GEOMETRIA ANALITICAPROBLEMA DE APLICACIÓN DE LA PARÁBOLAELABORADO POR: MAURICIO RUBIANO SIERRA.

PROBLEMA DE APLICACIÓN DE LA PARÁBOLA:

Hallar la ecuación de la parábola de vértice en la recta 5x - 3y + 2 = 0 de eje horizontal y que pase por los puntos A (3, -5) y B (3/2, 1)

Solución:

La parábola de eje horizontal tiene la siguiente forma:

(y - k)² = 4p(x - h)     → ecuación ➀

siendo:

(h, k) = coordenadas del vérticep = parámetro = distancia del foco al vértice

la recta y=k es el eje de la parábola. Esta recta y la indicada en el enunciado, se intersecan en el vértice, entonces:

5x - 3y + 2 = 0 ⇒y = k ⇒5x - 3k + 2 = 0 ⇒x = (3/5) k - 2/5 = h     → ecuación ➁

sustituimos el despeje anterior en la ec. ➀:

(y - k) ² = 4p(x - h)  ⇒(y - k) ² = 4p(x - (3/5) k + 2/5)  ⇒(y - k) ² = 4px - (12/5) pk + 8p/5     → ecuación ➂

a continuación sustituimos en la ecuación ➂ las coordenadas de los puntos que pertenecen a la parábola. Empezamos con el punto A(3,-5):

(y - k)² = 4px - (12/5)pk + 8p/5 ⇒(-5 - k)² = 4p(3) - (12/5)pk + 8p/5 ⇒(-5 - k)² = 12p - (12/5)pk + 8p/5     → ecuación ➃

ahora sustituimos el punto B(3/2,1):

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(y - k)² = 4px - (12/5)pk + 8p/5 ⇒(1 - k)² = 4p(3/2) - (12/5)pk + 8p/5 ⇒(1 - k)² = 6p - (12/5)pk + 8p/5     → ecuación ➄

las ecuaciones ➃ y ➄ representan un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Procedamos a resolver dicho sistema:

(-5 - k)² = 12p - (12/5)pk + 8p/5 ⇒(1 - k)² = 6p - (12/5)pk + 8p/5 ⇒(-5 - k)² = 68p/5 - (12/5)pk ⇒(1 - k)² = 38p/5 - (12/5)pk ⇒(-5 - k)² = p[68/5 - (12/5)k] ⇒(1 - k)² = p[38/5 - (12/5)k] ⇒(-5 - k)² / [68/5 - (12/5)k] = p(1 - k)² / [38/5 - (12/5)k] = p

como p = p, entonces:

(-5 - k)² / [68/5 - (12/5)k] = (1 - k)² / [38/5 - (12/5)k] ⇒[38/5 - (12/5)k](-5 - k)² = [68/5 - (12/5)k](1 - k)² ⇒[38/5 - (12/5)k](25 + 10k + k²) = [68/5 - (12/5)k](1 - 2k + k²) ⇒190 + 76k + 38k²/5 - 60k - 24k² - 12k³/5 = 68/5 - 136k/5 + 68k²/5 - 12k/5 + 24k²/5 - 12k³/5

multiplicamos todo por 5:

950 + 380k + 38k² - 300k - 120k² - 12k³ = 68 - 136k + 68k² - 12k + 24k² - 12k³

pasamos todo del lado izquierdo, simplificamos y agrupamos:

950 + 380k + 38k² - 300k - 120k² - 12k³ - 68 + 136k - 68k² + 12k - 24k² + 12k³ = 0 ⇒- 174k² + 228k + 882 = 0

simplificamos entre -6:

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29k² - 38k - 147 = 0

aplicamos la fórmula general:

k = [-b±√(b²-4ac)] / 2a ⇒k = [-(-38)±√(38²-4(29)(-147))] / 2(29) ⇒k = [38±√(1444+17052)] / 58 ⇒k = [38±√(18496)] / 58 ⇒k = [38±(136)] / 58 ⇒k₁ = [38+(136)] / 58 = 3

k₂ = [38-(136)] / 58 = -49/29

tenemos entonces dos soluciones para la parábola. Hallamos los respectivos h₁ y h₂ de la ecuación ➁. Hallamos primero h₁:

h = (3/5)k - 2/5 ⇒h₁ = (3/5)k₁ - 2/5 ⇒h₁ = (3/5)(3) - 2/5 ⇒h₁ = 9/5 - 2/5 ⇒h₁ = 7/5 = 1.4

ahora hallamos h₂:

h = (3/5)k - 2/5 ⇒h₂ = (3/5)k₂ - 2/5 ⇒h₂ = (3/5)(-49/29) - 2/5 ⇒h₂ = -147/145 - 2/5 ⇒h₂ = -147/145 - 58/1455 ⇒h₂ = -205/145 ⇒

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h₂ = -41/29 ⇒sustituimos los valores de h y k antes hallados en la ecuación de la parábola de eje horizontal (ecuación ➀). Empezamos con los valores de h₁ y k₁:

(y - k)² = 4p(x - h) ⇒(y - k₁)² = 4p₁(x - h₁) ⇒(y - 3)² = 4p₁(x - 7/5)

para hallar el valor de p₁ sustituimos las coordenadas de uno de los puntos. Utilizaremos el punto A(3,-5):

(y - 3)² = 4p₁(x - 7/5) ⇒(-5 - 3)² = 4p₁(3 - 7/5) ⇒(-8)² = 4p₁(15/5 - 7/5) ⇒64 = 4p₁(8/5) ⇒p₁ = 64(5) / 32 ⇒p₁ = 320 / 32 ⇒p₁ = 10

por lo tanto:

(y - 3)² = 4p₁(x - 7/5) ⇒(y - 3)² = 4(10)(x - 7/5) ⇒(y - 3)² = 40(x - 7/5)     → PRIMERA SOLUCION

Ahora sustituimos los valores de h₂ y k₂ en la ecuación ➀:

(y - k)² = 4p(x - h) ⇒(y - k₂)² = 4p₂(x - h₂) ⇒

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(y - (-49/29))² = 4p₂(x - (-41/29)) ⇒(y + 49/29)² = 4p₂(x + 41/29) ⇒para hallar el valor de p₂ sustituimos las coordenadas de uno de los puntos. Utilizaremos el punto A(3,-5):

(y + 49/29)² = 4p₂(x + 41/29) ⇒(-5 + 49/29)² = 4p₂(3 + 41/29) ⇒(-145/29 + 49/29)² = 4p₂(87/29 + 41/29) ⇒(-96/29)² = 4p₂(128/29) ⇒(-96/29)² = 4p₂(128/29) ⇒9216/841 = 512p₂/29 ⇒p₂ = 9216(29) / 841(512) ⇒p₂ = 9216(29) / 841(512) ⇒p₂ = 267264 / 430592

por lo tanto:

(y + 49/29)² = 4p₂(x + 41/29) ⇒(y + 49/29)² = 4(267264 / 430592)(x + 41/29) ⇒(y + 49/29)² = (1069056 / 430592)(x + 41/29) ⇒(y + 49/29)² = (2088 / 841)(x + 41/29)     → SEGUNDA SOLUCION

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La gráfica: