1(t , x))+

+1

(σp

T − t )x·

1p

2π

[x ·exp

(−

d 21 (t , x)

2

)−K exp

(−r (T − t )−

d 22 (t , x)

2

)]=

=−N (−d1(t , x))+1

xσp

T − tp

2π· A,


donde

A = x ·exp

(−

d 21 (t , x)

2

)−K ·exp(−r (T − t ))exp

(−

d 22 (t , x)

2

)

y se comprueba que A = 0. Luego, ∂F (t ,x)∂x =−N (−d1(t , x)) y

(H ♯)t =∂F (t ,St )

∂x=−N (−d1 (t ,St ) ,

(H ♯)0t = exp(−r t )F (t ,St )+N (−d1(t ,St )) ·S t ,

que es la estrategia que realiza a h = f (ST ) = (K −ST )+ en este caso put.

Para t = 0,

(H ♯)0 =−N (−d1 (0,S0)) , (H ♯)00 = F (0,S0)+N (−d1 (0,S0)) ·S0.

Como en el caso del call, se utiliza la siguiente nomenclatura, las (le-tras) griegas, para la opción europea put:

(1). A ∂F (t ,St )∂x = −N (−d1(t ,St )), (F (t ,St ) = Vt ), se le llama delta del put, δ.

Significa la variación (sensibilidad) del valor de la cartera respecto a la va-riación del precio del activo con riesgo (St ) en el tiempo t .

(2). A ∂2F (t ,St )∂x2 se le llama gamma del put, γ. Significa la variación segunda

del valor de la cartera respecto a la variación del precio del activo con ries-go.(3). A ∂F (t ,St )

∂t se le llama theta del put, θ. Significa la variación del valor dela cartera respecto a la variación del tiempo.(4). Tenemos

F (t , x) =−xN (−d1(t , x))+K (exp(−r (T − t ))N (−d2(t , x)), F (t ,St ) =Vt

donde

N (d) =1

p2π

·∫d

−∞exp

(−

y2

2

)d y

d1(t , x) =ln

( xK

)+

(r + σ2

2

)· (T − t )

σp

T − t, x > 0, t < T

d2(t , x) = d1(t , x)−σp

T − t .


A ∂F (t ,St )∂σ se le llama vega o kappa del put, κ. Significa la variación del valor

de la cartera respecto a la variación de σ.(5). Con las notaciones de (4), a ∂F (t ,St )

∂r se le llama rho del put, ρ. Significala variación del valor de la cartera respecto a la variación de r .

Las nomenclaturas introducidas en el caso call y en el caso put, se ge-neralizan definiendo:Si el valor en t de una cartera, φ que realiza a h, se puede escribir Vt

(φ

)=

ψ(t ,St ) para una cierta función ψ(t , x), entonces:

(1) A ∂ψ(t ,St )∂x se le llama delta, δ

(2) A ∂2ψ(t ,St )∂x2 se le llama gamma, γ

(3) A ∂ψ(t ,St )∂t se le llama theta, θ

(4) A ∂ψ(t ,St )∂σ se le llama vega o kappa, κ

(5) A ∂ψ(t ,St )∂r se le llama rho, ρ.

Volatilidad

El parámetro σ de la ecuación diferencial estocástica

dSt =µSt d t +σSt dWt , con condición inicial S0 > 0, σ 6= 0

que rige la evolución de la cotización St del activo con riesgo (una acciónen cantidad indefinida), (pág. 16), en el modelo BSM, se le llama, como seha dicho en la página 16, volatilidad.Este parámetro σ potencia (σ > 1) o atempera (0 < σ < 1) la actividad delBrowniano Wt t∈JT

(o la actividad de las trayectorias de Wt t∈JT), activi-

dad que se transmite a

St = S0 ·exp

((µ−

σ2

2

)+σWt

)

y a

ln(St ) = ln(S0)+(µ−

σ2

2

)+σWt


(o a sus trayectorias) formando el fractal descrito por la gráfica de St (ω).De hecho no podemos hablar de velocidad ya que las trayectorias de Wt t∈JT

no son diferenciables en ningún punto. Recordamos que

V(log(St )

)=σ2t y V

(log(ST )

)=σ2t , donde V es la varianza.

En las fórmulas anteriores de valoración del call europeo y el put europeoy en las fórmulas de sus coberturas, el único parámetro no observable di-rectamente es precisamente la volatilidad, σ. Para evaluar este parámetroσ se utilizan dos métodos.

(1) Método histórico: A partir de los valores de la acción observados enel pasado, se estima σ por procedimientos estadísticos, por ejemplo,mediante las varianzas empíricas [3]. Esta volatilidad no es única, yaque depende esencialmente de los precios (del pasado) utilizados ydel período de tiempo elegido para determinarla.

(2) Método implícito: Nos fijamos en el call europeo y el put europeo.De las fórmulas del precio obtenidas se deduce que el precio de laopción es una función estrictamente creciente de σ. Si nos vamos aun mercado organizado donde cotice esa opción, podemos igualarla fórmula del precio de la opción a un número C (T,K ), (precio real),y despejar (inversión de la fórmula) σ. Aquí afloran los defectos:(a). σ varía con T , para K fijo;(b). σ varía con K , para T fijo (efecto sonrisa: Lo que se obtiene esque la gráfica de la función K 7→σ es cóncava respecto a la direcciónvertical positiva).


Cabría esperar que σ fuese intrínseca, independiente de K y de T , tenemospor tanto estos inconvenientes (2)(a) y (2)(b). Además se constata impor-tante diferencia entre la volatilidad histórica y la implícita.Para subsanar (2)(a), Merton propuso considerar µ y σ como funciones deltiempo t . Para (2)(b) B. Dupire (véase [5] y [7]) propuso el modelo, (pág. 65)

dSt =µ(t )St d t +σ (St , t )St dWt .

Precio y cobertura de las opciones americanas en el modelo BSM

Definición 5.4.6. Sean (Ω,F , Ft t∈JT ,P ) una base estocástica, W = Wt t∈JT

un proceso de Wiener, en (Ω,F ,P ), respecto a Ft t∈JT y a P, y la ecuacióndiferencial estocástica

dSt =µSt d t +σSt dWt , con condición inicial S0 = x0, t ∈ JT ,

donde µ, σ y x0 son constantes con σ 6= 0 y x0 > 0.

(a) Una estrategia de gestión con consumo es un proceso estocástico medi-ble y adaptado a Ft t∈JT , φ=

(H0

t , Ht)

t∈JT, con valores en (R2,B(R2))

tal que:

(1)∫T

0 |H0t |d t +

∫T0 H2

t d t <+∞, (P-a.s.).

(2) H0t S0

t +Ht St = H00 S0

0 +H0S0 +∫t

0 H0ur exp(r u)du+

+∫t

0 HuµSudu +∫t

0 HuσSudWu −Ct , (P −a.s.), t ∈ JT ,

donde C = Ct t∈JTes un proceso estocástico medible, creciente,

continuo, adaptado a Ft t∈JT y nulo en t = 0, (Ct es la acumu-lación del consumo hasta el tiempo t).

(b) Una opción americana es un proceso estocástico medible, adaptado aFt t∈JT , con valores positivos, h = ht t∈JT .Nos limitaremos al caso en el que ht = ψ(St ), donde ψ : R+ → R+ esuna función continua tal que: ψ(x) 6 A+B x, para todo x ∈R+, A y Bconstantes positivas. Si ψ(x) = (x−K )+, se dice que la opción america-na, ψ(St ) = (St −K )+, es un call americano. Si ψ(x) = (K −x)+ se diceque la opción americana, ψ(St ) = (K −St )+, es un put americano.


(c) Se dice que una estrategia de gestión con consumo φ =(

H0t , Ht

)t∈JT

,

C = Ct t∈JT, cubre la opción americana ht =ψ(St ), t ∈ JT , si se tiene:

Para todo t , t ∈ JT , H0t S0

t +Ht St >ψ(St ) = ht , (P-a.s.).Se designa por Φψ el conjunto de todas las estrategias de gestión conconsumo, φ, C , que cubren la opción americana ht =ψ(St ), t ∈ JT .

Pensemos en un contrato que da derecho a comprar en cualquier tiem-po t 6 T , una acción del activo con riesgo al precio K . Al resolver el con-trato en el tiempo t el tenedor del mismo se embolsará (St −K )+ (call).Análogamente, pensemos en un contrato que da derecho a vender en cual-quier tiempo t 6 T , una acción del activo con riesgo al precio K . Al resolverel contrato en el tiempo t el tenedor del mismo cobrará (K −St )+ (put).

Proposición 5.4.7 (Invariancia de la estrategia de gestión con consumopor el cambio de Girsanov). Consideremos el escenario de la definiciónprecedente. Sea φ =

(H0

t , Ht)

t∈JT, C = Ct t∈JT

una estrategia de gestióncon consumo, por tanto se cumplen (1) y (2) del apartado (a) de la defini-ción anterior. Entonces, (Véase el Problema 4.4, pág. 61),

(3)∫T

0 |H0t |d t+

∫T0 H2

t d t <+∞, (P∗-a.s.), (P∗ definida por el cambio de Gir-sanov dado por θt = (µ− r )/σ, t ∈ JT ).

(4) H0t S0

t +Ht St = H00 S0

0 +H0S0 +∫t

0 H0ur exp(r u)du+

+∫t

0 Hur Sudu +∫t

0 HuσSudW ∗u −Ct , (P∗−a.s.), t ∈ JT .

Teorema 5.4.8. Sea ht = ψ(St ), t ∈ JT , una opción americana. En primerlugar observamos que γt = exp

(−σW ∗

t − (σ2/2) · t), t ∈ JT , es una martin-

gala respecto a Ft t∈JT y a P∗, y por tanto, (V. 3, pág. 60), E∗(γt ) = 1 y

E∗ (exp

(−σW ∗

t

))= exp

(σ2

2· t

)6 exp

(σ2

2·T

).

Observamos también que E∗(γτ) = 1, donde τ es tiempo de parada acotado,(para la última observación se utiliza el Teorema 4.5.17., (V. 3, pág. 76)).Análogamente, γ♯

t = exp(σW ∗

t − (σ2/2) · t), t ∈ JT , es una martingala res-

pecto a Ft t∈JT y respecto a P∗ y por tanto E∗(γ♯t

)= 1 y E∗

(γ♯τ

)= 1, siendo

τ un tiempo de parada acotado. Ponemos la notación

Tt ,T =τ : τ es tiempo de Markov respecto a Ft t∈JT con valores en [t ,T ]

,


(V. 3, pág. 65), y la notación

γ♯♯t (τ) = exp

((r −

σ2

2

)(τ− t )+σ

(W ∗

τ −W ∗t

)), τ ∈Tt ,T .

De esta forma

exp(−r (τ− t ))ψ(xγ♯♯t (τ)) 6 exp(−r (τ− t )) · A+exp(−r (τ− t )) ·B xγ♯♯

t (τ) 6

6 exp(r T ) · A+exp(r T ) ·B ·x ·γ♯♯t (τ) 6 exp(r T ) · A+exp(r T ) ·B ·x·

·exp(r T ) ·exp(σ2T ) ·exp

(σW ∗

τ −σ2

2τ

)·exp

(−σW ∗

t −σ2

2· t

), x > 0,

y por consiguiente, (Cauchy-Bunyakovskii, (V. 2, pág. 180)),

E∗[

exp(−r (τ− t ))ψ(x ·γ♯♯t (τ))

]6 exp(r T ) ·

(A+B ·x ·exp(r T +2σ2T )

).

Sea uψ : JT ×R+ →R la función definida por

uψ(t , x) =

= supτ∈Tt ,T

E∗[

exp(−r (τ− t ))ψ

(x ·exp

((r −

σ2

2

)(τ− t )+σ

(W ∗

τ −W ∗t

)))],

donde P∗ y W ∗ proceden del cambio de Girsanov para θt = (µ−r )/σ, t ∈ JT .

Entonces, existe φ♯ =(

H ♯0t , H ♯

t

)t∈JT

, C ♯ =

C ♯t

t∈JT

estrategia de gestión con

consumo que cubre la opción americana ht =ψ(St ), t ∈ JT , (es decir, (φ♯,C ♯)es un elemento de Φψ), tal que

(Vt

(φ♯

)=

)H ♯0

t S0t +H ♯

t St = u(t ,St ), t ∈ JT .

Además para todo elemento(φ=

(H0

t , Ht)

t∈JT,C = Ct t∈JT

)de Φψ, (estrate-

gias de gestión con consumo que cubren a ht =ψ(St )), se tiene que

Vt(φ

)= H0

t S0t +Ht St > uψ(t ,St ), t ∈ JT ,

(naturalmente Vt

(φ♯

)= uψ(t ,St ) >ψ(St ), t ∈ JT , y uψ(T, x) =ψ(x)).


Después del teorema precedente es lógico asignar como precio de laopción americana hu =ψ(Su), u ∈ JT , en el instante t , la variable aleatoriauψ(t ,St ).

Observación 4. Se prueba que el valor actualizado de cualquier estrate-gia de gestión con consumo es supermartingala respecto a la filtraciónFt t∈JT y a la probabilidad P∗, (V. 3, pág. 59), (comparar con lo dicho enla página 30).

Observación 5. A partir de ht =ψ(ST ), t ∈ JT , opción americana y el cam-bio de Girsanov dado por θt = (µ− r )/σ, t ∈ JT , se construye

uψ(t , x) =

= supτ∈Tt ,T

E∗[

exp(−r (τ− t ))ψ

(x ·exp

((r −

σ2

2

)(τ− t )+σ

(W ∗

τ −W ∗t

)))],

Proposición 5.4.9. En el teorema anterior, (precio de la opción americana),ponemos ψ : J∞ → J∞ de la forma ψ(x) = (x −K )+, (opción americana ti-po call, ψ(St ) = (St −K )+). Tomamos ψ(ST ) = (ST −K )+, (que es cuadradointegrable respecto a P∗), y nos vamos al Teorema 5.4.3., (pág. 34), preciode la opción europea, y a la Observación 1 que le sigue, (pág. 37) y al casoparticular, (call europeo, pág. 40); de esta forma obtenemos (pág. 42):

F (t , x) = xN (d1(t , x))−K ·exp(−r (T − t )) ·N (d2(t , x))

y F (t ,St ) es el precio de la opción europea ψ(ST ) = (ST −K )+ en el instantet , 0 6 t 6 T , (donde

N (d) =1

p2π

∫d

−∞exp

(−

y2

2

)d y),

y por tanto F (t ,St ) = E∗ (exp(−r (T − t )) ·ψ(ST )|Ft

), t ∈ JT .

Entonces uψ(t , x) = F (t , x), (Teorema 5.4.8., pág. 55), de donde uψ(t ,St ) =F (t ,St ). Por consiguiente el precio del call europeo hT =ψ(ST ) = (ST −K )+,en el instante t es igual al precio de la opción americana hu =ψ(Su) = (Su −K )+, u ∈ JT , (call americano), en el tiempo t.


Demostración. Caso t = 0. Sea τ ∈T0,T . Entonces, se tiene que

E∗[(

ST −exp(−r T )K)+|Fτ

]> E∗

[(ST −exp(−r T )K

)|Fτ

]=

= Sτ−exp(−r T )K > Sτ−exp(−rτ)K ,

donde Fτ =

A ∈F : para todo t > 0, A∩ τ6 t ∈Ft.

Se ha aplicado que

St

t∈JT

es martingala respecto a Ft t∈JT y respecto a

P∗ y el Teorema 5.4.8., (pág. 55). Por consiguiente

E∗[(

ST −exp(−r T )K)+|Fτ

]>

(Sτ−exp(−rτ)K

)+

,

de donde

E∗[(

ST −exp(−r T )K)+

]> E∗

[(Sτ−exp(−rτ)K

)+

].

Por otro lado,

uψ(0,S0) = supτ∈T0,T

E∗[

exp(−rτ)

(S0 exp

((r −

σ2

2

)τ+σW ∗

τ

)−K

)

+

]=

= supτ∈T0,T

E∗[

exp(−rτ)(Sτ exp(rτ)−K

)+

]=

supτ∈T0,T

E∗[(

Sτ−exp(−rτ)K)+

]= E∗

[(ST −exp(−r T )K

)+

],

(pág. 56), y

F (0,S0) = E∗ [exp(−r T )ψ(ST )|F0

]= E∗ [

exp(−r T ) (ST −K )+ |F0]

y uψ(0,S0) = F (0,S0) y de la misma forma uψ(0, x) = F (0, x). (Recordamosque

St = S0 exp

((r −

σ2

2

)· t +σW ∗

t

)

y Sτ = Sτexp(rτ)).


Caso t > 0. Sea τ ∈ Tt ,T . Procedemos de forma análoga:

(A =)E∗ [exp(−r (T − t ))·

·(

x ·exp

((r −

σ2

2

)(T − t )+σ

(W ∗

T −W ∗t

))−K

)

+|Fτ

]>

> E∗[

exp(−r (T − t ))

(x ·exp

((r −

σ2

2

)(T − t )+σ

(W ∗

T −W ∗t

))−K

)|Fτ

]=

= x ·exp

(σ2

2· t −σW ∗

t

)E∗

[exp

(−σ2

2T +σW ∗

T

)|Fτ

]−K exp(−r (T − t )) =

= x ·exp

(σ2

2· t −σW ∗

t

)exp

(−σ2

2τ+σW ∗

τ

)−K exp(−r (T − t )) >

> x ·exp

(σ2

2· t −σW ∗

t

)exp

(−σ2

2τ+σW ∗

τ

)−K exp(−r (τ− t ))(= B).

Así, A > B+ y

E∗[

exp(−r (T − t ))

(x ·exp

((r −

σ2

2

)(T − t )+σ

(W ∗

T −W ∗t

))−K

)

+

]>

> E∗[

exp(−r (τ− t ))

(x ·exp

((r −

σ2

2

)(τ− t )+σ

(W ∗

τ −W ∗t

))−K

)

+

],

de donde

uψ(t , x) = F (t , x) =

= E∗[

exp(−r (T − t ))

(x ·exp

((r −

σ2

2

)(T − t )+σ

(W ∗

T −W ∗t

))−K

)

+

].

La proposición anterior no se puede reproducir para opciones ameri-canas tipo put, (ψ(x) = (K − x)+). En este caso no podemos afirmar queel precio del put europeo ψ(ST ) = (K − ST )+, en el tiempo t , sea igual alprecio de la opción americana hu = ψ(Su) = (K − Su)+, 0 6 u 6 T , (putamericano), en el instante t .


Nos situamos, de nuevo, en el contexto del Teorema 5.4.8, (páginas 55y 56), poniendo ψ(x) = (K −x)+, (put). Entonces,

uψ(t , x) =

supτ∈Tt ,T

E∗[

exp(−r (τ− t ))

(K −x ·exp

((r −

σ2

2

)(τ− t )+σ

(W ∗

τ −W ∗t

)))

+

]

y en particular

uψ(0, x) = supτ∈T0,T

E∗[

exp(−rτ)

(K −x ·exp

((r −

σ2

2

)τ+σW ∗

τ

))

+

]=

= supτ∈T0,T

E∗[(

K exp(−rτ)−x ·exp

(σW ∗

τ −σ2

2·τ

))

+

]6

6 supτ∈T0,+∞

E∗[(

K exp(−rτ)−x ·exp

(σW ∗

τ −σ2

2·τ

))

+Iτ<+∞

](= u∞(x)),

donde T0,+∞ es el conjunto de los tiempos de Markov, (pág. 55), y u∞(x)es notación. Entonces, se prueba que:

u∞(x) =

K −x, x 6 Kα1+α(

K − Kα1+α

)( x(1+α)Kα

)−α, x > Kα

1+α ,

donde α= (2r )/(σ2).Además, se demuestra que: Para todo t ∈ [0,T ), existe s(t )∈R tal que

uψ(t , x) = K −x, x 6 s(t )uψ(t , x) > (K −x)+ =ψ(x), x > s(t )

y s(t ) > (Kα)/(1+α) para todo t ∈ [0,T ).


4.1. Partimos del escenario:

(I) (Ω,F , Ft t∈JT ,P ) base estocástica, W = Wt t∈JT proceso de Wiener,en (Ω,F ,P ), respecto a Ft t∈JT y a P , y la ecuación diferencial esto-cástica

dSt =µSt d t +σSt dWt con condición inicial S0, t ∈ JT .


Aplicamos el cambio de Girsanov, para θt = (µ− r )/σ, t ∈ JT , (pág. 24).Entonces, obtenemos el escenario:

(II) (Ω,F , Ft t∈JT ,P∗) base estocástica, donde


(−µ− r

σWT −

1

2·T

(µ− r

σ

)2)

,

W ∗ =W ∗

t =Wt + ((µ− r )/σ)t

t∈JTproceso de Wiener, en (Ω,F ,P∗),

respecto a Ft t∈JT y a P∗, y la ecuación diferencial estocástica dSt =r St d t +σSt dW ∗

t con condición inicial S0, t ∈ JT .

Al escenario (II) le aplicamos el cambio de Girsanov, para θt =−µ−rσ , t ∈ JT .

Probar que regresamos al escenario (I).Indicación: P∗∗(A) =

∫A(kT )−1dP∗ y P∗(A) =

∫A kT dP , A ∈F .

4.2. Probar que ζ es N (0,1) respecto a P∗, (pág. 40, caso call).

4.3. Calcular, para el call y el put, la γ, θ, vega y ρ (páginas, 49, 50, 51 y 52).

4.4. Sea el escenario:

(I) (Ω,F , Ft t∈JT ,P ) base estocástica, W = Wt t∈JT proceso de Wiener,en (Ω,F ,P ), respecto a Ft t∈JT

y a P , y la ecuación diferencial esto-cástica dSt =µSt d t +σSt dWt con condición inicial S0, t ∈ JT .

Realizamos el cambio de Girsanov, con θt = (µ− r )/σ, t ∈ JT , (pág. 24), ynos queda el escenario:

(II) (Ω,F , Ft t∈JT,P∗) base estocástica, donde


(−µ− r

σWT −

1

2·T

(µ− r

σ

)2)

,

W ∗ =W ∗

t =Wt + ((µ− r )/σ) · t

t∈JTproceso de Wiener, en (Ω,F ,P∗),

respecto a la filtración Ft t∈JTy a P∗, y la ecuación diferencial esto-

cástica

dSt = r St d t +σSt dW ∗t con condición inicial S0, t ∈ JT .


Sea φ =(H0

t , Ht)

t∈JT, C = Ct t∈JT una estrategia de gestión con consumo

en el escenario (I). Probar que φ, C , es también una estrategia de gestióncon consumo respecto del escenario (II) y viceversa.Indicación: Aplicar la fórmula de la invariancia de la integral estocástica,(pág. 25), al proceso estocástico HuσSu, u ∈ JT .

4.5. Probar que si tenemos una opción europea call, es decir h = (ST −K )+,entonces E∗(S2

T ) <+∞.Indicación: Utilizar la igualdad:

S2t = S2

0 exp

(2t

(r −

σ2

2

)+2tσ2

)·exp

(2σW ∗

t −2tσ2) ,

(la última exponencial es una martingala respecto a la filtración Ft t∈JTy

respecto a la probabilidad P∗).

4.6. Demostrar la Proposición 5.4.7., (pág. 55).Indicación: Utilizar las condiciones del apartado (a) de la Definición 5.4.6.,(pág. 54) y la invariancia de la integral estocástica.

4.7. Probar la Observación 2 de la página 37.

4.8. Sea (ST −K )+ un call europeo. Calcular la probabilidad de que seaejercido.Indicación. Se pide calcular P (ST > K ), lo cual es igual a 1−FST (K ). Recor-damos que ln(ST ) es normal

N

(lnS0 +

(µ−

σ2

2

)T,Tσ2

)y ST > K =

ln(ST ) > log(K )

.

5.5. Precios de opciones y ecuaciones en deriva-das parciales

En esta sección vamos a ver cómo se relaciona el problema del precio deopciones europeas, en el modelo BSM, (pág. 16), con las ecuaciones dife-renciales en derivadas parciales de tipo parabólico. Este enlace se funda-

5.5. PRECIOS DE OPCIONES Y ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES 63

menta en el concepto de operador o generador infinitesimal de una difu-sión.

En primer lugar establecemos un resultado general sobre el operadorinfinitesimal de una difusión. Sean

(Ω,F , Ft t∈J∞ ,Q

)una base estocás-

tica, (pág. 11), y W = Wt t∈J∞ un proceso de Wiener 1-dimensional, en(Ω,F ,Q), respecto a Ft t∈J∞ y a Q. Sean

a,b : J∞×R→R

aplicaciones continuas yηuna variable aleatoria en (Ω,F ,Q), F0-medible.Supongamos que existe K <+∞ tal que se cumplen (1), (2), (3) de la Pro-posición 4.9.11., (V. 3, pág. 163). Entonces para todo T > 0, existe S =St t∈JT

proceso estocástico real en (Ω,F ,Q), medible, adaptado a Ft t∈JT

y continuo tal que S es solución única de la ecuación diferencial estocásti-ca

dSt = a(t ,St )d t +b(t ,St )dWt con condición inicial η= S0. (5.1)

Además, EQ(supt∈JT

|St |2)<+∞, (EQ esperanza matemática en el contex-

to de (Ω,F ,Q)).Sea r : J∞×R→R una función continua acotada y positiva. Queremos cal-cular (

γft =

)EQ

[exp

(−

∫T

tr (u,Su)du

)· f (ST )|Ft

], t ∈ JT ,

donde f : R→R es una función medible y acotada.

Por el Teorema 4.9.13. y el Teorema 4.9.14., (V. 3, pág. 170), (teoremadel flujo estocástico), se tiene que

EQ

[exp

(−

∫t

sr (u,Su)du

)· f (St )|Fs

]=

= EQ

[exp

(−

∫t

sr (u,Ss,x

u )du

)· f (Ss,x

t )

]|x=Ss , (Q −a.s.), t > s,

para toda función f : R→ R medible y acotada. Por tanto, (en la igualdad


anterior se sustituye t por T y s por t ),

γft = EQ

[exp

(−

∫T

tr (u,Su)du

)· f (ST )|Ft

]=

= EQ

[exp

(−

∫T

tr (u,S t ,x

u )du

)· f (S t ,x

T )

]|x=St =G(t ,St ),

donde

G(t , x) = EQ

[exp

(−

∫T

tr (u,S t ,x

u )du

)· f (S t ,x

T )

]

y Ss,xt es el flujo de (5.1), (V. 3, pág. 169), es decir

Ss,xt = x +

∫t

sa

(u,Ss,x

u

)du +

∫t

sb

(u,Ss,x

u

)dWu , s 6 t , x ∈R,

y en definitiva se tiene γt =G(t ,St ).

Se considera el operador A definido por

A(u)(t , x) =b2(t , x)

2·∂2u(t , x)

∂x2+a(t , x) ·

∂u(t , x)

∂x, (5.2)

u(t , x) función de clase C 1,2, que se llama operador infinitesimal de la di-fusión S = St t∈JT

.Entonces, se prueba bajo ciertas hipótesis de regularidad, (véase el Teore-ma 5.5.8., pág. 75), que G(t , x) es solución única de

(5.3)

u(T, x) = f (x), x ∈R

∂u(t ,x)∂t + A(u)(t , x)− (r ·u)(t , x) = 0, t ∈ JT , x ∈R.

Lo obtenido anteriormente constituye el teorema que sigue:

Teorema 5.5.1. Sean(Ω,F , Ft t∈J∞ ,Q

)una base estocástica y W = Wt t∈J∞

un proceso de Wiener, en (Ω,F ,Q), respecto a Ft t∈J∞ y a Q. Sean

a,b : J∞×R→R

funciones continuas y η una variable aleatoria en el espacio (Ω,F ,Q), F0-medible. Sea

r : J∞×R→R


una función continua acotada y positiva.Supongamos que existe K <+∞ tal que se cumplen (1), (2) y (3) de la Propo-

sición 4.9.11., (V. 3, pág. 163). Entonces para todo T > 0, existe S = St t∈JT

proceso estocástico en el espacio de probabilidad (Ω,F ,Q), real, medible,adaptado a Ft t∈JT y continuo, solución única de la ecuación diferencialestocástica, (5.1), tal que

EQ

[supt∈JT

|St |2]<+∞

y existe el flujo Ss,xt , s 6 t , de dicha ecuación diferencial estocástica, (V. 3,

pág. 169).

Además γ ft =G (t ,St ), donde

γft = EQ

[exp

(−

∫T

tr (u,Su)du

)· f (ST ) |Ft

]y

G(t , x) = EQ

[exp

(−

∫T

tr(u,S t ,x

u

)du

)· f

(S t ,x

T

)],

y G(t , x) es solución única de la ecuación diferencial en derivadas parciales

u(T, x) = f (x), x ∈R

∂u(t ,x)∂t + A(u)(t , x)− (r ·u)(t , x) = 0, t ∈ JT , x ∈R,

donde

A(u)(t , x) =b2(t , x)

2·∂2u(t , x)

∂x2 +a(t , x) ·∂u(t , x)

∂x,

(operador infinitesimal de la difusión S = St t∈JT), para toda función f :

R→R medible y acotada.

Caso particular. Modelo BSM

Partimos, ahora, del escenario:(I). (Ω,F , Ft t∈JT

,P ) una base estocástica, W = Wt t∈JTun proceso es-

tocástico de Wiener, en (Ω,F ,P ), respecto a Ft t∈JT y a P , y la ecuacióndiferencial estocástica

dSt =µSt d t +σSt dWt con condición inicial S0, (5.4)


donde µ, σ y S0 son constantes con σ 6= 0 y S0 > 0. Aplicamos el cambio deGirsanov dado por θt = (µ− r )/σ, t ∈ JT , r constante (el tipo de interés), yobtenemos el nuevo escenario:(II).




(−µ− r

σWT −

1

2T

(µ− r

σ

)2)

,

W ∗t =Wt+((µ−r )/σ)·t , t ∈ JT , proceso estocástico de Wiener, en (Ω,F ,P∗),

respecto a Ft t∈JT y a P∗, y la ecuación diferencial estocástica

dSt = r St d t +σSt dW ∗t , con condición inicial S0, t ∈ JT , (5.5)

(La solución de las ecuaciones diferenciales estocásticas (5.4) y (5.5) es

St = S0 exp

((µ−

σ2

2

)· t +σWt

)= S0 exp

((r −

σ2

2

)· t +σW ∗

t

)).

Los datos de (II), agregando las funciones a(t , x)= r x, b(t , x) =σx, r (t , x) =r , constituyen un conjunto de hipótesis particulares del teorema anterior,y aplicando éste obtenemos, (EP∗ se ha designado también por E∗):

E∗ [exp(−r (T − t )) · f (ST )|Ft

]= F (t ,St ) =G(t ,St ),

donde

G(t , x) = E∗ [exp(−r (T − t )) · f (S t ,x

T )]

,

Ss,xt , s 6 t , es el flujo de la ecuación diferencial estocástica (5.5),

Ss,xt = x +

∫t

sr Ss,x

u du +∫t

sσSs,x

u dW ∗u , x ∈R, s 6 t ,

y (la función ya introducida anteriormente, (pág. 39))

F (t , x) =

= E∗[

exp(−r (T − t )) · f

(x ·exp

(σ

(W ∗

T −W ∗t

)+

(r −

σ2

2

)(T − t )

))],


para toda función f : R→ R medible y acotada, (por tanto, f (ST ) es cua-drado integrable respecto a P∗), y el operador infinitesimal de la difusiónS = St t∈JT

, es

A(u)(t , x) =σ2x2

2

∂2u(t , x)

∂x2+ r x

∂u(t , x)

∂x

y G(t , x) es solución única de la ecuación diferencial en derivadas parcialescon condición de contorno:

u(T, x) = f (x), x ∈R

∂u(t ,x)∂t + A(u)(t , x)− r u(t , x) = 0, t ∈ JT , x ∈R.

para toda función f : R → R medible y acotada. Ahora bien, respecto alflujo Ss,x

t , s 6 t , se tiene que (lo veremos después):

Ss,xt = xSt S−1

s = x ·exp

((r −

σ2

2

)(t − s)+σ

(W ∗

t −W ∗s

)), s 6 t .

Por tanto,

S t ,xT = xST S−1

t = x ·exp

((r −

σ2

2

)(T − t )+σ

(W ∗

T −W ∗t

))y

E∗ [exp(−r (T − t )) · f (S t ,x

T )]=G(t , x) = E∗ [

exp(−r (T − t ))·

· f(

x ·exp

((r −

σ2

2

)(T − t )+σ

(W ∗

T −W ∗t

)))]= F (t , x).

Vemos, por consiguiente, que G(t , x) = F (t , x), t ∈ JT , x ∈R, y

F (t ,St ) = E∗ [exp(−r (T − t )) · f (ST )|Ft

]=Vt (φ) =Vt ,

(páginas 34, 35, 36 y 37). Luego, en definitiva, F (t , x) es solución única (bajociertas hipótesis de regularidad) de

u(T, x) = f (x), x ∈R

∂u(t ,x)∂t + A(u)(t , x)− r u(t , x) = 0, t ∈ JT , x ∈R,

para toda función f : R→R medible y acotada, y


]


es el precio Vt de la opción europea f (ST ), en el tiempo t .

Probemos, ahora, la igualdad Ss,xt = xSt S−1

s : Consideramos los proce-sos estocásticos

xSt = xS0 +∫t

0xr Sudu +

∫t

0xσSudW ∗

u , t ∈ JT , y

S−1s = S−1

s +∫t

00du +

∫t

00dW ∗

u , t ∈ JT , s fijo,

y aplicamos la fórmula de integración por partes (estocástica) en el con-texto del segundo escenario descrito anteriormente, (Ejemplo 6, (V. 3, pág.144)), con lo que obtenemos

xSt S−1s = xS0S−1

s +∫t

0S−1

s xr Sudu +∫t

0S−1

s xσSudW ∗u , t ∈ JT .

Así, tomando s = t en la fórmula anterior,

−x +xS0S−1s +

∫s

0S−1

s xr Sudu +∫s

0S−1

s xσSudW ∗u = 0,

y por tanto

xSt S−1s = x +

∫t

sr xSuS−1

s du +∫t

sσxSuS−1

s dW ∗u .

Por consiguiente, en el caso del modelo BSM, se tiene

Teorema 5.5.2. Partimos del escenario (I) y pasamos al escenario (II), me-diante el cambio de Girsanov dado por θt = (µ− r )/σ, t ∈ JT , r constante,(páginas 65 y 66). Entonces

Vt = E∗ [exp(−r (T − t )) · f (ST )|Ft

]= F (t ,St ) =G(t ,St ),

donde

F (t , x) =

= E∗[

exp(−r (T − t )) · f

(x ·exp

(σ

(W ∗

T −W ∗t

)+

(r −

σ2

2

)(T − t )

))]

y G(t , x) = E∗ [exp(−r (T − t )) · f

(S t ,x

T

)],


para toda función f : R → R medible y acotada. Además G(t , x) = F (t , x),t ∈ JT , x ∈R y F (t , x) es solución única (bajo ciertas hipótesis de regularidad)de la ecuación diferencial en derivadas parciales con condición de contorno

u(T, x) = f (x), x ∈R

∂u(t ,x)∂t + A(u)(t , x)− r u(t , x) = 0, (t , x) ∈ JT ×R.

para toda función f : R→R medible y acotada, donde

A(u)(t , x) =σ2x2

2

∂2u(t , x)

∂x2+ r x

∂u(t , x)

∂x

Propiedades del generador infinitesimal de una difusión

Sean(Ω,F , Ft t∈J∞ ,Q

)una base estocástica, W = Wt t∈J∞ un proceso es-

tocástico de Wiener 1-dimensional, en (Ω,F ,Q), respecto a Ft t∈J∞ y a Q,b,σ : R→R aplicaciones continuas y η una variable aleatoria, en (Ω,F ,Q),F0-medible. Supongamos que existe K <+∞ tal que se cumplen las hipó-tesis (1), (2) y (3) de la Proposición 4.9.11., (V. 3, pág. 163). Sea ξt t∈JT

lasolución de la ecuación diferencial estocástica

dξt = b(ξt )d t +σ(ξt )dWt , con condición inicial ξ0 = η.

Sabemos que

EQ

[sups∈JT

|ξs |2]<+∞, (5.6)

Proposición 5.5.3. Sea f : R→ R una función diferenciable de clase 2 conderivadas acotadas y sea A el operador diferencial que a toda función g :R→R diferenciable de clase 2 le asocia:

A(g )(x) =σ2(x)

2·g ′′(x)+b(x) ·g ′(x).

Entonces el proceso estocástico

µt = f (ξt )−∫t

0A( f )(ξs )d s, t ∈ JT ,

es una martingala respecto a Ft t∈JT y a Q.


Demostración. Por la fórmula de Itô, (Teorema 4.8.5., (V. 3, pág. 128)), apli-cada a

ξt = η+∫t

0b(ξs )d s +

∫t

0σ(ξs)dWs y f ,

se tiene

f (ξt ) =

= f (ξ0)+∫t

0

[f ′(ξs ) ·b(ξs )+

1

2f ′′(ξs ) ·σ2(ξs )

]d s +

∫t

0f ′(ξs ) ·σ(ξs )dWs ,

de donde

µt = f (ξ0)+∫t

0f ′(ξs)σ(ξs )dWs .

De las hipótesis (1), (2) y (3) de la Proposición 4.9.11., (V. 3, pág. 163), setiene |σ(x)|6 K (1+|x|), de donde |σ(x)|2 6 K 22(1+|x|2) y

sups∈JT

|σ(ξs )|2 6 2K 2 +2K 2 sups∈JT

|ξs |2.

Esta última desigualdad, (5.6) y la acotación de f ′ hacen que

EQ

[∫T

0| f ′(ξs )|2|σ(ξs )|2d s

]<+∞

y por tanto∫t

0 f ′(ξs )σ(ξs)dWs , t ∈ JT , es martingala respecto a Ft t∈JT y aQ, (V. 3, (4) de la página 103), y lo mismo

µt

t∈JT

.

Observación. Designamos por ξxt , t ∈ JT , la solución de la ecuación dife-

rencial estocástica

dξt = b(ξt )d t +σ(ξt )dWt , ξ0 = x.

Entonces por la Proposición 5.5.3. se tiene,

EQ[

f(ξx

t

)]= f (x)+EQ

[∫t

0A( f )(ξx

s )d s

],

ya que EQ(µt

)= EQ

(µ0

). Además, como las derivadas de f están acotadas

por K f y |b(x)|+ |σ(x)| 6 K (1+|x|) se tiene que

EQ

[sups∈JT

∣∣A( f )(ξx

s

)∣∣]<+∞.


Por el Teorema 3.4.12. (Lebesgue), (V. 2, pág. 173), concluimos que:

d(EQ

[f(ξx

t

)])

d t|t=0 = lım

t→0EQ

[1

t

∫t

0A( f )

(ξx

s

)d s

]= A( f )(x).

(Se ha utilizado también el siguiente resultado de la integral de Lebesgue:

Teorema 5.5.4. Para toda función k integrable se verifica que la función∫xa k(t )d t es diferenciable casi siempre con respecto a x y donde es diferen-

ciable se tiene que ddx

∫xa k(t )d t = k(x)).

El operador A se llama generador infinitesimal de la difusión ξt t∈JT.

A continuación establecemos una generalización de la Proposición 5.5.3..Sean

(Ω,F , Ft t∈J∞ ,Q

)una base estocástica, W = Wt t∈J∞ un proceso es-

tocástico de Wiener, en (Ω,F ,Q), respecto a Ft t∈J∞ y a Q, b,σ : J∞×R→R aplicaciones continuas y η variable aleatoria, en (Ω,F ,Q), F0-medible.Supongamos que existe K < +∞ tal que se cumplen (1), (2) y (3) de laProposición 4.9.11., (V. 3, pág. 163). Entonces para todo T > 0, existe ξ =ξt t∈JT

proceso estocástico, en (Ω,F ,Q), real medible, adaptado a Ft t∈JT

y continuo tal que ξ es solución única de

dξt = b(t ,ξt )d t +σ(t ,ξt )dWt , ξ0 = η.

Además, EQ[sups∈JT

|ξs |2]<+∞.

Proposición 5.5.5. Sea u(t , x) una función de clase C 1,2 en (t , x), es decir,

existen ∂u(t ,x)∂t , ∂u(t ,x)

∂x , ∂2u(t ,x)∂x2 y son continuas en (t , x), y supongamos que

∂u(t ,x)∂x está acotada. Entonces,

µt = u(t ,ξt )−∫t

0

(∂u

∂t+ A(u)

)(s,ξs )d s, t ∈ JT

donde el operador A se define por

A(v)(s, x) =σ2(s, x)

2·∂2v(s, x)

∂x2 +b(s, x)∂v(s, x)

∂x,

(v(t , x) función de clase C 1,2), es una martingala respecto a Ft t∈JT y a Q,(A se denomina operador infinitesimal de la difusión ξt t∈JT

, dada por laecuación dξt = b (t ,ξt )d t +σ (t ,ξt )dWt , con condición inicial ξ0 = η).


Proposición 5.5.6. Consideramos las hipótesis de la proposición anterior.Sea, además, r : J∞×R → R una función continua y acotada. Entonces elproceso estocástico

µt = exp

(−

∫t

0r (s,ξs)d s

)·u(t ,ξt )−

−∫t

0exp

(−

∫s

0r (v,ξv )d v

)·(∂u

∂t+ A(u)− r u

)(s,ξs)d s, t ∈ JT ,

es una martingala respecto Ft t∈JT y a Q.

Demostración. Aplicamos la fórmula de Itô, (V. 3, pág. 128), a la funciónu y al proceso estocástico ξt t∈JT

, (dξt = b(t ,ξt )d t +σ(t ,ξt )dWt , ξ0 = η),(Teorema 4.8.5., (V. 3, pág. 128)), y tenemos

u(t ,ξt ) =

= u(0,ξ0)+∫t

0

[∂u(s,ξs )

∂t+∂u(s,ξs)

∂xb(s,ξs )+

1

2

∂2u(s,ξs)

∂x2σ(s,ξs)2

]d s+

+∫t

0

∂u(s,ξs)

∂xσ(s,ξs)dWs .

Aplicamos la fórmula de integración (estocástica) por partes, (V. 3, pág.144), a u(t ,ξt ) y

exp

(−

∫t

0r (s,ξs)d s

)= 1+

∫t

0exp

(−

∫s

0r (v,ξv )d v

)· (−r (s,ξs ))d s

y obtenemos

exp

(−

∫t

0r (s,ξs)d s

)·u(t ,ξt ) = u(0,ξ0)+

+∫t

0

[exp

(−

∫t

0r (s,ξs)d s

)(∂u

∂t+ A(u)

)(t ,ξt )+u(t ,ξt )(−r (t ,ξt ))·

·exp

(−

∫t

0r (v,ξv )d v

)]d t +

∫t

0exp

(−

∫t

0r (s,ξs)d s

)∂u

∂x(t ,ξt )σ(t ,ξt )dWt .

Pero esta última integral es una martingala (ya que es una integral estocás-tica de una función de ET , (V. 3, pág. 103)) respecto a Ft t∈JT

y a Q, lo quetermina la demostración de la proposición.


Generalización al caso vectorial (d-dimensional)

Sean(Ω,F , Ft t∈JT ,Q

)una base estocástica, W =

Wt =

(W

1t , ...,W n

t

)t∈JT

un proceso estocástico de Wiener n-dimensional, en el espacio de proba-bilidad (Ω,F ,Q), respecto a la filtración Ft t∈JT

y a Q, (V. 3, pág. 124). Seanb : J∞×R

d →Rd , b(s, x) = (b1(s, x), ...,bd (s, x)), s ∈ J∞, x ∈R

d ,

σ(s, x) =

σ11(s, x) · · · σ1n(s, x)...

. . ....

σd1(s, x) · · · σdn(s, x)

,

matriz d ×n, σi j : J∞×Rd → R, s ∈ J∞, x ∈ R

d , tales que las funciones bi ,σi j son medibles. Sea η=

(η1, ...,ηd

)una variable aleatoria n-dimensional,

en (Ω,F ,Q), F0-medible.Supongamos que se cumplen las hipótesis (1), (2) y (3) de la página 153 deV. 3. Entonces existe S =

St =

(S1

t , ...,Sdt

)t∈JT

solución única de

(5.7)

dS1t = b1(t ,S1

t , ...,Sdt )d t +

∑nj=1 σ

1 j (t ,S1t , ...,Sd

t )dWj

t , c.i . η1...

...

dSdt = bd (t ,S1

t , ...,Sdt )d t +

∑nj=1σ

d j (t ,S1t , ...,Sd

t )dWj

t , c.i . ηd

Además,

EQ

[supt∈JT

|St |2]<+∞, |St |2 = (S1

t )2 + ...+ (Sdt )2.

Definimos el operador A, sobre funciones f : R×Rd → R de clase C 1,2, de

la siguiente forma:

A( f )(t , x) =1

2

d∑

i , j=1ai j (t , x)

∂2 f (t , x)

∂xi∂x j+

d∑

i=1bi (t , x)

∂ f (t , x)

∂xi, (5.8)

donde

a(t , x) =(ai j (t , x)

)=σ(t , x)σ⋆(t , x), σ(t , x) =

(σi j (t , x)

), t ∈R, x ∈R

d .


Proposición 5.5.7. Sea u : J∞ ×Rd → R una aplicación de clase C 1,2 con

∂u(t ,x)∂xi

acotada, i = 1, ...,d, y sea r : J∞×Rd → R una aplicación continua y

acotada. Entonces el proceso estocástico

µt = exp

(−

∫t

0r (v,Sv )d v

)·u(t ,St )−

−∫t

0exp

(−

∫s

0r (v,Sv )d v

)(∂u

∂t+ A(u)− r u

)(s,Ss)d s, t ∈ JT

es una martingala respecto a Ft t∈JT y a Q, (Ss =(S1

s , ...,Sds

), s ∈ JT ).

Demostración. Por el Teorema 4.8.5., (V. 3, pág. 128), aplicando la fórmulade Itô a S (o (5.7)), (pág. 73) y u, se deduce que

u(s,Ss) = u(0,S0)+∫s

0

(∂u

∂t+ A(u)

)(t ,St )d t+

n∑

j=1

∫s

0

(d∑

i=1

∂u(t ,St )

∂xiσi j (t ,St )

)dW

jt .

Entonces, por el Ejemplo 1. de las páginas de 132 a 138 de V. 3, se tiene

u(s,Ss) ·exp

(−

∫s

0r (v,Sv )d v

)=

= u(0,S0)+∫s

0

[exp

(−

∫t

0r (v,Sv )d v

)·(∂u

∂t+ A(u)

)(t ,St )+

+u(t ,St ) ·exp

(−

∫t

0r (v,Sv )d v

)(−r (t ,St ))

]d t+

+n∑

l=1

∫s

0exp

(−

∫t

0r (v,Sv )d v

)(d∑

i=1

∂u(t ,St )

∂xiσi l (t ,St )

)dW

lt .

El último sumando es una martingala, por ser suma de martingalas, lo quetermina la demostración de la proposición.

Seguimos con la solución S del sistema de ecuaciones (5.7) y el opera-dor A, ((5.8), pág. 73). Sean f : Rd →R una función continua y r : J∞×R

d →R una aplicación continua y acotada. Queremos calcular

ν(t ) = E

[exp

(−

∫T

tr (s,Ss)d s

)· f (ST )|Ft

],


donde Ss =(S1

s , ...,Sds

)y ST =

(S1

T , ...,SdT

).

Consideramos el flujo S t ,xs , t 6 s, x ∈ R

d , de (5.7), (pág. 73). La ecuaciónvectorial (5.7), la podemos escribir (matricialmente) así:

dS⋆s = (b(s,Ss ))⋆d s +σ(s,Ss)dW

⋆s ,

donde ⋆ significa trasponer en la matriz considerada. Podemos escribirtambién

S⋆t = η⋆+

∫t

0b(s,Ss )⋆d s +

∫t

0σ(s,Ss)dW

⋆s .

Pues bien, recordamos que el flujo S t ,xs , t 6 s, cumple

(Ss,x

t

)⋆ = x⋆+∫t

sb

(v,Ss,x

v

)⋆d v +∫t

sσ

(v,Ss,x

v

)dW

⋆v .

Se prueba, como se ha hecho en las páginas 63 y 64, (allí era d = n = 1), queν(t ) = F (t ,St ), donde

F (t , x) = EQ

[exp

(−

∫T

tr(s,S t ,x

s

)d s

)· f

(S t ,x

T

)],St =

(S1

t , ...,Sdt

)

y S t ,xs =

((S1

s )t ,x , ..., (Sds )t ,x

), x ∈R

d , t 6 s, es el flujo de (5.7), (pág. 73).

(Esta función F (t , x) en el desarrollo 1-dimensional se ha llamado G(t , x)).

Teorema 5.5.8. Sea u : JT ×Rd → R una aplicación de clase C 1,2 tal que

∂u(t ,x)∂x1

,...,∂u(t ,x)∂xd

están acotadas. Supongamos que u es solución de la ecua-ción

(5.9)

u(T, x) = f (x), x ∈R

d(∂u∂t + A(u)− r u

)(t , x) = 0, t ∈ JT , x ∈R

d ,

con A definido por (5.8). Entonces u(t,x)=F(t,x), donde

F (t , x) = EQ

[exp

(−

∫T

tr(s,S t ,x

s

)d s

)· f

(S t ,x

T

)], t ∈ JT , x ∈R

d .

Demostración. Veamos que u(t , x) = F (t , x), para t = 0. Tenemos que pro-bar que

u(0, x) = EQ

[exp

(−

∫T

0r(s,S0,x

s

)d s

)· f

(S0,x

T

)].


Por la proposición 5.5.7.,

µt = exp

(−

∫t

0r(s,S0,x

s

)d s

)·u

(t ,S0,x

t

)

es una martingala. Por tanto EQ(µ0) = EQ (µT ), de donde

u(x,0) = EQ

[exp

(−

∫T

0r(s,S0,x

s

)d s

)·u

(T,S0,x

T

)]=

= EQ

[exp

(−

∫T

0r(s,S0,x

s

)d s

)· f

(S0,x

T

)],

como queríamos probar.Para t > 0, basta tener en cuenta que

µt = exp

(−

∫t

tr(s,S t ,x

s

)d s

)·u

(t ,ξt ,x

t

), t 6 t 6 T,

es martingala, pues entonces EQ (µt ) = EQ(µT ) y por tanto

u(t , x) = EQ

[exp

(−

∫T

tr(s,S t ,x

s

)d s

)· f

(S t ,x

T

)].

Luego para obtener F (t , x), es suficiente resolver el problema (5.9) deecuaciones diferenciales en derivadas parciales. El problema (5.9) es unaecuación de tipo parabólico con condición de contorno f (x).Se deben dar hipótesis suficientes para la existencia y unicidad de solucióndel problema (5.9). Una vez obtenida u solución de (5.9) y con la regula-ridad adecuada (u de clase C 1,2 y ∂u

∂xiacotada, i = 1, ...d) se podrá poner

u(t , x) = F (t , x) y F (t ,St ) = ν(t ).La hipótesis que se da es:

(α), Existe C > 0 tal que para todo (t , x) ∈ JT ×Rd y todo

(y1, ..., yd ) ∈Rd , se tiene

∑

i , jai j (t , x)yi y j > C

(d∑

i=1y2

i

),

además de hipótesis de regularidad sobre las funciones b y σ.


Recordatorio. Partimos de la expresión

L(u) ≡ A∂2u

∂t 2+B

∂2u

∂x∂t+C

∂2u

∂x2, A,B ,C constantes.

Entonces:

(1) Si B 2 −4AC > 0, por una transformación lineal

ξ=αx +βtη= γx +δt

L(u) se reduce a un múltiplo de ∂2u∂ξ∂η

, (caso hiperbólico).

(2) Si B 2 −4AC = 0, A 6= 0, por una transformación lineal L(u) se reduce a

A∂2u

∂η2 , (caso parabólico).

(3) Si B 2 −4AC < 0, por una transformación lineal L(u) se reduce a

A

(∂2u

∂ξ2+∂2u

∂η2

), (caso elíptico).

Nos situamos en el escenario:(I).

(Ω,F , Ft t∈JT

,P)

base estocástica, W = Wt t∈JTproceso de Wiener,

en (Ω,F ,P ), respecto a Ft t∈JT y a P , y la ecuación diferencial estocásticadSt =µSt d t +σSt dWt con condición inicial S0, donde µ, σ y S0 son cons-tante con σ 6= 0 y S0 > 0.

Aplicamos el cambio de Girsanov dado por θt = (µ−r )/σ, t ∈ JT , r cons-tante (el tipo de interés) y obtenemos el nuevo escenario:

(II).(Ω,F , Ft t∈JT

P∗)espacio de probabilidad, donde


(−µ− r

σWT −

1

2T

(µ− r

σ

)2)

,

W ∗t =Wt +

µ− r

σ· t , t ∈ JT ,


proceso de Wiener, en (Ω,F ,P∗), respecto a Ft t∈JT y a P∗, y la ecuacióndiferencial estocástica dSt = r St d t +σSt dW ∗

t , con condición inicial S0,t ∈ JT .

La solución de las dos ecuaciones diferenciales estocásticas preceden-tes es

St = S0 exp

((µ−

σ2

2

)· t +σWt

)= S0 exp

((r −

σ2

2

)· t +σW ∗

t

).

Sabemos, página 25, que P∗ es equivalente a P ,

St

t∈JT

es martingala res-

pecto a Ft t∈JT y a P∗,

S t = S0 ·exp

(σW ∗

t −σ2

2· t

), St = S0 +

∫t

0σSs dW ∗

s

y dSt = r St d t +σSt dW ∗t , con condición inicial S0, t ∈ JT .

Tomamos el escenario (II) y le aplicamos el desarrollo de las páginas 73-76,es decir el planteamiento general d-dimensional en el caso particular n =d = 1. En definitiva, consideramos


, W ∗ =W ∗

t

t∈JT

, b :J∞×R→ R dada por b(t , x) = r x, σ : J∞×R→ R definida por σ(t , x) = σx,η= S0. Tenemos por tanto que la ecuación diferencial estocástica generadaes

dξt = rξt d t +σξt dW ∗t , con condición inicial S0, (5.10)

que tiene como solución única

St = S0 exp

((r −

σ2

2

)· t +σW ∗

t

)t ∈ JT

y como flujo Ss,xt

Ss,xt = x +

∫t

sr Ss,x

u du +∫t

sσSs,x

u dW ∗u .

Además el operador A se convierte en el operador, (operador infinitesimalde difusión de la ecuación diferencial estocástica dSt = r St d t +σSt dW ∗

tcon condición inicial S0),

A( f )(t , x) =1

2σ2x2∂

2 f (t , x)

∂x2+ r x

∂ f (t , x)

∂x,


para toda f : R×R→R aplicación de clase C 1,2, y en este caso ponemos lanotación A = Absm . Tenemos la proposición siguiente (como Proposición5.5.7., pág. 74):

Proposición 5.5.9. Sea u : J∞×R→ R una aplicación de clase C 1,2 con ∂u∂x

acotada y sea r : J∞×R→ R una aplicación continua y acotada. Entonces,el proceso estocástico

µt = exp

(−

∫t

0r (s,Ss)d s

)·u (t ,St )−

−∫t

0exp

(−

∫s

0r (v,Sv )d v

)(∂u

∂t+ Absm (u)− r u

)(s,Ss)d s

es una martingala respecto a Ft t∈J∞ y a P∗.

Además para f : R→ R continua y r (t , x) = r , (el tipo de interés cons-tante, puesto antes en el escenario (I) y en el escenario (II) (páginas 77 y78)), se tiene

E∗ [exp(−r (T − t )) · f (ST )|Ft

]= F (t ,St ),

donde, (como en las páginas 66 y 67)

F (t , x) = E∗ [exp(−r (T − t )) · f

(S t ,x

T

)], S t ,x

T = xST S−1t ,

y si u : JT ×R→R es una función de clase C 1,2 con ∂u(t ,x)∂x acotada en JT ×R

y cumple (5.9) de la página 75, (Teorema 5.5.8.), (es decir, u(T, x) = f (x),x ∈R, (∂u

∂t + Absm (u)− r u)(t , x) = 0, t ∈ JT , x ∈R), entonces u(t , x) = F (t , x),t ∈ JT , x ∈R, donde

F (x, t ) = E∗ [exp(−r (T − t )) f

(S t ,x

T

)], t ∈ JT , x ∈R.

Explicitando la expresión S t ,xT , nos queda

S t ,xT = xST S−1

t = x ·exp

(σ

(W ∗

T −W ∗t

)+

(r −

σ2

2

)(T − t )

).

Luego, en resumen, el precio de la opción europea f (ST ) en el tiempo t ,

E∗ [exp(−r (T − t )) · f (ST )|Ft

],


es igual a F (t ,St ), donde

F (t , x) = E∗[

exp(−r (T − t )) · f

(x ·exp

(σ

(W ∗

T −W ∗t

)+

(r −

σ2

2

)(T − t )

))],

(resultado ya obtenido en la página 39), y (lo nuevo obtenido) si u(t , x) declase C 1,2 con ∂u

∂x acotada cumple (5.9) de la página 75, entonces u(t , x) =F (t , x).

En el caso particular f (x) = (x −K )+, ( f (ST ) = (ST −K )+, call), se tiene

F (t , x) = xN (d1(t , x))−K exp(−r (T − t ))N (d2(t , x)),

donde

N (d) =1

p2π

∫d

−∞exp

(−

y2

2

)d y,

d1(t , x) =ln

( xK

)+

(r + σ2

2

)(T − t )

σp

T − t, x > 0, t < T,

y d2(t , x) = d1(t , x)−σp

T − t , ((4) de la página 44).

Luego el precio del call europeo (ST −K )+ en el tiempo t ,

E∗ [exp(−r (T − t )) · (ST −K )+|Ft

],

es igual a F (t ,St ), donde en este caso

F (t , x) = xN (d1(t , x))−K exp(−r (T − t )) ·N(d1(t , x)−σ

pT − t

)

y si u(t , x) de clase C 1,2 con ∂u(t ,x)∂x acotada cumple (5.9) de la página 75, en-

tonces u(t , x) = F (t , x). Lo que ocurre en este caso es que F (t , x) ya cumple(ya es solución) directamente

u(T, x) = (x −K )+, x ∈ (0,+∞)(∂u∂t + Absm (u)− r u)(t , x) = 0, (t , x) ∈ [0,T )× (0,+∞).

En el caso particular f (x) = (K − x)+, ( f (ST ) = (K −ST )+, put), se tiene((5) de la página 45

F (t , x) =−xN (−d1(t , x))+K exp(−r (T − t )) ·N (−d2(t , x)).


Luego el precio del put europeo (K −ST )+ en el tiempo t ,

E∗ [exp(−r (T − t )) · (K −ST )+|Ft

],

es igual a F (t ,St ), donde en este caso

F (t , x) =−xN (−d1(t , x))+K exp(−r (T − t )) ·N (−d2(t , x))

y si u(t , x) aplicación de clase C 1,2 con ∂u(t ,x)∂x acotada cumple (5.9) de la

página 75, entonces u(t , x) = F (t , x). Ocurre en este caso, que F (t , x) ya essolución de

u(T, x) = (K −x)+, x ∈ (0,+∞)(∂u∂t + Absm (u)− r u)(t , x) = 0, (t , x) ∈ [0,T )× (0,+∞).

El operador Absm no verifica la condición (α) de la página 76 (ya que no sepuede tener σ2x2 > C para todo x) lo que dificulta obtener

F (t , x) = E∗[

exp(−r (T − t )) · f

(x ·exp

(σ

(W ∗

T −W ∗t

)+

(r −

σ2

2

)(T − t )

))]

como solución de (5.9) de la página 75,

(5.11)

u(T, x) = f (x), x ∈R

(∂u∂t + Absm (u)− r u)(t , x) = 0, (t , x) ∈ JT ×R,

cuando f no es call ni put, pues en estos casos F (t , x) tiene una expresiónexplícita que es directamente solución de (5.9).

Hacemos lo siguiente: Sea ηt = ln(St ). Como

St = S0 exp

((r −

σ2

2

)· t +σW ∗

t

)

se tiene que

ηt = ln(St ) = ln(S0)+(r −

σ2

2

)· t +σW ∗

t =

= lnS0 +∫t

0

(r −

σ2

2

)d s +

∫t

0σdW ∗

s


yηt

t∈JT

es solución de la ecuación diferencial estocástica

dηt =(r −

σ2

2

)·d t +σdW ∗

t con condición inicial ln(S0)

y el operador o generador infinitesimal de la difusiónηt

t∈JT

es

Absm−ln(u)(t , x) =1

2σ2∂

2u(t , x)

∂x2 +(r −

σ2

2

)∂u(t , x)

∂x,

donde u(t , x) es una función de clase C 1,2.Este operador sí que cumple la condición (α) de la página 76. Ponemos

Absm−ln =1

2σ2 ∂2

∂x2 +(

r −σ2

2

)∂

∂x− r · (·),

que se aplica sobre funciones u(t , x) de clase C 1,2.Entonces se tiene el siguiente resultado:Si v(t , x) es solución (regular) de

∂v(t ,x)∂t + Absm−ln(v)(t , x) = 0, (t , x) ∈ JT ×R

v(T, x) = f (exp(x)), x ∈R,

entonces F (t , x) = v(t , ln(x)), para toda función f continua (también loscasos call y put), donde

F (t , x) =

= E∗[

exp(−r (T − t )) · f

(x ·exp

(σ

(W ∗

T −W ∗t

)+

(r −

σ2

2

)(T − t )

))]

Naturalmente, como está expresado más arriba,


]=

= precio de la opción europea f (ST ) en t .

Lo anterior se resume en el siguiente teorema.

Teorema 5.5.10. Partimos del escenario (I), (pág. 77), y pasamos al escena-rio (II), (pág. 77), mediante el cambio de Girsanov dado por θt = (µ− r )/σ,t ∈ JT . Se tiene,


(1) Sean u : J∞×R→ R una aplicación de clase C 1,2 con ∂u(t ,x)∂x acotada y

r (t , x) : J∞×R → R una aplicación continua y acotada. Entonces, elproceso estocástico

µt = exp

(∫t

0r (s,Ss)d s

)·u (t ,St )−

−∫t

0exp

(−

∫s

0r (v,Sv )d v

)·(∂u

∂t+ Absm (u)− r u

)(s,Ss)d s, t ∈ J∞,

es martingala respecto a Ft t∈J∞ y a P∗, donde

Absm (u) =1

2σ2x2 ∂

2u

∂x2+ r x

∂u

∂x.

(2) Para toda función f : R→R continua,

E∗ [exp(−r (T − t )) · f (ST ) |Ft

]= F (t ,St ) ,

donde

F (t , x) =

= E∗[

exp(−r (T − t )) f

(x ·exp

(σ

(W ∗

T −W ∗t

)+

(r −

σ2

2

)(T − t )

))]

y si u(t , x) es de clase C 1,2 con ∂u∂x acotada, y u(t , x) cumple la ecuación

diferencial en derivadas parciales

u(T, x) = f (x), x ∈R

(∂u∂t + Absm (u)− r u)(t , x) = 0, (t , x) ∈ JT ×R,

entonces u(t , x) = F (t , x).

(3) Si v(t , x) es solución regular de ∂v(t ,x)

∂t + Absm−ln(v)(t , x) = 0, (t , x) ∈ JT ×R

v(T, x) = f (exp(x)), x ∈R,

donde

Absm−ln =1

2σ2 ∂2

∂x2 +(r −

σ2

2

)∂

∂x− r · (·),

entonces F (t , x) = v(t , ln(x)) para toda función f : R → R continua,donde F (t , x) es como en el apartado (2) anterior.


Ecuaciones en derivadas parciales en un abierto acotado y cálculo de laesperanza matemática

Sean(Ω,F , Ft t∈JT ,Q

)una base estocástica y W = Wt t∈JT un proceso de

Wiener, en (Ω,F ,Q), respecto a Ft t∈JT y a Q. Sean b,σ : J∞×R→R aplica-ciones medibles y η una variable aleatoria F0-medible. Supongamos quese cumplen (1), (2) y (3) de la página 163 de V. 3. Entonces, existe ζt t∈JT

solución única (difusión) de la ecuación diferencial estocástica

dζt = b(t ,ζt )d t +σ(t ,ζt )dWt , ζ0 = η.

Además EQ(supt∈JT

|ζt |2)<+∞.

Tomamos el generador infinitesimal de la difusión ζt t∈JT:

A(u)(t , x) =1

2σ2(t , x)

∂2u(t , x)

∂x2 +b(t , x)∂u(t , x)

∂x.

Sea f : R → R una aplicación continua y r : J∞ ×R → R una aplicacióncontinua y acotada. Entonces, (Teorema 5.5.1., pág. 64),

EQ

[exp

(−

∫T

tr (s,ζs)d s

)· f (ζT )|Ft

]= F (t ,ζt ),

donde

F (t , x) = EQ

[exp

(−

∫T

tr(s,ζt ,x

s

)d s

)· f

(ζt ,x

T

)].

Además si u : JT ×R→R es una función de clase C 1,2 y ∂u∂x está acotada y u

cumple las ecuaciones

(5.12)

u(T, x) = f (x), x ∈R

(∂u∂t + A(u)− r u)(t , x) = 0, (t , x) ∈ JT ×R,

entonces u(t , x) = F (t , x), (t , x) ∈ JT ×R.

Supongamos, ahora, que b, σ, r son aplicaciones de R en R, y f y η

como antes, y pongamos

A(u)(t , x) = A(u)(t , x)− r (x)u(t , x) =

=1

2σ2(x)

∂2u(t , x)

∂x2 +b(x)∂u(t , x)

∂x− r (x)u(t , x).


Entonces la ecuación (5.12) anterior toma la forma

(5.13)

u(T, x) = f (x), x ∈R

(∂u∂t + A(u))(t , x) = 0, (t , x) ∈ JT ×R

Tenemos que (caso particular de lo anterior)

EQ

(exp

(−

∫T

tr (ζs )d s

)· f (ζT )|Ft

)= F (t ,ζt ) ,

donde

F (t , x) = EQ

[exp

(−

∫T

tr(ζt ,x

s

)d s

)· f

(ζt ,x

T

)],

(ζt t∈JTes la solución única de la ecuación diferencial estocástica dζt =

b (ζt )+σ (ζt )dWt , con condición inicial ζ0 = η). Además, si u(t , x) es de cla-se C 1,2 y ∂u

∂x está acotada y u cumple la ecuación (5.13) anterior, entonces

u(t , x) = F (t , x), (t , x) ∈ JT ×R. Por último, si u(t , x) es de clase C 1,2 y ∂u∂x está

acotada,

µt = exp

(−

∫t

0r (ζs )d s

)u (t ,ζt )−

−∫t

0exp(r (ζv )d v)

(∂u

∂t+ A(u)− r u

)(s,ζs)d s, t ∈ JT ,

es martingala respecto a Ft t∈JT y a Q.

Nos planteamos (5.13), no en todo R, sino en el intervalo (a,b), imponien-do condiciones tipo Dirichlet en el contorno:

(5.14)

(∂u∂t + A(u))(t , x) = 0, (t , x) ∈ JT × (a,b)

u(t , a) = u(t ,b) = 0, t ∈ JT

u(T, x) = f (x), x ∈ (a,b).

Teorema 5.5.11. Sea u una función de clase C 1,2 en las variables (t , x) con∂u∂x acotada y u solución de (5.14). Entonces para todo (t , x) ∈ JT × (a,b),

u(t , x) = EQ

[Ipara todo s∈[t ,T ],ζt ,x

s ∈(a,b) ·exp

(−

∫T

tr(ζt ,x

s

)d s

)· f

(ζt ,x

T

)],


donde ζt ,xs , s > t , es el flujo de la difusión dζt = b(ζt )d t +σ(ζt )dWt , es decir,

ζt ,xs = x +

∫s

tb

(ζt ,x

u

)du +

∫s

tσ

(ζt ,x

u

)dWu ,

f : R → R es una función continua, r : R → R es una función continua yacotada, y b,σ : R→R son funciones medibles.

Demostración. Veámosla para t = 0. Se puede prolongar u de JT × (a,b) aJT ×R, conservando el carácter C 1,2 de u y conservando la acotación de ∂u

∂x .A la extensión la seguimos llamando u. Por la Proposición 5.5.6., (pág. 72),

µt = exp

(−

∫t

0r(ζ0,x

s

)d s

)u

(t ,ζ0,x

t

)−

−∫t

0exp

(−

∫s

0r(ζ0,x

v

)d v

)·(∂u

∂t+ A(u)

)(s,ζ0,x

s

)d s

es una martingala respecto a Ft t∈JT y a Q. Además,

τx =

ınf

s ∈ JT : ζ0,xs 6∈ (a,b)

, si ınf

s ∈ JT : ζ0,x

s 6∈ (a,b)6= ;

T, si ınf

s ∈ JT : ζ0,xs 6∈ (a,b)

=;,

es un tiempo de Markov ya que se tiene τx = T xa ∧ T x

b ∧ T , donde T xl =

ınf

s : s ∈ JT , ζ0,xs = l

y los T x

l son tiempos de Markov. Entonces EQ(µ0) =EQ

(µτx

), de donde

u(0, x) = EQ

[exp

(−

∫τx

0r(ζ0,x

s

)d s

)u

(τx ,ζ0,x

τx

)]=

= EQ

[Ipara todo s∈JT ,ζ0,x

s ∈(a,b) exp

(−

∫T

0r(ζ0,x

s

)d s

)u

(T,ζ0,x

T

)]+

+EQ

[Iexiste s∈JT , ζ0,x

s 6∈(a,b) exp

(−

∫τx

0r(ζ0,x

s

)d s

)u

(τx ,ζ0,x

τx

)]

y este último sumando es cero, ya que en

existe s ∈ JT con ζ0,xs 6∈ (a,b)

,

u(τx ,ζ0,x

τx

)es cero. Por último, se tiene que u

(T,ζ0,x

T

)= f

(ζ0,x

T

)en el con-

junto

para todo s ∈ JT ,ζ0,xs ∈ (a,b)

.

Luego queda probado el teorema para t = 0.La demostración para t > 0 es análoga.


Opciones americanas y ecuaciones en derivadas parciales

Nos situamos en la Generalización al caso vectorial (d-dimensional) dela página 73.La difusión St =

(S1

t , ...,Sdt

), t ∈ JT , de (5.7), página 73 (sistema de ecua-

ciones diferenciales estocásticas), la designaremos, ahora por ζt , t ∈ JT ,ζt =

(ζ1

t , ...,ζdt

).

Tomamos f : Rd → R y r : J∞×Rd → R como en la página 74, ( f con más

regularidad si hace falta). Queremos calcular,

Φ(t , x) = supτ∈Tt ,T

EQ

[exp

(−

∫τ

tr(s,ζt ,x

s

)d s

)· f

(ζt ,xτ

)], t ∈ JT , x ∈R

d .

Observamos en primer lugar queΦ(t , x)> f (x) y, (tomando t = T ),Φ(T, x) =f (x).

Se puede probar que exp(−

∫t0 r (s,ζs)d s

)Φ (t ,ζt ), t ∈ JT , es supermar-

tingala respecto a Ft t∈JT y a Q, que mayora a f (ζt ), t ∈ JT , y es la máspequeña supermartingala respecto a Ft t∈JT y a Q, que mayora a f (ζt ),t ∈ JT .

Teorema 5.5.12. Sea u(t , x), (t , x) ∈ JT ×Rd , una solución (regular) de

∂u∂t + A(u)− r u 6 0, u > f , en JT ×R

d

(∂u∂t + A(u)− r u)( f −u) = 0, en JT ×R

d

u(T, x) = f (x), en Rd .

Entonces u(t , x) =Φ(t , x), (A definido como en (5.8), (pág. 73),

A(g )(t , x) =1

2

d∑

i , j=1ai j (t , x)

∂2g (t , x)

∂xi∂x j+

d∑

j=1b j (t , x)

∂g (t , x)

∂x j,

donde a(t , x) =(ai j (t , x)

)=σ(t , x)σ∗(t , x), σ(t , x) =

(σi j (t , x)

)).

Particularizamos la situación del teorema anterior tomando: n = d = 1,W = W , b(t , x) = r x, (r constante, tipo de interés), σ(t , x) =σx, η= S0. Conestas particularizaciones el operador A toma la forma

A(g (t , x)) =1

2σ2x2 ∂

2g (t , x)

∂x2+ r x

∂g (t , x)

∂x,


y queda la ecuación diferencial estocástica

dζt = rζt d t +σζt dWt , con condición inicial η.

Tomamos también f (x) = (x −K )+ o f (x) = (K −x)+ y r (t , x) = r .Lo que se quiere calcular es:


E[exp(−r (τ− t )) · f

(ζt ,xτ

)], t ∈ JT , x ∈R.

Así por el teorema anterior (Teorema 5.5.12.) si u(t , x), t ∈ JT , x ∈ R, essolución regular de

∂u∂t + A(u)− r u 6 0, u > f , en JT ×R

(∂u∂t + A(u)− r u)( f −u) = 0, en JT ×R

u(T, x) = f (x), en R,

entonces u(t , x) =Φ(t , x).Observamos por último que la solución de la ecuación diferencial estocás-tica dζt = rζt d t +σζt dWt , con condición inicial η es

ζt = S0 exp

((r −

σ2

2

)· t +σWt

).

Nos situamos en la Definición 5.4.6, (opción americana), pág. 54, y elTeorema 5.4.8., (precio de la opción americana), pág. 55, y destacamos(pág. 56) que u(t , x) definida por

u(t , x) = supτ∈Tt ,T

E∗ [exp(−r (τ− t )) f

(S t ,xτ

)],

(sabemos que

S t ,xτ = x ·exp

((r −

σ2

2

)(τ− t )+σ

(W ∗

τ −W ∗t

))

y S t ,xs es el flujo de la ecuación diferencial estocástica

dζt = rζt d t +σζt dW ∗t ),


donde f (x) = (x −K )+ o f (x) = (K − x)+, y P∗, W ∗t , t ∈ JT , proceden del

cambio de Girsanov para θt = (µ− r )/σ, t ∈ JT , cumple que u(t ,St ) es elprecio de la opción americana f (Su), u ∈ JT , en el instante t , (pág. 57), yexiste una estrategia de gestión con consumo Φ, cuyo valor Vt (Φ) es iguala u (t ,St ), que cubre a la opción americana f (St ), t ∈ JT .En definitiva tenemos: La base estocástica

(Ω,F , Ft t∈JT

,P∗), el proce-

so estocástico de Wiener W ∗ =W ∗

t

t∈JT

respecto a Ft t∈JT y a P∗, y to-mamos b(t , x) = r x, σ(t , x) = σx, η = S0 con lo cual tenemos la ecuacióndiferencial estocástica

dζt = rζt d t +σζt dW ∗t , con condición inicial ζ0 = η,

cuya solución es

St = S0 exp

((r −

σ2

2

)· t +σW ∗

t

)

y el operador

A(u)(t , x) =1

2σ2x2 ∂

2u(t , x)

∂x2 + r x∂u(t , x)

∂x.

Tomamos también f (x) = (x −K )+ y r (t , x) = r . Entonces lo que se quierecalcular es


E∗ [exp(−r (τ− t )) · f

(S t ,xτ

)], t ∈ JT , x ∈R,

donde S t ,xs es el flujo de la ecuación diferencial estocástica

dζt = rζt d t +σζt dW ∗t

y finalmente si v(t , x), (t , x) ∈ JT ×R es solución regular de

(5.15)

∂v∂t + A(v)− r v 6 0, v > f , en JT ×R

(∂v∂t + A(v)− r v)( f −v)= 0, en JT ×R

u(T, x) = f (x), en R,

Entonces v(t , x) =Φ(t , x) = u(t , x).

Lo expuesto más arriba se resume en el siguiente teorema.


Teorema 5.5.13. Partimos del escenario dado por:(Ω,F , Ft t∈JT ,P

)base

estocástica, W = Wt t∈JT proceso de Wiener respecto a Ft t∈JT y a P, y laecuación diferencial estocástica

dSt =µSt d t +σSt Wt , con condición inicial S0.

Pasamos mediante el cambio de Girsanov dado por θt = (µ−r )/σ, t ∈ JT , alescenario:




(−µ− r

σWT −

1

2T

(µ− r

σ

)2)

,

W ∗t =Wt +

µ− r

σ· t , t ∈ JT

proceso de Wiener respecto a Ft t∈JT y a P∗, y la ecuación diferencial esto-cástica dSt = r St d t +σSt dW ∗

t , con condición inicial S0, t ∈ JT . Entonces:La función

u(t , x) = supτ∈Tt ,T

E∗ [exp(−r (τ− t )) · f

(S t ,xτ

)],

(sabemos que

S t ,xτ = x exp

((r −

σ2

2

)· (τ− t )+σ

(W ∗

τ −W ∗t

))),

donde f (x) = (x −K )+ o f (x) = (K − x)+, admite φ♯ =(

H ♯0t , H ♯

t

)t∈JT

, C ♯ =

C ♯t

t∈JT

, estrategia de gestión con consumo, que cubre la opción americana

f (St ), t ∈ JT , tal que

Vt (φ♯) = H ♯0t St +H ♯

t St = u (t ,St )

y además para todo elemento(φ=

(H0

t , Ht)

t∈JT,C = Ct t∈JT

), estrategia

de gestión con consumo, que cubra a f (St ), t ∈ JT ,

Vt (φ) = H0t S0

t +Ht St > u (t ,St ) , t ∈ JT .

Por último se tiene que u (t ,St ) es el precio (definición) de la opción ameri-cana f (Su), u ∈ JT , en el tiempo t.Si v(t , x), (t , x) ∈ JT ×R, es solución regular de la ecuación diferencial en

derivadas parciales (5.15) con A(u)(t , x) = (1/2)σ2x2 ∂2u(t ,x)∂x2 )+r x ∂u(t ,x)

∂x , en-

tonces, v(t , x) = u(t , x) = supτ∈Tt ,TE∗ [

exp(−r (τ− t )) · f(S t ,xτ

)].


En el Teorema 5.4.8., pág. 55, se ha resuelto el call americano, obte-niendo que su precio es igual al del call europeo, (Proposición 5.4.9.).

Veamos el put americano.En el Teorema 5.5.13., hemos partido del escenario:(I).

(Ω,F , Ft t∈JT

,P)

base estocástica, W = Wt t∈JTproceso de Wiener

respecto a Ft t∈JT y P , y la ecuación diferencial estocástica dSt =µSt d t +σSt dWt con condición inicial S0.

Se ha aplicado el cambio de probabilidad de Girsanov para θt = (µ−r )/σ, t ∈ JT , r constante (el tipo de interés) y se ha obtenido el nuevo esce-nario:

(II).(Ω,F , Ft t∈JT ,P∗)



(−µ− r

σWT −

1

2T

(µ− r

σ

)2)

,

W ∗t =Wt +

µ− r

σ· t , t ∈ JT

proceso de Wiener respecto a Ft t∈JT y a P∗, y la ecuación diferencial es-tocástica dSt = r St d t +σSt dW ∗

t , con condición inicial S0, t ∈ JT .

Lo que hemos obtenido es que si v(t , x) es solución de (5.15), pág. 89,entonces

v(t , x) = u(t , x) = supτ∈Tt ,T

E∗ [exp(−r (τ− t )) · f

(S t ,xτ

)],

donde f (x) = (x −K )+ o f (x) = (K − x)+ y u(t ,St ) es el precio de la opciónamericana f (Su), u ∈ JT , en el tiempo t y

A(u)(t , x) =1

2σ2x2 ∂

2u(t , x)

∂x2 + r x∂u(t , x)

∂x.

Tomamos logaritmos Neperianos en

St = S0 exp

((r −

σ2

2

)· t +σW ∗

t

),


(solución de la ecuación diferencial estocástica

dSt = r St d t +σSt dW ∗t , con condición inicial S0),

y obtenemos

ζt = ln(St ) = ln(S0)+(r −

σ2

2

)· t +σW ∗

t =

= lnS0 +∫t

0

(r −

σ2

2

)d s +

∫t

0σdW ∗

s ,

que es la difusión de

dζt =(r −

σ2

2

)·d t +σdW ∗

t , con condición inicial ln(S0).

El generador infinitesimal de la difusión ζt es

Absm−ln(u)(t , x) =1

2σ2∂

2u(t , x)

∂x2 +(r −

σ2

2

)∂u(t , x)

∂x

y ponemos Absm−ln = Absm−ln − r · (·).

Teorema 5.5.14. El problema, donde φ(x) = (K −exp(x))+,

(5.16)

∂v(t ,x)∂t + Absm−ln v(t , x) 6 0, en JT ×R

v(t , x) >φ(x), en JT ×R

(v(t , x)−φ(x))(∂v(t ,x)

∂t + Absm−ln v(t , x))= 0, en JT ×R

v(T, x) =φ(x), enR

admite una solución única v(t , x) continua y acotada tal que ∂v∂t , ∂v

∂x , ∂2v∂x2

sean localmente acotadas. Además,

v(t , ln(x)) =Φ(t , x) = supτ∈Tt ,T

E∗ [exp(−r (τ− t )) · f

(S t ,xτ

)],

donde f (x) = (K −x)+ y

S t ,xτ = x ·exp

(σ

(W ∗

τ −W ∗t

)+

(r −

σ2

2

)(τ− t )

),

(sabemos que Φ (t ,St ) es el precio del put americano f (St ) = (−St +K )+,t ∈ JT , en el tiempo t).


Para una demostración del teorema anterior véase [22].Luego queda resuelto el put americano.


5.1. Probar la Proposición 5.5.5., (pág. 71).Indicación: Aplicar el Teorema 4.8.5., (V. 3, pág. 128), a u(t , x) y

dξt = b(t ,ξt )d t +σ(t ,ξt )dWt , con condición inicial ξ0 = η.

Después de esta aplicación escribir µt = u(0,ξ0)+·· · . Por último, teniendoen cuenta que |σ(t , x)|6 K (1+|x|), de dondeσ(t , x)2 6 K 22(1+|x|2), probarque

EQ

[∫T

0ux (t ,ξt )2σ(t ,ξt )2d t

]<+∞.

5.2. Probar que la función F (t , x) de la página 80 es solución de la ecuacióndiferencial en derivadas parciales

u(T, x) = (x −K )+, x ∈ (0,+∞)(∂u∂t + Absm (u)− r u)(t , x) = 0, (t , x) ∈ [0,T )× (0,+∞).

5.3. Probar que la función F (t , x) de la página 81 es solución de la ecuacióndiferencial en derivadas parciales

u(T, x) = (K −x)+, x ∈ (0,+∞)(∂u∂t + Absm (u)− r u)(t , x) = 0, (t , x) ∈ [0,T )× (0,+∞).

5.4. Nos situamos en el Teorema 5.4.3. de la página 34 (precio de la opcióneuropea) y en la Observación 1 de la página 37. Probar que

Ct −Pt = St −K exp(−r (T − t )), t ∈ JT

donde Ct es el precio del call europeo y Pt es el precio del put europeo.

5.5. Estudiar si el Teorema 5.5.13 de la página 90 es válido también para ψ

función continua con ψ(x) 6 Ax +B , x ∈R, en lugar de f .


5.6. Valor aproximado del precio de las opciones

Reducido el problema de determinación del precio de las opciones, en elmodelo BSM, a la resolución de una ecuación diferencial en derivadas par-ciales, a continuación se utilizan las técnicas del análisis numérico paraobtener soluciones aproximadas de las ecuaciones involucradas en el pro-blema para conseguir valores aproximados del precio de las opciones.

Caso de una opción europea en el modelo BSM

Nos situamos en el modelo BSM, es decir, tenemos los escenarios (I) y (II),(páginas 65 y 66). Sabemos que

E∗ [exp(−r (T − t )) · f (ST ) |Ft

]= F (t ,St ) ,

dondeF (t , x) = E∗ [

exp(−r (T − t )) · f(S t ,x

T

)], S t ,x

T = xST S−1t ,

siendo f : R→R una función continua, (Teorema 5.5.2., pág. 68).Sabemos también, (pág. 83), que si v(t , x) es solución (regular) de

∂v(t ,x)∂t + Absm−ln(v)(t , x) = 0, (t , x) ∈ JT ×R

v(T, x) = f (exp(x)), x ∈R,

entonces F (t , x) = v(t , ln(x)) para toda función continua f : R→R, siendo

Absm−ln =1

2σ2 ∂2

∂x2 +(

r −σ2

2

)∂

∂x− r · (·).

Consideramos el Teorema 5.5.8., (pág. 75), y lo particularizamos tomando:La base estocástica


, el proceso estocástico de WienerW =

W ∗

t

t∈JT

respecto a Ft t∈JT y a P∗, (θt = (µ− r )/σ, W ∗t = Wt + ((µ−

r )/σ)t , t ∈ JT ), b(t , x) =(r − σ2

2

), σ(t , x) =σ, r (t , x) = r , η= ln(S0), f : R→R

continua (consideramos la función f (x) = f (exp(x))). Como consecuenciade esta particularización tenemos el operador

A(u)(t , x) =1

2σ2∂

2u(t , x)

∂x2+

(r −

σ2

2

)∂u(t , x)

∂x

5.6. VALOR APROXIMADO DEL PRECIO DE LAS OPCIONES 95

yA(u)(t , x) = A(u)(t , x)− r u(t , x),

pero el operador A se ha designado también por Absm−ln. Además, la ecua-ción diferencial estocástica generada (como en el teorema) es

dξt =(r −

σ2

2

)d t +σdW ∗

t , con condición inicial ln(S0) ,

cuya solución es

ln(St ) = ln(S0)+(r −

σ2

2

)· t +σW ∗

t , t ∈ JT .

También deducimos de los preliminares del Teorema 5.5.8., (páginas 74 y75), que

E∗ (exp(−r (T − t )) · f

(ln

(ξt ,x

T

))|Ft

)= F (t , ln(St )) ,

dondeF (t , x) = E∗ (

exp(−r (T − t )) · f(ξt ,x

T

)), ξt = ln(St ) .

Además, del teorema citado, si u(t , x) es función de clase C 1,2, ∂u∂x está aco-

tada en JT ×R y u es solución de la ecuación

u(T, x) = f (x), x ∈R(∂u∂t + A(u)− r u

)(t , x) = 0 (t , x) ∈ JT ×R,

entonces u(t , x) = F (t , x) (se puede cambiar f por f ). Por último, poniendolos datos: Base estocástica


, proceso de Wiener W ∗ =W ∗

t

t∈JT

respecto a Ft t∈JT y a P∗, b(t , x) = r − σ2

2 , σ(t , x) = σ, r (t , x) =r , η = ln(S0), f : R → R, donde f (x) = f (exp(x)), f : R → R continua, enel desarrollo de las páginas 84, 85 y el Teorema 5.5.11, obtenemos que sila función u(t , x) es de clase C 1,2 y ∂u

∂x está acotada en JT × (a,b) y u essolución de

(6.1)

(∂u∂t + Absm−ln(u)

)(t , x) = 0, en JT × (a,b)

u(t , a) = u(t ,b) = 0, t ∈ JT

u(T, x) = f (x), x ∈ (a,b), f (x) = f (exp(x)),


se tiene que para todo (t , s)∈ JT × (a,b),

u(t , x) = E∗[

Ipara todo s∈[t ,T ], ξt ,xs ∈(a,b) ·exp(−r (T − t )) · f

(ξt ,x

T

)],

donde ξt ,xs , s > t , es el flujo de la ecuación diferencial estocástica

dξt =(r −

σ2

2

)d t +σdW ∗

t .

Naturalmente la solución de esta ecuación con condición inicial ln(S0), co-mo se ha dicho anteriormente, es

ξt = ln(St ) , ln(St ) = ln(S0)+(r −

σ2

2

)t +σW ∗

t , t ∈ JT .

Las difusiones de la ecuación diferencial estocástica

dξt =(r −

σ2

2

)d t +σdW ∗

t , con condición inicial ξ0 = ln(S0)

y de la ecuación diferencial estocástica

dSt = r St d t +σSt dW ∗t , con condición inicial S0,

ya hemos dicho que se relacionan mediante la fórmula ξt = ln(St ). Se com-prueba que los correspondientes flujos se relacionan mediante la fórmula

ln(S t ,x

s

)= ξt ,ln(x)

s .

Observación. Para aplicar el Teorema 5.5.8. hemos adaptado, naturalmen-te, los preliminares de las páginas 74 y 75 de la siguiente forma: Hemos to-mado la base estocástica


y el proceso de Wiener W ∗ =W ∗

t

t∈JT

respecto a Ft t∈JTy a P∗, (del escenario (II)), y b(t , x) = r −σ2/2,

σ(t , x) =σ, η= ln(S0), r (t , x) = r , f = f (exp(x)), f : R→ R continua, con locual la ecuación diferencial estocástica generada es

dξt =(r −

σ2

2

)d t +σdW ∗

t , con condición inicial ξ0 = ln(S0).


Así A = Absm−ln, (pág. 83),

A(u) =1

2σ2∂

2u

∂x2+

(r −

σ2

2

)∂u

∂x− r ·u

y

E∗[

exp(−r (T − t )) · f (ξT ) |Ft

]= E∗ [

exp(−r (T − t )) · f (ST ) |Ft]=

= F (t ,ξt ) = F (t , ln(St )) , donde

F (t , x) = E∗[

exp(−r (T − t )) · f(ξt ,x

T

)]= E∗

[exp(−r (T − t )) · f

(S t ,exp(x)

T

)],

(exp(ξt ,x

T

)= S t ,exp(x)

T , ya que ξt ,xT = ln

(S t ,exp(x)

T

)),

y si u(t , x) es regular y cumple ∂u

∂t + Absm−ln(u) = 0, en JT ×R

u(T, x) = f (x), en R,

entonces

u(t , x) = E∗[

exp(−r (T − t )) · f(ξt ,x

T

)]=

= E∗[

exp(−r (T − t )) · f(S t ,exp(x)

T

)]= F (t , x)

y por último se aplica el Teorema 5.5.11..

Entonces, de nuevo en el ámbito del modelo BSM, es decir, tenemoslos escenarios (I) y (II) (páginas 65 y 66), lo que nos interesa, en definitiva,es la solución v(t , x) de

(6.2)

∂v∂t + Absm−ln(v)= 0, en JT ×R

v(T, x) = f (exp(x)), en R,

donde

Absm−ln =1

2σ2 ∂2

∂x2+

(r −

σ2

2

)∂

∂x− r · (·),

pues, en tal caso, (páginas 82 y 83),

v(t , ln(x)) = F (t , x) = E∗ [exp(−r (T − t )) · f

(S t ,x

T

)], S t ,x

T = xST S−1t =

= x ·exp

(σ

(W ∗

T −W ∗t

)+

(r −

σ2

2

)(T − t )

),


donde f : R→R es aplicación continua, y

F (t ,St ) = E∗ [exp(−r (T − t )) · f (ST ) |Ft

],

que es el precio, en t , de la opción europea f (ST ).

Para hallar una solución de (6.2), (aproximada), primero se localiza y acontinuación se discretiza el problema local en tiempo y en espacio. Unalocalización de (6.2), con condiciones de contorno tipo Dirichlet, es el pro-blema (6.1), (pág. 95), (ponemos b = l > 0, a =−l ).La primera cuestión es acotar el error al sustituir u(t , x), (solución de (6.2)),por ul (t , x), (solución de (6.1)). Se prueba que

|u(t , x)−ul (t , x)|6

6 M ·(

exp

(−|l −|r ′T |−x|2

σ2T

)+exp

(−|l −|r ′T |+x|2

σ2T

)),

donde M es cota de f y r ′ = r − (σ2)/2. Esta prueba se inicia de la siguienteforma:

u(t , x) = E∗[

exp(−r (T − t )) · f(S t ,exp(x)

T

)]=

= E∗[

exp(−r (T − t )) · f(ξt ,x

T

)],

(ln(S t ,x

s

)= ξt ,ln(x)

s , ξt = ln(St ), f (x) = f (exp(x))), ya que u es solución de(6.2),

ul (t , x) = E∗[

Ipara todo s∈[t ,T ], ξt ,xs ∈(−l ,l ) ·exp(−r (T − t )) · f

(ξt ,x

T

)],

donde ξt ,xs , t 6 s, es el flujo de la ecuación diferencial estocástica

dξt =(r −

σ2

2

)d t +σdW ∗

t ,

ya que ul es solución de (6.1), (pág. 95).Entonces, (páginas 57, 58 y 59),

|u(t , x)−ul (t , x)|6 M ·P∗ (existe s ∈ [t ,T ],

∣∣ξt ,xs

∣∣ > l)

.


Como r ′ = r − (σ2)/2, se tiene que

existe s ∈ [t ,T ] con |ξt ,x

s |> l⊂

sup

t6s6T|x +σ

(W ∗

s −W ∗t

)|> l −|r ′T |

,

ya que

Ss,exp(x)t = exp(x)St S−1

s = exp(x)exp

((r −

σ2

2

)(t − s)+σ

(W ∗

t −W ∗s

)),

ln(Ss,exp(x)

t

)= ξs,x

t = x + r ′(t − s)+σ(W ∗

t −W ∗s

),

ξt ,xs = x + r ′(s − t )+σ

(W ∗

s −W ∗t

).

Así,

|u(t , x)−ul (t , x)|6 M ·P∗(

supt6s6T

|x +σ(W ∗

s −W ∗t

)|> l −|r ′T |

),

y por las propiedades de los procesos estocásticos de Wiener se llega a laacotación de la página 98.De la acotación que se ha obtenido, (pág. 98), se deduce que para t , x fijos,lıml→+∞ ul (t , x) = u(t , x). Esta convergencia es, incluso, uniforme en t , x,siempre que x permanezca en una parte compacta de R.

Corresponde, ahora, discretizar (6.1), (pág. 95):Tomamos h = 2l/(N + 1), xi = −l + ih, 0 6 i 6 N + 1, y para cada t ∈ JT ,uh(t ) =

(ui

h(t ))

16i6Nun vector de R

N , u0h(t ) = uN+1

h (t ) = 0. Al discretizar eloperador

Absm−ln =1

2σ2 ∂2

∂x2 +(

r −σ2

2

)∂

∂x− r · (·),

se obtiene el operador sobre RN , (se sustituye ∂u(xi )

∂x porui+1

h −ui−1h

2h , y ∂2u(xi )∂x2

porui+1

h −uih

h − uih−ui−1

hh

h=

ui+1h −2ui

h +ui−1h

h2 ),

(A(uh)

)i =

σ2

2h2

(ui+1

h −2uih +ui−1

h

)+

(r −

σ2

2

)1

2h

(ui+1

h −ui−1h

)− r ui

h.


La función f se discretiza tomando

f h =(

fih

)16i6N

, fih = f (xi ), xi =−l + ih,

y (para el caso Dirichlet) f0h = f

N+1h = 0. Esta discretización en espacio per-

mite pasar de (6.1) a una ecuación diferencial ordinaria

(6.3)

duh (t)

dt + A(uh)(t ) = 0, t ∈ JT

uh(T ) = f h .

Ahora hay que discretizar (6.3), en tiempo:Sean θ ∈ [0,1] y k un paso de tiempo tal que T = Mk. Entonces aproxima-mos uh de (6.3) en el instante nk, 0 6 n 6 M , por uh,k solución de

(6.4)

uMh,k = f h

un+1h,k −un

h,k

k +θ A(un

h,k

)+ (1−θ)A

(un+1

h,k

)= 0,

donde 0 6 n 6 M −1.Lo importante, llegado este punto, es tener un teorema de convergenciaque relacione uh,k , (de (6.4)), con u(t , x), (de (6.1)), es decir un teorema


que exprese que uh,k (t , x) converge a u(t , x).Ponemos la notación

ukh(t , x) =

M∑

n=1

N∑

i=1

(un

h,k

)i· I((n−1)k,nk] × I(xi −h/2,xi +h/2],

donde I A es el indicador de A ⊂R, y consideramos el operador

δu(t , x) =1

h

(u

(t , x +

h

2

)−u

(t , x −

h

2

)).

Entonces se tiene que para 1/2 6 θ 6 1,

lımh→0,k→0

ukh = u

en el espacio L2(JT × (−l , l )).

lımh→0,k→0

δukh =

∂u

∂x


Para 0 6 θ < 1/2 y lım h→0k→0

k/h2 = 0,

lımh→0k→0

ukh = u y lım

h→0k→0

δukh =

∂u

∂x


Siguiendo con el análisis de (6.4), ponemos G = (I + (1− θ)k A)un+1h,k ,

U = (I −kθ A) y X = unh,k . Entonces el paso n de (6.4)

uMh,k = f h

un+1h,k −un

h,k

k +θ A(un

h,k

)+ (1−θ)A

(un+1

h,k

)= 0,


se convierte en U X = G . De la definición de A, obtenemos que su matrizasociada es

β γ 0 0 0 · · · 0 0 0α β γ 0 0 · · · 0 0 00 α β γ 0 · · · 0 0 0...

......

......

. . ....

......

0 0 0 0 0 · · · α β γ

0 0 0 0 0 · · · 0 α β

,

donde

α =σ2

2h2−

1

2h

(r −

σ2

2

)

β = −σ2

h2− r

γ =σ2

2h2+

1

2h

(r −

σ2

2

).

Por tanto U es una matriz tridiagonal conocida

U =

b1 c1 0 0 0 · · · 0 0 0a2 b2 c2 0 0 · · · 0 0 00 a3 b3 c3 0 · · · 0 0 0...

......

......

. . ....

......

0 0 0 0 0 · · · aN−1 bN−1 cN−1

0 0 0 0 0 · · · 0 aN bN

.

Ponemos X = (Xi )16i6N , G =(gi

)16i6N y consideramos la transformación

b′N = bN

g ′N = gN

para 1 6 i 6 N −1, i decreciente

b′i = bi − ci ai+1

b′i+1

g ′i = gi −

ci g ′i+1

b′i+1


Después de esta transformación se obtiene un sistema equivalente, (a U X =G), de la forma U1X =G1, con G1 =

(g ′

i

)16i6N y

U1 =

b′1 0 0 0 0 · · · 0 0 0

a2 b′2 0 0 0 · · · 0 0 0

0 a3 b′3 0 0 · · · 0 0 0

......

......

.... . .

......

...0 0 0 0 0 · · · aN−1 b′

N−1 00 0 0 0 0 · · · 0 aN b′

N

.

Finalmente

X1 =g ′

1b′

1

Para 2 6 i 6 N , i creciente

Xi =g ′

i −ai Xi−1

b′i

.

Observamos que si |r −σ2/2|6σ2/h, entonces U es regular y X =U−1G .

Caso del put americano en el modelo BSM

Consideramos el put americano (páginas 91, 92 y 93).Hemos obtenido que el sistema (5.16) de la página 92 admite una soluciónúnica v(t , x) tal que

v(t , ln(x)) = u(t , x) = supτ∈Tt ,T

E∗ [exp(−r (τ− t )) · f

(S t ,xτ

)],

donde f (x) = (K −x)+ y

S t ,xτ = x ·exp

(r (τ− t )+σ

(W ∗

τ −W ∗t

)−σ2

2(τ− t )

),

y u(t ,St ) es el precio, en el instante t , del put americano f (Sh) = (−Sh +K )+,h ∈ JT .Se localiza (5.16) con condiciones de contorno tipo Neumann:

(6.5)

vt (t , x)+ Abs−ln(v)(t , x) 6 0, en JT × (−l , l )v(t , x) >φ(x), en JT × (−l , l )(v(t , x)−φ(x))

(vt (t , x)+ Abs−ln(v)(t , x)

)= 0, en JT × (−l , l )

v(T, x) =φ(x), en (−l , l )vx(t ,−l ) = vx (t , l ) = 0, t ∈ JT .


El error de pasar de (5.16) a (6.5) se estima como en las páginas 98 y 99.Se discretiza (6.5) en espacio y tiempo. Se procede como en las páginas 99,100 y 101. En este caso, de condición de contorno tipo Neumann, se impo-ne u0

h = u1h y uN

h = uN+1h , y el operador, sobre R

N , Ah está representado porla matriz

β+α γ 0 0 0 · · · 0 0 0 0α β γ 0 0 · · · 0 0 0 00 α β γ 0 · · · 0 0 0 0...

......

......

. . ....

......

...0 0 0 0 0 · · · 0 α β γ

0 0 0 0 0 · · · 0 0 α β+γ

,

donde α, β, γ son como en la página 102. La función φ(x) se discretiza to-mando fh =

(f i

h

)16i6N

, f 0h = f 1

h , f Nh = f N+1

h , f ih = φ(xi ), xi = −l + i 2l

N+1 ,

h = 2lN+1 . Esta discretización espacial nos lleva a una ecuación diferen-

cial ordinaria con condición de contorno, uh(T ) = fh. Discretizando dichaecuación diferencial ordinaria respecto del tiempo (Mk = T ), obtenemosel siguiente sistema:

(6.6)

uMhk = fh

y si 0 6 n 6 M −1

unhk > fh (la desigualdad es coordenada a coordenada)

un+1hk −un

hk +k(θ Ahun

hk + (1−θ)Ahun+1hk

)6 0(

un+1hk −un

hk +k(θ Ahun

hk + (1−θ)Ahun+1hk

),un

hk − fh)= 0,

donde ( , ) es el producto escalar en RN .

Ponemos las notaciones:

U = I −kθ Ah

X = unhk

G =(gi

)=

(I +k(1−θ)Ah

)un+1

hk

F = fh .


Entonces en cada paso de tiempo n tenemos

(6.7)

U X > GX > F(U X −G , X −F ) = 0

y U es

a+b c 0 0 0 · · · 0 0 0 0a b c 0 0 · · · 0 0 0 00 a b c 0 · · · 0 0 0 0...

......

......

. . ....

......

...0 0 0 0 0 · · · 0 a b c0 0 0 0 0 · · · 0 0 a b +c

con

a = θk

(−

σ2

2h2 +1

2h

(r −

σ2

2

))

b = 1+θk

(σ2

h2+ r

)

c = −θk

(σ2

2h2+

1

2h

(r −

σ2

2

)).

Si X ·U X >αX ·X con α> 0, entonces se puede resolver (6.7). Ahora bien,U (en nuestro caso) tiene esta propiedad si

∣∣∣∣r −σ2

2

∣∣∣∣ 6σ2

hy

k

2h

∣∣∣∣r −σ2

2

∣∣∣∣< 1.

Se prueba que si U tiene esta propiedad, entonces (6.6) tiene solución úni-ca.

Veamos la convergencia de una solución de (6.6) hacia una solución de(6.5).Ponemos la notación

ukh(t , x) =

M∑

n=1

N∑

i=1

(un

hk

)i I((n−1)k,nk] × I(xi −h/2,xi +h/2],

(I A indicador de A ⊂R). Entonces si u(t , x) es una solución de (6.5),


(1) Si θ < 1, la convergencia es condicional, es decir, si h → 0, k → 0 yk/h2 → 0, entonces lımuk

h = u en el espacio L2(JT×(−l , l )) y lımδukh =

∂u∂x en L2(JT × (−l , l )), (el operador δ es como en la página 101).

(2) Si θ = 1, la convergencia es incondicional, es decir, se tiene la conver-gencia precedente si h → 0 y k → 0 sin restricción.

Si h es suficientemente pequeño, se puede resolver (6.7), (pág. 105): b′N =

bN , g ′N = gN , y para i ∈ 1, ..., N−1, decreciente, b′

i = bi− cab′

i+1, g ′

i = gi−cg ′

i+1b′

i+1.

La diagonal de U es ∆= (a+b,b, ...,b,b +c).

X1 =g ′

1b′

1

para 2 6 i 6 N , i creciente

Xi =(g ′

i −aXi−1)

b′i

Xi = sup(Xi , fi

)

F =(

fi)

16i6N .

(F = fh =(

f ih

)16i6N

, f ih =φ(xi )).


6.1. Comprobar la igualdad ln(S t ,x

s)= ξt ,ln(x)

s de la página 96.

6.2. Calcular, a partir del sistema recurrente de la página 102, la matriz quepermite el paso (multiplicando por la izquierda) de U X =G a U1X =G1.Indicación. Es la matriz que al multiplicarla por la derecha por la matriz(g1 g2 · · · gN )∗ se obtiene la matriz (g ′

1 g ′2 · · · g ′

N )∗, (por ejemplo, la fila(N −2)-ésima de dicha matriz es

(0 · · · 0 1

−cN−2

b′N−1

·g ′

N−1

gN−10

).

5.7. MFC SOBRE UN PROCESO DE WIENER DE DIMENSIÓN N 107

5.7. MFC sobre un proceso de Wiener de dimen-sión n

El modelo BSM, que se ha estudiado anteriormente con detalle, es un ca-so particular de mercado financiero continuo, y al mismo tiempo es ger-men de modelos de mercados financieros más generales. En esta secciónse establecen y estudian modelos de MFC modelizados sobre procesos deWiener n-dimensionales.

Definición 5.7.1. Un mercado financiero continuo con base estocástica, (pá-gina 11),

(Ω,F , Ft t∈JT

,P), y d + 1 activos financieros primarios modeli-

zado sobre un proceso estocástico de Wiener n-dimensional, n ∈ N+, W =

Wt =(W 1

t , ...,W nt

)t∈JT

en (Ω,F ,P ), respecto a Ft t∈JT y a P, es un MFC,

(pág. 11), con activos financieros primarios S0,S1,...,Sd y precios de estos ac-tivos financieros en el tiempo t ∈ JT , S0

t ,S1t ,...,Sd

t , respectivamente, tales queS =

St =

(S0

t ,S1t , ...,Sd

t

)t∈JT

es un proceso de Itô (d+1)-dimensional respec-

to al proceso de Wiener n-dimensional W , (V. 3, pág. 126), de la forma

dS0t = rt (ω)S0

t d t , S00 = 1 (7.1)

dSit =µi

t (ω)d t +∑n

j=1σi jt (ω)dW j

t , Si0 = xi > 0, i = 1, ...,d (7.2)

donde rt t∈JT es un proceso estocástico real acotado.(Las ecuaciones (7.2) se pueden escribir de la forma

dS⋆t =µ⋆

t d t +σt dW ⋆t , con condición inicial S⋆

0

donde

dS⋆t =

dS1t

...dSd

t

, µ⋆

t =

µ1t

...µd

t

, dW ⋆

t =

dW 1t

...dW n

t

, S⋆

0 =

x1...

xd

,

σt =(σ

i jt

), (véase la página 127 de V. 3)).

Observaciones. (1). Consideramos, como en la definición que precede, unMFC con base estocástica

(Ω,F , Ft t∈JT

,P)

y activos financieros prima-rios S0,..., Sd , modelizado sobre el proceso de Wiener n-dimensional W .


La ecuación (7.1) tiene por solución

S0t = exp

(∫t

0ru(ω)du

)> 0, y así

1

S0t

= exp

(−

∫t

0ru(ω)du

), t ∈ JT .

En el MFC normalizado asociado al dado, (Observación 2 de la página

14), los precios actualizados están dados por Sit = Si

t /S0t = Si

t ·(1/S0

t

), i =

0,1, ...,d , t ∈ JT . Por tanto, por el Teorema 4.8.6, (V. 3, pág. 128), tomandof (t , x1, x2) = x1 ·x2, se obtiene

dS0t = 0 ·S0

t d t , (S0t = 1, t ∈ JT ) (7.3)

dSit =

(µi

t (ω)

S0t

− rt (ω)Sit

)d t +

∑nj=1

σi jt (ω)

S0t

dW jt , S

i0 = xi , i = 1, ...,d . (7.4)

Por consiguiente, el MFC normalizado asociado al dado también es unMFC con la misma base estocástica,

(Ω,F , Ft t∈JT

,P), los mismos acti-

vos financieros, S0, S1,..., Sd , con evolución de precios, calculados con unanueva escala, regida por las ecuaciones diferenciales estocásticas (7.3) y(7.4), y modelizado sobre W .Recordamos, pág. 14, que toda estrategia de gestión en el MFC dado es es-trategia de gestión en este MFC normalizado asociado y viceversa.

(2). Al activo financiero S0, en la definición anterior, se le llama activo sinriesgo (safe), pues la ecuación que rige la evolución de sus precios no de-pende del proceso de Wiener W , mientras que a los activos S1,...,Sd se lesllama activos con riesgo (risky).

Casos particulares importantes

(1). Modelo difusión de Itô.Es un MFC con base estocástica


)y d+1 activos financie-

ros primarios S0,..., Sd , modelizado sobre un proceso estocástico de Wie-ner n-dimensional W =

Wt =

(W 1

t , ...,W nt

)t∈JT

, tal que la evolución de losprecios de los activos financieros está regida por las ecuaciones diferencia-les estocásticas

dS0t = r (t ,St )S0

t d t , S00 = 1 (7.5)

dSit =µi (t ,St )d t +

∑nJ=1σ

i j (t ,St )dW jt , Si

0 = yi , i = 1, ...,d , (7.6)


donde St =(S0

t ,S1t , ...,Sd

t

), t ∈ JT , y b0(t , x) = r (t , x)x0, b1(t , x) = µ1(t , x),...,

bd (t , x) = µd (t , x), σi j (t , x), t ∈ JT , x = (x0, x1, ..., xd ) ∈ Rd+1, i = 0,1, ...,d ,

j = 1, ...,n, σ0 j (t , x) = 0, j = 1, ...,n, son funciones medibles de JT ×Rd+1 en

R, verificando las condiciones (1), (2) y (3) de la página 153 de V. 3.Por lo dicho en las páginas 152 y 153 de V. 3, las ecuaciones diferencialesestocásticas anteriores definen un único proceso estocástico de Itô d +1-dimensional (proceso de difusión de Itô),

(S0

t ,S1t , ...,Sd

t

)t∈JT

, respecto al

proceso estocástico de Wiener n-dimensional W . Además, se verifica que

E(supt∈JT

(S0

t

)2 + ...+(Sd

t

)2)

<+∞.

(2). Modelo de Black-Scholes-Merton generalizado (BSM(G)).Es un MFC con base estocástica


)y dos activos financie-

ros primarios S0 y S1, modelizado sobre un proceso estocástico de Wiener1-dimensional W = Wt t∈JT , en (Ω,F ,P ), respecto a Ft t∈JT y a P , tal quela evolución de los precios de los activos financieros está regida por lasecuaciones diferenciales estocásticas

dS0t = rt (ω)S0

t d t , S00 = 1 (7.7)

dS1t =µ1

t (ω)S1t d t +σ1

t (ω)S1t dWt , S1

0 = x1 > 0. (7.8)

(3). Modelo de Black-Scholes-Merton clásico (BSM).Es un MFC con base estocástica



ros primarios S0 y S1, modelizado sobre un proceso estocástico de Wiener1-dimensional W = Wt t∈JT , en (Ω,F ,P ), respecto a Ft t∈JT y a P , tal quela evolución de los precios de los activos financieros está regida por lasecuaciones diferenciales estocásticas

dS0t = r S0

t d t , S00 = 1 (7.9)

dS1t =µS1

t d t +σS1t dWt , S1

0 = x1, (7.10)

donde r , µ, σ y x1 son constantes con x1 > 0 y σ 6= 0, (páginas 16 y 17).

(4). Modelo de Dupire.Es un MFC con base estocástica



ros primarios S0 y S1, modelizado sobre un proceso estocástico de Wiener1-dimensional W = Wt t∈JT

, en (Ω,F ,P ), respecto a Ft t∈JTy a P , tal que

la evolución de los precios de los activos financieros está regida por las


ecuaciones diferenciales estocásticas

dS0t = r S0

t d t , S00 = 1 (7.11)

dS1t =µ(t )S1

t d t +σ(t ,S1t )S1

t dWt , S10 = x1, (7.12)

donde r y x1 son constantes con x1 > 0, (pág. 53).

Definición 5.7.2 (Estrategias de gestión autofinanciadas). Sea un MFCcon base estocástica


)y modelizado sobre un proceso esto-

cástico de Wiener n-dimensional W =Wt =

(W 1

t , ...,W nt

)t∈JT

en (Ω,F ,P )

respecto a Ft t∈JT y a P, y con d +1 activos financieros primarios S0, S1,...,Sd , tales que la evolución de sus precios está regida por las ecuaciones dife-renciales estocásticas (7.1) y (7.2).Una estrategia de gestión φ=

(H0

t , ..., Hdt

)t∈JT

, (pág. 14), en este mercado,se dice que es una estrategia de gestión autofinanciada, (pág. 14), si:

(1).∫T

0

[∣∣H0uruS0

u +∑d

i=1 H iuµ

iu

∣∣+∑nj=1

(∑di=1 H i

uσi ju

)2]

du <+∞, (P −a.s.),

(2). El valor de la cartera en el tiempo t ∈ JT , (pág. 14), está dado por

Vt (φ) =V0(φ)+∫t

0

(H0

udS0u + ...+Hd

u dSdu

), (7.13)

donde, por definición, para todo t ∈ JT ,

∫t

0

(H0

udS0u + ...+Hd

u dSdu

)=

∫t

0

(H0

uruS0u +H1

uµ1u + ...+Hd

u µdu

)du+

+n∑

j=1

∫t

0

(d∑

i=1H i

uσi ju

)dW j

u (7.14).

Observaciones. (a). En la definición anterior, la condición (1) se requierepara la existencia de la integral de (2), (páginas 106 y 107 de V. 3), y se tieneque

Vt (φ)

t∈JT

es un proceso de Itô 1-dimensional respecto al proceso de

Wiener n-dimensional W , (Definición 4.8.4., (V. 3)).(b). Se prueba, teniendo en cuenta que el proceso estocástico de los pre-cios del activo con riesgo

St = S1

t

t∈JT

es estrictamente positivo y conti-nuo, que en el modelo BSM el concepto de estrategia de gestión autofinan-ciada según la definición anterior coincide con el de la Definición 5.3.1..


Proposición 5.7.3. Sea un MFC con base estocástica(Ω,F , Ft t∈JT ,P

)y

d+1 activos financieros primarios S0, S1,..., Sd , modelizado sobre un proce-so de Wiener n-dimensional W , en (Ω,F ,P ), respecto a Ft t∈JT

y a P, (De-

finición 5.7.1., pág. 107). Sea φ=(

H0t , ..., Hd

t

)t∈JT

un proceso estocástico,

en (Ω,F ,P ), medible de (JT ,B(JT ))×(Ω,F ) en (Rd+1,B(Rd+1)) y adaptadoa Ft t∈JT . Entonces, φ es una estrategia de gestión autofinanciada de esteMFC, (Definición 5.7.2, pág. 110) si y sólo si es estrategia de gestión autofi-nanciada del MFC normalizado asociado al dado.

Demostración. Sabemos que φ es estrategia de gestión tanto en el merca-do dado como en el normalizado asociado, (pág. 14), y que según la De-finición 5.7.1., las ecuaciones que rigen la evolución de los precios de losactivos S0, S1,..., Sd , son (7.1) y (7.2), y las que rigen la evolución de losprecios en el MFC normalizado asociado al dado son las (7.3) y (7.4), (pág.108). Supongamos que φ es una estrategia de gestión autofinanciada en elMFC dado. Entonces, por (2) de la definición anterior, se tiene

Vt (φ) =V0(φ)+∫t

0

(H0

uruS0u +H1

uµ1u + ...+Hd

u µdu

)du+

+n∑

j=1

∫t

0

(d∑

i=1H i

uσi ju

)dW j

u , t ∈ JT ,

y aplicando el Teorema 4.8.6., (V. 3, pág. 128), al proceso estocástico bidi-

mensional(

Vt (φ), 1S0

t

)

t∈JT

, (d(

1S0

t

)= −rt (ω) 1

S0t

d t ), tomando f (t , x1, x2) =

x1x2, se obtiene el proceso de Itô respecto al proceso de Wiener W

V s (φ) =Vs (φ) ·1

S0s=V 0(φ)+

+∫s

0

(1

S0t

[H0

t rt S0t +H1

t µ1t + ...+Hd

t µdt

]+Vt (φ)

−rt

S0t

)d t+

+n∑

j=1

∫s

0

(d∑

i=1

σi jt

S0t

)dW j

t =V 0(φ)+∫s

0

(H1

t

(µ1

t

S0t

− rt S1t

)+ ...+

+Hdt

(µd

t

S0t

− rt Sdt

))d t +

n∑

j=1

∫s

0

(d∑

i=1

σi jt

S0t

)dW j

t , (7.15)


y en particular,

∫T

0

∣∣∣∣∣

d∑

i=1H i

u

(µi

u

S0u− ruS

iu

)∣∣∣∣∣+n∑

j=1

(d∑

i=1H i

uσ

i ju

S0u

)2du <+∞, (P −a.s.),

que implica que φ es una estrategia de gestión autofinanciada en el MFCnormalizado asociado al dado.Como el razonamiento es reversible, se tiene el recíproco.

Proposición 5.7.4. Con las notaciones de la proposición anterior, se tieneque φ es una estrategia de gestión débilmente admisible en el MFC dado siy sólo si es estrategia de gestión débilmente admisible, (pág. 15), en el MFCnormalizado asociado al dado.

Demostración. Es consecuencia de la proposición anterior, teniendo encuenta que V t (φ) = 1

S0tVt (φ), t ∈ JT , y que

S0

t

t∈JT

es un proceso estocásti-

co acotado.

Proposición 5.7.5. Sea un MFC con base estocástica (Ω,F , Ft t∈JT ,P ) yd + 1 activos financieros primitivos S0,...,Sd , modelizado sobre un procesode Wiener n-dimensional W , en (Ω,F ,P ), respecto a Ft t∈JT y a P, (De-

finición 5.7.1., pág. 107). Sean

H1t

t∈JT

,...,

Hdt

t∈JT

procesos estocásticosreales medibles y adaptados a Ft t∈JT

, y tales que

∫T

0

[∣∣∣∣∣d∑

i=1H i

uµiu

∣∣∣∣∣+n∑

j=1

(d∑

i=1H i

uσi ju

)2]du <+∞, (P −a.s.).

Entonces, existe un proceso estocástico real

H0t

t∈JT

medible y adaptado a

Ft t∈JT tal que φ=(

H0t , H1

t , ..., Hdt

)t∈JT

es una estrategia de gestión auto-financiada en el MFC dado.

Indicación de la demostración. Para cada t ∈ JT , definimos

αt =−∑d

i=1 H it Si

t +∫t

0

(∑di=1 H i

udSiu

), (7.16)

H0t =V0 + 1

S0tαt +

∫t0

1S0

uruαudu, (7.17)

donde V0 = H00 +H1

0 S10+ ...+Hd

0 Sd0 , con H0

0 constante dada, (obsérvese quesi rt (ω) = 0, t ∈ JT , ω ∈Ω, entonces H0

t =V0+αt , t ∈ JT ). Se comprueba que


φ=(

H0t , H1

t , ..., Hdt

)t∈JT

es una estrategia de gestión autofinanciada en elMFC dado.

Recordamos la versión multidimensional del teorema de Girsanov, (Lema4.12.7. y Teorema 4.12.8., (V. 3, pág. 196)), y del teorema de representaciónde Itô, (Teorema 4.11.12., (V. 3, pág. 185)).

Teorema 5.7.6 (Girsanov). Sean(Ω,F , Ft t∈JT

,P)

una base estocástica yW =

Wt =

(W 1

t , ...,W nt

)t∈JT

un proceso de Wiener n-dimensional, en el es-

pacio (Ω,F ,P ), respecto a Ft t∈JT y a P. Sea θ =θt =

(θ1

t , ...,θnt

)t∈JT

unproceso estocástico n-dimensional, en el espacio (Ω,F ,P ), medible, adap-

tado a Ft t∈JT , y tal que P(∫T

0

((θ1

t

)2 + ...+(θn

t

)2)<+∞

)= 1.

Se considera el proceso estocástico medible y adaptado a Ft t∈JT ,

κt = exp

(−

∫t

0

(θ1

s dW 1s + ...+θn

s dW ns

)−

1

2

∫t

0

((θ1

s

)2 + ...+(θn

s

)2)

d s

), t ∈ JT .

Se verifica,

(1). κ= κt t∈JTes una martingala local continua respecto a Ft t∈JT

y a P,(y por tanto, es una supermartingala respecto a Ft t∈JT y a P, (Teo-

rema 4.5.15., (V. 3, pág. 73)).

(2). Si E[

exp(

12

∫T0

((θ1

s

)2 + ...+(θn

s

)2)

d s)]

< +∞ (condición de Novikov),entonces:

(2a). E (κT ) = 1 y κ es una martingala uniformemente integrable res-pecto a Ft t∈JT

y a P, (Proposición 4.5.1., (V. 3, pág. 60)).

(2b). La aplicación Q : F → R, dada por Q(F ) = E [IFκT ] =∫

F κT dP,F ∈ F = FT es una probabilidad en (Ω,F ) equivalente a P,(dQ = κT dP).

(2c). W ∗ =W ∗

t =((W ∗)1

t , ..., (W ∗)nt

)t∈JT

, donde para todo t ∈ JT y

j = 1, ...,n, (W ∗)jt = W j

t +∫t

0 θjs d s, es un proceso de Wiener n-

dimensional, en (Ω,F ,Q), respecto a Ft t∈JT y a Q.

Teorema 5.7.7 (Representación de Itô). Sean(Ω,F , Ft t∈JT ,P

)una ba-

se estocástica y W =Wt =

(W 1

t , ...,W nt

)t∈JT

un proceso estocástico de Wie-ner n-dimensional, en (Ω,F ,P ), respecto a Ft t∈JT y a P. Supongamos que


Ft =(F

Wt

)P, t ∈ JT . Entonces, para toda variable aleatoria h en (Ω,F ,P ),

con E[h2

]<+∞, existe un único (λT ×P-a.s.) proceso estocástico de dimen-

sión n, ψ=ψt =

(ψ1

t , ...,ψnt

)t∈JT

, medible y adaptado a Ft t∈JT , tal que

h = E [h]+∫T

0

(ψ1

t dW 1t + ...+ψn

t dW nt

), E

[∫t

0

((ψ1

t

)2 + ...+(ψn

t

)2)

d t

]<+∞.

Teorema 5.7.8 (Arbitrajes). Sea un mercado financiero continuo con ba-se estocástica

(Ω,F , Ft t∈JT

,P)

y modelizado sobre un proceso de Wienern-dimensional W =

Wt =

(W 1

t , ...,W nt

)t∈JT

, en el espacio de probabilidad(Ω,F ,P ), respecto a Ft t∈JT y a P, con d +1 activos financieros primariosS0, S1,..., Sd , tales que la evolución de sus precios está regida por las ecua-ciones diferenciales estocásticas (7.1) y (7.2). Se verifica:

(a). El MFC dado tiene un arbitraje, (pág. 15), si y sólo si el mercado finan-ciero normalizado asociado tiene un arbitraje.

(b). Si existe una probabilidad Q en (Ω,F ) tal que Q ∼ P, (Q ≪ P y P ≪Q,

pág. 24) y los procesos estocásticos de los precios normalizados

Sit

t∈JT

,

i = 1, ...,d, son martingalas locales con respecto a Ft t∈JT y a Q, (Defini-

ción 4.5.14., (V. 3, pág. 73)), entonces el MFC dado no tiene arbitrajes, (pág.15).

(c). Si existen funciones de clase ET , u1,...,un :JT ×Ω→R tales que

(σ

i jt (ω)

)

u1(t ,ω)...

un(t ,ω)

=

µ1t (ω)

...µd

t (ω)

− rt (ω)

S1t (ω)

...Sd

t (ω)

, (7.18)

(λT ×P-a.s.), (λT es la medida de Lebesgue en el intervalo JT ), t ∈ JT , ω ∈Ω,y

E (exp

(1

2

∫T

0

(u1(t ,ω)2 + ...+un(t ,ω)2)d t

)<+∞, (7.19)

entonces el MFC dado no tiene arbitrajes.


(d). Si el MFC dado no tiene arbitrajes, entonces existen funciones no anti-cipativas respecto a Ft t∈JT , (V. 3, pág. 96), v 1,...,v n :JT ×Ω→R, tales que

(σ

i jt (ω)

)

v 1(t ,ω)...

v n(t ,ω)

=

µ1t (ω)

...µd

t (ω)

− rt (ω)

S1t (ω)

...Sd

t (ω)

, (λ×P −a.s.). (7.20)

Demostración. (a). Se comprueba fácilmente teniendo en cuenta las pro-posiciones 5.7.3. y 5.7.4., y que rt (ω), t ∈ JT , está acotado.

(b). Supongamos que φ♯ =(

H ♯0t , ..., H ♯d

t

)t∈JT

es un arbitraje del merca-

do financiero normalizado asociado al dado, es decir, φ♯ es una estrate-

gia de gestión débilmente admisible, V 0

(φ♯

)= 0, V T

(φ♯

)> 0, (P-a.s.), y

P(V T

(φ♯

)> 0

)> 0, (pág. 15). Entonces, por la hipótesis (b),

V t

(φ♯

)t∈JT

es una martingala local acotada inferiormente con respecto a Ft t∈JT y a

Q. Por tanto,

V t

(˜φ)

t∈JTes una supermartingala con respecto a Ft t∈JT y

a Q, (Proposición 4.5.15., (V. 3, pág. 73)). Así, EQ

(V T

(φ♯

))6 EQ

(V 0

(φ♯

))=

0, (V. 3, pág. 60). Pero como V T

(φ♯

)> 0, (P-a.s.), tenemos que V T

(φ♯

)> 0,

(Q-a.s.), pues Q ≪ P . Por otro lado, P(V T

(φ♯

)> 0

)> 0 y por consiguiente

se tiene Q(V T

(φ♯

)> 0

)> 0, ya que P ≪Q. Esto implica que EQ

(V T

(φ♯

))>

0, y se tiene una contradicción con EQ

(V T

(φ♯

))6 0. Así, el mercado nor-

malizado asociado al dado no tiene arbitrajes y por (a) el MFC dado notiene arbitrajes.

(c). Por (a) podemos suponer que el mercado es normalizado, es decirrt (ω) = 0. Por el Teorema 5.7.6.(2), (cambio de Girsanov, pág. 113), toman-do θi

t (ω) = ui (t ,ω), t ∈ JT , ω ∈ Ω, i ∈ 1, ...,n, se tiene que la aplicaciónQ : F →R, dada por

Q(F ) =∫

Fexp

(−

∫T

0

(n∑

i=1ui (t ,ω)dW i

t

)−

1

2

∫T

0

(n∑

i=1ui (t ,ω)2

)d t

)dP,

es una probabilidad, en el espacio (Ω,F ), equivalente a la probabilidadP , y W ∗ =

((W ∗)1

t , ..., (W ∗)nt

)t∈JT

, donde para todo i ∈ 1, ...,n y t ∈ JT ,


(W ∗)it = W i

t +∫t

0 ui (s,ω)d s, es un proceso de Wiener n-dimensional, en(Ω,F ,Q), respecto a Ft t∈JT y a Q. Entonces, para todo i ∈ 1, ...,d se ve-rifica que

dSit =µi

t (ω)d t +n∑

j=1σ

i jt (ω)dW j

t =(

n∑

j=1σ

i jt (ω)u j

t (ω)

)d t+

+n∑

j=1σ

i jt (ω)dW j

t =n∑

j=1σ

i jt (ω)d

(W ∗) j

t . (7.21)

Así, por (h), (V. 3, pág. 109), el procesoSi

t

t∈JT

, i = 1, ...,d , es martingalalocal respecto a Ft t∈JT y a Q, y por (b) el MFC dado no tiene arbitrajes.

(d). Supongamos que el mercado es normalizado y que no tiene arbitrajes.Para cada t ∈ JT seaΩt = ω : ω ∈Ω y la ecuación (7.20) no tiene soluciones.Entonces, ω ∈Ωt si sólo si existen números reales ρ1(t ,ω),...,ρd (t ,ω), talesque µ1

t (ω)ρ1(t ,ω)+ ...+µdt (ω)ρd (t ,ω) 6= 0 y

(σ

i jt (ω)

)⋆

ρ1(t ,ω)...

ρd (t ,ω)

= 0.

Para todo i ∈ 1, ...,d, definimos

H it (ω) =

si g no

(∑di=1ρ

i (t ,ω)µit (ω)

)ρi (t ,ω), ω ∈Ωt

0, ω 6∈Ωt ,

(si g no(x) = −1,0,+1 si x < 0, x = 0, x > 0, respectivamente, x ∈ R). Se tie-ne que

H i

t

t∈JT

, i = 1, ...,d , son procesos estocásticos medibles y adap-tados a Ft t∈JT

. Así, por Proposición 5.7.5., (pág. 112), existe un proce-so estocástico real

H0

t

t∈JT

medible y adaptado a Ft t∈JT tal que φ =(H0

t , H1t , ..., Hd

t

)t∈JT

es una estrategia de gestión autofinanciada del MFC

dado. Tomando como

H0t

t∈JT

el proceso estocástico construido por lasecuaciones (7.16) y (7.17) en la demostración de la Proposición 5.7.5., se


deduce que para todo t ∈ JT ,

Vt (φ)−V0(φ) =∫t

0

d∑

i=1H i

udSiu =

=∫t

0IΩu

∣∣∣∣∣d∑

i=1ρi (s, ·)µi

u

∣∣∣∣∣du +∫t

0

n∑

j=1

d∑

i=1H i

uσi ju dW j

u =

=∫t

0IΩu

∣∣∣∣∣d∑

i=1ρi (u, ·)µi

u

∣∣∣∣∣du+

+∫t

0si g no

(d∑

i=1ρi (u, ·)µi

u

)IΩu (σi j

u )∗

ρ1(u, ·)...ρd (u, ·)

dW 1u

...dW n

u

=

=∫t

0IΩu

∣∣∣∣∣d∑

i=1ρi (s, ·)µu

∣∣∣∣∣du > 0.

Como el mercado dado es normalizado y no tiene arbitrajes, se concluyeque IΩt =0, (λT ×P )-a.s. y así (7.20) tiene solución, (λT ×P )-a.s..

Corolario 5.7.9. En el modelo BSM no existen arbitrajes. Además, existenlas funciones del apartado (c) del teorema que se reducen, en este caso, ala aplicación constante u1 = µ−r

σ , (y la probabilidad Q construida en la de-mostración de (c) es la probabilidad P∗ de la página 26).

Demostración. Para la primera parte del corolario basta observar que exis-te una probabilidad P∗ en (Ω,F ), equivalente a P , respecto a la cual losprecios actualizados son una martingala (páginas 30 y 31).Para la segunda parte, basta tener en cuenta que las ecuaciones de (c) sereducen a σS1

t u1(t ,ω) = µS1t − r S1

t y que los precios del activo financieroS1 = S son positivos.

Ejemplos.(1). Consideramos un MFC con base estocástica (Ω,F , Ft t∈JT ,P ), mo-delizado sobre un proceso de Wiener 2-dimensional W =

(W 1

t ,W 2t

)t∈JT

,en (Ω,F ,P ), respecto a Ft t∈JT

y a P , y con tres activos financieros pri-marios S0, S1 y S2 tales que la evolución de sus precios está regida por las


ecuaciones diferenciales estocásticas

dS0t = 0, S0

0 = 1dS1

t = 2d t +dW 1t , S1

0 = x1 > 0dS2

t =−d t +2dW 1t +dW 2

t , S20 = x2 > 0.

La primera ecuación nos dice que se trata de un mercado normalizado. Eneste caso, las funciones u1,u2 : JT ×Ω → R constantes de valores 2 y -5,respectivamente, cumplen las hipótesis de (c) del teorema anterior, y portanto este MFC no tiene arbitrajes.

(2). Consideramos un MFC con base estocástica (Ω,F , Ft t∈JT ,P ), mo-delizado sobre un proceso de Wiener 2-dimensional W =

(W 1

t ,W 2t

)t∈JT

,en (Ω,F ,P ), respecto a Ft t∈JT y a P , y con tres activos financieros pri-marios S0, S1 y S2 tales que la evolución de sus precios está regida por lasecuaciones diferenciales estocásticas

dS0t = 0, S0

0 = 1dS1

t = 2d t +dW 1t +dW 2

t , S10 = x1 > 0

dS2t =−d t −dW 1

t −dW 2t , S2

0 = x2 > 0.

En este caso, no existen funciones v 1, v 2 : JT ×Ω → R que cumplan lasecuaciones de (d) del teorema anterior, y por tanto, el MFC dado tiene ar-bitrajes. Se comprueba que un arbitraje de este mercado está dado por:φ =

(H0

t , H1t , H2

t

)t∈JT

, donde H0t (ω) = −x1 − x2, H1

t (ω) = 1 y H2t (ω) = 1,

t ∈ JT , ω ∈Ω.

Mercados financieros continuos completos

Proposición 5.7.10. Sea un mercado financiero continuo de base estocás-tica


)y modelizado sobre un proceso de Wiener de dimen-

sión n, W =Wt =

(W 1

t , ...,W nt

)t∈JT

, en el espacio de probabilidad (Ω,F ,P ),

respecto a Ft t∈JT y a P, y con d +1 activos financieros primarios S0, S1,...,Sd , tales que la evolución de sus precios está regida por las ecuaciones di-ferenciales estocásticas (7.1) y (7.2). Supongamos que existen funciones declase ET , (V. 3, pág. 97), u1,...,un :JT ×Ω → R tales que cumplen (7.18) y(7.19) de (c) del Teorema 5.7.8., (por tanto, el MFC dado no tiene arbitrajes).Se verifica,


(1). La aplicación Q : F →R, definida

Q(B) =∫

Bexp

(−

∫T

0

n∑

i=1ui (t ,ω)dW i

t −1

2

∫T

0

(n∑

i=1ui (t ,ω)2

)d t

)dP,

B ∈F , es una probabilidad en (Ω,F ) equivalente a P.

(2). W ∗ =W ∗

t =((W ∗)1

t , ..., (W ∗)nt

)t∈J T , donde (W ∗)i

t =W it +

∫t0 ui (s,ω)d s,

t ∈ JT , i = 1, ...,n, es un proceso de Wiener, en (Ω,F ,Q), respecto aFt t∈JT y a Q.

(3). Para todo t ∈ JT y todo i ∈ 1, ...,d, se tiene

dSit = d

(1

S0t

Sit

)=

1

S0t

(σ

i jt

)

d (W ∗)1t

...d (W ∗)n

t

En particular, si EQ

[∫T0

(1

S0t

)2 ((σi 1

t

)2 + ...+(σi n

t

)2)

d t

]< +∞, enton-

ces

Sit

t∈JT

es una martingala, en (Ω,F ,Q), respecto a Ft t∈JTy a

Q, i ∈ 1, ...,d.

(4). Si φ=(

H0t , ..., Hd

t

)t∈JT

es una estrategia de gestión débilmente admi-sible en el MFC dado, entonces para todo t ∈ JT

dV t (φ) = d

(1

S0t

Vt (φ)

)=

1

S0t

d∑

i=1H i

t

(σ

i jt

)

d (W ∗)1t

...d (W ∗)n

t

,

y

V t (φ)

t∈JTes una martingala local, en (Ω,F ,Q), respecto a Ft t∈JT

y a Q.

Demostración. (1). y (2). son consecuencia del Teorema 5.7.6. (Girsanov),pág. 113.(3). La primera parte se obtiene del Teorema 4.8.6., (V. 3, pág. 128), apli-

cado al proceso estocástico(

1S0

t,Si

t

)

t∈JT

tomando f (t , x1, x2) = x1x2, para

todo i ∈ 1, ...,d.La segunda parte sigue de (4) de la página 103 de V. 3.(4). Es consecuencia de (3) y de (h) de la página 109 de V. 3.


Definición 5.7.11. Sea un mercado financiero continuo de base estocástica(Ω,F , Ft t∈JT ,P

)y modelizado sobre un proceso de Wiener n-dimensional

W =Wt =

(W 1

t , ...,W nt

)t∈JT

, en el espacio de probabilidad (Ω,F ,P ), res-

pecto a Ft t∈JTy a P, y con d +1 activos financieros primarios S0, S1,..., Sd ,

tales que la evolución de sus precios está regida por las ecuaciones diferen-ciales estocásticas (7.1) y (7.2). Supongamos que existen funciones de claseET , (V. 3, pág. 97), u1,...,un :JT ×Ω → R tales que cumplen (7.18) y (7.19)

de (c) del Teorema 5.7.8., (por tanto, el MFC dado no tiene arbitrajes). Seconsideran la probabilidad Q en (Ω,F ), equivalente a P, y el proceso deWiener W ∗ =

((W ∗)1

t , ..., (W ∗)nt

)t∈JT

, donde (W ∗)it = W i

t +∫t

0 ui (s,ω)d s,t ∈ JT , i = 1, ...,n, en (Ω,F ,Q), respecto a Ft t∈JT y a Q, construidos en laproposición anterior.

(1). Una opción europea en el MFC dado es una variable aleatoria h en(Ω,F ,P ) acotada inferiormente, (pág. 33).

(2). Se dice que una opción europea h, en el MFC dado, es realizable si existeuna estrategia de gestión débilmente admisible φ=

(H0

t , ..., Hdt

)t∈JT

tal que:

(2a). h = VT (φ), (obsérvese que como φ es una estrategia de gestiónautofinanciada, por la Definición 5.7.2., (pág. 110),se tiene queVT (φ) =V0(φ)+

∫T0

(∑di=0 H i

t dSit

), (P-a.s.))

(2b). El proceso estocástico

V t (φ) = 1S0

tVt (φ)

t∈JT

es una martingala,

en (Ω,F ,Q), respecto a Ft t∈JT y a Q. (Por (4) de la proposición

anterior, V t (φ) =V0(φ)+∫t

01

S0t

∑di=1 H i

t

(σ

i jt

)

(W ∗)1t

...(W ∗)n

t

, t ∈ JT ).

(3). Se dice que el MFC dado es completo si toda opción europea acotadaes realizable.

Observación. Con las notaciones de definición anterior, de (2) se dedu-ce que si h es una opción europea realizable por la estrategia de gestióndébilmente admisible φ, entonces para todo t ∈ JT ,

V t (φ) =1

S0t

Vt (φ) = EQ

[1

S0T

VT (φ)|Ft

]= EQ

[1

S0T

h|Ft

],


y por tanto, (V. 3, pág. 221),

Vt(φ

)= EQ

[S0

t ·1

S0T

h|Ft

]= EQ

[exp

(−

∫T

tru(ω)du

)h|Ft

],

(compárese con el Teorema 5.4.3., (pág. 34)).

Teorema 5.7.12. En las hipótesis de la definición anterior, el MFC dado es

completo si y sólo si(σ

i jt (ω)

)tiene una inversa por la izquierda

(λkl

t (ω)),

(λ×P-a.s.), es decir, existen funcionesλklt (ω) medibles y adaptadas a Ft t∈JT

tales que(λkl

t (ω))(σ

i jt (ω)

)= In×n , (λT ×P-a.s.).

Demostración. Supongamos que(σ

i jt (ω)

)tiene una inversa por la izquier-

da(λkl

t (ω)), (λT ×P-a.s.).

Sea h una opción europea acotada inferiormente en el MFC dado. ComoQ es una probabilidad en el espacio medible (Ω,F ) equivalente a P , porel Teorema 5.7.7., existe un único (λT ×P-a.s.) proceso estocástico de di-mensión n, ψ =

ψt =

(ψ1

t , ...,ψnt

)t∈JT

, medible y adaptado a Ft t∈JT talque

1

S0T

h = EQ

[1

S0T

h

]+

∫T

0

(ψ1

t d(W ∗)1t + ...+ψn

t d(W ∗)nt

),

E

[∫t

0

((ψ1

t

)2 + ...+(ψn

t

)2)

d t

]<+∞.

Elegimos(H1

t , ..., Hdt

), t ∈ JT , tales que

1

S0T

(d∑

i=1H i

t σi jt

)=ψ

jt , j = 1, ...,n,

elección posible, ya que por la hipótesis, se tiene(H1

t , ..., Hdt

)= S0

t

(ψ1

t , ...,ψnt

)(λkl

t

)⋆.

Ahora, por la Proposición 5.7.5., existe H0t , dado por las ecuaciones (7.16)

y (7.17) y tomando V0 = EQ

[1

S0T

h

], tal que φ =

(H0

t , ..., Hdt

)t∈JT

es una


estrategia de gestión admisible en el MFC dado.Se comprueba que

h =VT (φ) =V0(φ)+∫T

0

(H0

t dS0t + ...+Hd

t dSdt

), (P −a.s.),

y que

V t (φ)

t∈JTes una martingala respecto a Ft t∈JT

y a Q. Por tanto, h

es realizable y el MFC dado es completo.Supongamos, ahora, que el MFC es completo. Como el mercado norma-lizado asociado al dado es completo, no hay pérdida de generalidad ensuponer que rt (ω) = 0, t ∈ JT , ω ∈Ω.Sea φ =

(H0

t , ..., Hdt

)t∈JT

una estrategia de gestión. Entonces, por la fór-mula (7.21) de la página 116, se tiene

Vt (φ) =V0(φ)+∫t

0

(H0

udS0u +H1

udS1u + ...+Hd

u dSdu

)=

V0(φ)+∫t

0

(d∑

i=1H i

udSiu

)=V0(φ)+

∫t

0

d∑

i=1H i

u

(n∑

j=1σ

i ju d

(W ∗) j

u

)=

=V0(φ)+∫t

0

d∑

i=1H i

uσiu

(W ∗

u

)⋆ ,

donde σiu =

(σi 1

u , ...,σi nu

), i = 1, ...,d , u ∈ JT , y

(W ∗

u

)⋆ es la matriz traspuestade W ∗

u =((W ∗)1

u , ..., (W ∗)nu

), u ∈ JT .

Consideramos un proceso estocástico n-dimensional medible y adaptado

a Ft t∈JT , ψ =(ψ1

t , ...,ψnt

)t∈JT

tal que EQ

[∫T0

((ψ1

t

)2 + ...+(ψn

t

)2)

d t]<

+∞. Tomamos la variable aleatoria h(ω)=∫T

0

(ψ1

t d (W ∗)1t + ...+ψn

t d (W ∗)nt

).

Entonces, EQ[h2

]< +∞ y por tanto h es un elemento del espacio de Hil-

bert L2(Ω,F ,Q), (V. 2, pág. 271). En este espacio de Hilbert se construye, fá-cilmente, una sucesión de variables acotadas hkk∈N+ tal que lımk→+∞ hk =h. Por la completitud del mercado, para k ∈ N

+, existe una estrategia de

gestión débilmente admisible φ(k) =((

H (k))0

t , ...(H (k)

)dt

)t∈JT

tal que

Vt

(φ(k)

)=V0

(φ(k)

)+

∫t

0

d∑

i=1

(H (k)

u

)i

uσi

u

(dW ∗

u

)⋆ ,


es una martingala en (Ω,F ,Q) respecto a Ft t∈JT y a Q, y hk = VT(φ(k)

).

Entonces, por (g), (V. 3, pág. 109),∑d

i=1

(H (k)

u

)i

uσi

u

(dW ∗

u

)⋆ es una sucesión

de Cauchy en L2(λ×Q), y por tanto converge en ese espacio de Banach aun elemento Ψ=

(Ψ1

t , ...,Ψnt

)t∈JT

del mismo, (V. 2, pág. 270). Por tanto,

∫t

0

(Ψ1

ud(W ∗)1

u + ...+Ψnu d

(W ∗)n

u

)=

= lımk→+∞

∫t

0

d∑

i=1

(H (k)

u

)i

uσi

u

(dW ∗

u

)⋆ =

= lımk→+∞

EQ [hk |Ft ] = EQ [h|Ft ] =

=∫t

0

(ψ1

ud(W ∗)1

u + ...+ψnu d

(W ∗)n

u

), (λT ×Q −a.s.).

Por tanto, por la propiedad de unicidad en el Teorema 5.7.7., se tiene queΨt (ω) =ψt (ω), (λT ×Q-a.s.). Esto implica que (λT×Q-a.s.),

(ψ1

t (ω), ...,ψnt (ω)

)

pertenece al subespacio vectorial de Rn generado por σ1

t (ω),...,σdt (ω), y co-

mo ψ se ha tomado arbitrario se concluye que este subespacio vectorial es

igual aRn. Así, la matriz

(σ

i jt (ω)

)tiene rango n, (λT×Q-a.s.), y consiguiente

tiene inversa por la izquierda (λT ×Q-a.s.).

Corolario 5.7.13. (a). Si n = d, entonces el MFC dado es completo si y sólo

si(σ

i jt (ω)

)es invertible, (λT ×P-a.s).

(b). Si el MFC es completo, entonces r ang o(σ

i jt (ω)

)= n, (λT ×P-a.s.). En

particular, n 6 d.

(c). Si n = d y el MFC es completo, entonces las funciones u1(t ,ω),...,un (t ,ω)verificando (7.18) son únicas.

(d). El mercado BSM es completo.

Demostración. (a). Es consecuencia directa del teorema, teniendo en cuen-ta que una matriz cuadrada es invertible si y sólo si admite una inversa porla izquierda (o por la derecha).(b). La existencia de inversa por la izquierda de una matriz d ×n implica


que esta matriz tiene rango igual a n, y por las propiedades del rango dematrices, d > n.(c). Basta observar, teniendo en cuenta (a), que

u1(t ,ω)...

un(t ,ω)

=

(σ

i jt (ω)

)−1

µ1t (ω)

...µd

t (ω)

− rt (ω)

S1t (ω)

...Sd

t (ω)

.

(d). Es consecuencia del Teorema 5.4.3., (pág. 34).

Teorema 5.7.14 (Harrison-Pliska, Jacod). Sea un MFC con base estocástica(Ω,F Ft t∈JT ,P

)y d+1 activos financieros, S0, S1,..., Sd , modelizado sobre

un proceso de Wiener n-dimensional W =(

W 1t , ...,W n

t

)t∈JT

, en (Ω,F ,P ),respecto a Ft t∈JT

y a P. Entonces, este mercado financiero es completo siy sólo si existe una y sólo una probabilidad Q en (Ω,F ), equivalente a P,respecto de la cual los precios actualizados de S0, S1,..., Sd , son martingalas.Para una demostración de este teorema véase ([17], 1983).

Precio de opciones

1. Opciones europeas

Sea un MFC con base estocástica(Ω,F Ft t∈JT ,P

)y modelizado sobre


W 1t , ...,W n

t

)t∈JT

, en (Ω,F ,P ),

respecto a Ft t∈JT y a P , y con d +1 activos financieros, S0, S1,..., Sd , talesque la evolución de sus precios está regida por las ecuaciones (7.1) y (7.2).En el MFC dado se considera una opción europea h, es decir, una varia-ble aleatoria acotada inferiormente, en (Ω,F ,P ), que se considera comoun contrato que da derecho, a su poseedor, a comprar activos financierosprimarios, en el tiempo T > 0, por la cantidad h(ω). Se justifica el precio dedicha opción en el tiempo t = 0 de la siguiente forma:(1). Si el comprador de la opción paga la cantidad C0, entonces tiene unafortuna inicial (deuda) −C0 y deberá encontrar una estrategia de gestiónadmisible φ de forma que en el tiempo T tenga un resultado no negativoVT (φ)(ω)+h(ω) > 0, P-a.s. Así, el precio máximo p(h) que el comprador


de la opción europea está dispuesto a pagar es:

p(h) = supC0 : existe una estrategia de gestión débilmente admisible

φ=(

H0t , ..., Hd

t

)t∈JT

tal que V0(φ) =−C0 y

VT (φ)(ω) =V0(φ)+∫T

0

(H0

udS0u + ...+Hd

u Sdu

)>−h(ω), P −a.s..

(2). Por otro lado, si el vendedor de la opción recibe la cantidad D0, enton-ces tiene una fortuna inicial (ganancia) D0 y deberá realizar una estrategiade gestión φ de forma que en el tiempo T tenga un resultado no negativoVT (φ)(ω)−h(ω) > 0, P-a.s. Así, el precio mínimo q(h) que el vendedor dela opción europea deberá aceptar es:

q(h) = ınfD0 : existe una estrategia de gestión débilmente admisible

φ=(

H0t , ..., Hd

t

)t∈JT

tal que V0(φ) = D0 y

VT (φ)(ω) = D0 +∫T

0

(H0

udS0u + ...+Hd

u Sdu

)> h(ω), P −a.s..

Definición 5.7.15. Con las notaciones anteriores, si p(h) = q(h), se llama aeste valor común el precio, en t = 0, de la opción europea h.

Teorema 5.7.16. Supongamos que el MFC dado anteriormente cumple lahipótesis (c) del Teorema 5.7.8., (con lo cual no tiene arbitrajes), y sea Qla probabilidad en (Ω,F ), equivalente a P, considerada en la Proposición

5.7.10., (pág. 118). Entonces, si h es una opción europea con EQ

[1

S0T

h

]<

+∞, se verifica:

(1). supm : h > m, (P−a.s) 6 p(h) 6 EQ

[1

S0T

h

]6 q(h) 6+∞

(2). Si además el MFC es completo, el precio de la opción europea h en t = 0es:

p(h)= EQ

[1

S0T

h

]= q(h).


Demostración. (1). Sea c ∈ R y supongamos que existe una estrategia degestión admisible φ=

(H0

t , ..., Hdt

)t∈JT

en el MFC dado tal que V0(φ)=-c y

VT (φ) =V0(φ)+∫T

0

(H0

t dS0t + ...+Hd

t dSdt

)>−h, (P −a.s.), (7.22)

Como V t (φ) = 1S0

tVt (φ), t ∈ JT , por la demostración de la Proposición 5.7.3.

y teniendo en cuenta (7.18), se deduce que

∫t

0

(d∑

i=0H i

udSiu

)=

∫t

0

d∑

i=1H i

u

(σ

i ju

S0u

)

d (W ∗)1u

...d (W ∗)n

u

(7.23)

Así, de (7.22), se obtiene

V0(φ)+∫T

0

d∑

i=1H i

u

(σ

i ju

S0u

)

d (W ∗)1u

...d (W ∗)n

u

>−

1

S0T

h, (P −a.s.) (7.24)

Como el proceso estocástico dado por (7.23) es una martingala local res-pecto a Ft t∈JT y a Q, por el Teorema 4.5.15., (V. 3, pág. 73), es una super-martingala respecto a Ft t∈JT y a Q. Así, la esperanza matemática de cadavariable aleatoria de este proceso aleatorio respecto a Q es negativa. Portanto, tomando esperanza matemática respecto a Q en (7.24), se concluye

que −c =V0(φ) 6 EQ

[1

S0T

h

], lo cual prueba que p(h) 6 EQ

[1

S0T

h

].

Sea d ∈ R y supongamos que existe una estrategia de gestión admisibleφ=

(H0

t , ..., Hdt

)t∈JT

en el MFC dado tal que V0(φ)=d y

VT (φ) =V0(φ)+∫T

0

(H0

t dS0t + ...+Hd

t dSdt

)> h, (P −a.s.), (7.25)

Por un razonamiento análogo al anterior, se prueba que EQ

[1

S0T

h

]6 d .

Si no existen tales d y φ cumpliendo las condiciones anteriores, entonces

q(h) =+∞> EQ

[1

S0T

h

]. Así, EQ

[1

S0T

h

]6 q(h) 6+∞.

Si c < h, (P-a.s.), tomando φ= 0, se tiene: supm : h > m, (P−a.s.) 6 p(h).


(2). Supongamos además que el MFC dado es completo. Para cada númeroreal k, definimos

hk(ω) =

k, si h(ω) > kh(ω), si h(ω) < k.

Es claro que hk es una opción europea acotada y así existe una única estra-

tegia de gestión débilmente admisible φ(k) =(

(H (k))0t , ..., (H (k))d

t

)t∈JT

talque

−hk =−V0(φ(k))+∫T

0

(d∑

i=0(H (k))i

t dSit

), (P −a.s.).

Por la igualdad (7.23), se deduce

−V0(φ)+∫T

0

d∑

i=1(H (k))i

u

(σ

i ju

S0u

)

d (W ∗)1u

...d (W ∗)n

u

=−

1

S0T

hk , (P −a.s.) (7.26)

Teniendo en cuenta que el primer miembro de (7.25) es una martingala

respecto a Ft t∈JTy a Q, se deduce que V0(φ(k)) = EQ

[1

S0T

hk

].

Entonces, por el teorema de convergencia monótona (Teorema 3.4.7., (V.

2, pág. 171)), se tiene que EQ

[1

S0T

h

]= lımk→+∞ EQ

[1

S0T

hk

], y por tanto p(h) >

p(hk > EQ

[1

S0T

h

]. Esta desigualdad junto con la obtenida en (1) da p(h) =

EQ

[1

S0T

h

].

Con un razonamiento análogo al anterior se prueba que q(h) = EQ

[1

S0T

h

].

Observaciones. (1). En las hipótesis del teorema anterior (incluyendo lacondición de completo), por la observación de la página 120, el Teore-

ma 5.7.14., (pág. 124), y el resultado obtenido p(h) = q(h) = EQ

[1

S0T

h

]=

EQ

[1

S0T

h|FT

], es natural considerar como precio de la opción europea h


en el instante t ∈ JT , en el MFC considerado, a la expresión

EQ

[exp

(−

∫T

tru(ω)du

)h|Ft

],

(véase ([27], pág. 99).

(2). Si en el MFC dado las ecuaciones (7.2) son de la forma (5.7), (pág. 73),cumpliendo (1), (2) y (3) de la página 153 de V. 3, y la opción europea es deforma h = f (ST ), con f : R→R suficientemente regular, entonces, como seha dicho en la página 75,

EQ

[exp

(−

∫T

tru(ω)du

)h|Ft

]= F (t ,St ), t ∈ JT , St =

(S1

t , ...,Sdt

),

donde

F (t , x) = EQ

[exp

(−

∫T

tr(s,S t ,x

s

)d s

)· f

(S t ,x

T

)],

siendo S t ,xs , x ∈R

d , t 6 s, el flujo estocástico de (5.7).Además, por el Teorema 5.5.8., (pág. 75), F (t , x) = u(t , x), donde u(t , x) essolución de la ecuación diferencial en derivadas parciales (5.9), (pág. 75).

Precio de las opciones europeas en el modelo BSM(G)

Consideramos el model BSM(G) de MFC, (pág. 109), con base estocástica(Ω,F , Ft t∈JT

,P)

y dos activos financieros primarios S0 y S1, modelizadosobre un proceso estocástico de Wiener 1-dimensional W = Wt t∈JT , en(Ω,F ,P ), respecto a Ft t∈JT y a P , tal que la evolución de los precios delos activos financieros está regida por las ecuaciones diferenciales estocás-ticas (7.7) y (7.8). Supondremos además que σ1

t (ω) 6= 0, t ∈ JT , ω ∈Ω.

En este caso, la solución de la ecuación (7.7) es S0t = exp

(∫t0 rs (ω)d s

)> 0,

t ∈ JT , y la solución de la ecuación (7.8) es

S1t = x1 exp

(∫t

0σ1

s dWs +∫t

0

(µ1

s −1

2

(σ1

s

)2)

d s

), x1 = S1

0, t ∈ JT . (7.26)

Por otro lado la ecuación (7.18) de (c) del Teorema 5.7.8. es

S t1(ω)σ1

t (ω)u1(t ,ω) =µ1t (ω)S1

t (ω)− rt (ω)S1t (ω),


la cual tiene por solución

u1(t ,ω) =(σ1

t (ω))−1 (

µ1t (ω)− rt (ω)

).

Por tanto, la condición (7.19) de (c) del Teorema 5.7.8. se convierte en

E

[exp

(1

2

∫T

0

(µ1

t (ω)− rt (ω))2

(σ1

t (ω))2 d t

)]<+∞. (7.27)

Si en el modelo BSM(G), rt (ω) y σt (ω) son funciones deterministas (sólodependen de la variable t ), se puede obtener una fórmula explícita para elvalor en t = 0 de opciones europeas de la forma h = f (S1

T ) donde f : R→R

es una función suficientemente regular.

Teorema 5.7.17. Sea el modelo BSM(G) de MFC, (pág. 109), con base esto-cástica

(Ω,F , Ft t∈JT

,P)

y dos activos financieros primarios S0 y S1, mode-lizado sobre un proceso estocástico de Wiener 1-dimensional W = Wt t∈JT ,en (Ω,F ,P ), respecto a Ft t∈JT y a P, tal que la evolución de los precios delos activos financieros está regido por las ecuaciones diferenciales estocásti-cas

dS0t = r (t )S0

t d t , S00 = 1

dS1t =µ1

t (ω)S1t d t +σ(t )S1

t dWt , S10 = x1 > 0.

Supongamos que σ(t ) 6= 0, t ∈ JT y que

E

[exp

(1

2

∫T

0

(µ1

t (ω)− r (t ))2

σ(t )2 d t

)]<+∞.

Se verifica:

(1). El MFC dado no tiene arbitrajes y es completo.

(2). Si h es una opción europea acotada inferiormente de la forma h(ω) =f (S1

T ) con EQ [h(ω)] < +∞, (Q es la probabilidad construida en laProposición 5.7.10.), entonces el valor de esta opción en t = 0 es

p(h) = q(h)=

=1

δS0T

p2π

∫+∞

−∞f

(x1 exp

(y +

∫T

0

(r (s)−

1

2σ(s)2

)d s

))exp

(−

y2

2δ2

)d y,

donde δ2 =∫T

0 σ(s)2d s y 1S0

T= exp

(−

∫T0 r (s)

)d s.


Demostración. (1). Por lo comentado anteriormente en las páginas 128 y129, el MFC dado no tiene arbitrajes por (c) del Teorema 5.7.8.. Por (a) delCorolario 5.7.13., el MFC considerado es completo, (S1

t > 0, t ∈ JT ).(2). Por el Teorema 5.7.16., se tiene que

p(h) = q(h)= EQ

[1

S0T

h

]=

1

S0T

EQ[

f(S1

T

)]=

1

S0T

EQ

[f

(x1 exp

(∫T

0σ(s)dWs +

∫T

0

(µ1

s −1

2σ(s)2

)d s

))]. (7.28)

Como W ∗t =Wt +

∫t0 u(s,ω)d s, t ∈ JT , se obtiene que

∫T

0σ(s)dWs =

∫T

0σ(s)dW ∗

s −∫T

0σ(s)u(s,ω)d s,

(basta aplicar la fórmula de integración por partes estocástica, (Ejemplo 6,(V. 3, pág. 144)), a los procesos estocásticos de ItôW = Wt t∈JT y σ(t )t∈JT ).Por tanto, de (5.27) se deduce

p(h) =1

S0T

EQ

[f

(x1 exp

(∫T

0σ(s)dW ∗

s +∫T

0

(r (s)−

1

2σ(s)2

)d s

))]. (7.29)

En (7.29) la variable aleatoria η =∫T

0 σ(s)dW ∗s tiene distribución normal

de media 0 y varianza (δ2 =)∫T

0 σ(s)2d s, (Propiedades (8) y (5), (V. 3, pág.105)). Entonces, por razonamiento análogo al realizado en las páginas 39 y40, de (7.29) se deduce finalmente

p(h) = q(h)=

=1

δS0T

p2π

∫+∞

−∞f

(x1 exp

(y +

∫T

0

(r (s)−

1

2σ(s)2

)d s

))exp

(−

y2

2δ2

)d y.

Observación. Si en la fórmula final de (2) r (s) = r y σ(s) = σ son cons-tantes, es decir, el MFC dado es el modelo BSM clásico, esta se convierteen

p(h) =1

σp

T S0T

p2π

∫+∞

−∞f

(x1 exp

(y +

(r −

1

2σ(s)2

)T

))exp

(−

y2

2σ2T

)d y,


y haciendo el cambio y =σp

T z, se obtiene

p(h) = q(h)=

=1

p2π

exp(−r T )∫+∞

−∞f

(x1 exp

(σp

T z +(r −

1

2σ(s)2

)T

))exp

(−

z2

2

)d z,

que coincide con F (0,S10), (pág. 40), valor de la opción europea h = f (S1

T ),en t = 0, en el modelo BSM.

Teorema 5.7.18. Sea el modelo BSM(G) de MFC, (pág. 109), con base esto-cástica

(Ω,F , Ft t∈JT

,P)

y dos activos financieros primarios S0 y S1, mode-lizado sobre un proceso de Wiener 1-dimensionalW = Wt t∈JT , en (Ω,F ,P ),respecto a Ft t∈JT y a P, tal que la evolución de los precios de los activos fi-nancieros está regida por las ecuaciones diferenciales estocásticas

dS0t = r (t )S0

t d t , S00 = 1 (7.30)

dS1t =µt (ω)S1

t d t +σ(t )S1t dWt , S1

0 = x1 > 0 (7.31)

donde r,σ : R→R son funciones continuas tales que:

(a). Existe una constante K > 0 tal que |r (t )| + |σ(t )| 6 K y σ(t ) 6= 0 paratodo t ∈R.

(b). E[

exp(

12

∫T0

(µt (ω)−r (t))2

σ(t)2 d t)]

<+∞.

Entonces,

(1). El MFC dado no tiene arbitrajes y es completo.

(2). Si h es una opción europea, acotada inferiormente, de la forma h =f(S1

T

)con f : R → R, suficientemente regular, y EQ [h] < +∞ (Q es

la probabilidad en (Ω,F ) construida en la Proposición 5.7.10.), severifica que el valor de h en t ∈ JT es Vt = F

(t ,S1

t

), donde

F (t , x) =1

δp

2πexp

(−

∫T

tr (s)d s

)·

·∫+∞

−∞f

(x exp

(y +

∫T

t

(r (s)−

1

2σ(s)2

)d s

))exp

(−

y2

2δ2

)d y,

siendo δ2 =∫T

t σ(s)2d s.


Demostración. (1). La función u : JT ×Ω→R dada por

u(t ,ω) =µt (ω)− r (t )

σ(t ), t ∈ JT , ω ∈Ω

cumple (7.18) de (c) del Teorema 5.7.8., (pág. 114), y por la hipótesis (b)también se cumple (7.19) de esa condición (c). Así, por el teorema citado,el MFC dado no tiene arbitrajes.Por otro lado, por (a) del Corolario 5.7.13., (pág. 123), el MFC consideradoes completo (S1

t > 0, t ∈ JT ).

(2). Realizamos el cambio de Girsanov, (Teorema 5.7.6., pág. 113), dadopor

κt = exp

(−

∫t

0u(s,ω)dWs −

1

2

∫t

0u(s,ω)2d s

), t ∈ JT ,

y se tiene la probabilidad, en (Ω,F ), Q(F ) =∫

F κT dP , F ∈F , equivalente aP , y el proceso estocástico de Wiener, en (Ω,F ,Q),

W ∗t =Wt +

∫t

0u(s,ω)d s, t ∈ JT ,

respecto a Ft t∈JT y a Q.Por la invariancia de la integral estocástica por el cambio de Girsanov, te-nemos

∫t

0σ(s)S1

s dWs +∫t

0σ(s)S1

s u(s,ω)d s =∫t

0σ(s)S1

s dW ∗s ,

y así, la ecuación diferencial estocástica (7.31) se convierte en

S1t = S1

0 +∫t

0µs(ω)S1

s d s +∫t

0σ(s)S1

s dWs =

= S10 +

∫t

0µs (ω)S1

s d s +∫t

0σ(s)S1

s dW ∗s −

∫t

0σ(s)S1

s u(s,ω)d s =

= S10 +

∫t

0(µs(ω)−σ(s)u(s,ω))S1

s d s +∫t

0σ(s)S1

s dW ∗s =

= S10 +

∫t

0r (s)S1

s d s +∫t

0σ(s)S1

s dW ∗s ,


es decir, en la ecuación diferencial estocástica

dS1t = r (t )S1

t d t +σ(t )S1t dW ∗

t , S10 = x1 > 0. (7.32)

La solución de esta última ecuación es

S1t = x1 exp

(∫t

0σ(s)dW ∗

s +∫t

0

(r (s)−

1

2σ(s)2

)), x1 = S1

0 (7.33)

Por la hipótesis (a), se tiene que la ecuación (7.32) cumple (1), (2) y (3) dela Proposición 4.9.11, (V. 3, pág. 163), tomando a,b : J∞×R→ R, a(t , x) =r (t )x, b(t , x) =σ(t )x y η= S1

0 = x1, y por tanto, existe el flujo estocástico

(S1)s,xt = x +

∫t

sr (v)(S1)s,x

v d v +∫t

sσ(v)(S1)s,x

v dW ∗v , x ∈R, s 6 t ,

de la ecuación diferencial estocástica (7.32).Se verifica que (S1)s,x

t = xS1t

(S1

s

)−1, x ∈R, s 6 t . En efecto:

Consideramos los procesos estocásticos

xS1t = xS1

0 +∫t

0 r (v)xS1v d v +

∫t0 σ(v)xS1

v dW ∗v y(

S1s

)−1 =(S1

s

)−1 +∫t

0 0d v +∫t

0 0W ∗v t ∈ JT , s fijo,

y aplicamos la fórmula de integración por partes estocástica, (Ejemplo 6,(V. 3, pág. 144)), con lo que obtenemos

(xS1

t

)(S1

s

)−1 =

= xS10

(S1

s

)−1 +∫t

0

(S1

s

)−1r (v)xS1

v d v +∫t

0

(S1

s

)−1σ(v)xS1

v dW ∗v (7.34)

y haciendo en esta igualdad s = t ,

−x +xS10

(S1

s

)−1 +∫s

0

(S1

s

)−1r (v)xS1

v d v +∫s

0

(S1

s

)−1σ(v)xS1

v dW ∗v = 0 (7.35)

y finalmente restando (7.34) y (7.35),

(xS1

t

)(S1

s

)−1 = x +∫t

s

(S1

s

)−1r (v)xS1

v d v +∫t

s

(S1

s

)−1σ(v)xS1

v dW ∗v (7.36)


lo cual prueba que (S1)s,xt = xS1

t

(S1

s

)−1, x ∈R, s 6 t .

A partir de la igualdad obtenida y (7.33), se obtiene

(S1)s,x

t = x exp

(∫t

sσ(v)dW ∗

v +∫t

s

(r (v)−

1

2σ(v)2

)du

).

Ahora por la observación (2) de la página 128,

Vt = EQ

[exp

(−

∫T

tr (v)d v

)f (S1

T )|Ft

]= F (t ,S1

t ),

donde

F (t , x) = EQ

[exp

(−

∫T

tr (v)d v

)f((

S1)t ,xT

)]=

= EQ

[exp

(−

∫T

tr (v)d v

)f

(x exp

(∫T

tσ(v)dW ∗

v +∫T

t

(r (v)−

1

2σ(v)2d v

)))].

Ahora la variable aleatoria η =∫T

t σ(v)dW ∗v tiene distribución normal (es

esencial que σ sea función sólo de la variable t , es decir, sea una funcióndeterminista) de media 0 y varianza (δ2 =)

∫Tt σ(v)2d v , (página 130), y apli-

cando la Proposición 3.4.30, (V. 3, pág. 191), se concluye que para todox ∈R y todo t ∈ JT

F (t , x) =

=1

δp

2πexp

(−

∫T

tr (v)d v

)∫+∞

−∞f

(x exp

(y +

∫T

t

(r (v)−

1

2σ(v)2

)d v

))·

·exp

(−

y2

2δ2

)d y

Observaciones. (1). La función F (t , x), obtenida en el teorema anterior, nodepende del coeficiente (deriva) µt (ω) de la ecuación (7.31).

(2). El valor de la opción europea h, en el tiempo t = 0, dado por el Teore-ma 5.7.17. y por el Teorema 5.7.18. es el mismo.


(3). Si r (s) = r yσ(s) =σ son constantes, (se tiene el modelo BSM si ademásµt (ω) es constante), entonces

F (t , x) =1

δp

2πexp(−r (T − t ))

∫+∞

−∞f

(x exp

(y + (T − t )

(r −

1

2σ2

)))·

·exp

(−

y2

2δ2

)d y,

donde δ2 =∫T

t σ2d v = (T − t )σ2. Haciendo el cambio y =σzp

T − t , se ob-tiene

F (t , x) =1

p2π

exp(−r (T−t ))∫+∞

−∞f

(x exp

(σz

pT − t + (T − t )

(r −

1

2σ2

)))·

·exp

(−

z2

2

)d z

que es la función de la página 40 del modelo BSM.

2. Opciones americanas

Sea un MFC con base estocástica(Ω,F Ft t∈JT ,P

)y modelizado sobre


W 1t , ...,W n

t

)t∈JT

, en (Ω,F ,P ),

respecto a Ft t∈JTy a P , y con d +1 activos financieros, S0, S1,..., Sd , tales

que la evolución de sus precios está regida por las ecuaciones (7.1) y (7.2).En el MFC dado se considera una opción americana h = ht t∈JT , es decir,un proceso estocástico en (Ω,F ,P ), medible, adaptado a Ft t∈JT y aco-tado inferiormente P-a.s., que se considera como un contrato que da de-recho, a su poseedor, a comprar activos financieros primarios por la can-tidad hτ(ω)(ω), donde τ es un tiempo de parada, (Definición 4.5.7., (V. 3,pág. 65)), con τ(ω) 6 T elegido por el poseedor de la opción, (por tanto ladiferencia entre opciones europeas y americanas está en que en el últimocaso el comprador de la opción puede elegir cualquier tiempo de ejercicioτ antes o en tiempo dado T ). Se justifica el precio de dicha opción en eltiempo t = 0 de la siguiente forma:

(1). Sea h = ht t∈JTuna opción americana. Si el comprador de la opción

americana paga la cantidad C0, entonces tiene una fortuna inicial (deuda)


−C0 y deberá encontrar un tiempo de parada τ 6 T y una estrategia degestión admisible φ de forma que Vτ(ω)(φ)(ω)+hτ(ω)(ω) > 0, P-a.s. Así, elprecio máximo pa(h) que el comprador de la opción americana está dis-puesto a pagar es:

pa(h) = supC0 : existen un tiempo de parada τ6 T

y una estrategia de gestión débilmente admisible φ tal que

Vτ(ω)(φ)(ω) =−C0 +∫τ

0

(H0

udS0u + ...+Hd

u dSdu

)>−hτ(ω)(ω), P −a.s..

(2). Por otro lado, si el vendedor de la opción americana recibe la cantidadD0, entonces tiene una fortuna inicial (ganancia) D0 y deberá realizar unaestrategia de gestión φ de forma que en cualquier tiempo t ∈ JT tenga unresultado no negativo Vt (φ)(ω) − ht (ω) > 0, P-a.s. Así, el precio mínimoqa(h) que el vendedor de la opción americana deberá aceptar es:

qa(h) = ınfD0 : existe una estrategia de gestión débilmente admisible φ

tal que para todo t ∈ JT ,

Vt (φ)(ω) = D0 +∫t

0

(H0

udS0u + ...+Hd

u dSdu

)> ht (ω), (P −a.s.).

Definición 5.7.19. Con las notaciones anteriores, si pa(h) = qa(h), se llamaa este valor común el precio, en t = 0, de la opción americana h.

Teorema 5.7.20. Suponemos que el MFC dado anteriormente cumple la hi-pótesis (c) del Teorema 5.7.8., (con lo cual no tiene arbitrajes), y sea Q la pro-babilidad en (Ω,F ), equivalente a P, considerada en la Definición 5.7.10..

Sea h = ht t∈JT una opción americana en este MFC con supτ<T EQ

[1

S0τ

hτ

]<

+∞, (τ tiempo de parada). Entonces:

(1). pa(h) 6 supτ<T EQ

[1

S0τ

hτ

]6 qa (h) 6+∞

(2). Si además el MFC es completo, el precio de la opción americana en t = 0es:

pa(h) = supτ6T

EQ

[1

S0τ

hτ

]= qa (h), (τ tiempo de parada).


Demostración. Es análoga a la del Teorema 5.7.16., teniendo en cuentalas propiedades de los tiempos de parada establecidas en el V. 3, (páginas64-77).


7.1. Sea φ =(

H0t , ..., Hd

t

)t∈JT

una estrategia de gestión en el modelo deMFC dado por la Definición 5.7.1., (pág. 107). Supongamos que para todot ∈ JT y todo i ∈ 0,1, ...,d, la variable aleatoria H i

t es constante, (P-a.s.).Probar que φ es una estrategia de gestión autofinanciada en el MFC consi-derado.

7.2. Probar que un modelo de MFC normalizado, (pág. 108), admite un ar-bitraje si y sólo si tiene una estrategia de gestión débilmente admisible, φ=(

H0t , ..., Hd

t

)t∈JT

, tal que V0(φ) 6 VT (φ), (P-a.s.), y P[VT (φ) >V0(φ)

]> 0.

7.3. Probar que la estrategia de gestión que se define en el ejemplo (2) dela página 118 es un arbitraje en el MFC considerado en dicho ejemplo.

7.4. Se considera un modelo de MFC como en la Definición 5.7.1., (pág.107), y se supone que el mercado es normalizado, que n = d , y que lamatriz σ es invertible con inversa acotada, (por tanto el MFC es comple-to). Probar que toda opción europea h acotada inferiormente y tal queEQ

[h2

]<+∞, es realizable.

7.5. Sea un modelo de MFC con base estocástica(Ω,F , Ft t∈JT

,P), mo-

delizado sobre el proceso de Wiener W = Wt t∈JT , en (Ω,F ,P ), respecto aFt t∈J1 y a P , y con dos activos financieros primarios, S0, S1, tales que laevolución de sus precios está regida por las ecuaciones diferenciales esto-cásticas

dS0t = 0S0

t d t S00 = 1

dS1t = dWt S1

0 = x1 > 0,

(por tanto, se trata de un MFC normalizado). Probar que:(1). Existen funciones de clase PT , H(t ,ω) y H ′(t ,ω), tales que si se definenVt = 1+

∫t0 H(s,ω)dWs y V ′

t = 2+∫t

0 H ′(s,ω)dWs , t ∈ J1 = [0,1], entonces,V1 =V ′

1 = 0 y Vt > 0, V ′t > 0, (λ1 ×P-a.s.).


(2). φ = (1, H(t , ·))t∈J1 y φ′ =(1, H ′(t , ·))

t∈J1

son estrategias de gestióndébilmente admisibles en el MFC dado que realizan a la opción europeah = 0.(3). Con las hipótesis de la Definición 5.7.11., la estrategia de gestión dé-bilmente admisible que realiza la opción europea h es única.

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ÍNDICE ALFABÉTICO 143

Índice alfabético

Acciones, 3Activo financiero

con riesgo,1, 11, 13, 16, 108derivado, 5primario, 3principal, 3sin riesgo,1, 11, 13, 16, 108subyacente, 5

Acumulación del consumo, 54Agente económico, 2Apalancamiento, 9Aplicación de clase C 1,2, 64, 71, 73,

74, 75Arbitraje, 8, 15, 114Attainable (realizable), 34, 120

Base estocástica, 11Bolsa de valores, 9Bono Estatal (español), 3Bonos, 3Brokers (Comisionistas), 2Browniano geométrico, 17

Cambio de Girsanov, 23, 24, 26, 27,113

Capitalización, 3, 17Cartera, 1, 14

Call, 5opción americana, 5, 54opción europea, 5, 33

Chollo, 8Cobertura, 5

de las opciones americanas, 54,56

de las opciones europeas, 32, 46,48

del call europeo, 49del put europeo, 51

Combinaciones, 6Comisionistas, 2Completo, Mercado, 118Condiciones de contorno

de Dirichlet, 85de Neumann, 103

Consumoacumulación del, 54estrategia de gestión con, 55

Consumo-ahorro, 7Consumo-inversión, 7Contratos por diferencias, 6Credit Default Swaps, 6

Dealers, 2

144 ÍNDICE ALFABÉTICO

Default (Incumplimiento de pago),1

Deltade una cartera, 52del call, 49del put, 51

Depósito monetario a plazo fijo, 3Deriva, 16, 17Deuda subordinada, 4

convertible, 4no redimible, 4redimible, 4

Distribución de probabilidad defini-da por variable aleatoria, 12

Efecto sonrisa, 53Especulación, 9Especulador, 9Estrategia de gestión, 14

admisible, 33autofinanciada, 14, 110autofinanciada en modelo BSM,

18, 19con consumo, 54débilmente admisible, 15, 112

Evaluación de la volatilidadmétodo histórico, 53método implícito, 53

Evaluación de las opciones, 32, 124,128, 135

Fecha de vencimiento, 5Flujo estocástico, 63, 64, 65, 66, 67Fondos, colectivos, de inversión, 3Fórmula de capitalización, 3, 17Forwards, 5

Funciónde variación acotada, 12de variación finita, 12

Futuros, 6Fractal gráfica de precios, 53

Gammade una cartera, 52del call, 50del put, 51

Generador infinitesimal de una di-fusión, 63, 67, 69, 71, 72

Girsanov, 23, 24, 113Griegas, 49

Hedging (Cobertura), 5

Igualdad de precios de call europeoy americano, 57

Información disponible, 11Instrumento financiero

derivado, 5primario, 3principal, 3

Integración estocástica, 28Integral estocástica, 20

invariancia de la, 25, 34, 36, 62Intercambio financiero, 6Interés instantáneo, 16Intermediarios, 3Invariancia (por cambio de Girsanov)

de estrategia de gestión autofi-nanciada en modelo BSM, 26

de la estrategia de gestión conconsumo, 55, 62

de la integral estocástica, 25


del precio del activo con riesgoen el model BSM, 23, 26

Kappade una cartera, 52del call, 50del putt, 52

Letras, 3Liquidez

de un activo financiero, 10de un mercado financiero, 8

Martingala, 17de los precios actualizados en mo-

delo BSM, 30local, 114

Maturity (fecha de vencimiento), 5Mediadores, 2Mercado financiero

a tiempo continuo, 11continuo, 11completo, 118discreto, 11normalizado, 13normalizado asociado a un MFC,

14Mercados, 7

de acciones, 9de cuentas bancarias, 9de deuda pública, 9de deuda anotada, 7de dinero, 9de divisas, 9de metales preciosos, 9de petróleo, 9financieros, 10

financieros continuos completos,118, 120

financieros continuos generali-zados, 107

financieros continuos modeliza-dos por procesos de Wiener,107

financieros no organizados, 9financieros organizados, 9financieros over the counter, 9financieros reales, 1financieros viables, 8

Modelo de mercado financierode Black-Scholes-Merton, 16, 109de Black-Scholes-Merton gene-

ralizado, 54, 109de difusión de Itô, 108de Dupire, 109general de Itô, 107

Modelo general de un MFC, 11Movimiento Browniano geométrico,

17

Obligaciones, 3Opción, 5

americana, 5, 54, 135americana y ecuaciones en de-

rivadas parciales, 87asiática, 5call, 5,europea, 5, 33, 79, 80, 120, 124europea acotada, 124europea integrable, 124europea realizable, 34, 120exótica, 5prima de una, 5


put, 5,Operador infinitesimal de una difu-

sión, 63, 64, 65, 67, 71, 72

Pagarés, 3Paridad put-call, 45Participaciones preferentes, 4Portfolio, 1, 14Precio

actualizado, 7, 13actualizado de activo con riesgo

en modelo BSM, 18de activo con riesgo, 16de activo sin riesgo, 16de ejercicio, 5de las opciones europeas, 33, 34,

37, 125, 128, 131de las opciones americanas, 54,

57, 136de las opciones europeas en el

modelo BSM(G), 128de un activo primario en un tiem-

po t , 11, 13del call europeo, 42del put europeo, 43

Precios actualizados, 14Precios de opciones y ecuaciones en

derivadas parciales, 62Prestamista, 2Préstamos, 3Prestatario, 2Prima

de riesgo, 3de una opción, 5

Probabilidad absolutamente continuarespecto de otra, 23

Probabilidades equivalentes, 24Proceso estocástico

de Itô, 107de Wiener n-dimensional, 107valor de la cartera, 14, 120

put, 5opción americana, 5, 54, 91opción europea, 5, 33, 52

Realización de una variable aleato-ria, 12

Rentabilidad de un activo financie-ro, 10

Repo, 6Representación de Itô, 113Rho

de una cartera, 52del call, 50del put, 51

Riesgo, 8, 10de crédito, 8de mercado, 8de un activo financiero, 10operacional, 8

Risky, 108

Safe, 108Semimartingala, 15Spot price, 7Spreads, 6Strike, 5Submartingala, 113

local, 113Supermartingala, 113

local, 113Swaps (Intercambio financiero), 6


Tasa de interés instantáneo, 16Teorema

de Girsanov, 24, 113de Radon-Nikodyn, 23, 32de representación de Itô, 113

Teoría de la Utilidad, 7Theta

de una cartera, 52del call, 50del put, 52

Tiempo de Markov, 55, 60Tipo de interés instantáneo, 16

Unidades de gastocon deficit, 2con superávit, 2

Valoractualizado de la cartera, 14aproximado del precio de opcio-

nes, 94aproximado del precio de opcio-

nes americanas, 103aproximado del precio de opcio-

nes europeas, 94aproximado del precio del put ame-

ricano, 103de la cartera, 14de la opción europea, 37de la opción americana, 54

Variaciónacotada de una función, 12finita de una función, 12

Vegade una cartera, 52del call, 50

del put, 51Viable, mercado, 8Volatilidad, 8, 16, 52

evaluación, 53futura, 8histórica, 8implícita, 8

Warrants, 6

Símbolos

BSM, Modelo de MFC de Black-Scholes-Merton, 16BSM(G), Modelo de MFC de Black-Scholes-Merton generalizado, 109

C 1,2, Aplicación de clase 1,2; 62, 64, 71, 73, 74, 75

CDS, Credit Default Swaps, 6

CDLI, Proceso estocástico continuo por la derecha con límite por la

izquierda, 11

CFD, Contrato por diferencias, 6∂∂t , Operador derivada parcial respecto a la variable t∂∂x , Operador derivada parcial respecto a la variable x∂2

∂x2 , Operador derivada parcial segunda respecto a la variable x

E∗[ ], Esperanza matemática respecto a la probabilidad P∗, 34

EQ[ ], Esperanza matemática respecto a la probabilidad Q, 63

F , σ-álgebra, (V. 2, pág. 14)

Ft t∈JT , Filtración, (V. 3, pág. 23)

JT , Intervalo [0,T ], 0 < T <+∞, de la recta real R, 11

J∞, Intervalo [0,+∞) de la recta real R, 11

λT , Medida de Lebesgue en el intervalo JT = [0,T ], 15

MFC, Mercado financiero continuo, 11

MFD, Mercado financiero discreto, 11

N (d), N (d) = 1/p

2π∫d−∞ exp

(−(1/2)y2

)d y .

N (0,1), Variable aleatoria Gaussiana de media 0 y varianza 1, (V. 2, pág.

299)

149


OTC, Mercado over the counter, 9

Pη, Distribución de probabilidad de la variable aleatoria η, 12

V, Varianza, (V. 2, pág. 248)

VA, Variación acotada, 12

VF, Variación finita, 12

UGD, Unidad de gasto con deficit, 2

UGS, Unidad de gasto con superávit, 2

X ξ, Variable aleatoria definida por el proceso estocástico ξ, 12

(Ω,F ), Espacio medible, (V. 2, pág. 16)

(Ω,F ,P ), Espacio de probabilidad, (V. 2, pág. 22)(Ω,F , Ft t∈JT ,P

), Base estocástica, 11

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